湖南省汨罗市2020届高三教学质量检测试卷(一)数学理科试题 - 学生版

2019-2020学年湖南省岳阳市汩罗市第三中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A解析：对于“”“”；反之不一定成立，因此“”是“”的充分而不必要条件．2. 若函数，且，，的最小值是，则的单调递增区间是（）A．B．C．D．参考答案：A3. 一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为(A) 96 (B) 136(C) 152 (D) 192参考答案：C略4. 若，则的值为( )A. B. C.D.参考答案：B略5. ．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在、、、、号房间，现已知：（）甲与乙不是邻居；（）乙的房号比丁小；（）丙住的房是双数；（）甲的房号比戊大．根据上述条件，丁住的房号是（）．A．号B．号C．号D．号参考答案：B解：根据题意可知，、、、、号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房号是．故选．6. 在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A. B.C. D.参考答案：C略7. 已知条件：在区间上单调递增，条件：，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：因为条件：在区间上单调递增，所以；所以是的充分不必要条件.考点：充分、必要条件的判断.8. 设集合，，为虚数单位，R，则为（）A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]参考答案：9. 下列四个结论中不正确的是（）A．若x＞0，则x＞sinx恒成立B．命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为“若x﹣sinx≠0，则x≠0”C．“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件D．命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0＜0”参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A构造函数y=x﹣sinx，利用导数判断y是单调增函数，从而判断A正确；B根据命题“若p则q”的否命题为“若￢p则￢q”，判断正误即可；C分别判断充分性和必要性是否成立即可；D根据全称命题的否定是特称命题，判断正误即可．【解答】解：对于A，令y=x﹣sinx，求出导数y′=1﹣sinx≥0，∴y是单调增函数，∴x＞0时，x＞sinx恒成立，A正确；对于B，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为“若x﹣sinx≠0，则x≠0”，B正确；对于C，“命题p∧q为真”，则命题p为真，q也为真，∴“命题p∨q为真”，充分性成立，“命题p∨q为真”则命题p、q一真一假或同为真，则“命题p∧q为真”不一定成立，即必要性不成立；∴是充分不必要条件，C正确；对于D，命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，∴D错误．故选：D．10.从存有号码为1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( )A 0.53，B 0.5，C 47，D 0.37。

2020年高三教学质量检测(Ⅰ) 数学试题(理科) 2020-01-07一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U =R, 集合A ={x |0<x <2}, B={－3,－1,1,3}, 则集合(C U A )∩B = A. {－3, －1} B. {－3,－1,3} C. {1,3} D. {－1,1}2.已知i 为虚数单位,若11a bi i=+-(a ,b ∈R),则22a b += A. 2 B. 4 C.14 D. 123.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,1]上单调递增的是 A. 1y x =B. |sin |y x =C. tan y x =D. ||1()2x y = 4.设数列{n a }是正项等比数列, n S 为其前n 项和,已知241a a =,37S =,则公比q = A.13 B. 3 C. 12D. 2 5.函数3()1x x f x e =+的图像大致是6.已知m ,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A. 若m ⊥α, m ⊥n , 则n ∥α B.若m ⊥α, n ∥β,且α∥β,则m ⊥n .C. 若m ⇐α, n ⇐α,且m ∥β,n ∥β,则α∥βD. 若直线m ,n 与平面α所成角相等,则m ∥n 7. 执行下图所示的程序框图,输出S 的值为A. 5B. 6C. 8D. 138. 2010~2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动车及物联网等新机遇,连接器行业增长呈现加速状态,根据该折线图有如下结论: ①每年市场规模量逐年增加; ②增长最快的一年为2013~2014; ③这8年的增长率约为40%, ④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模,数据方差更小,变化比较平稳,其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 49.已知F 1,F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的左、右焦点,过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P , 若点P 在以线段F 1F 2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 A. (1,2) 3 C. (1,2) D. (2,+∞)10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说:”白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个数学问题”将军饮马”, 即将军在观望烽为之后从脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为22x y +≤1,若将军从点A (2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x +y =4,假定将军只要达军营的在区域即回到军营,即”将军饮马”的最短总路程为 5 1 B.10 1 5 D. 1011.设函数()2sin(2)3f x x π=-的图像为C , 下面结论正确的是A. 函数f (x )的最小正周期是2π.B.函数f (x )在区间(12π,2π)上是递增的;C.图像C 关于点(76π,0)对称; D.图像C 由函数()sin 2g x x =的图像向左平移23π个单位得到 12.已知函数ln ,1()1,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()[()1]F x f f x m =++ (m 为常数)有两个零点x 1,x 2,则x 1·x 2的取值范围是 A. (－∞,e ) B. (e ,+∞) C. (－∞,4－2ln2] D. [4－2ln2,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{a n }的前n 项和(1)2n S n n =++,其中n ∈N*, 则a n =14.设D 为△ABC 所在平面内的一点, 若3AD BD =u u u r u u u r ,CD CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r ,则μλ=15. 从83()x x-的展开式各项中随机选两项,则这两项均是有理项的概率为 16.在三棱锥P -ABC 中,平面P AB ⊥平面ABC , △ABC 是边长为6的等边三角形,△P AB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形,则该三棱锥外接球的体积为三、解答题：共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(一)必考题: 共60分 17. (本题满分12分)如图,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,∠BCD =135°, P A ⊥平面ABCD ,AB =AC =P A =2,E ,F ,M 分别为线段BC ,AD ,PD 的中点. (1)求证: 直线EF ⊥平面P AC ;(2)求平面MEF 与平面PBC 所成二面角的正弦值.18. (本题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且B 是A ,C 的等差中项.(1)若b a =3, 求边c 的值; (2)设t =sinAsinC, 求t 的取值范围.19. (本题满分12分)2019年某地区数学竞赛试行改革: 在高二年级一学年中举行5次全区竞赛,学生有2次成绩达全区前20名即可进入省队培训,不用参加剩余的竞赛,而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定: 若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名,则第5次不能参加竞赛,假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是13,每次竞赛成绩达全区前 20名与否互相独立. (1)求该学生进入省队的概率.(2)如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束,记该学生参加竞赛的次数为X ,求X 的分布列及X 的数学期望.20. (本题满分12分) 已知函数()ln f x x =,21()2g x x bx =- (b 为常数) (1)若b =1, 求函数H (x )=f (x )－g (x)图像在x =1处的切线方程;(2)若b ≥2, 对任意x 1,x 2∈[1,2], 且x 1≠x 2, 都有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立,求实数b 的值.21. (本题满分12分)已知椭圆C : 22221x y a b+=(a >b >0)的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同,F 1,F 2为C 的左、右焦点,M 为C 上任意一点, 12MF F S V 最大值为1. (1) 求椭圆C 的方程;(2)不过点F 2的直线l : y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点.①若212k =,且AOB S ∆=求m 的值.②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等,求证: 直线l 过定点,并求出该定点的坐标.(二)选考题: 共10分.考生在第22,23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答时用2B 铅笔在答题卡上把目的题号涂黑. 22. (本题满分10分)在直角坐标系中xoy 中, 直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 1的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθθ=-.(1)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)设直线l 交曲线C 1于O ,A 两点,交曲线C 2于O ,B 两点,求|AB |的长.23. (本题满分10分)已知a >0,b >0,c >0, 函数f (x )=|a －x |+|x +b |+c . (1)当a =b =c =2时, 求不等式f (x )<10的解集; (2)若函数f (x )的最小值为1, 证明: a 2+b 2+c 2≥13.。

2021高三期末考试2021-2021年高三上学期第一次调研测试数学（理）试题（解析版）20XX-2021年高三上学期第一次调研测试数学（理）试题一、单选题1．设，则（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】根据集合的交集运算即可求解。

【详解】，故选：D 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。

2．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】由三角函数的最小正周期，即可求解。

【详解】，故选：B 【点睛】本题考查求三角函数的周期，属于基础题。

3．已知向量，则（）A．-8B．4C．7D．-1【答案】A 【解析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】故选：A 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 4．已知奇函数当时，，则当时，的表达式是( ) A．B．C．D．【答案】C 【解析】设x&lt;0，则−x>0，又当x>0时,f(x)=x(1−x)，故f(−x)=−x(1+x)，又函数为奇函数，故f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即f(x)=x(x+1)，本题选择C选项. 5．若数列满足：且，则（）A．B．-1C．2D．【答案】B 【解析】首先由递推关系得出、、、且数列的周期为即可求出.【详解】由且，则，，，所以数列为周期数列，周期为，所以故选：B 【点睛】本题考查数列周期性的应用，属于基础题. 6．若，则（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】本道题化简式子,计算出,结合,即可. 【详解】 ,得到,所以 ,故选C. 【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小. 7．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标. 8．已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】根据平面向量的共线定理即可求解。

