矢量运算及微积分初步

chap0 矢量代数0.1矢量与标量一．标量定义：只有大小，没有方向的量。

表示：数字（可带正负号）。

加法：代数和。

二．矢量定义：既有大小，又有方向的量。

表示：0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量沿A A v:0 2）有向线段 矢量的方向方向矢量的模）矢量的大小长度:(:加法：平行四边形法则或三角形法则。

0.2矢量的合成与分解一．矢量的合成Av Av v C v B v Bv Cv Av Bv Cv Dv Ev 说明：)(B A B A vv v v −+=−BA C v v v +=BA C v v +=DC B A E v v v v v +++=A v Bv Cv Bv −Av Cv Bv二．矢量的分解把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。

1．矢量的分解Ø一般一个矢量有无穷多种分解法Av Cv B v A v xA v yA v CB A v v v +→yx A A A v v v +→2．矢量的正交分解z三．矢量和（差）的正交分量表示k A j A i A A z y x v vv v ++=v vv v k B j B i B B z y x ++=k B A j B A i B A B A z z y y x x v vv v v )()()(±+±+±=±0.3矢量的乘积定义：一.矢量乘以标量Am B v v=二.矢量的标积定义：性质：1）A B B A v v v v ⋅=⋅v θψcos AB B A =⋅=vv )],([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：zz y y x x B A B A B A B A ++=⋅vv 1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v三.矢量的矢积定义：==×=大小：)],([sin B A AB S BA S vv v v v θθ性质：⊥⊥满足右螺旋定则方向：,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(3）B A B A v v v v //0↔=×4）0=×A A v v矢量的标积的正交分量表示：0.4矢量函数的导数与积分一.矢量函数矢量A v与变量t 之间存在一定的关系，如果当变量t 取定某个值后，矢量A v有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则A v称为t 的矢量函数，即：)(t A A v v =二.矢量函数的导数定义tt A t t A t Adt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v vv −+==→→zv xy)(t A A v v =)('t t A A ∆+=v)()(t A t t A A v v v −+=∆∆O1）dtBd dt A d B A dt d vv v v ±=±)(2）dtAd m A dt dm A m dt d vv v +=)(B d A d d v v v v v v 性质三.矢量函数的积分定义v v v v B d v v，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt=则B v称为A v 的积分，记为：∫=dt A B v v性质1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(2）dt A m dt A m ∫∫=vv )( 常量）=m (3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅vv v v )(常量）=C r (r 矢量函数积分的正交分量表示k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×vv v v )(常量）=C (例题0-1 两矢量：k j i a v v v v−+=34，k j i b v v v v 543+−=，通过矢量运算求：求：（1）以a v 、b v为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；例0-2 两矢量函数：j i t a v v v2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。

矢量微分运算公式汇总1.矢量的求导：设矢量f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))，则它的导数为：df/dt = (df1/dt, df2/dt, df3/dt)2.矢量的积分：设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，则矢量场F(x,y,z)沿曲线C的积分为：∫F·dr = ∫(F·r'(t)) dt，其中r'(t)为r(t)的导数。

3.散度：设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则它的散度为：div F = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z4.散度的运算公式：（1）若U和V是标量场，F和G是矢量场，则有：∇·(UF+VG)=U∇·F+V∇·G∇·(F×G)=G·(∇×F)-F·(∇×G)（2）若F是矢量场，Φ是标量场，则有：∇·(ΦF)=(∇Φ)·F+Φ∇·F5.旋度：设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则它的旋度为：rot F = ∇×F = ( ∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y ) 6.旋度的运算公式：（1）若U和V是标量场，F和G是矢量场，则有：∇×(UF+VG)=U∇×F+V∇×G（2）若F是矢量场，Φ是标量场，则有：∇×(ΦF)=(∇Φ)×F+Φ∇×F7.保守场：若矢量场F是一个保守场，则存在标量场Φ，使得F=∇Φ。

