庞加莱猜想浅谈
庞加莱猜想，故名思意，最早是由法国数学家庞加莱提出的，这是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里?佩雷尔曼（俄语：ГригорийЯковлевичПерельман，1966年6月13日出生）完成了最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但可以，佩雷尔曼在颁奖典礼上并未现身领奖。
猜想是庞加莱在1904年发表的一组论文中提出，猜想本身并不复杂：
任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
解释来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻以下，如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而防真轮胎面不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
对于猜想的破解，前后经历了近100年的时间：
20世纪
这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。
1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美国数学家麦克·傅利曼（Michael Freedman）证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。
1982年，理查德·哈密顿引入了“瑞奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。
21世纪
在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在https://www.doczj.com/doc/274184120.html,发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。
在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的
细节。这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。
2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但佩雷尔曼拒绝接受该奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
2010年3月18日，克雷数学研究所对外公布，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼因为破解庞加莱猜想而荣膺千禧年大奖。
在颁奖之后，关于猜想的第一证明者的归属问题在学术界曾引发激烈争议：2006年6月3日，曹怀东和朱熹平公开声称佩雷尔曼对于庞加莱猜想证明中有漏洞，由他们补全，做出最终证明，于《亚洲数学期刊》发表论文。据报道，丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平才是第一个给出了庞加莱猜想的完全证明。
2006年8月28日出版的《纽约客》杂志发表西尔维亚·娜莎和大卫·格鲁伯的长文《流形的命运——传奇问题以及谁是破解者之争》。该文介绍了佩雷尔曼等人的工作并描画了“一个令人厌恶的丘成桐的形象，暗示他为他的学生曹怀东和他支持的朱熹平的工作宣传了过多的功劳。”，因曹怀东与朱熹平的论文未经同行评审，丘成桐被质疑以期刊主编的身份，发表有利于他们研究团队的论文成果。此文发表后，引发了很大争议。丘成桐表示可能采取法律行动，由律师发出信函，要求杂志更正，包括汉密尔顿在内的多名数学家发表声明表示文章没有正确地反映他们对丘的评价。
一名加州理工学院的研究者指出曹、朱论文中引理7.1.2与克莱纳和洛特2003年发表的成果几乎完全相同。据此，洛特指责曹和朱两人有剽窃的行为。此后，曹怀东和朱熹平在原刊发表纠错声明，确认了此引理是克莱纳和洛特的成果，解释没有指明出处是由于编辑上的差错，并为此向两位原作者致歉。在12月发表的修正论文《庞加莱猜想与几何化猜想的汉米尔顿－佩雷尔曼证明》（Hamilton-Perelman's Proof of the Poicare Conjecture and the Geometrization Conjecture）中，曹怀东与朱熹平不再宣称是由他们做出最终证明，他们的工作只是对汉米尔顿－佩雷尔曼证明做出详尽阐述。
至此这一困扰人类一个世纪的数学证明才算是落下了帷幕
哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可分为两个猜想（前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想，后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想）：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。 这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。其实，后一个命题就是前一个命题的推论。哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数(就是质数)之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。" 欧拉回信说：―这个命题看来是正确的‖。但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。 哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。关于偶数可表示为a个质数的乘积与b个质数的乘积之和(简称―a + b‖问题)进展如下: 1920年，挪威的布朗证明了―9 + 9‖。1924年，德国的拉特马赫证明了―7 + 7‖。
庞加莱猜想 百科名片 庞加莱猜想电脑三维模型 庞加莱猜想是法国数学家提出的一个猜想，是悬赏的（七个千年大奖问题）之一。2006年被确认由俄罗斯数学家最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的。 目录 展开 庞加莱猜想图示 令人头疼的世纪难题 缘起 如果我们伸缩围绕一个表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，已经知道，球面本质上可由单连通性来刻画，他
提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 一位史家曾经如此形容1854年出生的（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。 1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的的：在一个中，假如每一条封闭的都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n 维球面的n维封闭流形必定于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。 猜想的简单比喻 如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象： 我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里 庞加莱猜想 面看，这就是一个球形的房子。 我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。 好，现在我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。 我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点； 另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。 为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
浅析笛卡尔“我思故我在” 李子纯 西南大学马克思主义学院，重庆400715 摘要：笛卡尔“我思故我在”是笛卡尔哲学的第一原理，他正是以此作为根基而构建起整个形而上学体系的。笛卡尔以自我的原则形成自身独有的体系，确立了主体性原则，唤醒了主体意识的觉醒。“我在”指的是“人的真实存在”，“故”则强调的是一种“决定”与“被决定”的逻辑顺序。这一次转折给西方哲学打上了深深的烙印，同时也使之难以摆脱二元论的限制。 关键词：笛卡尔，我思故我在，普遍怀疑 笛卡尔的“我思故我在”是一个广为大家所熟知的哲学命题，在传统意义上，“我思故我在”是一个唯心主义的论断，但是在被提出来的时代具有一定的跨时代转折意义，同时，也对当今学术界有一定的研究和借鉴意义，同时也成为了理解笛卡尔哲学、甚至解读整个西方近代哲学发展逻辑的关键。除此之外，这个命题也有其弊端和不利的影响，虽然至今哲学界对于这一命题的理解多数仍旧停留在经验论的立场之上，并且大多数哲学研究者在把握其内涵上仍旧充满着疑惑和疑问。因此，我们需要返回到笛卡尔唯理论的哲学立场上，重新审视和考察“我思故我在”的真正含义，具有着十分重要的学术研究意义。 1.笛卡尔的人生轨迹 笛卡尔（1596—1650），法国数学家、物理学家、哲学家、解析几何的创始人。笛卡尔是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。被称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。是西方伟大的哲学家之一，是理性主义和二元论的奠基人，与培根并称为近代哲学之父，在西方影响深远。① 笛卡尔出生在一个法国贵族式家庭，遇上了经院哲学走向末路时代。笛卡尔 ①申晓娜,辛玮琰. 笛卡尔的“我思故我在”的含义及其意义. 出国与就业,理论探讨,2011 年 4 月 ,118页
数学猜想 四色猜想（三大数学难题之三） 世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