2020年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x−3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝（）A.(2, 3]B.⌀C.[−1, 0)∪(2, 3]D.[−1, 0]∪(2, 3]2.已知实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.在等比数列{a n}中，若2a2，3a3，4a4成等差数列，则公比q为（）A.1B.2C.1或12D.124.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A12．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A.8B.9C.10D.115.若直线ax+by+2＝0(a>0、b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2＝1的弦长为2，则1a +2b 的最小值为（ ） A.4 B.6 C.8 D.106.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)=2x +12x −1cosx 的图象大致是（ ）A. B.C. D.7.函数y ＝sinx −√3cosx 的图象可由函数y ＝sinx +√3cosx 的图象至少向右平移（ ）个单位长度得到． A.π6 B.π3C.π2D.2π38.平面向量a →与b →的夹角为60∘，a →=(2, 0)，|a →+2b →|=2√3，则|b →|＝（ ） A.√3 B.1C.2D.√3−19.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A.1−2π B.12−1πC.2πD.1π10.设函数f(x)的定义域为R ，满足2f(x +1)＝f(x)，且当x ∈(0, 1]时，f(x)＝−x(x −1)．若对任意x ∈[m, +∞)，都有f(x)≤89，则m 的取值范围是（ ） A.[−76,+∞) B.[−53,+∞)C.[−54,+∞)D.[−43,+∞)11.SC 是球O 的直径，A 、B 是该球面上两点，AB =√3，∠ASC ＝∠BSC ＝30∘，棱锥S −ABC 的体积为√3，则球O 的表面积（ ） A.4π B.8π C.16π D.32π12.关于函数f(x)=2x +lnx ，下列说法正确的是() A.x =2是f(x)的极小值点； B.函数y =f(x)−x 有且只有1个零点; C.f(x)>12x 恒成立；D.设函数g(x)=−xf(x)+x 2+4，若存在区间[a,b]⊂[12,+∞)，使g(x)在[a, b]上的值域是[k(a +2), k(b +2)]，则k ∈(1,9+2ln210]．二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上） 已知单位向量a →与向量b →=(1, 2)方向相同，则向量a →的坐标是________．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若B ＝60∘，2b =√7c ，则sinA 的值为________．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如下： 2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是________元．函数y＝(15sinx+7)cosx的最大值是________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d为整数，S5＝35，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+1已知四棱锥E−ABCD，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，cos∠ADC=1213，EC⊥平面ABCD．（1）求证：平面ABE⊥平面EBC；（2）当CE＝60时，求直线AC和平面ADE所成角的正弦值．已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2．(Ⅰ)求椭圆T的标准方程；(Ⅱ)若直线l:y＝kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1, 0)，求实数k的取值范围．已知函数f(x)＝lnx−a(x−1)．（1）若函数f(x)的图象与x轴相切，求实数a的值；（2）讨论函数f(x)的零点个数．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N∗)份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次．方式二：混合检验，将其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p <1)．现取其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（1）若E(ξ1)＝E(ξ2)，试求关于k 的函数关系式P ＝f(k)；（2）若P 与干扰素计量x n 相关，其中x 1，x 2，…，x n (n ≥2)是不同的正实数，满足x 1＝1且∀n ∈N ∗(n ≥2)都有e −13∑n−1i=1x n 2x i x i+1=x n 2−x i 2x22−x 12成立．(i)求证：数列{x n }为等比数列；(ii)当P ＝1−√x 3时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ−4cosθ＝0． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 经过曲线C 的焦点F 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|FQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x +a +1|+|x −4a |,(a >0)． (Ⅰ)证明：f(x)≥5；(Ⅱ)若f(1)<6成立，求实数a 的取值范围．2020年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x−3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝（）A.(2, 3]B.⌀C.[−1, 0)∪(2, 3]D.[−1, 0]∪(2, 3]【解答】∵全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x−3≤0}＝{x|−1≤x≤3}，集合B＝{x|log2x≤1}＝{x|0<x≤2}，∴∁U B＝{x|x≤0或x>2}，∴A∩(∁U B)＝{x|−1≤x≤0或2<x≤3}＝[−1, 0]∪(2, 3]．2.已知实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”⇒2√2x⋅2y≤4，化为：2x+y≤4，∴x+y≤2．∴2√xy≤2，化为xy≤1．反之不成立，例如x=4，y=16，∴实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的充分不必要条件．故选C.3.在等比数列{a n}中，若2a2，3a3，4a4成等差数列，则公比q为（）A.1B.2C.1或12D.12【解答】等比数列{a n}中，若2a2，3a3，4a4成等差数列，可得6a3＝2a2+4a4，即有3a1q2＝a1q+2a1q3，即为2q2−3q+1＝0，解得q＝1或12，4.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A12．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A.8B.9C.10D.11【解答】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行输出的是茎叶图所有数据中大于90的数据的个数n，由茎叶图知，n＝9．5.若直线ax+by+2＝0(a>0、b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2＝1的弦长为2，则1a +2b的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【解答】由题意圆心坐标为：(−2, −1)，半径＝1，所以圆心代直线的距离为：d=√a2+b2，所以弦长2＝2√1−(√22)2，整理可得：2a+b＝2，a>0，b>0，所以1a +2b=(1a+2b)⋅12⋅(2a+b)=12(2+2+ba+4ab)≥12(4+2√ba⋅4ab)＝4，所以最小值为4，6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)=2x +12x −1cosx 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【解答】f(−x)=2−x +12−x −1cos(−x)=1+2x1−2x cosx =−f(x)，故函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AC ； 当x →0+时，f(x)→+∞，故排除D ；7.函数y ＝sinx −√3cosx 的图象可由函数y ＝sinx +√3cosx 的图象至少向右平移（ ）个单位长度得到． A.π6 B.π3C.π2D.2π3【解答】y =sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， y =sinx +√3cosx =2sin(x +π3)， ∵y ＝2sin(x −π3)＝2sin(x −2π3+π3)，即函数y =sinx −√3cosx 的图象可由函数y =sinx +√3cosx 的图象至少向右平移2π3的单位得到，8.平面向量a →与b →的夹角为60∘，a →=(2, 0)，|a →+2b →|=2√3，则|b →|＝（ ） A.√3 B.1 C.2 D.√3−1【解答】由已知|a →|=2,|a →+2b →|2=a →2+4a →⋅b →+4b →2＝4+4×2×|b →|×cos60∘+4|b →|2=12，|b →|=1，9.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A.1−2π B.12−1πC.2πD.1π【解答】设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，S 白＝4π−16(π4−12)＝8， 设“此点取自阴影部分”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得： 则P(A)＝1−SS =1−84π=1−2π，10.设函数f(x)的定义域为R ，满足2f(x +1)＝f(x)，且当x ∈(0, 1]时，f(x)＝−x(x −1)．若对任意x ∈[m, +∞)，都有f(x)≤89，则m 的取值范围是（ ） A.[−76,+∞) B.[−53,+∞)C.[−54,+∞)D.[−43,+∞)【解答】作出当x ∈(0, 1]时，f(x)＝−x(x −1)的图象，由2f(x +1)＝f(x)，可得 将y ＝f(x)在(0, 1]的图象向左平移1个，2个，3个单位， 同时点的纵坐标伸长到原来的2倍，4倍，8倍，将y ＝f(x)在(0, 1]的图象每向右平移1个，2个，3个单位， 同时点的纵坐标缩短到原来的12倍，14倍，18倍， 作出直线y =89，如图所示：对任意x ∈[m, +∞)，都有f(x)≤89，可得只要找直线y =89与f(x)(−2<x <−1)的右边的交点，由−4(x +1)(x +2)=89，解得x =−43（−53舍去）， 则m ≥−43，故选：D．11.SC是球O的直径，A、B是该球面上两点，AB=√3，∠ASC＝∠BSC＝30∘，棱锥S−ABC的体积为√3，则球O的表面积（）A.4πB.8πC.16πD.32π【解答】如图，∵SC是球O的直径，可得△SCA，△SCB是直角三角形，∵∠ASC＝∠BSC＝30∘，∴SA＝SB=√3R，（R为球半径），作AD⊥SC于D，连接DB，可得AD＝BD=√32R，∵AB=√3，∴S△ABD=12×AB×√AD2−(AB2)2=34√R2−1．∵13×34√R2−1×2R=√3，解得R＝2，则球O的表面积为4πR2＝16π．12.关于函数f(x)=2x+lnx，下列说法正确的是()A.x=2是f(x)的极小值点；B.函数y=f(x)−x有且只有1个零点;C.f(x)>12x恒成立；D.设函数g(x)=−xf(x)+x2+4，若存在区间[a,b]⊂[12,+∞)，使g(x)在[a, b]上的值域是[k(a+2), k(b+2)]，则k∈(1,9+2ln210]．【解答】解：f′(x)=x−2x2=0，解得x=2.且当x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递减.∴x=2是f(x)的极小值点.故A选项正确；令g(x)=f(x)−x=2x+lnx−x，则g ′(x)=−x 2+x−2x 2<0恒成立，所以函数g(x)在(0, +∞)上单调递减，而g(1)=2−1=1>0，g(e 2)=2e +2−e 2<3−e 2<0， 所以函数y =f(x)−x 有且只有1个零点，即B 选项正确； 令ℎ(x)=f(x)−12x ，原问题转化为ℎ(x)>0恒成立， ℎ′(x)=−x 2+2x−42x 2<0恒成立，所以函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减， 由于ℎ(e 2)=2e +2−e 22<3−e 22<0，所以ℎ(x)>0不可能恒成立，即C 选项错误； g(x)=−xf(x)+x 2+4=x 2−xlnx +2， 则g ′(x)=2x −lnx −1，令t(x)=2x −lnx −1，则t ′(x)=2−1x ， 所以t(x)在[12,+∞)上单调递增，t(x)≥t(12)=ln2>0，所以g(x)在[12,+∞)上单调递增． 因为[a,b]⊂[12,+∞)，所以g(x)在[a, b]上单调递增． 因为g(x)在[a, b]上的值域为[k(a +2), k(b +2)]， 所以{g(a)=k(a +2)，g(b)=k(b +2)，即方程g(x)=k(x +2)在[12,+∞)上有a ，b 两个不同解， 所以k =g(x)x+2， 令F(x)=g(x)x+2=x 2−xlnx+2x+2(x ≥12)，则F ′(x)=x 2+3x−2lnx−4(x+2)2，令G(x)=x 2+3x −2lnx −4， 则G ′(x)=(2x−1)(x+2)x ≥0，所以G(x)在[12,+∞)上单调递增， 而G(12)<0，G(1)=0，所以当x ∈[12,1)时，G(x)<0即F ′(x)<0； 当x ∈[1, +∞)时，G(x)≥0即F ′(x)≥0，因此F(x)在[12,1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增， 所以F(1)<k ≤F(12)， 即1<k ≤9+2ln210，所以D 选项正确．故选ABD .二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上） 已知单位向量a →与向量b →=(1, 2)方向相同，则向量a →的坐标是________． 【解答】设向量a ＝(x, y)，则{x 2+y 2=12x =y ，解得{x =√55y =2√55或{x =−√55y =−2√55， 由于向量a 与向量b 方向相同，所以a =(√55,2√55)． 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若B ＝60∘，2b =√7c ，则sinA 的值为________． 【解答】由正弦定理得sinC =cb sinB =√7×√32=√217， 因为2b =√7c ，所以b >c ，角C 为锐角， ∴cosC =√1−2149=2√77， 则sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√32×2√77+12×√217=3√2114． 2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如下： 2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是________元． 【解答】当工资、薪金为8000元时，缴纳税款3000×3%＝90（元）； 当工资、薪金为17000元时，缴纳税款3000×3%+9000×10%＝990（元），所以他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −10000)×10%＝390，解得：x ＝13000，所以税后所得为13000−390＝12610（元）， 函数y ＝(15sinx +7)cosx 的最大值是________． 【解答】方法一：y ′＝15cos 2x −(15sinx +7)sinx ＝15cos 2x −15sin 2x −7sinx ＝−30sin 2x −7sinx +15＝(−5sinx +3)(6sinx +5)， 令y ′＝0，得sinx =35或sinx =−56，因为函数的定义域为R ，所以函数若存在最大值， 则最大值应在极大值处取到，当sinx =35，cosx =45时，函数的最大值为645．方法二：因为16sin 2x +9cos 2x ≥24sinxcosx ，当4sinx ＝3cosx 时，等号成立；7(cos 2x +1625)≥7×85cosx ，当cosx =45时，等号成立，所以16sin 2x +9cos 2x +7(cos 2x +1625)≥24sinxcosx +7×85cosx ， 即24sinxcosx +7×85cosx ≤16+16×725，3sinxcosx +75cosx ≤6425， 15sinxcosx +7cosx ≤645，当cosx =45，sinx =35时，等号成立， 因此函数y ＝(15sinx +7)cosx 的最大值是645． 胡答案为：645．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d 为整数，S 5＝35，且a 2，a 3+1，a 6成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列{b n }满足b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】由S 5＝5a 3＝35，得a 3＝7，由a 2，a 3+1，a 6成等比数列，得a 2a 6＝(a 3+1)2＝64， 即(a 3−d)(a 3+3d)＝64，整理得3d 2−14d +15＝0， 又因为公差d 为整数，所以d ＝3， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n −2． b n =1an a n+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，所以T n ＝b 1+b 2+b 3+...+b n=13×[(1−14)+(14−17)+(17−110)+⋯+(13n −2−13n +1)] =13×(1−13n +1) =n3n+1．已知四棱锥E −ABCD ，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，cos∠ADC =1213，EC ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面ABE ⊥平面EBC ；（2）当CE ＝60时，求直线AC 和平面ADE 所成角的正弦值． 