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推理与证明Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】第3讲推理与证明【知识要点】1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。
类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3．类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）【典型例题】1、（2011江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A、01B、43C、07D、492、（2011江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）A、3125B、5625C、0625D、81253、（2010临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（）A、空间中平行于同一平面的两个平面平行B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行4、（2007广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）A、（a*b）*a=aB、[a*（b*a）]*（a*b）=aC、b*（b*b）=bD、（a*b）*[b*（a*b）]=b5、（2007广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A、15B、16C、17D、186、（2006陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3， 4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A、4，6，1，7B、7，6，1，4C、6，4，1，7D、1，6，4，77、（2006山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A、0B、6C、12D、188、（2006辽宁）设⊕是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）A、自然数集B、整数集C、有理数集D、无理数集9、（2006广东）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；运算“”为：（a，b）（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）10、（2005湖南）设f0（x）=sinx，f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，则f2005（x）=（）A、sinxB、-sinxC、cosxD、-cosx11、（2004安徽）已知数列{an}满足a0=1，an=a+a1+…+an-1 ，n≥1、，则当n≥1时，an=（）A、2nB、C、2n-1D、2n-112、若数列{an}满足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），则a17=（）A、1B、2C、D、2-98713、如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，有，则运用归纳推理得到第11行第2个数（从左往右数）为（）A、 B、 C、 D、14、根据给出的数塔猜测1 234 567×9+8=（）1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1 1111 234×9+5=11 11112 345×9+6=111 111．15、将n个连续自然数按规律排成右表，根据规律，从2008到2010，箭头方向依次是（）A、 B、 C、 D、16、下列推理过程利用的推理方法分别是（）（1）通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为；（2）函数f（x）=x2-|x|为偶函数；（3）科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼．A、演绎推理，归纳推理，类比推理B、类比推理，演绎推理，类比推理C、归纳推理，合情推理，类比推理D、归纳推理，演绎推理，类比推理17、下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A、①②③B、②③④C、②④⑤D、①③⑤18、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，则第n个三角形数为（）A、nB、C、n2-1D、1、（2011陕西）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．2、（2011陕西）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2 ．。
学而思高中完整讲义：统计.板块一.随机抽样.学生版题型一：数学归纳法基础【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112()2341242n n n n-+-++=+++-++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立【例4】利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 132++k k【例5】用数学归纳法证明),1(11122*+∈≠--=++++N n a aa a a a n n，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）A. 1B.a +1C.21a a ++ D. 421a a a +++【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ ))(12(31*∈+⋅⋅⋅⋅N n n ，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ）典例分析A.2k+1B.)12(2+kC.112++k k D.132++k k【例7】用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121>∈<-+*n N n n n 时，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）A.k 2B.12-kC.12-kD.12+k【例8】设)1()2()1()(-++++=n f f f n n f ，用数学归纳法证明“)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++ ”时，第一步要证的等式是【例9】用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是__ __。
