2011-2012学年八年级数学 专题 角的平分线的性质练习

人教版八年级上册第1课时角的平分线的性质(348) 1.如图，已知∠1=∠2，BA<BC，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180∘2.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，. 求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．3.如图，已知AD//BC，∠D=90∘．(1)如图①，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，CD经过点P．试问：P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图②，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35∘，求∠PAD的度数4.如图OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤35.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长为（）A.3B.4C.6D.57.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是．8.如图，在△ABC中，两条外角平分线交于点P，PM⊥AC交AC的延长线于点M．若PM=6cm，则点P到AB的距离为．9.如图，已知AB//CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC于点E，OE=2，则AB与CD之间的距离为．10.如图，已知点B，D分别在∠DAB的两边上，C为∠DAB的内部的一点，且AB=AD，DC=BC，CE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．试判断CE与CF是否相等，并说明理由．11.如图，利用尺规作∠AOB的平分线OC，其作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点②分别以D，E为圆心，以大于12C；③画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．这样作图的原理是一种三角形全等的判定方法，这种判定方法是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS12.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C,D，则下列结论错误的是（）A.PC=PDB.∠CPD=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD13.求证：直角三角形的两锐角互余14.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠CAB=50∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB,AC于点E,F；EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；②分别以点E,F为圆心，大于12③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.40∘B.55∘C.65∘D.75∘15.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径画圆弧，分别交AB，AC于E，EF的长为半径画圆弧，两条圆弧交于点G，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12作射线AG交CD于点H．若∠C=140∘，则∠AHC的大小是（）A.20∘B.25∘C.30∘D.40∘参考答案1.【答案】:证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ． ∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于点F ，∴PE =PF ，∠PEA =∠PFC =90∘．在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，PA =PC ，PE =PF ，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC(HL )，∴∠PAE =∠PCB ．∵∠PAE +∠BAP =180∘，∴∠PCB +∠BAP =180∘．2.【答案】:解：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D,E 求证：PD =PE证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO =∠PEO =90∘．在△PDO 和△PEO 中，{∠PDO =∠PEO ，∠AOC =∠BOC ，OP =OP.∴△PDO ≌△PEO(AAS )，∴PD =PE .3(1)【答案】解：P 是线段CD 的中点．理由如下： 如图，过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵AD//BC ，∠D =90∘，∴∠C =180∘−∠D =90∘，即PC ⊥BC ．∵∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ，∴PD =PE ，PC =PE ，∴PC=PD，∴P是线段CD的中点.(2)【答案】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E．∵AD//BC，∠D=90∘，∴∠C=180∘−∠D=90∘，即PC⊥BC．在△PBE与△PBC中，{∠PEB=∠C，∠PBE=∠PBC，PB=PB.∴△PBE≌△PBC(AAS)，∴∠EPB=∠CPB=35∘，PE=PC．∵PC=PD，∴PD=PE．在Rt△PAD与Rt△PAE中，{PA=PA，PD=PE∴Rt△PAD≌Rt△PAE(HL)，∴∠APD=∠APE．∵∠APD+∠APE=180∘−2×35∘=110∘，∴∠APD=55∘，∴∠PAD=90∘−∠APD=35∘．4.【答案】:C【解析】:作PM⊥OB于点M．∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3. 故选 C5.【答案】:B【解析】:因为BE平分∠ABC，∠ACB=90°，DE⊥AB于点D，所以DE=EC，AE+DE=AE+EC=AC=3cm.故选 B.6.【答案】:A【解析】:如图，过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2.由图可知S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12×4×2+12AC×2=7，解得AC=3.故选A．7.【答案】:12【解析】:解：∵∠C=90∘，∴AC⊥CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD．∵BC=9，BE=3，∴△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12.8.【答案】:6cm【解析】:如图，过点P作PN⊥BC于点N，PQ⊥AB,交AB的延长线于点Q．∵PB，PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，PM⊥AC,∴PN=PM，PQ=PN，∴PQ=PM．∵PM=6cm，∴PQ=6cm，即点P到AB的距离为6cm．9.【答案】:4【解析】:如图，过点O作MN，使MN⊥AB于M，交CD于N．∵AB//CD，∴MN⊥CD．∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2.∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB与CD之间的距离是4.10.【答案】:解：CE=CF．理由：∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∴∠DAC=∠BAC，∴AC为∠EAF的平分线．∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴CE=CF(角平分线上的点到角两边的距离相等).11.【答案】:A12.【答案】:B【解析】:∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，∴PC=PD，故A项正确．在Rt△OCP与Rt△ODP中，∵OP=OP,PC=PD,∴Rt△OCP≌Rt△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C，D两项正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B项错误．故选B13.【答案】:已知：在△ABC中，∠C=90∘．求证：∠A+∠B=90∘．证明：∵∠A+∠B+∠C=180∘，而∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，即∠A与∠B互余.14.【答案】:C【解析】:根据作图方法可得AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50∘，∠CAB=25∘，∴∠CAD=12∵∠C=90∘，∴∠CDA=90∘−25∘=65∘.故选C.15.【答案】:A【解析】:解：由题意可得AH平分∠CAB．∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180∘，∠HAB=∠AHC．∵∠ACD=140∘，∴∠CAB=40∘．∵AH平分∠CAB，∴∠HAB=20∘，∴∠AHC=20∘.。

8年级数学人教版上册同步练习角的平分线的性质（含答案解析）专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21∠∠，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥ABBAC B∶∶于点E，AC=3 cm，求BE的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图，三条公路把A﹨B﹨C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC﹨BC两边高线的交点处B．在AC﹨BC两边中线的交点处C．在∠A﹨∠B两内角平分线的交点处D．在AC﹨BC两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，，∴AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD =∠∠．在ABD △和ACD △中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△．∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠，∴90BDA =︒∠，∴AD BC ⊥．2．证明：∵AO 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OD =OE ，在Rt △BDO 和Rt △CEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO ∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ．3．解：∵∠C =90°，∴∠BAC +∠B =90°，又DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，又21BAC B =∶∶∠∠，∴∠A =60°，∠B =30°， 又∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC =DE ，∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BEDAED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ），∴3BE AE == cm ． 4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A ﹨∠B 两内角平分线的交点处．故选C ．5．∠A 的角平分线上，且距A1cm 处 角平分线上的点到角两边的距离相等6．解：作两个角的平分线，交点P 就是所求作的点．。

专题12.3 角的平分线的性质1.角平分线的定义将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。

2.作角平分线（尺规作图，四弧一线）角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．3.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.4.角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.5.角平分线的综合应用（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）实际生活中的应用．6.证明命题基本方法（1）明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）（2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.【例题1】已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．【例题2】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．【例题3】已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．【例题4】如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.【例题5】如图，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE AB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE的周长是( )A.15B.12C.9D.6一、选择题1．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C2.如图，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE AB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE 的周长是( )A.15B.12C.9D.63．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°4．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°二、填空题5.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为．6．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=．7．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=____度．三、解答题8.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．9.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.(1)求证：DE平分∠BDC；(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.10. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．11.如图,在△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=10 cm，AC=8 cm，△ABC的面积是45 cm2，求DE的长．12.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交OA于点D，PE⊥OB交OB于点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．13.如图，在四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．求证：（1）OC平分∠ACD；（2）OA⊥OC；（3）AB+CD=AC．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．专题12.3 角的平分线的性质1.角平分线的定义将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。

