2一元二次方程根的应用

一元二次方程的解法及其应用一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。

解法：一元二次方程的解法主要有两种：因式分解法和求根公式法。

1. 因式分解法：当一元二次方程的形式可以直接因式分解时，使用因式分解法可以快速求得其解。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。

根据零乘法，当一个乘积等于零时，其中一个或多个因子必须为零。

因此，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，从而解得x = -2或x = -3。

这两个解是方程的根，即方程的解集为{-2, -3}。

2. 求根公式法：对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式法求得其解。

根据求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以直接计算出方程的解。

例如，对于方程2x^2 + 5x - 3 = 0，根据求根公式，我们有x = (-5 ±√(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。

计算得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4，进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4，即x = (-5 ± 7) / 4。

因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4或x = (-5 - 7) / 4，简化得x = 1/2或x = -3/2。

解集为{1/2, -3/2}。

应用：一元二次方程的解法在数学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 几何问题：一元二次方程的解法可以应用于几何问题中，例如求解二次函数的零点，即方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，可以帮助我们确定函数的图像与x轴的交点，从而求得抛物线的顶点、焦点等信息。

2. 物理问题：在物理学中，一元二次方程的解法可以用于解决与运动和力有关的问题。

一元二次方程的根是指方程ax^2+bx+c=0中的解x。

对于一元二次方程，它可以有两个根、一个根或者没有实根。

在解题中，我们可以利用方程的根来解决各种问题。

以下是一些应用一元二次方程根的例子：
求解方程：通过求解一元二次方程的根，我们可以得到方程的解。

例如，对于方程x^2+2x-3=0，通过使用求根公式，我们可以计算出方程的两个根为x=1和x=-3。

求解实际问题：在解决实际问题时，我们可以将问题转化为一元二次方程，并使用方程的根来解决问题。

例如，一个物体从一定高度落下，求它落到地面的时间。

将问题转化为一元二次方程y=gt^2/2+h，其中y为高度，g为重力加速度，h为落下的高度，t为时间。

将方程化为标准的一元二次方程，然后求解它的根，我们可以得到物体落到地面的时间。

确定二次函数的性质：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，我们可以使用它的根来确定它的性质。

例如，如果二次函数有两个实根，则它的抛物线会与x轴相交，并且函数的顶点在两个根的中点上。

总之，一元二次方程根的定义在解题中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种问题，包括求解方程、求解实际问题和确定二次函数的性质等。

代数：一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数关系：二、一元二次方程的根与系数关系的应用应用1，验根，不解方程求一元二次方程两根和与两根积，检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 应用2，已知方程的一个根，求另一根及方程中未知参数. 应用3，不解方程，利用定理求出关于x 1,x 2的对称式的值..,11,,,11,,213231212132312221等等如x x x x x x x x x x x x ++++++ 应用4，已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 应用5，已知两数的和与积，求这两个数. 应用6，求作一个新的一元二次方程，使它的两根与已知方程的两根有某些特殊关系. 应用7，已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.应用8，解决其他问题，如讨论根的范围，根的符号及判定三角形的形状等.三、相关练习1．不解方程，求下列各方程两根之和，两根之积.x x 1.025.0.12-= x x 21231.22+= 22322.32=+x x )(4)(.42222222b a b a a b xx b a ≠-=-- 2．已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.已知方程7x 2+kx-5=0的一个根是3，求另一个根及k 的值.3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两个根的（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和，（4）x 1-x 2，（5）1221x x x x + 4．设x 1、x 2是方程3x 2-9x-7=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.221122221221)2()1(x x x x x x x x ++ （3）（2x 1+5）（2x 2+5） （4）x 1-x 25．求作一个一元二次方程，使它的两个根是212,313- 6．已知两数和是8，积是-9，求这两个数.7．已知方程2x 2+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为已知方程两根差的平方，另一根为已知方程两根和的倒数.试求且和分别满足方程、已知实数,1,030311.822≠=-+=-+ab b b a ab a (一)选择题 1．如果方程03622=+-x x 的两个实数根分别为21,x x ，那么21x x ⋅的值是（ ）（A ）3 （B ）–3 （C ）23-（D ）32-2．若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则()()1121++x x 的值为（ ） （A ）–7 （B ）1 （C ）291+- （D ）291--3．方程2x 2－ax ＋10=0的一个根为2，则a 的值为 ( ) (A) 25 （B ）29- （C ）49 （D ）9 4．已知方程 2x 2＋kx －2k ＋1=0 两实根的平方和为429 ，则k 的值是： (A) －11 (B) 3或－11 (C) 3 (D) 以上都不对5．若方程 x 2－kx ＋6=0 的两根分别比方程x 2＋kx ＋6=0 的两根大5，则k 的值是：(A) 5 (B) －5 (C) 852 (D) 856．方程x 2－ax －2a=0的两根之和为4a －3，则两根之积为 ( )(A) 1 （B ）－2 （C ）2 （D ）－1(二)填空题1．已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是_____，m 的值为______。

