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不等式的基本性质

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不等式的基本性质

不等式的基本性质

不等式就是用大于，小于，大于等于，小于等于连接而成的数学式子。

那么网友们知道不等式的基本性质是什么吗？对于不知情的网友们，下面一起来了解一下吧。

1如果XY，那么YX；如果YX，那么XY；
2如果XY，YZ；那么XZ；
3如果XY，而Z为任意实数或整式，那么X+ZY+Z，即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;
4如果XY，Z0，那么XZYZ，即不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;
5如果XY，Z0，那么XZYZ，即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;
6如果XY，MN，那么X+MY+N；
7如果XY0，MN0，那么XMYN；
8如果XY0，那么X的N次幂Y的N次幂（N为正数），X的N次幂Y的N次幂（N 为负数）。

以上就是对于不等式的基本性质是什么的全部内容。

不等式的基本性质

不等式的基本性质

不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种数值关系表示方法，它可以描述数字之间的大小关系。

与等式不同，不等式中的符号可以表示大于、小于、大于等于或小于等于的关系。

本文将介绍不等式的基本性质，包括不等式的性质、解不等式的方法以及一些常见不等式的应用。

一、1. 传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。

这意味着如果不等式的两个数之间有大小关系，那么这种关系可以传递给第三个数。

2. 加法性：如果a>b，那么a+c>b+c。

这表示在不等式两边同时加上相同的数，不等式的方向不改变。

3. 减法性：如果a>b，那么a-c>b-c。

这表示在不等式两边同时减去相同的数，不等式的方向不改变。

4. 乘法性：如果a>b且c>0，那么ac>bc。

对于两个正数的乘法和两个负数的乘法，不等式的方向不改变。

5. 除法性：如果a>b且c>0，那么a/c>b/c。

对于两个正数的除法和两个负数的除法，不等式的方向不改变。

这些基本性质在解不等式及推导数学证明中有重要的应用，帮助我们简化运算和判断。

二、解不等式的方法要解决不等式，我们需要找出满足不等式条件的数值范围。

以下是常见的解不等式的方法：1. 加减法解不等式：通过加减法改变不等式两边的值，将未知数分离出来，并确定不等式方向。

2. 乘除法解不等式：通过乘除法改变不等式两边的值，将未知数分离出来，并确定不等式方向。

需要注意的是，若乘除以负数，则需要反转不等式的方向。

3. 绝对值不等式的解法：当不等式中含有绝对值时，需要分情况讨论。

通常，将绝对值分为正数和负数两种情况，分别解出不等式。

4. 求解复合不等式：当不等式中存在多个不等关系时，需要将其分解为多个简单的不等式，并找出它们的交集或并集。

解不等式的过程中，保持不等式的严格性是很重要的。

当遇到平方、开方等操作时，需注意方程根与不等式的关系。

三、常见不等式的应用1. 一次不等式：一次不等式是指变量的指数为1的不等式，如ax+b>0。

不等式的基本性质

不等式的基本性质
＝2x2－3x－5－2x2＋3x
＝－5＜0
∴（2x－5）（x＋1）＜2x2－3x
亲爱的同学们，下节课见！
第二章 不等式
2.1 不等式的基本性质
1.作差比较法：比较两个实数的大小，可以通过考察它们的差来实现.
对于两个任意的实数a和b，有：a－b＞0⇔a＞b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b＜0⇔a＜b.
2.不等式的性质.
（1）性质1（加法法则）：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
（2）性质2（乘法法则）：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
（
√ ）
2.如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.
（
√ ）
3.如果a＞b，且c＞d，那么ac＞bd.
（
× ）
三、选择题
1.已知a＞b，且ac＞bc，那么（
A. c＞0
B. c＝0
A ）.
C. c＜0
2.若m＞3，则下列不等式中必定成立的是（
A. m＞0
B. m－3＜0
3.如果a＞b，那么（
A. ac＜bc
（4）设a＞b，则－2a＜ －2b，
（5）设x＜y，则1－2x＞1－2y，
1 1
（6）设x＞y＞0，则 ＜ .