《谈谈方法》 笛卡尔 【全名为《谈谈正确引导理性在各门科学上寻找真理的方法》。文章以半自传的形式,深入浅出地介绍了作者新的哲学方法及其形成过程。作者从几何学和代数学的优缺点总结出四条原则:(一)不要把任何事物看成是真的,除非对它已经认识清楚了。(二)要用逐步分析的方法系统地解决问题。(三)思考时,由简到繁。(四)要彻底复查一切,做到确实无遗漏。在四条规则中,作者指出了三种具体的方法:怀疑的方法、分析、演绎和列举推理的方法。尤其主张普遍怀疑,认为一切都可怀疑,只有怀疑者本身不可怀疑,从而得出"我思故我在"这一哲学公式。对于作者,怀疑和怀疑的克服学说是哲学的入门途径,这种学说的锋芒是直接针对当时占统治地位的经院哲学,因此被誉为西方近代哲学的宣言。】 第一段 在世界上的一切事物中,惟有健全的理性是为人人所最均等分有的。因为每一个人都认为他已经充分地有了这种天然的禀赋,所以甚至那些在任何别的事上最难感觉满意的人,独在理性方面除了他们所已有的外,通常也更不望再有多求。?在这件事上既然不像人人都会 犯错误,这便可以证明正确的判断力和分辨真伪的能力,即所称为健全的常识或理性是人类与生俱来的共有之物。这样看来,我们彼此之所以有不同的意见,并不是因为我们当中某些人比其他的人赋有更多的理性,乃是纯粹因为我们把思想引领到不同的路线,以及各人所注意的对象并不相同。仅有一个元气充健的心性是不够的,主要的条件是要能善于运用。最大的心性可能造成最高的优德,也可能造成最大的恶行;那些行走缓慢而遵循正径的人,可以比那些飞奔疾驰而背离正道的人有更真实的进步。
至于我自己,我从来没有幻想到我的心性比其他一般人更完全。相反地,我毋宁常希望我自己跟一些别的人能够同有敏捷的思想,或清晰明了的想象力,或充沛与持久的记忆力。除了这些之外,我再也想不出有任何东西可以帮助完成心性的功能。理性或常识即是造成人之所以为人,和人之所以异于禽兽的唯一事物,我便相信它是全部为人人所同有的。在这一点上,我采纳一般哲学家共同的意见,认为程度多少的差异,仅可以在偶然的意外的事上发生,但是在同一种类之内,一切(个体)的本性或(格式)(Form)却无分别之可言。 然而我可以毫无踌躇地说,我特别幸运,早在童年时代便已踏入沉思和爱好金玉良言的途径,由此而理出了一种思想方法。藉着这种思想的方法,我认为我已经有了一个在我平凡的才能和短促年寿里可以充分地逐步增进知识,以达于最高峰的工具。因为根据我经验的成果,虽然我已经有一样不是徒劳无益的,但是我却在追求真理已经获得的进步上,得到了无上的满足,而且不自禁地怀抱着一种未来的希 望,相信在人类一切的事业中,如果有任何一种是真正高贵而重要的,那便是我所选择的事业了。 然而我很可能有错,以至于将一块小小铜片和玻璃误认为黄金和钻石。我深知我们是如何地容易在与我们本身有关的事上发生迷惘之见,同时也深知我们是如何地应当置疑于外人友辈对我们的褒扬之词。但是我将尽力在这个方法论中讲述我所依循的途径,并且描绘我的生平,以便让每个读者各加自己的评论。这样我便可以从众人的意见中获得新的指示,把它拿来加入我所惯于采用的思想方法中。 因此,我的计划并不是要在这里指示一个为要善用理性人人都当遵循的方法,乃是仅愿描述我自己如何督导自己的理性。凡是以教师自居的人们,很自然地要以为自己比受教的人更有熟练的技能;所以他们如果在很微小的事上发生了错误,便应当受人指责。但是这个小册子既然只是一个历史的或故事的叙述,其中除了一些或者值得仿效的范例之外,多半恐怕是不大适宜采用的。所以我希望这个小册子能够有助于一些人,而无害于任何人;也希望凡读它的人,还能同情我的直爽和坦白。自童年时代起,我始终是与书文为伍。为了有人会这样说服我:书文是足以帮助人生旅
（一） 庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。 庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的应用来说明。 首先我们要对庞加莱猜想的“点”作一个约定：庞加莱猜想中的“点”可以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的“曲点”和“点内空间”的点，不然就会产生矛盾。 因为我们说的“曲点”，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及“环绕数”收缩成的一点---如圈是“绳”一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结“点”就包含了“环绕数”，把有一个以上“环绕数”的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个“曲点”。即“曲点”最直观的数学模型，是指包含“环绕数”的点。而我们说的“点内空间”的点，是指虚数一类虚拟空间内的“点”。 如果把“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”称为“庞加莱猜想正定理”，那么“曲点”和“点内空间”正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为“庞加莱猜想逆定理”。庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学。 即有人认为，19世纪是函数论的世纪，庞加莱因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的。所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数。自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广。自守函数今天已包括那些在变换群或这个群的某些子群作用下的不变函数。