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1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
全称命题与特称命题课程目标知识提要全称命题与特称命题∙全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量的语句用，，，来表示，变量的取值范围用表示，那么，全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为．∙特称量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“ ”表示．含有特称量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在中元素，使成立”可用符号简记为．全（特）称命题的概念与真假判断∙全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量的语句用，，，来表示，变量的取值范围用表示，那么，全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为，．∙特称量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“ ”表示．含有特称量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在中元素，使成立”可用符号简记为，．全（特）称命题的否定∙全称命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题，，其否定为．全称命题的否定是特称命题．∙特称命题的否定一般地，对于含有一个量词的特称命题，，其否定为．特称命题的否定是全称命题．精选例题全称命题与特称命题1. 命题“ ，”的否定为．【答案】，2. 若命题，，则命题为．【答案】，3. 命题，的否定为．【答案】，4. 命题“ ，使得”的否定是．【答案】5. 已知命题，则是．【答案】，6. 下列命题中，假命题的序号是．，；，；，能被和整除；，．【答案】④7. 命题：存在实数，使得关于的方程有实数根，则，命题的真假是．【答案】对一切实数，关于的方程没有实数根；假【分析】（1）原命题为存在性命题，故为全称命题；（2）间接考查的真假．8. 若命题一元一次不等式的解集一定是，命题关于的不等式的解集一定是，则“ ”，“ ”及“ ”形式的复合命题中的真命题是．【答案】【分析】为假命题（因为可以不大于），也是假命题．因为，的大小关系未知，所以“ ”“ ”为假命题，“ ”为真命题．9. 若命题” 使”是假命题，则实数的取值范围为．【答案】10. 命题“ ，使得”的否定是．【答案】，11. 写出下列命题的否定：(1)若是锐角三角形，则的任何一个内角是锐角；【解】若是锐角三角形，则中存在某个内角不是锐角．(2)所有可以被整除的整数，末位数字都是；【解】存在一个可以被整除的整数，末位数字不是．(3)，；【解】，．(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．【解】对于所有四边形，它的对角线不互相垂直或不平分．12. 用符号“ ”与“ ”表示下列命题，并判断真假：(1)不论取什么实数，方程必有实根；【解】，方程必有实根．假命题；(2)存在一个实数，使．【解】，．真命题．13. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；【解】命题中隐含了全称量词“所有的”，原命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；【解】命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，真命题．(3)，；【解】命题中含有全称量词“ ”，是全称命题，真命题．(4)，．【解】命题中含有存在量词“ ”，是存在性命题，真命题．14. 命题：二次函数的图象与轴相交，命题：二次函数的图象与轴相交，判断由，组成的新命题“ ”的真假．【解】：二次函数与轴相交，易知图象过点，故为真．：二次函数的图象与轴相交，而，故为假，所以为假命题．15. 设集合边形，：内角和为．试用不同的表述写出全称命题：‘’‘’．【解】任意边形的内角和都为．16. 判断命题" ，则方程有解"是全称命题还是特称命题，并写出它的否定．【解】由于表示是任意实数，即命题中含有全称量词"任意的"，因而是全称命题；其否定是：" ，使方程无解"．17. 写出下列命题的否定．(1) ，；【解】，使得；(2) ，是有理数；【解】，使得不是有理数；(3) 使；【解】都有；(4) 使得．【解】都有．18. 指出下列语句中的全称量词或存在量词：(1)每个人都喜欢体育锻炼；【解】全称量词：每个．(2)有的等差数列是等比数列；【解】存在量词：有的．(3)有些相似三角形是全等三角形；【解】存在量词：有些；(4)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【解】全称量词：任意．19. 写出下列命题的非，并指出其真假：（1）至少有一个实数，使；（2）；（3）；（4）若与是对顶角，则．【解】（1）任意实数，使；真（2）；假（3）；假（4）若与是对顶角，则；假．20. 用量词符号" ， "表示下列命题，并判断下列命题的真假．(1)任意实数都有，；【解】；假命题，时，结论不成立；(2)存在实数，；【解】；假命题，时，；(3)存在一对实数，使成立；【解】；真命题，如，；(4)有理数的平方仍为有理数；【解】；真命题；(5)实数的平方大于．【解】；假命题，．(6)有一个实数乘以任意一个实数都等于．【解】，有；真命题，即满足．全（特）称命题的概念与真假判断1. 已知命题：“ ，，”，且命题是假命题，则实数的取值范围为．【答案】【分析】命题是假命题，则命题是真命题，即关于的方程有实数解，而，所以．2. 若命题" ， "是真命题，则实数的取值范围是．【答案】3. 命题" "的否定形式是．【答案】4. 对于语句（1）；（2）；（3）（4）；其中正确的命题序号是．（全部填上）【答案】5. 判断下列存在性命题的真假：（1），；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）是无理数，是无理数．【答案】（1）真；（2）真；（3）真6. 下列四个命题：，使得；，；，；，．其中的真命题是．【答案】【分析】由，得，故错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知，错误；因为恒成立，所以正确．7. （1）任意属于，有成立，用符号语言可简记为；（2）符号语言：，，读作．【答案】（1），则成立（2）存在实数使不等式成立．8. 给出下列四个命题：①偶数都能被整除；②实数的绝对值大于；③存在一个实数，使④，为第一象限的角，则．其中即使全称命题又是假命题的是．（写出所有符合要求的序号）【答案】②④9. 下列命题中真命题的个数有个①②③使【答案】【分析】①③正确．10. 若命题 " 不成立 " 是真命题，则实数的取值范围是．【答案】【分析】该命题等价于：对恒成立．当时，恒成立；当时，解得．综上，．11. 判断下列命题的真假：(1)，；【解】因为时，成立，所以，“ ，”是真命题；(2)，；【解】因为时，不成立，所以，" ，“是假命题；(3)，；【解】因为使成立的数只有与，但它们都不是有理数，所以，“ ，”是假命题；(4)，．【解】因为对任意实数，都有成立，所以，” ，“是真命题．12. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)有的质数是偶数；【解】存在性命题．(2)与同一平面所成的角相等的两条直线平行；【解】全称命题．(3)有的三角形三个内角成等差数列；【解】存在性命题．(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．【解】全称命题．13. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对数函数都是单调函数；【解】全称命题，真命题；(2)至少有一个整数，它既能被整除又能被整除；【解】存在性命题，真命题；(3) ，使．【解】存在性命题，真命题．(1)设，判断命题" ， "的真假；【解】取，则，显然，，因此，此时．故这个命题是假命题．(2)设，判断命题" ， "的真假．【解】由，得．因为，，所以，成立．因此，" ， "是真命题．15. 写出下列命题的否定，并判断其真假，写出理由．(1)：任意两个第一象限角和，有；【解】：存在两个第一象限角和，有此为真命题．(2)：存在一个函数，既是奇函数又是偶函数．【解】：对所有函数，不能既是奇函数又是偶函数．此为假命题，如，．16. 已知，命题：" ， "命题：" "． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围；【解】由命题为真命题，，．(2)若命题为假命题，求实数的取值范围．【解】由命题为假命题，所以为假命题或为假命题为假命题时，由．为假命题时，综上．17. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．①是整数( )；②对所有的实数，；③对任意一个整数，为奇数；④末位是的整数，可以被整除；⑤角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；⑥正四面体中两侧面的夹角相等；⑦有的实数是无限不循环小数；⑧有些三角形不是等腰三角形；⑨有的菱形是正方形．【解】①⑥是全称命题，⑦⑨是存在性命题；③⑨是真命题，①②是假命题．18. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；【解】全称命题；(2)负数的平方是正数；【解】全称命题；(3)有些三角形不是等腰三角形；【解】存在性命题；(4)有些菱形是正方形．【解】存在性命题．19. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1) ，；【解】，（真命题）．(2) ，；【解】，（假命题）．(3)集合是集合或的子集；【解】存在集合既不是集合的子集，也不是的子集（假命题）．(4) 是异面直线，，，使，．【解】，是异面直线，，，有既不垂直于，也不垂直于（假命题）．20. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)任何实数的平方都是非负数；【解】全称命题；(2)任何数与相乘，都等于；【解】全称命题；(3)任何一个实数都有相反数；【解】全称命题；(4)有些三角形的三个内角都是锐角．【解】存在性命题全（特）称命题的否定1. 命题：“ ”的否定是．【答案】2. 命题：“ ，”的否定是．【答案】，3. 已知命题：，，则为．【答案】，4. 若：" "，则"非 "为．【答案】，使5. 已知命题，则命题的否定是．【答案】6. 命题 " " 的否定是．【答案】．7. 命题：，的否定是．【答案】，8. 命题：，的否定是．【答案】，；9. 已知命题，，则命题的否定．【答案】，10. 已知命题：，则为．【答案】11. 写出下列命题的否定：(1)中学生的年龄都在岁以上；【解】有的中学生年龄不在岁以上；(2)有的三角形中，有一个内角是直角；【解】任意三角形中’所有内角都不是直角；(3)锐角都相等；【解】有些锐角不相等；(4)我们班上有的学生不会用电脑．【解】我们班上所有的学生都会用电脑．12. 写出下列特称命题的否定：，使．【解】，都有．13. 写出下列命题的否定：(1)三角形的内角和是；【解】存在三角形的内角和不是；(2)所有的等边三角形都全等；【解】存在两个等边三角形不全等；(3)实系数一元二次方程有实数解；【解】有的实系数一元二次方程没有实数解；(4)有的实数没有平方根．【解】所有的实数都有平方根．14. 已知命题：存在一个实数，使．当时，非为真命题，求集合．【解】非为真，故" ， "为真即．从而，所求的集合．15. 命题：对任意实数，有或，其中，是常数．(1)写出命题的否定；【解】命题的否定：对某些实数，有且，其中，是常数．(2)实数，满足什么条件时，命题的否定为真？【解】要使命题的否定为真，就是要使关于的不等式组的解集不为空集．通过画数轴可以看出：，应满足的条件是．16. 设函数．求证：，，中至少有一个不小于．【解】假设，，都小于，则有即由，得，即，与矛盾，故假设不成立．即，，中至少有一个不小于．17. 写出下列命题的否定：(1)所有人都晨练；【解】“所有人都晨练”的否定是“有的人不晨练”．(2)，＞；【解】，的否定是‘‘ ，”．