几何化猜想----庞加莱猜想的推广

庞加莱猜想百科名片庞加莱猜想电脑三维模型庞加莱猜想是法国数学家提出的一个猜想，是悬赏的（七个千年大奖问题）之一。

2006年被确认由俄罗斯数学家最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的。

目录展开庞加莱猜想图示令人头疼的世纪难题缘起如果我们伸缩围绕一个表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。

另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。

我们说，苹果表面是“的”，而轮胎面不是。

大约在一百年以前，已经知道，球面本质上可由单连通性来刻画，他提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。

这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

一位史家曾经如此形容1854年出生的（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。

”庞加莱作为的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。

庞加莱猜想，就是其中的一个。

1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的的：在一个中，假如每一条封闭的都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。

但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面的n维封闭流形必定于n维球面。

”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

猜想的简单比喻如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。

或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里庞加莱猜想面看，这就是一个球形的房子。

我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。

拿一个气球来，带到这个球形的房子里。

7大数学难题数学是许多学科的基础，但有些数学问题非常复杂，让最聪明的数学家们都困扰不已。

以下列出了7个被公认为数学难题的问题，这些问题既有理论深度，又具有广泛的应用价值。

一、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是数论中一个古老且未解决的问题。

它由18世纪德国数学家哥德巴赫提出，猜想任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。

尽管许多数学家为此做出了努力，这个猜想至今仍未被证明或反驳。

二、黎曼假设黎曼假设是数学领域中一个非常重要的问题，由德国数学家黎曼提出。

这个假设涉及到复数分析中的一些概念，主要是关于素数的分布。

如果这个假设被证明或反驳，将对许多数学领域产生深远影响。

三、庞加莱猜想庞加莱猜想是几何学中的一个重要问题，由法国数学家庞加莱提出。

这个猜想描述了三维空间中形状的复杂性，涉及到几何拓扑学中的一些概念。

尽管这个猜想已经有了许多重要的推论和应用，但它的完整证明至今仍未找到。

四、素数定理素数定理描述了素数的分布规律，即大于1的自然数中，素数的个数趋近于无穷。

这个定理对于理解素数和合数的性质非常重要，但它的证明需要非常高深的数学技巧。

五、四色问题四色问题是一个经典的几何问题，涉及到地图的染色方式。

这个问题由英国数学家格拉斯哥大学的学生哈密顿在1852年提出，主要是探究用四种颜色对地图进行染色的可能性。

这个问题在1976年被证明，但它的证明过程非常复杂。

六、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是物理学中描述流体运动的一个偏微分方程。

由于这个方程的高度非线性性和复杂性，对于它的求解非常困难。

尽管在某些情况下可以找到近似解或数值解，但它的完整解析解至今仍未找到。

七、丘成桐几何化猜想丘成桐几何化猜想是由著名华裔数学家丘成桐提出的一个关于几何学的重要问题。

这个猜想涉及到几何结构中的一些性质，如果被证明或反驳，将对数学和物理学产生重大影响。

庞加莱猜想折叠编辑本段基本简介庞加莱猜想(Poincaré conjecture)是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。

其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。

2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。

折叠编辑本段陈述1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想:"任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

"简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间;单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。

后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为"高维庞加莱猜想"。

折叠编辑本段关于庞加莱亨利·庞加莱亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家。

1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。

他的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。

庞加莱猜想，只是其中的一个。

一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):"有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。

"折叠编辑本段猜想比喻如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象:我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。

或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里庞加莱猜想庞加莱猜想面看，这就是一个球形的房子。

世界级数学难题庞加莱猜想被破解中国科学家“最后封顶”国际数学界关注上百年的严重难题——庞加莱猜想，近日被迷信家完全破解。

哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐３日在中国迷信院晨兴数学研讨中心宣布，在美、俄等国迷信家的任务基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东曾经彻底证明了这一猜想。