【解答】在△ADC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AD 2+DC 2−2AD ⋅DCcos∠ADC ， =132+122−2×12×13×1213=25， 故AC ＝5，AB 2+BC 2＝AC 2，即AB ⊥BC ， 又EC ⊥平面ABCD ，AB ⊆平面ABCD ， 所以EC ⊥AB ，EC ∩BC ＝C ， 所以AB ⊥平面EBC ， 又AB ⊆平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面BCE ， 由（1）知AC ⊥CD ， 又EC ⊥平面ABCD ，所以AC ，CD ，EC 两两垂直，以C 为原点，以CD ，CA ，CE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得，C(0, 0, 0)，A(0, 5, 0)，(12, 0, 0)，E (0, 0, 60)， 则AD →=(12, −5, 0)，AE →=(0, −5, 60)，设n →=(x,y,z)为平面ADE 的一个法向量，由{AD →⋅n →=0AE →⋅n →=0可得{12x −5y =0−5x +60z =0， 令z ＝1可得，n →=(5, 12, 1)，而AC →=(0, −5, 0)，设直线AC 与平面ADE 所成的角为α， 则sinα=|AC →⋅n →||AC →||n →|=5×√52+122+12=6√17085， 即直线AC 与平面ADE 所成的角的正弦值为6√17085已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． (Ⅰ)求椭圆T 的标准方程；(Ⅱ)若直线l:y ＝kx +m(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点(1, 0)，求实数k 的取值范围． 【解答】（1）由题意可知：{2b =2ca =√32a 2=b 2+c 2，得{a =2b =1c =√3 ，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将y ＝kx +m 代入椭圆方程， 消去y 得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，所以△＝(8km)2−4(1+4k 2)(4m 2−4)>0，即m 2<4k 2+1…① 由根与系数关系得x 1+x 2=−8km1+4k 2，则y 1+y 2=2m1+4k 2，……………… 所以线段MN 的中点P 的坐标为(−4km1+4k ,m1+4k )．……………………………… 又线段MN 的垂直平分线l ′的方程为y =−1k (x −1)， 由点P 在直线l ′上，得m1+4k 2=−1k (−4km1+4k 2−1)，即4k 2+3km +1＝0，所以m =−13k (4k 2+1)②…………… 由①②得(4k 2+1)29k 2<4k 2+1，∵4k 2+1>0∴4k 2+1<9k 2，所以k 2>15，即k <−√55或k >√55， 所以实数k 的取值范围是(−∞,−√55)∪(√55,+∞)．…………已知函数f(x)＝lnx −a(x −1)．（1）若函数f(x)的图象与x 轴相切，求实数a 的值；（2）讨论函数f(x)的零点个数．【解答】f′(x)=1−axx ，令f′(x)＝0，则x=1a，因为函数f(x)的图象与x轴相切，所以f(1a)=0，即f(1a )=ln1a−a(1a−1)=a−1−lna=0，令ℎ(x)＝x−1−lnx，则ℎ(x)=1−1x，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；当x>1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)min＝ℎ(1)＝0，所以a−1−lna＝0有唯一解a＝1，即实数a的值为1．f′(x)=1−axx，①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，且f(1)＝0，函数有唯一零点；②当a>0时，函数f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减，f(x)max=f(1a)=a−1−lna，由（1）ℎ(x)＝x−1−lnx的单调性知：（1）当a＝1时，f(x)max＝0，所以函数只有一个零点；（2）当0<a<1时，f(1a)=a−1−lna>0，f(1)＝0，所以函数f(x)在(0,1a )上有一个零点，f(1a2)=a−1a−21na，令p(x)=x−1x −21nx，则p′(x)=1+1x2−2x=(x−1)2x2≥0，所以函数p(x)在(0, +∞)上单调递增，又p(1)＝0，当0<x<1时，p(x)<0，所以f(1a )=a−1a−21na<0，所以函数f(x)在(1a,+∞)上有一个零点，所以函数f(x)在(0, +∞)上有两个零点；(Ⅲ)当a>1时，f(1)＝0，f(1a)=a−1−lna>0，所以函数f(x)在(1a,+∞)上有一个零点，当0<x<1e a时，lnx<−a，f(x)＝lnx−a(x−1)<−a−a(x−1)＝−ax<0，所以函数f(x)在(0,1a)上有一个零点，所以函数f(x)在(0, +∞)上有两个零点，综上，当a ≤0或a ＝1时，函数f(x)有唯一零点； 当0<a <1或a >1时，函数f(x)有两个零点．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n(n ∈N ∗)份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验n 次．方式二：混合检验，将其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p <1)．现取其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（1）若E(ξ1)＝E(ξ2)，试求关于k 的函数关系式P ＝f(k)；（2）若P 与干扰素计量x n 相关，其中x 1，x 2，…，x n (n ≥2)是不同的正实数，满足x 1＝1且∀n ∈N ∗(n ≥2)都有e −13∑ n−1i=1x n2x i xi+1=x n 2−x i 2x22−x 12成立．(i)求证：数列{x n }为等比数列；(ii)当P ＝1−x 3时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值． 【解答】由已知可得E(ξ1)＝k ，ξ2的所有取值为1，k +1，P(ξ2＝1)＝(1−p)k ，P(ξ2＝k +1)＝1−(1−p)k ，E(ξ2)＝(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]＝k +1−k(1−p)k ，由E(ξ1)＝E(ξ2)，可得k ＝k +1−k(1−p)k ，即(1−p)k =1k ，即1−p ＝(1k )1k ，即p ＝1−(1k )1k ，可得f(k)＝1−(1k )1k ，k ∈N ∗，k ≥2； (i)证明：当n ＝2时，e−13⋅x 22x1x 2=x 22−x 12x22−x 12=1，即x 2x 1=e 13，可令q =x 2x 1=e 13>0，则q ≠1，由x 1＝1，下面证明对任意的正整数n ，x n ＝en−13，①当n ＝1，2时，显然成立；②假设对任意的n ＝k ，x k ＝e k−13，下面证明n＝k +1时，x k+1＝e k 3， 由题意可得e−13⋅∑ki=1x k+12x i x i+1=x k+12−x 12x 2−x 1，则e−13⋅x k+12(1x1x 2+1x2x 3+⋯+1x k−1x k+1x k x k+1)=x k+12−1e 23−1， 则e−13⋅x k+12{e −13[1−(e −23)k−1]1−e −23+1e k−13⋅x k+1}=x k+12−1e 23−1，x k+12(1−e −2(k−1)3)e 23−1+e−k 3⋅x k+1=x k+12−1e 23−1，e−2(k−1)3⋅x k+12{+(e −k3−e−k 3+23)x k+1−1＝0，即(e−k 3⋅x k+1−1)(e−k 3+23⋅x k+1+1)＝0，可得x k+1＝e k 3或x k+1＝−ek−23（舍去），即x k+1＝e k 3成立，由①②可得数列{x n }为等比数列，且x n ＝en−13；(ii)由(i)可知p ＝1−√x 3=1−e3，E(ξ1)＝E(ξ2)，可得k >k +1−k(1−p)k ，即1k <(1−p)k ＝(√e3)k ，所以lnk >13k ，设f(x)＝lnx −13x ，x >0，f′(x)=3−x 3x，当x ≥3时，f′(x)<0，f(x)递减，又ln4≈1.3863，43≈1.3333，则ln4>43； ln5≈1.6094，53≈1.6667，则ln5<53，可得k 的最大值为4．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ−4cosθ＝0．(Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 经过曲线C 的焦点F 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|FQ|的值．【解答】（1）∵直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数），∴直线l 的普通方程为y ＝tanα⋅x +1，由ρsin 2θ−4cosθ＝0，得ρ2sin 2θ−4ρcosθ＝0，即y 2−4x ＝0，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ；（2）∵直线l 经过曲线C 的焦点F(1, 0)，∴tanα＝−1，直线l 的倾斜角α=3π4， ∴直线l 的参数方程为{x =1−√22t y =√22t（t 为参数）， 代入y 2＝4x ，得t 2+4√2t −8=0，设A ，B 两点对应的参数为t 1．t 2，可得t 1+t 2＝−4√2，∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q 对应的参数值为t 1+t 22=−2√2． 又点F(1, 0)，则|FQ|=|t 1+t 22|=2√2． [选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x +a +1|+|x −4a |,(a >0)．(Ⅰ)证明：f(x)≥5；(Ⅱ)若f(1)<6成立，求实数a 的取值范围．【解答】（1）证明：f(x)=|x +a +1|+|x −4a |≥|(x +a +1)−(x −4a )|=|a +1+4a |∵a >0，∴f(x)≥a +1+4a ≥2√a ⋅4a +1=5⋯．（2）由f(1)<6得：|a +2|+|1−4a |<6，∵a >0，∴|1−4a |<4−a ，|a−4|a <4−a ⋯①当a≥4时，不等式|a−4|a<4−a无解；②当a<4时，不等式|a−4|a <4−a，即1a<1，a>1，所以1<a<4综上，实数a的取值范围是(1, 4)。

2020年高中高三教学质量检测数 学 (理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 锥体的体积公式:13V Sh =.其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设U =R ，集合{}|1A y y x =≥，}{240B x Z x =∈-≤，则下列结论正确的是A ．}{2,1A B =--I B ． ()(,0)U A B =-∞U ðC ．[0,)A B =+∞UD ． }{()2,1U A B =--I ð 2．已知向量a =r ，(1,0)b =-r ，则|2|a b +=r rA ．1B.C. 2D. 43．如图：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、K 、L 分别为AB 、BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是4．已知i 是虚数单位，使(1)ni +为实数的最小正整数n 为A ．2B ．4C ．6D ．85．已知sin()sin ,0,352ππααα++=--<<则2cos()3πα+等于A ．45-B ．35-C ．35D ．456．下列说法中,不正确．．．的是ABC DABC D A 1B 1C 1D 1H G FK LEA ．“x y =”是“x y =”的必要不充分条件；B ．命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >；C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 不是偶数，则x y +不是偶数”；D ．命题:p 所有有理数都是实数,:q 正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题.7．已知实数,m n 满足01n m <<<,给出下列关系式 ①23mn= ②23log log m n = ③23m n = 其中可能成立的有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．设12,,,(4)n a a a n ≥L 是各项均不为零的等差数列，且公差0d ≠.设()n α是将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）为等比数列的最大的n 值，则()n α=A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)9. 某体育赛事志愿者组织有1000名志愿者，其中参加过2008北京奥运会志愿服务的有250名，新招募的2010年广州亚运会愿者750名.现用分层抽样的方法从中选出100名志愿者调查他们的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是 ．10. 已知函数2()(sin cos )1f x x x =+-，x ∈R ， 则()f x 的最小正周期是 ． 11. 右图给出的是计算201614121++++Λ的 值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是_________.12. 若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为_____.13．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}nb 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，第11题图则数列{}n n T 为等比数列,通项为____________________. (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）极坐标系中,直线l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=,则极点在直线l 上的射影的极坐标是____________．15．（几何证明选讲）如图,以4AB =为直径的圆与△ABC 的两边 分别交于,E F 两点，60ACB ∠=o，则EF = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知海岸边,A B 两海事监测站相距60 mile n ,为了测量海平面上两艘油轮,C D 间距离,在,A B 两处分别测得75CBD ∠=o,30ABC ∠=o , 45DAB ∠=o ,60CAD ∠=o （,,,A B C D 在同一个水平面内）.请计算出,C D 两艘轮船间距离．17．（本题满分12分）某市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度.通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次，并根据等级给予相应的奖惩（如下表）.某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等次的概率分别为111123824，，，，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、5-万元.设该企业当年因改造而增加利润为ξ.(Ⅰ)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少？ （Ⅱ）求ξ的数学期望.评估得分 (0,60)[)7060， [)8070， []10080，评定等级 不合格合格良好优秀奖惩（万元）80- 30 60 10018．（本题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r.（Ⅰ）当1λ=时，求证：平面11ABC D ⊥平面PDB ； （Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积 恒为定值；（Ⅲ）求异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值.第18题图第16题图CAEF第15题图19．（本题满分14分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）. （Ⅰ）若1,1a b ==-，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若2a b +=-，讨论函数()f x 的单调性．