此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的。庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群。对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数。此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分。自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线。代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射。 其次，庞加莱是代数拓扑学(组合拓扑学)的奠基人，最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论。现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造---其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂)数的方法。籍助这些方法，庞加莱发现关于流形的同调的著名的对偶定理；定义了基本群(第一个同伦群)，并证明它与一维贝蒂数的关系，还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，以及欧拉多面体定理的推广---现称之为欧拉—庞加莱公式： x（D）=F－E+V （1） 这个式子的右边是和三角剖分的方式有关，但实际上x（D）和剖分的方式无关，它是曲面的一个拓扑不变量。对于紧致曲面，边界曲线不出现，仍然可以作三角剖分，因可求得：
中国著名数学家资料 工作到最后一天的华罗庚(1910—1985) 1985年6月12日，在东京一个国际学术会议上，75岁的华罗庚教授用流利的英语，作了十分精彩的报告。当他讲完最后一句话，人们还在热烈鼓掌时，他的身子歪倒了。 华罗庚出生于江苏省金坛县一个小商人家庭，从小喜欢数学，而且非常聪明。一天老师出了一道数学题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”“23!”老师的话音刚落，华罗庚的答案就脱口而出，老师连连点头称赞他的运算能力。可惜因为家庭经济困难，他不得不退学去当店员，一边工作，一边自学。18岁时，他又染上伤寒病，与死神搏斗半年，虽然活了下来，但却留下终身残疾——右腿瘸了。 1930年，19岁的华罗庚写了一篇《苏家驹之代数的五次方程不成立的理由》，发表在上海《科学》杂志上。清华大学数学系主任熊庆来从文章中看到了作者的数学才华，便问周围的人，“他是哪国留学的?在哪个大学任教?”当他知道华罗庚原来是一个19岁的小店员时，很受感动，主动把华罗庚请到清华大学。华罗庚在清华四年中，在熊庆来教授的指导下，刻苦学习，一连发表了十几篇论文，后来又被派到英国留学，获得博士学位。他对数论有很深的研究，得出了著名的华氏定理。 抗日战争时期，华罗庚白天在西南联大任教，晚上在昏暗的油灯下研究。在这样艰苦的环境中，华罗庚写出了20多篇论文和厚厚的一本书《堆垒素数论》。他特别注意理论联系实际，1958年以后，他走遍了20多个省市自治区，动员群众把优选法用于农业生产。记者在一次采访时问他：“你最大的愿望是什么?”他不加思索地回答：“工作到最后一天。”他的确为科学辛劳工作到最后一天，实现了自己的诺言。
几何化猜想 编辑 威廉·瑟斯顿（Thurston）的几何化猜想（geometrization conjecture）指的是，任取一个紧致(可能带边)的三维流形尽量作连通和以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平环)割开得 到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。 八种标准几何结构均为完备的黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。 1.标准球面S ，具有常曲率+l 2.欧氏空间R ，具有常曲率0 3.双曲空间H ，具有常曲率-1 4.S ×S 5.H ×S 6.特殊线性群(2，R)上左不变黎曼度量 7.幂零几何 8.可解几何 威廉·瑟斯顿
编辑 威廉·瑟斯顿Thurston，William）1946年10月30日出生于美国，1982年获菲尔兹奖，获奖前后的工作地点是普林斯顿大学。他讨论了三维流形上的叶状结构，并对一般流形上叶状结构的存在、性质及其分类得出了普遍的结果；基本完成了三维闭流形的拓扑分类。 目录 1获奖情况 2主要成就 3几何化猜想
3几何化猜想 美国康奈尔大学的数学家威廉·瑟斯顿(William Thurston)，他说：“数学是真正的人类思维，它涉及人类如何能有效地思考,这就是为什么好奇心是一个好向导的道理。”他认为好奇心与人类直觉紧密相连。 1970年,瑟斯顿提出几何化猜想,指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。几何化猜想是一个有关三维空间几何化的更强大、更普遍的猜想,认为任何空间都可还原成少数几个基本的图形。《美国数学会会志》的文章认为,瑟斯顿的伟大之处在于他深刻认识到如何用几何学的方法来认识三维流形的拓扑学。 “瑟斯顿的猜想列出了一个清单,如果它是正确的,那么庞加莱猜想的证明则迎刃而解。”瑟斯顿因几何化猜想而获得了1982年的菲尔茨奖。拓扑学家们努力发展一系列精致的工具来研究和分析形状,但一直没有进展。[1] 参考资料
