微积分8-6

十二个等价无穷小公式在微积分中，无穷小是一种极限概念，表示趋于零的量。

无穷小在解决微分方程和极限计算等问题中起到了重要的作用。

而等价无穷小则是指当两个无穷小在其中一极限下趋于零时，它们之间的比值绝对值趋于1有一些常用的等价无穷小公式可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。

下面将介绍一些常见的等价无穷小公式：1. 当 x 趋于 0 时，sin(x) 的等价无穷小为 x。

这是由于当 x 趋于 0 时，sin(x) 的值趋于 x。

因此，我们可以用x 作为 sin(x) 的等价无穷小。

2. 当 x 趋于 0 时，tan(x) 的等价无穷小为 x。

类似于 sin(x)，当 x 趋于 0 时，tan(x) 的值也趋于 x。

因此，tan(x) 的等价无穷小也可以用 x 表示。

3. 当 x 趋于 0 时，ln(1+x) 的等价无穷小为 x。

由于 ln(1+x) 对于 x 趋于 0 时，等于 x 的近似，因此我们可以使用 x 作为 ln(1+x) 的等价无穷小。

4.当x趋于0时，e^x-1的等价无穷小为x。

这是因为当x趋于0时，e^x的值接近于1+x，所以e^x-1接近于x。

5. 当 x 趋于 0 时，1-cos(x) 的等价无穷小为 x^2/2这是因为当 x 趋于 0 时，cos(x) 的值接近于 1-x^2/2，所以 1-cos(x) 接近于 x^2/26. 当 x 趋于 0 时，arcsin(x) 的等价无穷小为 x。

类似于 sin(x)，当 x 趋于 0 时，arcsin(x) 的值也趋近于 x。

因此，arcsin(x) 的等价无穷小应该是 x。

7. 当 x 趋于 0 时，arctan(x) 的等价无穷小为 x。

类似于 tan(x)，当 x 趋于 0 时，arctan(x) 的值也趋近于 x。

因此，arctan(x) 的等价无穷小应该是 x。

8.当x趋于0时，1-e^(-x)的等价无穷小为x。

这是因为当x趋于0时，e^(-x)的值接近于1-x，所以1-e^(-x)接近于x。

怎样求曲线x和直线x=0、x=10、x轴围成的面积？1 近似、暴力的方法：先分割、后求和就是把不规则的图形分割为n个小的规则(梯形或矩形）的图形，计算n个小的规则的图形的面积，累加起来去近似整体的面积。

如果是这样的一块田地，测量人员要去测量的话，他们会怎样做呢？一般会通过一个三角形去近似。

会量一个底为10，高为70左右的一个三角形，面积大概是350左右。

如果将区间[0,10]分成10个小区间，每个小区间的长度dx为1，在每个小区间[ti,tj]取点ξi （等于ti+0.5），每个dy=(ti+0.5)，则将整个面积划分为10个长方形：小区间求和的Σ的形式就是：=0.5+1.5+2.5+3.5+4.5+5.5+6.5+7.5+8.5+9.5=332.52 极限或无穷的方法引用极限或无穷的概念，如果上述的dx→0（n→∞），ξi取每个小区间的右端点：有当n→∞，上述＝1000/33 定积分的方法也可以用定积分的形式表示：dx表示自变量在区间[0,10]的微分，x dx表示整个面积的微分，符号∫是英文“sum'首字母“s”的拉长，表示面积微分的累加。

