考研数学：高数讲义重点题型解答(二)

2023汤家凤高数辅导讲义重点题型讲解一、序言2023年，汤家凤高数辅导讲义将成为备考学生的必备教材。

汤家凤老师是国内知名的高数教育专家，他的辅导讲义在备考学生中享有很高的声誉。

本文将针对2023汤家凤高数辅导讲义中的重点题型进行深度解析，帮助学生更好地掌握和运用这些题型。

二、基础概念的理解和掌握1. 导数与微分在2023汤家凤高数辅导讲义中，导数与微分是极为重要的章节之一。

我们需要理解导数和微分的基本概念。

导数表示函数在一点上的变化率，而微分是一元函数在某一点附近的线性近似。

这两个概念对于理解函数的变化规律和求解最优化问题至关重要。

2. 不定积分和定积分不定积分和定积分是高数中的核心内容之一，也是汤家凤高数辅导讲义中的重点。

不定积分是原函数的概念，而定积分则表示函数在区间上的“累积”效应。

学生需要熟练掌握不定积分和定积分的计算方法，并理解它们在几何和物理上的应用。

3. 微分方程微分方程作为高数的重要内容，也是2023汤家凤高数辅导讲义中的难点之一。

微分方程描述了变化的规律，它在物理、生物、经济等领域中有着广泛的应用。

学生需要理解微分方程的基本概念和解法，掌握常见的微分方程模型及其应用。

三、深入拓展和综合运用1. 高阶导数和高阶微分在2023汤家凤高数辅导讲义中，高阶导数和高阶微分是需要深入拓展的内容。

高阶导数和高阶微分可以帮助我们更好地理解函数的性质，揭示曲线的突变点和拐点。

学生需要掌握高阶导数和高阶微分的计算方法，并能够灵活运用它们解决实际问题。

2. 曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分是2023汤家凤高数辅导讲义中的拓展内容，也是考察学生综合运用能力的重点。

曲线积分和曲面积分是多元函数的积分形式，它们在物理和工程等领域中有着重要的应用。

学生需要深入理解曲线积分和曲面积分的概念，掌握其计算方法，并能够灵活运用于实际问题的求解。

四、个人观点和总结回顾2023汤家凤高数辅导讲义中的重点题型涵盖了高数的基础概念和拓展内容，它既具有挑战性又具有实用性。

2020年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：301）考生注意事项1、答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位，考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2、选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号和选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答案无效。

3、填（书）写必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B 铅笔填涂。

4、考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

以下信息考生必须认真填写）一.选择题(1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的・)1.当工TO+时,下列无穷小量中最高阶的是B:/ ln(l + √i 3)dt 解析:木题选D 考査的内容主要就是无穷小虽之间的比较,同时也考察了变限积分洛必达相关知识点。

/ (”一1)血Iim ——— ---- 2- ∙0* X (/ (c√'-1)衣)=e r' —]〜云 (/ In (1 + ∖∕P)dt) = In(I ⅛ V Z Z^)〜H / f tf ∆nr ∖ f I / sint 2dt J = Sin(SinZ)2 ・cos 工〜 / ∕∙1 — co<x WO 闯⅛⅛=肥呑若存在故归考试中可宜接求导比较会比较方便 Λ→σ*TLX V Z Sinhd 寸 =[sin(1 — CoSa:)]7 ∙sinx~\；'(⅞^) 'x ^ 故选D 2•函数/(X) =才吾罟务的第二类间断点个数为 4:1 B:2 C :3 解析:本题选C 。

考查的内容就是第••类间断点的定义与极限的运算方法 分母为()的点或者无定义的点有工= Ie = -I ,工=(),工=2 ]⅛(^Z ⅛⅛⅛)=芒卍哩Cm=Oo不存在故为第一类间断点 e 7ττln∣ 1 -H ⑦ ln2 尸5|1 +;Tl 叽(―)=3(1-e -1)-1⅛lnll+Il = OCW 在故*-1 为第二类间断点 ElnI l 卄 1 • χ→o(e r— 1)(X —2) -2：% X l¾(⅛⅛⅛)=⅛k ⅜l¾⅛=∞7fζ存在故*2为第二类间断点UIiln 也土卫=-舟为可去间断点不屈丁•第二类间断点 3.广霁墮血= JQ \/x(l — x) 4 TT 2斤2 Zb T B:T 解折:木题选爪。

第二章导数与微分第一节导数概念一、导数的定义 定义：若极限()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，此极限值称为函数()y f x =在点0x 处的导数。

记为： ()0f x '、0x x y ='、0x x dy dx =、()0x x df x dx = （或极限()()lim 000x x f x f x x x →--存在也可）()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆单侧导数：左导数：()()lim 000x f x x f x x-∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x -→--存在，则称左导数存在，记为：()0f x -'。

右导数：()()lim 000x f x x f x x+∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x +→--存在，则称右导数存在，记为：()0f x +'。