(3)平行四边形的对边相等；【解】“平行四边形的对边相等”是指任意—个平行四边形的对边相等’它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”．(4)，＝．【解】‘‘ ，”的否定是‘‘ ， "．课后练习1. 请补充条件，使命题成为全称命题．2. 若命题“ ，”是假命题，则实数的取值范围是．3. 设集合四边形，：“对角线互相垂直平分”．试用不同的表述方法写出存在性命题：“ ，”．4. 关于的函数，有以下命题：①，；②，使；③，都不是偶函数；④，使是奇函数．其中假命题的序号是．5. 使’’的非命题是．6. 已知命题，，命题，，若命题“ ”是真命题，则实数的值为．7. 已知命题，，则该命题的否定是．8. 命题“ ，”的否定是．9. 命题“ ，”的否定是．10. 命题“ ，”的否定是．11. 给出下列命题：①，使得；②曲线表示双曲线；③，的递减区间为④对，使得其中真命题为（填上序号）12. 由命题“ ，”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是．13. 已知命题：存在，使得，命题：指数函数是上的增函数，若命题“ 且”是真命题，则实数的取值范围是．14. 已知命题：；：．若且为真，则的取值范围是．15. 有下列四个命题：①对任意实数均有．②不存在实数使．③方程至少有一个实数根．④使．其中假命题是．（填相应序号即可）16. 下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的序号是．17. 若存在，使，则实数的取值范围是．18. 若方程和中至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是．19. 下列命题中，是真命题的有．①；②；③；④．20. 命题"存在 "为假命题，则实数的取值范围为．21. 命题 "对任意，都有 "的否定是-----．22. 由命题"存在，使 "是假命题，求得的取值范围是，则实数的值是．23. 命题 " " 的否定是．24. 命题“ ，或”的否定为．25. 命题＂，＂的否定是．26. 已知命题，，则命题是．27. 命题"存在实数，使得 "的否定是．28. 命题“至少有一个数，使”的否定是．29. 命题 " "的否定是．30. 已知命题，则命题的否定是．31. 已知，，若使得，求正实数的取值范围．32. 用符号“ ”，“ ”表达下列命题：(1)实数的平方大于等干；(2)存在一个实数，使；(3)存在一对实数对，使成立．33. 已知命题对任意的，都成立．判断此命题是全称命题还是存在性命题，并写出它的否定．34. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1) 等圆的面积相等，周长相等；(2) 对任意角，都有；(3) 存在实数，使得或．35. 已知集合，函数的定义域为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．36. 用符号‘’ ‘’与‘’ ‘’表示下面含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零；(2)存在一对整数，使．37. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；(3) 是无理数，是无理数；(4) ，．38. 设语句．(1)写出，并判断其真假；(2)写出“ ，”并判断命题的真假．39. “ 是的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的，都有，则称”，请用数学语言表达“ 不是的子集”．40. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2) 是无理数，是无理数；(3) ，．41. 设语句，写出" "，并判断它是不是真命题．42. 用符号" "，" "表达下列命题：(1)实数的平方大于等于；(2)存在一个实数，使；(3)存在一个实数对，使成立．43. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对于第一象限角，，都有：时，；(2)对于圆上的点的坐标，有的不能使方程成立；(3)对于中的元素，都有．44. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)，使；(3)，；(4)集合是集合或的子集．45. 判断下列命题的真假：(1)已知，，，，若，或，则；(2) ，；(3)若，则方程无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．全称命题与特称命题-出门考姓名成绩1. 命题：" "的否定是．2. 已知命题，；命题，，若命题“ 且”是真命题，则实数的取值范围为．3. 命题：“存在，使”为假命题，则实数的取值范围是．4. 命题“ ，”的否定是．5. 给出下列四个命题：①；②矩形都不是梯形；③，；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于．其中全称命题是．6. 写出下列命题的否定：①有的平行四边形是菱形，②存在质数是偶数．7. 命题“ ”的否定是命题．（填“真”或“假”之一）8. 已知命题，，则为．9. 命题“ ，”的否定是．10. 已知命题：“ ”，则：．11. 已知命题．如果命题是真命题，那么实数的取值范围是．12. 若“ ，”是真命题，则实数的取值集合是．13. 命题：，：，则命题为 (填： "真"或"假")．14. “存在，，使”是命题（填“全称”或“特称”），该命题是（填“真”或“假”）命题．15. 若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是．16. 若命题 "对 "是真命题，则实数的取值范围是．17. 下列命题既是全称命题，又是真命题的个数有个．（1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；（3）对于任意的无理数，是无理数；（4）存在一个整数，使得．18. " ，使 "是真命题，则实数的取值范围是．19. 若命题" ，使得 "是真命题，则实数的取值范围是．20. 已知命题：；命题：中，，则．则命题 " 且 " 的真假性的是．21. 命题：，的否定是．22. “ 是的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的，都有，则称”．那么“ 不是的子集”可用数学语言表达为．23. 命题" ， "的否定形式是．24. 命题" "的否定．25. 命题" ， "的否定是．26. 命题"对任何 "的否定是．27. 已知命题，则．28. 命题"若，则 "的否命题是．29. 若命题"存在实数，使 "的否定是真命题，则实数的取值范围为．30. 命题" ， "的否定是31. 写出下列命题的否定，并判断真假．(1)等边三角形都是等腰三角形；(2) ，使；(3) ，有．32. 判断下列命题是否是全称命题或特称命题．若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数，；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数，，方程恰有唯一解；(4)存在实数，使得．33. 下列语句是不是全称命题或者是特称命题．(1)有一个实数，不能取对数；(2)所有不等式的解集为，都有；(3)有的向量方向不定；(4)正弦函数都是周期函数吗？34. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除；(3) ，．35. 判断下面对结论的否定是否正确，如果不正确，请写出正确的否定结论：(1)至少有一个是；否定：至少有两个或两个以上是；(2)最多有一个是．否定：最少有一个是；(3)全部都是．否定：全部的都不是．36. 判断下列命题的真假：(1)，；(2)，；(3)，使；(4)，使为的约数．37. 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)菱形的对角线互相垂直；(2)二次函数的图象与轴有公共点．38. 写出下列命题的否定，并判断真假：(1)质数都是奇数；(2) ，；(3) （为全集），是集合的真子集．39. 判断下列命题是全称命题，还是存在性命题．(1)平面四边形都存在外接圆；(2)有些直线没有斜率；(3)三角形的内角和等于；(4)有一些向量方向不定；(5)所有的有理数都是整数；(6)实数的平方是非负的．40. 用符号“ ”与“ ”表达下列命题．(1)对任意角，都有；(2)存在正整数，，对任意小的正数，当时，；(3)存在实数，使得．。
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人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习全称量词与存在量词【学习目标】1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.要点诠释：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.（3）正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题【全称量词与存在量词395491例1】例1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。
第2章常用逻辑用语2.3.1 全称量词命题与存在量词命题第1课时◆教学目标1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．2．掌握全称量词命题和特称量词命题的定义，并能判断它们的真假．3．能把一些简单命题表述成全称量词命题和特称量词命题．◆教学重难点◆教学重点：理解全称量词、存在量词的含义．教学难点：全称量词命题和特称量词命题的定义，并能判断它们的真假．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、新课导入问题1：“哥德巴赫猜想”大致可以分为两个猜想：(1)每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；(2)每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和．虽然通过大量试验，这两个命题是正确的，但是还需要证明．从1920年布朗证明“9＋9”到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年．自“陈氏定理”诞生至今的40多年里，人们对哥德巴赫猜想的进一步研究，均劳而无功．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习全称量词命题和特称量词命题．（板书：全称量词命题和特称量词命题）【探究新知】问题2：阅读课本P34~35页，回答下列问题思考 1.观察下列命题：(1)所有的质数都是奇数；(2)每一个四边形都有外接圆；(3)任意实数x，x2≥0．以上三个命题有什么共同特征？2.观察下列命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数x，使x>5；(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0．以上三个命题有什么共同特征？师生活动：学生阅读，给出答案．预设的答案：1.都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”．2.都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至少有一个”．追问：全称量词与存在量词的意义、全称量词命题和特称量词命题的定义是什么？预设的答案：1.全称量词与全称量词命题2设计意图：阅读教材，梳理概念．【巩固练习】例1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)负数的平方是正数；(4)有的实数是无限不循环小数；(5)有些三角形不是等腰三角形；(6)每个二次函数的图象都与x轴相交．师生活动：判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，关键是两点：一是是否具有两类命题所要求的量词；二是根据命题的含义判断指的是全体，还是全体中的个别元素．对于没有量词的命题需要补全量词在进行判别．预设的答案：(1)中含有全称量词“都”，所以是全称量词命题．(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题．(3)中省略了全称量词“都”，所以是全称量词命题．