一元二次方程根与系数的关系及应用教学目标掌握根与系数关系，灵活应用根与系数关系解题重难点分析重点：1、根与系数关系的公式； 2、根的关系变形； 3、列一元二次方程。

难点：1、根与系数关系的变形及运算； 2、应用题中一元二次方程的列法。

知识点梳理1、一元二次方程根与系数关系若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a ---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===。

即根与系数的关系为a b x x -=+21，acx x =⋅21以上关系称为韦达定理。

2、特殊根问题3、列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、验、答”，具体如下： （1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x ；另一种方法是设与所求量有关系，且具有关键性作用的未知量为，而所求量能用的代数式表示；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程。

（5）检验：检验未知数的值是否满足所列出的方程，还必须检验它是否能使实际问题有意义。

若不符合实际意义则应舍去；（6）写出答案：书写答案，要注意不要遗漏单位和名称。

知识点1：探索根与系数关系【例1】解下列方程，并填写表格：方 程+知识点2：根与系数关系的应用（1）已知一元二次方程，求两根关系【例1】若1x ，2x 分别是一元二次方程0822=--x x 的两根。

（1）求21x x +的值； （2）求21x x ⋅的值； （3）求2111x x +的值 （4）求的值【随堂练习】1、已知方程0132=--x x 的两根为1x ，2x ，求)3)(3(21--x x 的值。

一元二次方程的解法及实际应用一、引言在数学中，一元二次方程是一种常见的形式，它可以用来解决很多实际生活中的问题。

本文将介绍一元二次方程的解法，并探讨一些实际应用。

二、一元二次方程的解法1. 标准形式一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0。

其中，a、b、c分别代表方程中的系数，且a ≠ 0。

2. 利用“求根公式”解方程一元二次方程可通过求根公式来解决。

求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。

- 若b² - 4ac > 0，方程有两个不同实数根；- 若b² - 4ac = 0，方程有一个实数根，且为重根；- 若b² - 4ac < 0，方程无实数根，但可以有复数根。

三、实际应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动问题可以通过一元二次方程来建模和求解。

例如，当我们抛出一个物体时，可以通过解一元二次方程来计算物体的落地时间、最高高度等。

2. 金融领域一元二次方程在金融领域中也有实际应用。

例如，在债券定价中，可以使用一元二次方程来计算债券的到期回报率；在利润预测模型中，可以通过一元二次方程来估计销售量与利润之间的关系。

3. 工程建模在工程领域中，一元二次方程经常用于建立工程模型和解决实际问题。

例如，用于预测水位变化情况、建筑物的稳定性分析等。

4. 生活中的应用一元二次方程还广泛应用于我们的日常生活中，例如：- 菜价预测：可以使用一元二次方程拟合历史数据，预测未来的价格变动趋势；- 汽车刹车距离计算：根据实验数据构建一元二次方程，通过计算得到刹车距离；- 光学仪器矫正：利用一元二次方程来计算镜片的度数以及矫正度数；- 音乐振动学：通过一元二次方程来计算乐器的音调和共振频率。

