2019-2020学年北京市101中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)-含详细解析

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 3．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．35．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+26．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．87．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF 的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：58．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有个，其坐标为．②当k＝2时，区域W内的整点有个．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD ⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE ⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为，此时∠APB＝．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：D．3．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝1【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，从而可以直接写出该函数的对称轴，本题得以解决．【解答】解：二次函数y＝2x2﹣4x﹣2＝2（x﹣1）2﹣4，则该函数的对称轴是直线x＝1，故选：B．4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．3【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠B＝60°，AC＝3，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝3，∴BC＝＝，∵AB⊥CD，∴CE＝BC•sin60°＝×＝，∴CD＝2CE＝3．故选：D．5．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+2【分析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解得a＝．故原来的抛物线解析式是：y＝x2．设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．故选：C．6．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】根据位似变换的性质得到＝，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到＝，所以＝，然后把OC1＝OC，AB＝4代入计算即可．【解答】解：∵C1为OC的中点，∴OC1＝OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴＝，B1C1∥BC，∴＝，∴＝，即＝∴A1B1＝2．故选：B．7．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF 的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝2，EC＝3，∴AB＝CD＝5，∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴△DEF与△BAF的周长之比＝＝，故选：C．8．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】根据图1，从点M、N、P、Q的位置分析得到甲虫运动时距离点M、N、P、Q的距离的变化情况，从而得解．【解答】解：由图可知，A、甲虫与点M的距离先逐渐增大，至点B时最大，然后逐渐变小，与图2不符合；B、甲虫与点N的距离从A到O逐渐变小，从O到B逐渐变大，从B到ON与半圆的交点逐渐变小，然后至点A逐渐变大，且甲虫在点A、B时与点N的距离相等，因此应出现3次与起始距离相等的情况，与图2不符合；C、甲虫与点P的距离从点A至点B减小，从点B至OP与半圆的交点减小，然后增大直至点A，图2不符合；D、甲虫与点Q的距离，从点A值点OB的过点Q与AB的垂线的垂足减小，再至点B增大，从点B值OP与半圆的交点减小，然后至点A一直增大，图2符合．故选：D．二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为 5 ．【分析】利用比例性质得到a﹣b＝4b，则a＝5b，从而得到的值．【解答】解：∵，∴a﹣b＝4b，∴a＝5b，∴＝＝5．故答案为5．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝120°．【分析】先根据圆周角定理求出∠BCD的度数，再由平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD＝120°，∴∠BCD＝＝60°．∴∠DCE＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝﹣1 ．【分析】根据“方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数”，利用一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的等式，解之，再把m的值代入原方程，找出符合题意的m的值即可．【解答】解：∵方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，∴1﹣m2＝0，解得：m＝1或﹣1，把m＝1代入原方程得：x2+2＝0，该方程无解，∴m＝1不合题意，舍去，把m＝﹣1代入原方程得：x2＝0，解得：x1＝x2＝0，（符合题意），∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（2，0）．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为：（2，0）．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝﹣2.6 ．【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则可判断当x＝﹣1和x＝5时函数值相等，所以x＝﹣1时，y＝﹣2.6，然后把x＝﹣1时，y＝﹣2.6代入解析式即可得到a﹣b+c的值．【解答】解：∵x＝1，y＝1.5；x＝3，y＝1.5，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，∴当x＝﹣1和x＝5时函数值相等，而x＝5时，y＝﹣2.6，∴x＝﹣1时，y＝﹣2.6，即a﹣b+c＝﹣2.6．故答案为﹣2.6．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是130°．【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACO＝60°﹣，由外角性质可求∠BOC＝40°，即可求解．【解答】解：∵△AOB是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝＝＝60°﹣，∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO，∴20°+60°＝∠COB+60°﹣，∴∠BOC＝40°，∵OC＝OA＝OB，∴∠OBC＝70°，∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°，故答案为：130°．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长即可求出MN的长．【解答】解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，∴＝13．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1∴b2﹣4ac＝5∴x＝．故，．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．【分析】把代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7整理得：3（m2+m）﹣8，根据“m 是一元二次方程x2+x＝5的实数根”，得到m2+m＝5，代入3（m2+m）﹣8，计算求值即可．【解答】解：（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7＝4m2﹣1﹣m2+3m﹣7＝3m2+3m﹣8＝3（m2+m）﹣8，∵m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，∴m2+m＝5，原式＝3×5﹣8＝7，即代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值为7．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）根据余角的性质得到∠ACD＝∠B，根据相似三角形的判定定理即可得到结论△ACD∽△ABC；（2）根据相似三角形的性质得到AB＝5，根据勾股定理得到BC＝＝＝2，由三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A+∠B＝∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝5（负值舍去），∴BC＝＝＝2，∴△ABC的面积＝AC•BC＝＝5．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案；【解答】解：（1）由题意可知：△＝b2+4a，当a﹣b﹣2＝0时，∴b＝a﹣2，∴△＝（a﹣2）2+4a＝a2+4＞0，该方程有两个不相等的实数根；（2）由（1）可知：b2+4a＝0，∴当b＝2时，∴a＝﹣1，∴该方程为：﹣x2﹣2x﹣1＝0，∴（x+1）2＝0，∴x＝﹣120．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝2，∴CD＝1，AC＝．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．【分析】根据桥拱的对称性和已知数据，以对称轴为纵轴、水面为横轴建立坐标系，使拱顶在坐标原点最简单．【解答】解：正确．抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图．（仅举两例）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有 1 个，其坐标为（0，0）．②当k＝2时，区域W内的整点有 6 个．【分析】（1）当x＝0，y＝1即可求点（0，1）；（2）①当k＝1时，y＝x+1，x＝1，y＝﹣1，画出函数，可得整数点坐标（0，0）；②当k＝2时，y＝2x+1，x＝2，y＝﹣2，由图象可看出分别6个整数点分别是（0，0），（0，﹣1），（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，0）．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝1，∴直线l与y轴的交点坐标是（0，1）；（2）①当k＝1时，y＝x+1，x＝1，y＝﹣1，∴区域内只有一个整点（0，0）；故答案为1，（0，0）；②当k＝2时，y＝2x+1，x＝2，y＝﹣2，此时区域内有6个整点，分别是（0，0），（0，﹣1），（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，0）；故答案为6．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．【分析】（1）连接OD．证明△AOD是等边三角形即可解决问题．（2）连接OC，CF，EC．证明△CFD是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】解：（1）连接OD．∵DC⊥OA，AM＝MO，∴DA＝DO，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°．（2）连接OC，CF，EC．∵OA⊥CD，∴＝，CM＝DM，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，∵∠CDE＝45°，∴CF＝DF，FM＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3，∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°，∴EF＝CF＝，∴DE＝EF+DF＝+3．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD ⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE ⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）构造相似三角形解决问题即可．【解答】解：（1）如图线段CD即为所求．（2）连接AC，BD．由题意AC＝2，DB＝3，CD＝＝2，∵AC∥BD，∴△ACO∽△BDO，∴＝＝，∴OC＝CD＝，∵AC∥DE，∴△ACF∽△EDF，∴＝＝1，∴DF＝CF＝，∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．故答案为，．（3）如图3中，线段AE即为所求．连接BC，作AM∥BC交CD于M．由题意：BC＝1，AM＝2.5，CD＝2，DF＝CF＝，CM＝，∵BC∥AM，∴△BOC∽△AOM，∴＝＝，∴OC＝CM＝．∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．故答案为，．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝0 ，点A的坐标为（4，0）．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据题意和题目中的函数解析式可以求得c的值和点A的坐标；（2）根据（1）中点A得坐标和二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，可以求得a的值；（3）根据题意可以求得点B的坐标，然后根据二次函数与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（，0），二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，可以求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，∴当x＝0时，c＝0，将y＝0代入y＝x﹣4，得x＝4，即点A的坐标为（4，0），故答案为：0，（4，0）；（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，点A的坐标为（4，0），∴0＝a×42﹣（2a+1）×4，解得，a＝；（3）∵y＝ax2﹣（2a+1）x＝x[ax﹣（2a+1）]，∴函数y＝ax2﹣（2a+1）x过点（0，0）和（，0），∵点A（4，0），点O的坐标为（0，0），二次函数y＝ax2+（2a+1）x（a＞0）的图象与△AOB只有一个公共点，∴＞，a＞0，解得，0＜a＜，即a的取值范围是0＜a＜．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为2+4，此时∠APB＝120°．【分析】（1）①按要求补全图形即可；②作AH⊥PB于H，在Rt△APH中，由直角三角形的性质得出PH＝PA＝1，由勾股定理得出PH＝，得出BH＝3，在Rt△AHB中，由勾股定理得AB＝2；再由旋转的性质和勾股定理求出P'B，即可得出PC的长；（2）把△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，根据旋转的性质得AP'＝AP＝2，P'B ＝PC，∠P'AP＝60°，得出△APP'为等边三角形，得出PP'＝PA＝2，∠APP'＝60°，当P'点在直线PB上时，P'B最大，得出P'B的最大值，即可得出PC的最大值，此时∠APB ＝120°．【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示：②作AH⊥BP于H，如图2所示：在Rt△APH中，∵∠APB＝30°，∴AH＝PA＝1，∴PH＝＝＝，∴BH＝PB﹣PH＝3，在Rt△AHB中，AB＝＝＝2，把△PAC绕点A顺时针旋转60°得△P'AB，连接PP'，如图3所示：则∠APP'＝60°，AP'＝AP，PC＝P'B，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝PA＝2，∵∠APB＝30°，∴∠BPP'＝90°，∴P'B＝＝＝2，∴PC＝2；（2）把△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，则AP'＝AP＝2，P'B＝PC，∠P'AP＝60°，∴△APP'为等边三角形，∴PP'＝PA＝2，∠APP'＝60°，当P'点在直线PB上时，如图4所示：此时P'B最大，最大值为2+4，∴PC的最大值为2+4，此时∠APB＝120°；故答案为：2+4，120°．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为40 ．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．【分析】（1）由两点距离公式可求AB长，由正方形的性质可求解；（2）①分两种情况，由两点距离公式和正方形性质可求解；②由题意可得BM＝AM，可得m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，由正方形的性质可求a的取值范围，即可求解．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），∴AB＝＝2，由题意可知，AB是正方形对角线的一半，∴正方形的边长为2，∴正方形的面积为40，∴顶点A、B的“领域”的面积为40；故答案为40；（2）①如图，∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，∴AB与x轴的所成锐角为45°，当点B在A左侧，设B（2﹣a，a），∴AB＝＝a，∵点A、B的“领域”的面积为16，∴16＝，∴a＝2，∴点B（0，2），当点B在点A右侧，设B'（2+a，a）∴AB'＝a，∵点A、B的“领域”的面积为16，∴16＝，∴a＝2，∴点B（4，2），综上所述：B（4，2）或B（0，2）；②如图2，过点B作BM⊥AM，∵∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，∴AB与直线x＝2的所成锐角为45°，∴BM＝AM，设点B（a，﹣3a+2），∴AM＝|m+3a﹣2|，BM＝|2﹣a|∴AB＝|2﹣a|，∵点A、B的“领域”的面积不超过16，∴≤16∴0≤a≤4，∵BM＝AM，∴|m+3a﹣2|＝|2﹣a|∴m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，∴﹣12≤m≤4，或﹣8≤m≤0，综上所述：﹣12≤m≤4．。