探求真理的指导原则读书笔记 这本书写了笛卡尔总结的二十一个探索真理的指导原则，原则一：研究的目的，应该是指导我们的心灵，使它得以对于【世上】呈现的一切事物，形成确凿的、真是的判断。原则二：应该仅仅考察凭我们的心灵似乎就足以获得确定无疑的认识的那些对象。原则三：通过直观和演绎来获得真知。原则四：方法，对于探求事物真理是绝对必要的。原则五：全部方法，只不过是：为了发现某一真理而把心灵的目光应该观察的那些事物安排为秩序。就是简化。原则六：要从错综复杂事物中区别出最简单事物，然后予以有秩序的研究，就必须在我们已经用他们直接演绎出某些真理的每一系列事物中，观察哪一个是最简单项。原则七：要完成真知，必须以毫无间断的连续的思维运动，逐一全部审视他们所要探求的一切事物，把它们包括在有秩序的充足列举之中。原则八：如果在要寻求的事物顺序中出现一些事物，是我们的悟性不能直观得足够清楚的，那我们就必须暂且停顿、多加考虑。原则九：应该把心灵的目光全部转向十分细小而且极为容易的事物，长久加以审视，使我们最终习惯于清清楚楚、一目了然地直观事物。原则十：心灵如要获致灵巧，它就必须探求他人所应发现者，还必须有天理地通观人类技艺的甚至最微末的一切结果，但是，只要还是考擦表明一某种秩序为前提的那些结果。原则十一：在查看了若干个单纯命题之后，要想从中得出其他推论的话，不妨以连续的毫不间断的思维运动把那些命题通观一遍，考虑它们互相之间的关系，也不妨择出若干尽可能清楚地全面加以构想。原则十二：最后，应该充分利用悟性、想象、感觉和记忆所提供的一切助力，以便得知所求，使人的奋勉努力之所及不致有所遗憾。原则十三：我们要透彻领悟一个问题，就必须把它从任何多余的观念中抽象出来，把它归结为一个十分简单的问题，并且把它分割为尽可能最细小的部分，同事却不忽略把这些部分一一列举。原则十四：应该把问题转至物体的真正广延上去考虑，并把它通盘提供给想象借助于单纯形象去观察。原则十五：描绘这些形象，把它们对我们的外在感觉显示出来。原则十六：心灵观察时无需加以注意的事物，使用十分简略的符号来标志。原则十七：应该直接通观的所提困难，用若干次真正通观去查看它们是怎样互相依存的。原则十八：仅仅要求四则运算。原则十九：应该运用这种推理方法，寻求在同一数中表现为两种不同方式的量，使我们假定未知项已知，一遍直接通观困难。原则二十：方程式一旦找到，就应该把原来略去的演算完成，每逢需要用除法时，绝对不要用。原则二十一：这类方程式如有几个，就必须把它们统统归结为单一的一个方程式。 书中写了而是你个原则，我只写其中个别的原则的感想。 书中对原则一有具体的解释，我从中的理解是我们学习科学时，应该把各种科学联系起来，而不是把它们分开隔离开。还有就是各种科学的研究都是服务于人类智慧或者说是“良知” 书中对原则二的说明中，开始说让我们不要研究那些困难的、无从分辨真伪的东西，后来一段有说我们如果遵循这一原则，我们会发现我哦们可以研究的事物极少，，科学每一个问题都会有不同的人又不同的见解，可能他们中有一人是对的，可能他们都是错的，从中说明我们不可能获得充分的真知，引出只有算术和几何是无误的。到最后他得出结论：探求真理正道的人，对于任何事物，如果不能获得相当于算术和几何那样的确信，就不要去考虑他。而我自己的看法则是，我们固然也要考虑简单确信的事物，对于困难的事物，其实是有争议的、难以确信的也要去考虑，没考虑过又怎么知道它是否能获得想算术和几何那样的确信，如果按照这个原则，杨振宁就不会得到在基本粒子弱相互作用的领域内，宇称并不守恒这个真理了。 原则六在我的理解是说我们研究事物时，可以先观察其他事物是怎样推论出来的按照怎样的秩序从而类推我们所研究的事物。在书中说，我们必须把它们互相区别，考察它们互相
盘点我国古今伟大的数学家 1、祖冲之，字文远［公元429-500年］ 祖籍范阳郡道县［今河北省涞水县北］人。他生活在南北朝时代，出身于天文、历算世家，是刘宋王朝奉朝请祖朔之的儿子。他历任徐州从事吏、公府参军、娄县令、竭者仆射、长水校尉等职。 祖日桓，祖冲之的儿子，字景烁，生卒年代无可考。 祖冲之的杰出成就主要在数学、天文历法和机械三方面，他研究过《九章算术》及刘徽注。在天文历法方面，祖之创制了《大明历》，最早把岁差引进历法。后经其子祖日桓向梁武帝两次提出修改历法，说可以纠正何承天元嘉历法的疏远，政府终于公元510年起，用大明历法推算历书。 祖冲之父子的数学成就十分丰富，《缀术》是他们的代表作，唐初被列入《算经十书》之一，可惜，现在已失传。在其它的著作中，我们可知他们的数学成就有圆周率、球体积和开带从立方等三个方面。祖之提出了3.1415926<π<3.1415927，更得出了圆周率的密率——355/113［现称祖率］比西方早1000年。祖日桓亦解决了魏晋时期刘徽未解决的问题——计算球体的体积，其中运用到「幂势既同，则积不容异」的原理［现称刘祖原理或祖日桓原理］该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利［bonaventuracavalieri 公元1598-1647年］发现，比祖日桓晚一千一百多年。