四、结论一元二次方程作为数学中常见的形式，具有广泛的实际应用领域。

掌握一元二次方程的解法有助于我们在解决实际问题时提供更准确的结果。

一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。

解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。

本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。

一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。

二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。

其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。

例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。

三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。

一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。

具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。

b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。

一元二次方程的根的几何意义一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。

这个方程的解，也称为方程的根，对于一元二次方程而言，一般有两个根。

那么，这两个根在几何上有何意义呢？我们来了解一下一元二次方程的图像。

一元二次方程可以表示二次函数的图像，这个图像是一个抛物线。

当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

这个抛物线的对称轴是一个直线，它的方程为x = -b/2a。

对称轴将抛物线分成两部分，左右两边关于对称轴对称。

对称轴上的点称为抛物线的顶点，它的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示方程的函数。

根据一元二次方程的定义，我们知道它的两个根就是使方程成立的x值。

从几何的角度来看，这两个根就是抛物线与x轴的交点，也就是抛物线与x轴的零点。

这两个交点的坐标分别为(x1, 0)和(x2, 0)，其中x1和x2是方程的两个根。

通过观察这两个根的坐标，我们可以得出一些几何意义。

首先，如果方程有两个不相等的实根，那么抛物线与x轴有两个交点，也就是抛物线与x轴有两个零点。

这时，抛物线与x轴的交点将抛物线分成三段，分别为开口朝上的一段、开口朝下的一段和过对称轴的一段。

这种情况下，抛物线与x轴的交点是一个很重要的几何特征。

如果方程只有一个实根，那么抛物线与x轴有一个交点，也就是抛物线与x轴有一个零点。

这时，抛物线与x轴的交点将抛物线分成两段，分别为开口朝上的一段和过对称轴的一段。

这种情况下，抛物线与x轴的交点也是一个重要的几何特征。

如果方程没有实根，那么抛物线与x轴没有交点，也就是抛物线与x轴没有零点。

这时，抛物线与x轴不相交，整个抛物线都在x轴的上方或下方。

这种情况下，抛物线与x轴的关系也是一个重要的几何特征。

一元二次方程的根在几何上有着重要的意义。

通过观察方程的根，我们可以推断出抛物线与x轴的交点个数、抛物线的开口方向以及抛物线与对称轴的关系。

课题：一元二次方程的根与系数关系的应用一、复习导入：上节课我们学习了一元二次方程的根与系数的关系（也就是韦达定理），具体内容如下：如果方程那么、的两个实数根是,)0(0212x x a c bx ax ≠=++ac x x a b x x =-=+2121, 另外我们还研究了韦达定理的逆定理,内容如下：如果实数21x x 、满足ac x x a b x x =-=+2121,，那么21x x 、是一元二次方程 02=++c bx ax 的两个根.最后我们研究了韦达定理的两个重要推论，内容如下：推论1：如果方程02=++q px x 的两个根是21x x 、，那么.,2121q x x p x x =-=+推论2：以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.0)(21212=++-x x x x x x今天我继续来研究一元二次方程的根与系数关系的应用二、讲授新课：一元二次方程的根与系数关系的应用应用1：验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根例题1：不解方程，检验下列方程的解是否正确. 方程13,130232212-=+==+-x x x x 的两根为. 解：()()()2131313,3213)13(2121=-=-+==-++=+x x x x 满足21,x x ac x x a b x x =-=+2121, 13,1321-=+=∴x x 是方程的根02322=+-x x .应用2：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数.例题2：已知方程01022=-+kx x 的一个根是2-.则=k ，它的另一根为 .解法一：是方程2- 01022=-+kx x 的根，()(),010222-2=--+⨯•∴k 代人原方程得把1.1-=-=∴k k 01022=-+kx x ，解得另一根为25.（传统方法）解法二：设方程的另一根为1x ，则,521-=-x ∴.251=x 又(),2252k -=+- ∴1-25.1的值是，故方程的另一根是k k -=（韦达定理应用） 应用3：不解方程，可以利用韦达定理求关于21x x 、的（非）对称式的值. 如：2121122121222111,,,11,x x x x x x x x x x x x --+++等等这类为对称式，而2121231,3x x x x x +++等等这类为非对称式.注意：如果把含21x x 、的代数式中的21x x 、互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于21x x 、的对称式，否则称为非对称式.