静电场中的导体和电介质电磁学

第9章 静电场中的导体和电介质什么是导体？什么是电介质？ 9.1 静电场中的导体 静电平衡 9.1.1 静电感应 静电平衡 金属导体：金属离子+、自由电子-1、静电感应：在外电场作用下，导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。

（感应电荷与外加电场相互影响，比如金属球置于匀强电场中，外电场使电荷重新分布，感应电荷的分布使均匀电场在导体附近发生弯曲。

）2、导体静电平衡条件不受外电场影响时，无论对整个导体或对导体中某一个小部分来说，自由电子的负电荷和金属离子的正电荷的总量是相等的，正负电荷中心重合，导体呈现电中性。

若把金属导体放在外电场中，比如把一块金属板放在电场强度为0E 的匀强电场中，这时导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力作用下作宏观定向运动，自由电子逆着电场方向移动，从而使导体中的电荷重新分布。

电荷重新分布的结果使得金属板两侧会出现等量异号的电荷。

这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。

感应电荷在金属板的内部建立起一个附加电场，其电场强度'E 和外在的电场强度0E 的方向相反。

这样，金属板内部的电场强度E 就是0E 和'E 的叠加。

开始时0'E E ，金属板内部的电场强度不为零，自由电子会不断地向左移动，从而使'E 增大。

这个过程一直延续到金属板内部的电场强度等于零，即0'0EE E 时为止。

这时，导体上没有电荷作定向运动，导体处于静电平衡状态。

当导体处于静电平衡状态时，满足以下条件： 从场强角度看：①导体内任一点，场强0=E（否则内部电荷运动）；②导体表面上任一点E与表面垂直（否则导体表面电荷运动）。

从电势角度也可以把上述结论说成：①⇒导体内各点电势相等； ②⇒导体表面为等势面。

9.1.2 导体静电平衡时电荷分布1ei S sE dSq 内1、导体内无空腔时电荷分布（实心带电导体）如图所示，导体电荷为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=•内S Sq s d E 01ε导体静电平衡时其内0=E，∴ 0=•⎰s d E S， 即0=∑内S q 。

§2 静电场中的导体和电介质§2－1 静电场中的导体1. 导体的静电平衡条件当电荷静止不动时，电场散布不随转变，该体系就达到了静电平衡。

在导体中存在自由电荷，它们在电场的作用下可以移动，从而改变电荷的散布……导体内自由电荷无宏观运动的状态。

导体的静电平衡的必要条件是其体内图2－1导体的静电平衡场强处处为零。

从静电平衡的条件动身可以取得以下几点推论：推论1）导体是等位体，导体表面是等位面：2）导体表面周围的场强处处与它的表面垂直：因为电力线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。

（注意：本章所用的方式与第一章不同，而是假定这种平衡以达图2－2导体对等位面的控制作用到，以平衡条件动身结合静电场的普遍规律分析问题。

）2．电荷散布1) 体内无电荷，电荷只散布在导体的表面上:当带电导体处于静电平衡时，导体内部不存在净电荷（即电荷的体密度）电荷仅散布在导体的表面。

可以用高斯定理来证明：设导体内有净电荷，则可在导体内部作一闭合的曲面，将包围起来，依静电条件知S面上处处, 即由高斯定理必有q=02） 面电荷密度与场强的关系:当导体静电平衡时，导体表面周围空间的 与该处导体表面的面电荷密度 有如下关系：论证： 在电荷面密度为 的点取面元设 点为导体表面之外周围空间的点，面元。

充分小，可以为 上的面电荷密度 是均匀的，以为横截面作扁圆柱形高斯面（S ）,上底面过P 点，把电荷q= 包围起来. 通太高斯面的电通量是：3） 表面曲率的影响、尖端放电导体电荷如何散布，定量分析研究较复杂，这不仅与这个导体的形状有关，还和它周围有何种带电体有关。

对孤立导体，电荷的散布有以下定性的规律：图2－3导体表面场强与电荷面密度曲率较大的地方（凸出而尖锐处），电荷密度e 较大；曲率较小的地方（较平坦处）电荷密度e 较小；曲率为负的地方（凹进去向）电荷密度e 更小。

