完全平方公式分解因式

完全平方的公式
数学完全平方公式：
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的`平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

初中因式分解的公式1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

5、结果的多项式首项一般为正。

在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子。

6、括号内的首项系数一般为正。

7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。

如(b+c)a要写成a (b+c)。

8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。

口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

完全平方公式因式分解--复杂(一)完全平方公式是初中数学中不可或缺的基础知识，它在因式分解中起着重要的作用。

许多同学在初学时很容易掌握基本的完全平方公式的运用，但是对于一些复杂的情况，却往往不够熟练。

本篇文章将针对“完全平方公式因式分解--复杂”进行详细介绍，帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、基础完全平方公式回顾首先，我们需要回顾一下基础的完全平方公式。

在初中数学中，我们通常学习了以下两个公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$这两个公式是很常用的，可以帮助我们快速计算某些数的平方和。

例如，我们可以通过公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$来计算$(5+7)^2$，得到的结果就是$144$。

二、拓展完全平方公式拓展完全平方公式是复杂的完全平方公式的基础。

拓展完全平方公式公式是指：$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$这个公式也可以称为迪利克雷公式。

在实际运用中，我们经常使用这个公式来将某个式子化简为完全平方形式。

例如，在因式分解中，如果我们遇到了如下的式子：$x^2 + 10x + 24$我们可以将它化简为$(x+4)^2 - 4$的形式，然后将$(x+4)^2$和$-4$分别因式分解。

这就需要我们运用拓展完全平方公式。

三、完全平方数的判定在因式分解的过程中，我们需要判断一个数是否为完全平方数。

判断的方法是通过取它的平方根，如果能够得到整数，就说明这是一个完全平方数。

例如，我们想判断$36$是否为完全平方数，我们可以取平方根$\sqrt{36}$，结果是$6$，是一个整数，因此$36$就是一个完全平方数。

四、因式分解的步骤在完成以上三个知识点的学习之后，我们就可以进行复杂的因式分解了。

在进行因式分解之前，我们需要确定以下步骤：1.判断整个表达式是否为完全平方数。

2.如果不是完全平方数，将它化简为完全平方数的形式。

因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。

应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。

第1课时运用完全平方公式因式分解1.理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点.(重点)2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式.(难点)一、情境导入1.分解因式：(1)A2—4/；(2)3/-3/;(3)√-l; (4) (x÷3^)2-(χ-3y)2.2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“才+2助+从Iab + 4”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点：运用完全平方公式分解因式［类型一］判断能否用完全平方公式分解因式(≡1下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a-∖-abΛ^β； (2)-一a+；； (3)9a j-24aZ?+4Z?2； (4) —a ÷8a-16.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：(1)/+μ+人乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)才一a+ J= (a-1)2；(3)9才-24勖+4次乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4) — a2+8a-16= 一(/-8a+16)= - U-4)2.所以(2) (4)能用完全平方公式分解.故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.［类型二］运用完全平方公式分解因式≡3因式分解：(1)—3a2—+24,才一48 才;(2)(才+4) 2 —16 才.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式一3才，再把另一个因式(V-8x+16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解.解：(1)原式=-3/(V—8x+16) ——3∕(x—4)2；(2)原式=(才+4)2- (4a)2= (a2+4+4a) (a2+4-4a) = U+2)2U-2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解.【类型三】利用完全平方公式求值(SB 已知4x+y2-10y+29=0,求f∕+2χy+1 的值.解析：首先配方，借助非负数的性质求出x、y的值，问题即可解决.解：*.*X —4,γ÷y-↑,Oy+ 29 = 0, Λ (χ-2)2+ (y—5)2=0. V (A,-2)2^0, (y—5)2>0, .∙.χ-2=0, y—5=0, .∙.x=2, y=5, ∙∖xy-^-2xy+l = (Λ,∕÷I)2= H2= 121.方法总结：几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0.［类型四］运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342÷34×32 + 162;(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92.解析：利用完全平方公式转化为(a±力2的形式后计算即可.解：(1) 342 + 34 X 32 +162 = (34 +16)2 = 2500 ；(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92= (38. 9-48. 9)2= 100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键.［类型五］利用因式分解判定三角形的形状(SB已知a, A C分别是A4¾7三边的长，且才+2〃+02-26(&+©=0,请判断△力回的形状，并说明理由.解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可.解：由/+2//+——28(a+c)=0,得 a'—2aZ?+1} +1/-2bc-∖- c2=0,即(a—Z?)2+ {b- c)2=0, .∙.a-b=0, b-c=O f .*.a= b= c f Z∖4%7是等边三角形.方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路.［类型六］整体代入求值［例❺已知a+6=5, ab=10,求*6+才炉+Ja6的值.解析：将*6+4武昂3分解碌6与(叶犷的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答.解：3才6+才62+56=$仇才+246+62)=56(4+6)2.当西+6=5,仍=］。

因式分解—完全平方公式因式分解是一种数学运算，用于将一个多项式表示为它的因式的乘积。

因式分解是数学中一个基本的操作，它在解决方程、简化代数表达式等问题中起着重要的作用。

其中，完全平方公式是一种特殊的因式分解方法，用于将一个二次多项式表示为两个完全平方的乘积。

在解决因式分解问题时，首先需要了解完全平方公式。

完全平方公式指出，一个二次多项式可以表示为两个完全平方的和或差。

具体地说，如果一个二次多项式为x²+2ax+a²，则它可以分解为(x+a)²，即平方的和。

而如果一个二次多项式为x²-2ax+a²，则它可以分解为(x-a)²，即平方的差。

运用完全平方公式分解一个二次多项式的步骤如下：1.检查二次多项式的形式，确保它符合完全平方公式的形式。

2.提取二次项和线性项的系数。

3.根据完全平方公式的形式，将二次项和线性项的系数带入公式中。

4.计算和、差的平方，并展开得到简化的形式。

下面我们通过几个实例来具体说明如何运用完全平方公式进行因式分解。

例1：将多项式x²+6x+9进行因式分解。

解：首先我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式x²+2ax+a²。

然后我们提取二次项和线性项的系数，得到a=3、接下来，我们带入完全平方公式中，得到(x+3)²。

因此，多项式x²+6x+9可以分解为(x+3)²。

例2：将多项式x²-10x+25进行因式分解。

解：同样地，我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式x²-2ax+a²。

我们提取二次项和线性项的系数，得到a=5、然后，我们带入完全平方公式中，得到(x-5)²。

因此，多项式x²-10x+25可以分解为(x-5)²。

通过上述两个例子可以看出，使用完全平方公式进行因式分解可以简化计算，使我们能够更快地找到多项式的因式。