2011-2012学年八年级数学练习专题：角的平分线的性质【模拟试题】（答题时间：90分钟）一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）A. 4B. 6C.8 D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. 如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3B. 4C.5 D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DEB. ∠AED＝90°C. ∠ADE＝∠ADCD. DB＝DC 6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB 的周长为（）A. 4cmB. 6cmC.10cm D. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处 D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在__________．14. 如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．17. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．【试题答案】一. 选择题1. B2. A3. B4. A5. D6. C7. B8. D二. 填空题9. 3cm 10. 40°，50° 11. PD⊥OA，PE⊥OB12. 角平分，全等，角平分线的性质，点D到AB、AC两边13. ∠DAB的角平分线上14. （1）3（2）1515. （1）PD＝PE（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上三. 解答题16. （1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．（2）∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝27°．17. （1）证明：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，又∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∵∠EAF＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝360°－180°＝180°，∵∠AFD＋∠CFD＝180°，∴∠AED＝∠CFD，∴△DME≌△DNF，∴DE＝DF．（2）仍成立．18. 证明：∵∠1＝∠2，BD⊥OA，AE⊥OB，∴CD＝CE，∵∠DCA＝∠ECB，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ACD≌△BCE，∴AC＝BC．19. （1）图略，仓库G在∠NOQ的平分线上，（2）仓库G到铁路的实际距离是100m．四. 探究题20. 他这种作法对，理由如下：由作法可知：OC＝OD，OB＝OA，∠COB＝∠DOA，∴△BCO≌△ADO，AC＝BD，∴∠OCE＝∠ODE，∵∠AEC＝∠BED，∴△ACE≌△BDE，∴CE＝DE，∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE，∴∠COE＝∠DOE，即OE平分∠MON．。

《角的平分线的性质》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为点E，EA＝3，D为OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC∥OM，则CD的最小值为（）A．6B．8C．10D．122．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE ＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：93．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B＝（）A．40°B．30°C．25°D．22.5°5．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（）A．3B．10C．15D．30二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知点O是△ABC的三条角平分线的交点，若△ABC的周长为12cm，面积为36cm2，则点O到AB的距离为cm．7．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD是∠ACB的平分线，若BD＝2，则D到AC的距离为．8．（5分）如图，AB∥CD，∠ABC和∠DCB的角平分线BP，CP交于点P，过点P作P A ⊥AB于A，交CD于D．若AD＝10，则点P到BC的距离是，∠BPC＝°．9．（5分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，BD是角平分线，BD＝5，BC＝4，则D点到AB的距离是．10．（5分）如图，△ABC中，AB＝6，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，DE ＝4，则△ABD面积是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于E点．（1）求∠EDA的度数；（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．12．（10分）如图所示，在△ABC中：（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是（将序号按正确的顺序写在横线上）．①分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于N点；③画射线BP，交AC于点D．（2）能说明∠ABD＝∠CBD的依据是（填序号）．①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等．（3）若AB＝18，BC＝12，S△ABC＝120，过点D作DE⊥AB于点E，求DE的长．13．（10分）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．14．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，AB＝10cm，求△ABD 的面积．15．（10分）如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR＝PS，点Q是AC上一点，且AQ＝PQ．（1）求证：QP∥AR；（2）AR、AS相等吗？说明理由．《角的平分线的性质》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为点E，EA＝3，D为OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC∥OM，则CD的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM时，CD取最小值，利用全等三角形的判定和性质得出AC＝AD＝AE＝3，进而解答即可．【解答】解：由题意可得，当CD⊥OM时，CD取最小值，∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，∴AD＝AE＝3，∵BC∥OM，∴∠DOA＝∠B，∵A为OB的中点，∴AB＝AO，在△ADO与△ABC中，∴△ADO≌△ABC（SAS），∴AC＝AD＝3，∴CD＝AC+AD＝3+3＝6，故选：A．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC＝AD＝AE＝3．2．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE ＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：9【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED＝2：1，再根据三角形相似求得S△ACD＝S即可求得．△ABE【解答】解：∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD＝2：3，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．3．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠E＝90°，∵AD＝AD，∴△DAC≌△DAE（AAS），∴∠CDA＝∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE＝60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE＝AB，AE＝AC，∵AC＝4BE，∴AB＝5BE，AE＝4BE，∴S△ADB＝5S△BDE，S△ADC＝4S△BDE，∴S△ABC＝9S△BDE，∴④错误；∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B，∴∠BDE＝∠BAC，∴②∠BAC＝∠BDE正确．故选：B．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，是一道结论开放性题目，考查了学生利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养发散思维能力．4．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B＝（）A．40°B．30°C．25°D．22.5°【分析】利用全等直角三角形的判定定理HL证得Rt△ACD≌Rt△AED，则对应角∠ADC ＝∠ADE；然后根据已知条件“DE平分∠ADB”、平角的定义证得∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°；最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B＝30°．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，∴CD＝ED．在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠ADC＝∠ADE（全等三角形的对应角相等）．∵∠ADC+∠ADE+∠EDB＝180°，DE平分∠ADB，∴∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°．∴∠B+∠EDB＝90°，∴∠B＝30°．故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．5．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（）A．3B．10C．15D．30【分析】根据角平分线的性质得到GH＝CG＝3，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，GH⊥AB，∴GH＝CG＝3，∴△ABG的面积＝×AB×GH＝15，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知点O是△ABC的三条角平分线的交点，若△ABC的周长为12cm，面积为36cm2，则点O到AB的距离为6cm．【分析】连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD＝OE，同理，OD＝OE＝OF，则AB•OD+AC•OF+CB•OE＝36，即×（AB+AC+BC）×OD＝36，∴OD＝6（cm），故答案为：6．【点评】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．7．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD是∠ACB的平分线，若BD＝2，则D到AC的距离为2．【分析】作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质求出DH即可．【解答】解：作DH⊥AC于H，∵CD是∠ACD的平分线，∠B＝90°，DH⊥AC，∴DH＝DB＝2，故D到AC的距离为2，故答案为：2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．（5分）如图，AB∥CD，∠ABC和∠DCB的角平分线BP，CP交于点P，过点P作P A ⊥AB于A，交CD于D．若AD＝10，则点P到BC的距离是5，∠BPC＝90°．【分析】作PH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到P A＝PH，PD＝PH，得到P A＝PD；证明Rt△ABP≌Rt△HBP，根据全等三角形的性质计算即可．【解答】解：作PH⊥BC于H，∵AB∥CD，P A⊥AB，∴P A⊥CD，∵BP是∠ABC的平分线，P A⊥AB，PH⊥BC，∴P A＝PH，同理，PD＝PH，∴P A＝PD＝5，则点P到BC的距离为5，在Rt△ABP和Rt△HBP中，，∴Rt△ABP≌Rt△HBP（HL）∴∠APB＝∠HPB，同理，∠CPH＝∠CPD，∴∠BPC＝∠HPB+∠HPC＝×180°＝90°，故答案为：5；90．【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．9．（5分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，BD是角平分线，BD＝5，BC＝4，则D点到AB的距离是3．【分析】依据角平线的性质可得点D到AB和BC的距离相等，求出CD的长度即可得到D点到AB的距离．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BD＝5，BC＝4，∴由勾股定理得：CD＝3，又∵BD是∠ABC的平分线，∴DE＝DC＝3，即点D到AB的距离是3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题时注意：角平分线上点到角两边距离相等．10．（5分）如图，△ABC中，AB＝6，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，DE ＝4，则△ABD面积是12．【分析】过D作DF⊥AB于F，依据角平分线的性质，即可得到DF＝DE＝4，再根据三角形的面积公式列式进行计算得出△ABD的面积．【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DF＝DE＝4，又∵AB＝6，∴△ABD面积＝×AB×DF＝×6×4＝12，故答案为：12．【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．（1）求∠EDA的度数；（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．【分析】（1）直接利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得出答案；（2）过D作DF⊥AC于F，依据角平分线的性质，即可得到DF＝DE＝3，再根据S△ABC ＝×AB×DE+×AC×DF进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；（2）如图，过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝3，又∵AB＝10，AC＝8，∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27．【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形的面积，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．12．（10分）如图所示，在△ABC中：（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③（将序号按正确的顺序写在横线上）．①分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于N点；③画射线BP，交AC于点D．（2）能说明∠ABD＝∠CBD的依据是①（填序号）．①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等．（3）若AB＝18，BC＝12，S△ABC＝120，过点D作DE⊥AB于点E，求DE的长．【分析】（1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答；（2）根据全等三角形的判定定理和性质定理解答；（3）过点D作DF⊥BC与F，根据角平分线的性质定理得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③，故答案为：②①③；（2）在△MBP和△NBP中，，∴△MBP≌△NBP（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，故答案为：①；（3）过点D作DF⊥BC与F，∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，S△ABC＝S△ABD+S△CBD，即×AB×DE+×BC×DF＝120，∴×18×DE+×12×DE＝120，解得，DE＝8．【点评】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的作法，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．13．（10分）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【分析】利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD＝PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解答】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD＝PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．14．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，AB＝10cm，求△ABD 的面积．【分析】作出图形，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为点E∵BD平分∠ABC，DE⊥AB DC⊥BC∴DE＝DC又∵DC＝3cm∴DE＝3cm∴cm2．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（10分）如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR＝PS，点Q是AC上一点，且AQ＝PQ．（1）求证：QP∥AR；（2）AR、AS相等吗？说明理由．【分析】（1）依据角平分线的判定，即可得到∠P AR＝∠P AS，依据等边对等角，由AQ ＝PQ，推出∠P AS＝∠APQ，即可推出∠P AR＝∠APQ，进而得出PQ∥AR．（2）只要利用HL，证明Rt△APR≌Rt△APS，即可推出AS＝AR．【解答】解：（1）∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，又∵AQ＝PQ，∴∠CAP＝∠APQ，∴∠BAP＝∠APQ，∴QP∥AR；（2）相等，理由：∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠ARP＝∠ASP＝90°，在Rt△APR和Rt△APS中，，∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），∴AS＝AR．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．。