(4)中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．(5)中含有存在量词“有些”，所以是存在量词命题．(6)中含有全称量词“每个”，所以是全称量词命题．反思与感悟：判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．设计意图：加深对全称量词命题和存在量词命题概念的理解，并能正确运用．例2．判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．反思与感悟：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．要判定存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．设计意图：掌握全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法．例3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x ∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，所以121,12,215,m mmm+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤解得2≤m≤3．设计意图：掌握与运用含量词命题的真假求参数的取值范围．反思与感悟：已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．【课堂小结】1．板书设计：2.3.1 全称量词命题与存在量词命题1．全称量词命题与存在量词命题的判断例12．全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例23．由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围例32．总结概括：问题：（1）如何判断一个语句是全称量词命题或存在量词命题？（2）如何判断全称量词命题或存在量词命题的真假？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：（1）（2）要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．要判定存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确全称量词命题、存在量词命题的概念，并能判断其真假．布置作业：【目标检测】1．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有()A．2个B．3个C．4个D．5个设计意图：巩固全称量词还是存在量词概念．2．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称量词命题的有()A．1个B．2个C．3个D．0个设计意图：巩固全称量词命题还是存在量词命题概念．3．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∃x∈R，4x2>2x－1＋3x2．其中真命题的个数为_____．设计意图：全称量词命题、存在量词命题的真假判断．4．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式．（2）有的有理数没有倒数．（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根．（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0．设计意图：全称量词命题、存在量词命题的真假判断．5．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围．设计意图：握与运用含量词命题的真假求参数的取值范围．参考答案：1．“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．故选C．2．②③含有全称量词，所以是全称量词命题．故选B．3．x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．4．（1）∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题．（2）∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题．（3）∀m∈R，方程x2+x－m=0必有实根．当m=－1时，方程无实根，是假命题．（4）∃x∈R，使x2+x+4≤0．x2+x+4=212x⎛⎫+⎪⎝⎭+154>0恒成立，所以为假命题．5．p为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2．所以15,212,2,mmm+⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥解得2≤m≤4．。
1.4 全称量词与存在量词教材内容：1.全称命题及其真假判断；2.特称命题及其真假判断；教材分析：全称量词和特称量词是数学选修1—1第一章常用逻辑用语里面最后一节内容。
在我们日常交往、学习和工作中，逻辑用语是必不可少的工具。
学习一些常用逻辑用语，可以使我们真确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容。
新课标要求：新课程理念告诉我们，教师已不再象以前是知识的权威，也不都是将事先组织的知识体系传递给学生。
而是学生们的合作伙伴，帮助学生掌握和提高解决问题的方法以及把握好行动的方向，在学生研究问题的关键时候“扶一把”，与学生共同探究知识。
学情分析：高二（8）是由68人组成的普通文科班，学生数学基础薄弱，但很刻苦。
在数学方面绝大多数学生是学困生，所以在教学中要设计新颖别致的问题，使学生学习有趣味感、新鲜感，从而诱发学生的内驱力。
教学目标：知识与技能：1.全称量词、存在量词的含义和表示；2.正确区分全称命题和特称命题；3.准确判断全称命题和特称命题的真假；过程与方法：1.通过探究式学习全称命题的含义、表示以及判断全称命题真假的方法；2.用类比法归纳特称命题的含义、表示以及判断特称命题真假的方法；情感、态度、价值观:培养逻辑思维，提高解决问题的能力；重点目标：能区分全称命题和特称命题，能判断它们真假；教学难点：准确判断全称命题和特称命题的真假教学关键：1.正确区分全称命题和特称命题；2.准确判断全称命题和特称命题的真假；教学方法或模式：自主探究法讨论法类比法教学活动设计思路：创设情景，引入课题→探究全称命题的含义和表示→引导学生总结判断全称命题真假的方法→探究特称命题的含义和表示→引导学生总结判断特称命题真假的方法→课堂练习、小结与课后作业；教学用具：多媒体教学过程：一、复习命题和简单的逻辑联结词二、创设情境引入课题1.所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护.2.凡是中国人，都是黄种人.3.全体同学到多媒体教室上数学课.4.每一个例题都必须认真听懂.5.有一位同学没来上课.6.对任意实数x，它的平方大于等于0.7.存在两个相交平面垂直于同一条直线.通过生活和数学中的实例，引出课题——全称量词和存在量词。
3．1 全称量词与全称命题3．2 存在量词与特称命题明目标、知重点 1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．探究点一 全称量词与全称命题思考1 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．答 语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结 短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题．思考2 如何判定一个全称命题的真假？答 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(即举反例)．例1 判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)任意x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解 (1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“任意x∈R，x2＋1≥1”是真命题．22(3)是无理数，但()2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．反思与感悟 判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假：(1)任意x∈R，x2＋2>0；(2)任意x∈N，x4≥1.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解 (1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“任意x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．探究点二 存在量词与特称命题思考1 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；(4)至少有一个x0∈Z，使x0能被2和3整除．答 (1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．思考2 怎样判断一个特称命题的真假？答 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．例2 判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x 0，使x ＋2x 0＋3＝0；20(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解 (1)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在．所以，特称命题“有一个实数x 0，使x ＋2x 0＋3＝0”是假命题．20(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．反思与感悟 特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪训练2 判断下列命题的真假：(1)存在x 0∈Z ，x <1；30(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)存在x 0∈R ，cos x 0＝.π2解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，∴“存在x 0∈Z ，x <1”是真命题．30(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝时，tan α无意义．π2(4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而>1，∴不存在x 0∈R ，π2使cos x 0＝，π2∴原命题是假命题．探究点三 全称命题、特称命题的应用思考 不等式有解和不等式恒成立有何区别？答 不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．例3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对任意x ∈R ，p (x )是真命题，求实数a 的取值范围．解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥，∴实数a 的取值范围为.74[74，＋∞)(2)∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则Error!∴a >1.反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝sin ≥－，2(x ＋π4)2又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－即可．2∴所求m 的取值范围是(－∞，－)．2(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝sin ∈[－，]．2(x ＋π4)22又∵存在x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <即可，2∴所求m 的取值范围是(－∞，)．2 1．下列命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．2．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析 D 选项是特称命题．3．下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，lg x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝1C ．任意x ∈R ，x 3>0D ．任意x ∈R,2x >0答案 C解析 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝时，tan x ＝1，正确；对于C ，π4当x ＜0时，x 3＜0，错误；对于D ，任意x ∈R,2x ＞0，正确．4．用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：(1)凸n 边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x 0满足x ＝3.20(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解 (1)任意x ∈{x |x 是凸n 边形}，x 的外角和是2π.(2)存在x 0∈Q ，x ＝3.20(3)任意α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1.[呈重点、现规律]1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．一、基础过关1．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 命题①②④都是全称命题．2．下列特称命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数答案 B解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋)2＋>0恒成立．12343．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是特称命题D ．四个命题中有两个假命题答案 C解析 ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．4．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①②③为真命题．5．下列全称命题为真命题的是( )A ．所有的素数是奇数B ．任意x ∈R ，x 2＋3≥3C ．任意x ∈R,2x －1＝0D ．所有的平行向量都相等答案 B6．下列命题中，真命题是________．①存在x 0∈，sin x 0＋cos x 0≥2；[0，π2]②任意x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1；③存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数；④任意x ∈，tan x >sin x .(π2，π)答案 ②③解析 对于①，任意x ∈，sin x ＋cos x ＝sin ≤，[0，π2]2(x ＋π4)2∴此命题为假命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，∴此命题为真命题；对于③，当m ＝0时， f (x )＝x 2为偶函数，∴此命题为真命题；对于④，当x ∈时，tan x <0<sin x ，(π2，π)∴此命题为假命题．7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x 0，使得＝2.1x 20－x 0＋1解 (1)是特称命题，是真命题．(2)是全称命题，是假命题．(3)是特称命题，是假命题．二、能力提升8．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.9．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．答案 ①②④解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．10．四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∵当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．2当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．11．判断下列命题的真假：(1)对任意x∈R，|x|>0；(2)对任意a∈R，函数y＝log a x是单调函数；(3)对任意x∈R，x2>－1；(4)存在a∈{向量}，使a·b＝0.解 (1)由于0∈R，当x＝0时，|x|>0不成立，因此命题“对任意x∈R，|x|>0”是假命题．(2)由于1∈R，当a＝1时，y＝log a x无意义，因此命题“对任意a∈R，函数y＝log a x是单调函数”是假命题．(3)由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2>－1.因此命题“对任意x∈R，x2>－1”是真命题．(4)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“存在a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．12．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．三、探究与拓展13．若任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解 ①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1,1]．。
逻辑判断（一）、词项推理1.概念的内涵和外延概念有内涵和外延两个方面。
内涵也叫含义，它是对象的本质属性的反映。
“人”这个概念的内涵“有理性的、会制造和使用工具的动物。
”外延就是具有这个内涵所反映的本质属性的个体对象。
“人”的外延就是世界上存在过、存在着并将存在的每个人。
2.概念的外延关系。
我们借助欧拉圈直观地表现这种外延关系。
概念之间一共五种外延关系。
设有A、B两个概念。
全同关系是说A、B两个概念的外延完全相同或完全重合。
比如“人”和“有理性的动物”真包含关系，A的外延的分子都是b的外延的分子，但并非b的外延的分子都是a的外延的分子，这时称b 的外延真包含a的外延。
例如，“动物”的外延真包含“人”的外延。
真包含于关系，a的外延都是b的外延的分子，但并非b的外延的分子都是a的外延的分子，这时称a的外延真包含于b。
例如“人”的外延真包含于“动物”的外延中。
真包含关系和真包含于关系是相对的。
A真包含b，则b真包含于a。
这两种关系又称种属关系。
外延小的称为种概念，外延大的称为属概念。
牛、羊、马都是动物这个种概念的属概念。
交叉关系，a的外延只有部分分子包含在b的外延中，同时b的外延也只有部分分子包含在a的外延中。
比如“教师”和“妇女”就是交叉关系。
全异关系。
A、b两个概念的外延没有分子是相同的。
如“动物”“植物”两个概念。
当有全异关系的两个概念有同一属概念时，它们外延之间的关系是并列关系，并列关系有两种：反对关系和矛盾关系。
反对关系是说，两个并列概念的外延之和小于属概念的外延。
如牛、马是反对关系，除了牛、马还存在其他动物。
中学生和小学生也是反对关系。
矛盾关系是说，两个并列概念的外延之和等于属概念的外延。
如元素中的金属和非金属，动物中的人和非人，颜色中的红色和非红色。
3.直言命题的种类也叫主谓命题或性质命题。
例如：所有三角形内角和都是180º有些三角形不是直角三角形。
中国是人口最多的国家。
直言命题有四种成分构成：量词、主词、谓词、系词。
全称命题与特称命题课前预习学案一、预习目标理解全称量词与存在量词的意义，并判断全称命题和特称命题的真假全称命题与特称命题是两类特殊的命题，也是两类新型命题，这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念，二、预习内容1.全称量词和全称命题的概念：概念：短语————，——————在逻辑中通常叫做全称量词，用符号————表示。
含有全称量词的命题，叫做——————。
例如：⑴对任意n ∈N ，21n +是奇数；⑵所有的正方形都是矩形。
常见的全称量词还有：“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等通常，将含有变量x 的语句用()p x 、()q x 、()r x 表示，变量x 的取值范围用M 表示。
全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”。
简记为：x M ∀∈，()p x读作：任意x 属于M ，有()p x 成立。
2．存在量词和特称命题的概念概念：短语————，——————在逻辑中通常叫做存在量词，用符号——表示。
含有存在量词的命题，叫做————（————命题）。
例如：⑴有一个素数不是奇数；⑵有的平行四边形是菱形。
特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”。
简记为：x M ∃∈，()p x读作：存在一个x 属于M ，使()p x 成立。
3．如果含有一个量词的命题的形式是全称命题，那么它的否定是————；反之，如果含有一个量词的命题的形式是存在性命题，那么它的否定是————。
书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标判别全称命题与特称命题的真假．二、学习过程探究一：判别全称命题的真假 1）所有的素数都是奇数；（2）11,2≥+∈∀x R x ；（3）每一个无理数x ，2x 也是无理数．（4）{}Q n m n m x x b a ∈+=∈∀,,2,，{}Q n m n m x x b a ∈+=∈+,,2． 探究二：判断下列存在性命题的真假：（1）有一个实数0x ，使032020=++x x ；（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；（3）有些整数只有两个正因数．（三）反思总结1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定2．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．(四)当堂检测判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．（1）对数函数都是单调函数；（2）x ∀∈{x x |是无理数}，2x 是无理数；（3）2{}log 0x x x x ∃∈∈Z >|课后练习1．下列命题中为全称命题的是（ () ）(A)有些圆内接三角形是等腰三角形 ； （B ）存在一个实数与它的相反数的和不为0；(C)所有矩形都有外接圆 ； （D ）过直线外一点有一条直线和已知直线平行． 设计意图：能正确判断全称命题和特称命题及其区别．2．下列全称命题中真命题的个数是（ （） ）①末位是0的整数，可以被3整除；②角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；③对12,2+∈∀x Z x 为奇数． （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 33．下列特称命题中假命题．．．的个数是（ （） ）①0,≤∈∃x R x ；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 32～3设计意图：能正确理解全称量词和特称量词．4．命题“任意一个偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是（） （A ） 任意一个偶函数的图象不关于y 轴对称；（B ） 任意一个不是偶函数的函数图象关于y 轴对称；（C ） 存在一个偶函数的图象关于y 轴对称；（D ） 存在一个偶函数的图象不关于y 轴对称．5．命题“存在一个三角形，内角和不等于 180”的否定为（）（A ）存在一个三角形，内角和等于 180；（B ）所有三角形，内角和都等于 180；（C ）所有三角形，内角和都不等于 180；（D ）很多三角形，内角和不等于 180．4～5设计意图：能从变式的角度理解全称命题与特称命题．全称命题与特称命题教案一、教材分析1）《课程标准》指出：“通过生活和数学实例，理解全称量词和特称量词的意义。