北京101中学2020届上学期初中九年级开学摸底考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1. 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|=|b|，则下列结论中错误．．的是（ ）A. 0=+b aB. 0<+c aC. 0>+c bD. 0<ac2. 抛物线2)1(2+-=x y 的对称轴为（ ）A. 直线1=xB. 直线1-=xC. 直线2=xD. 直线2-=x3. 如果分式)(3)(b a b a a ++的值是零，那么a 、b 满足的条件是（ ）A. b a -=B. b a -≠C. a =0D. 0=a 且b a -≠4. 陈老师打算购买气球装扮活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同。

由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格（单位：元）为（ ）A. 19B. 18C. 16D. 155. 如图，在平形四边形ABCD 中，AB =3，BC =5，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则DE的长（ ）A. 5B. 4C. 3D. 26. 改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升。

居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长。

下图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图。

说明：在统计学中，同比．．是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比．．是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较。

根据上述信息，下列结论中错误．．的是（ ） A. 2017年第二季度环比有所提高 B. 2017年第四季度环比有所降低 C. 2018年第一季度同比有所提高 D. 2018年第四季度同比有所提高7. 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法。

2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则BE为（）A．2 B．3 C．4 D．3.53．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE＝OB＝2，∠D＝20°，则的长度为（）A．πB．πC．πD．π5．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（）A．65°B．50°C．45°D．40°6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+17．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为（）A．6 B．12 C．24 D．28．点P为⊙O内一点，且OP＝4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（）A．12 B．C．8 D．10.59．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm10．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1﹣h2|等于（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝75°，则∠AOC＝．12．在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝60°，若点O为△ABC的外心，则∠AOC的度数是；若点P为△ABC的内心，则∠APC的度数是．13．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，＝＝，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是cm．14．扇形的圆心角是120°，面积是3πcm2，则扇形的弧长是cm，将此扇形卷成一个圆锥，则底面圆的半径为cm．15．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是．三、解答题（共7小题，满分46分）17．（1）如图中，AB是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出△ABC的三条高的交点；（2）已知⊙O如图所示．①求作⊙O的内接正方形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；②若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为．18．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．19．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．20．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，以R长为半径画圆，若⊙C 与AB边只有一个公共点，求R的取值范围．21．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD 的边长和PB的长．22．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D 为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若点P与圆心O重合，则S P为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则S P为线段AP的长度．图1为点P在⊙O外的情形示意图．（1）若点B（1，0），C（1，1），，则S B＝；S C＝；S D＝；（2）若直线y＝x+b上存在点M，使得S M＝2，求b的取值范围；（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T 在⊙O内且S T≥S R，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．【解答】解：∵d＝3＜半径＝4∴直线与圆相交∴直线m与⊙O公共点的个数为2个故选：C．2．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则BE为（）A．2 B．3 C．4 D．3.5【分析】连接OC构建Rt△COE．利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得OC＝5，CE＝4；然后根据勾股定理求得OE＝2；最后利用线段间的和差关系求得BE＝OB﹣OE求得BE的长度即可．【解答】解：连接OC．∵AB是⊙O的直径，AB＝10，∴OC＝OB＝AB＝5；又∵AB⊥CD于E，CD＝8，∴CE＝CD＝4（垂径定理）；在Rt△COE中，OE＝3（勾股定理），∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，即BE＝2；故选：A．3．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．【解答】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角＝360°÷6＝60°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，边所对的圆周角的度数是60×＝30°或180°﹣30°＝150°．故选：D．4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE＝OB＝2，∠D＝20°，则的长度为（）A．πB．πC．πD．π【分析】连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠EOD＝20°，根据外角的性质得到∠CEO＝∠D+∠EOD＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠CEO＝40°，根据外角的性质得到∠BOC＝∠C+∠D＝60°，根据求弧长的公式得到结论．【解答】解：连接OE、OC，如图，∵DE＝OB＝OE，∴∠D＝∠EOD＝20°，∴∠CEO＝∠D+∠EOD＝40°，∵OE＝OC，∴∠C＝∠CEO＝40°，∴∠BOC＝∠C+∠D＝60°，∴的长度＝＝π，故选：A．5．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（）A．65°B．50°C．45°D．40°【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．【解答】解：连接OA，OB，∵PA、PB切⊙O于点A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，由圆周角定理知，∠AOB＝2∠ACB＝130°，∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．故选：B．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+1【分析】连接DO、AD，求出圆的半径，求出∠BOD和∠DOA的度数，再分别求出△BOD 和扇形DOA的面积即可．【解答】解：连接OD、AD，∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，∴∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是Rt△BAC，∵BC＝4，∴AC＝AB＝4，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，BO＝DO＝2，∵OD＝OB，∠B＝45°，∴∠B＝∠BDO＝45°，∴∠DOA＝∠BOD＝90°，∴阴影部分的面积S＝S△BOD+S扇形DOA＝+＝π+2．故选：B．7．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为（）A．6 B．12 C．24 D．2【分析】利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算．【解答】解：设底面圆半径为r，则2πr＝12π，化简得r＝6．故选：A．8．点P为⊙O内一点，且OP＝4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（）A．12 B．C．8 D．10.5【分析】过点P最长的弦是圆的半径，最短的弦是与OP垂直的弦，所以过点P的弦最长是12，最短是．【解答】解：如图所示，OP⊥AB，则AB是过点P最短的弦，∴AP＝BP，OA＝6，OP＝4，在Rt△AOP中，AP＝，所以AB＝．由于8＜，所以过点P的弦长不可能为8．故选：C．9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm【分析】根据垂径定理得出AB的长，进而利用中位线定理得出OF即可．【解答】解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝．故选：D．10．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1﹣h2|等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】设AB、NM交于H，做OD⊥MN于D，连接OM，利用垂径定理及勾股定理可求出OD，再推△AFH∽△ODH∽△BEH，然后就可利用OH表示BE、AN，从而可求出答案．【解答】解：设AB、NM交于H，作OD⊥MN于D，连接OM．∵AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦MN的长为8，∴DN＝DM＝4，∵MO＝5，∴OD＝3．∵BE⊥MN，AF⊥MN，OD⊥MN，∴BE∥OD∥AF，∴△AFH∽△ODH∽△BEH，∴即，即＝，∴（AF﹣BE）＝﹣2，∴|h1﹣h2|＝|AF﹣BE|＝6．故选：B．二．填空题（共6小题）11．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝75°，则∠AOC＝150°．【分析】首先在优弧AC上取点E，连接AE，CE，由圆的内接四边形的性质，可得∠CBD ＝∠E，由圆周角定理可求得∠AOC的度数．【解答】解：在优弧AC上取点E，连接AE，CE，∵∠ABC＝180°﹣∠E，∠ABC＝180°﹣∠CBD，∠CBD＝75°，∴∠E＝∠CBD＝75°．∴∠AOC＝2∠E＝150°，故答案为：150°．12．在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝60°，若点O为△ABC的外心，则∠AOC的度数是80°；若点P为△ABC的内心，则∠APC的度数是110°．【分析】先根据三角形内角和计算出∠ABC＝40°，若点O为△ABC的外心，利用圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC；若点P为△ABC的内心，利用角平分线的性质和三角形内角和得到∠APC＝90°+∠ABC．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°，若点O为△ABC的外心，则∠AOC＝2∠ABC＝80°；点P为△ABC的内心，则∠APC＝90°+∠ABC＝90°+×40°＝110°．故答案为80°，110°．13．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，＝＝，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是8 cm．【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得＝，然后求出C′D为直径，从而得解．【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，＝，∴＝，∵＝＝，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是8cm．故答案为：8．14．扇形的圆心角是120°，面积是3πcm2，则扇形的弧长是2πcm，将此扇形卷成一个圆锥，则底面圆的半径为 1 cm．【分析】根据扇形的面积公式S＝即可求得半径，然后根据扇形的面积公式S＝lr，即可求得弧长．利用圆的周长公式求出底面圆的半径．【解答】解：设扇形的半径是rcm，则＝3π，解得：r＝3，设扇形的弧长是l，则×3l＝3π，解得：l＝2π（cm），将此扇形卷成一个圆锥，设底面圆的半径为Rcm，则2πR＝2π，解得R＝1，故答案为2π，1．15．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．【分析】连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB，∠ADC＝90°，利用勾股定理求得AD＝＝＝4；再证明Rt△ABE∽Rt△ADC，得到＝，即2R＝＝＝5．【解答】解：如图，连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB；∵AD⊥BC于D点，AC＝5，DC＝3，AB＝，∴∠ADC＝90°，AD＝＝＝4；在Rt△ABE与Rt△ADC中，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴＝，即2R＝＝＝5；∴⊙O的直径等于．16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】画法（1）的依据为圆周角定理，画法（2）的依据为切线的判定定理．【解答】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线．故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三．解答题（共7小题）17．（1）如图中，AB是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出△ABC的三条高的交点；（2）已知⊙O如图所示．①求作⊙O的内接正方形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；②若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为4．【分析】（1）半圆与AC、BC分别交于点D、E，利用圆周角定理得到BD⊥AC，AE⊥BC，BD与AE相交于P，延长CP交AB于F，利用三角形三条高线相交于一点可判断CF⊥AB；（2）①先作直径MP，再过点O作MP的垂线得到直径NQ，则四边形MNPQ满足条件；②利用正方形的性质求解．【解答】解：（1）如图1，AE、BD、CF为所作；（2）①如图2，正方形MNPQ为所作；②因为四边形MNPQ为正方形，所以MN＝PM＝×8＝4．故答案为4．18．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可；（2）根据弧长公式解答即可．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴．19．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．【分析】连接BO并延长交圆O与点D，连接AD，根据BD是直径，易证△ABD为直角三角形；∠D＝∠C＝30°．则BD＝2AB＝8．【解答】解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴∠C＝30°，∴∠BOA＝60°．又∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形．∴OB＝AB＝4，∴BD＝8．∴⊙O的直径为8．20．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，以R长为半径画圆，若⊙C 与AB边只有一个公共点，求R的取值范围．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得到AB＝5cm，根据三角形的面积公式得到CD＝＝，然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，∴AB＝5cm，∴CD＝＝，若边AB与⊙C只有一个公共点，r的取值范围是r＝或3＜r≤4．21．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD 的边长和PB的长．【分析】连接AC，作AE⊥PB于E，由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D ＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，由圆周角定理得出AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，得出∠APC＝90°，AC＝AB，由勾股定理得出AC＝＝，得出AB＝，由圆周角定理得出∠APB＝∠ACB＝45°，证出△APE是等腰直角三角形，得出PE＝AE＝AP＝，再由勾股定理得出BE＝＝，即可得出PB的长．【解答】解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，∴∠APC＝90°，AC＝AB，∴AC＝＝＝，∴AB＝＝，∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，∴△APE是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝AP＝，∴BE＝＝＝，∴PB＝PE+BE＝+．22．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D 为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．【分析】（1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO＝90°，再由AC＝FC得到∠CAF＝∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA＝∠DFO，所以∠CAF＝∠DFO，加上∠OAD＝∠ODF，则∠OAD+∠CAF＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；（2）由于圆的半径R＝5，EF＝3，则OF＝2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF 的长．【解答】（1）证明：连结OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO＝90°，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA，∵∠CFA＝∠DFO，∴∠CAF＝∠DFO，而OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODF，∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵圆的半径R＝5，EF＝3，∴OF＝2，在Rt△ODF中，∵OD＝5，OF＝2，∴DF＝＝．23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若点P与圆心O重合，则S P为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则S P为线段AP的长度．图1为点P在⊙O外的情形示意图．（1）若点B（1，0），C（1，1），，则S B＝0 ；S C＝﹣1 ；S D＝；（2）若直线y＝x+b上存在点M，使得S M＝2，求b的取值范围；（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T 在⊙O内且S T≥S R，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．【分析】（1）根据点的坐标和新定义解答即可；（2）根据直线y＝x+b的特点，结合S M＝2，根据等腰直角三角形的性质解答；（3）根据T在⊙O内，确定S T的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值．【解答】解：（1）∵点B（1，0），∴S B＝0，∵C（1，1），∴S C＝﹣1，∵，∴S D＝，故答案为：0；﹣1；；（2）设直线y＝x+b与分别与x轴、y轴交于F、E，作OG⊥EF于G，∵∠FEO＝45°，∴OG＝GE，当OG＝3时，GE＝3，由勾股定理得，OE＝3，此时直线的解析式为：y＝x+3，∴直线y＝x+b上存在点M，使得S M＝2，b的取值范围是﹣3≤b≤3；（3）∵T在⊙O内，∴S T≤1，∵S T≥S R，∴S R≤1，∴线段PQ长度的最大值为1+2+1＝4．。