在保守场下，散度和旋度之间满足如下关系：∇·(∇×F)=08.梯度：设标量场Φ(x,y,z)grad Φ = ∇Φ = (∂Φ/∂x, ∂Φ/∂y, ∂Φ/∂z)9.梯度的运算公式：若U和V是标量场，F是矢量场，则有：∇·(U∇V)=∇U·∇V+UΔV∇×(U∇V)=U∇×∇V=0∇·(F×G)=G·∇×F-F·∇×G∇×(F×G)=(∇·G)F-(∇·F)G+(G·∇)F-(F·∇)G以上是一些常见的矢量微分运算公式汇总，这些公式在向量分析的求解中起到了重要的作用。

所有矢量计算公式解析矢量计算公式解析。

矢量是物理学和工程学中经常出现的概念，它们可以用来描述物体的运动、力和速度等。

在矢量计算中，有一些常见的公式和运算规则，下面我们来逐个解析这些公式。

1. 矢量的加法和减法。

矢量的加法和减法是矢量计算中最基本的运算之一。

假设有两个矢量A和B，它们的加法和减法运算分别如下：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)。

A B = (Ax Bx, Ay By)。

其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量，Bx和By表示矢量B 在x和y方向上的分量。

通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的和或差。

2. 矢量的数量积。

矢量的数量积又称为点积，它是矢量计算中另一个重要的运算。

假设有两个矢量A和B，它们的数量积运算如下：A·B = |A| |B| cosθ。

其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角。

通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的数量积，从而得到它们之间的关系。

3. 矢量的叉积。

矢量的叉积又称为向量积，它是矢量计算中另一个重要的运算。

假设有两个矢量A和B，它们的叉积运算如下：A×B = |A| |B| sinθ n。

其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角，n表示一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。

通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的叉积，从而得到它们之间的关系。

4. 矢量的分解。

在实际问题中，我们经常需要将一个矢量分解成两个分量矢量，以便进行更方便的计算。

假设有一个矢量A，它可以被分解成在x和y方向上的两个分量矢量Ax和Ay，分解公式如下：A = Ax + Ay。

其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量。

通过这个公式，我们可以将一个矢量分解成两个分量矢量，从而方便进行计算。

5. 矢量的单位化。

在矢量计算中，有时我们需要将一个矢量转化为单位矢量，以便进行更方便的计算。

矢量的概念与运算法则矢量是物理学中一个重要的概念，它不仅在力学、电磁学等领域中有着广泛的应用，而且在计算机图形学、数据分析等领域中也扮演着重要的角色。

本文将介绍矢量的概念以及常见的运算法则。

一、矢量的概念矢量是一个有大小和方向的量，用箭头表示。

在二维空间中，矢量可以表示为一个有序的数对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。

在三维空间中，矢量可以表示为一个有序的数组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x 轴、y轴和z轴上的分量。

矢量的大小可以用长度来表示，即矢量的模。

在二维空间中，矢量的模可以通过勾股定理计算：|v| = √(x^2 + y^2)。

在三维空间中，矢量的模可以通过类似的方法计算：|v| = √(x^2 + y^2 + z^2)。

矢量的方向可以用角度来表示。

在二维空间中，矢量的方向可以通过与x轴的夹角来确定。

在三维空间中，矢量的方向可以通过与x、y和z轴的夹角来确定。

二、矢量的运算法则1. 矢量的加法矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。

在二维空间中，矢量的加法可以通过将两个矢量的分量相加来进行：v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2)。

在三维空间中，矢量的加法可以通过类似的方法进行：v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。

2. 矢量的减法矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。

在二维空间中，矢量的减法可以通过将两个矢量的分量相减来进行：v1 - v2 = (x1 - x2, y1 - y2)。

在三维空间中，矢量的减法可以通过类似的方法进行：v1 - v2 = (x1 - x2, y1 - y2, z1 -z2)。

3. 矢量的数量积矢量的数量积又称为点积，表示为v1 · v2。

在二维空间中，矢量的数量积可以通过将两个矢量的对应分量相乘再相加来计算：v1 · v2 = x1 * x2 + y1 * y2。

矢量微分规则记忆
记忆矢量微分规则可以帮助你在矢量微积分中进行计算和推导。

以下是一些常用的矢量微分规则：
1.线性性质：微分运算是线性的，即对于任意矢量场U 和V，
以及标量函数 f，有如下规则：
o d/dt (U + V) = dU/dt + dV/dt
o d/dt (fU) = df/dt U + f dU/dt
2.乘积法则：对于标量函数 f 和矢量场 U，有乘积法则：
o d/dt (fU) = (df/dt) U + f (dU/dt)
3.合成函数法则：对于复合函数，有链式法则（链式规则）：
o如果矢量场U 是标量函数g 的函数，而g 又是标量函数 f 的函数，则有 dU/dt = (dg/dt) (df/dg)
4.标量对矢量的偏导数：对于标量函数 f 关于矢量场 U 的偏
导数，可以分别对 U 的每个分量求偏导数：
o(∂f/∂U) = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j + (∂f/∂z) k
这些规则是矢量微分中常用的规则，可以帮助你进行向量值函数的微分运算。