例题3：已知21x x 、是方程21122036x x x x x x +=++的两实数根，则的值为 212124x x x -+的值为 解：⑴ 21x x 、是方程的两个根，0362=++x x ∴3,62121=-=+x x x x ∴()()10363633262221212212121222112=-=⨯--=-+=+=+x x x x x x x x x x x x x x ⑵ 1x 是方程的根，0362=++x x ∴036121=++x x ，即36121--=x x ∴212124x x x -+=()93232224362121211=-+-=---=-+--x x x x x x x 应用4：已知方程的两根，求这个一元二次方程. 例题4：求一个一元二次方程，使它的两根是：21,321-==x x 解： 21,321-==x x ∴23,252121-==+x x x x ∴该方程可以是023252=--x x ，可化为03522=--x x 应用5：已知两数的和与积，求这两个数.例题：已知的值求满足b a ab b a b a ,,3,2,-=-=+解： 3,2-=-=+ab b a ，∴的两根可以看作方程032,2=-+x x b a ∴方程0322=-+x x 可化为()()013=-+x x ，∴3,11,3-===-=b a b a 或 应用6：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.例题6：已知方程()042222=++-+m x m x 有两个实根且它们的平方和比它们的积大21，求m 的值.解：设方程的两根为21x x 、，∴()4,2222121+=--=+m x x m x x又 21212221=-+x x x x ，∴()21321221=-+x x x x ∴()[]()21432222=+---m m ，整理得017162=--m m ，∴1,1721-==m m 当17=m 时，0<∆，原方程无实根.当1-=m 时，0>∆，原方程有两个不相等的实根. ∴1-=m应用7：证明方程系数之间的特殊关系例题7：设方程02=++q px x 的两根之差等于方程02=++p qx x 的两根之差，求证：4-=+=q p q p 或证明：设方程02=++q px x 的两根为21x x 、，02=++p qx x 的两根为43x x 、 由题意知4321x x x x -=-，故有24432322212122x x x x x x x x +-=+-从而有()()432432122144x x x x x x x x -+=-+① 根据韦达定理，有p x x q x x q x x p x x =-=+=-=+43432121,,,②把②带入①，有p q q p 4422-=-，即04422=-+-q p q p即()()()04=-+-+q p q p q p ，即()()04=++-q p q p故040=++=-q p q p 或，即4-=+=q p q p 或应用8：解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等例题8：已知c b a ,,是ABC ∆的三边，关于x 的一元二次方程()x b a x 22++ -0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a c b a 的两根之和与两根之积相等，判定三角形的形状 解：设方程的两根为21x x 、，根据题意知2121x x x x =+①根据韦达定理，有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+a c b a x x b a x x 22,221221②把②带入①，有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-a c b a b a 2222，即222c b a =+，故是直角三角形应用9：根的分布问题利用根的判别式和根与系数的关系，可进一步确定根的分布问题，这也是中考命题的热点，现总结规律如下：对于一元二次方程212,),0(0x x a c bx ax 设其两根为≠=++⑴方程有实数根：0≥∆；⑵方程无实数根：0<∆⑶方程有两个相等实数根：0=∆；⑷方程有两个不相等实数根：0>∆ ⑸方程有两个正实数根：0,0,02121>>+≥∆x x x x⑹方程有两个负实数根：0,0,02121><+≥∆x x x x⑺方程有一正一负实数根：0,021<>∆x x⑻方程有一正一负实数根且正根的绝对值大：0,0,02121<>+>∆x x x x ⑼方程有一正一负实数根且负根的绝对值大：0,0,02121<<+>∆x x x x ⑽方程仅有一正实数根：0,002121=>+<c x x x x 或⑾方程仅有一负实数根：0,002121=<+<c x x x x 或⑿方程有一根为0：0=c ；⒀方程有两根都为0：0==c b⒁方程仅有一根为0：0,0=≠c b⒂方程两根互为相反数：0,021≤=x x b ；⒃两根互为倒数：1,021=≥∆x x ⒄两根互为负倒数：1,021-=>∆x x ；⒅一根大于m ，一根小于m （m 为实数）：()()0,021<-->∆m x m x ⒆两根都大于m ：()()()()0,0,02121>-->-+-≥∆m x m x m x m x ⒇两根都小于m ：()()()()0,0,02121>--<-+-≥∆m x m x m x m x 例题9：已知关于x 的两个方程()04422=-+++m x m x ①与()0322=-+-+m x n mx ②，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根.求证方程②两根符号相同解： 方程()04422=-+++m x m x 有两个不相等的负实数根，设这两个负实数根分别为21,x x ，0,0,02121><+>∆∴x x x x即()()024,024,04842>-<+->-⨯-+m m m m ，解不等式组得4>m ，由方程②有两个实数根，可知0≠m ，∴当4>m 时，03>-mm ，即方程②两根之积为正，所以方程②两根符号相同.三、总结归纳：通过这节课我们不仅把上节课韦达定理的内容复习了一下，另外我们又重点研究了韦达定理的应用，相信在座的每一位都印象深刻，相信未来遇到类似的题型大家都能迎刃解决，相信我们的合作会越来越好。