函数的证明与推理课件函数的证明与推理在数学领域中，函数的证明与推理是一项重要的技能。
通过证明和推理，我们可以得到对函数性质的深刻理解，并在解决数学问题时做出精确的推断和推理。
本课件将介绍函数的证明与推理的基本概念和方法，帮助读者提升这一方面的技能。
一、函数的定义与特性在开始论述函数的证明与推理之前，我们先来回顾一下函数的基本定义和特性。
函数是一个自变量和因变量之间的映射关系，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数有着以下几个重要特性：1. 函数的定义域与值域：定义域是指自变量的集合，值域是指函数取值的集合。
在证明和推理中，我们需要确定函数的定义域和值域，确保推导的严谨性。
2. 函数的奇偶性：当函数满足f(-x) = f(x)时，我们称其为偶函数；当函数满足f(-x) = -f(x)时，我们称其为奇函数。
在证明中，奇偶性的性质可用于简化推理过程。
3. 函数的单调性：函数的单调性分为递增和递减两种。
当函数满足f(x1) ≤ f(x2)时，称其为递增函数；当函数满足f(x1) ≥ f(x2)时，称其为递减函数。
单调性在证明中常常用于确定函数的极值点和临界点。
二、函数的证明方法1. 直接证明法：直接证明法是一种常用的证明方法，通过列出已知条件和证明结论，逐步演绎证明的正确性。
在函数的证明中，我们需要清晰地列出假设条件、使用数学定理和性质，并逐步推导出目标结论。
2. 反证法：反证法是一种常用的证明方法，通过假设结论不成立，推导出矛盾的结果，从而证明原始结论的正确性。
在函数的证明中，我们可以运用反证法来证明函数的特定性质，如存在唯一性等。
3. 数学归纳法：数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明满足自然数集上的性质。
在函数的证明中，数学归纳法可以用于证明递推关系、等式等。
三、函数的推理方法1. 等式推理：等式推理是函数推理中最基本的方法，通过运用等式的性质，将一个等式变换为另一个等式，以推导出目标结果。
第3讲推理与证明自主学习导引真题感悟1．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝A．28B．76C．123D．199解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C2．(2012·福建)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道路的最小总费用为________．解析根据题目中图(3)给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图(3)调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)．此时铺设道路的总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16. 答案 16考题分析具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求．归纳推理是高考考查的热点，这类题目具有很好的区分度，考查形式一般为选择题或填空题．网络构建高频考点突破 考点一：合情推理【例1】(1)(2012·武昌模拟)设f k (x )＝sin 2k x ＋cos 2k x (x ∈R )，利用三角变换，估计f k (x )在k ＝1,2,3时的取值情况，对k ∈N ＋时推测f k (x )的取值范围是________(结果用k 表示)．(2)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________．”[审题导引] (1)由f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )的取值范围观察规律可得；(2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．[规范解答] (1)当k ＝1，f 1(x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝1. 当k ＝2时，f 2(x )＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 22x . ∵0≤sin 22x ≤1，∴f 2(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.当k ＝3时，f 3(x )＝sin 6x ＋cos 6x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x ) ＝1－3sin 2x cos 2x ＝1－34sin 22x . ∵0≤sin 22x ≤1，∴f 3(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，故可推测12k －1≤f k (x )≤1.(2)三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .故填V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .[答案] (1)12k －1≤f k (x )≤1(2)V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r 【规律总结】归纳推理与类比推理之区别(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论． (2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质． 【变式训练】1．