九年级数学上册《5.3圆周角(1)》课件 苏科版
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苏科版九年级数学上册《圆周角》课件
2、四边形ABCD内接于⊙O，
则∠A+∠C=__1_8_0_°_ ，
A
∠B+∠ADC=_1_8_0_°___；
D E
80°
若∠B=80°，
B
C
则∠ADC=__1_0_0_°_ ，∠CDE=__8_0_°__
即 ∠ABC = 1∠AOC.
2
A
A
C
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
• 同一圆内，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于该弧所对的圆心角 的一半；
• 相等的圆周角所对的弧相等．
课前测验
1、100º的弧所对的圆心角等于_1__0_0_º__，所对的圆周角等于
__5_0_º___.
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，
[推论]:
• 半圆（或直径）所对的圆周角都相等， 都等于90°(直角)；
• 90°的圆周角所对的弦是圆的直径．
例题
例1.如图，AB是⊙O的直径， ∠A＝80°． 求∠ABC的度数．
解 ：∵ AB是⊙O的直径， 而直径所对的圆周角是直角， ∴ ∠ABC＝180°－∠A－∠ACB ＝180°－80°－90° ＝10°． ∴ ∠ABC的度数是10°．
知识回顾:
1、圆周角定义: 顶点在圆上，并且 两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
知识回顾:
2、圆心角与所对的弧的关系 3、圆周角与所对的弧的关系 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
如图，在⊙O中，∠BOC和∠ BFC分别是什么角？ ∠ BDC和∠ BEC又是什么角？
B
D
数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
数学九年级上第三篇第四节《圆周 角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
5.3圆周角(1)课件
数学认识
定理： 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
基础训练 例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC
与∠BDC的大小，并说明理由。
A F D
E O C B
拓展延伸 如图，OA、OB、OC都是圆O的半径， ∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
小结与反思
1.概念的引入和定理的发现：
M O M
O
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
小结与反思 2、定理的证明思路： 我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分 成三类，先解决一类特殊问题，再把其他两类 转化成特殊问题。
思考与探究
如图，你能判断出∠ ＡＣＢ ∠Ｄ的大小关 系吗？你借助的依据 是什么？
思考与探究
如图，圆上有两点Ｂ Ｃ，它们所对的圆心 角是： ；你能 再图中画出 所对 的圆周角吗？
思考与探究
பைடு நூலகம்
你所画的圆周角的和圆心有什么样的位置关系？ 你能和同伴将所画圆周角与圆心关系分类吗？
你能探究出 试看.
所对的圆心角和圆周角的关系吗？试
初中数学九年级上册 苏科版
5.3 圆周角（1）
观察与思考
请你观察并思考： 你能将图中∠C， ∠ D， ∠Ｅ， ∠Ｆ， ∠ＡＯＢ 进行分类吗？你分类的标 准是什么？
观察与思考 定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
观察与思考
2、图中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个
课件：5.3圆周角3
例2.如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是 △ABC的高，（1）求证：△ADC∽△ECB； （2）已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径。
A D
E
O B C
小试牛刀：
1.如图，⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的 平分线交⊙O于点D，求BC和AD的长。
C
A
OBD小试牛 Nhomakorabea：E
巩固练习
1.如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°, 则∠ABC= ___. 80° 2.如图，A B是⊙O的直径，CD是弦， ∠ACD=40 ° 50 ° 100° 则∠BCD=_______,∠BOD=_______.
