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不等式的基本性质知识点1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b<O L> a<b。
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
如证明y=x3为单增函数，3 3 2 2 2设x1, X2《(-m,+ m), X<X2, f(x i)_f(X 2)=X1 _X2 =(X1_X2)(X1 +X1X2+X2 )=(X1_X2)[(X l+ -)3+ X22]5 3再由(X什- )2+ X22>0, X1-X2<0,可得 f(X l)<f(X2), ••• f(X)为单增。
2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：(1)a>b三b<a (对称性)(2)a>b, b>c 二a>c (传递性)⑶ a>b = a+c>b+c (c € R)(4) c>0 时，a>b A，ac>bcc<0 时，a>b ac<bc。
运算性质有：(1) a>b, c>d —a+c>b+d。
⑵ a>b>0,c>d>0 ac>bd。
⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。
⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
第二节不等式的基本性质1.2不等式的基本性质—目标导引1.历经不等式基本性质探索，进一步体会不等式与等式的区别.2.掌握并能灵活运用不等式的基本性质1.2不等式的基本性质—内容全解1.不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向.2.等式性质与不等式性质的区别其最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变第二课时●课题§1.2 不等式的基本性质●教学目标（一）教学知识点1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别.（二）能力训练要求通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力.（三）情感与价值观要求通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流.●教学重点探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.●教学难点能根据不等式的基本性质进行化简.●教学方法 类推探究法即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§1.2 A ） 第二张：（记作§1.2 B ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得.等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证.Ⅱ.新课讲授1.不等式基本性质的推导［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法.［生］∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a ＜5+a 3－a ＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. ［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. ［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×23×21＜5×21. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. ［生］不对. 如3＜53×（－2）＞5×（－2） 所以上面的总结是错的.［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. ［生］如3＜4 3×3＜4×33×31＜4×31 3×（－3）＞4×（－3）3×（－31）＞4×（－31）3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导.［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变.［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用.2.用不等式的基本性质解释π42l ＞162l 的正确性［师］在上节课中，我们知道周长为l 的圆和正方形，它们的面积分别为π42l 和162l ，且有π42l ＞162l 存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？［生］∵4π＜16 ∴π41＞161 根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得π42l ＞162l 3.例题讲解将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －5＞－1; （2）－2x ＞3; （3）3x ＜－9. ［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得 x ＞－1+5 即x ＞4;（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x ＜－23; （3）根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得 x ＜－3.说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否.4.议一议投影片（§1.2 A ）或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负.本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流. ［生］（1）正确∵a ＜b ，在不等式两边都加上c ，得 a +c ＜b +c ; ∴结论正确.