若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有通项为b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N ＋)的数列{b n }也为等差数列，类比上述性质，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0，则有通项为d n ＝________(n ∈N ＋)的数列{d n }也是等比数列．解析 ∵{c n }是等比数列，且c n ＞0， ∴{lg c n }是等差数列，令d n ＝nc 1·c 2·…·c n ， 则lgd n ＝lg c 1＋lg c 2＋…＋lg c n n ，由题意知{lg d n }为等差数列， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n 为等比数列． 答案nc 1·c 2·…·c n2．平面内有n 条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．解析 n ＝2时，交点个数：f (2)＝1. n ＝3时，交点个数：f (3)＝3. n ＝4时，交点个数：f (4)＝6. n ＝5时，交点个数：f (5)＝10. 猜想归纳：f (n )＝12n (n －1)(n ≥2)． 考点二：演绎推理【例2】求证：a ，b ，c 为正实数的充要条件是a ＋b ＋c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＞0和abc ＞0.[审题导引] 由a 、b 、c 为正实数，显然易得a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，即“必要性”的证明用直接法易于完成．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a 、b 、c 是正实数，有些难度、需用反证法．[规范解答] (1)证必要性(直接证法)：因为a 、b 、c 为正实数，所以a ＋b ＋c ＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0.所以必要性成立．(2)证充分性(反证法)：假设a、b、c不全为正实数(原结论是a、b、c都是正实数)，由于abc＞0，则它们只能是二负一正．不妨设a＜0，b＜0，c＞0，又由于ab＋bc＋ac＞0⇒a(b＋c)＋bc＞0，因为bc＜0，所以a(b＋c)＞0.①又a＜0，所以b＋c＜0.②而a＋b＋c＞0，所以a＋(b＋c)＞0.所以a＞0，与a＜0的假设矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数．【规律总结】1．演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果．2．适用反证法证明的六种题型反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等．【变式训练】3．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，x n，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析 因为凸函数满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，(大前提)f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，(小前提) 所以f (A )＋f (B )＋f (C )≤3f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3，(结论) 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332. 因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332. 考点三：数学归纳法【例3】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0,1－S n ＝a n b n (n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2的值和数列{a n }的通项公式；(2)若正项数列{c n }满足：c n ≤a 1＋(b n －1)a(n ∈N ＋，0＜a ＜1)，求证：∑n k ＝1 c k k ＋1＜1.[审题导引] (1)由于S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0中含有S 2n ，通过升降角标的方法无法把S n 转化为a n ，这样就需要把a n 转化为S n －S n －1(n ≥2)，通过探求S n ，然后根据求得的S n 求{a n }的通项公式；(2)根据(1)求得的结果，根据c kk ＋1的结构确定放缩的方法求证． [规范解答] (1)S 21－(a 1＋2)S 1＋1＝0⇒a 1＝12， S 22－(a 2＋2)S 2＋1＝0⇒a 2＝16. S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0，①当n≥2时，a n＝S n－S n－1，代入①式，得S n S n－1－2S n＋1＝0，②又由S1＝12，S2＝a1＋a2＝23，S3＝12－S2＝34.猜想S n＝nn＋1.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，显然成立；②假设当n＝k时，S k＝kk＋1，则n＝k＋1时，S k＋1S k－2S k＋1＋1＝0，S k＋1＝12－kk＋1＝k＋1k＋1＋1成立．综合①②，可知猜想成立．所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝1n(n＋1)，当n＝1时也满足，故a n＝1n(n＋1)(n∈N＋)．(2)证明由(1)，得b n＝n，c n≤a1＋(n－1)a＝11a＋n－1＜1n，则∑nk＝1c kk＋1＜∑nk＝11k(k＋1)＝1－1n＋1＜1.【规律总结】使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点n，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k 到k ＋1时命题变化的情况．【变式训练】4．(2012·青岛二模)已知集合A ＝{x | x ＝－2n －1，n ∈N ＋}，B ＝{x | x ＝－6n ＋3，n ∈N ＋}，设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若{a n }的任一项a n ∈A ∩B 且首项a 1是A ∩B 中的最大数，－750＜S 10＜－300.