3.如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点 (不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD， 等腰三角形 判断△ABC的形状：__________ 。 4.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦， ⌒ ∠BAC=30°,则AC ) D 的度数是( A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
初中数学九年级上册 （苏科版）
复习：
1.圆周角定理的内容。
同弧（等弧）所对的圆周角相等，都等 于它所对的圆心角的一半。
2.圆周角定理的两个推论内容。
（1）直径（半圆）所对的圆周角是直角；
（2）90°的圆周角所对的弦是直径，所 对的弧是半圆。
展示自我：
⌒ 1.如图1，⊙O中弦CD垂直于直径AB,E是BC的中 点，AE分别交CD、CB于G、F，则（D ） A.AB=CD B.AF=BF C.AG=CG D.CG=CF P
5.如图4，PA、PC分别交⊙O于B、D， ⌒ ⌒ ⌒ AB=AC=CD，∠P=40°，则∠PAD= 15° 。
苏科9上教案 5.3圆周角(1)
5.3圆周角（1）一、学习目标:1．知识与技能：理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题2．过程与方法：经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题3．情感态度与价值观：在探求新知的过程中学会合作、交流体会数学中的分类转化等方法。
学习重点：圆周角及圆周角定理学习难点：圆周角定理的应用二、知识准备,复习巩固1、叫圆心角。
2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数。
三、学习内容:活动一操作与思考如图，点A在⊙O外，点B1、B2、B３在⊙O上，点C在⊙O内，度量∠A、∠B1、∠B2、∠B３、∠C的大小，你能发现什么？∠B1、∠B2、∠B３有什么共同的特征？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
归纳得出结论，顶点在_______，并且两边________________________的角叫做圆周角。
强调条件：①_______________________，②___________________________。
识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．活动二观察与思考如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是、（２）、（３）中∠BAC的度数．通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．试证明这个结论：（学生完成）活动三思考与探索１.如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。
2.思考与讨论（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？（2）设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝21∠BOC还成立吗？试证明之．通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3.尝试练习（1）如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=350(1)∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．(2)∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（2）如图，点A、B、C在⊙O上，(1) 若∠BAC=60°，求∠BOC=______°;(2) 若∠AOB=90°,求∠ACB=______°.4、例题：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。
江苏省金坛市第二中学5.3 圆周角(1)课件(苏科版九上)
D O
E
A
探索活动
2、分类转化、证明猜想
A O C
B
A
A
O C
O
B
B
C
图1 半径
图2
图3
探索活动
★圆心O在圆周角∠BAC的一边上
A O C
∵∠BOC是△AOC的外角， ∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠BAC， ∴∠BOC＝2∠BAC， 1 即∠BAC＝ ∠BOC 2
1 ∠BOC 2
结论：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
探索活动
在同圆或等圆中，把“同弧”改成“等弧”结论 是否依然成立？
归纳性质
圆周角性质：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
巩固练习
1、如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点A、D在点B、C所在直线的同 侧，∠BAC＝35°,则 同弧所对的圆周角相等 ； ∠BDC ＝ 35 °，理由是 ∠BOC ＝ 70 °，理由是 同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。 。
A
A
探索活动
B
O C
O
O C
B
D
D
★圆心O在圆周角∠BAC的外部 作直径AD， 于是
A O
∠BAD＝
C
1 ∠BOD，∠CAD＝ 2
D
B
∴∠CAD－∠BAD＝
1 （∠COD－∠BOD） 2
1 ∠COD 2
即∠BAC＝
1 ∠BOC 2
O D C
A
O D B
A
探索活动
A
A O C
A
O C
O
B
B
B
E
A
探索活动
2、分类转化、证明猜想
A O C
B
A
A
O C
O
B
B
C
图1 半径
图2
图3
探索活动
★圆心O在圆周角∠BAC的一边上
A O C
∵∠BOC是△AOC的外角， ∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠BAC， ∴∠BOC＝2∠BAC， 1 即∠BAC＝ ∠BOC 2
1 ∠BOC 2
结论：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
探索活动
在同圆或等圆中，把“同弧”改成“等弧”结论 是否依然成立？
归纳性质
圆周角性质：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半。
巩固练习
1、如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点A、D在点B、C所在直线的同 侧，∠BAC＝35°,则 同弧所对的圆周角相等 ； ∠BDC ＝ 35 °，理由是 ∠BOC ＝ 70 °，理由是 同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。 。
A
A
探索活动
B
O C
O
O C
B
D
D
★圆心O在圆周角∠BAC的外部 作直径AD， 于是
A O
∠BAD＝
C
1 ∠BOD，∠CAD＝ 2
D
B
∴∠CAD－∠BAD＝
1 （∠COD－∠BOD） 2
1 ∠COD 2
即∠BAC＝
1 ∠BOC 2
O D C
A
O D B
A
探索活动
A
A O C
A
O C
O
B
B
B
5.3圆周角(一) 课件 (苏科版九年级上)
圆心角的顶点发生变化时,我们得到几种情况:
A A A
O
B C B
.