《12.3 角平分线的性质》课时练一、选择题1．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，连结AO，若△OAB、△OBC、△OCA的面积比为1：1：，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，AB＝7cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则EB的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定3．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BE＝3，则△BDE的周长是（）A．15B．12C．9D．64．如图，△ABC外角∠CBD，∠BCE的平分线BF、CF相交于点F，则下列结论成立的是（）A．AF平分BC B．AF⊥BC C．AF平分∠BAC D．AF平分∠BFC 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4m，AB ＝10m，则△ABD的面积是（）A ．20m 2B ．30m 2C ．40m 2D ．无法确定 6．三条笔直的公路两两相交，若要建一座仓库，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．AD 是△ABC 的角的平分线，AB ＝5，AC ＝3，则S △ABD ：S △ACD ＝（ ）A ．1：1B ．2：1C ．5：3D ．3：58．如图，AB ∥CD ，点P 到AB 、BC 、CD 距离都相等，则∠P ＝（ ）A ．120°B ．90°C ．75°D ．60°9．如图，若OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是（ ）A ．PC ＝PDB ．OC ＝PC C ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD 10．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，△ABC 面积是28cm 2，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，则DE 的长为（ ）A．2B．2.4C．3D．3.2二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝8，BD＝5．则点D 到AB的距离为．13．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为．14．如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，过D作AC的垂线DE交AC于E，DE＝5，则D到AB的距离是．15．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是（写序号）三．解答题16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB，BC三边的距离相等，求∠AOC的度数．17．已知，如图，A，B，C，D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△P AB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，AP平分∠BAC并交BC于点P．（1）求S△ABP 与S△ACP的比值；（2）求BP的长．19．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．（1）求证：PD＝PE＝PF；（2）点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．B 10．A 二．填空题（共5小题）11．312．313．814．515．①②④⑤三．解答题（共4小题）16．解：∵点O到AC、BC、AB三边的距离相等，∴AO，CO分别平分∠CAB，∠ACB，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠BCA＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝45°，∴∠AOC＝180°﹣45°＝135°，17．证明：过P点作PE⊥ON，PF⊥OM，∵△P AB的面积与△PCD的面积相等，AB＝CD，∴PE＝PF，∵PE⊥ON，PF⊥OM，∴射线OP是∠MON的平分线．18．解：（1）过P作PE⊥AB，PF⊥AC，∵AP平分∠BAC并交BC于点P．PE⊥AB，PF⊥AC ∴PE＝PF，∴S△ABP 与S△ACP的比＝；（2）∵＝＝，∴＝＝，∴PB＝BC＝．19．（1）证明：∵BM平分∠ABC，PE⊥BC，PD⊥AB，∴PE＝PD，∵CN平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴PE＝PF，∴PD＝PE＝PF．（2）解：结论：点P在∠BAC的平分线上。