〝这就像盖大楼，先人打好了基础，但最后一步——也就是‘封顶’任务是由中国人来完成的。

〞丘成桐说，〝这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。

〞〝这是第一次在国际数学期刊上给出了猜想的完整证明，效果极端突出。

〞数学家杨乐说。

在美国出版的«亚洲数学期刊»６月号以专刊的方式，刊载了长达３００多页、题为«庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿－佩雷尔曼实际的运用»的长篇论文。

任何一个封锁的三维空间，只需它外面一切的封锁曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球－－这就是法国数学家庞加莱于１９０４年提出的猜想。

庞加莱猜想和黎曼假定、霍奇猜想、杨－米尔实际等一样，被并列为七大数学世纪难题之一。

２０００年５月，美国的克莱数学研讨所为每道题悬赏百万美元求解。

１００多年来，有数的数学家关注并努力于证明庞加莱猜想。

２０世纪８０年代初，美国数学家瑟斯顿教授由于得出了对庞加莱几何结构猜想的局部证明结果而取得菲尔兹奖。

之后，美国数学家汉密尔顿在这个猜想的证明上也取得了重要停顿。

２００３年，俄罗斯数学家佩雷尔曼更是提出了处置这一猜想的要领。

运用汉密尔顿、佩雷尔曼的实际，朱熹平和曹怀东第一次成功处置了猜想中〝奇特点〞的难题，宣布了３００多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。

从去年９月底至往年３月，朱熹平和曹怀东应邀前往哈佛大学，以每星期３小时的时间——延续２０多个星期、共约７０个小时——向包括哈佛大学数学系主任在内的５位数学家停止解说，回答了专家们提出的一系列效果。

丘成桐指出，这一证明意义严重，将有助于人类更好地研讨三维空间，对物理学和工程学都将发生深远的影响。

庞加莱猜想证明概述庞加莱猜想的重要性在于其对拓扑学、几何学和数学基础理论的影响。

如果能够证明庞加莱猜想，将对数学领域的发展产生巨大的影响，同时也有可能为其他领域的发展提供新的理论基础。

在本文中，将通过对庞加莱猜想的历史背景、相关研究成果和方法进行概述，并尝试从不同的角度来探讨这一令人困扰的数学难题。

我们将引用多位数学家的研究成果和观点，深入分析庞加莱猜想的本质及其解决的可能途径，希望能够对这一问题有更深入的认识和理解。

一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想最早由法国数学家亨利·庞加莱提出，他在1904年的一篇论文中首次提出了这一问题。

在这篇论文中，庞加莱指出，对于一个简单连通的三维流形，是否存在一个等价于球的和的空间是一个未解决的问题。

庞加莱还提出了一种可能的证明方法，但他自己也承认这个证明并不完全可靠。

自庞加莱提出这一问题以来，数学家们一直在尝试寻找一个确凿的证明。

在过去的一个多世纪里，庞加莱猜想一直是数学界的焦点问题之一，吸引了众多数学家的关注和努力。

二、庞加莱猜想的相关研究成果在寻找庞加莱猜想的证明过程中，数学家们提出了许多猜想和定理。

其中最为著名的是格里戈里·佩雷尔曼于2003年提出的庞加莱猜想证明，他通过引入了里奇流流形和流形上的梯度流方法，最终证明了庞加莱猜想的正确性。

佩雷尔曼的证明方法被认为是对现有数学知识的一次革命性突破，为解决庞加莱猜想提供了一个新的思路和方法。

除了佩雷尔曼的证明方法外，还有其他数学家提出了不同的证明思路和方法。

例如，唐纳德·兰恩在20世纪80年代提出了一种基于代数拓扑的证明方法，虽然并未完全证明庞加莱猜想，但为数学家们提供了一个新的研究方向。

这些研究成果虽然并未完全解决庞加莱猜想，但为研究庞加莱猜想提供了不同的视角和思路，促进了数学领域的发展与进步。

三、庞加莱猜想的证明方法和思路对于庞加莱猜想的证明，数学家们提出了多种不同的方法和思路。

（一）庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。

后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。

庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的应用来说明。

首先我们要对庞加莱猜想的“点”作一个约定：庞加莱猜想中的“点”可以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的“曲点”和“点内空间”的点，不然就会产生矛盾。

