武汉大学测绘学院2005-2006学年度第二学期期末考试《物理大地测量学》课程试卷（A卷）答案要点及评分标准一、名词解释（共20分，每小题4分）1、扰动位：某点的扰动位等于该点的重力位与正常重力位之差，即。
2、重力垂线偏差：指某点的重力方向与该点的正常重力方向之间的夹角，垂线偏差描述了大地水准面的倾斜。
3、大地水准面：如果在某曲面上重力位处处相等，则此曲面称为重力等位面，又称为水准面。
设想海洋面处于静止状态，则海洋面上的重力必然垂直于海洋面，否则，海水必然会流动。
因此，处于静止状态的海洋面与一个重力等位面重合。
这个假想的静止海洋面向整个地球大陆内部延伸形成的封闭曲面，称为大地水准面。
大地水准面是高程测量中正高系统的起算面。
4、GPS水准测量：在某点上实施GPS测量获取该点的大地高，同时在该点实施精密水准测量获取该点的正常高或正高（考虑重力场改正），则可以获得该点的大地水准面高或高程异常，即或。
5、重力：（1）狭义定义：地球所有质量对任一质点所产生的引力与该点随地球相对于惯性中心运动而引起的的离心力之合力；（2）广义定义：宇宙间全部物质对任一质点所产生的引力与该点随地球相对于惯性中心运动而引起的的离心力之合力。
二、简答题（共50分）1、简述物理大地测量学的主要任务及学科内容。
（5分）答：主要任务：用物理方法研究和测定地球形体、地球重力场及各自随时间的变化，又称地球（大地）重力学。
学科内容：（1）重力位理论：它是利用重力以及同重力有关的卫星观测资料确定地球形状及其外部重力场的理论基础，主要研究重力位函数的数学特性和物理特性；（2）地球形状及其外部重力场的基本理论：主要研究解算位理论边值问题，例如按斯托克斯理论或莫洛坚斯基理论或布耶哈默尔理论等解算，以此推求大地水准面形状或真正地球形状和地球外部重力场；（3）全球性地球形状：利用全球重力以及同重力有关的卫星观测资料，按确定地球形状及其外部重力场的基本理论，推求以地球质心为中心的平均地球椭球的参数，以此建立全球大地坐标系，并在此基础上推求全球重力场模型、大地水准面差距、重力异常和重线偏差等。
（4）区域性地球形状：按确定地球形状及其外部重力场的基本理论，采用局部地区的天文、大地和重力资料，将含有地球重力场影响的地面各种大地测量数据归算到局部大地坐标系中，以此建立国家大地网和国家水准网。
利用地面重力资料、卫星测高资料、卫星跟踪卫星数据及其他重力场信息，推求高精度高分辨率区域重力场和大地水准面模型。
（5）重力探测技术：研究获取地球重力场信息的技术和方法，包括地面重力测量、海洋重力测量、航空重力测量、卫星雷达测高、卫星跟踪卫星、卫星重力梯度测量等的技术原理和数据处理方法。
2、简述地球引力位球谐展开式中零阶项、一阶项和二阶项的物理意义。
（7分）答：地球引力位球谐展开式为：其中，，这表示地球质量全部集中在地球质心上所产生的引力位，因此零阶项与地球质量有关。
，该项与地球质心坐标有关，如果将坐标原点选在地球质心，则。
二阶项与地球的惯性积和地球形状有关，如果将坐标轴选在地球的主惯性轴上，则；如果地球是一个旋转体，即赤道是圆，则。
3、简述地球引力位的性质。
（8分）答：（1）引力位函数对任意方向的导数等于引力在该方向上的分力；（2）从物理学的观点看，引力位与未能的数值相同，符号相反，相当于引力将单位质量移到无穷远处所做的负功；（3）引力位是一个在无穷远处的正则函数；（4）质面引力位是连续的、有限的和唯一的，而其一阶导数在经过层面时是不连续的；（5）双层位在穿过层面时不连续；（6）质体的引力位及其一阶导数是处处连续的、有限的和唯一的，而其二阶导数在密度发生突变时是不连续的；（7）质体引力位在吸引质量外部满足拉普拉斯方程；（8）质体引力位在质体内部满足泊松方程。
4、确定高精度高分辨率大地水准面的主要意义是什么？（7分）答：在经典大地测量中，地球重力场对大地测量相对定位起辅助性作用，主要应用于确定参考椭球及其定位、地面观测数据（距离、方向等）归算到参考椭球面上、精密水准测量的地球重力场改正等。
以空间技术为主要手段的现代大地测量是三维地心定位的全球大地测量，精密的地球重力场信息在空间大地测量中起关键性作用：（1）大地水准面或似大地水准面是获取地理空间信息的高程基准面；（2）GPS技术结合高精度高分辨率大地水准面模型可取代传统的水准测量方法测定正高或正常高，真正实现GPS技术在几何和物理意义上的三维定位功能；（3）为卫星大地测量定位提供精细地球重力场模型的支持；（4）精细的地球重力场时变信息有助于研究和认识某些地球动力学现象，从而为资源环境监测、减灾防灾等提供重要的科学依据。
5、确定地球正常重力场的目的是什么？通常采用哪些方法和参数来确定正常重力场？（8分）答：主要目的：地球正常重力场是实际地球重力场的近似，将地球重力场的求解归结为扰动场或异常重力场（微小量）的求解，保证了其解的存在性，并方便求解。
方法：通常采用Stokes方法和Laplace方法确定地球正常重力场。
参数：正常重力场通常由参数、、、、、、中的任意四个参数确定。