20．（本题满分14分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(x y C a a b-=12,C C 在第一象限的交点，且25AF =. (Ⅰ)求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆N ：22(2)1x y -+=.平面上有点P 满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线12,l l ，它们分别与圆,M N 相交，且直线1l 被圆M 截得的弦长与直线2l 被圆N 截得的弦长的比，试求所有满足条件的点P 的坐标.21．（本题满分14分）设0a >,函数21()f x x a=+. （Ⅰ）证明:存在唯一实数01(0,)x a∈，使00()f x x =；（Ⅱ）定义数列{}n x :10x =,1()n n x f x +=,*n N ∈.（i ）求证:对任意正整数n 都有2102n n x x x -<<； (ii) 当2a =时, 若10(2,3,4,)2k x k <≤=L ， 证明:对任意*m N ∈都有:1134m k k k x x +--<⋅.2020年高三教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）题号 12345678选项D C B B D C C A二、填空题（每题5分，共30分） 9．75 10． π 11．10?i > 12．94 1311n b -= 14． (2,)3π 15．2 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）解：方法一：在ABD ∆中，由正弦定理得：sinAD ABABD =∠，∴6060sin(3075)60sin 7541sin[180(453075)]sin 302AD +====-++o o oo o o o o…………………4分 同理，在在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC ABABC ACB =∠∠ 16060sin 302sin[180(453060)]sin 45AC ⨯====-++oo o o o o ……………………………………………8分∴计算出,AD AC 后，再在ACD ∆中，应用余弦定理计算出CD 两点间的距离：CD ==………………………………………………………10分===∴,C D 两艘轮船相距 mile n ．………………………………………………………………12分方法二：在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin BC ABBAC=∠，∴6060sin(6045)60sin 751)sin[180(456030)]sin 452BC +====-++o o oo o o o o…………………4分 同理，在在ABD∆中，由正弦定理得：BD ABADB=606060sin 45221sin[180(453075)]sin 302BD ====-++oo o o o o……………………………………8分 ∴计算出,BC BD 后，再在BCD ∆中，应用余弦定理计算出CD 两点间的距离：CD == ………………………………………………………10分== =∴,C D 两艘轮船相距 mile n ． ………………………………………………………12分 17．（本题满分12分）解：（Ⅰ）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为P ，则111123238248P ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为185,105,80,60,50,40,0,60,------则1612181)50(,612131)0(,412121)60(=⨯=-==⨯===⨯==ξξξP P P412121)40(,48121241)185(=⨯=-==⨯=-=ξξP P ，111111111(60),(80),(105)326821624248P P P ξξξ=-=⨯==-=⨯==-=⨯=则其分布列为10分第18题图 ∴1111115(60406050801851054616486E ξ=-⨯+-⨯+--⨯+--⨯=-）（）（）（）（万元） ………………………………………………………12分18．（本题满分12分）方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11AA D D ，又11AB ABC D ⊂∴平面11ABC D ⊥平面11AA D D ， ………………………2分 ∵1λ=时，P 为1AD 的中点，∴1DP AD ⊥， 又∵平面11ABC D I 平面11AA D D 1AD =， ∴DP ⊥平面11ABC D ，又DP ⊂平面PDB ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ．……………………………………………………4分 （Ⅱ）∵11//AD BC ， P 为线段1AD 上的点， ∴三角形1PBC 的面积为定值，即1122122PBC S ∆==，……………………………………………6分 又∵//CD 平面11ABC D ，∴点D 到平面1PBC 的距离为定值，即22h =， ……………………………………………………8分 ∴三棱锥1D BPC -的体积为定值，即111122133226D PBC PBC V S h -∆=⋅⋅=⨯=． 也即无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值16；……………………………………………10分（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知1B C ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，∴11B C C P ⊥， ……………………………………………12分 即异面直线1C P 与1CB 所成的角为定值90o，从而其余弦值为0．………………………………………14分 方法二、如图，以点D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系．（Ⅰ）当1λ=时，即点P 为线段1AD 的中点，则11(,0,)22P ，又(0,0,0)D 、(1,1,0)B∴11(,0,)22PD =--u u u r ，11(,1,)22PB =-u u u r ，设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r ，……………………1分则00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r r u u u r r r ，即11002211022x z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，令1y =，解得(1,1,1)n =-r ， ……………………2分 又∵点P 为线段1AD 的中点，∴1DP AD ⊥，∴DP ⊥平面11ABC D ，∴平面11ABC D 的法向量为11(,0,)22PD =--u u u r ， ……………………3分∵110022PD n ⋅=+-=u u u r r ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ， ………………………………………4分（Ⅱ）略；（Ⅲ）∵1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r ，∴1(,0,)11P λλλ++， ………………………………………11分又1(0,1,1)C 、(0,1,0)C 、1(1,1,1)B ，∴1(,1,)11C P λλλλ-=-++u u u r ，1(1,0,1)CB =u u u r ， ………………………………………12分∵110011C P CB λλλλ-⋅=++=++u u u r u u u r ………………………………………13分∴不管λ取值多少，都有11C P CB ⊥，即异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值为0.……………14分19．（本题满分12分）解：（Ⅰ）函数2()ln f x x x x =+-，则1()21f x x x'=+-，………………………………………1分 令()0f x '=，得1x =-（舍去），12x =. ……………………………………………2分 当102x <<时，()0f x '<，函数单调递减； ……………………………………………3分 当12x >时，()0f x '>，函数单调递增； ……………………………………………4分 ∴()f x 在12x =处取得极小值3ln 24+. ……………………………………………5分（Ⅱ）由于2a b +=-，则2a b =--，从而2()(2)ln f x x b x b x =-++，则(2)(1)()2(2)b x b x f x x b x x --'=-++=……………………………………………5分 令()0f x '=，得12bx =，21x =. ……………………………………………7分① 当02b≤，即0b <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；…8分② 当01b<<，即02b <<时，列表如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；…………………10分③ 当12b=，即2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；………………………………11分 ④当1b>，即2b >时，列表如下：所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2b +∞，单调递减区间为(1,)2b ； …………………13分综上：当02b≤，即0b <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； 当012b <<，即02b <<时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2b ，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b；当12b=，即2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； 当12b >，即2b >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2b +∞，单调递减区间为(1,)2b . ………………………………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ，∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ， ……………………………………………… 1分设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =， ………………………………………………2分∴2083y =⨯，∴0y =± ……………………………………………… 3分∴1||7AF ==， ……………………………………………… 4分 又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2|75|2a =-=，∴1a =， ……………………………………………… 5分∴双曲线的方程为：2213y x -=． ……………………………………………… 6分 （Ⅱ）设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为d ==，………………………………… 7分 故圆M ：22(2)3x y ++=， ………………………………… 8分 设点00(,)P x y ，则1l 的方程为00()y y k x x -=-，即000kx y kx y --+=，2l 的方程为001()y y x x k-=--，即000x ky x ky +--=，∴点M 到直线1l 的距离为1d =，点N 到直线2l 的距离为2d =，∴直线1l 被圆M 截得的弦长s = 直线2l 被圆N 截得的弦长t = ………………………………… 11分 由题意可得，s t ==2200003(2)(2)x ky k kx y +-=+-，00002k kx y -=+- ①00002k kx y -=--+②……… 12分由①得：0000(2)0x k y +-+-=， ∵该方程有无穷多组解，∴0000200x y ⎧+=⎪+-=，解得001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，点P 的坐标为．………………………………… 13分由②得：0000(2)0x k y ++--=，∵该方程有无穷多组解，∴0000200x y ⎧++=⎪--=，解得001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩P 的坐标为(1,．∴满足条件的点P 的坐标为或(1,． ………………………………… 14分21．（本题满分12分）（Ⅰ）证明: ①3()10f x x x ax =⇔+-=. ………………………………… 1分 令3()1h x x ax =+-,则(0)10h =-<,311()0h a a =>, ∴1(0)()0h h a⋅<. ………………………………… 2分 又/2()30h x x a =+>,∴3()1h x x ax =+-是R 上的增函数. ………………………………… 3分 故3()1h x x ax =+-在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点, 即存在唯一实数010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使00()f x x =. ………………………………… 4分 ②当1n =时, 10x =,211()(0)x f x f a ===,由①知010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即102x x x <<成立；………… 5分 设当(2)n k k =≥时, 2102k k x x x -<<,注意到21()f x x a=+在()0,+∞上是减函数,且0k x >, 故有:2102()()()k k f x f x f x ->>,即2021k k x x x +>>∴2021()()()k k f x f x f x +<<, ………………………………… 7分 即21022k k x x x ++<<.这就是说,1n k =+时,结论也成立.故对任意正整数n 都有:2102n n x x x -<<. ………………………………… 8分 (2)当2a =时,由10x =得:211()(0)2x f x f ===,2112x x -= ………………………………… 9分222132222221211122(2)(2)x x x x x x x x --=-=++++22121211114244x x x x x x -+⎛⎫<=⋅-= ⎪⎝⎭……………………………… 10分 当2k ≥时,102k x <≤Q , ∴22112222111122(2)(2)k k k k k k k k x x x x x x x x -+----=-=++++114k k k k x x x x ---+<14k k x x --< 2212321144k k k x x x x ---⎛⎫⎛⎫<⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 14k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ………………………………… 12分 对*m N ∀∈,1121()()()m k k m k m k m k m k k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-++-L 1121m k m k m k m k k k x x x x x x ++-+-+-+≤-+-++-L ………………………………… 13分1122111114444k k m m x x +--⎛⎫≤+++++- ⎪⎝⎭L 111114141141134343414m k k k k m k k x x x x ++--⎛⎫=-=⋅-⋅-<⋅= ⎪⋅⎝⎭- ………………………………… 14分。

