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庞加莱猜想百科名片庞加莱猜想电脑三维模型庞加莱猜想是法国数学家提出的一个猜想，是悬赏的（七个千年大奖问题）之一。
2006年被确认由俄罗斯数学家最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的。
目录展开庞加莱猜想图示令人头疼的世纪难题缘起如果我们伸缩围绕一个表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“的”，而轮胎面不是。
大约在一百年以前，已经知道，球面本质上可由单连通性来刻画，他提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。
这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
一位史家曾经如此形容1854年出生的（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。
”庞加莱作为的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。
庞加莱猜想，就是其中的一个。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的的：在一个中，假如每一条封闭的都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面的n维封闭流形必定于n维球面。
”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
猜想的简单比喻如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。
或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里庞加莱猜想面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。
拿一个气球来，带到这个球形的房子里。
庞加莱猜想浅谈庞加莱猜想，故名思意，最早是由法国数学家庞加莱提出的，这是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。
2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里•佩雷尔曼（俄语：ГригорийЯковлевичПерельман，1966年6月13日出生）完成了最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但可以，佩雷尔曼在颁奖典礼上并未现身领奖。
猜想是庞加莱在1904年发表的一组论文中提出，猜想本身并不复杂：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
解释来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。
粗浅的比喻以下，如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“单连通的”，而防真轮胎面不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
对于猜想的破解，前后经历了近100年的时间：20世纪这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。
怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。
1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。
1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。
拓扑学难以证明庞加莱猜想你知道庞加莱猜想吗？要是知道的话，想必你也听说过这个让无数数学家抓破头的难题。
简直像是数学界的“定海神针”，没有它，整个拓扑学的世界都不完整。
可是呢，庞加莱猜想不仅难，还能让你看得眼花缭乱，摸不着头脑。
你要问我为什么？哎，别急，咱慢慢聊。
庞加莱猜想的意思其实很简单：假设你有一个三维空间中闭合的、没有边界的物体，如果它满足某些条件，那它一定是一个“球体”。
看起来是不是简单得不能再简单了？就像告诉你，世界上所有的圆都是圆，所有的苹果都是苹果似的。
但问题就是，数学家们花了大半辈子也没法证明这件事。
