人教版九年级数学下册《28.2.2_应用举例_第1课时》精品课件

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人教版九年级数学下册《28.2.2应用举例_第1课时》精品课件2

课程讲授
1 利用解直角三角形解决简单问题
解：设∠POQ= α ，在图中，FQ是 ☉O的切线，△FOQ是直角三角形.
∵cosα=
OQ OF
=
6400 6400+343
≈
0.9491，
∴ α≈18.36°.
）
∴ PQ的长为
F P
Q
O
18.36π 180
×6400 ≈
18.36×3.142 180
×6400 ≈2051（km）
B α A βD
C
课程讲授
2 利用解直角三角形解决与视角有关的问题
练一练：如图，飞机在空中A处探测到它的正下方地面上目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地面指挥台B的俯角α的正切值为 3 ，则飞机与指挥台之
4
间的距离AB为（ D ）
A.1200米 B.1600米 C.1800米 D.2000米
课程讲授
2 利用解直角三角形解决与视角有关的问题
例热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
B α A βD
C
课程讲授
2 利用解直角三角形解决与视角有关的问题
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
随堂练习
6.我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山
峰，如图，其中山脚A，C两地海拔高度约为1000米，山
顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为
30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A，C两地间
打通一隧道，求隧道最短为多少米.

人教版初中九年级数学下册第二十八章 28.2.2 应用举例(第1课时)优秀课件

A.60米
B.40 3 米
C.40米
D.20米
检测反馈
解析:∵∠ADC=60°，∠BDC=30°，∴∠ADB=30°，
∠A=30°，∴AB=BD.在Rt△BCD20中，BC=20，BD= =40，∴AB=40米，所以塔身s的in 3高0 为40米.故选C.
2.如图所示，一飞机从一地平面指挥台C正上方
F
P Q
α O·
解：设∠POQ=a，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直
角三角形．
cos a OQ 6400 0.9491,
OF 6400 343
F
a 18.36 .
∴ 弧PQ的长为
P Q
α O·
18.36 6400 18.36 3.142 6400 2051(km).
180
CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.
例5 如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
解：在Rt△APC中，
在Rt△PQB中，∠BPQ=60°，
∴PQ=BPcos 60°=56×
1 2
=28.
在Rt△PQC中，∠QPC=45°，
∴PQ=PC·cos 45°= 2 x， ∴ 2 x=28，∴x=14 2 ≈19.7.
答:乙船的航行速度约为19.7海里/时.
C.1∶1 D.1∶ 2
解析:如图所示，AC=
2
502 25 2 25 2 (m)，由坡度
公式得i=
h 25 l 25
2 2

人教版九年级数学下册第二十八章28.228.2.2第1课时解直角三角形的简单应用

10. 如图所示，在一场足球比赛中，球员 A 欲传球给同伴 B，对方球员 C 企图抢断传球．已知球速为 16 m/s，球员速度为 8 m/s，当球由 A 传出的同时，球员 C 选择与 AC 垂直的方向出击，恰好在点 D 处将球成功抢断，则∠θ＝ 30° 素均不予考虑)． (球员反应速度、天气等因
A．24 米 C．12 3米
B．6 米 D．12 米
7. 如图，起重机的机身高 AB 为 20 m，吊杆 AC 的长为 36 m，吊杆与水平线的倾角可以从 30° 转到 80° ，则这台起重机工作时吊杆端点 C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是( D )
A．(30＋20) m 和 36tan30°m B．(36sin30° ＋20) m 和 36cos30°m C．36sin80°m 和 36cos30°m D．(36sin80° ＋20) m 和 36cos30°m
第二十八章锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例第1课时解直角三角形的简单应用
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题抽象为数学问题 (画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题)． (2)根据题目已知特点，选用适当的锐角三角函数或边或角的关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
11. (2018· 烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路 l，其间设有区间测速，所有车辆限速 40 千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在 l 上确定 A，B 两点，并在 AB 路段进行区间测速．在 l 外取一点 P，作 PC⊥l，垂足为点 C.测得 PC＝30 米， ∠APC＝71° ，∠BPC＝35° .上午 9 时测得一汽车从点