同理可知（2）正确.（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c ，得 ac ＜bc , 所以正确.（4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c ，得c a ＜cb 所以结论错误.［师］大家同意这位同学的做法吗？ ［生］不同意.［师］能说出理由吗？ ［生］在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有a ＜b ,两边同时乘以c 时，没有指明c 的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c =0，则有ac =bc ,正是因为c 的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号.而结论ac ＜bc .只指出了其中一种情况，故结论错误.在（4）中存在同样的问题，虽然c ≠0,但不知c 是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c ＞0,则有c a ＜c b ,若 c ＜0，则有c a ＞cb,而他只说出了一种情况，所以结果错误.［师］通过做这个题，大家能得到什么启示呢？［生］在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否.［师］非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行.［生］不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条.区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变.联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.Ⅲ.课堂练习1.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式.（1）x －1＞2 （2）－x ＜65 ［生］解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x ＞3 （2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x ＞－65 2.已知x ＞y ,下列不等式一定成立吗？ （1）x －6＜y －6; （2）3x ＜3y ; （3）－2x ＜－2y . 解：（1）∵x ＞y ,∴x －6＞y －6. ∴不等式不成立； （2）∵x ＞y ,∴3x ＞3y ∴不等式不成立；（3）∵x ＞y ,∴－2x ＜－2y ∴不等式一定成立. 投影片（§1.2 B ）Ⅳ.课时小结1.本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质.2.利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空.Ⅴ.课后作业习题1.2Ⅵ.活动与探究1.比较a与－a的大小.解：当a＞0时，a＞－a;当a=0时，a=－a;当a＜0时，a＜－a.说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.2.有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？解：原来的两位数为10b+a.调换后的两位数为10a+b.根据题意得10a+b＞10b+a.根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b＞10b两边同时减去b，得9a＞9b根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a＞b.●板书设计●备课资料 参考练习1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －2＜3;（2）6x ＜5x －1; （3）21x ＞5;（4）－4x ＞3. 2.设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空. （1）a －3 b －3;（2）2a 2b ; （3）－4a －4b ;（4）5a 5b ;（5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0; （7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0; （8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0. 参考答案：1.（1）x ＜5;（2）x ＜－1; （3）x ＞10;（4）x ＜－43. 2.（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞.●迁移发散 迁移1.若a ＜b ，则下列不等式中成立的是哪些，说明理由. ①－3+a ＜－3+b ②－3a ＜－3b③－3a －1＜－3b －1 ④－3a +1＞－31b +1 解：在已知条件下成立的有①，其余皆错.错因：②在a ＜b 的条件下，根据不等式的基本性质3应有－3a ＞－3b ； ③基本上同②；④在a ＜b 条件下，由不等式的基本性质，两边必须加(减、乘、除)同一个整式或数.2.判断x =－51能否满足不等式3－2x ＜5+6x ，x =－1呢？ 解：将x =－51代入得：3－2×(－51)＜5+6×(－51)3+52＜5－56，519517 ∴x =－51满足不等式3－2x ＜5+6x当x =－1时，代入不等式得：3－2×(－1)＜5+6×(－1)，3+2＜5－6，5＜－1 显然不能成立.∴x =－1不能满足不等式3－2x ＜5+6x . 发散本节我们用到了我们以前学过的知识如下：等式的基本性质1：等式的两边都加上(或都减去)同一个整式，等式仍成立.等式的基本性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，等式仍成立.