1） 端放电的利和弊3 导体壳（腔内无带电体情况）大体性质：当导体壳内无带电体时，在静电平衡当导体壳内无 带电体时，在静电平衡下：导体壳内表面上处处无电荷，电荷仅散布在外 表面；空腔内无带电场，空腔内电位处处相等。

14 静电场中的导体和电介质14．1基本概念在静电场中放入导体和电介质后, 电场的分布将会发生变化, 导体和电介质和性质也将发生变化.（1）静电场中的导体导体放入静电场中, 因导体中有自由电子, 在电场的作用下自由电子产生移动, 导体中的电荷将重新分布, 这种现象称静电感应, 电荷在导体中重新分布,后即达到静电平衡, 达到静电平衡时③静电屏蔽：接地的导体空腔屏蔽内、外电场.（2）静电场中的电介质①电介质的极化电介质中虽然没有自由电子, 但分子、原子中的带正电的原子核和带负电的束缚电子在电场的作用下也要发生微小的位移, 使得在跟电场垂直的表面出现了净余电荷层, 这种现象称电介质的极化.电介质表面出现的净余电荷称极化电荷,极化电荷要产生附加的电场, 它的方向跟原电场方向相反, 因而使电介质中的场强减弱.②极化强度矢量介质中某处的极化强度矢量为该处附近单位体积中的分子电偶极矩的矢量和.极化电荷面密度与极化强度的关系为：电介质表面极化电荷面密度在数值上等于极化强度沿介质表面外法线方向上的分量.③电位移矢量④介质中的高斯定理通过任一闭曲面的电位移通量,在数值上等于闭合曲面所包围的自由电荷的代数和.（3）电容孤立导体的电容即为导体所带的电量跟导体的电势之比.（它只跟导体本身的性质、形状、大小及周围的介质有关）电容器的电容即为电容器每块极板上的电量Q与两极板间电势差的比值. 它表示电容器单位电压所容纳的电量.（4）电场的能量①电容器的电能②电场的能量电能储存在电场中,电场中单位体积的电能称电场能量体密度电能的能量14．2解题指导（1）静电场中的导体导体放在静电场中首先要考虑静电感应,然后用静电平衡条件（导体内部的场强为零,导体表面的场强垂直表面）解有关的问题.（2）利用介质中的高斯定理求对称分布的电场的解题步骤①首先用求出D的分布；②再用求出E 的分布；③求极化电荷密度.（3）求电容的方法①先用高斯定理求出E的分布；②用求出电势差；③用公式求出电容.（4）电场能量电容器的能量电场能量；对场是球分布；对场是柱分布.14．3典型例题14-1 一“无限大”均匀带电平面A,带电量为q,在它的附近放一块与A平行的金属导体板B,板B有一定厚度,如图14.3-1所示,则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别是多少？解题思路设B板两面的感应电荷分别,两个未知数需列出两个独立方程式求解：①感应电荷，②运用静电平衡条件,导体内部的电场为0,即的三块平板在a点的合场强为0,解设B板两面的感应电荷分别为,有在导体板中任选一a点,（向左电场为正）：从①②两式可解得14-2 一半径为R ,带电量为Q的金属球,球外有一层均匀电介质组成的同心球壳,其内、外半径分别为a,b介质的相对介电常数为,求：（1）电介质内、外空间的电位移和电场强度；（2）电介质两个表面上的极化电荷面密度.解题思路运用介质中的高斯定理先求出D,然后用求E,再求极化电荷面密度解（1）介质内作半径为r的同心球面作高斯面,根据介质中的高斯定理,对均匀电介质R<r<a,同理r>b,同理（2）r=a,介质内表面r =b,介质外表面14-3 两根平行长直导线,它们的半径都是a,两根导线相距为d(d>>a)求单位长度的电容.解题思路将两长直导线分别带上线电荷密度为的电量,看成两无限长均匀带电圆柱,用高斯定理分别求出每根长直导线的场强,再求出两带电长直圆柱间的合场强,然后用电差公式求出两长直导线的电势差,代入电容公式求电容.解设在两长直导线上分别带电荷线密度,坐标如图所示.在两长直导线之间的P点的合场强（分别用高斯定理可求解得每根带电长直导线的场强）两长直带电导线的电势差单位长度的电容14-4 一圆柱形电容器,由截面半径为R的导体圆柱和与它共轴的导体圆管筒组成,圆筒半径,在内圆柱与之间充满相对介电常数的均匀电介质,如14.3-4图所示,略去边缘效应.求：（1）该电容器单位长度的电容；（2）将该电容充电至两极板间的电势差为U=100V,则单位长度上的电场能量是多少？（圆筒接地）解题思路将圆柱和圆筒带上电量,利用高斯定理求出它们之间的场强,然后求出它们的电势差,再求电容.求解电场能量有两种方法：①利用电容器电能公式；②用电场能量公式解（1）设圆柱、圆筒分别带上电荷线密度的电量.根据高斯定理可求得：（2）方法Ⅰ:方法Ⅱ:14.4 题解1．两平行金属板带有等量异号电荷,若两板的电势差为200V,两板间距为2.0mm,忽略边缘效应,求每一个金属板表面的电荷面密度是多少？解此题有四个未知数,要列出四个方程求解.左板接地.①作图示高斯面,根据高斯定理,所以.