第四节 岩石强度理论

根据抛物线方程式，以岩石单轴抗拉强度表示， 岩石的强度准则（强度条件）：
t ( t )
2
岩石的破坏判据：
t ( t )
2
τ
抛物线
τ2 = σt(σ+σt)
σt
O
σc
σ
3、双曲线型强度曲线
对于砂岩，石灰岩等较坚硬的岩石，其强 度曲线近似于双曲线型。 根据双曲线方程式，其岩石的强度准则 （强度条件）为：
第四节
岩石的强度理论
• 研究岩石破坏原因、过程及条件的理 论—岩石的强度理论。 • 将表征岩石强度条件的函数称为岩石的 强度准则， • 而将表征岩石破坏条件的函数称为岩石 的破坏判据。
一、一点的应力状态
• 1、正负号的规定 ①压为正，拉为负； ②剪应力是使物体产生逆时针转为正，反之 为负； ③角度以X轴正向沿逆时针方向转动所形 成的夹角为正，反之为负。 • 2、一点的应力的表示方法 三个正应力： σ x 、 σ y 、 σ z ，正应力的 角标为正应力作用面的外法线方向；
x y
此外，在分析任意角的应力状态时， 也常用最大、最小主应力表示：
1 3 1 3 n cos 2 2 2
1 3 n sin 2 2
莫尔应力圆的表示方法如下： τ
2α
o
σ3
2
o′
σ1
2
σ
1 3 1 3 2 n n 2 2
①断裂破坏：单轴拉断、劈裂——由拉应力引起；
②剪切破坏：塑性流动、剪断——由剪应力引起。
二、莫尔强度理论（Mohr 1900年 提出，莫尔强度准则）
在荷载作用下材料达到极限状态时，破坏 面上的剪应力达到一个取决于破坏面正应力 与材料性质的最大值。即：
f ( )
莫尔强度理论的建立是
①用莫尔应力圆来表示一点的应力状态； ②由各种试验确定材料破坏面上正应力与最大 剪应力—强度曲线；
0
则
K t
3 t
单向压缩试验时，
则
K c
2 3 0 ; 1 c
如以岩石强度参数表示，这时 则
0
，
K 2c 。
若各主应力大小无法确定排序，则屈列斯卡 判据可表示为： ∣σ1－σ2∣= K
1 3 3 0时 3 t ①数学式 ( 1 3 )2 8 t 1 3 3 0时 1 3
②最有利破裂的方向角
1 1 2 arccos 2 2( 1 3 )
③Griffth准则几何表示
（a）在
由此区可见，当 3
圆心为 ( 1 3 ,0) 半径等于 1 3
2
2
τ
σ1
D
D
σ3
-α
σ3
O
2α
D′
σ3
-2α
σ1 σ
σ1
α
D′
强度理论：关于材料破坏原因和条件的假说。
岩石强度理论基本思想：
①确认材料失效的力学原因，提出破坏条件假说。 ②用简单受力情况下的破坏实验指标，建立复杂 应力状态下的弹性失效准则。 岩石破坏类型：
Grriffith强度准则评价： 优点： ①岩石抗压强度为抗拉强度的8倍，反映了岩石 的真实情况； ②证明了岩石在任何应力状态下都是由于拉伸 引起破坏； ③指出微裂隙延展方向最终与最大主应力方向 一致。 不足： ①仅适用于脆性岩石，对一般岩石莫尔强度准 则适用性远大于Griffith准则。 ②对裂隙被压闭合，抗剪强度增高解释不够。 ③Griffith准则是岩石微裂隙扩展的条件，并非 宏观破坏。
③莫尔强度曲线绘制 (由单拉,单压,三压强度实验得到） 材料破坏时不同应力状态的— 极限应力圆与强度曲线—建立强度准则。
τ
④
② ①
③
O
①—单轴拉伸；②—单轴压缩； ③—三轴压缩； ④ —莫尔包络线
σ
莫尔强度曲线绘制 (由单拉,单压,三压强度实验得到）
特点：曲线左侧闭合，向由侧开放（耐压、不耐拉）； 曲线的斜率各处不同（内摩擦角、似内聚力变化，与所 受应力有关）； 曲线对称于正应力轴(破坏面成对出现，形成 X 型节理)； 不同岩石其强度曲线不同(不同岩石具有不同的强度性)。
1 3 c
1 sin 2c cos 其中 c 1 sin 1 sin
当
3 0
令
时， 1 c ；
1 0 , 3 c / t
（ n ） ˆˆ
1
c 为拉压指数。 σ1－ σ3坐标系图 t
τxy = τyx 三对剪应力： τyz = τzy τzx = τxz
剪应力的角标为： 第一个角标表示剪应力作用面的外法线方向； 第二个角标表示剪应力作用的方向。 在平面问题中，独立的应力分量只有三个， 即：
σx 、σy 、 τxy
3、平面问题的简化
• ①平面应力问题（垂直于平面方向应力为零）， • 如薄板问题； • ②平面应变问题（垂直于平面方向应变为零）, • 如大坝、路堤、隧道横断面等问题。
τxy τyx
σy
σn τn
α
σx τyx
σx
σy
τxy
n
x y 2