2020年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集为R ，集合A ＝{x|−3<x <3}，B ＝{x|x 2−4x −5<0}，则A ∩∁R B ＝（ ） A.(−3, 0) B.(−3, −1] C.(−3, −1) D.(−3, 3)2.已知复数z 满足(1+2i)z ＝3−4i ，则|z ¯|=() A.√55 B.1 C.√5 D.53.设a ，b ，c 均为正数，且e a ＝−lna ，e −b ＝−lnb ，e −c ＝lnc ，则（ ） A.c <b <a B.c <a <bC.b <a <cD.a <b <c4.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图．有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（ ）A.①③B.②③C.①④D.②④5.函数f(x)=(x−1x+1)e x 的部分图象大致是（ ）A. B. C. D.6.已知cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则sin2β＝（ ） A.12B.√22C.√32D.17.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛．赛后，他们四个人预测名次的谈话如下：甲：“丙第一名，我第三名”； 乙：“我第一名，丁第四名”； 丙：“丁第二名，我第三名”；丁没有说话．最后公布结果时，发现他们预测都只猜对了一半，则这次竞赛甲、乙、丙、丁的名次依次是第（ ）名．A.一、二、三、四B.三、一、二、四C.三、一、四、二D.四、三、二、一8.在△ABC 中，AB →⋅BC →=0,|AB →|=|BC →|=3√2，AD →=2DC →，则BD →⋅CA →=() A.4 B.−6C.6D.−4√39.我国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩三，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余二，被七除余三，问该数为多少？”为解决此问题，某同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（ ）A.a−235∈Z B.a−221∈Z C.a−335∈Z D.a−215∈Z10.已知{a n }为等差数列，a 3＝52，S 7＝343，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大值时n 是（ ） A.19 B.20 C.39 D.4011.已知F 1，F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1的直线与圆x 2+y 2＝a 2相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F 1T →=TP →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A.x ±y ＝0 B.2x ±3y ＝0 C.3x ±2y ＝0 D.x ±2y ＝012.已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝5，AC =BD =√34，AD =BC =√41，O 为其外接球球心，AO 与AB ，AC ，AD 所成的角分别为α，β，γ．有下列结论：①该四面体的外接球的表面积为50π②该四面体的体积为10③cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝1④∠BAC +∠CAD +∠DAB ＝180∘ 其中所有正确结论的编号为（ ） A.①④ B.①② C.②③ D.③④二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上） 13.若曲线y ＝e −x 上点P 到直线x +y +1＝0的最短距离是________√2．14.在数列{a n }中，a 1＝1，a n+2+(−1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 40＝________．15.习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，我市某示范性高中安排5名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人．则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为________．16.阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足|PA||PB|=t(t >0且t ≠1)为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆O:x 2+y 2＝1和A(−12,0)，若定点B(b, 0)(b ≠−12)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB 面积的最大值为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=√3sinB且b＝c．（1）求角A的大小；（2）若a＝2√3，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．18.如图，在三棱锥P−ABC中，△PAC为正三角形，M为棱PA的中点，AB⊥AC，AC=12BC，平面PAB⊥平面PAC（1）求证：平面ABC⊥平面PAC；（2）若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为√217，求二面角Q−MC−A的正弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,√2)，离心率为√22．（1）求E的方程；（2）过点P斜率为k1，k2的两条直线分别交椭圆E于A，B两点，且满足k1+k2＝0．证明：直线AB的斜率为定值．20.已知函数f(x)=lnx+ax+x．（1）讨论函数f(x)的单调性；,+∞)，xf(x)<e x+x2恒成立，请求出a的取值范围．（2）对任意的x∈(1221.某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量．当Z≥8时，产品为优等品；当6≤Z<8时，产品为一等品；当2≤2<6时，产品为二等品第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标z的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X元，求X的分布列与数学期望：（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖“活动，客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、．方格图上标有第0格、第1格、第2格…50机器人开始在反面的概率都是12第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从k到k+1），若携出反面，机器人向前移动两格（从k到k+ 2），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营“，则可获得优惠券，设机器人移到第n格的概率为P n(0≤n≤50, n∈N∗)，试证明{P n−P n+1}(1≤n≤49, n∈N∗)是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买：该款产品．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在极坐标系中，射线l:θ=π6与圆C:ρ＝2交于点A ，椭圆E 的方程为：ρ2=31+2sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角标系xOy ．（1）求点A 的直角坐标和椭圆E 的直角坐标方程；（2）若B 为椭圆E 的下顶点，M 为椭圆E 上任意一点，求AB →⋅AM →的最大值．23.已知函数f(x)＝|x +a|+2|x −1|(a >0)． （1）当a ＝1时，求不等式f(x)>4的解集；（2）若不等式f(x)>4−2x 对任意的x ∈[−3, −1]恒成立，求a 的取值范围．2020年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集为R ，集合A ＝{x|−3<x <3}，B ＝{x|x 2−4x −5<0}，则A ∩∁R B ＝（ ） A.(−3, 0) B.(−3, −1] C.(−3, −1) D.(−3, 3)【解答】∵A ＝{x|−3<x <3}，B ＝{x|−1<x <5}， ∴∁R B ＝{x|x ≤−1或x ≥5}，A ∩∁R B ＝(−3, −1]． 2.已知复数z 满足(1+2i)z ＝3−4i ，则|z ¯|=() A.√55 B.1 C.√5 D.5【解答】∵(1+2i)z ＝3−4i ， ∴z =3−4i 1+2i =−1−2i ， ∴|z ¯|＝−1+2i ，∴|z ¯|=|−1+2i|=√1+4=√5，3.设a ，b ，c 均为正数，且e a ＝−lna ，e −b ＝−lnb ，e −c ＝lnc ，则（ ） A.c <b <a B.c <a <bC.b <a <cD.a <b <c【解答】在同一坐标系中分别画出y ＝e x ，y ＝e −x ，y ＝lnx ，y ＝−lnx 的图象， y ＝e x 与y ＝−lnx 的交点的横坐标为a ， y ＝e −x 与y ＝−lnx 的图象的交点的横坐标为b ， y ＝e −x 与y ＝lnx 的图象的交点的横坐标为c ， 从图象可以看出b <a <c ．4.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图．有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（ ）A.①③B.②③C.①④D.②④【解答】甲的中位数为28，乙的中位数为29，故①不正确； 甲的平均数为28，乙的平均数为29，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确 5.函数f(x)=(x−1x+1)e x 的部分图象大致是（ ）A. B. C. D.【解答】当x →−∞时，e x →0+,x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f(x)→0+，排除C ，D ； 因为x →+∞时，e x →+∞,x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f(x)→+∞，因此排除B ， 6.已知cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则sin2β＝（ ） A.12 B.√22C.√32D.1【解答】因为α，β均为锐角，所以β−α∈(−π2,π2)，所以cos(β−α)=3√1010，sinα=2√55， 由sinβ＝sin[α+(β−α)]＝sinαcos(β−α)+cosαsin(β−α) =2√55⋅3√1010+√55⋅(−√1010)=√22， 所以sinβ=√22，cosβ=√22， 所以sin2β＝2sinβcosβ＝1，7.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛．赛后，他们四个人预测名次的谈话如下：甲：“丙第一名，我第三名”；乙：“我第一名，丁第四名”； 丙：“丁第二名，我第三名”；丁没有说话．最后公布结果时，发现他们预测都只猜对了一半，则这次竞赛甲、乙、丙、丁的名次依次是第（ ）名． A.一、二、三、四 B.三、一、二、四 C.三、一、四、二D.四、三、二、一【解答】由题意，他们预测都只猜对了一半， 则甲的猜测也是对一半，错一半．假设甲猜的丙第一名正确，则甲猜的自己第三名错误； 则乙猜的乙第一名错误，则乙猜的丁第四名正确； 则丙猜的丙第三名错误，则丙猜的丁第二名正确． 由此可见，丁既是第二名，又是第四名， 故此假设不正确．故甲猜的丙第一名错误，则甲猜的自己第三名正确； 则丙猜的丙第三名错误，则丙猜的丁第二名正确． 则乙猜的丁第四名错误，则乙猜的乙第一名正确； 故甲第三名，乙第一名，丙第四名，丁第二名．8.在△ABC 中，AB →⋅BC →=0,|AB →|=|BC →|=3√2，AD →=2DC →，则BD →⋅CA →=() A.4 B.−6 C.6 D.−4√3【解答】如图，由AD →=2DC →得BD →=AD →−AB →=23AC →+BA →=23(BC →−BA →)+BA →=23BC →+13BA →，CA →=BA →−BC →，又∵AB →⋅BC →=0，|AB →|=|BC →|=3√2， ∴BD →⋅CA →=(23BC →+13BA →)⋅(BA →−BC →) =−2BC →2+1BA →2=−23×18+13×18＝−6．9.我国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩三，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余二，被七除余三，问该数为多少？”为解决此问题，某同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（ ）A.a−235∈Z B.a−221∈ZC.a−335∈ZD.a−215∈Z【解答】由题意，判断框内应该判断a 的值是否同时能被三除余二，被五除余二，被3和5整除余2的数即是被15整除余2的数 即判断a−215是否为整数；10.已知{a n }为等差数列，a 3＝52，S 7＝343，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大值时n 是（ ） A.19 B.20 C.39 D.40【解答】由S 7＝7a 4＝343，得a 4＝49， 所以d ＝a 4−a 3＝49−52＝−3， a 1＝a 3−2d ＝52−2×(−3)＝58， 所以a n ＝a 1+(n −1)d ＝−3n +61． 由{a n ≥0a n+1≤0，得n ＝20．11.已知F 1，F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1的直线与圆x 2+y 2＝a 2相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F 1T →=TP →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A.x ±y ＝0 B.2x ±3y ＝0 C.3x ±2y ＝0 D.x ±2y ＝0【解答】连PF 2，过F 2作F 2Q // OT ，若2F 1T →=TP →，则易知|OF1|＝c，|OT|＝a，|TF1|＝|TQ|＝|QP|＝b，|QF2|＝2a，|PF2|＝|PF1|−2a＝3b−2a，所以在Rt△PQF2中，(3b−2a)2＝(2a)2+b2，整理得ba =32，所以渐近线方程为y=±32x，即3x±2y＝0，12.已知四面体ABCD中，AB＝CD＝5，AC=BD=√34，AD=BC=√41，O为其外接球球心，AO与AB，AC，AD所成的角分别为α，β，γ．有下列结论：①该四面体的外接球的表面积为50π②该四面体的体积为10③cos2α+cos2β+cos2γ＝1④∠BAC+∠CAD+∠DAB＝180∘其中所有正确结论的编号为（）A.①④B.①②C.②③D.③④【解答】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以5，√34，√41为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝25，x2+z2＝34，y2+z2＝41，则有(2R)2＝x2+y2+z2＝50（R为球的半径），对于①，球的表面积为S＝4πR2＝50π．故正确．由上可知x2＝x2+y2+z2−(y2+z2)＝50−41＝9，x＝3y2＝x2+y2+z2−(x2+z2)＝50−34＝16，y＝4，z2＝x2+y2+z2−(x2+y2)＝50−25＝25，x＝5，对于②，四面体ABCD体积为xyz−4×13×12xyz=13xyz=13×3×4×5=20，故错．对于，③cos2α+cos2β+cos2γ=1AB2AE2+AC2AE2+AD2AE2=25+41+3432+42+52=2，故错．对于④，∠BAC，∠CAD，∠DAB是边长为5，√34，√41的三角形的三个内角，故正确．二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上）若曲线y＝e−x上点P到直线x+y+1＝0的最短距离是________√2．【解答】y＝e−x的导数为y′＝−e−x，设在P(m, n)处的切线平行于直线x+y+1＝0，即有−e−m＝−1得m＝0，n＝1，即有切点为P(0, 1)，可得最短距离为点P(0, 1)到直线x+y+1＝0的距离d=√2=√2，在数列{a n}中，a1＝1，a n+2+(−1)n a n＝1，记S n是数列{a n}的前n项和，则S40＝________．【解答】在数列{a n}中，a1＝1，a n+2+(−1)n a n＝1，当是n奇数时，a n+2−a n＝1，数列{a n}中奇数项构成等差数列，当n是偶数时，a n+2+a n＝1，=20a1+20×192×1+10=220．习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，我市某示范性高中安排5名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人．