祖冲之亦曾造指南车、欹器、千里船、水碓磨等机械，经过试验都有成效。 2、张衡［公元78-139年］ 字平子，东汉南阳西鄂［今河南南召］人。历任郎中、太史令、尚书郎。富文采、善机巧、尤精天文历算。创制水运浑象和地动仪，着有《灵宪》、《算罔论》等。在他的《灵宪》中取用π=730/232［3.1466］，又在他的球体积公式中取用π= ［3.162］，又曾应用重差术于他的宇宙模型之中。 3、刘徽［约公元3世纪］ 刘徽注《九章算术》，同时又撰有《重差》一卷，《重差》后来印成单行本改称为《海岛算经》，在注文中，刘徽用语言来讲清道理，用图形来解释问题［析理以辞，解体用图］。他不是只停留在对《九章》的注释上，而是更上一层楼，在注释的同时提出了许多创造性见解，例如为阐述几何命题，证明几何定理，创造了「以盈补虚法」，更为计算圆周率提出了「割圆术」：刘徽从最简单的正六边形开始，由正192边形的面积得到π=151/50或3.14。不过他更进一步算出3.14 <π<3.14 ，后来在另一个地方，刘徽用他的方法，继续演算到3072边形，并且得到他的最佳值——一个相当于3.14159的数。 「割圆术」是我国数学史上首次将极限概念用于近似计算。此外，刘徽的「齐同术」和「方程新术」等，是对《九章算术》方法的进一步阐述与补充。在注释《九章》的同时，刘徽深感有创立新的测量方法的必要，于是提出了重差术，撰《重差》一卷。
庞加莱猜想浅谈 庞加莱猜想，故名思意，最早是由法国数学家庞加莱提出的，这是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里?佩雷尔曼（俄语：ГригорийЯковлевичПерельман，1966年6月13日出生）完成了最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但可以，佩雷尔曼在颁奖典礼上并未现身领奖。 猜想是庞加莱在1904年发表的一组论文中提出，猜想本身并不复杂： 任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。 解释来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻以下，如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而防真轮胎面不是。 该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。 对于猜想的破解，前后经历了近100年的时间： 20世纪 这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。 1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美国数学家麦克·傅利曼（Michael Freedman）证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。 1982年，理查德·哈密顿引入了“瑞奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。 21世纪 在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在https://www.doczj.com/doc/274184120.html,发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。 在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的
奥赛学习心得体会 苗玉莲首先非常感谢学校领导给我们提供的这次外出学习的机会，这次培训使我受益匪浅，感触很多。作为一名教师，我深知自己在数学教学上是不成熟的，教学工作中还有很多不足，我感觉在以前的工作过程中，自己进入了一个不能自拔旳瓶颈中，虽然工作勤勤恳恳，但教学成绩一直很差，每天心情很是纠结，工作的激情越来越低。通过这次学习使我进一步了解教师这一职业的责任，我充分认识到数学教学不是简单的知识教学和技能培养，数学教学还要注重培养学生的数学思维，教会学生用数学的思维去发现问题，分析问题和解决问题。数学还要注重培养学生的态度与价值观，这一点我一直觉得很迷茫，于凤军老师的一句话对我启示很大：“学生的态度和价值观主要体现在学生是不是喜欢数学上”。 在过去的教学实践活动中，我只满足于在其中扮演“教材的执行者”的角色，这和教师本身的教学观有关，也和课改以前我国的大教育体制环境以及其对教师的相应要求有关。但在新的课程改革的要求下，再走老路，在教学中按照课程的严格规定亦步亦趋地进行操作，而很少发挥教师的自主性，那就很难再适应新课改的要求了。教师是一种发展学生、完善自我的职业，能以服务社会为自己的职业理想，并从服务社会的高度赋予自己发展、完善的实践意义，明确自身发展与学生发展的互动关系，在发展学生中发展自己，在发展自己中服务社会。教师是以一种高度的责任感从专业角度来审视自己的教学，反思自己的情感，净化自己的品德，完善自己的智慧。能够自觉地注重教育行为的科学和教育情感的理性，并不断地追求着学生发展和自我发展的更高效益。 通过培训，我认为新课程要求教师努力和学生建立平等互动的师生关系，教学过程首先是师生交往互动的过程，这种交往主要表现为以语言为中介进行沟通，教师与学生凭借自己已有的经验，用各自独特的精神表现方式，在教学过程中通过心灵的对话、意见的交换、思想的碰撞、合作的探讨，实现知识的共同拥有与个性的全面发展。