九年级数学下册课件-28.2.2 应用举例15-人教版

x
50
50 25 3 43m.
tan 60 tan 30 3 3
3
答：该塔约有43m高。
30°
A 50m
D
6┌0° BC
课堂练习
1.如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为 30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B 在同一直线上，建筑物A、B间的距离为（ C ）
30°
60°
【解析】如图，根据题意可知，∠A=30°，∠DBC=60°，
AB=50m，设CD=x，则∠ADC=60°，∠BDC=30°，
tan ADC AC , tan BDC BC ,
x
x
AC x tan 60, BC x tan 30.
x tan 60 x tan 30 50.
【答案】40
3.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）。
【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，
在Rt△ACD中：
A
tan ADC AC
B
DC
AC tan ADCgDC
tan 54o 40 1.38 40 55.2m
5.如图，一艘舰艇在海面下500米A点处测得俯角为 30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）。
【解析】作CF⊥AB于F，则
D A 30°
tan 30 CF , tan 60 CF
cos a OQ 6400 0.9491 OF 6400 343

人教版九年级数学下册第二十八章《28.2.2 应用举例(1)》精品课件

A的对边 a
sin A
斜边 c
cos
A
A的邻边斜边
b c
B的对边 b
sin B
斜边 c
cos
B
B的邻边斜边
a c
Ca
B
A的对边 a
tan A
A的邻边 b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
知识回顾
1.解直角三角形优选关系式的口诀：
知斜边，求直边，正余弦，很方便；知直边，求直边，用正切，理当然；知两边，求一角，边角式，要选好；知两边，求一边，用勾股，最方便；知锐角，求锐角，用互余，最可靠；知直边，求斜边，用除法，正余弦；好方法，要选择，能用乘，不用除.
练习1
如图，PA 切⊙O 于点 A，PO 交⊙O 于点 B，⊙O 的半径为 1 cm，PB=1.2 cm，则∠AOB= ，AB = ．
A
P
B
O
练习2
如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山
的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，
BD = 520m，∠D=50°，那么另一边开挖点E离D多远正好
位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体
中观测地球时的最远点．P⌒Q 的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算 P⌒Q 的长需
先求出∠POQ（即a）的度数.
F
P Q
α O·
解：在右图中，设∠POQ＝α，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
cos OQ 6400 0.9491
OF 6400 343
能使A，C，E在一直线上（结果保留到小数点后一位）
解：要使A、C、E在同一直线
上，则 ∠ABD是 △BDE 的一 A B

人教版九年级数学下册 28-2-2 应用举例课时1 课件

新知探究知识点：利用解直角三角形解决实际问题
棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点 A 到达
点 B 时，它走过了200 m. 在这段路程中缆车行驶的路
线与水平面的夹角为30°，你知道缆车垂直上升的距离
是多少吗？
BD =ABsin30°=100 m.
关于解直角三角形视频微课详见《教
材帮》RJ九下28.2.2新知课二维码.
宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与
“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道
上运行. 如图，当组合体运行到地球表面
P 点的正上方时，从中能直接看到的地球
表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点
的距离是多少 (地球半径约为 6 400 km，π
取 3.142，结果取整数)？
∴ BH =BC +CH =(2+ 3 x)米.
∵∠A =30°, ∴

AH=
=(2
tan30°
3 +3x)米.
∵ AH =AD +DH,∴ 2 3 +3x=20+x,解得 x =10- 3.
∴ BH =2+ 3(10- 3)=10 3 -1≈16.3(米).
答：立柱 BH 的长约为16.3米.
2.某房地产集团筹建一小区，小区内居民楼南北朝向，
每层楼在冬天都受阳光照射.
3.如图1，AB =EG =5，FG =10，AD =4，小红想用
△EFG 包裹矩形 ABCD，她包裹的方法如图2所示，则
C′
B′
矩形 ABCD 未包裹住的面积为 16 ．
D
A
E A
D
H
E
C(G)

九年级数学下册28.2.2应用举例第1课时课件新版新人教版

形．
cos a OQ 6400 0.95 OF 6400 350
F
a 18
P Q
∴ 弧PQ的长为
α ·O
18 6400 3.142 640 2010.88 2010.9
180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2010.9km
背景知识
数据 2≈1.414， ≈13.732, ≈2.456)
（2）求∠ACD的余弦值．
甲
乙
解：（1）连接AC， ∵AB=BC=15，∠B=90°， ∴∠BAC=∠ACB=45°，AC=15 。又∵∠D=90°，
∴ AD AC2 CD2
2
2
15 2 3 2 12 3
∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3+12 ≈30+4.23+20.76≈55（千米）
面积=S△ABC+S△ADC=112.5+18√6≈157（平方千米）
(2) cosACB CD 3 2 1 AC 15 2 5
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 1.将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) ;
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
解：如图,α =30°,β =60°, AD⊥BC，且AD=120m
tan BD , tan CD ,
AD
AD
A
∴BD=AD·tanα =120×tan30°=1 20× =40
B
α=30° 120 D
β=60°
CD=AD·tanβ =120×tan60°

