(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳

1

●高考明方向

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

★备考知考情

1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．

2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇

命题，则以解答题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P15

注意：

研究函数单调性必须先求函数的定义域，

函数的单调区间是定义域的子集

单调区间不能并！

知识点一 函数的单调性

1.单调函数的定义 2

2.单调性、单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.

注意：

1、《名师一号》P16 问题探究 问题1

关于函数单调性的定义应注意哪些问题？

(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．

(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；

(3)定义的两种变式：

设任意x1，x2∈[a，b]且x1

①1212()()0fxfxxx⇔f(x)在[a，b]上是增函数； 3 1212()()0fxfxxx⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

2、《名师一号》P16 问题探究 问题2

单调区间的表示注意哪些问题？

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；

如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法

《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法

(1) 定义法:

利用定义证明函数单调性的一般步骤是：

①任取x1、x2∈D，且x1

②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形

(“分解因式”、配方成同号项的和等)；

③依据差式的符号确定其增减性．

(2) 导数法:

设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f ′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．

注意：(补充)

（1）若使得f ′(x)=0的x的值只有有限个， 4 则如果f ′(x)0，则f(x)在区间D内为增函数；

如果f ′(x) 0，则f(x)在区间D内为减函数．

（2）单调性的判断方法：

《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法

定义法及导数法、图象法、

复合函数的单调性(同增异减)、

用已知函数的单调性等

(补充)单调性的有关结论

1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，

则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．

2．若f(x)为增(减)函数，

则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，

则1fx为减(增)函数，fx为增(减)函数．

3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．

4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，

若f(x)与g(x)的单调性相同，

则其复合函数f[g(x)]为增函数；

若f(x)、g(x)的单调性相反，

则其复合函数f[g(x)]为减函数．

简称”同增异减”

5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；

偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 5

函数单调性的应用

《名师一号》P17 特色专题

(1)求某些函数的值域或最值．

(2)比较函数值或自变量值的大小．

(3)解、证不等式．

(4)求参数的取值范围或值．

(5)作函数图象．

二、例题分析：

（一) 函数单调性的判断与证明

例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1

判断下列说法是否正确

(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( )

(2)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．( )

(3)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．( )

答案： √ × √

例1.（2）《名师一号》P16 高频考点 例1（1） 6 (2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．y＝x＋1

B．y＝(x－1)2

C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)

答案：A.

例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例1（2）

判断函数f(x)＝axx＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．

法一：定义法

设－1

则f(x1)－f(x2)＝ax1x1＋1－ax2x2＋1

＝ax1x2＋1－ax2x1＋1x1＋1x2＋1

＝ax1－x2x1＋1x2＋1

∵－1

∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0. 7 ∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)

∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．

同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，

∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．

法二：导数法

注意：《名师一号》P17 高频考点 例1 规律方法

1.判断函数的单调性应先求定义域；

2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：

取值—作差—变形—判号—定论，

其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；

3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视

（二）求复合函数、分段函数的单调性区间

例1.《名师一号》P16 高频考点 例2（1）

求函数y＝x－|1－x|的单调增区间；

y＝x－|1－x|＝ 1，x≥1，2x－1，x<1.

作出该函数的图象如图所示． 8 由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．

例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例2（2）

求函数y＝log13 (x2－4x＋3)的单调区间．

解析:令u＝x2－4x＋3，

原函数可以看作y＝log13 u与u＝x2－4x＋3的复合函数．

令u＝x2－4x＋3>0.则x<1或x>3.

∴函数y＝log13 (x2－4x＋3)的定义域为

(－∞，1)∪(3，＋∞)．

又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，

∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，

在(3，＋∞)上是增函数．

而函数y＝log13 u在(0，＋∞)上是减函数， 9 ∴y＝log13 (x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，

单调递增区间为(－∞，1)．

注意：《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法

求函数的单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性，

即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的

图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．

例2.（2）(补充)21122log4logyxx

答案：增区间：1,4；减区间：10,4

练习:222loglogyxx

答案：增区间：2,；减区间：0,2 10 （三）利用单调性解（证）不等式及比较大小

例1.（1）《名师一号》P17 特色专题 典例(1)

已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )

A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0

【规范解答】 ∵函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，

∴当x1∈(1,2)时，f(x1)

当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，

即f(x1)<0，f(x2)>0.

例1.（2）《名师一号》P17 特色专题 典例(2)

已知函数f(x)＝ x2－4x＋3，x≤0，－x2－2x＋3，x>0，则不等式

f(a2－4)>f(3a)的解集为( )

A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)