记忆这些规则并理解其应用场景，可以在解决问题时更加高效和准确。

需要注意的是，矢量微分规则可能会因上下文和具体问题而有所变化和扩展。

因此，在应用时根据具体问题需求灵活运用。

0前言大学物理与中学物理相比,最显著的区别就应用矢量、导数和微积分来分析和求解生活实践中更一般的实际问题,微积分思想和方法的运用,使大学物理相比于中学物理有质的飞跃。

相对于高等数学只注重代数形式的导数和微积分性质和计算,大学物理中几乎全是矢量的导数和微积分模型的建立和求解[1],如果没有掌握矢量的导数和微积分的处理方法,对于解物理问题,往往会觉得无从下手。

本文就大学物理中矢量的导数和微积分的求解问题提出自己的一点见解,以期对初学者有所帮助。

1矢量和微积分思想矢量是既有大小又有方向的量。

大学物理中很多物理量都是用矢量的乘法来表示,这就涉及矢量的点积与叉积,如功W =F →·r →=Fr cosθ结果为标量,力矩M →=r →×F →结果为矢量,其中θ为两矢量之间的夹角。

与中学物理研究的大都是“常量”、“标量”,用代数和平面几何去解决生活实践中某个特殊类型的问题不同,大学物理中的研究的大都是“变量”、矢量”,用矢量和微积分来解决生活实践中更一般的实际问题。

对于一般物理实际问题,常常需要应用微积分来解决,其基本思想是先“微”后“积”。

由于物理量对时间或者空间分布不均,因而需要把研究物理量在时间或者空间范围内进行无限次分割,分割后的物理量在这些足够小的时空区域(即微元区域)就变成了均匀分布,这时恰当的选取微元,写出元过程或者元贡献的表达式,然后把所有有限小的过程累加求和[2],再应用定积分,确定积分上、下限,然后求得计算结果。

大学物理中的矢量求解,不管是微分还是积分,首先要将矢量标量化运算,也就是说先要把矢量向某一方向或者坐标系进行投影,然后再进行微积分运算。

大体可以归纳为两类,一类是矢量的微分或求导问题,一类是矢量的积分问题。

2矢量的求导问题这类问题在大学物理中比较简单,一般就是先把矢量在坐标系进行投影,然后再在各个分量方向上求导。

例如由位矢r →(t )求速度v →(t )和加速度a →(t ),则先对r →(t )“矢量标量化运算”,即把r →(t )向直接坐标系进行x ,y ,z 方向进行投影,即有r →(t )=x (t )i ^+y (t )j ^+z (t )k ^,然后在个方向上进行求导,如v →(t )=dr →dt =dx dt i ^+dy dt j ^+dz dt k^,同样的,求加速度也是先投影后求导,a →(t )=dv →dt =dvx dt i ^+dv y dt j ^+dv z dt k ^=d 2x dt 2i ^+d 2y dt 2j ^+d 2z dt2k ^。

chap0 矢量代数0.1矢量与标量一．标量定义：只有大小，没有方向的量。

表示：数字（可带正负号）。

加法：代数和。

二．矢量定义：既有大小，又有方向的量。

表示：0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量沿A A v:0 2）有向线段 矢量的方向方向矢量的模）矢量的大小长度:(:加法：平行四边形法则或三角形法则。

0.2矢量的合成与分解一．矢量的合成Av Av v C v B v Bv Cv Av Bv Cv Dv Ev 说明：)(B A B A vv v v −+=−BA C v v v +=BA C v v +=DC B A E v v v v v +++=A v Bv Cv Bv −Av Cv Bv二．矢量的分解把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。