北京市101中学2020-2021学年度九年级（上）10月月考 物理试卷 2020.10班级_____________________姓名_____________________学号_____________________ 一、下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意。

（共30分，每小题2分） 1．在国际单位制中，电压的单位是（ ）A ．瓦特B ．伏特C ．安培D ．焦耳2．如图所示，当开关闭合时三盏灯属于并联的是（ ）3．如图所示为自行车部件或使用中的实例，其中目的是为减小摩擦的是（ ）4．一辆汽车从斜坡上匀速下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．动能不变，重力势能减小B ．动能不变，重力势能不变C ．动能增加，重力势能减小D ．动能减小，重力势能减小5．下列电路中，电流表测L 1灯电流的是（ ）6．家用电吹风机由电动机和电热丝等组成。

当只闭合S 1时，可以吹冷风；当S 1、S 2都闭合时，可以吹热风。

如图电路中符合要求的是（ ）7．如图所示的现象中，属于用热传递的方式改变物体内能的是（ ）B ．遇到紧急情况 时用力捏闸A ．自行车的车把上刻有花纹D ．自行车轮胎 上刻有花纹C ．轴承中有滚珠ABCDAB CDA ．钻木取火B ．加热水壶 使水沸腾C ．锯木头锯条发热D ．空气被压缩时“棉花”燃烧8．如图所示，用丝绸摩擦过的玻璃棒去靠近轻质小球时，产生了互相吸引的现象，则该小球（ ）A ．可能带负电，也可能不带电B ．一定带正电C ．可能带正电，也可能不带电D ．一定带负电9．下列现象中，属于扩散现象的是（ ）A ．春天沙尘暴，飞沙满天B ．擦黑板时，粉笔灰四处飞扬C ．槐树开花时，空气中弥漫着槐花的香味D ．煮稀饭时，看到锅中米粒翻滚10．柴油机和汽油机都属于热机，关于热机的下列说法中正确的是（ ）A ．汽油机顶部有喷油嘴，柴油机顶部有火花塞B ．柴油机在吸气冲程中将柴油和空气的混合气体吸入气缸C ．热机的一个工作循环包括四个冲程，对外做功一次D ．汽油机油箱里装的汽油质量越大，汽油的热值就越大11．如图所示的四个电路图中，开关S 闭合后，电源可能被损坏的电路是（ ）12．如图甲所示的电路中，闭合开关，两灯泡均发光，且两个完全相同的电流表指针偏转均如图乙所示，通过灯泡L 1和L 2的电流分别为（ ）A ．1.5A 0.3AB ．1.2A 0.3AC ．0.3A 0.3AD ．1.2A 1.2A13．如图是四冲程汽油机的工作示意图，下列说法正确的是（ ）A ．这四个冲程的正确顺序是：丙→甲→丁→乙B ．靠惯性完成的冲程是甲、乙、丙C ．甲冲程中是内能转化为机械能D ．丁冲程中是内能转化为化学能14．如图甲所示，放在水平地面上的物体，受到方向不变的水平拉力F 的作用，F 的大小与时间t 的关系如图乙所示，物体运动速度υ与时间t 的关系如图丙所示，由图像可知（ ）SSAL 1 L 2 B L 1L 2DSL 2L 1 SL 2CL 1甲乙甲 乙 丁丙甲 乙 ABA ．当t =2s 时，物体保持静止B ．只有当t =4s 时，物体作匀速直线运动C ．物体受到的合力为4ND ．物体受到的摩擦力为4N15．如图所示，将甲、乙两容器放在水平桌面上，甲、乙两容器的底面积分别为S 甲和S 乙。

北京市北京一零一中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．某种流感病毒的直径在0.00000012米左右，将0.00000012用科学记数法表示应为（）A．0.12×10﹣8B．012×10﹣8C．1.2×10﹣8D．1.2×10﹣7 3．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝5B．x1＝2，x2＝3C．x1＝﹣1，x2＝﹣5D．x1＝﹣2，x2＝﹣34．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从(3,4)出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（）A．点M B．点N C．点P D．点Q向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是()5．把函数y xA ．()2,2B ．()2,3C ．()2,4D ．(2,5)6．随着北京公交制票价调整，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用，新版站牌每一个站名上方都有一个相应的数字，将上下车站站名称对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参考票制规则计算票价，具体来说：另外，一卡通刷卡实行8折优惠，小明用一卡通乘车上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的数字是20，那么小明乘车的费用是（ ）A ．1.6元 B ．2元C ．2.4元D ．3.2元7．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 48．把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝cm ，DC ＝，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到∠D 1CE 1（如图乙），这时AB 与CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ．则线段AD 1的长为（ ）A．B．C．5cm D．3cm二、填空题9．在平面直角坐标系中点A（2，1）关于原点对称点的坐标是___．10．分解因式：2x2﹣2y2＝_____．11．方程x2＝3x的解为：_____．12．若m是方程x2+4x﹣1＝0的根，则代数式（m+2）2+5的值为___．13．在平面直角坐标系xOy中，若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过A（1，3）和B（﹣1，m），则m的值为___．14．如图，将∠ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C．若∠A′CB′＝30°，则∠BCA′的度数是___．15．有一个抛物线形桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点M的距离5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱的长为___m．16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，现有下面四个推断：∠抛物线开口向下；∠当x＝﹣2时，y取最大值；∠当m＜4时，关于x的一元一次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；∠直线y＝kx+c（k≠0）经过点A、C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；其中推断正确的是___（只填序号）．三、解答题17|0﹣2﹣1．18．解不等式组：()1236122x x x x ⎧--⎪⎨-⎪⎩＞＞．19．下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ． 求作：直线PM ，使直线PM ∠直线l ．图1 作法：如图2，∠在直线l 上任取一点A ，作射线AP ；∠以P 为圆心，P A 为半径作弧，交直线l 于点B ，连接PB ；∠以P 为圆心，PB 长为半径作弧，交射线AP 于点 C ；分别以B ，C 为圆心，大于12BC 长为半径作弧，在AC 的右侧两弧交于点M ； ∠作直线PM ；所以直线PM 就是所求作的直线．图2根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知PM平分∠CPB，∠CPB．∠∠CPM＝∠ ＝12又∠P A＝PB，∠∠P AB＝∠PBA．（）（填依据）．∠∠CPB＝∠P AB＋∠PBA，∠∠P AB＝∠PBA＝1∠CPB．2∠∠CPM＝∠P AB．∠直线PM∠直线l．（）（填依据）．20．已知一个二次函数的图象经过（2，﹣1），（1，0），（0，3）三点．（1）求出这个二次函数解析式；（2）若此函数图像与x轴、y轴的公共点分别为点A、B、C，则∠ABC的面积为．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3＝0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．22．实验操作：（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角∠ABC的顶点的横、纵坐标都是整数，若将∠ABC以点P（1，-1）为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到∠DEF，请在坐标系中画出点P和∠DEF．（2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60°）中有一个等边∠ABC，它的顶点A，B，C都落在格点上，若将∠ABC以点P为旋转中心，按顺时针方向旋转60°得到∠A'B' C'，请在菱形网格图中画出∠A'B' C'，则点A旋转到点A'所经过的路线长为23．某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A．纪念馆志愿讲解员：B．书香社区图书整理：C．学编中国结及义卖：D．家风讲解员．E．校内志愿服务．每位同学都从中选择一个项目参加．为了解同学们选择这5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下．收集数据设计调查问卷，收集到如下的数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，C，B，D，C，A，C，C，A，C，E．整理、描述数据划记、整理、描述样本数据、绘制统计图如下．请补全统计表和统计图．正正正分析数据、推断结论a．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是（填A﹣E的字母代号）；b．请你根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择志愿服务项目D．24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE＝OC，CE＝OD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．25．如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）若a＝1，∠求抛物线顶点坐标；∠若2x2﹣x1＝7，求m的值；（2）若存在实数b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，则m的取值范围是．27．在∠ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1．请你直接写出BC与CG的数量关系是；位置关系是．（2）若点D在线段BC的延长线上．∠请你依题意补全图2；∠判断问题（1）中的BC与CG的数量与位置关系是否仍成立，并说明理由；∠若G为CF中点，连接GE，用等式表示线段AB与GE的数量关系，并加以证明28．对子某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度．特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为零．例如，如图中的函数有0，1两个不动值，其不动长度q等于1．（1）下列函数∠y12x，∠y＝x2+1，∠y＝x2﹣2x中存在不动值的是；（填序号）（2）函数y＝3x2+bx．∠若其不动长度为0，则b的值为；∠若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则m的取值范围为．答案第1页，共2页参考答案：1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．A 8．B 9．（-2，-1） 10．2（x +y ）（x ﹣y ） 11．x 1＝0，x 2＝3 12．10 13．-3 14．80° 15．1516．①③##③① 171218．12＜x ＜519．（1）见解析；（2）BPM ；等腰三角形两底角相等；同位角相等两直线平行20．（1）243y x x =-+；（2）321．（1）k ＜6；（2）k =5 ．22．（1）作图见解析；（2）43π，作图见解析23．见解析24．（1）见解析；（2）25．（1）10米；（2）800平方米26．（1）∠（1，-1）；∠m ＝3；（2）24m ≥27．（1）BC＝CG，BC∠CG；（2）∠见解析，∠成立，理由见解析，∠GE=．28．（1）∠∠；（2）∠1，∠113q≥≥-；（3）2≤m≤5或m＜98-答案第2页，共2页。

