第五讲 数列专题

必修5数列知识点总结1. 数列的概念数列是按一定规律排列的数字集合。

一般情况下，数列中的每个数字称为数列的项，通常用字母代表。

数列中第n个项称为第n项，一般用an表示。

2. 数列的分类2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。

设数列为a1,a2,a3…an，公差为d，则有a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d。

2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。

设数列为a1,a2,a3…an，公比为q，则有a2/a1=a3/a2=…=an/an-1=q。

等比数列的通项公式为：an=a1q^(n-1)。

2.3 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，规律为前两项的和等于后一项。

数列以0和1开始，后续每一项都是前两项的和。

例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …3. 数列的性质3.1 通项公式根据数列的规律，可以得出数列的通项公式，即表示数列任意一项与项数之间的关系式。

3.2 前n项和公式数列的前n项和是指数列中前n项之和。

对于等差数列，前n项和公式为：Sn = n/2(a1+an)。

对于等比数列，前n项和公式为：Sn = a1 (q^n - 1)/(q - 1)。

3.3 递推关系数列中的每一项可以通过前一项或前几项的运算得到，这种关系称为递推关系。

例如，斐波那契数列中的第n项可以通过前两项的和得到。

3.4 有限数列和无限数列有限数列指数列中项数有限，而无限数列指数列中项数无限。

4. 应用题的解题思路在解数列的应用题时，需要根据题目中的条件和要求，确定数列的类型以及通项公式。

然后根据题意使用相应的公式求解。

常见的数列应用题包括递推关系式的求解、前n项和的计算、求某一项、确定数列范围等。

5. 典型例题5.1 例题1已知等差数列的公差为2，前3项的和为9，求该数列的通项公式。

解答过程：设数列的首项为a，通项公式为an=a+(n-1)d。

第5章 数列知识点一、数列的通项公式 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)． 2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式． 4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．二、数列的性质 数列的分类三、等差数列基本量的计算 1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋(1)2n n −d ＝1()2n n a a +．四、等差数列的基本性质及应用 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d ．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12．五、等比数列基本量的计算 1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q ．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n -1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1. 六、等比数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *．特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *．对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a k a n －k ＋1＝…．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列． (4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n ．(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k ． (6)若a 1a 2…a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q ． 七、数列求和1．公式法与分组转化法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (2)分组转化法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050． 3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．第5章 数列（1）一、选择题1．在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ ( ) A ．6116 B ．259 C ．2516 D ．31153．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．1304．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －15．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1413－a 1314＝( )A ．－27B ．27C ．－37D ．377．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n5．则b 10等于( )A ．15B ．17C ．19D ．218．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．⎣⎡⎭⎫83，3 C ．(2，3) D ．(1，3)9．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]10．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ＜45 B ．λ＜1 C ．λ＜32 D ．λ＜23二、填空题11．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．12．若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n >0，且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0．设M (x )表示整数x的个位数字，则M (a 2017)＝________．13．若数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 2016等于________．14．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k12＋n －2S n≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________．三、解答题15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式．16．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．第5章 数列（2）一、选择题1．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则a 10等于( ) A ．18 B ．20 C ．16 D ．222．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．33．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18 B ．20 C ．21 D ．254．已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．958 C ．948 D ．185．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A ．a 2a 3＝2B ．a 2a 3＝32C ．a 2a 3＝23D ．a 2a 3＝136．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0 D ．－507．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．40338．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115．146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130．0寸，夏至晷影长为14．8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸9．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n．若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4 二、填空题11．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 12．已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0，2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________． 14．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________． 三、解答题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状． 16．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m20成立，求正整数m的最大值．第5章 数列（3）一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．272．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1C ．12D ．23．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．336．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．40327．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．1588．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A ．32B ．53C ．256 D ．不存在二、填空题11．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______． 13．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________．14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项． 三、解答题15．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1． (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．第5章 数列（4）一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋32．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．63．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A ．23 B ．278 C ．7 D ．2144．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．1025．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( ) A ．1512 B ．1513 C ．1513.5 D ．20186．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1) 7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A ．20142015B ．20152016C ．20162017D ．201720188．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．299．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>010．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( ) A ．1 B ．22 C ．－22D ．－3 二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________． 12．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n(n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________． 13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________．三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4．(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n ．16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n －1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ． 17．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3．(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ．已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ．18．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．。

第五讲数列求和专题解析：0，1，2，3......像这样的按一定顺序排列的数叫做数列，数列不一定从小到大，也不一定从大到小，但是每个位置的数都是确定的，数列会帮助我们理解位置与位置上所对应的数之间一一对应的关系，就像学校中每个座位所对应坐的小朋友一样。