O C B
.
O
C
.
圆内角
圆外角
圆周角
圆周角定义: 顶点在圆上,并且
两边都和圆相交的角叫圆周角.
A
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
B
O C
.
尝 试
1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
A
B
C
D
2、图3中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。
1、试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7 ∠1=∠4
A
1
8 7
6
C
2 3
B
∠3=∠6
4
5
∠5=∠8
做一做，成功在向你招手！
2、求图中角的度数
A
140°
m
B
C
35º
1 70°
80°
2
O
30° 120°
130°
O
3
O
120°
35°
60°
典型例题
例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与 ∠BDC的大小，并说明理由。
B A
C C A
图 3
D
图 4 B
3、写出图4中的圆周角：________________________
同弧所对的圆周角及圆心 角的关系：
同一条弧所对的圆周角的 度数相等，并且它的度数 恰好等于这条弧所对的圆 心角的一半。
我们的猜想是否正确?
苏科版数学九上4.3《圆周角》课件
在数学问题中的应用
圆的性质证明
通过圆周角，可以证明一些重要的圆 的性质，如垂径定理、切线定理等。
圆的面积和周长计算
利用圆周角，可以计算圆的面积和周 长，为几何学中的基础计算提供依据 。
求解角度问题
在几何问题中，经常需要利用圆周角 来求解其他角度，如扇形的圆心角、 三角形中的角度等。
在几何证明中的应用
苏科版数学九上4.3 《圆周角》课件
contents
目录
• 圆周角的概念 • 圆周角定理 • 圆周角定理的推论 • 圆周角的应用
01
CATALOGUE
圆周角的概念
圆周角的定义
圆周角的定义
顶点在圆上，两边与圆相交的角 叫做圆周角。
圆周角的度量
圆周角的度量单位是度（°），其 大小范围是$0^circ$到 $360^circ$。
圆周角定理
通过圆周角，可以证明圆 周角定理，即同弧或等弧 所对的圆周角相等。
切线定理
利用圆周角，可以证明切 线定理，即过切点的半径 与切线所形成的圆周角是 直角。
垂径定理
通过圆周角，可以证明垂 径定理，即过圆心的直径 垂直于相交弦，并且平分 这条弦。
THANKS
感谢观看
例如
已知在圆O中，弧AB所对的圆心角为θ°，则弧 AB所对的圆周角等于多少°。
3
分析
根据圆周角定理，弧AB所对的圆周角等于弧AB 所对的圆心角的一半，即θ圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等
总结词
该推论说明在同一个圆或等圆中，由同一条弧或等弧所对的 圆周角是相等的。
02
CATALOGUE
圆周角定理
圆周角定理的表述
总结词：准确描述
圆周角定理的表述为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半。
九年级数学上册教学课件《圆周角》
【教材P88练习 第3题】
证明：∵ ∠ACB= ∠AOB，∠BAC= ∠BOC，∠AOB=2∠BOC， ∴ ∠ACB =2∠BAC.
4. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有 几种方法？与同学交流一下.
【教材P88练习 第4题】
解：根据90º的圆周角所对的弦是直径,两直径的交点即是圆心.
⌒
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
第一种情况：
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
第二种情况：
D
请同学们自己完成证明.