下面我们就一般情形来讨论定积分的近似计算问题。

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下式定积分存在。

我们将区间[a,b]分成n个长度相等的小区间每个小区间的长度均为dx=(b-a)/n，每个小区间任取ξi，则有（上限无穷分割或定积分的方法不一定能求出极限值。

）4 由定积分变上限积分的面积函数上面的定积分所计算出的都是一个特定的值（注意“定”这个字），不是一般的函数关系表达式。

我们需要研究一般规律的函数关系表达式（不包含符号∫，这样就可以不是每次都用极限的方法而用代入的方法可以直接求出）。

能不能找到一个关于x的面积函数，也就是曲线x和直线x取任意值、x轴围成的面积函数，给出x的值，即可求出面积。

这样的面积函数的积分表达式可以表示为：面积函数F(x)如何用没有∫符号的表达式表示？可以考虑的思路是，F(x)肯定与曲线函数x有相关关系。

微积分第八章课后习题答案习题8-11.1一阶；2二阶；3一阶；4三阶；5三阶；6一阶；7二阶；8一阶;2.1、2、3、4、5都是微分方程的通解;3.122y x =+.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得：21()(1)2u x x dx x x C =+=++⎰.习题8-21.1原式化为：ln dyx y y dx =分离变量得：11ln dy dx y y x = 两边积分得：11ln dy dx y y x=⎰⎰ 计算得：()11ln ln d y dx y x=⎰⎰ 即：()1ln ln ln y x C =+ 整理：1ln y C x =所以：原微分方程的通解为：Cx y e =； 2原式化为：()()2211y x dy x y dx -=-- 分离变量得：()()2211y xdy dx y x -=-- 两边积分得：()()2211y xdy dx y x -=--⎰⎰ 计算得：()()()()22221111112211d y d x y x -=----⎰⎰ 即：()()221ln 1ln 1y x C -=--+ 整理：22(1)(1)y x C --=所以：原微分方程的通解为：22(1)(1)y x C --=；3xydx =-分离变量得：1dy y =两边积分得：1dy y =⎰计算得：()21ln 12y x =-即：1ln y C =整理：y =所以：原微分方程的通解为：y =41y e Cx -=-；5sin 1y C x =-； 61010x y C -+=；722ln 22arctan y y x x C -=-+； 8当sin02y ≠时,通解为ln |tan |2sin42y y C =-；当sin 02y=时,特解为2(0,1,2,)y k k π==±±；9222ln x y x C +-=； 1022ln ln x y C +=;2.1tan 2x y e=；2(1)sec x e y +=；32(1)22y x e y +-=；41ln |1|1a x a y=--+；524x y =；6323223235y y x x +--=；7sin y x =；8cos 0x y -=;3.12y Cx =；21Cx y xe +=；3sin ln ||yx C x=+；4ln |ln |y x C x =--；5arctany xxy Ce-=；6ln1yCx x=+；722(2ln ||)y x x C =+；8332x y Cx -=;4.1ln(1ln )y x x =--；222(ln 2)y x x =+；322tan(ln )4y x x π=+；4222ln y x x =；5y x =；6222(ln 2)y x x =+; 5.31()2x xϕ=-; 习题8-31.12x x y Ce e =-；2()n x y x e C =+；3sin ()x y e x C -=+；42(1)()y x x C =++；52sin ()y x x C =+；6()xy e x C -=+；722y x Cx =-+；82212x x y Ce e--=-；932433(1)x Cy x +=+；101(1)y C x =++;2.132(4)3xy e -=-；2x e y x =；31cos x y x π--=；4cos x y x=；5(1)x y e x =+；62ln 2y x x =-+；7sin 2sin 1x y e x -=+-；82sin 11x y x -=-; 3.155352y Cx x -=+；24414x y x Ce --=-++；32133ln |1|(ln |3|)2x C C C y++==；433(2ln 1)4C y x x x -=--或323(2ln 1)4xy x x C -+-=；51233317y Cx x -=-或123337y Cx x -=-；64414x y Ce x --=-+;习题8-41.112(2)x y x e C x C =-++；212ln |cos()|y x C C =-++；321212x y C e x x C =--+；41221(0)C x y C e C =+≠；541211cos3129y x x C x C =-++；64321211432C y x x x C =+-+；712()x y C x e C -=-+；812C x y C e =;2.1y =21ln(1)y ax a =-+；3lnsec y x =；441(1)2y x =+；5ln()ln 2x x y e e -=+-；61122x x y e e -=-；731cos 16y x x x =-++；821122y x =-;习题8-51.12312xxy C eC e--=+；23412()xy C C x e=+；312cos sin y C x C x=+；4412(cos3sin 3)xy e C x C x -=+；55212()x y C C x e =+；6212(cos sin )x y e C x C x =+；72512x xy C e C e -=+；8212()xy C C x e =+；9212(cos3sin 3)x y e C x C x =+；1012y C C =+;2.12(2)x y x e -=+；223sin 5x y e x -=；3342x x y e e =+；4sin x y e x =；51cos33x y e x =-；61cos sin y x x πππ=+;3.'''20y y y -+=;4. '''320y y y -+=;5.1*01y b x b =+；2*201y b x b x =+；3*0x y b e =；4*2012()x y b x b x b e =++；5*01cos 2sin 2y b x b x =+；6*01(cos sin )y x b x b x =+;6.132121123x y C C e x x -=++-；2121(cos sin )2x y C C e x x =++-；32212117()224x y e C x C x x x -=++--； 4122cos sin 1xe y C ax C ax a =+++；5312113cos sin ()1050x y C x C x x e =++-； 631234()(cos sin )2525x x y e C C x e x x =++-;72121(cos sin )(1)2x y e C x C x x =+++；83212xy C e C x =++；921232x x x y C e C e e -=++；1022212()224x x y C C x e x x e =++++;7.1275522x x y e e =-++；2(1)x x x y e e x x e -=-+-；3211(cos sin )sin 22x y e x x e x π=-+；4311(37cos 429sin 4)(5sin 14cos )102102x y x x e x x =-++； 511cos sin sin 233y x x x =--+；64115516164x y e x =+-;习题8-61.1三阶；2六阶;2.略;3.12t t y C =；2(1)t t y C =-；321122t y C t t =+-；42111()623t y C t t t =+-+；51(1)23t t t y C =-+；61222t t t y C t =+;4.123t y t =+；213()2t t y =-；3111()442t t y =+-；411(2)224t t t y =-+; 5.11234t t t y C C =+；21211(()22t tt y C C =+；312()3t t y C C t =+； 4122(cos sin )22t t y C t C t ππ=+；512(1)4t t t y C C =-+； 6122(cos sin )33t t y C t C t ππ=+;6.11[1(3)]2t t y =-+-；2sin3t t y t π=；32cos4t t y t π=⋅;习题8-7 略 总复习题八1.1三；2'''560y y y -+=；32129t t t y y y +++-=;2.1C ；2B ；3D ；4A ；5D;3.略;4.1221(1)y C x +=-；2(1)(1)xye e C +-=；3ln[(2)]02xC y x y x++=+；42xy ye x C +=；5ln Cy ax x=+；622124ln 39C x x x y x =--或23222(ln )33x C x x y =-+；332x xy C =++；8222arctanyx y C x+-=；92y Cx =；1022xy y C -=;5.11x e y +=或(1)sec x e y +=；2220x y x y +--=；32225x y +=；42(12ln )0x y y +-=；5cos 15sin x e y x -=或cos sin 51xy x e +=；62(1)x x x x e e e y e x x-==-; 6.()(1)x y x e x =+;7.1(ln ln )y x x e -=+;8.132212[)23x C C C =±-；22x C =±+；35322121373525x y C C ex x x -=++-+；421213(1)2x x xy C e C e x x e ---=++-；5121(cos 2sin 2)cos 24x x y e C x C x xe x=+-；61211cos 2210x x y C e C e x-=+-+；72(cos3sin 3)xy eA xB x -=+；8212x x x y C e C e e -=++;9.14x x y e e -=-；22sin 3x y e x =；32(73)x y x e -=-；42arctan x y e =;10.(cos sin )()2xx x e x ϕ++=;11.121t y t ∆=+；221t y t ∆=+；312cos ()sin 22t ay a t ∆=+⋅；434t y t ∆=; 12.1(2)ty C =-；221(3)()2255t t y C t =-+-+；312(3)t y C C =-+；412213(2)()32515t t t y C C t t =+-+-+⋅; 13.112(1)3t t t y A =⋅+⋅-,152(1)33t t t y =⋅+⋅-；2174()()22t t t y A B =+⋅+⋅-,31174()()2222t t t y =+⋅+⋅-;。