6、基于Stokes理论和Molodensky理论确定地球重力场的主要区别是什么？（8分）答：基于Stokes边值问题和Molodensky边值问题确定地球重力场的主要区别为：（1）边界面不同，前者为大地水准面，而后者为地球表面；（2）边值条件不同，前者是已知大地水准面上的重力异常，而后者则是已知地球表面上的重力异常；（3）解的结果不同，前者是求解大地水准面上及其外部的扰动位，而后者是求解地球表面上及其外部的扰动位；（4）前者需要将地面上的重力观测值归算到大地水准面上，必须进行地壳密度假设，因而所求得的大地水准面为调整后的大地水准面，而后者无需进行这样的归算，只需将正常重力按严密公式归算到似地球表面即可，不需要地壳密度假设；（5）前者为求解法向导数问题，相对较容易，而后者为求解斜向导数问题，相对较难，并且为了求解高精度的大地水准面需要更多的地形资料。
7、基于Stokes理论确定地球重力场时为什么要进行重力归算？通常采用哪些归算方法？（7分）答：为了利用Stokes理论确定地球重力场，必须进行重力归算，其目的是：（1）使大地水准面（边界面）外部没有质量存在；（2）给出边界面上的边值，即将重力观测值归算到大地水准面上。
主要归算方法：空间改正、布格改正、地形改正、均衡改正等。
三、推证题（共30分）1、给出正高、正常高及力高的定义和性质，并证明大地水准面高N与高程异常之间的关系为：，其中为实际重力平均值，为正常重力平均值，H为正常高。
（15分）答：正高：沿某点B的垂线方向到大地水准面的距离，称为B点的正高，其计算公式为：式中为位基数；为沿地面点B的垂线至大地水准面之间的平均重力值。
因不能准确知道用于计算的地面和大地水准面之间的岩层密度分布，因此只能求得正高的近似值，同一重力等位面上正高不一定相等。
正常高：某点的正常高定义为该点沿正常重力线方向至似大地水准面的距离，即式中是平均正常重力。
正常高可以精确计算，并且同一重力等位面上正常高不一定相等。
力高：力高按下式定义：式中是适当选择的某一纬度处（例如采用45°或某一地区的平均纬度）的正常重力值。
力高一般不作为国家的高程系统，只用于解决局部地区有关水利建设的问题，同一水准面上各点的力高具有相同的高程值。
证明：正高、大地水准面高与正常高、高程异常具有如下关系：即又根据正高和正常高的定义式可知：因此，2、证明外部第一边值问题的解是唯一的。
（提示：利用外部第一格林公式，即）（15分）证明：假设解不是唯一的，则在外有两个调和并在无穷远处正则的函数和同时满足上的边界条件，记，则也是在外调和并在无穷远处正则的函数。
将外部第一格林公式应用于，并在该式中令，则有根据条件在内及在面上，则上式为：要使上式成立，则必须在外任意点上都满足下列条件：即为常数。
又根据是在无穷远处的正则函数，则只能等于零，亦即，这证明解是唯一的。
武汉大学测绘学院2005-2006学年度第二学期期末考试《物理大地测量学》课程试卷（B卷）一、名词解释（共20分，每小题4分）1、大地水准面高：大地水准面与平均椭球体表面之间的距离，即大地水准面沿铅垂线方向到平均椭球体表面的距离。
2、重力垂线偏差：指某点的重力方向与该点的正常重力方向之间的夹角，垂线偏差描述了大地水准面的倾斜。
3、扰动重力：某点的扰动重力是指该点的重力与正常重力之差，即。
4、高程异常：似大地水准面与平均椭球体表面之间的距离，即似大地水准面沿正常重力线方向到平均椭球体表面的距离。
5、重力：（1）狭义定义：地球所有质量对任一质点所产生的引力与该点随地球相对于惯性中心运动而引起的的离心力之合力；（2）广义定义：宇宙间全部物质对任一质点所产生的引力与该点随地球相对于惯性中心运动而引起的的离心力之合力。
二、简答题（共50分）1、简述确定地球重力场的主要意义。
（6分）答：地球重力场反映地球物质的空间分布、运动和变化，确定地球重力场的精细结构及其时间相依变化将为现代地球科学解决人类面临的资源、环境和灾害等紧迫课题提供基础地学信息。
（1）地球重力场在测绘科学中主要应用于：各种大地测量数据（如天文经纬度、方位角、水平角、高度角、距离和水准测量结果）的归算、推求地球椭球或参考椭球的参数、建立全球高程基准、GPS测定正高（或正常高）、精密定位及卫星精密定轨等；（2）在相关地球科学中应用于研究地球深部结构及海洋洋流变化、固体地球均衡响应、冰后回弹、地幔和岩石圈密度变化、地球物理勘探、海洋洋流和大气质量分布变化等；（3）在国防和军事科学中为建立高技术信息作战平台和现代军事技术提供高分辨率高精度地球重力场信息，如侦察低轨航天器轨道的设计和轨道确定、提高陆基远程战略武器的打击精度及生存能力、提高水下流动战略武器（潜艇载战略导弹）打击精度、对地观测卫星的精密定轨等。
2、简述正高、正常高和力高的定义、性质及与水准测量高程的关系。
（8分）答：正高：沿某点B的垂线方向到大地水准面的距离，称为B点的正高，其计算公式为：式中为位基数；为沿地面点B的垂线至大地水准面之间的平均重力值。
因不能准确知道用于计算的地面和大地水准面之间的岩层密度分布，因此只能求得正高的近似值，同一重力等位面上正高不一定相等。
与水准测量高程的关系为：。
正常高：某点的正常高定义为该点沿正常重力线方向至似大地水准面的距离，即式中是平均正常重力。
正常高可以精确计算，并且同一重力等位面上正常高不一定相等。
与水准测量高程的关系为：。
力高：力高按下式定义：式中是适当选择的某一纬度处（例如采用45°或某一地区的平均纬度）的正常重力值。
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