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解：过E作EG垂直于CO的延长线于点G，∠COE=1 ×360°=120°， ∴∠GOE=60°2.
∴OG=OE·cos∠GOE=20（m） ∴小明离地面的高度是 OG+OC+CD=20+40+6=66（m）.
知识点2
与俯角、仰角有关的解直角三角形问题
铅垂线
视线
视点
仰角俯角
水平线
思考你能概括出仰角、俯角的概念吗？
解：如图，α=30°，β=60°，AD=120． ∵ tanα= BD ，tanβ= CD ．
B
AD
AD
∴
BD=AD·tanα=120×tan 30°A =120× 3 = 40 3 ，
α β
D
CD=AD·tan3β=120×tan 60°
=120× 3 = 120 3．
∴ BC=BD+CD= 40 3 + 120 3
28.2.2 应用举例
第1课时
学习目标
1.会运用解直角三角形和圆的知识解决实际问题. 2.知道仰角和俯角的含义，会用三角函数解决观测问题.
新课导入
提问我们平时观察物体时，视线相对于水平线
来说有哪几种情况？
三种：重叠、向上和向下．今天我们就来学习与圆和俯角、仰角有关的解直角三角形问题.
知识讲解
知识点1 圆和解直角三角形的综合运用
例1 2012 年 6 月 18 日，“神舟” 九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图.
当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表
= 160 3 ≈277（m）．
C
例3 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为 30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
现在你能完成这个任务吗? 要解决这个问题,我们仍需将其数学化.
请与同伴交流你是怎么想的，准备怎么去做.
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
（1）从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°→ α=30°．（2）从热气球看一栋楼底部的俯角为 60°→ β=60°．
（3）热气球与高楼的水平距离为 120 m→ AD=120 m，AD⊥BC．
P
面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为 6400km，π取3.142，结果取整数)？
提问
能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？
答从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．
思考：在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．
即学即练
F
B
如图，BCA=DEB=90，
FB//AC // DE，从A看B的仰角是 ∠BAC ；
DE
从B看A的俯角是 ∠FBA ；
从B看D的俯角是 ∠FBD ；A
C
从D看B的仰角是 ∠BDE ；水平线
3.某校课外活动小组在距离湖面7 m 高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖面的对称点）．请你算出这个热气球P 距湖面的高度PC约为多少米？
解：设过点A的水平线交PP′于点D，则
DC=AB=7，设AD=x.
则PD=AD·tan37°≈34x.
DC AB AC BC tan50 40 40
7.7m.
随堂练习
1. 如图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB= 30 3 m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧长等于 20π m.
2.如图，身高1.6 m的小丽用一个两锐角分别为 30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6 m，那么这棵树高大约为 5.1 m(结果精确到0.1 m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高).
解:如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°, AB=50 m.设CD=x m,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
答:该塔约有43 m高.
D
30°
60┌°
A 50 m B C
即学即练
如图，求旗杆AB的长度.
解：∵AC⊥DC，∴∠C=90° ∴∠BDC=45°,BC=DC=40m. ∴tan50 AC , AC tan50 DC .
≈
18.36 3.142 180
×6400≈2051(km)．
即学即练
如图是一个匀速旋转的摩天轮示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为 80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：经过 2min后，小明离地面的高度是多少米？
如图，用⊙O 表示地球，点 F 是组合体的
位置，FQ是⊙O 的切线， Q 为切点，则所
求问题为
．
解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是
直角三角形．
∵
OQ
6400
cosα = OF = 6400 343
≈ 0.9491，
∴ α≈18.36°．
∴ PQ 的长为
18.36
180
×6400
（1）求点M离地面AC的高度BM；
5
（2）设人站立点C与点A的水平
距离AC等于11个单位，求铁环钩
MF的长度.
解：（1）过点M作MD⊥OA于D. 则四边形ABMD是矩形. ∴BM=AD，AB=DM. 又MD=OM·sinα=5×5×3 =15.
5
OD OM2 MD2 20，
∴AD=OA-OD=5,∴BM=5 cm.
延长DM交FC于点E.
ME=BC=AC-AB=11×5-15=40. 又∵∠FME=∠MOD=α,cosα= 4 ,
5
MF ME =40 5 =50（cm）.
cos
4
课堂小结
铅垂线
视点
仰角俯角
视线水平线
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
P′D=AD·tan53°≈43x.
∵P′、P关于直线BC对称，
∴PC=P′C.即PD+DC=P′D-DC.
3 x 7 4 x 7， x 24，PC 25m.

4
3
拓展练习
4.已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5 cm），
设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环
与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα= 3 ．

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