2017届高三数学跨越一本线问题三 含参数的常用逻辑用语问题通过多年的高考试卷看,求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点,同时也是一个难点．考生有时会感到难度较大,与简易逻辑问题有关的参数问题,需要正确理解充分条件和必要条件的定义,弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论,本文从各方面多角度地阐述与简易逻辑有关的问题,以飨读者．一、与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若p 则”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理．【例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合2{|21,03}A y y x x x ==-+≤≤,集合2{|(21)(1)0}B x x m x m m =--+-≤.已知命题:p x A ∈,命题:q x B ∈,且命题p 是命题的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.【分析】先化简给定集合,再利用p 是的必要不充分条件⇔⊂B A ≠解题 【解析】由已知得{|04}A y y =≤≤,{|1}B x m x m =-≤≤. ∵p 是的必要不充分条件,∴A B ⊂≠.则有104m m -≥⎧⎨≤⎩.∴14m -≤≤,故m 的取值范围为[1,4].【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．【小试牛刀】设p :114≤-x ；:2(21)(1)0x a x a a -+++≤．若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数的取值范围． 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21． 【解析】由114≤-x 得,1141≤-≤-x , 故210≤≤x 由2(21)(1)0x a x a a -+++≤()()10x a x a ⇔--+≤⎡⎤⎣⎦1a x a ⇔≤≤+若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,∴p 是q 的必要而不充分条件,即[]1,21,0+⊂⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤⇒2110a a 021≤≤-⇒a ,故所求的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21． 二、与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围．【例2】【2017宁夏育才中学月考】已知命题函数321()3f x mx x x =++在区间(1,2)上单调递增；命题:q 函数C 的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“()p q ∨⌝”为真命题,“()p q ⌝∨”也为真命题,求实数m 的取值范围.【分析】先确定p 真值相同．再根据p ,同真时或同假确定实数m 的取值范围.【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围【小试牛刀】已知命题:p 方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈,若命题“p q ∧”为假命题,“p q ∨”为真命题,求实数m 的取值范围．【答案】215m ≤<【解析】若命题p 为真命题 ,则2240D E F +->,即22(2)4(22)0m m m --->整理得220m m -<,解得02m <<．若命题为真命题,则25(1,4)5me +=∈,解得015m << 因为命题p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,所以p q 、中一真一假,若p 真假,则m ∈∅ ; 若p 假真,则215m ≤<,所以实数m 的取值范围为215m ≤<．三、与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的．【例3】若命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则实数m 的取值范围是（ ）（A ）[10,6]- （B ）(6,2]- （C ）[2,10]- （D ）(2,10)-【分析】命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解．【解析】由命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则命题“x R ∀∈使得22+50x mx m ++≥”为真命题．所以24(25)0,210m m m =-+≤∴-≤≤ ．故选（C ）． 【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理．【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,()212log 11x mx -+<-成立,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【答案】12m <或32m =． 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立,设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--,∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,解得1322m ≤≤,∴p 为真时：1322m ≤≤；若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,∴21x m x -<成立.设()211x g x x x x-==-,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为()322g =,∴32m <,∴为真时,32m <, ∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,∴32m =,当p 假真时132232m m m ⎧<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或,∴12m <,综上所述,m 的取值范围是12m <或32m =.四、与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“∀”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．【例3】已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”,命题：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”． 若命题“p 且”是真命题,则实数的取值范围为（ ） A ．2-≤a 或1=a B ．2-≤a 或21≤≤a C ．1≥a D ．12≤≤-a【分析】若命题“p 且”是真命题,则命题,p q 都是真命题,首先将命题,p q 对应的参数范围求出来,求交集即可．【点评】命题p 是恒成立问题,命题是有解问题．【小试牛刀】已知2:(0,),1p x x mx ∀∈+∞+≥-恒成立,:q 方程222128x y m m +=+表示焦点在轴上的椭圆,若命题“p 且”为假,求实数m 的取值范围． 【答案】(,4]-∞．【解析】由题意：若p 为真,则有1()m x x ≥-+对(0,)x ∈+∞恒成立．12(1x x x+≥= 取“＝”)2m ∴≥-若为真,则有2280m m >+>,即42m -<<-或4m >,由p 且为假,则p 、中至少一个为假．若p 、均为真,则4m >,∴p 且为假,实数m 的取值范围是(,4]-∞【迁移运用】1．【2017四川双流中学高三模拟】已知命题p ⌝：存在()2,1∈x 使得0>-a e x,若p 是真命题,则实数a 的取值范围为（ ）A ．()e ,∞-B ．(]e ,∞-C ．()+∞,2e D ．[)+∞,2e 【答案】D【解析】若存在)2,1(∈x ,使得0>-a e x ,则2max ()x a e e <=,若p 为真命题,则p ⌝为假命题,实数a 的取值范围为),[2+∞e .故本题正确答案为D ． 2．【2017河南南阳一中高三上学期月考】已知“x k >”是“,则的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．(,1]-∞- 【答案】A 可得1x <-或2x >,因为“x k >”是“条件,所以“x k >”是“1x <-或2x >”的真子集,所以2k ≥,故选A.3．【2017使得0122<+-x x λ成立”是假命题,则实数λ的取值范围为（ ）A ．3=λ【答案】A4．函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ）A ．2≥aB ．6=aC ．3≥aD ．0≥a 【答案】D ．【解析】函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数则2≥a ；选项A 是充要条件；选项B 、C 是充分不必要条件；故选D ．5．命题“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．3a ≥D ．3a ≤ 【答案】C【解析】即由“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”．因为x [1,2]∈,所以2[1,4]x ∈,20x a -≤恒成立,即2x a ≤, 因此4a ≥；反之亦然．故选C ．6．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ） A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤． C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥ 【答案】C ．7.【2017广东郴州高三第二次教学质量监测】若命题:p “020223x x R a a ∃∈-≤-，”是假命题,则实数的取值范围是________. 【答案】[1,2]【解析】“020223x x R a a ∃∈-≤-，”是假命题等价于2223x x R a a ∀∈->-，,即223a a -≥-,解之得12a ≤≤,即实数的取值范围是[1,2].8．已知关于的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ,集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,则实数的取值范围是__________．． 【答案】－2,0]．【解析】由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,可知A B,因此a≥－2且a ＋2≤2 解得a∈－2,0]9．已知命题:p R x ∈∃,0122≤++ax ax ．若命题⌝p 是真命题,则实数的取值范围是 ．【答案】)1,0[【解析】若命题⌝p 是假命题,即对于012,2>++∈∀ax ax R x ,当0=a 时,显然成立,当0≠a 时,则100<<⇒⎩⎨⎧<∆>a a ,综上)1,0[∈a ．10．由命题“x∈R,x 2＋2x ＋m≤0”是假命题,求得实数m 的取值范围是（a,＋∞）,则实数a ＝． 【答案】1．【解析】由题意得命题“∀x∈ R,x 2＋2x ＋m>0”是真命题,所以Δ＝4－4m<0,即m>1,故实数m 的取值范围是（1,＋∞）,从而实数a 的值为1．11．【2015学年江苏省涟水中学高三12月月考数学试卷】已知命题：“2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<”为真命题,则实数的取值范围是． 