第三种情况：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
拓展延伸
⌒
⌒
解：(1)连接OA，交BF于点M.∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°,即β=20°.(2)β=45°- α.证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝ ∠AOB,∴β＝ (90°-α)＝45°- α.
等弧所对的圆周角相等．
∴
等弧：
∠BDC=∠CAE
同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论1：
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
下列说法是否正确，为什么？“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
D
B
C
O
E
.
一条弦所对应的圆周角有两个.
这两个角有什么关系吗？
9.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是 ．
证明：∵ ∠ACB= ∠AOB，∠BAC= ∠BOC，∠AOB=2∠BOC， ∴ ∠ACB =2∠BAC.
4. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有 几种方法？与同学交流一下.
【教材P88练习 第4题】
解：根据90º的圆周角所对的弦是直径,两直径的交点即是圆心.
⌒
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
第一种情况：
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
第二种情况：
D
请同学们自己完成证明.
第三种情况：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
拓展延伸
⌒
⌒
解：(1)连接OA，交BF于点M.∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°,即β=20°.(2)β=45°- α.证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝ ∠AOB,∴β＝ (90°-α)＝45°- α.
等弧所对的圆周角相等．
∴
等弧：
∠BDC=∠CAE
同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论1：
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
下列说法是否正确，为什么？“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
D
B
C
O
E
.
一条弦所对应的圆周角有两个.
这两个角有什么关系吗？
9.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是 ．
《圆周角》九年级数学初三上册PPT课件
时间：20XX
前言
学习目标
1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。
2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;
3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明。
Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
时间：20XX
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
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Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景二（证明∠BAC=
1 2
3
5
D
4
6
1
∠BOC）:
2
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
证明二：
OA=OC=>∠4＝∠2
OA=OB=>∠1＝∠3
∠5＝∠1 ＋∠3
∠6＝∠5 ＋∠4
∠=∠5+∠6
=> ∠ = ∠。
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景三（证明∠BAC=
B
A
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。
O
这个圆叫做这个多边形的外接圆。
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
⊙O是四边形ABCD的外接圆。
九年级数学圆周角课件苏科版
练习1：求圆中的角α的度数。
⑴∠BOC=70ο， ο 35 ∠1=
⑵∠ 则 DAC=100ο， 则 ο 160 ∠1=
例1、如图，E、F。比较∠BAC与 ∠BDC的大小，并说明理由 解：连接BE ∵∠BEC是△BDE的一个外角
D A H B O C
F E
∴∠BEC＞∠BDC
∵∠BAC= ∠BEC （同弧所对 的圆周角相等）
∴∠BAC＞∠BDC
思考：那∠BAC与∠BHC的大小关系呢？（提问）
1、巩固练习：见教学案
2、 请你来小结：
（1）、圆周角的定义。
3、课堂作业：习题5.3
（2）、圆周角定理及其应用。
第 1、3题
再
见 ！
⑴顶点在圆上的角是圆周角吗？ ⑵圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？