则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为________．【解答】总的基本事件数为n=C52C32A22×A33+C53A33=150，杨老师与李老师在一组所含的基本事件数为m=C31×A33+C32A33=36，∴李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为p=mn =625．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P到两定点A，B的距离之满足|PA||PB|=t(t>0且t≠1)为常数，则P点的轨迹为圆．已知圆O:x2+y2＝1和A(−12,0)，若定点B(b, 0)(b≠−12)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________34．【解答】设点M(x, y)，由|MB|＝λ|MA|，得(x−b)2+y2=λ2[(x+12)2+y2]，整理得x2+y2−2b+λ21−λ2x+b2−14λ21−λ2=0，所以{2b+λ21−λ2=0b2−14λ2 1−λ2=−1解得λ＝2，b＝−2如右图，当M(0, 1)或M(0, −1)时，(S△MAB)max=34．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=√3sinB且b＝c．（1）求角A的大小；（2）若a＝2√3，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．【解答】由sinA=√3sinB及正弦定理知a=√3b，又b＝c，由余弦定理得cosA=b 2+c2−a22bc=b2+b2−3b22b2=−12，A∈(0, π)，A=2π3；由（1）知B＝C=π6，又a＝2√3，在△ABC中，由正弦定理知：AB＝2，在△ABD中，由正弦定理ABsinD =ADsin∠ABD及∠ABD=π12，∠BDC=π4解得AD=√3−1，故S△ABD=12⋅AB⋅AD⋅sin2π3=12⋅2⋅(√3−1)⋅√32=3−√32．如图，在三棱锥P−ABC中，△PAC为正三角形，M为棱PA的中点，AB⊥AC，AC=12BC，平面PAB⊥平面PAC（1）求证：平面ABC ⊥平面PAC ；（2）若Q 是棱AB 上一点，PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为√217，求二面角Q −MC −A 的正弦值． 【解答】证明：因为△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，所以CM ⊥PA ， 又平面PAB ⊥平面PAC ，且平面PAB ∩平面PAC ＝PA ， 所以CM ⊥平面PAB ，所以CM ⊥AB ，又AB ⊥AC ，且AC ∩CM ＝C ， 所以AB ⊥平面PAC ， 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面PAC ．作AC 中点O ，连OP ，由（1）及OP ⊥AC 可知OP ⊥平面ABC以O 为坐标原点，OA ，OP 分别为x ，z 轴，过O 且平行于AB 的方向为y 轴，如图，建立空间直角坐标系．设AC ＝2则O(0,0,0),P(0,0,√3),A(1,0,0),C(−1,0,0)，M(12,0,√32),B(1,2√3,0)， 设AQ →⊥λAB →，则Q(1,2√3λ,0)，PQ →=(1,2√3λ,−√3)， 设平面ABC 的法向量为n 1→=(0, 0, 1)， 因为PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为√217所以|n 1→⋅PQ →||n 1→||PQ →|=√217，即√3√12λ2+4=√217，解得λ=12即Q 为AB 的中点，则Q(1,√3,0)，设平面QMC 的法向量为n 2→=(x, y, z)，则{n 2→⋅CQ→=0n 2→⋅CM→=0，即{(x,y,z)⋅(2,√3,0)=0(x,y,z)⋅(32,0,√32)=0 ，{2x +√3y =03x +√3z =0，取n 2→=(√3,−2,−3)，设平面AMC 的法向量为n 3→，则n 3→=(0, 1, 0) 则二面角Q −MC −A 的余弦值为cosθ=−n 2→⋅n 3→|n 2→||n 3→|=12，故sinθ=√32． 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P(2,√2)，离心率为√22． （1）求E 的方程；（2）过点P 斜率为k 1，k 2的两条直线分别交椭圆E 于A ，B 两点，且满足k 1+k 2＝0．证明：直线AB 的斜率为定值． 【解答】 依题意，e =ca=√1−b 2a =√22，所以b 2a =12，又椭圆E 过点P(2,√2)，所以4a 2+2b 2=1， 解得a 2＝8，b 2＝4， 所以椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．证明：方法一：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AP 的方程为y =k(x −2)+√2， 由{y =k(x −2)+√2x 2+2y 2=8，消去y 得(2k 2+1)x 2−(8k 2−4√2k)x +8k 2−8√2k −4=0， 所以x 1+x P =x 1+2=8k 2−4√2k 2k 2+1，所以x 1=4k 2−4√2k−22k 2+1，又因为直线PA ，PB 的斜率互为相反数，x 2=4k 2+4√2k−22k +1，2√2)−(kx 1√2)x 2−x 121x 2−x 18k 2−42k 2+1⋅(−k)+4k 8√2k 2k 2+1√22， 所以直线AB 的斜率为定值√22． 已知函数f(x)=lnx +ax +x ． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）对任意的x ∈(12,+∞)，xf(x)<e x +x 2恒成立，请求出a 的取值范围． 【解答】f ′(x)=1x −ax 2+1=x 2+x−a x 2，x >0，当a ≤0时，f ′(x)>0，f(x)在(0, +∞)递增；当a >0时，对于y ＝x 2+x −a ，△＝1+4a >0，故y ＝0有在x >0时，有一个解m =−1+√1+4a2，当x ∈(0, m)时，f ′(x)<0，f(x)递减； 当x ∈(m, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)递增； 综上，当a ≤0时，f(x)在(0, +∞)递增； 当a >0时，f(x)在(−1+√1+4a2, +∞)递增；在(0, −1+√1+4a2)递减；根据题意，任意的x ∈(12,+∞)，xf(x)<e x +x 2恒成立，即xlnx +a <e x ， 分离参数得a <e x −xlnx ，令g(x)＝e x −xlnx ，x ∈(12,+∞)，g ′(x)＝e x −lnx −1，g ′′(x)=e x −1x 单调递增，g ′′(12)=√e −2<0，g ′′(1)＝e −1>0， 故存在唯一的零点n ∈(12,1)，e n =1n ，当x ∈(12, n)时，g ′′(x)<0，g ′(x)递减，当x ∈(n, +∞)时，g ′′(x)>0，g ′(x)递增，故g ′(x)min ＝g(n)=e n −lnn −1=1n +n −1>2−1=1>0， 故g(x)在x ∈(12,+∞)递增，故a <g(12)=√e −12ln 12=√e +21n2．某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z 来衡量产品的质量．当Z ≥8时，产品为优等品；当6≤Z <8时，产品为一等品；当2≤2<6时，产品为二等品第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标z 的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率； （2）现某人决定购买80件该产品已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X 元，求X 的分布列与数学期望：（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖“活动，客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是12．方格图上标有第0格、第1格、第2格…50机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从k 到k +1），若携出反面，机器人向前移动两格（从k 到k +2），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营“，则可获得优惠券，设机器人移到第n 格的概率为P n (0≤n ≤50, n ∈N ∗)，试证明{P n −P n+1}(1≤n ≤49, n ∈N ∗)是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买：该款产品． 【解答】根据条形图可知，优等品的频率为121+87+42500=12，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为P =12． 由（1）任取一件产品为优等品的概率为12， 由题意X ＝(1600−1000)×80−250×4＝47000． 或X ＝(1500−1000)×80−250×4＝39000．P(X ＝47000)=∁44(12)4+∁43(12)4=516． P(X ＝39000)=∁40(12)4+∁41(12)4+∁42(12)4=1116．故X 的分布列为：所以数学期望EX ＝47000×516+39000×1116=41500．机器人在第0格为必然事件，P 0＝1，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率P 1=12．机器人移到第n(2≤n ≤49)格的情况只有两种： ①先到第n −2格，又出现反面，其概率12P n−2， ②先到第n −1格，又出现正面，其概率12P n−1． 所以P n =12P n−1+12P n−2， 故P n −P n−1=−12(P n−1−12P n−2)，所以1≤n ≤49时，数列{P n−1−P n−2}为首项P 1−P 0=−12，公比为−12的等比数列．所以P 1−P 0=−12，P 2−P 1=(−12)2，P 3−P 2=(−12)3，……，P n −P n−1=(−12)n ．以上各式累加，得P n −1=−12+(−12)2+(−12)3+⋯+(−12)n=−12[1−(−12)n ]1−(−12)．∴P n =23+13(−12)n．(n ＝0, 1, 2,……,49)．∴获胜概率P 49=23+13(−12)49．失败概率P 50=12P 48=13[1−(−12)49]=13[1+(12)49]．P 49−P 50=23+13(−12)49−13[1+(12)49]=13[1−(12)48]>0，所以获胜概率更大，故此方案能吸引顾客购买该款产品．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．在极坐标系中，射线l:θ=π6与圆C:ρ＝2交于点A ，椭圆E 的方程为：ρ2=31+2sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角标系xOy ．（1）求点A 的直角坐标和椭圆E 的直角坐标方程；（2）若B 为椭圆E 的下顶点，M 为椭圆E 上任意一点，求AB →⋅AM →的最大值．【解答】∵射线l:θ=π6与圆C:ρ＝2交于点A ，∴点A 的直角坐标(√3,1)，∴椭圆E 的方程为ρ2=31+2sin 2θ，∴直角坐标方程为x 23+y 2=1． 由（1）椭圆E 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ，（θ为参数）．设M(√3cosθ,sinθ)， ∵B(0, −1)，∴AB →=(−√3,−2)，AM →=(√3cosθ−√3,sinθ−1)，∴AB →⋅AM →=−3cosθ+3−2(sinθ−1)=−√13sin(θ+φ)+5， 当sin(θ+φ)＝−1时，AB →⋅AM →的最大值为√13+5． 已知函数f(x)＝|x +a|+2|x −1|(a >0)． （1）当a ＝1时，求不等式f(x)>4的解集；（2）若不等式f(x)>4−2x 对任意的x ∈[−3, −1]恒成立，求a 的取值范围． 【解答】当a ＝1时，f(x)＝|x +1|+2|x −1|，∴f(x)>4等价于{x ≤−1−3x +1>4 或{−1<x ≤1−x +3>4 或{x >13x −1>4 ，解得x <−1或x >53，∴不等式的解集为{x|x <−1或x >53}；当x ∈[−3, −1]时，由f(x)>4−2x 得|x +a|+2−2x +2x −4>0 即|x +a|>2，∴a >2−x 或a <−2−x 对任意的x ∈[−3, −1]恒成立， 又(2−x)max ＝5，(−2−x)min ＝−1， ∴a <−1或a >5，又a >0，∴a >5， ∴a 的取值范围为：(5, +∞)．。

2020届高三第一次统一测试理科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}22|≤≤-=x x B ，则A B =I （ ） A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,22. 若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ）A ．25BC ．5D ．173. 设S n 是等差数列{n a }的前n 项和，12a ＝－8,S 9＝－9,则S 16= ( )A ．－72B ．72 Ｃ．36 Ｄ．－364．设向量→a ，→b ,满足2||2||==→→b a 且1|32|=+→→b a ，则向量→a 在向量→b 方向的投影为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 25()cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A ．773 B ．37 C ．77D 6.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（ ） A ．a b d c >>> B ．c a d b >>> C ．d c a b >>>D ．c d a b >>>7.若βα,是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的（ ）条件A.充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 8．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为( ) A.255 B.35 C.45 D.559．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)3()5(-=+x f x f ，如果当[)4,0∈x 时，)2(log )(2+=x x f ，则)766(f =（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．210.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.π12B.π6C.π3D.5π611.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是（ ）A.),2()1,(+∞--∞YB. )2,1(-C.)1,2(-D.),1()2,(+∞--∞Y 12．已知函数()e sin x f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞（Ⅱ卷 非选择题 满分90分）二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = 15.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别c b a ,,，若ABC ∆的面积为)(21222b a c --则内角C 的余弦值=16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分.17．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()2n n S a n n =-∈*N ． （1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求()13521n a a a a n +++++∈*N L ．18.（本题满分12分）已知ABC ∆是斜三角形，内角C B A ,,所对的边的长分别为c b a ,,，且C a A c cos 3sin =（1）求角C;（2）若A A B C c 2sin 5)sin(sin ,21=-+=,求ABC ∆的面积。