因为我们说的“曲点”，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及“环绕数”收缩成的一点---如圈是“绳”一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结“点”就包含了“环绕数”，把有一个以上“环绕数”的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个“曲点”。

即“曲点”最直观的数学模型，是指包含“环绕数”的点。

而我们说的“点内空间”的点，是指虚数一类虚拟空间内的“点”。

如果把“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”称为“庞加莱猜想正定理”，那么“曲点”和“点内空间”正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为“庞加莱猜想逆定理”。

庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学。

庞加莱猜想证明概述在庞加莱猜想提出后，很多数学家对其展开了探索和研究，但一直没有找到一个确凿的证明或反例。

直到2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论等一系列数学方法，证明了庞加莱猜想。

这篇文章将介绍庞加莱猜想的历史背景和相关概念，然后详细描述佩雷尔曼的证明过程和相关数学原理，最后分析庞加莱猜想对数学和科学领域的重要意义。

一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想的提出可以追溯到19世纪末的数学发展。

当时，数学家们已经开始探讨对多维几何空间的研究，如三维流形的性质和拓扑结构等。

此时，亨利·庞加莱成为了这一领域的先驱者，他提出了著名的庞加莱猜想，引发了数学界对于三维空间性质的深入思考和研究。

庞加莱猜想的提出也在一定程度上推动了数学领域的发展，为拓扑学和几何学等领域的研究提供了新的动力和方向。

然而，长期以来，庞加莱猜想一直未能找到确凿的证明，成为数学界的一个难题。

二、庞加莱猜想的相关概念1. 流形：在数学领域，流形是指一个局部与欧氏空间同胚的空间。

在庞加莱猜想中，主要讨论的是三维紧致的无边界的连通流形。

2. 欧氏空间：欧氏空间指的是平凡的三维空间，即我们所生活的空间。

在庞加莱猜想中，研究的对象是三维欧氏空间中的环流变形问题。

3. 拓扑结构：拓扑结构是指一个空间的结构，它并不依赖于空间的具体度量，而仅仅与空间的连通性和邻域关系有关。

在庞加莱猜想中，研究的就是流形的拓扑结构和性质。

三、佩雷尔曼的证明过程2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论，证明了庞加莱猜想。

他的证明过程可以概括为以下几个步骤：1. 利用几何流的理论，建立了三维流形的梯度不等式，从而引入了里奇流的概念。

2. 利用里奇流的理论，证明了当流形上的里奇曲率为正时，流形是球面的概率。

3. 利用梯度流的理论，证明了当流形上的梯度不等式成立时，流形是球面的概率。

世界数学十大未解难题（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。

由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。

你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。

不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。

然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。

生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。

这是这种一般现象的一个例子。

与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。

不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。

它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年述的。

二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。

基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。

这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。

不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。

在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。

霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

三：庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。

■■圈豳＿庞加莱弓２００６年６月初，世界著名的华裔数学家、中国科学院外籍院士丘成桐宣布：经过美国、俄国和中国数学家３０多年的共同努力。

两位中国科学家朱熹平和曹怀东最终证明了百年数学难题——庞加莱猜想。

庞加莱猜想的提出庞加莱猜想是２０世纪最伟大的法国数学家庞加莱在１９０４年提出来的一个问题：一个单连通的３维闭流形是否一定同胚于３维球面？流形是曲线、曲面等直观的几何概念的高维推广，虽然可仿照１维球面——圆Ｓ１，２维球面——球面Ｓ２的方程写出３维球面Ｓ３的方程戈２＋，坛２＋￡２＝１，但对它已没有直观形象。