画图说明：
⑴
⑵
观察与思考
1、如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、 ∠BAC分别是弧BC 所对的圆心角、圆周角，求出图中∠BAC的度数。 2、你发现了什么规律？
C O
90 B C B O O C O
120
B
O
n
当圆心在圆周角的一边上时： OA=OC , ∠C=∠BAC ∠BOC=∠BAC+∠C ∠BOC=2 ∠BAC
∠BAC=
1 2
∠BOC
一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半。
（一个） 问：一条弧所对的圆心角有多少个？
圆周角呢？（无数个） 圆周角与圆心的位置 关系可归纳为三种： A3
⑴圆心在角的 一边上； ⑵圆心在角的内部； ⑶圆心在角的外部。 A2
A1
证明：分三种情况讨论。 ⑴如图⑴，当圆周角的一 边经过圆心时： … … ⑵如图⑵，圆心O在∠BAC 的内部。 作直径AD。 利用⑴的结果，有：…
⑴∠BOC=70ο， ο 35 ∠1=
⑵∠ 则 DAC=100ο， 则 ο 160 ∠1=
例1、如图，E、F。比较∠BAC与 ∠BDC的大小，并说明理由 解：连接BE ∵∠BEC是△BDE的一个外角
D A H B O C
F E
∴∠BEC＞∠BDC
∵∠BAC= ∠BEC （同弧所对 的圆周角相等）
∴∠BAC＞∠BDC
思考：那∠BAC与∠BHC的大小关系呢？（提问）
1、巩固练习：见教学案
2、 请你来小结：
（1）、圆周角的定义。
3、课堂作业：习题5.3
（2）、圆周角定理及其应用。
第 1、3题
再
见 ！
⑴顶点在圆上的角是圆周角吗？ ⑵圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？
画图说明：
⑴
⑵
观察与思考
1、如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、 ∠BAC分别是弧BC 所对的圆心角、圆周角，求出图中∠BAC的度数。 2、你发现了什么规律？
C O
90 B C B O O C O
120
B
O
n
当圆心在圆周角的一边上时： OA=OC , ∠C=∠BAC ∠BOC=∠BAC+∠C ∠BOC=2 ∠BAC
∠BAC=
1 2
∠BOC
一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半。
（一个） 问：一条弧所对的圆心角有多少个？
圆周角呢？（无数个） 圆周角与圆心的位置 关系可归纳为三种： A3
⑴圆心在角的 一边上； ⑵圆心在角的内部； ⑶圆心在角的外部。 A2
A1
证明：分三种情况讨论。 ⑴如图⑴，当圆周角的一 边经过圆心时： … … ⑵如图⑵，圆心O在∠BAC 的内部。 作直径AD。 利用⑴的结果，有：…
2.4圆周角(第1课时)(课件)九年级数学上册(苏科版)
2.4 圆周角（1）
第1课时 圆周角的概念与性质
学习目标
1．理解圆周角的概念；
2．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角 定理，能运用圆周角定理解决相关问题.
问题导学
观察与思考
1. 图中有圆心角吗？∠BAC与∠BOC的位置有什么不同？
∠BOC是圆心角.
A
∠BAC的顶点在☉O上，
O
∠ABD＝∠ACD， ∠ADB＝∠ACB，
D O
∠BAC＝∠BDC， ∠CBD＝∠CAD.
B
C
新知巩固
2. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35°. 求∠BDC、∠BOC的度数.
A D
O
B C
新知巩固
3.如图，点A、B、C、D在⊙O上， ∠ACB＝∠BDC＝60°， BC=3.
求△ABC的周长. AD
A
∵∠BAC＝∠BAD－∠CAD， B
O
归纳总结
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等.
因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们也可 以说，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
例题讲解
解： 在⊙O中 ，
A
∵∠AOD＝150°， ∴∠ABD＝75° (圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半).
O
证明： ∵ OA＝OC，
∴ ∠OCA＝∠BAC.
∵ ∠BOC是△AOC的外角，
∴ ∠BOC＝∠BAC＋∠OCA.
∴ ∠BOC＝2∠BAC.
B
操作与思考
(2) 圆心O在∠BAC的内部
证明：作直径AD，
∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD，
A
B
第1课时 圆周角的概念与性质
学习目标
1．理解圆周角的概念；
2．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角 定理，能运用圆周角定理解决相关问题.
问题导学
观察与思考
1. 图中有圆心角吗？∠BAC与∠BOC的位置有什么不同？
∠BOC是圆心角.
A
∠BAC的顶点在☉O上，
O
∠ABD＝∠ACD， ∠ADB＝∠ACB，
D O
∠BAC＝∠BDC， ∠CBD＝∠CAD.
B
C
新知巩固
2. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35°. 求∠BDC、∠BOC的度数.
A D
O
B C
新知巩固
3.如图，点A、B、C、D在⊙O上， ∠ACB＝∠BDC＝60°， BC=3.
求△ABC的周长. AD
A
∵∠BAC＝∠BAD－∠CAD， B
O
归纳总结
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等.