【答案】a>4．【解析】2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<⇔当(1,4)x ∈时,20x ax a -+<有解⇔(1,4)x ∃∈,使得21x a x >-,设2(x)1x f x =-,则222(x 1)(x)0(1)x x f x --'==-解得x=0,2,当(1,2)x ∈(x)0,(x)f f '<单调递减,当(2,4)x ∈(x)0,(x)f f '>单调递赠,所以2(x)1x f x =-的最小值为(2)4f =,所以a>4．12．【2015届江苏省如东高中高三上学期第8周周练理科数学试卷】若不等式102x m x m-+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<,则实数m 的取值范围是． 【答案】3441≤≤m ． 【解析】因为不等式的102x m x m -+<-成立的充分非必要条件是1132x <<,所以111||0322x m x x x x m -+⎧⎫⎧⎫<<⊂<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭,当12m m -<即1m >-时,不等式的102x m x m -+<-解集为{|12}x m x m -<<, 由11|{|12}32x x x m x m ⎧⎫<<⊂-<<⎨⎬⎩⎭得：1131221m m m ⎧-≤⎪⎪⎪≥⎨⎪>-⎪⎪⎩,解之得：3441≤≤m ,当12m m -=即1m =-时,不等式102x m x m-+<-解集为∅；当12m m ->即1m <-时,不等式102x m x m-+<-解集为{|21}x m x m <<-由11|{|21}}32x x x m x m ⎧⎫<<⊂<<-⎨⎬⎩⎭得：1231121m m m ⎧≤⎪⎪⎪-≥⎨⎪<-⎪⎪⎩,此时m 无解,所以m 的取值范围为3441≤≤m ． 13．设命题p ：实数满足22430x ax a -+<,其中0a >；命题：实数满足2560x x -+≤． （1）若1a =,且p q ∧为真,求实数的取值范围； （2）若p 是成立的必要不充分条件,求实数的取值范围． 【答案】（1） [)2,3（2）()1,214.已知命题P :在R 上定义运算⊗：.)1(y x y x -=⊗不等式1)1(<-⊗x a x 对任意实数恒成立；命题Q ：若不等式2162≥+++x ax x 对任意的*N x ∈恒成立．若P Q ∧为假命题,P Q ∨为真命题,求实数的取值范围． 【答案】123>-<<-∴a a 或．【解析】由题意知,x a x x a x )1)(1()1(--=-⊗若命题P 为真,01)1()1(2>+---x a x a 对任意实数恒成立,∴①当01=-a 即1=a 时,01>恒成立,1=∴a ；②当01≠-a 时,⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(4)1(012a a a ,13<<-∴a , 综合①②得,13≤<-a若命题Q 为真,0>x ,01>+∴x ,则有)1(2)6(2+≥++x ax x 对任意的*N x ∈恒成立 , 即2)4(++-≥x x a 对任意的*N x ∈恒成立,令2)4()(++-=xx x f ,只需max )(x f a ≥, 224242)(-=+-=+⋅-≤xx x f ,当且仅当)(4*N x x x ∈=即2=x 时取“=”,2-≥∴aP Q ∧为假命题,P Q ∨为真命题,Q P ,∴中必有一个真命题,一个假命题,（1）若P 为真Q 为假,则⎩⎨⎧-<≤<-213a a ,23-<<-a ,（2）若P 为假Q 为真,则⎩⎨⎧-≥>-≤213a a a 或,1>∴a ,综上：123>-<<-∴a a 或．15．设命题p :实数满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题:实数满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩．（1）若1,a =且p q ∧为真,求实数的取值范围; （2）若p ⌝是⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围． 【答案】（1） (2,3) （2） (]1,2【解析】（1）当1a =时,{}:13p x x <<,{}:23q x x <≤, 又p q ∧为真,所以p 真且真, 由1323x x <<⎧⎨<≤⎩,得23x <<所以实数的取值范围为(2,3)（2） 因为p ⌝是⌝的充分不必要条件, 所以是p 的充分不必要条件, 又{}:3p x a x a <<,{}:23q x x <≤,所以0233a a a >⎧⎪≤⎨⎪>⎩,解得12a <≤所以实数的取值范围为(]1,216.【2016湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】设:p 实数满足：03422<+-a ax x （0>a ）,:q 实数满足：121-⎪⎭⎫⎝⎛=m x ,()2,1∈m()I 若41=a ,且q p ∧为真,求实数的取值范围； ()II 是p 的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x；（Ⅱ）11[,]32．()II 是p 的充分不必要条件,记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x x A ,{}0,3><<=a a x a x B则A 是B 的真子集 ⎪⎩⎪⎨⎧>=∴1321a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a … 得2131≤≤a ,即的取值范围为1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，… 17. 【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】设命题:p 实数满足22430x ax a -+<,0a ≠；命题:q 实数满足302x x-≥-. （Ⅰ）若1a =,p q ∧为真命题,求的取值范围；（Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围.18．已知命题p ：“方程230x ax a -++=有解”,q：“11042x xa +->∞在[1,+)上恒成立”,若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数的取值范围．【答案】206a a -<≤≥或【解析】:26p a a ≤-≥或．令21,2xt t t a =+> 02t <≤ ,:0q a ∴≤．∵pq 一真一假,∴260a a a ≤-≥⎧⎨>⎩或 或260a a -<<⎧⎨≤⎩ 得：206a a -<≤≥或19．命题p 实数满足03422<+a ax -x （其中0a >）,命题实数满足⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x- （1）若1a =,且p q ∧为真,求实数的取值范围；（2）若p ⌝是⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围．【答案】（1）()2,3.；（2）(1,2]．【解析】由：03422<+a ax -x （其中0a >）,解得3a x a <<, 记(,3)A a a = 由⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x-,得132,3或x x x -≤≤⎧⎨><-⎩,即23x <≤,记(]2,3B =． （1）若1a =,且p q ∧为真,则(1,3)A =,(]2,3B =,又p q ∧为真,则1323x x <<⎧⎨<≤⎩,所以23x <<,因此实数的取值范围是()2,3.（2）∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,∴p 是的必要不充分条件,即B A ≠⊂,(]2,3(,3)a a ≠⊂,则只需3302a a >⎧⎨<≤⎩,解得12a <≤,故实数a 的取值范围是(1,2]．20．【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立, 设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,∴p 为真时： 若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为∴为真时∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时当p 假真时综上所述,m 的取值范围是21．【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立, 设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,∴p 为真时： 若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为∴为真时∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时当p 假真时综上所述,m 的取值范围是。
1．4.1全称量词1．4.2存在量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词、全称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．梳理(1)概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．(2)表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作“对任意x 属于M，有p(x)成立”．(3)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．知识点二存在量词、特称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；Q：存在一个m0∈Z，m0>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．梳理(1)存在量词：通常指的是短语“存在一个”“至少有一个”，并用符号“∃”表示．(2)特称命题：①定义：含有存在量词的命题．②记法：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．(3)特称命题真假判定：要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.类型一全称命题与特称命题的识别例1判断下列命题是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．反思与感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n 0，使得0n a 与1之差的绝对值小于0.01.解 (1)是全称命题，表示为∀x ∈N ，x 2≥0.(2)是特称命题，表示为∃(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|2＝1.(3)是特称命题，∃f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数． (4)是特称命题，∃n 0∈N *，0|1|0.01－＜，n a 其中0n a ＝n 0n 0＋1.类型二 全称命题与特称命题的真假的判断 例2 判断下列命题的真假． (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x ∈R ，x 2＋1≥1；(3)对每一个无理数x ，x 2也是无理数； (4)存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0； (5)存在两个相交平面垂直于同一条直线． 解 (1)2是素数，但2不是奇数．所以全称命题“所有的素数都是奇数”是假命题． (2)任意x ∈R ，总有x 2≥0，因而x 2＋1≥1. 所以全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题． (3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以全称命题“对每一个无理数x ，x 2也是无理数”是假命题．