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+＝1B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣1）（x+2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝02．（3分）关于x的方程（a﹣3）x2+x+2a﹣1＝0是一元二次方程的条件是（）A．a≠0B．a≠3C．a≠D．a≠﹣33．（3分）一元二次方程x2﹣1＝0的根为（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝14．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝17D．（x﹣4）2＝155．（3分）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程x2﹣17x+70＝0的根，则此三角形的周长是（）A．10B．17C．20D．17或206．（3分）已知xy＝mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．（3分）下列两个图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等腰三角形C．两个五边形D．两个正方形8．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝D．＝9．（3分）某厂今年4月份的产值为50万元，第二季度的产值为196万元，这两个月的平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程是（）A．50（1+x）＝196B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196C．50+50（1+x）2＝196D．50（1+x）2＝19610．（3分）若＝，则＝（）A．1B．C．D．二.填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）方程（x﹣5）（2x﹣1）＝3的一般形式是．12．（3分）已知，则＝．13．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则+等于．14．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是．15．（3分）如图，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，且DE∥BC，若DE＝6cm，BC＝9cm，AE＝4cm，则AC＝．三.解答题（共55分）16．（15分）解方程：（1）（3x+3）2＝14（2）5x2﹣1＝4x（3）（2x+1）2＝3（2x+1）17．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．18．（8分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证：AD2＝AF•AB．19．（14分）（1）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与宽AD平行，一条与长AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570米2，问小路应为多宽？（2）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：①每千克核桃应降价多少元？②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？20．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过点C作CE 垂直BD交BD的延长线于E，如图（1）（1）求证：△ABD∽△ECD；（2）若BD是边AC上的中线，如图（2），求的值；（3）若BD是∠ABC的平分线，如图（3），求的值．四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）21．（4分）若＝＝（abc≠0），则＝．22．（4分）已知x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣6＝0的一个根，则2a﹣3b+6的值是．23．（4分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．24．（4分）若abc≠0，且＝P，则直线y＝px+p一定经过象限．25．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，G为AB中点，在线段DG上取点F，使FG＝AG，过点F作FE⊥DG交AD于点E，连接EC交DG于点H．已知EC平分∠DEF．下列结论：①∠AFB＝90°；②AF∥EC；③△EHD∽△BGF；④DH•FG＝FH•DG，其中正确的是．二、解答题（共30分）26．（8分）已知一元二次方程x2﹣2x+m＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围．（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2＝3，求m的值．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB ＝90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144＝0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．（1）求点C的坐标；（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的函数关系式．28．（12分）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF．请直接写出的值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．解：A、是分式方程不是一元二次方程，故A错误；B、a＝0是一元一次方程，故B错误；C、是一元二次方程，故C正确；D、是二元二次方程，故D错误；故选：C．2．解：由关于x的方程（a﹣3）x2+x+2a﹣1＝0是一元二次方程，得a﹣3≠0．解得a≠3，故选：B．3．解：x2﹣1＝0，移项得：x2＝1，两边直接开平方得：x＝±1，故选：C．4．解：∵x2﹣8x＝1，∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，故选：C．5．解：∵x2﹣17x+70＝0，∴（x﹣10）（x﹣7）＝0，∴x1＝10，x2＝7，∵4+6＝10，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：4+6+7＝17，故选：B．6．解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy＝mn，与原式相等；B、两边同时乘以最简公分母mx得xy＝mn，与原式相等；C、两边同时乘以最简公分母mn得xn＝my，与原式不相等；D、两边同时乘以最简公分母my得xy＝mn，与原式相等；故选：C．7．解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；C、两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意．故选：D．8．解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．9．解：5月份的产值为50×（1+x），6月份的产值在5月份产值的基础上增加x，为50×（1+x）×（1+x），则列出的方程是50+50（1+x）+50（1+x）2＝196，故选：B．10．解：∵＝，∴5（a﹣b）＝3a，整理得，b＝a，所以，＝＝．故选：C．二.填空题（每小题3分，共15分）11．解：（x﹣5）（2x﹣1）＝3，∴2x2﹣11x+5﹣3＝0，∴2x2﹣11x+2＝0．故答案为：2x2﹣11x+2＝0．12．解：∵＝＝＝（e+f+g≠0），∴＝．故答案为：．13．解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，∴+＝＝﹣2．故答案为﹣2．14．解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣3＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac≥0，即：4+12k≥0，解得：k≥﹣，∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0中k≠0，故答案为：k且k≠0．15．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE＝6cm，BC＝9cm，AE＝4cm，∴＝，∴AC＝6，故答案为：6．三.解答题（共55分）16．解：（1）∵（3x+3）2＝14，∴3x+3＝±，即3x+3＝﹣或3x+3＝，解得：x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+；（2）5x2﹣1＝4x，5x2﹣4x﹣1＝0，（5x+1）（x﹣1）＝0，即5x+1＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣，x2＝1；（3）∵（2x+1）2＝3（2x+1），∴（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0，∴（2x+1）（2x+1﹣3）＝0，即2x+1＝0，2x+1﹣3＝0，解得：x1＝﹣，x2＝1．17．解：令＝k．∴a+4＝3k，b+3＝2k，c+8＝4k，∴a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8．又∵a+b+c＝12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）＝12，∴k＝3．∴a＝5，b＝3，c＝4．∴△ABC是直角三角形．18．证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB＝AE：AC，AF：AD＝AE：AC，∴AD：AB＝AF：AD，∴AD2＝AF•AB．19．解：（1）设小路宽为x米，则小路总面积为：20x+20x+32x﹣2•x2＝32×20﹣570，整理，得2x2﹣72x+70＝0，x2﹣36x+35＝0，∴（x﹣35）（x﹣1）＝0，∴x1＝35（舍），x2＝1，∴小路宽应为1米．（2）①设每千克核桃应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240．化简，得x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6．答：每千克核桃应降价4元或6元．②由①可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6＝54（元），设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，解得m＝9答：该店应按原售价的九折出售．20．解：（1）∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°＝∠A，∵∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD；（2）如图2，设CD＝AD＝a，则AB＝AC＝2a．在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝a，由（1）知，△ABD∽△ECD；∴＝，∴＝，∴CE＝，∴＝＝；（2）如图3，延长CE、BA相交于点F．∵BE是∠ABC的角平分线，且BE⊥CF∴EF＝CE，∠BEF＝∠BEC＝90°，在△BEC和△BEF中，，∴△BEC≌△BEF（SAS），∴CE＝EF，∴CF＝2CE又∵∠ABD+∠ADB＝∠CDE+∠ACF＝90°，且∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，∴，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，∴BD＝2CE，∴＝2．四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）21．解：由＝＝（abc≠0），得b＝a，c＝a．原式＝＝＝4，故答案为：4．22．解：∵x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣6＝0的一个根，∴4a﹣6b﹣6＝0，∴4a﹣6b＝6，∴2a﹣3b＝3∴2a﹣3b+6＝3+6＝9．故答案是：9．23．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：﹣≤k＜且k≠0．故答案为：﹣≤k＜且k≠0．24．解：由条件得：①a+b＝pc，②b+c＝pa，③a+c＝pb，三式相加得2（a+b+c）＝p（a+b+c）．∴有p＝2或a+b+c＝0．当p＝2时，y＝2x+2．则直线通过第一、二、三象限．当a+b+c＝0时，不妨取a+b＝﹣c，于是p＝＝P＝﹣1，（c≠0），∴y＝﹣x﹣1，∴直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故答案为：二、三．25．解：①∵G为AB的中点，∴AG＝BG，又FG＝AG，∴FG＝AG＝BG，即FG＝AB，∴∠AFB＝90°，故选项①正确；②∵FG＝AG，∴∠GFA＝∠GAF，又EF⊥FD，∴∠EFG＝∠EAG＝90°，∴∠EFG﹣∠GFA＝∠EAG﹣∠GAF，即∠EFA＝∠EAF，又EC为∠DEF的平分线，∴∠DEC＝∠FEC，∵∠DEF为△EAF的外角，∴∠DEF＝∠DEC+∠FEC＝2∠FEC＝∠EFA+∠EAF＝2∠EFA，∴∠FEC＝∠EFA，∴AF∥EC，故选项②正确；③△EHD与△BGF不一定相似，故选项③错误；④∵AF∥EC，∴＝，∵∠EFD＝∠GAD＝90°，∠EDF＝∠GDA，∴△EFD∽△GAD，∴＝，∵∠EFA＝∠EAF，∴AE＝EF，又AG＝FG，∴＝，∴＝，即DH•FG＝FH•DG，故选项④正确，综上，正确的选项有①②④．故答案为：①②④．二、解答题（共30分）26．解：（1）∵方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2＝2，x1•x2＝m，解方程组，解得，∴m＝x1•x2＝．27．解：（1）解方程x2﹣25x+144＝0得：x＝16或9，∵OA＜OB，∴OA＝9，OB＝16，在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO＝90°，在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠ACO＝∠CBA，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴OC2＝OA•OB，∴OC＝12，∴C（0，12）；（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，∵OA＝9，OC＝12，OB＝16，∴AC＝15，BC＝20，∵AD平分∠CAB，∵DE⊥AB，∴∠ACD＝∠AED＝90°，∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED，∴AE＝AC＝15，∴OE＝AE﹣OA＝15﹣9＝6，BE＝10，∵∠DBE＝∠ABC，∠DEB＝∠ACB＝90°，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴DE＝，∴D（6，），设直线AD的解析式是y＝kx+b，∵过A（﹣9，0）和D点，代入得：，解得k＝，b＝．即直线AD的解析式是：y＝x+．28．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴＝，∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴＝，∴＝，∴＝，即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．（3）解：＝．理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，∵在△BAD和△BCD中∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴＝，∴＝，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣6，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣6）2+（x）2＝62，x＝0（舍去），x＝，CN＝，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝＝．。