它要求教师不仅有教学策略和教学方法的改变，而且要有角色的转化——从传授者、管理者变为引导者和促进者，同时还有个性的自我完善—民主的精神、平等的作风、宽容的态度、真挚的爱心和悦纳学生的情怀。此外，在这个过程中教师也会受到很多启发，对学生有的了解，这些无疑对教师的专业化发展也是十分有益的。 我从事教育工作才有五年多，是一位有冲劲但没有丰富经验的教师，面对当今的形式，时代要求教师不断进步，吸取营养，为教育事业能够有突飞猛进的发展贡献自己为薄力量。 在这次学习中名师们为我们总结了数学的思想方法和活动经验，这让我在数学理念上有了更深刻的认识。我在实际教学中缺乏高度和深度。这需要在日常教学中每天细心备课，认真钻研教材，利用课余时间常翻翻高等数学，数学分析，数论的大学教材，研究自主招生数学试题及应试策略。除了教师自身要具备较高的随机应变的能力外，更重要汲取丰富理念，这样才能真正具备驾驭课堂的能力。空谈理论不切实际，屏弃理论也不合逻辑。我们应理论结合实际，在日常工作中根据自身工作量在学期初为自己制定好工作目标，如细致备多少节课，进行多少节课堂教学研究等。简单的说，就是有选择性
1.华罗庚 自学成材的天才数学家,中国近代数学的开创人！！ 在众多数学家里华罗庚无疑是天分最为突出的一位!! 华罗庚通过自学而成为世界级的数学家,他是解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域的中都作出卓越贡献。在这些数学领域他或是创始人或是开拓者! 从某种意义上他也是位传奇数学家,一生最高文凭是初中,早年在美国取得巨大成就后,闻知新中国成立后,发出"粱园随好,非久居之处"呼吁在国外的科学家学成回去报效祖国,跟他同时代在闻讯回国的科学家,许多都为中国做出了巨大贡献,其中最著名的有: 导弹之父钱学森：为中国火箭，导弹做出贡献 两弹元勋邓稼先：为中国创立了原子弹,氢弹等; 回国后华罗庚开创了中国的近代数学,并建立了中科院数学研究所,培养了大批数学家如陈景润,王元等号称华学派,后来致力于应用数学，将数学应用于工业生产,推广"优选法"和"统筹法"! 由于华罗庚的重大贡献，有许多用他的名字命名的定理,如华引理、华不等式、华算子与华方法。 另外华罗庚还被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。 美国著名数学家贝特曼著文称：“华罗庚是中国的爱因斯坦，足够成为全世界所有著名科学院院士”。 2.陈省身----微分几何之父 陈省身，汉族，美籍华人，国际数学大师、著名教育家、中国科学院外籍院士，“走进美妙的数学花园”创始人，20世纪世界级的几何学家。少年时代即显露数学才华，在其数学生涯中，几经抉择，努力攀登，终成辉煌。他在整体微分几何上的卓越贡献，影响了整个数学的发展，被杨振宁誉为继欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后又一里程碑式的人物。曾先后主持、创办了三大数学研究所，造就了一批世界知名的数学家。 美国国家科学院院士(1961年)， 第三世界科学院创始成员(1983年)， 英国皇家学会国外会员(1985年)， 意大利国家科学院外籍院士(1988年)， 法国科学院外籍院士(1989年)。 1994年当选为中国科学院首批外籍院士。 现代微分几何的开拓者,曾获数学界终身成就奖----沃尔夫奖! 他对整体微分几何的卓越贡献，影响着半个多世纪的数学发展。 他创办主持的三大数学研究所，造就了一批承前启后的数学家。 在微分几何领域有诸多贡献,如以他命名的"陈空间","陈示性类","陈纤维从" 一位数学家说道“陈省身就是现代微分几何。”这也许是对他的最好评价!! 3.中国现代数学家——苏步青 苏步青，浙江平阳人，出生于1902年9月，中国现代杰出的数学家。从小的时候起，苏步青就立下大志。中学毕业后赴日本深造。先入东京高等工业学校，后转入日本东北帝国大学数学系，1927年毕业之后进入该校研究生院，1931年获理学博士学位。
4、现代物理学对于统一场论研究的基本思路 1968 年，一个重大的历史时刻提前一个世纪到来了，意大利物理学家维尼基亚诺随手翻阅了一本数学书，找到了数学家欧拉于1771 年研究过的一条函数，他把它应用到“雷吉轨迹”的问题做了计算，结果发现它能很好地描述核子中许多强相对作用力的效应。不久，南部阳一郎、萨思金和尼尔森三人分别证明了维尼基亚诺模型在描述粒子的时候，它等效于描述一根一维的“弦”。这是量子研究的一个重大突破。量子向来只被看成是粒或点，现在却被描述成为一根“弦”了。这个偶然的发现把量子的研究步伐推进了一个世纪。因按正常的科研步伐，这个问题要到21 世纪中叶才可能发现。到了1984年，施瓦茨和格林取得了一个伟大的突破，也是第一次超弦革命。他们对量子弦的描述图像是：任何粒子其实都不是传统意义上的点，而是开放或闭合（头尾相接而成环）的弦，它有十维，其中六维蜷缩在大一点的另一头，人类只能感知四维，这四维就是我们的生活时空。1995 年爱德华·威顿完善了超弦的理论。这时，爱因斯坦的统一场论又出现新的转机。如果人们能找出控制超弦的那种最终的力，统一场论就能成立。 最近20年来统一场论的研究主要有四条道路： 第一条道路即所谓的“弦论”。大约在公元前387年，希腊哲学家柏拉图认为，几何学研究是通向认识宇宙本质的道路。卡拉比猜想是在1954年召开的国际数学家大会上，意大利几何学家卡拉比提出：在封闭的空间中，有无可能存在没有物质分布的引力场。这就是著名的卡拉比猜想。卡拉比认为自己的猜想是正确的，但是，包括他自己在内，没有人能证实。