2.根据条件，写出x的取值范围：
（1）x＋4＞7， x＞3
（2）2x－1＜3，x＜2
（3）3－2x＞5， x＜－1
（4）2－x＜x－4， x＞3
二、判断题
1.如果a＜b，且b＜c，那么a＜c.
（

三、解答题
比较大小.
1.x2＋1与（x＋1）2，其中x＞0.
解：∵（x2＋1）－（x＋1）2
＝x2＋1－（x2＋2x＋1）

不等式的概念和基本性质

不等式的概念和基本性质

不等式的概念和基本性质：
概念：不等式就是用大于，小于，大于等于，小于等于连接而成的数学式子。

基本性质：
如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x±z>y±z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;
如果x>y，z>0，那么x*(/)z>y*(/)z ,即不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;
如果x>y，z<0，那么x*(/)z<y*(/)z, 即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;
如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；
如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。

不等式的基本性质有哪些

不等式的基本性质有哪些

不等式的基本性质有哪些基本性质：①对称性；②传递性；③加法单调性，即同向不等式可加性；④乘法单调性；⑤同向正值不等式可乘性；⑥正值不等式可乘方；⑦正值不等式可开方；⑧倒数法则。

不等式的基本性质有哪些1不等式8个基本性质如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；如果x>y，y>z；那么x>z；如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;如果x>y，z>0，那么xz>yz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;如果x>y，z<0，那么xz<yz,即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。

2不等式定理口诀解不等式的途径，利用函数的性质。

对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。

数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。

求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。

非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。

图形函数来帮助，画图、建模、构造法。

3基本不等式两大技巧“1”的妙用。

题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。

如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。

调整系数。

有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

不等式的基本性质

不等式的基本性质

作业题A组4.
若x﹥y ， 比较2－3x 与 2－3y 的大小，
解并∵说x﹥明理y (由已.知)
∴ -3x<-3y (不等式的基本性质3) ∴ 2－3x < 2－3y (不等式的基本性质2)
作业题B组5.
若x<y ，且a－3)x > (a－3)y
解求∵ax的<y取，值且范(围a－. 3)x > (a－3)y ∴ a－3<0 (不等式的基本性质3)
不等式的两边都乘以(或除以)同一种正数，
所得的不等式仍成立；（不等号方向不变）
不等式的两边都乘以(或除以)同一种负数，
必须把不等号的方向变化，所得的不等式成立.
（不等号方向变化）
如果a＞b,且c＞0,那么ac＞bc,
a c
＞
b c
如果a＞b,且c＜0,那么ac＜bc,
a c
＜bc
课内练习1
(1) 若x+1＞0,两边同加上-1,得_____x__＞__-_1__
课本举例
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
想一想：尚 有其它比较
解法一：∵ 2＞1，a＜0（已知）， 2a与a的大 ∴ 2a＜a（不等式的基本性质3）小的办法吗？
解法二：在数轴上分别表达2a和a的点（a＜0），
如图5—10. 2a位于a的左边，因此2a＜a.
课本举例
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
做一做
选择适宜的不等号填空： （1）∵0 ＜ 1,
∴ a ＜ a+1(不等式的基本性质2）； （2）∵(a-1)2 ≥ 0,
∴(a-1)2－2 ≥ -2(不等式的基本性质2）
合作学习三
观察并用“<”或“>”填空,并找一找其中的

不等式的基本性质

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那 么ＣD2＝ＣA· B Ｃ 即ＣD＝
D
ab .
A
ab 这个圆的半径为 2 显然，它大于或等于CD，
ab 2
ab
C
a
O
b
B
半径不小于半弦
E
二. 最值定理应用:设 x 0, y 0,由x y 2 xy
x 1.若积 xy P(定值），则和 y有最小值2 P
作业：
P10 Ex 3、10、11、13选做来自Ex 14五、基本不等式
一．常用的重要的不等式和基本不等式
a R, 则a 2 0, a 0（ 当且仅当 a 0时, 取“” 1.若 ）。
2.若 a, b R, 则a b 2ab （当且仅当a=b时取等号）.
2 2
a, b R ，则 a b 2 ab （当且仅当a=b时取等号）. 3.若
不等式的基本性质
一.不等式的三个基本事实：
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
比较大小的基本依据。
O
二. 不等式的基本性质(运算性质)
(1)a b b a. 对称性 (2)a b, b c a c. 传递性 (3)a b a c b c. 可加性 (4)a b, c 0 ac bc; 可乘性 a b, c 0 ac bc. (5)a b 0 a b (n N , n 2).
a 2 b2 ab 2 ( ) （当且仅当a=b时取等号）. 4.若a, b R , 则 2 2
1 3：（1）已知0<x< , 求函数y x(1 3x)的最大值。 3