●方法点拨［例1］判断下列各运算运用了不等式的哪一条性质. ①∵2＜3 ∴2×5＜3×5 ②∵2＜3 ∴2+x ＜3+x③∵2＜3 ∴2×(－1)＞3×(－1) 解：①运用了不等式的性质2. ②运用了不等式的性质1. ③运用了不等式的性质3.［例2］判断下列运算是否正确，请说明理由. ∵2＜3 ∴2a ＜3a .点拨：在此没有说明a 的取值，所以要分三种情况讨论.即a ＞0，a =0，a ＜0. 解：此运算错误.当a ＞0时，则有2a ＜3a . 当a =0时，不等式不成立. 当a ＜0时，则有2a ＞3a .［例3］根据不等式的性质.把下列不等式化为x ＞a 或x ＜a 的形式. (1)2x －15＜5 (2)3x ＞2x +1 (3)3x +1＜5x －2(4)31x ＞51x +1. 解：(1)先由不等式基本性质1，两边都加15得：2x ＜5+15.即2x ＜20. 再由不等式基本性质2，两边都乘以21得：x ＜10. (2)由不等式的基本性质1，两边都减去2x 得：3x －2x ＞1.即x ＞1.(3)先由不等式的基本性质1，两边都加上－5x －1得：3x －5x ＜－2－1，即－2x ＜－3.再由不等式的性质3，两边都除以－2得：x ＞23(注意不等号变向). (4)先由不等式的基本性质1，两边都减去51x 得：31x －51x ＜1，即152x ＜1.再由不等式的基本性质2，两边都乘以215得：x ＜215.［例4］在下列横线上填上适当的不等号(＞或＜)(1)如果a ＞b ，则a －b __________0. (2)如果a ＜b ，则a －b __________0. (3)如果2x ＜x ，则x __________0.(4)如果a ＞0，b ＜0，则ab __________0. (5)如果a +b ＞a ，则b __________0.(6)如果a ＞b ，则2(a －b )__________3(a －b ). 解：(1)＞ (2)＜ (3)＜ (4)＜ (5)＞ (6)＜●作业指导 随堂练习1.解：(1)先由不等式的基本性质1，两边加1得：4x ＞2+1. 即4x ＞3.再由不等式基本性质2，两边都除以4得：x ＞43. (2)由不等式的基本性质3，两边都乘以－1得：x ＞－65. 2.解：(1)不成立. (2)不成立.(3)由不等式的基本性质3得成立. 习题1.21.解：(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＜2.解：(1)先由不等式的基本性质1，两边都减去3得：5x ＜－1－3 即5x ＜－4.再由不等式的基本性质2，两边都除以5得：x ＜－54. (2)由不等式的基本性质3，两边都乘以－3得：x ＜－15.试一试解：当a ＞0时，2a ＞a ；当a =0时2a =a ；当a ＜0时，2a ＜a .§1.2 不等式的基本性质●温故知新 想一想，做一做填空1.等式的两边都加上或都减去__________，结果仍是等式. 2.等式两边都乘以或除以__________，结果仍是等式. 3.用__________连接而成的式子叫做不等式.4.①若a 为非负数，则a __________(列出不等式). ②若a 为非正数，则a __________. ③若a 不小于3，则a __________. ④若a 不大于－3，则a __________. 你做对了吗？我们一起来对对答案:1.同一个整式2.同一个不为零的整式3.“＜” “≤” “＞” “≥”4.①≥0 ②≤0 ③≥3 ④≤－3 看看书，动动脑填空1.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等式的方向__________. 2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向__________. 3.不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向__________.2.不等式的基本性质作业导航理解并掌握不等式的基本性质，会运用不等式的基本性质有根据地进行不等式的变形.一、选择题1.若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( ) A.－55ba -<B.－2a ＞－2bC.a －2＜b －2D.－(－a )＞－(－b ) 2.若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( ) A.ac ＞bcB.cb c a < C.a －c ＜b －c D.a +c ＜b +c3.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )图1A.b －a ＞0B.ab ＞0C.c －b ＜c －aD.ab 11> 4.已知4＞3，则下列结论正确的是( ) ①4a ＞3a ②4+a ＞3+a ③4－a ＞3－a A.①② B.①③ C.②③ D.①②③5.下列判断中，正确的个数为( ) ①若－a ＞b ＞0，则ab ＜0 ②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0 ③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2⑤若a ＞b ，c ≠0，则－a －c ＜－b －c A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题(用不等号填空)6.若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1.7.若－35x ＞5，则x ________－3. 8.若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc .9.若ba b a --||=－1，则a －b ________0. 10.若ax ＞b ，ac 2＜0，则x ________ab .三、解答题11.指出下列各题中不等式变形的依据. (1)由21a ＞3，得a ＞6. (2)由a －5＞0，得a ＞5. (3)由－3a ＜2，得a ＞－32. 12.根据不等式性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式. (1)x +7＞9 (2)6x ＜5x －3(3)51x ＜52 (4)－32x ＞－113.