然而，几乎所有的数学家都认为，卡拉比是错的，包括年轻的丘成桐在内。在1973年初，丘成桐花了相当多的时间，证明卡拉比猜想是错的；几个月后丘成桐认为自己最终得出了卡拉比猜想是错误的证明时，一个有顶级几何学家参加的大型会议1973年8月在斯坦福大学召开，丘成桐就将自己的想法告诉了卡拉比。当天晚上7点卡拉比带来了几个来自宾夕法尼亚州的同事。丘成桐讲了大约一个小时，大家也认为可以停止一相情愿地认为卡拉比是正确的想法。 但在当年10月，卡拉比和丘成桐都发现其证明思想有一些问题。于是，丘成桐开始寻找别的例子来证明卡拉比是错的。两个星期后，仍发现证明总会在最后崩溃……这时，丘成桐才对卡拉比猜想有更深刻的理解，认为它应该是正确的；也开始发明新工具，来理解卡拉比猜想。1975年丘成桐最终解决了整个问题，然后到宾夕法尼亚大学去见卡拉比。他们又一起再到纽约大学找数学家路易斯·尼伦伯格讨论这个问题。之后几个月里，丘成桐写了证明卡拉比猜想的论文。这一年，丘成桐27岁。卡拉比猜想的证明，让丘成桐一举
①宋元四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 ②欧拉：《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》。 ③莱布尼茨：微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，简称《新方法》； 积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》 ④克莱因：《爱尔朗根纲领》：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变 的性质的学问，或者说任何一种的集合学只是研究与特定的变换群有关的不变量。 ⑤微积分的形成、发展和完善：形成：牛顿主要著作《运用无限多项方程的分析》、《流 线法与无穷级数》、《曲线求积分》、《流线简论》；莱布尼茨主要著作：《新方法》、《深奥的几何与不可分量及无限的分析》；发展：欧拉著作：《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》；完善（严格化）：柯西发表《分析教程》、《无限小计算教程概论》，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号，这种严格化的突出表现是创造了一套（）语言，用以重建分析体系；它们以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数微分、收敛积分等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。 ⑥数学三次危机：1、无理数的发现 2、无穷小是零吗？ 3、悖论的产生 ⑦哥德巴赫的猜想：他的假设相当于：每个偶数是两个素数之和，每个奇数是三个素数 之和。这就是著名的哥德巴赫猜想，用语言来叙述，分两部分内容，第一部分叫奇数的猜想，第二部分叫偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数之和；偶数的猜想指出，任何一个大于等于4的偶数都是两个素数之和。 ⑧《九章算术》包括哪些内容：一：算术方面. 分数四则运算法则、比例算法、盈不足 术。二：代数方面. 方程术、正负术、开方术。三：几何方面. 面积计算、体积计算、勾股定理。 ⑨数学发展中心的迁移：公元前600年---公元前后：古希腊。公元前后---公元14世纪： 中国、印度、阿拉伯。15世纪---17世纪，意大利、法国。17世纪---18世纪：英国。 18世纪---19世纪前半：法国、德国。19世纪后半---20世纪30年代：德国、法国。
庞加莱猜想与超弦革命 有些弦理论家提出，彻底认识全息原理和它在弦理论中的应用，将会第三次导致超弦革命。此话怎讲？量子引力理论有近十种，如半量子引力、欧几里德量子引力、超引力、扭量理论、非对易几何、离散引力、圈量子引力、拓扑场论、超弦和M理论等，难道全息原理都能统一起来吗？其实，在我们宇宙中，场和粒子何者是原初的或派生的？对这个深奥的问题能给出肯定的解答的，至今还只有庞加莱猜想。因为物质进化，可以出现千姿百态的复杂的和特殊的事物，何者是原初或何者是进化，正是要从庞加莱猜想出发，才能分清各种层次的位置，例如，平面几何和非欧几何都是成立的，但我们要把它们分成两个层次，一般说来平面几何比非欧几何更初等些。同理，一般拓扑学和轨形拓扑学都是成立的，但在近十种的量子引力理论中，并没有分清它们的层次位置，这使得在它们的动力学作用量方程中，使用的类似
规范场代数式、非对应几何代数式等作解，需要庞加莱猜想来作再认识。 一、庞加莱猜想与唯象规范场 我们知道，如果黒洞内部有一个奇点，转动黒洞的内部就有一个奇环。奇点和奇环的存在与坐标的选取无关，这反映了时空的内禀性质，也为超弦理论的“开弦”和“闭弦”提供了先验的几何图像。 1、奇异超弦论中的庞加莱猜想熵流 代数与几何相比，图形比代数式要直观一些，即唯象些。规范场分阿贝尔规范场和非阿贝尔规范场，它们都有整体对称和定域对称两种区别，只是在定域对称上，非阿贝尔规范场比阿贝尔规范场要求有更严格的条件，代数式也更复杂化些。把整体对称和定域对称联系庞加莱猜想，庞加莱猜想熵流有三种趋向： A、庞加莱猜想正定理：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是等价于一个三维的