因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们也可 以说，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
例题讲解
解： 在⊙O中 ，
A
∵∠AOD＝150°， ∴∠ABD＝75° (圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半).
O
证明： ∵ OA＝OC，
∴ ∠OCA＝∠BAC.
∵ ∠BOC是△AOC的外角，
∴ ∠BOC＝∠BAC＋∠OCA.
∴ ∠BOC＝2∠BAC.
B
操作与思考
(2) 圆心O在∠BAC的内部
证明：作直径AD，
∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD，
A
B
圆周角课件苏科版数学九年级上册
特别提醒
1. 一条弧所对的圆周角有无数个.
2. 一条弧所对的圆心角只有一个.
3. 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相
等，所以也可以说：圆周角的度数等于它所对
的弧的度数的一半. 这两种表述是一致的，解题
时，也可以直接作为定理加以应用.
感悟新知
例2 [中考·连云港] 如图2.4-5，点A、B、C在⊙O上，BC＝
所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形
才有外接圆.
感悟新知
例4 [中考·雅安] 如图2.4-9，四边形ABCD为⊙O的内接四
边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为
(
)
A. 45°
B. 60°
C. 72°
D. 36°
感悟新知
解题秘方：紧扣圆内接四边形的性质、圆周角定理及菱
形对角相等得到∠BAD 与∠BCD 之间的数量关系，然
感悟新知
知识点 1 圆周角
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的
角叫做圆周角.
特别解读
圆周角必须满足两个条件：
1. 顶点在圆上；2. 两边都和圆相交.
感悟新知
2. 圆心角与圆周角的区分与联系
名称
圆心角
圆周角
关系
区分
联系
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所
在同圆中，一条弧所
对的圆心角只有唯一
系求出BC 的长，进而可求出半径.
感悟新知
解：如图2.4-7，连接BC. ∵∠BOC＝90°，
∴ BC是⊙A的直径(90°的圆周角所对的弦是直径)．
∵∠ODB＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°
(同弧所对的圆周角相等).
1. 一条弧所对的圆周角有无数个.
2. 一条弧所对的圆心角只有一个.
3. 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相
等，所以也可以说：圆周角的度数等于它所对
的弧的度数的一半. 这两种表述是一致的，解题
时，也可以直接作为定理加以应用.
感悟新知
例2 [中考·连云港] 如图2.4-5，点A、B、C在⊙O上，BC＝
所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形
才有外接圆.
感悟新知
例4 [中考·雅安] 如图2.4-9，四边形ABCD为⊙O的内接四
边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为
(
)
A. 45°
B. 60°
C. 72°
D. 36°
感悟新知
解题秘方：紧扣圆内接四边形的性质、圆周角定理及菱
形对角相等得到∠BAD 与∠BCD 之间的数量关系，然
感悟新知
知识点 1 圆周角
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的
角叫做圆周角.
特别解读
圆周角必须满足两个条件：
1. 顶点在圆上；2. 两边都和圆相交.
感悟新知
2. 圆心角与圆周角的区分与联系
名称
圆心角
圆周角
关系
区分
联系
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所
在同圆中，一条弧所
对的圆心角只有唯一
系求出BC 的长，进而可求出半径.
感悟新知
解：如图2.4-7，连接BC. ∵∠BOC＝90°，
∴ BC是⊙A的直径(90°的圆周角所对的弦是直径)．
∵∠ODB＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°
(同弧所对的圆周角相等).
5.3 圆周角(1)课件(苏科版九上)
你能发现什么规律？
例2、如图8，OA、OB、OC都是圆O的半径， ∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
练 习
1、如图6，已知∠ACB = 20º ，则∠AOB = _____， ∠OAB ＝ .
Hale Waihona Puke OC图 6
A B
2、如图7，已知圆心角∠AOB=1000，则∠ACB = _______。
∵∠AOC是△ABO的外角，
A
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
C
●
O
即
∠ABC =
1 ∠AOC. 2
B
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
第二种情况：如果圆心不在圆周 角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内 部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC 的大小关系会怎样?