本章我们就要来学习等差数列，以及等差数列的和知识回顾之数列求和：重点知识理解：等差数列的概念，等差数列与植树问题的相似之处，如何利用植树问题所学的知识求等差数列的某一项等【经典例题】【例题1】有四个数列如下：●1，2，4，8，16，32，64●1，1，2，3，5，8，13，21●2，4，6，8，10，12，14，16，18●21，18，15，12，9，6，3●1，5，1，5，1，5，1，5，1，5请问以上哪个数列是等差数列，不是等差数列的你能找找其中的规律吗？思维点拨：等差数列之要求相邻两项的差一样，但一定要按顺序作差随堂演练：（1）请任意说出三个有五项的等差数列（2）若公差为5，第一项是3，数列是逐渐增大的，请写出数列的前十项【例题2】求等差数列1，6，11，16......的第二十项是多少，第35项是多少？251是这个数列的第几项？思维点拨：每一个数可以代表一棵树，而数的大小可以代表树与0的距离，第几项可表示第几棵数随堂演练：1.已知数列2，5，8，11，14......,请问47是其中的第几项2.已知数列96，91，86，81......，请问第10项是多少，第16项呢？3.如果一个数列的第一项是3，最后一项是219，公差是4，请问这个数列一共有多少项？如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项思维点拨：间距不变，公差也不变随堂演练：1.已知等差数列的公差为4，末项为280，数列共25项，这个数列的首项是多少？这个数列的第16项是多少？2.小剧场共有40排座位，每一排都比前一排多两个座位，最后一排有120个座位，那第一排有多少个座位？第25排有多少个座位？【例题4】数列的求和推论有自然数列1，2，3，4，5，6......99,100,求数列1+2+3+......+99+100的和。