不等式的基本性质


教学目标：
知识与技能
掌握不等式的基本性质.
过程与方法
明白用类比的方法是一个重要的学习方法
情感态度与价值观
通过探索不等式的基本性质，增强学习数学的兴 趣。
.
4<8
乘(或除以减)正数
4×5__ < 8× 5
1 4×1 < __ 8× 4 4
乘(或除以)负数
4× (-5)__ ＞ 8× (-5)
36500365
胯恒柠
已知，x＜y,用“＞”“＜”填空 1、 x+2___y+2
1 1 y 2、 x ___ 3 3
3、－x___ －y
（不等式的基本性质——） （不等式的基本性质——） （不等式的基本性质——）
4、 x－m___ y－m （不等式的基本性质——）
1 4×（－4 ） __ ＞
8×（ ）
1 4
4÷2 __ < 8÷ 2
4÷（－2）＞ __ 8÷ （－2）
（1）a+3___b+3 （2）a-9___b-9 （3）a+2c___a+2c
a b （4）3 ___ 3
（5）-5a___-5b
2、在下列括号内，填出不等式变形所根据的性质 如果3x－2＞2x－1,那么3x－2x＞2－1 如果－ 如果2x≥－3，那么≥－ 3、判断题
3 x 0 ,那么x＞0 4 3
用同样的方法猜想不等式的基本 性质，并设法验证你的猜想，说 一说你用什么方法验证的？
等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个 数（或除以同一个不为0的数），所得的结 果仍是等式。 不等式基本性质2：不等式的两边都乘（或除 以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式基本性质3：不等式的两边都乘（或除 以）同一个负数，不等号的方向改变.

不等式的基本性质


结论：
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
探究：
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
Байду номын сангаас
例题解析：
例4：用符号“<”或“>”填空，并说出应用了不等式的哪条性 质。 (1)设a>b，a-3 b-3; (2)设a>b，6a 6b; (3)设a<b,-4a -4b; (4)设a<b,5-2a 5-2b. 解：（1）>; （2） >;
小结：
不等式的三条基本性质内容。
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
课后作业：
必作：习题2.1 A组1—2题； 选作：习题2.1 B组
看一看：
想一想：
问题一：
有A、B、C三个人玩跷跷板游戏，如果A比B重，B 比C重，A与B玩后，B下来换上C与A比较，跷跷板 的方向会不会改变？
问题二：
有A、B二人玩跷跷板游戏，如果A比B重，现在在跷 跷板两端添加相同重量的物体后，跷跷板的倾斜方 向会不会改变？
做一做：
请用天平验证你的结论。

不等式的基本性质


例3 已知
- ,求 ， - 的取值范围。
2
2
22
- 6 a 8,2 b 3,分别求a - b, a 的取值范围 b
1.在(1)若a b,则 1 1 , ab
(2)若ac2 bc2 ,则a b, (3)若a b 0, c d 0,则ac bd, (4)若a b,则 b b x
（ （12） ）若 若ca>>ab>, b1>0，1 则，c则-aaa>0，cb-b<b0。（（对对））
ab
课堂小结与作业
1.不等式的概念: 同向不等式；异向不等式；同解不等
2.比较两个实数大小的主要方法:
式．
(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论；
3.不等式的基本性质. （6条） 课外作业： 1.记忆并默写不等式的基本性质 2.p9第2题、第3题（写在作业本上)
(同向正数不等式相乘)
(ⅳ) 如果a ＞ b，ab ＞0则 1 ＜ 1 ab
（同号两数，大的倒数较小，小的倒数较大。）
例3实已数知的a大 b小与0,c它们d 的0,差求的证关da系
b c
证明:c d 0,cd 0,c - d 0, 1 0, 1 - 1 c - d 0
cd
d c cd
用数学式子表示为: a b a - b 0 a b a-b 0
表示“等价于”a b a - b 0
基本理论
a b a-b 0； a b a-b 0； aba-b0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右 边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实数的 大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质不仅可以 用来比较两个实数的大小，而且是推导不等式的性 质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
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性质 2： ：

不等式两边都乘以（或除以）同一个正 不等式两边都乘以（或除以） 不等号的方向不变。 数，不等号的方向不变。
证明： 如果 a > b 证明：
那么 a －b > 0 c > 0时 ： 时 a ×c － b × c = c ×（a －b）> 0 ） 所以 ： a×c > b×c
性质 3： ： 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数， 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数， 不等号的方向改变。 不等号的方向改变。 如果 a>b 而 c< 0 时 ，你能依照前面的 方法推导出a× 方法推导出 ×c 与b×c 之间的关系吗？ × 之间的关系吗？
练习：设 a < b ,用“<”或“>”号填空： 号填空： 练习： 或 号填空
(1) a+1____b+1 <
(2) a－3____b－3 － < －
想一想
不等式的基本性质与等式的基本性质有什 么相同之处，有什么不同之处？ 么相同之处，有什么不同之处？
性质 1： ：
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或 不等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，不等号的方向不变。 同一个整式，不等号的方向不变。 证明： a > b 证明： 如果 a －b > 0 那么 ( a + c )－( b + c ) = a + c－b－c － － － = a－b > 0 － 所以： 所以： a + c > b + c 同理： － 同理： a－c > b－c －