初中数学九年级上册 （苏科版）
5.3 圆周角（一）
定 义
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的？
定义：顶点在圆心的角叫圆心角。
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
C
O
B A
尝 试
1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
A
B
C
D
2、图3中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。
回顾总结
通过本课的学习，你又有 什么收获？
总 结
1、概念的引入和定理的发现：
O
M
O
M
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
江苏省连云港市新海实验中学苏教版2014届九年级数学上5.3圆周角(1)优课比赛课件(20张ppt)
A A3 3 A1 B B35 1 O O C C35 1 A5
同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半．
图为轮滑爱好者均匀组成的圆，点A、B、M、 N在⊙O上，摄影师在圆上点A处刚好能拍到10位 轮滑爱好者 ，且此时镜头视角为30°．
（1）∠MBN= °， 推理的依据是 ； （2）∠MON= °， 推理的依据是 ； （3）猜想组成这个圆的轮滑 爱好者有多少人？
找找新朋友 ——圆周角
．
①
．
②
．
③
．
④
．
⑤
A3
A1 O
A5
B
C
（1）请在画图纸的图①中画出AB所对的圆 心角和它所对的圆周角 ； （2）度量你所画的圆心角和圆周角的度数， 再与小组同学交流一下，有何发现？ （1）请在图②的圆上任意确定一条弧，画出 这条弧所对的圆心角和一个圆周角； （2）度量你所画的圆心角和圆周角的度数, 并在图上标出它们的度数.
C
E A O N F
M
(5)当摄影师在A处照完相后又想到D处再给刚才 的10位轮滑爱好者照相，此时镜头的视角又该 怎么发生变化呢？为什么？
A
D O N
M
(5)当摄影师在A处照完相后又想到D处再给刚才 的10位轮滑爱好者照相，此时镜头的视角又该 怎么发生变化呢？为什么？
E A D O N
M
(5)当摄影师在A处照完相后又想到D处再给刚才 的10位轮滑爱好者照相，此时镜头的视角又该 怎么发生变化呢？为什么？
F 后又想到圆上 点C处再给圆上其余轮滑爱好者照相，此时镜头 的视角该为多少度？为什么？
A 80° O B
D
C
(7) 图为轮滑爱好者均匀组成的圆，点A、B、C、 D在⊙O上，摄影师在圆上刚好能拍到BC上的10 位轮滑爱好者，且此时镜头视角为30°,摄影师在 E处又给刚才的10个同学拍照，刚好镜头视角还 为30°,那么AD上站着多少轮滑爱好者?
5.3圆周角(一)
初中数学九年级上册 （苏科版）
5.2 圆周角（一）
定 义
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
C
O
B A
尝 试
1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
A
B
C
2、图3中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。
B A
C C A
图3
D
图4 B
3、写出图4中的圆周角：________________________
A F D
E O C B
练 习
1、如图6，已知∠ACB = 20º ，则∠AOB = _____， ∠OAB ＝ .
O
C
图6
A B
2、如图7，已知圆心角∠AOB=1000，则∠ACB = _______。
3、如图8，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
回顾总结
通过本课的学习，你又有 什么收获？
总 结
1、概念的引入和定理的发现：
M O
O
M
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
探 索
猜想：圆周角的度数与什么有关系？
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半 定理： 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
典型例题
例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，
CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC
与∠BDC的大小，并说明理由。
5.2 圆周角（一）
定 义
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
C
O
B A
尝 试
1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
A
B
C
2、图3中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。
B A
C C A
图3
D
图4 B
3、写出图4中的圆周角：________________________
A F D
E O C B
练 习
1、如图6，已知∠ACB = 20º ，则∠AOB = _____， ∠OAB ＝ .