初中数学《八上》第十二章全等三角形-角的平分线的性质考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分1、如图，在四边形ABCD 中，∠A=90° ， AD=3 ， BC=5 ，对角线 BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（）A ． 7.5B ． 8C ． 15D ．无法确定知识点：角的平分线的性质【答案】A【详解】试题分析：如图，过点D 作DE⊥BC 于点 E ．∵∠A=90° ，∴AD⊥AB ．∴AD=DE=3 ．又∵BC=5 ，∴S△BCD =BC•DE=×5×3=7.5 ．故选A ．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．2、如图，在中，，按以下步骤作图：① 以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点M，N；② 分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③ 作射线，交于点D．若点D到的距离为1 ，则的长为_______ ．评卷人得分知识点：角的平分线的性质【答案】【分析】过点D作于点E，由尺规作图AD平分，可求，然后证明∠EDB =∠B，可得DE =BE =1 ，在Rt △DEB 中，由勾股定理得出，即可得出答案．【详解】解: 过点D作于点E，由作图步骤知，AD平分，，点D到的距离为1 ，∵∴∠B =∠CAB =45° ，∴∠EDB =180°-∠DE B -∠B =45°=∠B，∴DE =BE =1 ，在Rt △DEB中，由勾股定理∴BC =DC +BD =1+．故答案为1+．【点睛】本题考查角平分线尺规作图，角平分线性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，掌握角平分线尺规作图，角平分线性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理是解题关键．3、如图，在矩形中，连接，将沿对角线折叠得到交于点O，恰好平分，若，则点O到的距离为（）A ．B ． 2C ．D ． 3知识点：角的平分线的性质【答案】B【分析】l ∵ 将沿对角线折叠得到△BDE，∴∠EBD =∠CBD，∵恰好平分，∴∠ABO =∠EBD，OA =OF，∴∠EBD =∠CBD =∠ABO，∴∠ABO =30° ，∵，∴OF =OA =AB ·tan30°=2 ，故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．4、已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6 ，则点D到直线的距离为__________ ．知识点：角的平分线的性质【答案】3 或或或【分析】将△ABC放入正方形中，分∠ABC =90° ，∠BAC =90° ，再分别分AB =BC =6 ，AC =6 ，进行解答．【详解】解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点，如图，若∠ABC =90° ，则∠A BC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点，过点D作DF ⊥AB，垂足为F，当AB =BC =6 ，则DF =BC =3 ；当AC =6 ，则AB =BC ==，∴DF =BC =；如图，若∠BAC =90° ，过点D作DF ⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD =∠CBD，AD =DF，又∠BAD =∠BFD =90° ，BD =BD，∴△BAD ≌△BFD（AAS），∴AB =BF，当AB =AC =6 ，则BC =，∴BF =6 ，CF =，在正方形ABEC中，∠ACB =45° ，∴△CDF是等腰直角三角形，则CF =DF =AD =；当BC =6 ，则AB =AC ==，同理可得：，综上：点D到直线AB的距离为：3 或或或，故答案为：3 或或或．【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答．5、如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A ．B ．C ．D ．知识点：角的平分线的性质【答案】B【分析】先通过作图过程可得AD平分∠BAC ,DE ⊥AB , 然后证明△ACD ≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE =EB时才符合题意．【详解】解：由题意可得：AD平分∠BAC ,DE ⊥AB ,在△ACD和△AED中∠AED =∠C，∠EAD =∠CAD ,AD =AD∴△ACD ≌△AED（AAS）∴DE =DC ,AE =AC , 即C、D正确；在Rt △BED中，∠BDE =90°-∠B在Rt △BED中，∠BAC =90°-∠B∴∠BDE =∠BAC，即选项A正确；选项B，只有AE =EB时，才符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．6、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且BF=CE，连结BE、AF相交于点G ，则下列结论(1)BE=AF (2)∠DAF=∠BEC (3)∠AFB+∠BEC=90 (4)AG⊥BE正确的个数是( )A．1 B．2 C.3 D．4知识点：角的平分线的性质【答案】C7、如图，若，与分别相交于点,与的平分线相交于点，且，度．知识点：角的平分线的性质【答案】8、如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________ ．知识点：角的平分线的性质【答案】【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．【详解】如图，过D作，则D到的距离为DE平分，，点D到的距离为．故答案为．【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键．9、如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：（1 ）用直尺和圆规作图；（2 ）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．知识点：角的平分线的性质【答案】答案见解析．【分析】方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．方法二：作出以OP为底边的等腰三角形BPO，再作出∠OBP的角平分线交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．【详解】解：作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．作法：连结PO，分别以P、O为圆心，以大于PO的长度为半径画弧交PO上方于点B，连结BP、BO；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BP、BO于C、D两点，分别以于C、D两点为圆心，大于CD的长度为半径画弧交于一点，连结该点与B点，并将其反向延长交PQ于点A，以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．10、如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是（）A. BD＝CDB. DE＝DFC. ∠B＝∠CD. AB＝AC知识点：角的平分线的性质【答案】B11、如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定知识点：角的平分线的性质【答案】B12、如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 6知识点：角的平分线的性质【答案】A13、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DEB. ∠AED＝90°C. ∠ADE＝∠ADCD. DB＝DC知识点：角的平分线的性质【答案】D14、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对知识点：角的平分线的性质【答案】B15、如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处知识点：角的平分线的性质【答案】 D16、如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．知识点：角的平分线的性质【答案】3cm17、如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．知识点：角的平分线的性质【答案】40°，50°18、如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．知识点：角的平分线的性质【答案】PD⊥OA，PE⊥OB19、如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．知识点：角的平分线的性质【答案】角平分，全等，角平分线的性质，点D到AB、AC两边20、如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在__________．知识点：角的平分线的性质【答案】∠DAB的角平分线上。