②左边金属板中P点场强为0,.③解②③得.两板中间场强得解②④得2．一无限大均匀带电介质板A,电荷面密度为,介质板靠近一导体B,此时B导体外表面上靠近P点处的电荷面密度为,求P点的电场强度.解在P点作垂直B表面的圆柱高斯面（P点在高斯面度面上,）根据高斯定理,静电平衡时,导体B内部的场强为0,表面的场强垂直表面,所以上式左边积分3．一圆柱形电容器,由内筒半径,外筒半径两个共轴导体圆筒组成,两筒间充满了相对介质电常数的均匀介质,已知空气的击穿场强,则此电容器的最高耐压力为多少？解内、外圆筒分别带有线电荷密度为和的电量,根据高斯定理,两筒间为空气时,两筒间的场强；①两筒间充满均匀介质时,两筒间的场强；②两筒间的电势差．③将①式代入③式,最高耐压4. 一个大平行板电容器水平放置,两极板间的一半空间充有各向同性的均匀电介质,另一半为空气, 如图14.4-4所示. 当两极板带上恒定的等量导异号电荷时,有一质量为m、带电量+q的质点平衡在极板间的空气区域中, 此后若把电介质抽去, 则该质点将如何运动？（向上, 向下, 或保持不动）解介质抽出前, 质点平衡,介质板上,下表面有极化电荷,如图14．4-4左半部所示. 将介质板抽出的过程,外力克服电场力作功,使电场能量增加,而介质抽出后电容器将减少,从上式看出两极板间的电压U将增高,而引起两极板间电场强度增大,电场力增大,质点将向上运动.5．电容器和串联后接上电动势恒定的电源充电, 在电源不断开的情况下,若把一电介质充入中,则上的电势差将怎样变化？电容器极板上的电量将怎样变化？（增大,减少,不变）解两电容串联,总电容,电介质充入后,将增大. 从上式看, 总电容C将增大, 根据总电容增大, 总电压不变, 电量q也增大, 所以上的电量增多, 根据,电容器上的电势差增大.6．半径为互相绝缘的两同心导体球壳,现把+q的电量给予内球,问：（1）外球的电荷及电势为多少？（2）把外球接地后断开地线,外球的电荷及电势改变多少？（3）然后把内球接地,内球的电荷及外球的电势改变多少？解（1）外球内表面感应电荷为-q, 外表面电荷为+q. 外球电势（2）外球接地后,外表面电荷为零, 内表面电荷仍为-q, 外球电势（3）设内球接地后电荷变为, 则因内球此时电势为零, 即得此时外球的电势外球电势的改变7．点电荷C处在导体球壳的中心,壳的内、外半径分别为和求：（1）导体球壳的电势；（2）离球心r=1.0cm的电势；（3）把点电荷离开球心1.0cm,再求导体壳的电势.解（1）此时导体球壳的内表面感应电荷-q,外表面感应电荷+q,球壳的电势（2）（3）此时并不影响导体壳外表面的电荷,故电势与（1）中计算的相同.8．电容量分别为和的两个电容器, 把它们并联用电压V充电时和把它们串联的用电压2V充电时,在电容器组中,哪个组合储存的电量、能量大些？大多少？解电容器并联时,电容器串联时,所以由上计算可知, 在题目已知条件下, 无论是电量还是能量都是并联时大.9．一空气平板电容器电容C=1.0pF,充电到电量为后,将电源切断, 求：（1）极板间的电势差及此时的电场能；（2）再将两板拉到原距离的两倍, 计算拉开前后电场的改变, 并解释其原因.解（1）（2）距离拉大一倍,电容变为电场能量电场能量的增量能量的增加是因为在将两板距离拉大的过程中,外力克服两板之间的静电力作功,使其他形式的能量转变成电能的结果10．球形电容器由半径为的导体球和与它同心的导体球壳构成,壳的内半径为,其间一半充满相对介电常数为的均匀电介质,如图所示,求电容C.解相当于两半球形电容器的并联.对球形电容器,充电后两球间的电场强度,两球间的电压电容上半球下半球11. 在半径为a的球体内均匀地充满电荷,总电量为Q.试证其电势能为解电荷体密度现设想球体的总电量Q是从分散在无限远处的情况下聚集起来的,且从球心起,按一个个的同心球壳逐层建立起来的.建立r~r+d r这一层时,所移电量这时,是将dq从电势为零处(无限远处)移到电势U(r)处,根据球体均匀带电,所以电势能增量为因此,建立整个电荷Q所增加的电势能为12. 两个相同的空气电容器,其电容都是,都充电到电压各为900V后断开电源, 把其中之一浸入煤油中(),然后把两个电容器并联,求:(1)浸入煤油过程中能量的损失;(2)并联过程中能量的损失.解 (1) 每个电容器原来的能量为浸入煤油的电容器,两极板间的场强两板间的电压电容能量浸入煤油过程中能量的损失为(2)将两电容器并联,则要发生电荷的转移,但电荷的总量保持不变为总电容总能量能量损失为13.把电荷q放在一原来不带电的半径为的肥皂泡的表面上,由于肥皂泡表面上电荷相互排斥,因此半径增至某一值R , 试证电量式中p为大气压强.证肥皂泡的电势和电容分别为电势能为当肥皂泡因电荷相互排斥, 半径由增至R时电场力作的功等于电势能的改变电场力作的功等于肥皂泡膨胀时对大气作的功所以得.。