这也是高维几何学和拓扑学的困难所在。

单连通则是指在流形中任何一个圆圈Ｓｔ都可以在流形中连续变形最后缩为一点。

这从２维球面上看得很清楚，而环面（自行车内胎）则不是这样，因此环面是非单连通的。

多年来．庞加莱猜想一直是拓扑学的中心问题之一。

２０００年５月２４日，美国克雷（Ｃｌａｙ）数学研究所宣布：对７个“千僖年数学难题”的每一个悬赏１００万美元。

这７个大问题中就包括庞加莱猜想。

尽管悬赏金额一样，可数学界对这些问题重要性的评价并不相同；即使在这７个问题中，庞加莱猜想也是相对重要的。

现在看来，这一猜想很可能头一个被破解，剩下的６个当然也都是难啃至极的硬骨头。

拓扑学之父庞加莱虽说在庞加莱之前。

大数学家欧拉、高斯和黎曼都对拓扑学的发展做出贡献，但是，真正把拓扑学建成现胡作玄：研究员。

中国科学院系统科学研究所，北京１０００８０。

ＨｕＺｕｏｘｕ肌：Ｐｒｏｆｅｓ∞ｒ，Ｉｎ８ｔｉｔｕｔｅ０ｆＳｙｓｔｅｍｓＳｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｉｎｅ∞ＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８０．◆代数学的基础学科则非庞加莱莫属。

可是，庞加莱的贡献决不限于拓扑学。

他和希尔伯特常被认为是最后的两位全才数学家，他们当然也是对２０世纪数学最有影响的数学家。

例如在著名的相对论上庞加莱的工作是举世公认的。

还有当前最热门的非线性科学，包括动力系统理论乃至混沌理论，庞加莱都是当之无愧的先驱。

数零拾学年，高斯给出了复数的几何表示：纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b表示，如图2所示.这个用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也叫做高斯平面），轴叫做虚轴.图216世纪卡尔丹和邦贝利开始应用虚数，世纪人们逐渐接受虚数，整整经历了300多年的漫长在这一过程中，数学家们大胆猜，小心求证，才使得数系得以扩充.庞加莱（(Henri Poincaré，1854-1912）是法国著名数学家，也是理论科学家和科学哲学家.1904年，庞加莱提出了著名的庞加莱猜想.它在100多年的时间里一直困扰着很多的数学家.庞加莱猜想是克莱（Clay）数学研究所悬赏的七个重大问题之一，它的出现与几何学的发展紧密相关.一、庞加莱猜想庞加莱猜想：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面.简单地说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间里,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球.庞加莱猜想是拓扑学著名的研究问题之一.100多年来，对庞加莱猜想的研究是拓扑学发展的重要动力，包括20世纪60～70年代高维空间的拓扑分类，80～90年代四维空间微分结构的研究.但还有很多问题尚未解决，其中低维空间的拓扑问题仍是非常活跃的研究领域.它与物理紧密联系.举几个例子，1960年，美国著名数学家斯梅尔（S.Smale）将其推广到任意维，并解决了五维及五维以上的广义庞加莱猜想.1982年，美国数学家福里德曼（M.Freedman）解决了四维的广义庞加莱猜想.1980年，美国数学家瑟斯顿（W.Thruston）提出了一般三维空间的几何化猜想，庞加莱猜想是几何化猜想的自然推论.他还验证庞加莱猜想与几何学木心雨庞加莱高斯数零拾学了一大类三维空间确实满足他的猜想.虽然这类空间不包括庞加莱猜想，但为庞加莱猜想的成立提供了强有力的证据.图1球极投影庞加莱猜想中提到了三维球面.那么三维球面有什么特别性质呢？我们不可能直观地看到三维球面，因为我们所在空间就是三维的，也不可能把三维球面放在我们所熟悉的三维空间中，但是我们可以通过类比的方法想象三维球面，通过二维球面来想象或理解三维球面的可能性质.那二维球面有什么特别性质呢？假如说我站在北极点作球极投影（球极投影是发源于《周髀算经》，假设球体是透明的，而光线也是沿直线前进的。