13.3 角的均分线的性质一、选择题 1．如图 1 所示 ，∠ 1=∠ 2，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ，E ，则以下结论中错误的选项是 （ ）．A ． PD=PEB ．OD=OE C．∠ DPO=∠ EPO D ． PD=ODBEACPDEFOD ABDCA E B（ 1） (2) (3)2．如图 2 所示，在△ ABC 中， AB=AC ， AD 是△ ABC 的角均分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是 E ，F ，则以下四个结论：① AD 上随意一点到C ，B 的距离相等；② AD 上随意一点到 AB ，AC 的距离相等；③ BD=CD ， AD ⊥ BC ；④∠ BDE=∠ CDF ，此中正确的个数是（ ）． A ．1个 B．2个 C ．3个 D． 4 个3．如图 3 所示，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC=1， AB=2 ，AD 在∠ BAC?的均分线上，DE ⊥ AB 于点 E ，则△ DBE 的周长为（ ）．A ．2B ．1+2C ． 2D．没法计算AAAEDC EFPOEBOFB BDC(4)(5)(6)4．如图 4 所示，已知∠ AOB ，求作射线 OC ，使 OC 均分∠ AOB ， ?作法的合理次序是（）．（ 1）作射线 OC ；（ 2）在 OA 和 OB 上，分别截取 OD ， OE ，使 OD=OE ； （ 3）分别以 D ， E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，在∠ AOB 内，两弧交于点 C ．2A ．（ 1）（ 2）（ 3）B ．（ 2）（ 1）（ 3）C ．（ 2）（ 3）（ 1）D ．（ 3）（ 2）（ 1） 二、填空题1．（ 1）若 OC 为∠ AOB 的均分线，点 P 在 OC 上， PE ⊥OA ， PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，则PE=________，依据是 ________________ ．（ 2）如图 5 所示，若在∠ AOB 内有一点 P ，PE ⊥ OA ，PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，且 PE=PF ，则点 P 在 _______，依据是 ____________ ．2．△ ABC 中，∠ C=90°， AD均分∠ BAC，已知 BC=8cm，BD=5cm，则点 D?到 AB?的距离为 _______．3．如图 6 所示， DE⊥AB 于 E，DF⊥ AC 于点 F，若 DE=DF，只要O 增添一个条件， ?这个条件是 __________ ．4．以下图，∠ AOB=40°， OM均分∠ AOB， MA⊥ OA于 A， MB?⊥OB?于 B， ?则∠ MAB的度数为 ________．三、解答题1．以下图，AD是∠ BAC的均分线， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC于 F，且 BD=CD，那么相等吗？为何？AN M BBE与 CFEBDA F C2．以下图，∠ B=∠ C=90°， M是 BC中点， DM均分∠ ADC，判断 AM?能否均分∠ DAB，说明原因．M DCA B3．以下图，已知 PB⊥ AB，PC⊥ AC，且 PB=PC，D是 AP 上一点，由以上条件能够获得∠BDP= ∠ CDP吗？为何？ADCBP研究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）以下图，在一次军事演习中，?红方侦探员发现蓝方指挥部设在 A 区，到公路、铁路的交错处 B 点 700m．假如你是红方指挥员，?请你以下图的作图地图上标出蓝方指挥部的地点．BA区比率尺 1:200002．（研究题）已知：在△ABC中， AB=AC．（1）依据以下要求画出图形：①作∠BAC的均分线交 BC于点 D；②过 D作 DE⊥ AB，垂足为点 E；③过点 D作 DF⊥ AC，垂足为点 F ．（2）依据上边所画的图形，能够获得哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明原因．3．以下图，在△ ABC中， P， Q?分别是 BC， AC上的点，作 PR⊥ AB， PS⊥ AC，垂足分别是R，S．若 AQ=PQ， PR=PS， ?下边三个结论① AS=AR，② QP∥ AR，③△ BRP≌△ CSP中，正确的是（）．A ．①和③B．②和③C．①和② C ．①，②和③BRPA Q S C、、答案 :一、1． D 分析：∵∠ 1=∠ 2， PD ⊥ OA 于 E ， PE ⊥ OB 于 E ，∴ PD=PE ．又∵ OP=OP ，∴△ OPE ≌△ OPD ．∴ OD=OE ，∠ DPO=∠ EPO ．故 A ，B ， C 都正确．2． D 分析：如答图，设点 P 为 AD 上随意一点，连接PB ，PC ．∵ AD 均分∠ BAC ，∴∠ BAD=∠ CAD ．又∵ AB=AC ， AP=AP ，∴△ ABP ≌△ ACP ，∴ PB=PC ． A故①正确．由角的均分线的性质知②正确．∵ AB=AC ，∠ BAD=∠ CAD ，AD=AD ，P∴△ ABD ≌△ ACD ．E F∴ BD=CD ，∠ ADB=∠ ADC ．BDC又∵∠ ADB+∠ ADC=180°， ∴∠ ADB=∠ ADC=90°， ∴ AD ⊥BC ，故③正确．由△ ABD ≌△ ACD 知，∠ B=∠ C ．又∵ DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥AC 于点 F ，∴∠ BED=∠ CFD=90°，∴∠ BDE=∠ CDF ．故④正确．4． C 分析：∵ AD 均分∠ CAB ， AC ⊥ BC 于点 C ，DE ⊥ AB 于 E ，∴ CD=DE ．又∵ AD=AD ，∴ Rt △ACD ≌ Rt △ AED ，∴ AC=AE ． 又∵ AC=BC ，∴ AE=BC ，∴△ DBE 的周长为 DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 2 ．提示：想法将 DE+BD+EB 转成线段 AB ．5． C二、 1．（ 1） PF 角均分线上的点到角的两边的距离同样（ 2）∠ AOB 的均分线上 到角的两边距离相等的点在角的均分线上2．分析：以下图，AD 均分∠ CAB ， DC ⊥ AC 于点 C ， DM ⊥AB 于点 M ．∴ CD=DM ，∴ DM=CD=BC-BD=8-5=3．答案： 3C提示：利用角的均分线的性质．D3． AD 均分∠ BAC ．4．分析：∵ OM 均分∠ AOB ，∴∠ AOM=∠ BOM=AOB=20°．AMB2又∵ MA ⊥ OA 于 A ， MB ⊥ OB 于 B ，∴MA=MB．∴Rt △OAM≌ Rt△ OBM，∴∠ AMO=∠ BMO=70°，∴△ AMN≌△ BMN，∴∠ ANM=∠ BNM=90°，∴∠ MAB=90° -70 ° =20°．答案： 20°三、 1．分析： BE=CF．∵AD均分∠ BAC， DE⊥ AB于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．又∵ BD=DC，∴ Rt△ BDE≌Rt △ CDF，∴ BE=CF．提示：由角的均分线的性质可知DE=DF，进而为证△ BDE≌△ CDF供给了条件．2．分析： AM均分∠ DAB．原因：如答图13-9 所示，作 MN⊥ AD于点 N，∵ DM均分∠ CDA，MC ⊥ DC于点 C，MN⊥ AD于点 N，∴MC=MN．又∵ M是 BC的中点，∴ CM=MB，∴MN=BM，∴ AM均分∠ DAB．3．分析：能够．∵ PB⊥AB于点 B， PC⊥ AC于点 C，且 PB=PC，D CNM A B∴AP均分∠ BAC，∴∠ BAP=∠CAP．在 Rt△ ABP和 Rt△ ACP中，PB=PC ， AP=AP，∴Rt △ABP≌ Rt△ ACP，∴ AB=AC．在△ ABD与△ ACD中，AB=AC ，∠ BAP=∠CAP， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴∠ ADB=∠ ADC，∴∠ BDP=∠ CDP．研究应用拓展性训练1．如答图所示．分析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN的均分线上．又∵比率尺为1： 20000，∴ P 离 B 为 3． 5cm．提示：到角的两边距离相等的点在角的均分线上．2．（ 1）分析：按题意绘图，如答图13-11 ．（2）能够获得 ED=FD， AE=AF， BE=CF，BD=CD．原因以下：∵ AB=AC，∠ 1=∠ 2， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴ BD=DC．∵∠ 1=∠2， DE⊥AB 于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．A1 2E F BD C又∵ AD=AD，∴Rt △AED≌ Rt△ AFD，∴ AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即 BE=CF．提示：正确地画出图形是解决问题的重点，另三角形全等来找寻相等的线段．3． C分析：如答图所示，连接AP．∵PR⊥AB于点 R， PS⊥ AC于点 S， PR=PS，∴ AP均分∠ BAC，∴∠ 1=∠2．又∵ AQ=QP，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，∴ PQ∥ AR．在 Rt △APR和 Rt△ APS中，外此题主要应用角的均分线的性质及BRP312PR=PS ， AP=AP，A Q S C ∴Rt △APR≌ Rt△ APS，∴ AR=AS．而△ BRP与△ CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．提示：此题的打破口是判断出点P 在∠ BAC的均分线上．。