(4)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以特称命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0”为假命题．(5)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直同一条直线，所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题．反思与感悟 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：(1)要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可，否则命题为假．(2)要判定一个全称命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x ，p (x )都成立，但要判定一个全称命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x 0，使p (x 0)不成立即可． 跟踪训练2 (1)举反例说明下列命题是假命题． ①∀x ∈R ，都有|x |＝x ； ②∀x ∈R ，都有x 2＝x ；③任意一元二次方程都有实数解； ④凡x <2，都有x <1(x ∈R )．解 ①当x ＝－1时，|x |＝1，而x ＝－1，等式不成立，故为假命题． ②当x ＝－1时，x 2＝1，而x ＝－1，等式不成立，故为假命题． ③方程x 2＋2x ＋2＝0无实数解，故为假命题． ④令x ＝1.5，则x <2，但x >1，故为假命题． (2)判断下列命题的真假： ①有一些奇函数的图象过原点； ②∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0； ③∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.解 ①该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．②该命题是特称命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78≥78>0， ∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0. 故该命题是假命题． ③该命题是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题． 类型三 依据含量词命题的真假求参数取值范围例3 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3≥0是真命题，求实数a 的取值范围；(2)已知命题q ：∃x ∈[0，π]，使得sin x ＋cos x ＝m 有解为真命题，求实数m 的取值范围． 解 (1)命题p 为真命题，即ax 2＋2x ＋3≥0在R 上恒成立． ①当a ＝0时，不等式为2x ＋3≥0，显然不能恒成立； ②当a ≠0时，由不等式恒成立可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝22－4×a ×3≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≥13，∴a ≥13.综上，a 的取值范围为[13，＋∞)．(2)命题q 为真，即方程sin x ＋cos x ＝m 在x ∈[0，π]上有解，设f (x )＝sin x ＋cos x ，∴m 的取值范围就是f (x )＝sin x ＋cos x 在[0，π]上的值域． ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)．而x ∈[0，π]，∴x ＋π4∈[π4，54π]，∴sin(x ＋π4)∈[－22，1]，故f (x )∈[－1，2]，∴m 的取值范围为[－1，2]．反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．跟踪训练3 设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，求x 0的取值范围．解 方法一 当x 0＝0时，M (0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N (－1,0)或N (1,0)，使∠OMN ＝45°.当x 0≠0时，过M 作圆的两条切线，切点为A 、B . 若在圆上存在点N ，使得∠OMN ＝45°， 应有∠OMB ≥∠OMN ＝45°，∴∠AMB ≥90°，∴－1≤x 0<0或0<x 0≤1. 综上，－1≤x 0≤1.方法二 过O 作OP ⊥MN ，P 为垂足，OP ＝OM ·sin 45°≤1，∴OM ≤1sin 45°，OM 2≤2，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1.1．下列命题中，不是全称命题的是( ) A ．任何一个实数乘以0都等于0 B ．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析D选项是特称命题．2．命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2,0)，则()A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真答案 A解析∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，故命题p为假命题，易知命题q为真命题，选A.3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是()A．a≥0 B．a<0 C．b≤0 D．b>1答案 B解析函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.4．特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是________(填“真”或“假”)命题．答案假解析不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题．5．若命题“∃x0∈R，x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．答案2≤m≤6解析由已知得“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是2≤m≤6.1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．3．判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假．一、选择题1．设非空集合A ，B 满足A ⊆B ，则( ) A ．∃x 0∈A ，使得x 0∉B B ．∀x ∈A ，有x ∈B C ．∃x 0∈B ，使得x 0∉A D ．∀x ∈B ，有x ∈A 答案 B解析 因为非空集合A ，B 满足A ⊆B ，所以A 中元素都在B 中，即∀x ∈A ，有x ∈B . 2．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬ p )∧(¬ q ) C ．(¬ p )∧q D ．p ∧(¬ q )答案 D解析 p 为真命题，q 为假命题，故¬ p 为假命题，¬ q 为真命题．从而p ∧q 为假，(¬ p )∧(¬ q )为假，(¬ p )∧q 为假，p ∧(¬ q )为真，故选D.3．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1) 答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，则－1<a <3.故选B.4．已知命题“∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4a <0”为假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－16,0] B ．(－16,0) C ．[－4,0] D ．(－4,0) 答案 A解析 由题意可知“∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题， ∴Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0，故选A.5．下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x ，使得x 2－x ＋1是整数．其中是真命题的为( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④答案 C解析 ①所有无理数都是实数，为真命题； ②显然为真命题； ③显然不成立，为假命题；④取x ＝1，能使x 2－x ＋1＝1是整数，为真命题．6．已知命题p ：∃x ∈R,2x >3x ；命题q ：∀x ∈(0，π2)，tan x >sin x ，则下列是真命题的是( )A ．(¬ p )∧qB ．(¬ p )∨(¬ q )C ．p ∧(¬ q )D ．p ∨(¬ q ) 答案 D解析 当x ＝－1时，2－1>3－1，所以p 为真命题；当x ∈(0，π2)时，tan x －sin x ＝sin x (1－cos x )cos x >0，所以q 为真命题，所以p ∨(¬ q )是真命题，故选D. 7．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0，给出下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(¬ q )”是假命题；③命题“(¬ p )∨q ”是真命题；④命题“(¬ p )∨(¬ q )”是假命题．其中正确的结论是( ) A ．②③ B ．②④ C ．③④ D ．①②③答案 A 解析 ∵52>1，∴命题p 是假命题． ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴命题q 是真命题，由真值表可以判断“p ∧q ”为假，“p ∧(¬ q )”为假，“(¬ p )∨q ”为真，“(¬ p )∨(¬ q )”为真，所以只有②③正确，故选A. 二、填空题 8．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，即是特称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．答案 ①②③ ④⑤解析 ①是全称命题，是真命题； ②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题； ④含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题； ⑤是特称命题，是真命题；⑥是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°. 9．用符号“∀”或“∃”表示含有量词的命题． (1)实数的平方大于等于0________.(2)存在一对实数x 0，y 0，使2x 0＋3y 0＋3>0成立________． 答案 (1)∀x ∈R ，有x 2≥0(2)∃x 0，y 0∈R ，使2x 0＋3y 0＋3>0成立 解析 由题意，可表示为(1)∀x ∈R ，有x 2≥0. (2)∃x 0，y 0∈R ，使2x 0＋3y 0＋3>0成立．10．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [e,4]解析 由命题“p ∧q ”是真命题，得命题p ，q 都是真命题. 因为x ∈[0,1]，所以e x ∈[1，e]，所以a ≥e ；∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，即方程x 2＋4x ＋a ＝0有实数根，所以Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，取交集得a ∈[e,4]． 三、解答题11．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (3)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2.解 (1)是特称命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(2)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (3)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题．12．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32.∵命题“p ∧q ”为真命题，∴命题p 、q 都为真， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为(12，1]．13．已知函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 对于x ∈(0，12)恒成立时，求a 的取值范围．解 (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ， 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2，又因为f (1)＝0， 所以f (0)＝－2. (2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋1)x . 因为x ∈(0，12)，所以f (x )＋2∈(0，34)．要使x ∈(0，12)时，f (x )＋2<log a x 恒成立，显然当a >1时不可能，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1. 所以a 的取值范围为[344，1)．。