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1392n a n +-⎛ ⎝⎭令T n ＝24(b 2＋b 4＋b 6＋…b 2n )，试比较T n与48n2n ＋1的大小． 解析 (1)根据题设可得：集合A 中所有的元素可以组成以－3为首项，－2为公差的递减等差数列；集合B 中所有的元素可以组成以－3为首项，－6为公差的递减等差数列．由此可得，对任意的n ∈N ＋，有A ∩B ＝B ， A ∩B 中的最大数为－3，即a 1＝－3，设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝－3＋(n －1)d ， S 10＝10(a 1＋a 10)2＝45d －30，∵－750＜S 10＜－300， ∴－750＜45d －30＜－300， 即－16＜d ＜－6，由于B 中所有的元素可以组成以－3为首项，－6为公差的递减等差数列， 所以d ＝－6m (m ∈Z ，m ≠0)， 由－16＜－6m ＜－6⇒m ＝2， 所以d ＝－12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝9－12n (n ∈N ＋)．(2)b n ＝139n a n +-⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，T n ＝24(b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n )＝24×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12 ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，T n －48n 2n ＋1＝24－242n －48n2n ＋1＝24(2n－2n －1)2n (2n ＋1)，于是确定T n 与48n 2n ＋1的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小，由2＜2×1＋1,22＜2×2＋1,23＞2×3＋1,24＞2×4＋1，… 可猜想当n ≥3时，2n ＞2n ＋1，证明如下： 证法一 ①当n ＝3时，由上验算可知成立． ②假设n ＝k 时，2k ＞2k ＋1，则2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时猜想也成立． 根据①②可知，对一切n ≥3的正整数， 都有2n ＞2n ＋1，∴当n ＝1,2时，T n ＜48n 2n ＋1，当n ≥3时，T n ＞48n 2n ＋1.证法二 当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C nn ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2＞2n ＋1，∴当n ＝1,2时，T n ＜48n 2n ＋1，当n ≥3时，T n ＞48n2n ＋1.名师押题高考【押题1】 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个整数对是 A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1)解析 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数对，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对，注意到10(10＋1)2＜60＜11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，… 因此第60个整数对是(5,7)．故选B.答案 B[押题依据] 能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推理的基本要求．相比较而言，归纳推理是高考的一个热点．本题体现了归纳对推理的思想，需从所给的数对中总结归纳出其规律，进而推导出第60个整数对．题目不难，体现了高考的热点，故押此题．押题2】已知命题：“若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝b ·n －a ·mn －m.”现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)为等比数列，且b m＝a ，b n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈N ＋)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝________.解析 由题意类比可得b m ＋n ＝n n mb a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案 n n mb a a -⎛⎫⎪⎝⎭[押题依据] 归纳和类比是两种重要的思维形式，是高考的热点，通常以选择题或填空题的形式考查．本题以数列知识为背景，考查类比推理，题目不难，但具有较好的代表性，故押此题．。
推理与证明教案课程 Revised by Chen Zhen in 2021富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
2、数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
3、师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 ： 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，…… 结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。
例3： ,333232,232232,131232++<++<++< 探究：述结论都成立吗强调：归纳推理的结果不一定成立！ “ 一切皆有可能！” 三、课堂练习 四、课堂小结(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） 证明五、作业：教 后 反 思审核人签字：富县高级中学集体备课教案年级：高二 科目：数学 授课人： 授课时间： 序号： 第 节教后反思富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§直接证明--综合法第 1 课时教学目标1、结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一综合法；2、能够运用综合法证明数学问题3、通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯。