1．矢量的分解Ø一般一个矢量有无穷多种分解法Av Cv B v A v xA v yA v CB A v v v +→yx A A A v v v +→2．矢量的正交分解z三．矢量和（差）的正交分量表示k A j A i A A z y x v vv v ++=v vv v k B j B i B B z y x ++=k B A j B A i B A B A z z y y x x v vv v v )()()(±+±+±=±0.3矢量的乘积定义：一.矢量乘以标量Am B v v=二.矢量的标积定义：性质：1）A B B A v v v v ⋅=⋅v θψcos AB B A =⋅=vv )],([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：zz y y x x B A B A B A B A ++=⋅vv 1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v三.矢量的矢积定义：==×=大小：)],([sin B A AB S BA S vv v v v θθ性质：⊥⊥满足右螺旋定则方向：,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(3）B A B A v v v v //0↔=×4）0=×A A v v矢量的标积的正交分量表示：0.4矢量函数的导数与积分一.矢量函数矢量A v与变量t 之间存在一定的关系，如果当变量t 取定某个值后，矢量A v有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则A v称为t 的矢量函数，即：)(t A A v v =二.矢量函数的导数定义tt A t t A t Adt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v vv −+==→→zv xy)(t A A v v =)('t t A A ∆+=v)()(t A t t A A v v v −+=∆∆O1）dtBd dt A d B A dt d vv v v ±=±)(2）dtAd m A dt dm A m dt d vv v +=)(B d A d d v v v v v v 性质三.矢量函数的积分定义v v v v B d v v，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt=则B v称为A v 的积分，记为：∫=dt A B v v性质1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(2）dt A m dt A m ∫∫=vv )( 常量）=m (3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅vv v v )(常量）=C r (r 矢量函数积分的正交分量表示k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×vv v v )(常量）=C (例题0-1 两矢量：k j i a v v v v−+=34，k j i b v v v v 543+−=，通过矢量运算求：求：（1）以a v 、b v为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；例0-2 两矢量函数：j i t a v v v2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。

附录A1 矢量微分运算A1.1 广义正交曲线坐标系（u ，v ，w ）1. 必要充分条件：若x、y、z 为笛卡儿坐标系，则弧长ds 表达式22222dw w x dv v x du u x )dz ()dy ()dx ()ds (⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++=+……中交叉项之和为0时，u, v, w 正交。

此时22w 22v 22u 2dw h dv h du h )ds (++=其中 h u 、h v 、h w 称为广义正交曲线坐标系中各坐标系的拉梅系数：2222uu z u y u x h ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂= (A1-1)v h 、w h 的表达式与上式相当。

2. 单位矢量: 设矢径z ˆz y ˆy xˆx )w .v ,u (++=r ，其中z ˆ,y ˆ,x ˆ为笛卡儿坐标的单位矢量，则可求出广义正交曲线坐标的单位矢量分别为wh 1w ,u h 1v ,u h 1u w v u ∂∂=∂∂=∂∂=rr r (A1-2)3. 长度元、面积元、体积元: 在w ,v ,u 方向上的长度元为w ˆdw h ,v ˆdv h ,uˆdu h w u u (A1-3) 单位法线矢量为w ˆ,v ˆ,uˆ的面积元分别为 dudv h h ,dwdu h h ,dvdw h h v u u w w v (A1-4)而体积元为dudvdw h h h w v u4. 常用坐标系：常用坐标系的w ,v ,u 和u h 、v h 、w h 见下表:A1.2 矢量微分算符1. 梯度、散度、旋度、方向导数和拉普拉斯算符Vd limgrad 0V ∆φ=φ∫∫→∆S (A1-6) Vlimdiv 0V ∆•=∫∫→∆A dS A (A1-7) Vlimrot 0V ∆×=∫∫→∆A dS A (A1-8) φ•≡φgrad )grad (S S (A1-9) S)grad (∂∂•≡AS A S (A1-10) 拉普拉斯算符△作用于标量φ=∆•φ=φ∆∫∫→∆grad div Vgrad limSV ds (A1-11)拉普拉斯算符作用于矢量A -A A rot rot div grad =∆ (A1-12)上列各式中(A1-11)及(A1-12)为二次微分运算,其余为一次微分运算。