2020年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集为R ，集合{|33}A x x =-<<，2{|450}B x x x =--<，则(RAB =)A ．(3,0)-B ．(3-，1]-C ．(3,1)--D ．(3,3)-【分析】可以求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【解答】解：{|33}A x x =-<<，{|15}B x x =-<<，{|1R B x x ∴=-或5}x ，(3RAB =-，1]-．故选：B ．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知复数z 满足(12)34i z i +=-，则||(z = )A B ．1 C D ．5【分析】化简复数，即可求出||z ． 【解答】解：(12)34i z i +=-， 341212iz i i-∴==--+， ||12z i ∴=-+，∴|||12|z i =-+==，故选：C ．【点评】本题考查复数的化简，考查复数的模，考查学生的计算能力，比较基础． 3．（5分）设a ，b ，c 均为正数，且a e lna =-，b e lnb -=-，c e lnc -=，则( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【分析】在同一坐标系中分别画出x y e =，x y e -=，y lnx =，y lnx =-的图象，数形结合能判断三个数的大小．【解答】解：在同一坐标系中分别画出x y e =，x y e -=，y lnx =，y lnx =-的图象，x y e =与y lnx =-的交点的横坐标为a ， x y e -=与y lnx =-的图象的交点的横坐标为b ， x y e -=与y lnx =的图象的交点的横坐标为c ， 从图象可以看出a b c <<． 故选：D ．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图．有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【分析】根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得． 【解答】解：甲的中位数为28，乙的中位数为29，故①不正确；甲的平均数为28，乙的平均数为29，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确 故选：B ．【点评】本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果．5．（5分）函数1()()1xx f x e x -=+的部分图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【分析】利用趋近性结合排除法即可得到答案． 【解答】解：当x →-∞时，120,1111x x e x x ++-→=-→++，所以()0f x +→，排除C ，D ； 因为x →+∞时，12,1111x x e x x +-→+∞=-→++，所以()f x →+∞，因此排除B ， 故选：A ．【点评】本题考查由函数解析式确定函数图象，解决这类题的方法一般是从单调性，奇偶性，特殊点及趋近性等角度，运用排除法求解，属于基础题． 6．（5分）已知5cos α=10sin()βα-=α，β均为锐角，则sin 2(β= ) A ．12B 2C 3D ．1【分析】因为α，β均为锐角，所以(,)22ππβα-∈-，所以310cos()βα-=25sin α=，由sin sin[()]sin cos()cos sin()βαβααβααβα=+-=-+-求出sin β，再求出cos β，代入即可．【解答】解：因为α，β均为锐角，所以(,)22ππβα-∈-，所以310cos()βα-=，25sin α， 由sin sin[()]βαβα=+-sin cos()cos sin()αβααβα=-+- 53105102()105102=+-=所以sin β=cos β=， 所以sin 22sin cos 1βββ==， 故选：D ．【点评】考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的公式的应用，中档题． 7．（5分）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛．赛后，他们四个人预测名次的谈话如下： 甲：“丙第一名，我第三名”； 乙：“我第一名，丁第四名”； 丙：“丁第二名，我第三名”；丁没有说话．最后公布结果时，发现他们预测都只猜对了一半，则这次竞赛甲、乙、丙、丁的名次依次是第( )名．A ．一、二、三、四B ．三、一、二、四C ．三、一、四、二D ．四、三、二、一【分析】本题可采用假设法，先假设甲猜的丙第一名正确，则甲猜的自己第三名错误，由此进行推理可得矛盾；从而有甲猜的丙第一名错误，则甲猜的自己第三名正确，由此进行推理可得结果．【解答】解：由题意，他们预测都只猜对了一半， 则甲的猜测也是对一半，错一半．假设甲猜的丙第一名正确，则甲猜的自己第三名错误； 则乙猜的乙第一名错误，则乙猜的丁第四名正确； 则丙猜的丙第三名错误，则丙猜的丁第二名正确． 由此可见，丁既是第二名，又是第四名， 故此假设不正确．故甲猜的丙第一名错误，则甲猜的自己第三名正确； 则丙猜的丙第三名错误，则丙猜的丁第二名正确． 则乙猜的丁第四名错误，则乙猜的乙第一名正确； 故甲第三名，乙第一名，丙第四名，丁第二名． 故选：C ．【点评】本题主要考查假设法与合情推理的应用，考查了逻辑推理的能力．本题属中档题．8．（5分）在ABC ∆中，0,||||32AB BC AB BC ===，2AD DC =，则(BD CA = ) A ．4B ．6-C ．6D ．43-【分析】可画出图形，根据2AD DC =即可得出2133BD BC BA =+，并得出CA BA BC =-，从而得出21()()33BD CA BC BA BA BC =+-，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，由2AD DC =得2221()3333BD AD AB AC BA BC BA BA BC BA =-=+=-+=+，CA BA BC =-， 又0AB BC =，||||32AB BC ==，∴21()()33BD CA BC BA BA BC =+-222133BC BA =-+21181833=-⨯+⨯6=-．故选：B ．【点评】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．9．（5分）我国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩三，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余二，被七除余三，问该数为多少？”为解决此问题，某同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入( )A ．235a Z -∈ B ．221a Z -∈ C ．335a Z -∈ D ．215a Z -∈ 【分析】【分析】由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，根据输出的a 的条件可得答案．【解答】解：由题意，判断框内应该判断a 的值是否同时能被三除余二，被五除余二，被3和5整除余2的数即是被15整除余2的数 即判断215a -是否为整数； 故选：D ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．（5分）已知{}n a 为等差数列，352a =，7343S =，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是( ) A ．19B ．20C ．39D ．40【分析】由747343S a ==，得449a =，求出4349523d a a =-=-=-，132522(3)58a a d =-=-⨯-=，由此能求出使得n S 达到最大值时n 的值．【解答】解：由747343S a ==，得449a =， 所以4349523d a a =-=-=-， 132522(3)58a a d =-=-⨯-=，所以1(1)361n a a n d n =+-=-+．由100n n a a +⎧⎨⎩，得20n =．故选：B ．【点评】本题考查使得n S 达到最大值时n 的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（5分）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若12FT TP =，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．0x y ±=B ．230x y ±=C ．320x y ±=D ．20x y ±=【分析】连2PF ，过2F 作2//F Q OT ，结合向量共线定理和三角形的中位线定理，双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a ，b 的关系，进而得到所求渐近线方程． 【解答】解：连2PF ，过2F 作2//F Q OT ，若12FT TP =， 则易知1||OF c =，||OT a =，1||||||TF TQ QP b ===， 2||2QF a =，21||||232PF PF a b a =-=-，所以在2Rt PQF ∆中，222(32)(2)b a a b -=+，整理得32b a =， 所以渐近线方程为32y x =±，即320x y ±=，故选：C ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量共线定理和三角形的中位线定理的运用，考查化简运算能力，属于中档题．12．（5分）已知四面体ABCD 中，5AB CD ==，34AC BD ==，41AD BC ==，O 为其外接球球心，AO 与AB ，AC ，AD 所成的角分别为α，β，γ．有下列结论： ①该四面体的外接球的表面积为50π②该四面体的体积为10 ③222cos cos cos 1αβγ++=④180BAC CAD DAB ∠+∠+∠=︒ 其中所有正确结论的编号为( ) A ．①④B ．①②C ．②③D ．③④【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以5x ，y ，z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥．从而可得到一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且2225x y +=，2234x z +=，2241y z +=，求出x ，y ，z 即可．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以5 且以分别x ，y ，z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥 从而可得到一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体， 并且2225x y +=，2234x z +=，2241y z +=， 则有2222(2)50(R x y z R =++=为球的半径）， 对于①，球的表面积为2450S R ππ==．故正确． 由上可知222222()50419x x y z y z =++-+=-=，3x =222222()503416y x y z x z =++-+=-=，4y =， 222222()502525z x y z x y =++-+=-=，5x =，对于②，四面体ABCD 体积为11114345203233xyz xyz xyz -⨯⨯==⨯⨯⨯=，故错．对于，③222222222222254134cos cos cos 12345AB AC AD AE AE AE αβγ++++==++==++，故错．对于④，BAC ∠，CAD ∠，DAB ∠是边长为5 故选：A ．【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题． 二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上） 13．（5分）若曲线x y e -=上点P 到直线10x y ++=的最短距离是2 ．【分析】求得函数y 的导数，设在(,)P m n 处的切线平行于直线10x y ++=，可得切线的斜率，解方程可得m ，n ，再由点到直线的距离公式可得所求距离． 【解答】解：x y e -=的导数为x y e -'=-， 设在(,)P m n 处的切线平行于直线10x y ++=， 即有1m e --=-得0m =，1n =， 即有切点为(0,1)P ，可得最短距离为点(0,1)P 到直线10x y ++=的距离22d ==2【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率即为函数在该点处的导数，考查点到直线的距离公式，化简运算能力，属于基础题．14．（5分）在数列{}n a 中，11a =，2(1)1n n n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则40S = 220 ．【分析】利用数列的递推关系式，通过n 为奇数与偶数，判断数列特征，然后求解数列的和即可．【解答】解：在数列{}n a 中，11a =，2(1)1n n n a a ++-=， 当是n 奇数时21n n a a +-=，数列{}n a 中奇数项构成等差数列， 当n 是偶数时21n n a a ++=，401353924640()()S a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+12019201102202a ⨯=+⨯+=． 故答案为：220．【点评】考查数列的的通项公式的应用，数列分组求和的方法，是基本知识的考查． 15．（5分）习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，我市某示范性高中安排5名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人．则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为625． 【分析】总的基本事件数为223335335322150C C n A C A A =⨯+=，杨老师与李老师在一组所含的基本事件数为1323333336m C A C A =⨯+=，由此能求出李老师与杨老师安排去同一个学校的概率． 【解答】解：总的基本事件数为223335335322150C C n A C A A =⨯+=， 杨老师与李老师在一组所含的基本事件数为1323333336m C A C A =⨯+=， ∴李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为625m p n ==． 故答案为：625． 【点评】本题考查概率的求法，考查组合问题等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是基础题．16．（5分）阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ= 2 ，MAB ∆面积的最大值为 ．【分析】画出图形，通过||||MB MA λ=，求解轨迹方程，推出λ，然后求解三角形的面积． 【解答】解：设点(,)M x y ，由||||MB MA λ=，得222221()[()]2x b y x y λ-+=++，整理得2222222124011b b x y x λλλλ-++-+=--， 所以222222011411b b λλλλ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩解得2λ=，2b =-如右图，当(0,1)M 或(0,1)M -时，3()4MAB max S ∆=． 故答案为：2；34．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程的应用，转化思想以及计算能力，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 3sin A B 且b c =． （1）求角A 的大小；（2）若23a =B 的平分线交AC 于点D ，求ABD ∆的面积． 【分析】（1）由正弦定理及其余弦定理，求出角A 即可； （2）由（1）求出B ，C ，再由sin sin AB AD D ABD =∠及12ABD π∠=，4D π∠=，求出AD ，再求出面积．【解答】解：（1）由sin 3sin A B 及正弦定理知3a b =，又b c =，由余弦定理得222222231cos 222b c a b b b A bc b +-+-===-， (0,)A π∈，23A π=； （2）由（1）知6B C π==，又23a =，在ABC ∆中，由正弦定理知：2AB =， 在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB AD D ABD =∠及12ABD π∠=，4BDC π∠= 解得31AD =-， 故121333sin 2(31)23222ABD S AB AD π∆-==-=． 【点评】考查正余弦定理的应用，中档题．18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，12AC BC =，平面PAB ⊥平面PAC （1）求证：平面ABC ⊥平面PAC ；（2）若Q 是棱AB 上一点，PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为217，求二面角Q MC A --的正弦值．