富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节学过程证明，得得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
2、数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
3、师生活动例1前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 ：前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n边形的内角和是（n—2）×1800。
例3：,333232,232232,131232++<++<++<探究：述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！“一切皆有可能！”三、课堂练习{}111,(1,2,......),1nn nnaa a a na+===+已知数列的第一项且试归纳出这个数列的通项公式。
四、课堂小结(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）证明五、作业：教后反思审核人签字：(,,)a b m<b b+m由此我们猜想：均为正实数。
a a+m富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节教学过程,043)21(,0)1(,122>++>-≠xxx且从而,0]43)21[()1(222>++-xx∴.)1()1(32242xxxx++>++例3、已知,,+∈Rba求证.abba baba≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
第三讲推理和证明知识梳理：1. 合情推理：(1)归纳推理；(2)类比推理.注意：(1)合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.例如费马猜想就被欧拉推翻 了. (2)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比 ，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.2.演绎推理：三段论是演绎推理的一般模式 ，包括:①大前提：②小前提：③结论. 3.证明分为直接证明与间接证明. 直接证明包括综合法 ?分析法等:间接证明主要是反证法. 类型一归纳推理1【典例1】已知数列｛a n ｝满足a i =1，a n +仁--a n +1,试归纳出这个数列的通项公式.2［错解］经过计算可知：13 _ '〔，(心1).a1+€，心"8,除第一个外，后三个很有规律，于是猜想日^2^工,* 2,®*)容易验证n=5就不成立. 错源：“先天不足，急于武断”［正解］正确的猜想如下：a 1 =! ［_丄〕扈，日2 =!〔一 1 ］ £怎=［丄1 £ 3(2丿 3 3(2丿 3 3(2丿…猜想 a n J]1 r+2(n 壬 N*,3 I 2丿 3【探究1】设f(n)= n 2+n+41,n € N*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)都是质数的值，同时作出归纳 推理，并用n=40验证猜想是否正确. ［解］f(1)=12+1+41=43, f(4)=42+4+41=61, f(7)=72+7+41=97, f(10)=102+10+41=151 . •••归纳猜想：当n € N*时,f(n )=n2+n+41的值都为质数.T (40+1)+41=41 X 41, • f(40)是合数,因此，由上面归纳推理得到的猜想不正确. 类型二类比推理解题准备：1 .类比推理和归纳推理都属于合情推理 ，利用归纳和类比方法进行简单的推理是高考中常见题型，多以填空题的形式出现. 2.由两类不同事物之间具有某些类似 (或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似 (或相同)的性质的推理叫做类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.3. 类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似(或一致)性;(2)用一类事物的性质去 推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).,日4 J 3 3 \f(2)=22+2+41=47, f(5)=52+5+41=71, f(8)=82+8+41=113,f(3)=32+3+41=53, f(6)=62+6+41=83, f(9)=92+9+41=131.•••43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数,n=40 时,f(40)=402+40+41=40 X三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半解析:的画 尊于甚［WW 半径与匡殛更 的乘积的互典比 鑿比 I 三棱惟I 的嗣］等于其冋阿半径与I 三棱惟表面积I 的乘积的I 三分Z —I 故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一. 本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明 ，此处从略. ［反思感悟］类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理 ？公式？结论等, 可以类比到空间立体几何中 ，得到类似结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的 类比列表如下： 平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 空间 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积【探究2】在平面上，设h a ,h b ,h c 是三角形ABC 三条边上的咼,P 为三角形内任一点,P 到 相应三边的距离分别为 P a ,P b ,F C ,我们可以得到结论：空+空+旦=1.