再聪明的头脑也没有办法直接去验证这条猜想，甚至有的数学家，搞得差点晕头转向。
想想看吧，拓扑学这玩意儿，讲的就是形状和空间的“变形”游戏。
你拿个橡皮泥捏捏，挤挤，捏成一个大球、一个小球，或者把它搓成个玩具车形状，理论上它们的拓扑结构是一样的。
奇怪吧？但这就是拓扑学的精髓——不管你怎么捏，最终只要不撕裂、拉伸，它们的“本质”是一样的。
你说，这种东西搞不定也就算了，结果庞加莱猜想竟然和这个有关系，难度可想而知。
更离谱的是，大家都知道，数学家要解决问题，得有证据、有论证，不能靠想象和猜测。
庞加莱猜想要么是对的，要么是错的。
你让我用普通的眼光去看，感觉它简直就像在拿一个几百公斤的铁锤砸一颗坚硬的石头，想要准确打个小洞。
看似简单的“球体”到底是啥？它该怎么在无数变形中依然“保形”？这个问题，别说当时的数学家，就是现在的很多人也解不开。
最奇葩的是，这个猜想让数学家们陷入了“循环困境”。
他们发现，证明这个猜想并不是直接找个三维空间球体来“验证”。
实际上，要证明庞加莱猜想需要用到一个叫做“高维空间”的概念。
就是你想要解决一个三维问题，结果发现自己跑到了四维、五维的世界里去。
就像是你跑去买米，结果被人推到厨房做饭，最后还要自己烧火做饭那种尴尬。
你明明想解决一个问题，结果每一步都被带到更难的地方去。
但是呢，奇迹也会发生！有一天，2003年，数学家佩雷尔曼终于给出了一种方法，这个方法的背后就是“理性与智慧的结晶”。
庞加莱猜想证明概述在庞加莱猜想提出后，很多数学家对其展开了探索和研究，但一直没有找到一个确凿的证明或反例。
直到2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论等一系列数学方法，证明了庞加莱猜想。
这篇文章将介绍庞加莱猜想的历史背景和相关概念，然后详细描述佩雷尔曼的证明过程和相关数学原理，最后分析庞加莱猜想对数学和科学领域的重要意义。
一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想的提出可以追溯到19世纪末的数学发展。
当时，数学家们已经开始探讨对多维几何空间的研究，如三维流形的性质和拓扑结构等。
此时，亨利·庞加莱成为了这一领域的先驱者，他提出了著名的庞加莱猜想，引发了数学界对于三维空间性质的深入思考和研究。
庞加莱猜想的提出也在一定程度上推动了数学领域的发展，为拓扑学和几何学等领域的研究提供了新的动力和方向。
然而，长期以来，庞加莱猜想一直未能找到确凿的证明，成为数学界的一个难题。
二、庞加莱猜想的相关概念1. 流形：在数学领域，流形是指一个局部与欧氏空间同胚的空间。
在庞加莱猜想中，主要讨论的是三维紧致的无边界的连通流形。
2. 欧氏空间：欧氏空间指的是平凡的三维空间，即我们所生活的空间。
在庞加莱猜想中，研究的对象是三维欧氏空间中的环流变形问题。
3. 拓扑结构：拓扑结构是指一个空间的结构，它并不依赖于空间的具体度量，而仅仅与空间的连通性和邻域关系有关。
在庞加莱猜想中，研究的就是流形的拓扑结构和性质。
三、佩雷尔曼的证明过程2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论，证明了庞加莱猜想。
他的证明过程可以概括为以下几个步骤：1. 利用几何流的理论，建立了三维流形的梯度不等式，从而引入了里奇流的概念。
2. 利用里奇流的理论，证明了当流形上的里奇曲率为正时，流形是球面的概率。
3. 利用梯度流的理论，证明了当流形上的梯度不等式成立时，流形是球面的概率。
佩雷尔曼庞加莱定理佩雷尔曼和庞加莱定理，说起来就好像一个超级大难题，能让数学爱好者头痛不已。
但是别怕，今天我尽量用一种大家都能理解的方式，来聊聊这个话题。
说到佩雷尔曼，你可能觉得他是不是某个深藏不露的数学天才？嗯，确实，他的名字在数学界可算是响当当的。
不过，他也并不是什么高高在上的神秘人物，相反，他更像是一个生活中不怎么起眼的普通人。
有一个细节特别值得一提。
曾经有个数学大会上，佩雷尔曼的名气已经传开了，但他并没有像大部分的数学界大佬一样在台上发表演讲，而是穿着一件很普通的外套，安安静静地坐在观众席上。
很多人都没注意到他，就是这么低调，甚至不怎么和人打交道。
他就像是那种在学校里总能给人留下深刻印象，但永远不会主动找人搭话的“冷门高手”。
不过你要知道，正是这个“冷门高手”，在2003年突然用他自己的方式，解决了一个困扰了数学界几十年的问题——庞加莱猜想。
说回庞加莱猜想，这个问题一开始听上去就像个谜题：它讲的是一个几乎没人能搞清楚的三维空间问题。
简单说，庞加莱猜想就是猜测，如果一个三维物体没有“洞”，它是不是可以通过某些方式变成一个球体？在几百年前，有个叫庞加莱的数学家就提出了这个问题，但后来大部分人都认为，没人能解决它。