x y 2
cos 2 xy sin 2
n
x y 2
sin 2 xy cos 2
若上述公式对求导，即可求得最大、最 小主应力的表达式如下：
1 3

x y 2
x y 2
2 2
2 2
2 m
（b）
( （a）代入圆方程得： m ) 4 m t（c） 上式即为满足强度判据的极限莫尔应力圆表达。
求切点：由（c）式对σm 求导得：
2( m ) 4 t m 2 t
2 2
(d)
(d)代入(c）得 (2 t ) 4( 2 t ) t
下的准则 2 4 t ( t ) 在
与库仑准则类似，为抛物线型。 Griffh准则仅考虑岩石开裂，并非宏 观上破坏，故强度值偏大。 小结
τ
τ=4σ (σ+σ )
t t
τ
2β
3 t
σ =σ
o
(σ1+3σ3)＜ 0
σc =-8σ
σ
t
(σ1+3σ3)> 0
格里菲斯强度判据
τ
τ2 =(σ+σt)2 tgη+σt(σ+σt)
双曲线
渐近线
ηFra Baidu bibliotek
σt
O
σc
σ
η为包络线渐近线 与水平轴夹角
（四）对莫尔强度理论的评价： 优点：①适用于塑性岩石，也适用于脆性岩石 的剪切破坏； ②较好解释了岩石抗拉强度远远低于抗 压强度特征； ③解释了三向等拉时破坏，三向等压时 不破坏现象； ④简单、方便:同时考虑拉、压、剪,可 判断破坏方向. 不足：①忽视了σ2 的作用，误差：±15％； ②没有考虑结构面的影响； ③不适用于拉断破坏；破裂面趋于分离 ④不适用于膨胀、蠕变破坏。
• 不论那一种平面问题，用弹性力学的方法
进行分析所得的结果，可以互相转换：
平面应力计算公式中的 E 用 E /（1- μ2） 、
μ用 μ/ （1- μ）代入，即可将平面应力问题的
计算公式转换成平面应变问题的计算公式。
4、基本应力公式
如图所示： 以二维平面 问题为例任意角 度倾斜截面上的应 力计算公式下：
1、直线型强度线
由于直线型强度线与库伦强度线一致，因 此也称库伦—莫尔强度线，即库伦· 莫尔强度 理论（准则）。 C· Coulomb1773年提出的库伦· A· 莫尔强度 理论,是莫尔准则的一特例——简洁、应用简 便。
τ
c
υ
1 ( 1 3 ) 2
o c· υ ctg
σ3
1 ( 1 3 ) 2
应力条件 σ1+3σ3≥0 σ1+3σ3＜ 0
图
形
最易扩展的 裂纹 方向 裂纹开始扩展的 强 度 判 据 最易发生扩展的 位置与扩展方向
cos 2
1 3 21 3
8 t
0
1 3 2
1 3
3 t
在裂纹尖端扩展方向 平行与裂纹长轴
在裂纹尖端附近扩展方向 与 裂 纹 长 轴 夹 角 为 2ψ
设 m ( 1 3 ) / 2 又设 1 3 3 0，则Griffth强度准则第二式写成
( 1 3 )2 ( 2 m )2 2 8 t 8 t m 4 m t 1 3 ( 2 m )
（a）
而应力圆方程： (
m )
( t ) tg ( t ) t
2 2
其破坏判据： ( t ) tgη ( t ) t
2 2
1 c 3 式中 tg 2 t
1 2
c c 所以不适用于 3 的岩石 。 当 3 时tgη出现虚值， t t
σ1
σ
图2-29 库仑—莫尔强度条件
（2）数学表达式
岩石的强度(条件)准则：
c tg
或 或
1 sin 2c cos 1 3 1 sin 1 sin
1 sin 1 sin 1 2c 3 1 sin 1 sin
四、岩石的屈服准则
屈服准则是指判别某一点的应力是否进入塑 性状态的判别准则。
1、屈列斯卡（Tresca）准则
屈列斯卡准则认为：当最大剪应力达到 一定数值时，岩石开始屈服（破裂），进入 塑性状态。其表达式为
max K 2
或 （ 1 3） K
式中，K是与岩石性质有关的常数。可由 试验确定。 单向拉伸试验时， 1 2
即压拉强度比为8。
1 3
坐标下图2—43
0 时， 1 8 t
在σ1—σ3坐标轴下 格里菲斯强度判据的图解 σ3 σ1 = σ3
非破裂区
( 1 3 )2 8 t 1 3
σ1 破 裂
σ3=σt
区
σ1+ 3σ3=0
（b）
τ－ σ
坐标下
1 3 －应力圆半径； m 2 －圆心；
（5）破坏方向角