习题五（第二章 静电场中的导体和电介质）1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳内表面所带的电量为q ，外表面所带电量为 q +Q 。

2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。

3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。

4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。

现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。

(A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B )(A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 16、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C )(A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强；、(B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。

7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。

试求：、(1)球壳外表面上的电荷；(2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。

解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a <R <b )的rARQ)O· Q ·b·Oarq B高斯球面S,由高斯定理01εqq dS E S +=⋅⎰⎰ ，根据导体静电平衡条件,当a <R <b 时，0=E。

则0=⋅⎰⎰SdS E ，即01=+q q ,得q q -=1根据电荷守恒定律,金属球壳上的电量为21q q Q +=(qQ q Q q +=-=∴12(2)在内表面上任取一面元,其电量为dq ,在O 点产生的电势adq dV o πε411=q 1在O 点产生的电势aq aq adq dV V o o o πεπεπε4441111-====⎰⎰内内(3) 同理，外球面上的电荷q 2在O 点产生的电势bqQ bq V o o πεπε4422+== 点电荷q 在O 点产生的电势rq V o q πε4=∴ O 点的总点势o q V V V V πε41210=++=(bq Q a q r q ++-) 8、点电荷Q 放在导体球壳的中心，球的内、外半径分别为a 和b ，求场强和电势分布。