把它类比到空间，h a h b h c 写出三棱锥中的类似结论 ［剖析］从平面到空间类比时缺乏对应特点的分析 ，在三角形内一点到各边的距离与该边上的 高的比值之和等于 1,类比到空间就应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上高的比值 之和等于1 •本题如果不考虑比值的特点，就可能误以为类比到空间后是面积之比等 ，从而得 到一些错误的类比结论. ［正解］设h a ,h b ,h c ,h d 分别是三棱锥A -BCD 四个面上的高,P 为三棱锥A -BCD 内任一点， P 到相应四个面的距离分别为P a ,P b ,P c ,P d ,于是我们可以得到结论：空+旦+旦+旦=1. h a h b h c h d常用技法(1)特殊化思想 【例1】凸n 边形有f(n)条对角线，凸 n+1边形有f(n+1)条对角线，则f(n+1)与f(n)的关系为()A . f(n+1)=f(n)+ n — 1B . f(n+1)=f(n) — n+5C . f(n+1)=f(n)+n+1D. f(n+1)=f(n)+2 n-4［解析］从三角形与四边形入手，由于三角形的对角线条数为 0,即f(3)=0,而f(4)=2,那么 f(4)=f(3)+2, 经验证C 不正确，于是先排除C;再看五边形，由于f(5)=5, 时B?D.都不满足.故选 A .(2)数形结合思想 【例2】如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到 (0,1),然后它接着在x 轴、y 轴的平行方向按照图所示来回运动 秒移动一个单位长度，求2007秒时,这个粒子所处的位置. ［解］第一层有(0,1),(1,1),(1,0) 三个整点(除原点),共用 二层有五个整点(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2), 共用 5层有七个整点(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(3,0),得 f(5)=f(4)+3,此 ，且每 V P 3秒；第 秒；第三 共用7秒，…，第n 层共有2n+1个整点，共用2n+1秒；假设第2007秒时粒子运动在第 n+1层.那么前n 层共用秒数［3+(2n +1)］n <2007,由此得n 的最大值为43,且当n=4322时,［3 + (2n+^n ^1935 •于是，第2OO7秒时，粒子在第44层，且在第72个出现，根据规律我2 们知道第 44 层将从点(44,O)开始，那么(44,O),(44,1), …,(44,43),(44,44),(43,44), (42,44),…,(18,44),(17,44), 共72个•因此，第2OO7秒时，这个粒子所处的位置为(17,44). 【探究3】 (1)观察下列数表规律： 则从数2OO9到2O1O的前头方向是(B ) 01—A l - 97 .I s6 A 5(2)把正有理数排序: 12 13 2 1 1，1，2，1，2，3' 1 2' 3' 4^ 3 2 1…，则数1981所在的位置序号是 1989因为分数蕊的分子、分母和为3938，所以归纳推理可知，它是第3937段的第1949个数•故序号为(1 + 2+…+ 3936) + 1949= 7749965.答案：7749965 类型三证明方法 技法 不等式 a；m ：>a (a 、b 、m 忘R 迟a <b)的多种证法及推广和应用 L 口 M a a +m m 匸R 且a c b,贝则-吒丄<1; b b +mf 冃 ，a -m a a +mm p R -且 m <a c b,贝U ------ <- < ----------- ; b-m b b +mL r R , a 2a +m a +m m 匸 R -且a <b,贝U — <一< ——;b 2b +m b +mc 、d W ■且旦 ch 则 ■<£;b d b b +d d命题5:对任意正整数n,若 虫v 至 VC 亚,3、bi 亡R + (i =1,2,…,n),则 一v…<—; b ba b n b 1b +b 2 + …+ b n b n命题6：设有限分数集S =徉,¥ ,…,^4,其中>O(^ N*),则S min W IdW S max ,也 b 2 b n J b k b1+b 2 + …+ b n命题1：若a 、 命题2:设a 、 命题3:设a 、命题4:设a 、b、b 、 b 、 “丄'当且仅当鱼=並=•••=岂时成立. b b 2 b n【例1】已知O c m c b c a,则下列各式正确的是() C b b-m b +mB.cos <cos <cosa a —m a +mb +m b-m b D.cos <cos <cosa +m a -m a)J 2n +1 > ---------. b +m b Acos <cosa +m a一 b -m b C.cos ------ <cosa —m a 【例2】对一切正整数b -m <cos a -m b +m <cos — a +mn,证明：M［答案］A1_ 2n -1 丿课后练习：i .下列推理是归纳推理的是 （B ）A . A ,B 为定点，动点 P 满足|FA|+ PB|= 2a>|AB|，贝U P 点的轨迹为椭圆 B •由a i = 1, a n = 3n — 1，求出S i ,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式2 2C .由圆X 2+ y 2= r 2的面积n 2，猜想出椭圆X 2+右=i 的面积S = Mba b D •科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇1113572.设 n 为正整数，f(n)= 1 +5+3+…+ n ，经计算得 f(2) = 3f(4)>2 ,佝〉？, f(佝>3 , f®)〉？,观察上述结果，可推测出一般结论（C ）5.要证：a 2+ b 2 — 1 — a 2b 2w 0，只要证明（解析：因为 a 2+ b 2— 1 — a 2b 2w 0? (a 2— 1)(b 2— 1)>0,A . f(2 n)〉2^^n n + 2 C .f(2n) >-2- D .以上都不对32 + 2解析：f(2) = 2, f(4) = f(22)>专，f(8) = f(23)>号，f(16) = 口24)>号，f(32)= f(25)>号3.