直到佩雷尔曼的出现，他利用了一种叫做“里奇流”的方法，终于让庞加莱猜想从谜题变成了定理。
现在，很多人可能会想，佩雷尔曼到底是怎么做到的呢？你不妨想象一下，解开庞加莱猜想就像是在拼一个特别复杂的拼图。
这个拼图里，既有难度极高的数学公式，也有无数个看似不相关的概念和工具。
佩雷尔曼就像是一个擅长拼图的人，他把一个个散乱的部分巧妙地组合在了一起，最终拼出了一个完美的结果。
但问题来了，佩雷尔曼做出的这个成就，并没有让他在数学界大肆宣扬自己，反而，他选择了远离公众视野，甚至拒绝了很多奖项和荣誉。
比如，他拒绝了2006年普林兹奖的100万美元奖金。
这个举动让很多人都傻眼了。
你说，别人拿到奖项会开心得不行，佩雷尔曼怎么就这么“淡定”呢？其实，这就像我前段时间看的一件事：有个朋友参加一个小型比赛，虽然奖品并不丰厚，但是他还是非常认真地准备了很久，最后得了第一名。
庞加莱猜想-前言Wir m\"ussen wissen! Wir werden wissen!(我们必须知道！我们必将知道！)—— David Hilbert两年前科学版举行过一次版聚，我报告了低维拓扑里面的一些问题和进展，其中有一半篇幅是关于Poincar\'e 猜想。
版聚后，flyleaf 要求大家回去后把自己所讲的内容发在版上。
当时我甚至已经开始写了一两段，但后来又搁置了。
主要是因为自己对于低维拓扑还是一个门外汉，写出来的东西难免有疏漏之处，不敢妄下笔。
两年过去，我对低维拓扑这门学科的了解比原先多了，说话的底气也就比原先足了。
另外，由于Clay 研究所的百万巨赏，近年来Poincar\'e 猜想频频在媒体上曝光；而且Perelman 最近的工作使数学家们有理由相信我们已经充分接近于这一猜想的最后解决。
所以大概会有很多人对Poincar\'e 猜想的来龙去脉感兴趣，我也好借机一偿两年来的宿愿。
现代科学的高速发展使各学科之间的鸿沟加大，不同学科之间难以互相理解，所以非数学专业的读者在阅读本文时可能会遇到一些困难。
但限于篇幅和文章的形式，我也不可能对很多东西详细解释。
一些最基本的拓扑概念如“流形”，我将在本文的附录中解释。
还有一些“同调群”、“基本群”之类的名词，读者见到时大可不去理会它们的确切含义。
我将尽量避免使用这一类的专业术语。
作者并非拓扑方面的专家，对下面要说的很多内容都是道听途说，只知其然而不知其所以然；作者更不善于写作，写出来的东东总会枯燥无味，难登大雅之堂。
凡此种种，还请读者诸君海涵。
问题的由来Consid\'erons maintenant une vari\'et\'e [ferm\'ee] $V$ \`a trois dimensions ... Est-il possible que le groupe fondamental de $V$ ser\'eduise \`a la substitution identique, et que pourtant $V$ ne soit pas simplement connexe?—— Henri Poincar\'e在拓扑学家的眼里，篮球、排球和乒乓球并没有什么不同，它们都同胚于三维空间中的球面S^2. (我们把n+1维欧氏空间中到原点距离为1的点的集合记作S^n，称为n维球面(sphere)。
庞加莱猜想【摘要】庞加莱是法国著名数学家，他提出的“庞加莱猜想”引起极大轰动，后人为证明此猜想而不懈努力，经过一个世纪的钻研，终于对此猜想给出完整证明。
本文就是通过对庞加莱猜想及后人对此做的努力做出叙述，以此让大家体会数学家们的事业热情和博大胸怀。
【关键词】庞加莱猜想、代数拓扑学、证明、萨密尔、瑟斯顿、米歇尔、汉密尔顿、佩雷尔曼、朱熹平、曹怀东、伟大贡献、宽阔胸怀、钻研精神、敬佩庞加莱是法国数学家，被称为是19世纪最后四分之一和20世纪初期的数学界的领袖人物，是对数学和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师。
他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等当代数学不少研究课题，都溯源于他的工作。
在他留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。
1904 年，庞加莱提出有关空间几何结构的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
这就是著名的“庞加莱猜想”庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。
”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。