2019-2020学年北京市101中学高三（上）10月月考数学试卷试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设集合A={-1.1.2}.B={a+1.a2-2}.若A∩B={-1.2}.则a的值为（）A.-2或1B.0或1C.-2或-1D.0或-22.（单选题.3分）已知向量a⃗ =（1.-2）. b⃗⃗ =（m.4）.且a⃗ || b⃗⃗ .那么2 a⃗ - b⃗⃗等于（）A.（4.0）B.（0.4）C.（4.-8）D.（-4.8）3.（单选题.3分）已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .那么sinα=（）A. −√33B. −√63C. √63D. √334.（单选题.3分）在数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.则a101=（）A.2100-3B.2101-3C.2102-lD.2102-35.（单选题.3分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+1.则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数6.（单选题.3分）在△ABC 中.“cosA ＜cosB”是“sinA ＞sinB”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题.3分）设x 1.x 2.x 3均为实数.且 (13)x 1=log 2（x 1+1）. (13)x 2=log 3x 2. (13)x 3=log 2x 3.则（ ） A.x 1＜x 3＜x 2 B.x 3＜x 2＜x 1 C.x 3＜x 1＜x 2 D.x 3＜x 1＜x 28.（单选题.3分）设函数f （x ）=sin （ωx+ π5 ）（ω＞0）.已知f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：① f （x ）在（0.2π）有且仅有3个极大值点； ② f （x ）在（0.2π）有且仅有2个极小值点； ③ f （x ）在（0. π10 ）单调递增； ④ ω的取值范围是[ 125 . 2910 ）． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① ④ B. ② ③ C. ① ② ③ D. ① ③ ④9.（填空题.3分）已知复数z 满足z+ 3z =0.则|z|=___ ．10.（填空题.3分）已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12 cos2x.若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得的图象关于原点对称.则φ的最小值为___ ．11.（填空题.3分）不等式2n ＞n 2-1（n∈N*）不是恒成立的.请你只对该不等式中的数字作适当调整.使得不等式恒成立．请写出其中一个恒成立的不等式：___ ．12.（填空题.3分）纸张的规格是指纸张制成后.经过修整切边.裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准.规定以A 0.A 1.A 2.B 1.B 2.…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列.其中An （n∈N .n≤8）系列的幅面规格为：① A 0.A 1.A 2.….A 8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为 x ：y =1：√2 ；② 将A 0纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A 1规格.A 1纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A 2规格.….如此对开至A 8规格．现有A 0.A 1.A 2.….A 8纸各一张．若A 4纸的宽度为2dm.则A 0纸的面积为___ dm 2；这9张纸的面积之和等于___ dm 2．13.（填空题.3分）如图.A.B.P 是圆O 上的三点.OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q.若 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = aOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则a+b 的取值范围是___ ．14.（填空题.3分）设f （x ）.g （x ）是定义在R 上的两个周期函数.f （x ）的周期为4.g （x ）的周期为2.且f （x ）是奇函数．当x∈（0.2]时.f （x ）= √1−(x −1)2 .g （x ）= {k (x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2，其中k ＞0．若在区间（0.9]上.关于x 的方程f （x ）=g （x ）有8个不同的实数根.则k 的取值范围是___ ．15.（问答题.0分）已知等差数列{a n }中.a 3=6.a 5+a 8=26． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 b n =2a n +n .求数列{b n }的前n 项和S n ．16.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对应的边分别是a.b.c. asinB =√3bcosA ． （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若 a =√21 .b=5.求c 的值．17.（问答题.0分）已知函数 f (x )=cos2x √2sin(x+π4)+2sinx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及其单调增区间； （Ⅱ）当 x ∈[π2，2π3] 时.对任意t∈R .不等式mt 2-mt+2≥f （x ）恒成立.求实数m 的取值范围．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0＜a＜3时.记f（x）在区间[0.1]的最大值为M.最小值为m.求M-m的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x•（a+lnx）.其中a∈R．垂直.求a的值；（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x）．当a∈（0.ln2）时.证明：g（x）存在极小值点x0.且f（x0）＜0．20.（问答题.0分）若数列{a n}满足：对于任意的正整数n.a n∈N*.a n＜a n+1.且a2n=2a n.则称该数列为“跳级数列”．（1）若数列{a n}为“跳级数列”.且a4=4.求a3.a101的值；（2）若数列{a n}为“跳级数列”.则对于任意一个大于a1的质数p.在数列{a n}中总有一项是p的倍数；（3）若p为奇质数.则存在一个“跳级数列”{a n}.使得数列{a n}中每一项都不是p的倍数．2019-2020学年北京市101中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设集合A={-1.1.2}.B={a+1.a 2-2}.若A∩B={-1.2}.则a 的值为（ ） A.-2或1 B.0或1 C.-2或-1 D.0或-2【正确答案】：A【解析】：由交集定义得到 {a +1=−1a 2−2=2 或 {a +1=2a 2−2=−1 .由此能求出a 的值．【解答】：解：∵集合A={-1.1.2}.B={a+1.a 2-2}.A∩B={-1.2}. ∴ {a +1=−1a 2−2=2 或 {a +1=2a 2−2=−1 . 解得a=-2或a=1． 故选：A ．【点评】：本题考查a 的值的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意交集定义的合理运用． 2.（单选题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.-2）. b ⃗⃗ =（m.4）.且 a ⃗ || b ⃗⃗ .那么2 a ⃗ - b ⃗⃗ 等于（ ） A.（4.0） B.（0.4） C.（4.-8） D.（-4.8） 【正确答案】：C【解析】：向量是以坐标形式给出的.首先运用共线向量基本定理求出m.然后运用向量的数乘运算和向量的减法运算求解．【解答】：解：由向量 a ⃗ =（1.-2）. b ⃗⃗ =（m.4）.且 a ⃗ || b ⃗⃗ .所以.1×4-m×（-2）=0.所以m=-2． 则 b ⃗⃗=(−2，4) .所以 2a ⃗−b⃗⃗=2(1，−2)−(−2，4)=(4，−8) ．故选：C．【点评】：本题考查了向量共线的条件.已知向量a⃗=(x1，y1) .向量b⃗⃗=(x2，y2) .则a⃗∥b⃗⃗⇔x1y2-x2y1=0．3.（单选题.3分）已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .那么sinα=（）A. −√33B. −√63C. √63D. √33【正确答案】：B【解析】：直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】：解：已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .则：sinα=√2√3=−√63．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题题型．4.（单选题.3分）在数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.则a101=（）A.2100-3B.2101-3C.2102-lD.2102-3【正确答案】：D【解析】：首先利用关系式的变换.构造新数列.进一步求出数列的通项公式.最后确定结果．【解答】：解：数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.所以a n+1+3=2（a n+3）.即a n+1+3a n+3=2（常数）.所以数列{a n+3}是以a1+3=4为首项.2为公比的等比数列．所以a n+3=4×2n−1 .整理得a n=2n+1−3 .所以a101=2102−3．故选：D．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式.构造新数列.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．5.（单选题.3分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+1.则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数【正确答案】：C【解析】：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1.考察四个选项.本题要研究函数的奇偶性.故对所给的x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】：解：∵对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1.∴令x1=x2=0.得f（0）=-1∴令x1=x.x2=-x.得f（0）=f（x）+f（-x）+1.∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1].∴f（x）+1为奇函数．故选：C．【点评】：本题考查函数的性质和应用.解题时要认真审题.仔细解答．6.（单选题.3分）在△ABC中.“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：在△ABC中.cosA＜cosB⇔A＞B⇔sinA＞sinB.得出答案．【解答】：解：在△ABC中.cosA＜cosB⇔A＞B⇔sinA＞sinB.故“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的充要条件.故选：C．【点评】：本题考查四个条件的判断.并考查了解三角形问题.属于基础题．7.（单选题.3分）设x1.x2.x3均为实数.且(13)x1=log2（x1+1）. (13)x2=log3x2. (13)x3=log2x3.则（）A.x1＜x3＜x2B.x3＜x2＜x1C.x3＜x1＜x2D.x3＜x1＜x2【正确答案】：A【解析】：利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象.即可得出结论．【解答】：解：如图所示.由图象可知：x1＜x3＜x2．故选：A．【点评】：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质.属于基础题．8.（单选题.3分）设函数f（x）=sin（ωx+ π5）（ω＞0）.已知f（x）在[0.2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：① f（x）在（0.2π）有且仅有3个极大值点；② f（x）在（0.2π）有且仅有2个极小值点；③ f（x）在（0. π10）单调递增；④ ω的取值范围是[ 125 . 2910 ）． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① ④ B. ② ③ C. ① ② ③ D. ① ③ ④ 【正确答案】：D【解析】：依题意作出 f (x )=sin (ωx +π5) 的图象.可判断 ① 和 ② .根据f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点.可得5π≤2πω+ π5 ＜6π.解出ω.然后判断 ③ 是否正确即可得到答案．【解答】：解：依题意作出 f (x )=sin (ωx +π5) 的图象如图.其中 m ⩽2π＜n. 显然 ① 正确. ② 错误；当x∈[0.2π]时.ωx+ π5∈[ π5.2πω+ π5]. ∵f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点. ∴5π≤2πω+ π5 ＜6π. ∴ 125≤ω＜2910 .故 ④ 正确.因此由选项可知只需判断 ③ 是否正确即可得到答案. 下面判断 ③ 是否正确. 当x∈（0. π10 ）时.ωx+ π5 ∈[ π5 .(ω+2)π10]. 若f （x ）在（0. π10 ）单调递增. 则 (ω+2)π10＜π2.即ω＜3.∵125≤ω＜2910.故 ③ 正确． 故选：D ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质.关键是数形结合的应用.属中档题． 9.（填空题.3分）已知复数z 满足z+ 3z =0.则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：设z=a+bi （a.b∈R ）.代入z 2=-3.由复数相等的条件列式求得a.b 的值得答案．【解答】：解：由z+ 3z=0. 得z 2=-3.设z=a+bi （a.b∈R ）.由z 2=-3.得（a+bi ）2=a 2-b 2+2abi=-3.即 {a 2−b 2=−32ab =0.解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ． 则|z|= √3 ． 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查了复数相等的条件以及复数模的求法.是基础题．10.（填空题.3分）已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12 cos2x.若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得的图象关于原点对称.则φ的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] π12【解析】：由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式.再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数图象的对称性.得出结论．【解答】：解：已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12cos2x= √32sin2x+ 12cos2x=sin （2x+ π6）. 若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后.可得y=sin （2x-2φ+ π6 ）的图象. 根据所得的图象关于原点对称.可得-2φ+ π6 =kπ.k∈Z . 则φ的最小值为 π12. 故答案为： π12 ．【点评】：本题主要考查三角恒等变换.函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数的图象的对称性.属于中档题．11.（填空题.3分）不等式2n ＞n 2-1（n∈N*）不是恒成立的.请你只对该不等式中的数字作适当调整.使得不等式恒成立．请写出其中一个恒成立的不等式：___ ． 【正确答案】：[1]3n ＞n 2-1（答案不唯一）【解析】：设f（n）=a n-n2+1.令f（n）单调递增.且f（1）＞0即可找出a满足的条件得出答案．【解答】：解：不妨将不等式变为a n＞n2-1.令f（n）=a n-n2+1（n∈N*）.则f′（n）=a n lna-2n.显然当a＞e时.f′（n）＞e n-2n.再令g（n）=e n-2n（n∈N*）.则g′（n）=e n-2≥e-2＞0.∴g（n）单调递增.故g（n）≥g（1）=e-2＞0.即f′（n）＞0.∴f（n）单调递增.故f（n）≥f（1）=a＞0.∴当a＞e时.a n＞n2-1恒成立.故答案为：3n＞n2-1（答案不唯一）．【点评】：本题考查函数单调性与最值.导数与函数恒成立问题.属于中档题．12.（填空题.3分）纸张的规格是指纸张制成后.经过修整切边.裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准.规定以A0.A1.A2.B1.B2.…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列.其中An（n∈N.n≤8）系列的幅面规格为：① A0.A1.A2.….A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为x：y=1：√2；② 将A0纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A2规格.….如此对开至A8规格．现有A0.A1.A2.….A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm.则A0纸的面积为___ dm2；这9张纸的面积之和等于___ dm2．【正确答案】：[1]64 √2 ; [2] 511√24【解析】：可设A i纸张的长度为y i.i=0.1.….8.由题意可得y4=2 √2 .再由等比数列的通项公式和面积公式.以及求和公式.即可得到所求值．【解答】：解：可设A i纸张的长度为y i.i=0.1.….8.由A4纸的宽度为2dm.且纸张的幅宽和长度的比例关系都为x：y=1：√2 .可得y4=2 √2 .由题意可得y0=2 √2•24=32 √2 .即有A0纸的面积为32 √2 ×2=64 √2 dm2；由A0.A1.A2.….A8纸9张纸的面积构成一个以64 √2为首项. 12为公比的等比数列.可得这9张纸的面积之和为64√2(1−129)1−2= 511√24dm2．故答案为：64 √2 . 511√24．【点评】：本题考查数列模型的应用题的解法.考查等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．13.（填空题.3分）如图.A.B.P 是圆O 上的三点.OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q.若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = aOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则a+b 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0.1）【解析】：设 OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .根据三点共线得出a+b= 1λ.从而得出答案．【解答】：解：设 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λa OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λb OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵A .B.Q 三点共线.∴λa+λb=1. ∴a+b= 1λ .∵Q 在圆外.∴λ＞1.∴0＜ 1λ ＜1. 即0＜a+b ＜1． 故答案为：（0.1）．【点评】：本题考查了平面向量的基本定理.向量的共线定理.属于基础题．14.（填空题.3分）设f （x ）.g （x ）是定义在R 上的两个周期函数.f （x ）的周期为4.g （x ）的周期为2.且f （x ）是奇函数．当x∈（0.2]时.f （x ）= √1−(x −1)2 .g （x ）={k (x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2， 其中k ＞0．若在区间（0.9]上.关于x 的方程f （x ）=g （x ）有8个不同的实数根.则k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][ 13 . √24 ）【解析】：由已知函数解析式结合周期性作出图象.数形结合得答案．【解答】：解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图.由图可知.函数f（x）与g（x）=- 12（1＜x≤2.3＜x≤4.5＜x≤6.7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则f（x）= √1−(x−1)2 .x∈（0.2]与g（x）=k（x+2）.x∈（0.1]的图象有2个不同交点.由（1.0）到直线kx-y+2k=0的距离为1.√k2+1=1 .解得k= √24（k＞0）.∵两点（-2.0）.（1.1）连线的斜率k= 13.∴ 1 3≤k＜√24．即k的取值范围为[ 13 . √24）．故答案为：[ 13 . √24）．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查分段函数的应用.体现了数形结合的解题思想方法.是中档题．15.（问答题.0分）已知等差数列{a n}中.a3=6.a5+a8=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2a n+n .求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知条件求出数列的首项与公差.然后求解数列的通项公式．（Ⅱ）化简数列的通项公式.利用等差数列以及等比数列求和公式求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1.公差为d.则 {a 1+2d =6a 1+4d +a 1+7d =26解得 {a 1=2d =2．所以a n =a 1+（n-1）d=2n ． …（7分） （Ⅱ）由（I ）可得 b n =22n +n =4n +n . 所以 s n =4(1−4n )1−4+n (1+n )2=4n+1−43+n+n 22． …（13分）【点评】：本题考查数列的递推关系式以及数列求和方法的应用.考查计算能力． 16.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对应的边分别是a.b.c. asinB =√3bcosA ． （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若 a =√21 .b=5.求c 的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由正弦定理.同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 tanA =√3 .结合范围 0＜A ＜π2 .可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理可得c 2-5c+4=0.解得c 的值．【解答】：（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC 中.由正弦定理 a sinA =bsinB .……（2分） 得asinB=bsinA ．又 asinB =√3bcosA .得 tanA =√3 ．……（4分） 由于 0＜A ＜π2 .所以 A =π3．……（6分） （Ⅱ） a =√21 .b=5. A =π3.在△ABC 中.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA.……（7分） 得 21=52+c 2−2•5•c •12 .即c 2-5c+4=0. 解得c=1.或c=4．……（11分） 当c=1时. cosB =2√21)222•1•√210 ．此时.△ABC为钝角三角形.舍去．经检验.c=4满足题意．……（13分）【点评】：本题主要考查了正弦定理.同角三角函数基本关系式.余弦定理在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．17.（问答题.0分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)+2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间；（Ⅱ）当x∈[π2，2π3]时.对任意t∈R.不等式mt2-mt+2≥f（x）恒成立.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（I）化简f（x）解析式.根据正弦函数的性质求出单调区间和周期；（II）求出f（x）的最大值.转化为二次函数恒成立问题解决．【解答】：解：（I）f(x)=√2sin(x+π4)2sinx =√2(√22sinx+√22cosx)+2sinx = (cos2x−sin2x)sinx+cosx+2sinx =sinx+cosx= √2sin(x+π4) .函数f（x）的定义域为{x|x≠−π4+kπ，k∈Z} .周期T=2π|ω|=2π1=2π .令−π2+2kπ≤x+π4＜2kπ .解得：−3π4+2kπ≤x＜−π4+2kπ .令2kπ＜x+π4≤π2+2kπ .解得：−π4+2kπ＜x≤π4+2kπ .所以f（x）的递增区间为[−3π4+2kπ，−π4+2kπ)，(−π4+2kπ，π4+2kπ](k∈Z)．（Ⅱ）∵ x∈[π2，2π3] .∴x+ π4∈[ 3π4. 11π12].∴当x=π2时.f（x）取得最大值1.所以mt2-mt+2≥1恒成立.即mt2-mt+1≥0恒成立.① 当m=0时.显然成立；② 当m≠0时.若对于t∈R.不等式mt2-mt+1≥0恒成立. 只需△=m2-4m≤0成立.且m＞0即可.解得：0＜m≤4.综上.m 的取值范围是0≤m≤4．【点评】：本题考查了三角恒等变换.正弦函数的性质.函数恒成立问题.属于中档题． 18.（问答题.0分）已知函数f （x ）=2x 3-ax 2+2． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当0＜a ＜3时.记f （x ）在区间[0.1]的最大值为M.最小值为m.求M-m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出原函数的导函数.得到导函数的零点.对a 分类求解原函数的单调性； （2）当0＜a ＜3时.由（1）知.f （x ）在（0. a3 ）上单调递减.在（ a3 .1）上单调递增.求得f （x ）在区间[0.1]的最小值为 f (a3)=−a 327+2 .最大值为f （0）=2或f （1）=4-a ．得到M-m= {2−a +a 327，0＜a ＜2a 327，2≤a ＜3.分类求得函数值域.可得M-m 的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x ）=6x 2-2ax=2x （3x-a ）. 令f′（x ）=0.得x=0或x= a 3 ．若a ＞0.则当x∈（-∞.0）∪（ a 3，+∞ ）时.f′（x ）＞0；当x∈（0. a 3）时.f′（x ）＜0． 故f （x ）在（-∞.0）.（ a3，+∞ ）上单调递增.在（0. a3 ）上单调递减； 若a=0.f （x ）在（-∞.+∞）上单调递增；若a ＜0.则当x∈（-∞. a3 ）∪（0.+∞）时.f′（x ）＞0；当x∈（ a3 .0）时.f′（x ）＜0． 故f （x ）在（-∞. a3 ）.（0.+∞）上单调递增.在（ a3 .0）上单调递减；（2）当0＜a ＜3时.由（1）知.f （x ）在（0. a 3）上单调递减.在（ a 3.1）上单调递增.∴f （x ）在区间[0.1]的最小值为 f (a3)=−a 327+2 .最大值为f （0）=2或f （1）=4-a ．于是.m= −a 327 +2.M= {4−a ，0＜a ＜22，2≤a ＜3．∴M -m= {2−a +a 327，0＜a ＜2a 327，2≤a ＜3 ．当0＜a＜2时.可知2-a+ a 327单调递减.∴M-m的取值范围是（827，2）；当2≤a＜3时. a 327单调递增.∴M-m的取值范围是[ 827.1）．综上.M-m的取值范围[ 827.2）．【点评】：本题主要考查导数的运算.运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查分类讨论的数学思想方法.属难题．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x•（a+lnx）.其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe垂直.求a的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x）．当a∈（0.ln2）时.证明：g（x）存在极小值点x0.且f（x0）＜0．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数.利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe垂直.列出方程即可求a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=e x•(a+1x +lnx) .求出导函数.构造函数设ℎ (x)=a+2x−1x2+lnx利用函数的导数判断导函数的单调性以及函数的符号.求解函数的极值.转化求解即可．【解答】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f′(x)=e x•(a+lnx)+e x•1x =e x•(a+1x+lnx)．[（2分）]依题意.有 f'（1）=e•（a+1）=e.[（3分）] 解得a=0．[（4分）]（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=e x•(a+1x+lnx) .所以g′(x)=e x•(a+1x +lnx)+e x•(1x−1x2)=e x•(a+2x−1x2+lnx)．[（6分）]因为e x＞0.所以g'（x）与a+2x −1x2+lnx同号．设ℎ (x)=a+2x −1x2+lnx .[（7分）]则ℎ′(x)=x 2−2x+2x3=(x−1)2+1x3．所以对任意x∈（0.+∞）.有h'（x）＞0.故h（x）在（0.+∞）单调递增．[（8分）]因为a∈（0.ln2）.所以h（1）=a+1＞0. ℎ(12)=a+ln12＜0 .故存在x0∈(12，1) .使得h（x0）=0．[（10分）]g（x）与g'（x）在区间(12，1)上的情况如下：所以g（x）在区间(2， x0)上单调递减.在区间（x0.1）上单调递增．所以若a∈（0.ln2）.存在x0∈(12，1) .使得x0是g（x）的极小值点．[（11分）]令h（x0）=0.得a+lnx0=1−2x0x02.所以f(x0)=e x0•(a+lnx0)=e x0•1−2x0x02＜0．[（13分）]【点评】：本题考查函数的导数的应用.切线方程以及函数的极值的求法.函数的单调性的判断.考查转化思想以及构造法的应用.考查计算能力．20.（问答题.0分）若数列{a n}满足：对于任意的正整数n.a n∈N*.a n＜a n+1.且a2n=2a n.则称该数列为“跳级数列”．（1）若数列{a n}为“跳级数列”.且a4=4.求a3.a101的值；（2）若数列{a n}为“跳级数列”.则对于任意一个大于a1的质数p.在数列{a n}中总有一项是p的倍数；（3）若p为奇质数.则存在一个“跳级数列”{a n}.使得数列{a n}中每一项都不是p的倍数．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用定义性数列的应用求出数列的各项；（2）利用构造关系式的变换.假设法的应用求出结果；（3）利用定义性数列的应用求出结果．【解答】：解：（1）a4=2a2=4.a2=2.由于a2＜a3＜a4.所以a3=3.a54=2a32=4a15=8a8=16a4=64.a128=2a54=128.由题意可知：a54＜a55＜…＜a101＜a102＜…＜a127＜a128.且n∈N+.整理得a101=101．（2）数列为“跳级数列”.∀n∈N*.a n+1-a n为正整数.记s=min{a n+1-a n|n∈N*}.可知s∈N*.且p＞s≥a2-a1=a1．记m∈{n∈N*|s=a n+1-a n）.对于质数p.必存在k.使得2k＞p（k∈N*）．反复应用a2n=2a n.得a2k(m+1)−a2k m=2(a2(k−1)(m+1)−a2(k−1)m)=⋯=2k−1(a2(m+1)−a2m)=2k s另一方面.因为对于满足2k m≤n≤2k（m+1）-1的任意n.均有a n+1-a n≥s．所以对于所有2k m≤n≤2k（m+1）-1.都有a n+1-a n=s（利用迭加）．这表明.数列a2k m . a2k m+1 . a2k m+2 . a2k m+3 .…. a2k(m+1)是以s为公差的等差数列．假设对于整数对（i.j）（0≤i＜j≤p-1）.均有a2k m+j - a2k m+i是质数p的整数倍.即a2k m+j - a2k m+i =（j-i）s必为p的整数倍.0＜j-i＜p.且0＜s≤a2-a1=a1＜p同时成立.知这与p为质数矛盾．由此可知. a2k m . a2k m+1 . a2k m+2 . a2k m+3 .…. a2k m+p−1除以p所得余数互不相同．（构造一个p的完全剩余系）所以必有一个是p的倍数．（3）对于正整数n.设k n为非负整数.且满足2k n≤n＜2k n+1 .则：2k n≤2n＜2k n+1×2 .即2k n+1≤2n＜2k n+2．根据定义有2k2n≤2n＜2k2n+1 .由k n≤k n+1.且k2n=k n+1.令a n=np+ 2k n .则a2n=2np+ 2k2n =2np+ 2k n+1 = 2(np+2k n) =2a n.则显然{a n}为跳级数列.又p为奇质数.于是2k n不为p的倍数.因此a n也不为p的倍数．【点评】：本题考查的知识要点：构造关系式的变换.假设法的应用.定义性数列的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．。