第5讲 通项公式的求解策略:构造法一．填空题（共10小题）1．已知数列中，，，求通项公式 ．2．已知数列中，，，则求的通项公式 ．3．（2021秋•殷都区校级月考）已知数列满足，求数列的通项公式 ．4．（2021•岳麓区校级二模）已知数列中，，且，数列满足，则的通项公式是 ．5．（2021秋•清远期中）若数列满足，，则数列的通项公式 ．6．已知 ．7．（2021•南关区校级四模）已知在数列中，，则数列的通项公式为 ．8．已知数列，满足，，且（其中，则数列的通项公式为 ．9．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和 ．10．（2021•蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为 ．二．解答题（共22小题）11．（2021秋•黄浦区期末）已知数列满足，．（1）若数列是等差数列，求通项公式；（2）已知，求证数列是等比数列，并求通项公式．12．已知数列中，，，且，求通项公式．13．已知数列满足下列条件，求通项公式：（1），，；{}n a 11a =1332n n n a a +=+g n a ={}n a 11a =*1()3nn n a a n N a +=∈+{}n a n a ={}n a 112,12nn n a a a a +==+{}n a {}n a 147a =1112n n n a a a --+={}n b 11n n b a =-{}n b n b ={}n a 11a =1162n n n a a ++=+{}n a n a =115n a a +=⎧⎪⎨=⎪⎩n a ={}n a 112a =1(1)2n n n nn a a n a ++=+{}n a {}n a {}n b 12a =11b =11233233n n n n n n a b a a b b ++++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩*)n N ∈{}n a {}n a 2112(2)n n n a a a n --=+ (1)112n n n b a a +=++{}n b n n S ={}n a 111,256n a a +==2log 2n n b a =-12n b b b ⋯g gg {}n a 1a a =*121()n n a a n N +=+∈{}n a n a 2a ={1}n a +n a {}n a 11a =23a =212n n n a a a ++=+n a {}n a 13a =26a =2144n n n a a a ++=-（2），，．14．在数列中，，，当，，求通项公式．15．（2021•广东）设，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．16．（2021春•襄阳期末）在数列中，已知，．（1）求，，的值；（2）若，证明：数列是等差数列；（3）设数列的前项和为，比较与的大小．17．（2021•道里区校级模拟）已知数列满足，，数列满足．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：（2）数列的前项和为，设，求数列的前80项和．18．（2021秋•东莞市校级月考）已知数列中，已知，，（1）求证数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．19．（2021秋•七星区校级月考）在数列中，已知；．（Ⅰ）求，及；（Ⅱ）求证：．20．（2021•沙坪坝区校级二模）在数列中，已知．（1）求，的值；（2）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；13a =26a =2123n n n a a a ++=+{}n a 11a =-22a =n N ∈2156n n n a a a ++=-n a 0b >{}n a 1a b =11(2)1n n n nba a n a n --=+-…{}n a n 121n n a b ++…{}n a 12a =11332(*)n n n a a n N ++=++∈2a 3a 13n n na b +={}n b {}n a n n S n S 2334n n ++-{}n a 13a =1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈{}n b 3nn n a b ={}n b ()n b {}n b n n S (1)n n n c S =-g ()n c 80T {}n a 11a =112nn na a a +=+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a {}n a 112122,5n n n a a a a ++=-=-+1,*3n n b n N a =∈+1b 2b n b 112nk kb =<∑{}n a *1122,()1nn n a a a n N a +==∈+2a 3a 11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n a（3）求证：．21．（2021春•浦东新区校级期末）已知数列中，，．（1）求证：是等差数列，并求数列的通项公式．（2）设，且恒成立，求整数的最小值．22．（2021春•洛阳期末）已知数列首项，且满足，令．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列中的最小项．23．（2021春•九龙坡区校级期中）已知在数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．24．已知数列满足：，且．证明：为一个等比数列，求数列的通项公式．25．（2021•全国模拟）已知各项都为正数的数列满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，，求的通项公式．26．（2021•全国）在数列中，，，，2，3，，（Ⅰ）求，，．（Ⅱ）求数列的通项公式．27．（2021•香坊区校级二模）已知数列中，，．（1）求证：是等差数列；（2）若，且数列，数列的前项和为，求的取值范围．28．（2021春•碑林区校级期中）已知数列中，，1122(1)(1)(1)3n n a a a a a a -+-+⋯+-<{}n a 112a =*11,2n na n N a +=∈-11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭{}n a 123n n T lna lna lna lna =+++⋯+n T M <M {}n b 13b =*12121()23n n n b b n n N n +-=+-∈-23nn b c n =-{}n c {}n b {}n a 112a =111122n n n n a a +++=+{}n a n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S {}n a 132a =*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-…{1}nna -{}n a {}n a 2123n n n a a a ++=+1{}n n a a ++112a =232a ={}n a {}n a 11a =112(1)2n n a a n n +=+++1n =⋯2a 3a 4a {}n a {}n a 11a =*1(1)()2nn nn a a n N n a ++=∈+n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n n n c a a +=43n n b n=g {}n n b c n n T n T {}n a 15a =1221(2)n n n a a n -=+-…（1）求、的值；（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）求通项公式．29．（2015春•禅城区校级月考）定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点，在函数的图象上．其中为正整数．（1）求，，，并求证：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设．求数列的通项公式及关于的表达式；（3）记，的前项和为．求证：对恒成立．30．（2021•虹口区一模）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”．已知：数列中，，．①求证：数列是“平方递推数列”；②求证：数列是等比数列；③求数列的通项公式．（2）已知：数列中，，，求：数列的通项．31．已知数列是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式．32．（2021秋•凌源市期末）已知首项为1的正项数列，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．2a 3a λ{}2n na λ+λn a {}n A 21n n A A +={}n A {}n a 12a =(n a 1)n a +2()22f x x x =+n 2a 3a 4a {21}n a +{(21)}n lg a +12(21)(21)(21)n n T a a a =++⋅⋯⋅+{}n a n T n 525log 1(log )n n n T b T +={}n b n n S 3n S <*n N ∈{}n d 21n n d d +={}n d {}n a 12a =2122n nn a a a +=+{21}n a +{(21)}n lg a +{}n a {}n b 11b =232133(0)n nn n b p b pb b p +=++>{}n b {}n a 221113230n n n n n n a a a a a a ++++-+-=n a {}n a 22*111()()20,n n n n nn a a a a a a n N ++++-+=∈{}n a 1n n n b a a +={}2n b n n S。

数学必修五数列知识点提纲
数学必修五数列知识点提纲如下：
1. 数列的定义：数列是按一定顺序排列的一串数，其中每个数称为该数列的项。

2. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差为固定常数的数列。

公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

3. 等差数列的前n项和：若知道等差数列的首项a1、末项an以及项数n，则前n项和Sn可以计算为：Sn = (a1 + an)n/2。

4. 等差数列的性质：等差数列的性质包括：公差相同、任意两项的和等于中间项与首尾两项之和、等差数列的奇数项和与偶数项和之和等于项数的二分之一乘总和等。

5. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比为固定常数的数列。

公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。

6. 等比数列的前n项和：若知道等比数列的首项a1、末项an以及项数n，且公比r不等于1，则前n项和Sn可以计算为：Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)。

7. 等比数列的性质：等比数列的性质包括：公比相同、任意两项的比等于中间项与首尾两项之比、等比数列的前n项和与后n项和之差等于第n+1项与第2项之差等。

8. 通项公式：数列的通项公式是用来表示数列中第n项的公式。

对于等差数列和等比数列，已经列出了通项公式，可以根据已知条件来确定数列中任意项的值。

9. 等差数列与等比数列的应用：等差数列和等比数列在实际生活中有很多应用，如计算利息、计算成绩排名等。

总结：以上是数学必修五数列的主要知识点提纲，学生可以通过理解这些知识点来提高对数列的理解和运用能力。

第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。

其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。

若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。