【分析】（1）证明CM PA ⊥，推出CM ⊥平面PAB ，得到CM AB ⊥，结合AB AC ⊥，推出AB ⊥平面PAC ，然后证明平面ABC ⊥平面PAC ．（2）作AC 中点O ，连OP ，以O 为坐标原点，OA ，OP 分别为x ，z 轴，过O 且平行于AB 的方向为y 轴，如图，建立空间直角坐标系．求出平面ABC 的法向量，平面QMC 的法向量利用空间向量的数量积求解二面角Q MC A --的余弦值，然后求解正弦函数值即可． 【解答】（1）证明：因为PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，所以CM PA ⊥， 又平面PAB ⊥平面PAC ，且平面PAB ⋂平面PAC PA =， 所以CM ⊥平面PAB ，所以CM AB ⊥，又AB AC ⊥，且AC CM C =，所以AB ⊥平面PAC ， 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面PAC ．（2）作AC 中点O ，连OP ，由（1）及OP AC ⊥可知OP ⊥平面ABC以O 为坐标原点，OA ，OP 分别为x ，z 轴，过O 且平行于AB 的方向为y 轴，如图，建立空间直角坐标系．设2AC =则(0,0,0),(0,0,3),(1,0,0),(1,0,0)O P A C -，13(,0,(1,23,0)2M B ，设AQ AB λ⊥，则3,0)Q λ，(1,23,3)PQ λ=-， 设平面ABC 的法向量为1(0n =，0，1)， 因为PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为217所以11||217||||n PQ n PQ =23217124λ=+，解得12λ=即Q 为AB 的中点，则3,0)Q ，设平面QMC 的法向量为2(n x =，y ，)z ，则2200n CQ n CM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即(,,)(2,3,0)033(,,)(,0,)022x y z x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，230330x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 取2(3,2,3)n =--，设平面AMC 的法向量为3n ，则3(0n =，1，0) 则二面角Q MC A --的余弦值为23231cos 2||||n n n n θ=-=， 故3sin θ=【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点P ，． （1）求E 的方程；（2）过点P 斜率为1k ，2k 的两条直线分别交椭圆E 于A ，B 两点，且满足120k k +=．证明：直线AB 的斜率为定值．【分析】（1）利用离心率得到2212b a =，椭圆E 过点P ，得到22421a b+=，求出a ，b然后求解椭圆E 的方程．（2）方法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AP 的方程为(2)y k x =-由22(2)28y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩y 得2222(21)(8)840k x k x k +--+--=，利用韦达定理以及直线PA ，PB 的斜率互为相反数，转化求解直线AB 的斜率为定值．【解答】解：（1）依题意，c e a ===，所以2212b a =，又椭圆E 过点P ，所以22421a b+=， 解得28a =，24b =，所以椭圆E 的方程为22184x y +=．（2）证明：方法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AP 的方程为(2)y k x =-由22(2)28y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩y 得2222(21)(8)840k x k x k +--+--=，所以112P x x x +=+，所以1x =，又因为直线PA ，PB 的斜率互为相反数，2224221k x k +-=+，21212121212122(2(2()4/84()4AB y y kx k kx k k x x x x k x x kdollar br x x k k k dollar dollar --+--+==---++<>=---+==，所以直线AB． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力是难题．20．（12分）已知函数()af x lnx x x=++． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意的1(,)2x ∈+∞，2()x xf x e x <+恒成立，请求出a 的取值范围．【分析】（1）求导，对()f x '中的a 进行讨论，判断单调性；（2）据题意，任意的1(,)2x ∈+∞，2()x xf x e x <+恒成立，即x a e xlnx <-，令()x g x e xlnx =-，1(,)2x ∈+∞，求出()g x 的最小值，即可求出a 的范围．【解答】解：（1）2221()1a x x af x x x x +-'=-+=，0x >，当0a 时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞递增；当0a >时，对于2y x x a =+-，△140a =+>，故0y =有在0x >时，有一个解m =当(0,)x m ∈时，()0f x '<，()f x 递减； 当(,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增； 综上，当0a 时，()f x 在(0,)+∞递增；当0a >时，()f x在)+∞递增；在递减；（2）根据题意，任意的1(,)2x ∈+∞，2()x xf x e x <+恒成立，即x xlnx a e +<，分离参数得x a e xlnx <-，令()x g x e xlnx =-，1(,)2x ∈+∞，()1x g x e lnx '=--，1()x g x e x ''=-单调递增，1()202g ''=<，g ''（1）10e =->， 故存在唯一的零点1(,1)2n ∈，1n e n =，当1(2x ∈，)n 时，()0g x ''<，()g x '递减，当(,)x n ∈+∞时，()0g x ''>，()g x '递增，故1()()112110n min g x g n e lnn n n'==--=+->-=>， 故()g x 在1(,)2x ∈+∞递增，故11()222a g ln <=．【点评】考查含参函数单调性的判断，导数法解决不等式恒成立问题，还用了函数零点的判断，函数的最值的判断等，中档题．21．（12分）某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z 来衡量产品的质量．当8Z 时，产品为优等品；当68Z <时，产品为一等品；当226<时，产品为二等品第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标z 的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率． （1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X 元，求X 的分布列与数学期望：（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖“活动，客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是12．方格图上标有第0格、第1格、第2格50⋯机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从k 到1)k +，若携出反面，机器人向前移动两格（从k 到2)k +，直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营“，则可获得优惠券，设机器人移到第n 格的概率为(050,*)n P n n N ∈，试证明1{}(149,*)n n P P n n N --∈是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买：该款产品．【分析】（1）根据条形图可知，优等品的频率为1218742500++，用频率估计概率，可得任取一件产品为优等品的概率．（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为12，由题意可得，进而得出(47000)P X =，(39000)P X =．可得X 的分布列，即可得出数学期望EX ．（3）机器人在第0格为必然事件，01P =，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率112P =．机器人移到第(249)n n 格的情况只有两种：①先到第2n -格，又出现反面，其概率212n P -，②先到第1n -格，又出现正面，其概率112n P -．可得121122n n n P P P --=+，1121()2n n n n P P P P ----=--，149n 时，数列1{}n n P P --为首项1012P P -=-，公比为12-的等比数列．可得1012P P -=-，可得1n P -，进而得出结论 【解答】解：（1）根据条形图可知，优等品的频率为121874215002++=，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为12P =． （2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为12， 由题意(16001000)80250447000X =-⨯-⨯=． 或(15001000)80250439000X =-⨯-⨯=． 443444115(47000)()()2216P X ==+=． 04142444411111(39000)()()()22216P X ==++=． 故X 的分布列为： X47000 39000 P5161116所以数学期望5114700039000415001616EX =⨯+⨯=． （3）机器人在第0格为必然事件，01P =，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率112P =．机器人移到第(249)n n 格的情况只有两种： ①先到第2n -格，又出现反面，其概率212n P -，②先到第1n -格，又出现正面，其概率112n P -．所以121122n n n P P P --=+，故1121()2n n n n P P P P ----=--，所以149n 时，数列1{}n n P P --为首项1012P P -=-，公比为12-的等比数列． 所以1012P P -=-，2211()2P P -=-，3321()2P P -=-，⋯⋯，11()2n n n P P --=-． 以上各式累加，得2311[1()]1111221()()()122221()2n n n P ----=-+-+-+⋯+-=--． 211()332nn P ∴=+-．(0n =，1，2，⋯⋯，49)． ∴获胜概率4949211()332P =+-． 失败概率4949504811111[1()][1()]23232P P ==--=+． 49494849502111111()[1()][1()]03323232P P -=+--+=->，所以获胜概率更大， 故此方案能吸引顾客购买该款产品．【点评】本题考查了古典概率计算公式、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在极坐标系中，射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，椭圆E 的方程为：22312sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角标系xOy ． （1）求点A 的直角坐标和椭圆E 的直角坐标方程；（2）若B 为椭圆E 的下顶点，M 为椭圆E 上任意一点，求AB AM 的最大值．【分析】（1）由射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，能求出点A 的直角坐标，由椭圆E 的极坐标方程，能求出椭圆的直角坐标方程．（2）由椭圆E 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数）．设,sin )M θθ，(0,1)B -，由此能求出AB AM 的最大值．【解答】解：（1）射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，∴点A 的直角坐标，∴椭圆E 的方程为22312sin ρθ=+，∴直角坐标方程为2213x y +=．（2）由（1）椭圆E 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数）．设,sin )M θθ， (0,1)B -，∴(2)AB =--，(31)AM θθ=-，∴3cos 32(sin 1))5AB AM θθθϕ=-+--=++，当sin()1θϕ+=-时，AB AM 5．【点评】本题考查点的直角坐标、椭圆的直角坐标方程和向量的数量积的最大值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23．已知函数()||2|1|(0)f x x a x a =++->． （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[3x ∈-，1]-恒成立，求a 的取值范围． 【分析】（1）将1a =代入()f x 中，去绝对值，然后分别解不等式；（2）由条件可得||2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[3x ∈-，1]-恒成立，然后解出a 的范围即可．【解答】解：（1）当1a =时，()|1|2|1|f x x x =++-， ()4f x ∴>等价于1314x x -⎧⎨-+>⎩或1134x x -<⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩， 解得1x <-或53x >，∴不等式的解集为{|1x x <-或5}3x >；（2）当[3x ∈-，1]-时，由()42f x x >-得||22240x a x x ++-+-> 即||2x a +>，2a x ∴>-或2a x <--对任意的[3x ∈-，1]-恒成立， 又(2)5max x -=，(2)1min x --=-， 1a ∴<-或5a >，又0a >，5a ∴>， a ∴的取值范围为：(5,)+∞．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，属基础题．。

（全国I 卷）2020届高三数学12月教育教学质量监测考试试题 理注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.5273i i i --=+ A.1175858i + B.1175858i -+ C.1175858i - D.1175858i --2.已知集合M ＝{x|8x 2－9x ＋1≤0}，N ＝{x|y ，则()R M N =I ðA.[1,)+∞B.11(,)82 C.11[,)82 D.1(,1]23.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝35，S 3＝2120，则a 4＝ A.340-或8140 B.－8140或340 C.8140 D.3404.设向量m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题： 命题p ：|m －2n|的值可能为9；命题q ：“(m －2n)⊥m ”的充要条件为“cos<m ，n>＝13”； 则下列命题中，真命题为A.pB.p ∧qC.(﹁p)∧qD.p ∨(﹁q)5.记抛物线C ：y 2=2px(p>0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，若MN NF =u u u u r u u u r，且N(2，2)，则抛物线C 的准线方程为A.x ＝－1B.x ＝－2C.x ＝－3D.x ＝－46.函数3sin 2()xx x f x e+=在[－2π，2π]上的图象大致为7.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗。

”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若输入的x的值为，输出的x值为9，则判断框中可以填A.i>4B.i>5C.i>6D.i>78.2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款、法国8款、荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国。