静电场中的导体和电介质引言在物理学中，静电场是指当电荷处于静止状态时周围存在的电场。

导体和电介质是静电场中两种常见的物质类型。

理解导体和电介质在静电场中的行为对于理解静电现象和应用静电学原理具有重要意义。

本文将介绍导体和电介质在静电场中的特性和行为，包括导体的电荷分布和电场分布、导体内部电场为零的原因，以及电介质的电极化和电介质的介电常数。

导体导体的电荷分布在静电场中，导体具有特殊的电荷分布特性。

由于导体中的自由电子可以在导体内自由移动，一旦一个导体与其他带电体接触，自由电子将重新分布以达到平衡。

导体的外部表面电荷会分散在整个表面上，使得导体表面的电场强度为零。

这意味着在静电平衡条件下，导体表面任意一点的电势相等。

导体内部的电场分布特性在导体内部，电场强度为零。

这是由于自由电子可以在导体内自由移动，当导体中存在电场时，自由电子会沿着电场方向移动，直到达到平衡。

这种现象称为电荷迁移。

因此，导体内部的自由电子的运动将产生一个等量但相反方向的电场，导致导体内部的电场强度为零。

这也是为什么导体内部没有电场线存在的原因。

电介质电极化现象电介质是一种不易导电的物质，而其在静电场中的行为与导体有着显著不同。

当一个电介质暴露在静电场中时，电介质分子会发生电极化现象。

电极化是指电介质分子在电场作用下产生偶极矩。

在电场的作用下，电介质分子会发生形状变化，正负电荷分离，产生一个平均不为零的电偶极矩。

这种电极化现象可以分为两种类型：取向极化和感应极化。

取向极化是指电介质分子的取向方向在电场的作用下发生变化，而感应极化是指电场作用下导致电介质分子内部正负电荷的相对移动。

电介质的介电常数电介质的介电常数是描述电介质在电场中的响应特性的重要参数。

介电常数是一个比值，代表了电介质在电场力下的相对表现。

介电常数决定了电介质的极化程度和电场中的电场强度。

电介质的介电常数大于1，意味着电介质对电场的屏蔽效果更明显。

在实际应用中，通过选择合适的电介质和调整电场强度，可以改变静电场的分布和效果，用于电容器、绝缘材料等相关领域。

第二章 静电场中的导体与电介质2.1 导体与电介质的区别：（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很大（相差10多个数量级，而不同导体间电导率数量级最多就相差几个数量级）。

（2）微观上导体内部存在大量的自由电子，在外电场下会发生定向移动，产生宏观上的电流而电介质内部的电子处于束缚状态，在外场下不会发生定向移动（电介质被击穿除外）。

2.2静电场中的导体1. 导体对电场的响应：静电场中的导体，其内部的自由电子会发生定向漂移，电荷分布会发生变化，这是导体对电场的响应方式称为静电感应，导体表面会产生感应电荷，感应电荷激发的附加场会在导体内部削弱外电场直至导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，这时导体处于静电平衡状态。

2. 导体处于静电平衡状态的必要条件:0i E =（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，自然其内部电场（指外场与感应电荷产生的电场相叠加的总电场）必为0。

3. 静电平衡下导体的电学性质：（1）导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本身带的电荷）只分布在导体表面。

这个可以由高斯定理推得：ii sq E ds ε⋅=⎰⎰，S 是导体内“紧贴”表面的高斯面，所以0i q =。

（2）导体是等势体，导体表面是等势面。

显然()()0b a b i a V V E dl -=⋅=⎰，a,b 为导体内或导体表面的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。

（3）导体表面以处附近空间的场强为：0ˆEn δε=，δ为邻近场点的导体表面面元处的电荷密度，ˆn为该面元的处法向。

简单的证明下：以导体表面面元为中截面作一穿过导体的高斯柱面，柱面的处底面过场点，下底面处于导体内部。

由高斯定理可得：12i s s dsE ds E ds δε⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰，1s ,2s 分别为高斯柱面的上、下底面。

因为导体表面为等势面所以ˆE En=，所以1s E ds Eds ⋅=⎰⎰而i E =0所以0ds Eds δε=，即0ˆE n δε=（0δ>E 沿导体表面面元处法线方向，0δ<E 沿导体表面面元处法线指向导体内部）。