3．1全称量词与全称命题3．2存在量词与特称命题明目标、知重点 1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．探究点一全称量词与全称命题思考1 下列语句是命题吗(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．答语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题．思考2 如何判定一个全称命题的真假答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(即举反例)．例1 判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)任意x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“任意x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假：(1)任意x∈R，x2＋2>0；(2)任意x∈N，x4≥1.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“任意x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．探究点二存在量词与特称命题思考1 下列语句是命题吗(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；(4)至少有一个x0∈Z，使x0能被2和3整除．答(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．思考2 怎样判断一个特称命题的真假答 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．例2 判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x 0，使x 20＋2x 0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解 (1)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在．所以，特称命题“有一个实数x 0，使x 20＋2x 0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．反思与感悟 特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪训练2 判断下列命题的真假：(1)存在x 0∈Z ，x 30<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)存在x 0∈R ，cos x 0＝π2. 解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，∴“存在x 0∈Z ，x 30<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义． (4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而π2>1，∴不存在x 0∈R ， 使cos x 0＝π2， ∴原命题是假命题．探究点三 全称命题、特称命题的应用思考 不等式有解和不等式恒成立有何区别答 不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．例3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对任意x ∈R ，p (x )是真命题，求实数a 的取值范围．解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞. (2)∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a <0，∴a >1.反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ， ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．1．下列命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．2．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析 D 选项是特称命题．3．下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，lg x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝1C ．任意x ∈R ，x 3>0D ．任意x ∈R,2x >0 答案 C解析 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0，错误；对于D ，任意x ∈R,2x＞0，正确．4．用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：(1)凸n 边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x 0满足x 20＝3.(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解 (1)任意x ∈{x |x 是凸n 边形}，x 的外角和是2π.(2)存在x 0∈Q ，x 20＝3.(3)任意α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1.[呈重点、现规律]1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．一、基础过关1．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 命题①②④都是全称命题．2．下列特称命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数答案 B解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0恒成立． 3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是特称命题D ．四个命题中有两个假命题答案 C解析 ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．4．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①②③为真命题．5．下列全称命题为真命题的是( )A ．所有的素数是奇数B ．任意x ∈R ，x 2＋3≥3C ．任意x ∈R,2x －1＝0D ．所有的平行向量都相等答案 B6．下列命题中，真命题是________．①存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2； ②任意x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1；③存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数；④任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x . 答案 ②③解析 对于①，任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2， ∴此命题为假命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，∴此命题为真命题；对于③，当m ＝0时， f (x )＝x 2为偶函数，∴此命题为真命题；对于④，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0<sin x ， ∴此命题为假命题．7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2.解 (1)是特称命题，是真命题．(2)是全称命题，是假命题．(3)是特称命题，是假命题．二、能力提升8．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，3]解析对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.9．给出下列四个命题：①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形；③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．答案①②④解析①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．10．四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案0解析x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∵当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．11．判断下列命题的真假：(1)对任意x∈R，|x|>0；(2)对任意a∈R，函数y＝log a x是单调函数；(3)对任意x∈R，x2>－1；(4)存在a∈{向量}，使a·b＝0.解(1)由于0∈R，当x＝0时，|x|>0不成立，因此命题“对任意x∈R，|x|>0”是假命题．(2)由于1∈R，当a＝1时，y＝log a x无意义，因此命题“对任意a∈R，函数y＝log a x是单调函数”是假命题．(3)由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2>－1.因此命题“对任意x∈R，x2>－1”是真命题．(4)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“存在a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．12．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x －1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．三、探究与拓展13．若任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1,1]．。