一元二次方程根与系数关系的应用一元二次方程根与系数的关系，又名韦达定理，是中学数学方程中根与系数的重要关系，它在训练学生数学思维、培养学生模型思想、创新意识、运用知识解决问题能力等方面有着十分重要的意义。

因此，多年来，运用一元二次方程根与系数关系解答的试题一直是中考和初中数学竞赛的重要内容，其题型多样，灵活性大，思路广阔，针对性强，是考查学生能力的重要题型。

一、定理的内容设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，由求根公式得：x1+x2=-，x1x2=。

这就是一元二次方程的根与系数的关系，也称为韦达定理。

二、韦达定理几种常见变形1.x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2。

2.（x1-x1）2=（x1+x2）2-４x1x2。

3.（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2。

4.|x1-x2|=（x1+x2)2+4x1x2。

5. ＋=。

6.＋＝=－2。

三、运用韦达定理构建一元二次方程若x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1+x2=a，x1x2=b。

那么以x1、x2为根的一元二次方程为x2-ax+b=0。

下面谈谈定理的应用：1.关于两根的对称式求值。

关于两根的对称式求值，常常将代数式化为含有两根和与两根积的式子，再代入求值。

例1.若x1、x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①＋；②＋；③（x1-2）（x2-2）;④x12+x22;⑤（x1-x2）2；⑥|x1-x2|。

例中6个小题是上面几种常见变形的直接运用，熟悉这几种变形，不难求出相应的结果。

2.关于两根的非对称式的求值。

对于含有两根的非对称式子，常常根据根的定义降次，化高次为低次，化不对称为对称；或根据定理构造对称式，化分为整，化繁为简，从而求解问题。

（1）运用根的定义降次，化为对称式。

例2.设x1、x2是一元二次方程x2-x-2013=0的两个实数根，求x13+2014x2-2013的值。