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

八年级数学上册《第十二章 角的平分线的性质》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：1．△ABC 是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A 、∠B 的平分线，如果两条平分线交于点O ，那么下列选项中不正确的是（ ）A ．点O 一定在△ABC 的内部B ．∠C 的平分线一定经过点OC ．点O 到△ABC 的三边距离一定相等D ．点O 到△ABC 三顶点的距离一定相等2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，使点P 到AB 、BC 的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知直线AB CD ，EG 平分BEF ∠，140∠=︒则2∠的度数是（ ）A ．70︒B ．50︒C ．40︒D ．140︒4．如图，在 ABC 中 90B ∠=︒ ， AD 为 BAC ∠ 的角平分线.若 4BD = ，则点 D 到 AC 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图：△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AC=6cm ，则DE+BD 等于（ ）A ．5cmB ．4cmC ．6cmD ．7cm6．如图，已知在ABC 中，AB=9，BC=12，AC=15，ABC 的三条角平分线交于点O ，则ABO BOC CAO SS S ：：等于（ ）A ．111：：B ．123：：C ．345：：D ．234：：7．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和25，则△EDF 的面积为( )A ．35B ．25C ．15D ．12.58．如图，△AOB 的外角∠CAB ，∠DBA 的平分线AP ，BP 相交于点P ，PE ⊥OC 于E ，PF ⊥OD 于F ，下列结论：(1)PE=PF ；(2)点P 在∠COD 的平分线上；(3) ∠APB=90°-∠O ，其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：9．如图，已知∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC ，且AD 是∠EAC 的平分线，若∠B=71°，则∠BAC= ．10．如图，∠AOB=80°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D ，若QC=QD ，则∠AOQ= ．11．如图，四边形ABCD 中 90BCD ∠=︒ ，∠ABD=∠DBC ， AB=5 ， DC=6 ，则 ABD 的面积为 ．12．已知OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，且PD=3cm ，过点P 作PE ∥OA 交OB 于E ，∠AOB=30°，求PE 的长度 cm ．13．如图，在△ABC 中，∠ABC=48°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠ABE= °．三、解答题：14．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE BC 交AB 于点E ，50C ∠=︒和95BDC ∠=︒求BED ∠的度数．15．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是28cm 2，AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长．16．如图，BD=CD ，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E.求证：点D 在∠BAC 的角平分线上.17．如图，已知DE ⊥AE ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，BD=CD ，BE=CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE ，请你帮他写出证明过程．18．如图，在四边形ABDC 中90D B ∠=∠=︒，O 为BD 上的一点，且AO 平分BAC CO ∠，平分ACD ∠.求证：（1）OA OC ⊥.（2）AB CD AC +=参考答案：1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．D 8．C9．38°10．40°11．1512．613．2414．解：∵50C ∠=︒ 95BDC ∠=︒∴180955035DBC ∠=︒-︒-︒=︒ BD 平分ABC ∠35ABD CBD ∴∠=∠=︒又∵DE BC∴180180235110BED ABC ∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒ ．15．解：∵在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ∴DE=DF∵△ABC 面积是28cm 2，AB=20cm ，AC=8cm∴S △ABC = 12 AB •DE+ 12 AC •DF=28即 12 ×20×DE+ 12 ×8×DF=28解得DE=2cm ．16．解：∵BF ⊥AC ，CE ⊥AB∴∠BED=∠CFD=90°在△BED 和△CFD 中{∠BED =∠CFD∠BDE =∠CDF BD =CD∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴DE=DF又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴点D 在∠BAC 的平分线上.17．（1）证明： DE AB ⊥ DF AC ⊥90E DFC ∴∠=∠=︒在 Rt BED ∆ 和 Rt CFD ∆ 中BD CD BE CF =⎧⎨=⎩Rt BED Rt CFD(HL)∴∆≅∆DE DF ∴=DE AB ⊥ DF AC ⊥EAD CAD ∴∠=∠AD ∴ 平分 BAC ∠ ；（2）证明： 90E AFD ∠=∠=︒在 Rt AED ∆ 和 Rt AFD ∆ 中AD AD DE DF =⎧⎨=⎩Rt AED Rt AFD(HL)∴∆≅∆AE AF ∴=BE CF =2AB AC AE BE AF CF AE CF AE CF AE ∴+=-++=-++= ．18．（1）证明：∵90D B ∠=∠=︒∴180B D ∠+∠=︒∴AB CD∴180BAC DCA ∠+∠=︒∵AO 平分BAC ∠，CO 平分ACD ∠ ∴12OAC OAB BAC ∠=∠=∠ 12ACO DCO ACD ∠=∠=∠ ∴119022OAC ACO BAC ACD ∠+∠=∠+∠=︒ ∴1809090AOC ∠=︒-︒=︒∴OA OC ⊥；（2）证明：过点O 作OE AC ⊥于点E ，如图所示：∵90D B ∠=∠=︒∴OB AB ⊥ OD CD ⊥∵AO 平分BAC ∠，CO 平分ACD ∠∴OB OE = OD OE =∵OA OA = OC OC =∴()Rt Rt HL OAB OAE ≌ ()Rt Rt HL OCE OCD ≌ ∴AB AE =，CD CE =∴AB CD AE CE AC +=+=。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)一、单选题1．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．点O到△ABC的三边距离一定相等C．∠C的平分线一定经过点O D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等【答案】D【解析】由三角形的三条角平分线在三角形内相交于一点可知：A、C正确；而由角平分线的性质可证得点O到△ABC的三边距离相等，所以B正确；而三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离不一定相等，所以D错误.故选D.2．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM ，再根据角平分线的判定定理可得PB 平分∠ABC ，即可判定①；证明⊥PAN ⊥⊥PAH ，⊥PCM ⊥⊥PCH ，根据全等三角形的性质可得⊥APN=⊥APH ，⊥CPM=⊥CPH ，由此即可判定②；在Rt ⊥PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由⊥BPN=⊥CPA=60°即可判定④.【详解】如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．⊥⊥PAH=⊥PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，⊥PN=PH ，同理PM=PH ，⊥PN=PM ，⊥PB 平分∠ABC ，⊥⊥ABP=12⊥ABC=30°，故①正确， ∵在Rt ⊥PAH 和Rt ⊥PAN 中，PA PA PN PH =⎧⎨=⎩， ⊥⊥PAN ⊥⊥PAH ，同理可证，△PCM ⊥⊥PCH ，⊥⊥APN=⊥APH ，⊥CPM=⊥CPH ，⊥⊥MPN=180°-⊥ABC=120°，⊥⊥APC=12⊥MPN=60°，故②正确，在Rt⊥PBN中，∵∠PBN=30°，⊥PB=2PN=2PH，故③正确，⊥⊥BPN=⊥CPA=60°，⊥⊥CPB=⊥APN=⊥APH，故④正确．综上，正确的结论为①②③④.故选D.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.3．如图，AD是△ABC中△BAC的角平分线，DE△AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如图，作DF⊥AC交AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF,∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC·DF+12AB·DE=12DE（AC+AB）=9，∴12×2×（AC+5）=9，∴AC=4.故选B.点睛：（1）遇到角平分线较常用的一类辅助线的作法是过角平分线上一点向角的两边作垂线.（2）三角形的面积除了用公式法还可以用割补法将三角形的面积用别的形式表示出来，此题将三角形面积表示为两个三角形的面积之和，然后列方程求解.4．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（）的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线【答案】A【解析】试题分析：由角平分线性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，则这个点是三角形三条角平分线的交点，即可确定答案.解：∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，∴这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A.5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BD=5cm，DE=3cm，则AC的长为（）A．8 cm B．10 cm C．6cm D．16 cm【答案】A【解析】解：⊥AD平分⊥BAC，⊥C=90°，DE⊥AB，⊥CD=DE，⊥BD=5，DE=3，⊥CD=3，⊥AC=BC=CD+DB=3+5=8．故选A．6．如图，在△ABC中，△1＝△2，G为AD的中点，BG的延长线交AC 于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）△AD是△ABE的角平分线；△BE是△ABD的边AD上的中线；△CH是△ACD的边AD上的高；△AH是△ACF的角平分线和高A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．点睛：本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．7．如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，若∠=︒，则∠D的度数是（）A70A．40°B．50°C．65°D．55°【答案】D【解析】∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∴∠EBC+∠FCB=360°－110°=250°，∵BD、CD分别平分∠CBE、∠BCF，∴∠DBC=∠DBE，∠DCB=∠DCF，∴∠DBC+∠DCB=125°，∴∠D=55°.故选D.点睛:充分利用三角形的内角和，平角的性质，以及角平分线的性质.8．如图，△1＝△2，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OD＝OE C．△DPO＝△EPO D．PD＝OP【答案】D【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得：PD=PE，根据题意HL判定定理可得：Rt△POE△Rt△POD，则OD=OE，△DPO=△EPO.考点：角平分线的性质9．若∠α与∠β互为余角，则∠α的补角与∠β的补角之和为( )A．90°B．180°C．270°D．360°【答案】C【解析】∵∠α与∠β互为余角，∴∠α+∠β=90°，∵∠α的补角为180°-∠α，∠β的补角为180°-∠β，∴(180°-∠α)+(180°-∠β)=360°-(∠α+∠β)=360°-90°=270°．故选C．【点睛】这是一道有关余角和补角的题目，需明确余角和补角的含义；由于互补的两角之和为180°，于是可以表示出∠α和∠β的补角，进而得到它们的之和；再根据互余的两角之和为90°得到∠α+∠β=90°，即可求出∠α与∠β的补角之和.10．在ABC △内部取一点P ，使得点P 到ABC △的的三边距离相等，则点P 是ABC △的（ ）．A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三边的垂直平凡线的交点【答案】B【解析】如图：PD PF PE ==．故选B ．。