”粗浅的比喻为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。
这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
百年未解的谜题：庞加莱猜想《三联生活周刊》2006年8月17日《百年未解的谜题：庞加莱猜想》十几年来，没有哪一届国际数学家大会，能像8月22日将在西班牙马德里召开的2006年国际数学家大会(ICM2006)这样引人注目。
早在几个月前，ICM2006的网站上，就贴出了这样的消息:“一个有100年历史的数学难题的证明，将在本届大会上宣布。
”尽管做出欲说还休的姿态，但看一眼会议的日程表——8月22日17:15至18:15，里查德·汉密尔顿(Richard Hamilton)，题目:庞加莱猜想。
答案，已经无需再言。
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。
”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。
庞加莱猜想，就是其中的一个。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
提出这个猜想后，庞加莱一度认为，自己已经证明了它。
但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。
于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。
20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。
但突然，英国数学家怀特黑德(Whitehead)对这个问题产生了浓厚兴趣。
他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。
失之桑榆、收之东隅的是，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。
50年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾(R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊泽(Moise)和帕帕奇拉克普罗斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。
帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。
攻克庞加莱猜想的数学隐士——佩雷尔曼2002年11月在数学预印本网站上，佩雷尔曼贴出了仅仅只有三页非常简洁的论文，目标直指百年数学难题庞加莱猜想（实际上，他描述的是更一般的瑟斯顿几何化猜想，庞加莱猜想是它的一个特例）。
这个消息不胫而走，随即引发了数学界的轩然大波，更多的人认为这是一个“恶作剧”，就像曾经有很多人宣称自己证明了哥特巴赫猜想一样。
但四个月后，佩雷尔曼又上传了一份更加详细的论文，补充了很多证明的细节，并以邮件的形式和少数数学界内他信得过的人讨论交流。
第二年，佩雷尔曼再上传了一篇论文，给出了更多相关细节。
这三篇论文的正确与否直接关系着一个百年数学难题的命运。
实际上，佩雷尔曼为公众所知，更多的原因在于他拒绝了数学最高奖菲尔兹奖与千禧百万美元数学大奖，至于他到底做了哪些贡献，是一个什么样的数学家，一般人还是不太了解。
在他发布论文以后，了解佩雷尔曼的人都对其正确性持乐观态度，因为在此之前，他已经是一位卓有成就，天赋异禀且严谨谦虚的数学家，如果没有把握，他是不会轻易发布这样的论文。
那么，佩雷尔曼到底是一位什么样的数学家？与庞加莱猜想又有怎样的渊源？佩雷尔曼佩雷尔曼（全名为Grigori Yakovlevich Perelman ，俄语为: Григо́рийЯ́ковлевичПерельма́н），1966年6月13日出生于圣彼得堡（也即苏联时期的列宁格勒），是著名的俄罗斯籍犹太裔数学家，他的父亲是电路工程师而母亲则为当地小学数学教师。
佩雷尔曼从小就对玩乐没什么兴趣，宁愿呆在家看书或者下棋。
母亲发现他的数学天才之后，送他去了一个数学培训班，之后又让他去了以数学和物理见长的239中学。
仅仅三个月之后，佩雷尔曼代表苏联在国际中学生数学奥林匹克上获得满分金牌，而且据传，佩雷尔曼还在另一个更难的几何竞赛中拿下赛史上第一个满分。
在同时代的人中，佩雷尔曼的数学天才几乎找不出对手。
佩雷尔曼这样非凡的天才立即引来了美国顶级名校耶鲁大学的极大兴趣，并以巨额奖学金吸引他来就学，但佩雷尔曼毫不犹豫地拒绝了。