微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8—1 多元函数的基本概念1。

填空题:(1）若yx xy y x y x f tan ),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x-== （3）若)0()(22 y yy x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x yy x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________（7）函数xy z arcsin =的定义域是________________ (8）函数xy x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2。

求下列极限：(1）xy xy y x 42lim0+-→→班级： 姓名： 学号：(2) x xy y x sin lim0→→（3) 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→微积分练习册[第八章］ 多元函数微分学3.证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x4。

证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在班级： 姓名: 学号：5。

函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0)处是否连续？为什么？微积分练习册[第八章] 多元函数微分学习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂yz x z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y z x z ； （3)设zy x u =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ；（4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z yz x z (5）设z yx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x 2。

基本微积分应用题微积分是数学的一个重要分支，是研究函数的变化趋势、变化速率以及求取曲线下面积的工具。

在实际生活中，微积分的应用十分广泛，涉及到各个领域。

本文将通过一些基本微积分应用题的解析，来展示微积分在实际问题中的应用。

1. 球体体积问题假设有一个半径为R的球体，求其体积。

球体的体积可以通过微积分来求解。

球的体积公式为V=4/3πR³，其中π为圆周率。

将此公式视为一个函数V(R)，可以对其进行微积分求解。

首先对R进行微分，得到dV/dR=4πR²，然后对该导数进行积分，得到V(R)=4/3πR³+C，其中C为常数。

根据球的半径为R的条件，可以求得常数C的值为0，最终得到球体的体积公式为V=4/3πR³。

2. 线段长度问题现有一条曲线上的线段，其曲线方程为y=f(x)，需要求该线段的长度。

线段的长度可以通过微积分中的弧长公式进行求解。

假设要计算曲线上从a点到b点的线段长度，可以利用微积分求解。

首先对该曲线方程进行微分，得到dy/dx=f'(x)，然后根据弧长公式∫√(1+(dy/dx)²)dx来进行积分，积分范围为a到b，即可求得线段的长度。

3. 曲线下面积问题给定曲线y=f(x)和x轴，需要求曲线在某一区间上的面积。

曲线下面积可以通过微积分中的定积分来计算。

将曲线与x轴围成的区域分割为若干个小矩形，每个小矩形的面积是高度乘以宽度，宽度可以看做无限小的dx，高度则是曲线上对应点的函数值f(x)。

将这些小矩形的面积相加，并在区间上进行累加，即可得到曲线在该区间上的面积。

通过以上基本微积分应用题的解析，我们可以看到微积分在实际问题中的广泛应用。

无论是求体积、计算长度还是求面积，微积分都能提供有效的解决方法，并为我们理解变化的规律提供了重要工具。

因此，掌握微积分知识对于解决实际问题具有重要意义。

愿本文的内容能帮助读者更好地理解微积分的应用及其重要性。

第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin+=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。