2018-2019学年北京一零一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题1.下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A. B.C. D.2.将直线y＝2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为（）A. y＝2x+1B. y＝2x﹣1C. y＝2（x+1）D. y＝2（x﹣1）3.若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.4.用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（）A. （x﹣1）2＝4B. （x﹣1）2＝﹣4C. （x+1）2＝4D. （x+1）2＝﹣45.一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（）A. 540°B. 720°C. 900°D. 1080°6.已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（）A. x1＝1，x2＝﹣1B. x1＝﹣1，x2＝2C. x1＝﹣1，x2＝0D. x1＝1，x2＝37.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A. 甲地：总体平均值为3，中位数为4B. 乙地：总体平均值为2，总体方差为3C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体平均值为l，总体方差大于08.如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）A. B. C. 4 D. 3二、填空题9.用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则”是错误的，这组值可以是a＝_____，b＝______．10.不等式组的解集为______．11.若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____．12.如图，函数和的图象相交于点A（，3），则不等式的解集为___________.13.一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6，则此平行四边形的面积为_______．14.在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1________y2．（用“＜”，“＝”或“＞”号连接）15.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P 的坐标：_______．16.2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价．乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里．使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是______元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是_____元．三、解答题17.计算：﹣（1﹣）0+（）﹣1+|﹣2|18.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形．19.若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．20.某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？21.某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17 18 16 13 24 15 28 26 18 1922 17 16 19 32 30 16 14 15 2615 32 23 17 15 15 28 28 16 19（1）补全条形图；（2）月销售额为的人数最多；（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售目标定为多少合适？A.15万元B.16万元C.18万元D.19万元（4）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售目标定为多少合适？请说明理由．22.Ω星球某学生初二暑假作业中有下面一题：AB（ACE四个同学W，X，Y，Z对结论BD＝（BC+BF）进行了如下分析：注意到BC＝BA，BF＝BE，BD＝AD＝CD，2BD＝AC等等，于是要证的结论可以变为……并给出了问题（1）②四种不同的证明思路：W：延长EB至点G使得BG＝BC，此时BD即为△GAC的中位线．只需证明GE＝GC；X：延长AB至点H使得BH＝BE，只需证明AH＝AC；Y：延长BA至点K使得AK＝BE，延长BD至点L使得DL＝BD，只需证明BK＝BL；Z：取AE中点M，只需证明BM＝BD．请你对以上四位同学的思路进行分析，并判断哪几位同学的证明思路可以解出问题（2），只写出你的结论，不需要证明．23.阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，=，＝，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为_____；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为______，取得价值最小值的数列为_____（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为_______．24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当S＝15时，求该抛物线的表达式；△ABC（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y＝kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．25.如图，已知AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．求证：（1）HF＝HG；（2）∠FHG＝∠DAC．26.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q 为某个矩形的两个顶点，且矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．若定义该矩形的垂直于x轴的边的长度为矩形的“身高”，垂直于y轴的边的长度为矩形的“形宽”，“身高”与“形宽”的比为k，若0＜k＜则称该矩形为“折翼矩形”，若≤k≤2则称该矩形为“完美矩形”，若k＞2则称该矩形为“魔鬼矩形”．已知点A（0，4），B（4，0）．（1）点A，B的“相关矩形”是_____（填“折翼矩形”或“完美矩形”或“魔鬼矩形”）；（2）若点P是直线AB上一动点，且点O，P的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出点P的横坐标x P的取值范围；（3）若C（x C，﹣4），可以在△AOB边上找到点Q使得点C，Q的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出x C 的取值范围．。