O
C
图6
A B
2、如图7，已知圆心角∠AOB=1000，则∠ACB = _______。
3、如图8，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
回顾总结
通过本课的学习，你又有 什么收获？
总 结
1、概念的引入和定理的发现：
M O
O
M
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
探 索
猜想：圆周角的度数与什么有关系？
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半 定理： 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
典型例题
例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，
CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC
与∠BDC的大小，并说明理由。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
A
C C
A
图3 D
图4B
3、写出图4中的圆周角：__∠_C__A_B__、___∠_A_C__B_、___∠_C__B_A_
动手画一画
如图，在⊙0中， 1、画出弧BC所对的圆心角，你能画几个？
2、画出弧BC所对的圆周角，你又能画几个？
.
O
B．
． C
C
O
B A
观察与思考
1、如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、 ∠BAC分别是弧BC 所对的圆心角、圆周角，求出图中∠BAC的度数.
⑵∠B0C=_70_°,
. 理由是:在同圆中，同弧所对的圆周角 A O
D
等于该弧所对圆心角的一半.
B
C
例题
例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、 BD分别交⊙O于点E、F.比较∠BAC与∠BDC的大小，并说 明理由.
解：连接BE ∵∠BEC是△BDE的一个外角
A
D F
∴∠BEC＞∠BDC
∵∠BAC = ∠BEC（同弧所对的圆
周角相等）
B
∴∠BAC＞∠BDC
E O
C
思考：还有别的处理方法吗？
巩固练习
练习3：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A 与点D在点B、C所在直线的同侧，比较∠BAC与∠BDC的 大小，并说明理由．
友情提示: 延长CD交⊙O于点E，连接 BE
ED
A
.
O B
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
∠BAD
=
1 2
∠BOD,∠CAD
=
1 2
∠COD,
B
O C
∴∠BAD＋∠CAD ＝ 1 ∠BOD＋ 1 ∠COD
D
即
∠BAC
=
1
2
∠BOC.
2
2
你还能用一句话概 同弧所对的圆周角等于该弧所对
括这一结论吗？ 的圆心角的一半.
圆周角定理
综上所述,同弧所对圆周角∠BAC与圆心
角∠BOC的大小关系是:即 ∠BAC = 1 ∠BOC. 2
2、你发现了什么规律？
O
90°
B
C
O 120° C B
O
C O
n°
B
思考与探索
1、当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(AB)上时,弧BC 所对的圆周角∠BAC 与圆心角∠BOC有怎样的数量 关系？你能证明这一结论吗？
∵∠BOC是△AOC的外角， ∴∠BOC=∠BAC+∠OCA. ∵OA=OC，
C
5、如图6，已知∠ACB = 20º，则∠AOB = _____4，0º ∠OAB ＝ 70º.
O
C
图6
AB
6、如图7，已知圆心角∠AOB=1000，则∠ACB = ______1_3。0º
7、如图8，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
A O
∴∠OCA =∠BAC. ∴∠BOC= 2∠BAC. 即 ∠BAC = 1 ∠BOC.
2
B
C
你能用一句话概 同弧所对的圆周角等于该弧所对
括这一结论吗？ 的圆心角的一半.
思考与探索
2、当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的内部时，结 论还成立吗？
友情提示:能否转化为1的情况?
A
过点A作直径AD. 可得:
A
A
A
O
B
C
O
B
C
O C
B
圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 该弧所对的圆心角的一半.
注：一条弧所对的圆周角也等于
这条弧度数的一半.
巩固练习
练习2：如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与 点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC= 35°. ⑴∠BDC=_35_°,
理由是: 在同圆中，同弧所对的圆周角相等
回顾与思考
你知道什么是圆心角吗?
苏科版 义务教育标准实验教科书 九年级上册
圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
A
叫圆周角.
.
特Hale Waihona Puke ：O① 角的顶点在圆上.
B
C
② 角的两边都与圆相交.
1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）B
A
B
C
D
2、图3中有几个圆周角？（ C）
（A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。