若点P 是正四面体 A — BCD 的面BCD 上一点，且P 到另三个面的距离分别为 h i , h 2, h 3,正四面体A — BCD 的高为h ,则（B .）A . h>h i + h 2+ h 3B . h = h i + h 2+ h 3C . h<h i + h 2+ h 3D . h i , h ?, h 3与 h 的关系不定X n •X 2+ 3) 4.已知 x i >0 , x i M 1 且 X n +i = H (n = 1, 2，…)，试证: X n3X 2 + 1“数列｛X n ｝对任意的正整数 n ,都满足X n >X n + 1, ”当此题用反证法否定结论时应为 （ ）A .对任意的正整数n ,有X n = X n + 1B .存在正整数 n ,使 X n W X n +1C .存在正整数 n ,使X n 》X n -1，且X n > X n + iD .存在正整数 n ,使(X n — X n —i )(X n — X n +i )> 0解析：根据全称命题的否定，是特称命题,答案：B2 2A . 2ab — 1 — a b <B . a 2+ b 2— 1 — 4 Ia + b- ------ w 22(a + b) .2 2一C . 2— 1 — a 2b 2wD . (a 2— i)(b 2— i)>016.设0<x<1,则a ={2x , b = 1 + x , c = 1 ------------ 中最大的一个是（）答案：C1 x1解析：易得 1 + x>2*>^.••• (1 + x)(1 — x) = 1-x 2<1，又 0<x<1，即 1 — x>0. • 1 + x<13—1 x1 96.已知a 、b 、吐（°,+8 ）且a + 9 = 1则a+ b 》卩恒成立的卩的取值范围是—.（0，佝111&在^ ABC 中，AB 丄AC , AD 丄BC 于D ,求证： 荷=后+ 疋，那么在四面体ABCD 中, 类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.=AB 2 AC 2 = 荷+A C 2所以AD^=计孑+云5.猜想：类比 AB 丄A C , AD 丄BC 猜想四面体1 1 1ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE 丄平面BCD .则看=AB ^+AC ^+ 1 AD 2如图（2），连接 BE 交CD 于F ，连接 AF .T AB 丄AC , AB 丄AD , A AB 丄 1 平面 ACD .而 AF?面 ACD , ••• AB 丄 AF .在 Rt △ ABF 中，AE 丄 BF ,A AE AE 1 1 1111^. =洁+ AF 2在 Rt △A C D中'A F丄 CD ，•洁=荷+ A D 2； AF =洁+疋+A D猜想正确.解：如图 ⑴所示，由射影定理 AD 2= BD DC,AB 2= BD BC,AC 2= BC DC , 1.= 1BC 2 BC 2AD* BD DC — BD B C DC B C - AB 2 AC 2.又 BC = AB + AC ，…A D■2<1)9.已知：a>0, b>0, a + b = 1.求证:b + 2^ 2 .解：分析或综合法B . bC . cD .不能确定AB 2 + AC 2 11 12,A⑵。
^^^DearEDU.cosS第二教网第3讲推理与证明感悟高考明确考向(2010-福建)观察下列等式：,——c①cos 2o=2cos a— 1；②cos 4a=8cos4a—8cos2a +1；③cos 6ct=32cos6c(—48cos4a+ 18COS2C(— 1 ；④cos 8a—128COS8«—256COS6<X+ 160cos4(x—32cos2ct +1 ；⑤cos I0a—mcos lo a— I 280cos8a+l 120cos6a+ncos4<z+2 ipcos a— 1.可以推测，m—n^-p =解析观察各式容易得m=29 = 512,注意各等式右面的表达式各项系数和均为1,故有m—1 280+1 120+〃+p—1 = 1,将m=512 代入得〃+p+350 = 0.对于等式⑤，令a=60。
，则有1 1 , cos 600° = 512-510-1 280*58+1 120-〃+p+350 = 0, /闩 〃+4p+200 = 0,倚 考题分析本题主要考查合情推理的应用.突出考查 归纳推理的思路、方法和技巧.体现了对考生观察、 抽象归纳和概括能力的考查.〃+p+350 = 0, 〃+4p+200 =化简整理得〃+4p + 200 = 0.n 一400, 50.联立方程组 /•m—〃+p = 962.答案962^^季昔提醒(1)找不准归纳的对象.如m的位置在最高次幕的系数位置.因而从每一个等式中最高次幕的系数入手进行归纳;p是cos2a 的系数，所以从cos2a的系数入手进行归纳.n 却不能从cos’a的系数入手进行归纳，因为第①个式子中没有cosk,缺少归纳的特征项.(2)规律找不准.在cos2(z的系数：2, —8,18, —32, p的规律很多考生找不准.事实上，可将各数拆分为1X2, -2 X4,3X6, -4X8,艮P(-l)w+1-«-(2n)=(-l)n+12n2..•.p=(-l)6-2X52=50.^^^DearEDU.co第二教w主干知识梳理1.合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.②归纳推理的思维过程如下：实验、观察—概括、推广A猜测一般性结论二DearCD （/■ com■ 第二教网E）美比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. I ②类比推理的思维过程如下：是演绎推理的一般模式，包括：⑴“三段论①大前提——己知的一般性原理.②小前提一所研究的特殊情况.③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.直接哉明网(1)综合法用F表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为PnQi L ---(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 -------- . ------------- -------------- I得到一个明显Q^Pi Pi^P?— F2VP3、—|成立的条件面接诽明网反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理, 导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程.用反证法证明命题“若P则0”的过程可以用如图所示的框图表示.^. 第二教n网数学归纳法数学归纳法证明的步骤(1)证明当〃取第一个值n0(n0GN*)时结论成立.