北京101中学2019届上学期初中九年级10月月考数学试卷满分：100分 考试时间：120分钟一、选择题：（本大题共8小题，共16分. ）1. 在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安。

比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，不是中心对称图形的为A B C D2. 已知点A （1，a ）与点B （3，b ）都在反比例函数xy 12=的图象上，则a 与b 之间的关系是A. a>bB. a<bC. a ≥bD. a=b3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如下图所示，则用电阻R 表示电流I 的函数表达式为A. RI 3=B. RI 6-=C. RI 3-= D. RI 6=4. 如下图，已知AB 是⊙O 的直径，⋂BC =⋂CD =⋂DE ，∠BOC=40°，那么∠AOE 等于A. 40°B. 50°C. 60°D. 120°5. 如下图，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转40°得△A'CB'。

若AC ⊥A'B'，则∠BAC等于A. 50°B. 60°C. 45°D. 40°6. 若关于x的方程（x+1）2=k－l没有实数根，则k的取值范围是A. k≤lB. k <1C. k≥lD. k >17. 如下图，已知⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC，则AC的长为A. 5cmB. 52cmC. 53cmD. 6cm8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标。

如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是A. 点A的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②C. 当点A沿双曲线向下移动时，矩形1的面积减小D. 当点A位于区域①时，矩形1不可能和矩形2全等二、填空题：（本大题共8小题，共16分。