同步习题及讲解一、选择题．1．如图6，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）．A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC>AD2．如图7：△ABC中，∠C=90°，E是AB中点，D在∠B的平分线上，DE⊥AB，则（）． A．BC>AE B．BC=AE C．BC<AE D．以上全不对A．三角形的一个外角等于两个内角和 B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有两边对应相等的两个直角三角形全等二、证明题．4．如图，AD是∠BAC的角的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那么EB与EC•的关系是怎样的呢？请证明你的结论．5．如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于F，那么点F是否在∠DAE的平分线上？请证明你的结论．三、探索题:6．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角的平分线，探索：在AB上是否存在点E，DE•不与AB垂直，而△BDE之周长等于AB的长．若点E存在，请你出证明；若点E不存在，请说明理由．四、聚焦中考:答案:一、1．B 2．B 3．D二、4．提示：∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠DBA=∠DCA，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，BD=DC，又∵DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴BE=EC5.过F作FM⊥AD于M，作FN⊥AE于N，作FP⊥BC于P，∵BF是∠DBC平分线，•∴FM=FP，同理FN=FP，∴FM=FN，∴F在∠DAE平分线上．三、6.不存在，作DH⊥AB于H，设点F在AB上，且AF=BD，点E是HB上任一点，有FE=FH+HE，又可证得DH=DC，△BDE的周长等于AB的长，由三角形三边关系得FE=•EH+•DH>DE，所以“周长”BD+DE+EB<EB+AF+DH+HE=AB，同样可证：AH•上任一点也不满足题目要求．。

八年级数学角平分线的性质练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN角平分线的性质练习题1、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.2、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.3、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .4.点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．5.在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 .6、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD7、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定21D A PO EB第7题 第7题8、如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQT第2题 第3题DC AE BN T Q PME D C B AE D C B A F第8题 第9题 第10题9、如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm10、如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③11、△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm12、已知：如图△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD ，AD=4cm ，求BC 的长．13、如图11．3—4，在△ABC 中∠C=900，AC=BC ，AD 平分．交BC 于点D ，DE ⊥BE求证：（1）DE+BD=AC（2）若AB=6cm ，求△DBE 的周长14、如图11．3—6，已知：AB=AC ，BD=CD ，求证：DE=DF15、如图11．3—3，在，交BC于D，若BC=10cm，BD=6cm，求点D到AB的距离．16、如图ll．3—7，BN是的平分线，P在BN上，D、E分别在AB、BC上，都不是直角，求证：PD=PE22．如图11．3—10，已知0为的平分线的交点，0E_kAC于E，若0E=2求0到AB与0到CD的距离之和．23．如图11．3一ll，已知于F，BE、CF相交于点D若BD=CD 求证：。

八年级数学上册角平分线的性质精选练习题八年级上册数学的角平分线的性质知识点即将学完，教师们腰围同学们准备精选练习题，下面是店铺为大家带来的关于八年级数学上册角平分线的性质精选的练习题，希望会给大家带来帮助。

八年级数学上册角平分线的性质精选练习题目一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是( )A.SASB.AASC.SSSD.ASA2. ∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是( )A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD3. Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是( )A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm4. △ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长为( )A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定5.OP平分，，，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )A. B. 平分 C. D. 垂直平分6.AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S△ABC =7，DE=2，AB=4，则AC长是( )A. 4B. 3C. 6D. 57.AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A、11B、5.5C、7D、3.58.已知：△ABC中，∠C=90o，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于( )(A)2cm、2cm、2cm. (B)3cm、3cm、3cm.(C)4cm、4cm、4cm. (D)2cm、3cm、5cm.二、填空题9.P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出中一对相等的线段(只需写出一对即可) .10.在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠AB C，AD=2 cm，则点D到BC的距离为________cm.11 .OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为.12.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是13.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为14.已知△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=.15.AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF与AD的关系是16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的.P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为.17.AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为18. △ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO =三、解答题19.已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD，求证：∠B=∠C.20. 画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由.21.AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.(1)若∠ACD=114°，求∠MAB的度数;(2)若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN.22. 已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系?并加以证明.23. △ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G.求证：BF=CG.八年级数学上册角平分线的性质精选练习题答案一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9. PC=PD(答案不唯一) 10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 1015. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19.证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，∴∠B=∠C.20. 解：PE=PF，理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF.21.(1)解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB= ∠CAB=33°(2)证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAM=∠CMA，又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC，在△ACN和△MCN中，∴△ACN≌△MCN.22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中∴Rt△BAE≌Rt△BDE(HL)，∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE. 23. 证明：连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE=EC，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE (HL)，∴BF=CG。

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题（含答案）12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质要点感知1 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离_____.预习练习1-1 如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB,垂足为D,则PC与PD的大小关系是( )A.PC>PDB.PC=PDC.PC<PDD.不能确定要点感知2 命题证明的一般步骤为：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示已知和求证；(3)写出证明过程.预习练习2-1 命题“全等三角形对应角的角平分线长度相等”的已知是____,求证是____.知识点1 角平分线的作法1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等2.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC的角平分线,保留作图痕迹,但不写作法.知识点2 角平分线的性质3.如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4 cm，则点P到边BC的距离为cm.4.如图所示,E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA,ED ⊥OB,垂足分别为C ，D.求证：OC=OD.5.如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE 的长.知识点3 命题证明6.命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是____,结论是____.7.证明：全等三角形对应边上的中线相等.8.如图,AD ∥B C,∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P,作PE ⊥AB 于点E.若PE ＝2,则两平行线AD 与BC 间的距离为____.9.如图，在△ABC ，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ；②分别以点E,F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ，则∠CDA 的度数为____. 10.已知，如图所示，△ABC 的角平分线AD 将BC 边分成2∶1两部分，若AC=3 cm ，则AB=____.11.已知:如图所示,点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E,求证：OB ＝OC.12.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB 的周长.13.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.挑战自我14.如图，∠AOB=90°，OM 平分∠AOB ，直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.参考答案课前预习要点感知1 相等 预习练习1-1 B预习练习2-1 全等三角形对应角的角平分线 对应角的角平分线长度相等 当堂训练 1.A 2.图略. 3.4 4.证明：∵E 是∠AOB 的平分线上一点,CE ⊥OA,ED ⊥OB ，∴EC=ED.在Rt △OCE 和Rt △ODE 中,OE=OE,EC=ED,∴Rt △OCE ≌Rt △ODE(HL).∴OC=OD.5.∵BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，∴点D 到BC 的距离等于DE 的长度.∵AB=18，BC=12，∴S △ABC =S △ABD +S △BCD =21×18·DE+21×12·DE=21DE(18+12)=15·DE.∵△ABC 的面积等于90，∴15·DE=90.∴DE=66.全等三角形对应边的高线 对应边的高线相等7.已知:△ABC ≌△A ′B ′C ′,AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线.求证：AD=A ′D ′.证明：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′,∴AB=A ′B ′,∠B=∠B ′,BC=B ′C ′.又∵AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线,∴BD=21BC,B ′D ′=21B ′C ′.∴BD=B ′D ′.∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(SAS).∴AD=A ′D ′.课后作业 8.4 9.65° 10.6 cm 11.证明:∵点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,∴OE ＝OD,∠BEO ＝∠CDO ＝90°.在△BEO 与△CDO 中,∠BEO ＝∠CDO,OE ＝OD,∠EOB ＝∠DOC,∴△BEO ≌△CDO(ASA).∴OB ＝OC.12.∵AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt △ACD ≌Rt △AED.∴AE=AC.∴△DEB 的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm. 13.已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD,A ′D ′分别是∠BAC,∠B ′A ′C ′的平分线,且AD=A ′D ′.求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′.证明：∵∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线,∴∠BAD=∠B ′A ′D ′.∵∠B=∠B ′,AD=A ′D ′，∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS).∴AB=A ′B ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,AB=A ′B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA).14.PC=PD.理由如下：过点P 分别作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为点E ，F.又∵OM 平分∠AOB ，∴PE=PF.又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF=90°.∴∠EPC+∠CPF=90°.又∵∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°.∴∠EP C=∠FPD.在△PCE 与△PDF 中，∠PEC=∠PFD ，PE=PF ，∠EPC=∠FPD ，∴△PCE ≌△PDF(ASA).∴PC=PD.第2课时 角的平分线的判定要点感知1 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上.预习练习1-1 已知点P 为∠AOB 内部的一点,PD ⊥OB 于点D,PC ⊥OA 于点C,且PC=PD,则OP 平分_____.要点感知2 三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到_____.预习练习2-1 如图,在△ABC 中,BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB,并且BD ，CE 相交于点O,过O 点作OP ⊥BC 于点P,OM ⊥AB 于点M,ON ⊥AC 于点N,则OP ，OM ，ON 的大小关系是_____.知识点1 角平分线的判定1.已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用3.如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是( )A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不能确定4.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.知识点3 角平分线的性质与判定的实际应用5.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA，OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.6.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.7.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定8.如图所示,P为△ABC外部一点,D，E分别在AB，AC的延长线上,若点P到BC，BD，CE 的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是( )A.在∠DBC的平分线上B.在∠BCE的平分线上C.在∠BAC的平分线上D.在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上9.三条公路两两相交于A，B，C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.10.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.11.如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.12.如图所示,△ABC中,∠B＝∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E，F分别为垂足,则当D 移动到什么位置时,AD 恰好平分∠BAC,请说明理由.挑战自我13.已知：如图所示，在△ABC 中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.参考答案课前预习要点感知1 平分线 预习练习1-1 ∠AOB要点感知2 三边的距离相等 预习练习2-1 OP=OM=ON 当堂训练 1.D 2.证明：∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE 和△CDF 中，∠BDE=∠CDF, ∠DEB=∠DFC,BE=CF,∴△BDE ≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴AD 平分∠BAC. 3.B 4.证明：过点D 分别作DE ⊥AB,DG ⊥AC,DF ⊥BC,垂足分别为E,G,F.又∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACF,∴DE=DF,DG=DF.∴DE=DG.∴AD 平分∠EAC,即AD 是∠BAC 的外角平分线.5.图略.提示：作∠AOB 的角平分线，与AB 的交点即为点M 的位置.6.在三角形内部分别作出两条角平分线,其交点O 就是小亭的中心位置,图略. 课后作业7.A8.D9.410.(1)证明：∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°.在△BOD 和△COE 中，∠BOD=∠COE ，OD=OE ，∠ODB=∠OEC,∴△BOD ≌△COE(ASA).∴OB ＝OC. (2)证明：在△BOD 和△COE 中，∠ODB=∠OEC ，∠BOD=∠COE ， OB=OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS).∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.11.证明：过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G.∵S △DCE =21CE ·DG,S △DB F=21BF ·DH,S△DCE=S △DBF ,∴21CE ·DG=21BF ·DH.又∵CE=BF,∴DG=DH.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.12.移动到BC 的中点时,AD 恰好平分∠BAC.理由如下:∵D 是BC 的中点,∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C,∴△DEB ≌△D FC(AAS).∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴AD 平分∠BAC.13.证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.在△BED 和△CFD 中，∠BED=∠CF D=90°,∠1=∠2,BD=CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴DE=DF.又DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.。

