圆周角一(1)

人教版九年级上册§24.1.4 圆周角（教案）第一课时24.1.4 圆周角（第一课时教案）教材分析：1、本节课是在学习了圆的有关概念、垂径定理、圆心角定理的基础上对圆的有关性质的进一步探索。

2、利用弧等构造弦等、角等是解决圆中相关问题非常重要的方法。

学情分析：九年级的学生虽然已经具备了一些问题的说理能力，但是初三的几何证明过程中，学生的逻辑思维仍然是不成熟的，所以对于知识的生成过程任然是教学中的重点内容，针对上述情况，本节课我采用了学生动手操作——猜想——验证——组长对组员进一步讲解的学习过程。

一、目标设计：（一）知识技能：1、了解圆周角的概念，会证明圆周角的定理及推论。

2、掌握圆周角定理的两个推论，并能简单应用。

（二）过程方法：1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力。

2、结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论和转化的思想方法。

（三）情感态度：1、通过组长的讲，小组的交流，增进同学间互相学习、互相帮助、共同提高的氛围。

2、通过小组合作学习创造学习气氛，培养学生的学习兴趣。

二、教学重难点：重点：定理及推论的理解与运用难点：定理的证明三、教学过程：【课前引入】：出示几何画板，一个圆柱形房间有4人：A、B、C、D,D站在圆心位置，A,B,C三人在圆周上观察弧形落地窗外的风景，四人谁的视角比较大？大多少？设计意图：带着问题进入本节内容，培养学生的学习兴趣。

【课堂探究】：探究一：圆周角概念的理解。

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。

针对性思考：判断下列图形中的角，哪些是圆周角？（）（）（）（）（）（）（）（）设计意图：学生通过对图形的识别，得出圆周角的两个特点：顶点在圆上；两边都与圆相交。

通过正例与反例的判断，加深对概念的理解。

探究二：圆周角定理的掌握。

1、学生度量图1中弧BC所对的圆周角和圆心角的大小，猜想这两个角的大小关系。

教师也可利用几何画板的动态性来加以验证。

圆周角（一）数学教案
标题：圆周角
一、教学目标：
1. 学生能够理解并掌握圆周角的概念。

2. 学生能够运用圆周角的性质解决实际问题。

3. 通过探究学习，培养学生的观察力和逻辑思维能力。

二、教学重点与难点：
1. 教学重点：圆周角的概念及其性质。

2. 教学难点：运用圆周角的性质解决实际问题。

三、教学准备：
1. 圆形教具
2. 多媒体设备
四、教学过程：
1. 导入新课：
通过回顾以前学习过的关于圆的知识，引入圆周角的概念。

2. 新课讲解：
（1）定义：圆周角的概念，强调圆周角的顶点在圆上，两边都与圆相交。

（2）性质：引导学生观察并总结圆周角的性质，如圆心角等于它所对的圆周角的两倍等。

3. 实例解析：
通过具体的例子，让学生理解如何运用圆周角的性质解决问题。

4. 小组讨论：
分小组进行讨论，设计一些题目让各小组完成，然后分享他们的答案和解题思路。

5. 巩固练习：
设计一些习题供学生自我检查，巩固他们对圆周角的理解。

6. 课堂小结：
让学生复述本节课学到的内容，教师进行补充和点评。

7. 布置作业：
设计一些难度适中的题目作为家庭作业，以进一步巩固学生的学习效果。

五、教学反思：
在课程结束后，反思本次教学的效果，包括学生对知识的掌握程度，教学方法的有效性，以及需要改进的地方。

圆周角（一）1. 介绍圆周角是指圆的弧所对的圆心角，它是圆周上任意两条弧所对的圆心角的度量。

在几何学中，圆周角是一项基本概念，对于理解和计算与圆相关的问题非常重要。

2. 定义圆周角的定义如下：定义1：圆周角是一个以圆心为顶点的角。

圆周角通常用字母表示，例如A、B、C等。

下图是一个圆周角的示例：B/\\/ \\A/____\\C在上图中，B是圆周角的顶点，弧AC和弧AB是圆周角的两边。

3. 单位圆周角的单位通常有两种：弧度（radian）和度（degree）。

弧度是一种单位，用弧长与半径之比来度量一个圆周角。

一个圆的一周对应的弧长是2πr（其中r是半径），所以一个圆周角所对应的弧长与圆周长之比就是弧度的度量。

度是一种常见的度量角的单位，它将一个圆周平均分为360份，每份称为一度。

一个圆周角等于360度。

4. 圆周角的计算圆周角的计算可以用上述定义和单位来进行。

4.1 弧度的计算如果知道一个圆弧的弧长线段L和半径r，可以通过下式计算弧度：弧度 = 弧长 / r4.2 度的计算如果知道一个圆周角的弧度r，可以通过下式计算度：度= r * 180 / π4.3 示例假设有一个圆的半径r为5，弧长L为12，则可以按以下步骤计算弧度和度数：1.计算弧度：弧度 = 弧长/ r = 12 / 5 ≈2.42.计算度数：度数 = 弧度* 180 / π ≈ 137.5因此，给定半径为5的圆弧，其弧长为12的圆周角，弧度约为2.4弧度，度数约为137.5度。