45
0

2
1 sin 2 2 2 ctg ( 45 ) tg ( 45 ) tg 1 sin 2 2
σ1
σ1 = ξσ3 + σc
σc
σt
O
σ1= σ3 σ3
2、抛物线型强度曲线
岩性较软弱的岩石，如泥岩、页岩等的强度 线近似于此种类型。
岩石的破坏判据：
c tg
1 sin 2c cos 3 或 1 1 sin 1 sin
（3）与单轴抗压强度的关系
由主应力表示岩石的强度条件（2—42）
1 3
sin 2 c ctg
1 3
2
（2-42）
由式（2-42）推出：
E—岩石的弹性模量。
β
x
σ1
ψ
y
σ3
ψ
σ3
ψ
σ1
β
2）两个关键点：
①最容易破坏的 裂隙方向；
1 2 1 arccos 2 2( 1 3 )
带椭圆孔 薄板的孔 边应力集 中问题
②最大应力集中 点（危险点）。
在压应力 条件下裂 隙开列及 扩展方向
3）Griffth（张拉）准则
1
3
1
1
1
2
2
1
1
3
1
1
裂纹将沿着与最大拉应力成直角的方向 扩展，格里菲斯认为当作用在裂纹尖端附近 的有效应力达到形成新裂纹所需能量时，裂 纹开始扩展，其表达式为：
2E t c
ρ—裂纹的比表面能；
c—裂纹长半轴；
1 2
式中：σt —裂纹尖端附近 所作用 的最大拉应力；
三、格里菲斯准则（Griffth 1921）
断裂力学21年提出格里菲斯强度理论， 并于70年代引入岩石力学领域。 1）基本假设（观点）： ①物体内随机分布许多裂隙； ②所有裂隙都张开、贯通、独立； ③裂隙断面呈扁平椭圆状态； ④在任何应力状态下，裂隙尖端产生拉应力集 中，导致 裂隙沿某个有利方向进一步扩展。 ⑤最终在本质上都是拉应力引起岩石破坏。
2 xy
2
应 力 圆
点面对应——应力圆上某一点的坐标值 对应着微元某一方向面上的正应力和切 应力；
转向对应——半径旋转方向与方向面法 线旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向 面法线旋转角度的两倍。
最大主应力与σx的夹角可按下式求得：
tg2
2 xy