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称的图形是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）3．如图，在⊙O，AB为⊙O直径，C为上一点，若∠CAB＝23°，则∠ABC的度数为（）A．23°B．46°C．57°D．67°4．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣4＝0的一个根是1，则k的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（A．B．2C．3D．不能确定6．用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，原方程可变形为（）A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x+3）2＝7 D．（x﹣3）2＝27．一副三角板如图1放置（有一条边重合），如图2把含45°的直角三角板ACD绕点A顺时针旋转30°，得到△AC′D′，若BC＝2，则△BCC′的面积为（）A．2﹣3 B．3﹣C．4﹣6 D．6﹣28．北京海淀区某中学经过食堂装修后重新营业，同学们很高兴品尝各种美食菜品某同学想要得到本校食堂最受同学双迎的菜品，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的菜品；②去食堂收集同学吃饭时选择的菜品名称和人数；③绘制扇形图来表示各个种类产品所占的百分比；④整理所收集的数据，并绘制频数分布表；正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①二．填空题（共8小题）9．在平面直角坐标系xOy中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标为．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥BC于点D，以点A为圆心，AD为半径画⊙A．则点B与⊙A的位置关系为（填“在圆内”．“在圆上”或“在圆外”）11．若点A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+b上，若y1＞y2，请写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．12．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，点F为⊙O上一点，且满足∠AFC＝22.5°，AB＝8，则CD的长为．13．若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根为．14．在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：班级平均分中位数方差甲班92.5 95.5 41.25乙班92.5 90.5 36.06 数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下：①这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；②甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少；③乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小．上述评估中，正确的是．（填序号）15．如图，点P（a，b）为直线y＝x﹣1上一个动点，点P绕原点逆时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则a的取值范围是．16．如图，线段AB为⊙O的一条弦，以AB为直角边作等腰直角△ABC，直线AC恰好是⊙O的切线，点D为⊙O上的一点，连接DA，DB，DC，若DA＝3，DB＝4，则DC的长为．三．解答题（共10小题）17．解方程：3x＝x（x+5）﹣818．如图，点D是等边△ABC的边BC上的点，以AD为边作等边△ADE，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝20°，求∠AEC的度数．19．已知关子x的一元二次方程x2﹣（2a+2）x+2a+1＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根：（2）若该方程两个根x1，x2满足x12﹣x22＝0，求a的值20．如图，点C是半圆O上的一点，AB是⊙O的直径，D是的中点，作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．求证；AF＝DF下面是小明的解法，请帮他补充完整（包括补全图形）解：补全半圆O为完整的⊙O，连结AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）∵D是AC的中点；∴＝；∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径；∴＝（）（填推理的依据）；∴＝；∴∠ADF＝∠FAD（）（填推理的依据）；∴AF＝DF（）（填推理的依据）；21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝x2﹣bx+c与直线y2＝kx+m相交于A（﹣1，0），B（3，4）两点．（1）请分别求出抛物线解析式和直线的解析式；（2）直接写出y1﹣y2的最小值．22．如图，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的长．23．如图，AB是⊙O的直径，过点A的直线PC交⊙O于A，C两点，AD平分∠PAB，射线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥PA于点E．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）若AB＝10，ED＝2AE，求AC的长．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣的对称轴与x轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若抛物线与x轴交于P，Q两点，且PQ＝2，求抛物线解析式；（3）点B的坐标为（0，），若该抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象直接写出a的取值范围．25．如图，△ABC是等边三角形，平面上的动点P满足PC⊥AB，记∠APB＝α．（1）如图1，当点P在直线BC上方时，直接写出∠PAC的大小（用含α的代数式表示）；（2）过点B作BC的垂线BD，同时作∠PAD＝60°，射线AD与直线BD交于点D．①如图2，判断△ADP的形状，并给出证明；②连结CD，若在点P的运动过程中，CD＝AB．直接写出此时α的值．26．在平面上，对于给定的线段AB和点C，若平面上的点P（可以与点C重合）满足，∠APB＝∠ACB．则称点P为点C关于直线AB的联络点．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）．（1）在P1（2，2），P（1，0），R（1+，1）三个点中，是点O关于线段AB的联络点的是．（2）若点P既是点O关于线段AB的联络点，同时又是点B关于线段OA的联络点，求点P的横坐标m 的取值范围；（3）直线y＝x+b（b＞0）与x轴，y轴分交于点M，N，若在线段BC上存在点N关于线段OM的联络点，直接写出b的取值范围．。

2020北京一零一中学初三（上）10月阶段性测试数 学一、选择题(本题共30分，每小题3分，第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个) 1、下列图案中是中心对称图形的是( )2、一元二次方程28350x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A. 8，-3，-5B.8，3，5C.8，3，-5D.8，-3，53、下列函数中是二次函数的是( )A.31y x =-B.323y x x =--C.()221y x x =+-D. 231y x =-4、抛物线()212y x =-+的顶点坐标为( )A. (-1，2)B. (1，2)C. (1，-2)D. (2,1)5、将抛物线22y x =向下平移3个单位得到的抛物线为( )A. 223y x =+B.223y x =-C.()223y x =+D. ()223y x =-6、如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，连接AA'，若∠1=25°，则∠BAC 的度数是( )A.10°B.20°C.30°D.40°7、若关于x的一元二次方程21204kx x-+=有实数根，则实数k的取值范围是( )A. k<4B. k<4且k≠0C.k≤4D.k≤4且且k≠08、如图，在平面直角坐标系x O y中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数，若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△DEF，则旋转中心的坐标是( )A. (0，0)B. (1，0)C. (1，-1)D. （51 22，）9、如图，在平面直角坐标系x O y中，有五个点A(2，0)B(0，-2)，C(-2，4)，D(4，-2)，E(7，0)，将二次函数()2)0(2y a x m m=-+≠的图像记为W.下列判断中①A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上.所有正确结论的序号是( )A.①②③B.①②C.①③D.②③10、如图正△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A→B→C 的方向运动，到达点C 时停止.设运动时间为x (秒)，2y PC =，则y 关于x 的函数的图像大致为( )二、填空题(本题共16分，每小题2分)11、在平面直角坐标系x O y 中，将点(-2，3)绕原点O 旋转180°，所得到的对应点的坐标为.12、若二次函数()213y x =-+的图象上有两点A(0，a )，B(5，b )，则a __b .(填“>”，“=”'，“<”)13、商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售平均每月的增长率是.14、已知x =n 是关于x 的一元二次方程2450mx x --=的一个根，若246mn n m -+=，则m 的值为.15、关于x 的一元二次方程()2110mx m x -++=有两个不相等的整数根，m 为整数，那么m 的值是 .16、已知二次函数21y x mx m =-+-的图像与x 轴只有一个交公共点.(1)求m =；(2)当0≤x ≤3时，y 的取值范围为.17、如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，直角∠MPN 的顶点P 与点O 重合，直角边PM ，PN 分别与OA ，OB 重合，然后逆时针绕点P 旋转∠MPN ，旋转角为θ(0°<θ<90°)，PM ，PN 分别交AB ，BC 于E ，F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中，正确的是.①EF =；②记四边形OEBF 的面积为1S ，正方形ABCD 的面积为21214S S S =，：：；③BE BF +=；④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，34AE =18、函数()22304y x x x =--≤≤的图像如下图，直线l ∥x 轴且过点(0，m )，将该函数在直线l 上方的图像沿直线l 向下翻折，在直线l 下方的图像保持不变，得到一个新图象，若新图像对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是.三、解答题(本题共54分，第19-25题，每小题5分，第26-27题，每小题6分，第28题7分)解答应写出文字说明演算步骤或证明过程19、计算：1021()2(3(2)2-+++-20、解一元二次方程2210x x +-=21、对于抛物线223y x x =-++. (1)抛物线与x 轴的交点坐标是 ，顶点坐标是；(2)在坐标系中画出此抛物线；(3)结合图像回答，若y >0，则x 的取值范围是.22、如图，已知等边△ABC ，O 为△ABC 内一点，连接OA ，OB ，OC ，将△BAO 绕点B 顺时针旋转至△BCM. (1)依题意补全图形；(2)若1OA OB OC ===，求∠OCM 的度数.23、如图，直线y =x +m 和批物线2y x bx c =++都经过点A(1，0)，B(3，2). (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)结合函数图像，求关于x 的不等式2x bx c x m ++>+的解集.（直接写出答案）24、在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗议”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗议，已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现：线下的月销售量y (单位：件)与线下售价x (单位：元/件，12≤x <24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，试问当x 为多少时，线上和线下利润总和达到最大，并求出此时的最大利润.25、探究函数2y x x =-的图像与性质.小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图像与性质进行了探究.下面是小娜的探究过程，请补充完整：(1)下表是x 与y 的几组对应值，请直接写出m = ，n =，点，并画出函数的图像；(3)结合画出的函数图像解决问题，若方程2x x a -=有三个不同的解，记为123x x x ，，，且123x x x <<，请直接写出123x x ++的取值范围.26、在平面直角坐标系x O y 中，二次函数2y ax bx c =++的图像经过点A(0，-4)和B(-2，2).(1)求c 的值，并用含a 的式子表示b ；(2)当-2<x <0时，若二次函数满足y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围；(3)直线AB 上有一点C(m ，5)，将点C 向右平移4个单位长度，得到点D ，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，直接写出a 的取值范围.27、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC.(1)如图1，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°，得到AD ，连接CD 、BD ，∠BAC 的平分线交BD 于点E ，连接CE.①用等式表示线段ED 、AE 、EC 之间的数量关系(直接写出结果)； ②求证：∠AED=∠CED ；(2)在图2中，若将线段AC 绕点A 顺时针旋转60°得到AD ，连接CD 、BD ，∠BAC 的平分线交BD 的延长线于点E ，连接CE ，请补全图形，用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系，并证明28、我们定义：对于抛物线2)0(y ax bx c a =++≠，以y 轴上的点M(0，m )为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线y ’，则我们又称抛物线y’为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”， (1)已知抛物线23y x bx =-+-经过点(-1，0)，则b= ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线的表达式是.(2)已知抛物线225y x x =--+关于点(0，m )的衍生抛物线为y ’，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围. (3)已知抛物线2)0(2y ax ax b a =+-≠①若抛物线y 的衍生抛物线为22)’0(2y bx bx a b =-+≠，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点2(0)1k +，的衍生抛物线为1y ，其顶点为1A ；关于点2(0)2k +，的衍生抛物线为2y ，其顶点为2A ；…；关于点2(0)k n +，的衍生抛物线为n y ，其顶点为n A ；…(n 为正整数).求nA 1n A +的长(用含n 的式子表示).。