5. 结论圆周角是圆的弧所对的圆心角，它可以用弧度或度来度量。

弧度是一个圆弧的弧长与半径之比，度是一个圆周角等于360度。

圆周角的计算可以通过弧度和度之间的转换进行。

实际应用中，我们经常需要在弧度和度之间进行转换以满足不同的计算需求。

以上是关于圆周角的基本介绍和计算方法。

在后续的文档中，我们将继续讨论与圆周角相关的更深入的概念和应用。

2.4圆周角（1）课后作业学校 班级 姓名 完成时间1．如图,在图中标出的4个角中，圆周角的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第1题 第2题 第3题 第4题2．如图,AB 、AC 是⊙O 的弦，延长CA 到点D ，使AD=AB .若∠D =20º，则∠BOC 等于 º.3．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB 上，则∠DPC = º．4．如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，点D 在圆上且∠ADC=30º，则∠AOB=_____ º．5.一条弦所对的圆心角是120º，那么它所对的圆周角为 º．6.如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠ADC=∠BDC =60°,BC =3,求△ABC 周长.7.如图，⊙O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点P ，且AB =CD ，求证：P A=PC .P2.4圆周角（1）课后作业答案1．B 2．80º 3．45º 4．60º 5. 60º或120º6.解：在⊙O 中，∵∠ADC=∠BDC =60°,∴∠ADC=∠ABC =60°, ∠BDC=∠BAC =60°,∴∠ABC =∠BAC =60°,又∵∠ABC +∠BAC+∠ACB =180°,∴∠ACB =60°,∴∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°,∴BC =BA =AC =3,∴△ABC 周长为9.7.证明：连接AC,∵AB =CD ，∴⌒AB =⌒CD ,∴⌒AB +⌒BD =⌒CD +⌒BD即⌒AD =⌒CB ,∴∠C=∠A∴P A=PC .。

圆周角（1）当圆心(0)在圆周角(ZBAC)的一边(AB)±时，圆周角 ZBAC 与圆心角ZB0C 的大小关系.得出结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半. 问：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样？ 离，增进了师生的情感 交流。

%1 当圆心(0)在圆周角(ZABC)的内部时，圆周角 ZABC 与圆心角ZA0C 的大小关系会怎样？ %1 当圆心(0)在圆周角(ZABC)的外部时，圆周角 ZABC 与圆心角ZA0C 的大小关系会怎样？ 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半. 4、议一议 %1 如图1,在©0中,ZA, ZA' , ZA”的大小有什么关 系?为什么? %1 如图2,在O0屮，若弧AB 等于弧EF,能否得到ZC = ZG 呢？ 同弧或等弧所对的恻周角相等；同圆或等闘中，相 等的圆周角所对的弧也相等 二、练习 1、求圆屮角X 的度数分组讨论:给学生 足够的探索时间 和想象空间， 用一句话概括(理 清同一条弧的含 义)学生独自思考麻 回答分组讨论，适时点拨，体现数形结合的数学思 想，培养学生观察能力 和分析问题的能力。

以 及语言表达能力。

这一过稈体现了数学中 的分类讨论的思想；在 证明屮，示两种都化成 了第一种情况，这体现 数学中从特殊到一般的 化归思想•从而让学生 学会了一种分析问题解 决问题的方式方法。

从两个练习屮发现推论 (让学生类推出结论) 让学生在同一知识屮变 换角度思考问题，从不 同的方位观察圆心角与 圆周角的关系，深一步 理解“同弧”二字的含义，拓展学生思维的深 度和广度。

加深理解圆周角与圆心 角的关系为圆内接四边形的对角 等于180。

做准备2、如图，圆心角ZA0B=100° ,则ZACB=c三、做做看，收茯知多少？判断1、顶点在圆上的角叫圆周角。

2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。

计算1、半径为R的圆屮，有一弦分圆周成1： 2两部分，则弦所对的圆周角的度数是__________________ 。

圆周角1．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．52．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．3．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．4．如图，已知AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点E，交AD延长线于点B，过点A作AC⊥BC交⊙O于点G，交DE于点F．（1）求证：AD=AF；（2）若DE=2CF，试说明四边形OEFG为菱形．5．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．（1）求BC的长；（2）求圆心到BC的距离．6．如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC（1）求证：AC平分∠OAB；（2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求圆O的半径OC及PE的长．7．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），AB⊥CD．（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CED=∠COB；（2）点E´在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CE´D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．8．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，⊙O经过点A和点B，与斜边BC 交于点P（不与B、C重合），PE是⊙O的直径，连接AE，BE．（1）求证：AP=AE；（2）若PE=4，求PC2+PB2的值．9．如图（1），BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，DB∥OA，BC=10，AC=6．（1）求证：BA平分∠DBC；（2）求DB的长；（3）如图（2），E是半圆CB的中点，连接AE，求AE的长．10．在⊙O中，AB是⊙O直径，AC是弦，∠BAC=50°．（Ⅰ）如图（1），D是AB上一点，AD=AC，延长CD交⊙O于点E，求∠CEO的大小；（Ⅱ）如图（2），D是AC延长线上一点，AD=AB，连接BD交⊙O于点E，求∠CEO的大小．11．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．（1）如图1，MA=6，MB=8，∠NOB=60°，求NB的长；（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．12．如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E、F、G三点，连接FE，FG．（1）求证：∠EFG=∠B；（2）若AC=2BC=4，D为AE的中点，求FG的长．13．如图1，在△ABC中，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，且=．（1）求证：AB=AC．（2）若∠C=70°，求的度数．（3）如图2，点F在⊙O上，=，连结DF，DE．求证：∠ADF=∠CDE．14．如图1，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F．（1）求证：BC=2DF；（2）如图2，连接AE，过点C作AE的垂线交⊙O于点M，垂足为G，过点B 作CM的垂线，垂足为H，若∠EAB+∠ODF=45°，AB=10，求弦CM的长．15．如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．①当∠APB=45°时，AB的长度为，②当AB=1时，∠APB=°；（2）若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设∠CAD=α，∠ADB=β，试用α、β表示∠APB（请直接写出答案，并画出示意图）．16．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．（3）求证：PA+PB=PC．。