如果a ＞ab ，且a 是负数，那么b 的取值范围是什么？*14.已知m ＜0，－1＜n ＜0，试将m ，mn ，mn 2从小到大依次排列.参考答案一、1.B 2.B 3.D 4.C 5.B二、6＞ 7.＜ 8.≤ 9.＜ 10.＜ 三、11.略12.(1)x ＞2 (2)x ＜－3 (3)x ＜2 (4)x ＜23 13.b ＞1 14.m ＜mn 2＜mn§1.2 不等式的基本性质（15分钟练习）班级：_______ 姓名：_______一、快速抢答用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由： (1)∵a >b∴a －m ________b －m ( ) (2)∵a >2b ∴2a________b ( ) (3)∵3m >5n ∴－m ________－35n( ) (4)∵4a >5a∴a ________0( ) (5)∵－24n m -< ∴m ________2n ( )(6)∵2x －1<9∴x ________5( )二、下列说法正确吗？(1)若a <b ，则ac 2<bc 2.（ ） (2)若b <0，则a －b >a .（ ）(3)若x >y ,则x 2>y 2.（ ）(4)若x 2>y 2,则x －2>y －2.（ ） (5)3a 一定比2a 大.（ ）三、认真选一选(1)若m +p <p ,m －p >m ,则m 、p 满足的不等式是（ ） A.m <p <0 B.m <p C.m <0,p <0 D.p <m(2)已知x >y 且xy <0,a 为任意实数，下列式子正确的是（ ）A.－x >yB.a 2x >a 2y C.a －x <a －y D.x >－y(3)实数a 、b 满足a +b >0,ab <0,则下列不等式正确的是（ ） A.|a |>|b | B.|a |<|b |C.当a <0,b >0时，|a |>|b |D.当a >0,b <0时，|a |>|b | 四、根据不等式的性质，把下列不等式化为x >a 或x <a 的形式 (1)3432-<x (2)－0.3x >0.9 (3)x +2≤－3 (4)4x ≥3x +5参 考 答 案一、（1）＞，不等式的性质1（2）＞，不等式的性质2（3）＜，不等式的性质3（4）＜，不等式的性质1（5）＞，不等式的性质3（6）＜，不等式的性质1和2二、(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×三、（1）C （2）C （3）D四、（1）x＜－2 (2)x＜－3 (3)x≤－3－2 (4)x≥5。
简述不等式的4个基本性质不等式是数学中一类非常重要的结构，其中内容涉及多个知识点，为研究和应用这类结构提供了有效的框架。
其中，不等式的4个基本性质是很重要的，它们是：（1）不等式的交换性；（2）不等式的可分解性；（3）不等式的传递性；（4）不等式的联合性。
本文旨在阐述这4个基本性质，并通过实例阐释它们的作用。
首先，让我们讨论不等式的交换性。
它的定义是：对于任一不等式，如果其双边都是相同的，那么可以交换左右两边。
比如，a>b，b<c，那么有a>c的结果，即a>b，b<c的结果等价于a>c的结果。
交换性的作用是，当某一不等式的两边均有相同的运算符时，可以通过交换左右两边，得到一个不同的不等式，而其结果也是完全相同的。
其次，让我们讨论不等式的可分解性。
它的定义是：对于一个不等式，可以将其分解成几个不等式的乘积，且其中的乘法操作不会改变其结果。
比如，有一个不等式x>2，那么，可以将其分解成x+1>3和x-3>-1两个不等式的乘积，且两边乘积的结果是不变的。
可分解性的作用是，可以将一个复杂的不等式，分解成若干个相对简单的不等式，有效拆解复杂问题，达到简化分析过程的目的。
第三，让我们讨论不等式的传递性。
它的定义是：如果某一不等式的两边都有相同的运算符，并且有一个中间变量，那么这个不等式的结果可以从左到右或者从右到左传递。
比如，a>b，b>c，那么可以得到a>c的结果。
传递性的作用是，当某一不等式的两边均有相同的运算符，并且有一个中间变量时，可以以中间变量为准，从左到右或者从右到左传递这个不等式的结果，从而可以得到更精确的结果。
最后，让我们讨论不等式的联合性。
它的定义是：当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以联合这两个变量，形成一个更大的范围。
比如，x>2，y>3，那么有x和y同时大于2和3，即x、y>2、3。
联合性的作用是，当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以将其联合，得到一个更大的范围，从而可以获得更精确的结果。
不等式的基本性质
不等式的基本性质
不等式的基本性质有对称性，传递性，加法单调性，即同向不等式可加性;乘
法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。
一、不等式的基本性质
1.如果x>y，那么y<X;如果Yy;(对称性)
2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减
去同一个整式，不等号方向不变;
4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0
的整式，不等号方向不变;
5.如果x>y，z<0，那么xz<YZ, p 即不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0
的整式，不等号方向改变;<>
6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;
7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;
8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂<Y的N
次幂(N为负数)。
< p>
二、不等式的基本性质的另一种表达方式
1.对称性;
2.传递性;
3.加法单调性，即同向不等式可加性;
4.乘法单调性;
5.同向正值不等式可乘性;
6.正值不等式可乘方;
7.正值不等式可开方;
8.倒数法则。
如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式。