(2)假设〃=#(虹N*,且k^no)时结论成立，证明〃 =上+1时结论也成立.由(1)(2)可知，对任意〃N〃o，且〃EN*时，结论都成立.ZZD^arEDV^com 题磐二叔归纳推理 例1 观察下列等式：9 •-! 2,1I c 〃 "I c 〃， z=i 2 2A .2-1 3,1 2.1Li —顽十;7?十/, i=i 3 2 6A .3— 1 4 I 1 3 I 1 2 有一矿+尹十4〃 '/=1 5 2 3E 广=&6 + 4/7》+禹74i=i 6 2 12 £，6=%7 + 4"6 + 4〃5 —&3+土〃, i=i 7 2 2 6 42 E i k = ak++1 + akn k +^-1+^-2H A 2 + •••+6rin+^o, f=l热点分类突破30，_ ] 212〃，. 第二教 网 F *11可以推测：当kN2 (k6 )时，％+1=匚有，色=亍Qk-l = L2 ，a k~2= 0思维启迪当k=2、3、4、5、6时，写出妇，％一2 通过观察归纳可得.由题意知，当R=2,3,4,5,6时，％—1分别为!，孑, 12 3 4 5 6 kz ，i9, 5，即75，15, M ，75•可以推测 仪-1=节・ -LNz JL 匕/ JL JL JLx X当 4=2,3,4,5,6 时,%—2 分别为 000,00 可以推测％一2 = 0.的值, 解析 1 5. 第二教•网探究提高(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体, 把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的结论.蒯警U （2009-湖南）将正AABC分割成n\n^2, 植N*）个全等的小正三角形（图1,图2分别给出了n = 2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数, 使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A, B, C处的三个数互不相同且和为1, 记所有顶点上的数之和为犬〃），则有人2）= 2,犬3）=10 T(〃+1)(〃+2)，…，加)=6图图2段涪鼬推理12 在平面直角坐标系中，设三角形A3C的顶点分别为人(0,。
逻辑推理与证明教学案一、教学目标1.了解逻辑推理与证明的基本概念并能正确运用；2.培养学生的逻辑思维能力，提高问题解决的能力；3.使学生认识到证明在数学中的重要性，培养对证明的兴趣与热情。
二、教学重难点1.理解逻辑推理与证明的概念并能正确运用；2.培养学生的逻辑思维能力，提高问题解决的能力；3.引导学生对证明产生兴趣与热情。
三、教学准备1.教师准备：教师课件、教材、白板、彩色笔；2.学生准备：课本、笔记本。
四、教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾前几堂课的内容，温习逻辑推理相关知识，在让学生了解今天的学习目标。
2.概念讲解（10分钟）通过教师的讲解，学生了解逻辑推理与证明的概念：逻辑推理是根据前提和规则，通过推理得出结论的过程。
证明是用严密的论证方法来证实或证明某个结论的正确性。
3.案例引入（10分钟）教师通过一个生活案例来引入逻辑推理与证明的学习。
如：小明想证明自己是家中最高的人，他拿来一把尺子，测量自己与父母身高，并做出推理。
4.练习训练（15分钟）教师布置一些相关的练习题，要求学生利用逻辑推理和证明方法来解答。
学生进行小组讨论和思考，然后分析、推理、证明，并找出正确的答案。
5.知识拓展（10分钟）教师通过电子板书的形式，给出更复杂的问题，引导学生进行思考和解答。
并与学生一起讨论和总结解题的方法和思路。
6.巩固练习（15分钟）提供一些综合性的练习题目，学生根据所学知识进行解答，并运用逻辑推理与证明的方法进行分析。
7.总结（5分钟）教师对本节课所学内容进行总结，并强调逻辑推理与证明在数学学习中的重要性。
鼓励学生在日常生活和学习中运用逻辑思维和证明能力解决问题。
五、教学反思通过分层次的教学设计，学生在逐步掌握基本概念的同时，通过实际案例和练习的操作，有效提高逻辑思维和证明能力。
同时，通过引入和拓展，激发了学生对证明的兴趣和热情，使学生认识到证明在数学中的重要性，并为今后的学习打下坚实的基础。
本人说课的内容是?反证法?，是北师大出版的高中数学选修1-2的内容，现在我就教材、教法与学法、采用教具以及教学程序四个方面进行解析。
恳请各位老师指正。
一、说教材1、教材的内容、地位及编排依据2、教学目标〔1〕知识目标：了解反证法的概念，了解反证法的证题步骤；〔2〕能力目标：培养学生类比推理的能力以及自主探究数学问题的能力；〔3〕德育目标：培养他们勇于探索和创新精神以及优化他们的个性品质；〔4〕情感目标：构造和谐的教学气氛，增加互动，促进师生情感交流。
3、教学的重点、难点、关键[重点] 从生活实例抽象出反证法的概念、步骤；[难点] 证明方法的选择；[关键] 在反证法中如何在正确的推理下得出矛盾。
二、说教法与学法1、教法在教学过程中采用设问、引导、启发、发现等教学方法，灵活运用多媒体手段，以学生为主体，创设和谐、愉悦互动的环境。
让学生在轻松愉悦的环境中学到数学知识。
2、学法学生通过两个生活中的例子得到启发：证明问题还可以从结论的反面出发，得出矛盾后，就说明原结论的正确性。
并且内比其中的一个例子，得到反证法证明问题的一般步骤。
然后通过老师例题的讲解，进一步体会到反证法的关键以及怎样得到矛盾。
最后通过练习题目，更进一步体会到反证法的作用。
三、采用教具多媒体四、说教学程序1、创设情景，引入概念故事一：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷爬上树去摘果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 王戎答复说:“树在道边而多子,此必苦李.〞小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。
故事二：母女俩的对话。
【.问题1】王戎是在怎样知道李子是苦的呢？【.问题2】你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法？〔1〕学生经过思考，知道王戎是这样判断出李子是苦的：假设李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
〔2〕我们不妨把这那么故事改编成数学中证明题的格式，即写出“、求证、证明过程〞来总结王戎的推理方法：从数学角度看王戎的推理：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。