TQ PNMOEDCB AABCDEFG B 1CBA 1ANMED C B A八年级数学：角平分线的性质及判定 练习1．三角形中，到三边距离相等的点是（ ）（A ）三条中线交点 （B ）．三条角平分线交点 （C ）．三边垂直平分线交点．2、如图，MP ⊥NP ，MQ 平分∠NMP ，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列结论中，不正确的是（ ） （A ）TQ ＝PQ ． （B ）∠MQT ＝∠MQP ． （C ）∠QTN ＝90o ．（D ）∠NQT ＝∠MQT ．3．如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，则①△ABD ≌△ACE ；②△BOE ≌△COD ；③O 在∠BAC 的平分线上，以上结论正确的是4．如图△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC ＝60o ，则∠A 的度数是 5．若一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，则这个三角形是 三角形6、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ）（A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．7．如下图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于8．如图，△ABC ≌△A 1B 1C 1，且∠A ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶3∶5，则∠BCA ∶∠B 1A 1C = ． 9、如图，BD ⊥AE ，DC ⊥AF ，且DB ＝DC ，∠BAC ＝40o ，∠ADG ＝130o ，则∠DGF= 10、△ABC 中∠C=90o ,AD 平分∠BAC ，BC=32，BD ：CD=9：7，则D 到AB 边的距离为 11、如图，AE 平分∠BAC ，BD ＝DC ，DE ⊥BC ，EM ⊥AB ，EN ⊥AC ．求证：BM ＝CN ．DCBAMF EDCB APFECBA12、如图，P 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线AF 上的任意一点，求证：△ABC 的周长小于△PBC的周长．13、⑴已知：如图，△ACM ，△CBN 是等边三角形，求证：AN=BM ，(2)如图3,仍保留原题的所有条件,并设AN 、BM 交于点F,连接CF,求证：BF=CF+NF,NM BCA F NMBCA。

全等三角形章角平分线的性质北京四中龚剑钧知识要点：一、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.二、角平分线的逆定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上.三、角的平分线的尺规作图四、三角形角平分线的性质1.三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.2.三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.例题分析：例1．已知：如图，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．例2．如图，∠ACB=90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线a交BC的延长线于F. 求证：AE=CF例3．已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F. 求证：点F必在∠DAE的平分线上．例3．已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF求证：AF为∠BAC的平分线.例5.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AE=AF．例6.如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．巩固练习：1.如图△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（）A.①③B.②③C.①②D.①②③2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB=（）A.50°B.45°C.40° D .35°3、已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE=5cm，则直线AB与CD的距离为（）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm4、如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）A．1︰1︰1 B．1︰2︰3C．2︰3︰4 D．3︰4︰55、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（）A. 11B.5.5C. 7D. 3.5。

角的平分线的性质练习题知识点1：角的平分线的作法1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D，则∠CDA的度数为.知识点2：角的平分线的性质2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，垂足为C，PD⊥OB，垂足为D，则PC与PD的大小关系是（）A．PC＞PD B．PC＝PDC．PC＜PD D．不能确定3．如图所示，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是（）A．PM＞PN B．PM＝PNC．PM＜PN D．无法确定4．★如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE ＝2，则△BCE的面积等于()A．10 B．7C．5 D．4知识点3：文字命题的证明5．命题“全等三角形对应边上的高相等”，已知：如图，；求证：.6．证明：全等三角形对应边上的中线相等．如图，已知△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是对应边BC，B′C′边上的中线．求证：AD＝A′D′.易错点：错用角的平分线的性质7．如图，AD平分∠EAF，过点D作BC⊥AD交AE，AF于点B，C.求证：BD＝DC.小聪的证明思路如下：∵AD平分∠EAF，BC⊥AD，∴BD＝DC(角的平分线上的点，到角的两边的距离相等)．你认为小聪的证明过程对吗？如果不对，错在哪里？并写出正确的证明过程．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB ＝6 cm，则△DBE的周长是()A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．9 cm9．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是(0，－3)，AB的长是10，则△ABD的面积为.10．如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28 cm2，AB＝16 cm，AC＝12 cm，则DE的长为.11．★如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ABD＝∠CBD.若P 是BC边上一动点，则DP长的最小值为.12．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC，若∠PCB＝75°，则∠BAP ＝.13．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A.(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E；(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系．14．(教材P51习题T4变式)如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB 交BC于点E，PF∥AC交BC于点F.(1)求证：点D到PE的距离与到PF的距离相等；(2)如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想(1)中的结论还成立吗？请证明你的猜想．【名师点津】角的平分线性质有以下规律可循：图中有角平分线，可向两边作垂线；还可将图对折看，对折以后关系明显．。