【例1】（89一）已知()32f '=，则【例2】（87二）设()f x 在x a =处可导，则（A ）()f a '. （B ）()2f a '.（C ）0. （D ）()2f a '.【例3】（89二）设()()()()12f x x x x x n =+++，则()0f '= .（C）可导，但导数不连续. （D）可导，但导数连续.处的（A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在.（C）左导数不存在，但右导数存在.（D）左、右导数都不存在.【例7】（96二）设函数()f x在区间(,)-δδ内有定是()f x的（A）间断点. （B）连续而不可导的点. （C）可导的点，且()00f'=.（D）可导的点，且()00f'≠.【例8】（90三）设函数()f x 对任意的x 均满足等式()()1f x af x +=，且有()0f b '=，其中a 、b 为非零常数，则（A ）()f x 在1x =处不可导.（B ）()f x 在1x =处可导，且()1f a '=.（C ）()f x 在1x =处可导，且()1f b '=.（D ）()f x 在1x =处可导，()1f ab '=.二、导数的几何意义和物理意义导数的几何意义： 切线的斜率为：()()tan lim 00x x f x f x k x x →-==-α， ()()00f x f x x x --导数的物理意义：某变量对时间t 的变化率，常见的有速度和加速度。

第一篇 高等数学第一章 函数、极限与连续一、大纲内容与要求【大纲内容】函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=，1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质. 【大纲要求】1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9．理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二、知识网络Nε-”定义X-”定义δ-”定义数列整体有界函数局部有界两个重要的极限(数一、三)∞∞型、型∞-∞型、0∞⋅1∞、0∞、00型初等函数的连续性分段函数连续性的判定闭区间上连续函数的性质——左右极限都存在第二类——左右极限中至少有一个不存在跳跃间断点可去间断点关系极限连续性函数零点定理最值定理有界性、单调性、奇偶性、周期性1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭sinlim1xxx→=单调有界数列有极限夹逼定理三、基本内容(一)函数1．定义 设x 与y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x ，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数，记作()y f x =．数集D 称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定，相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素. 2．几种特性(1)有界性 设函数()y f x =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个x X ∈，都有()f x M ≤成立，称()y f x =在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称()f x 在X 上无界．所以函数在X 上无界，是对任何0M >，总存在0x X ∈，使0()f x M >．(2)单调性 设函数()y f x =在区间I 上有定义，若对于I 上任意两点1x 与2x ，当12x x <时，均有12()()f x f x < [或12()()f x f x >]，称函数()f x 在区间I 上单调增加(或单调减少)．如果其中的“<”(或“>”)改为“≤”(或“≥”)，称函数()f x 在I 上单调不减(或单调不增)． (3)奇偶性 设函数()y f x =的定义域为(,)(0)a a a ->，若对于任一x ∈(,)a a -，都有()()f x f x -=，称()f x 为偶函数，如常数2,,cos C x x 等，其图像关于y 轴对称;若对于任一(,),x a a ∈-都有()()f x f x -=-，称()f x 为奇函数，如3,,sin x x x 等，其图像关于坐标原点对称．(4)周期性 对函数()y f x =，若存在常数0T >，使得对于定义域内的每一个,x x T +仍在定义域内，且有()()f x T f x +=，称函数()y f x =为周期函数，T 称为()f x 的周期． 3．复合函数、反函数、隐函数与分段函数(1)基本初等函数与初等函数基本初等函数 常数函数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数.初等函数 由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.(2)复合函数 设函数()y f u =的定义域为f D ，函数()u x ϕ=的值域为z ϕ，若集合f D 与z ϕ的交集非空，称函数[()]y f x ϕ=为函数()y f u =与()u x ϕ=复合而成的复合函数，u 为中间变量．对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合而成的．(3)反函数 设函数()y f x =的值域为f z ，定义域为f D ，则对于每一个f y z ∈必存在f x D ∈使()y f x =．若把y 作为自变量，x 作为因变量，便得一个函数()x y ϕ=，且[]()f y ϕ y =，称()x y ϕ=为()y f x =的反函数，但习惯上把()y f x =的反函数记作1()y f x -=．y()f x =与其反函数1()y f x -=的图像是关于直线y x =对称的．(4)隐函数 设有方程(,)0F x y =，若当x 在某区间内取任一值，便总有满足该方程唯一的值y 存在时，称由方程(,)0F x y =在上述区间内确定了一个隐函数()y y x =．(5)分段函数 若一个函数在其定义域的不同部分要用不同的式子表示其对应规律，如(),()(),x a x bf x x c x dϕψ<<⎧=⎨<<⎩称为分段函数． (二)极限 1．概念(1)定义1 设()y f x =在0x 的一个去心邻域010001(,)(,)x x x x δδ-+内有定义，若对于任意给定的0ε>，总存在0δ>，使得当上述去心邻域内任意x 满足00x x δ<-<时，不等式()f x a ε-<恒成立，则称常数a 为函数()f x 在0x x →的极限，记作0lim ().x x f x a →=或()f x a → (当0x x →)．直观地说，即当x 无限趋近0x 时，函数()f x 无限趋近常数a ．定义2 设()f x 在区域0x E >>内有定义，若对于任意给定的0ε>，存在0M >，使得当x M E >≥时，不等式()f x a ε-<恒成立，则称a 为当x →∞时函数()f x 的极限，记作lim ().x f x a →∞=直观地说，即当x 无限增大时，函数无限趋近常数a ．(2)左极限与右极限 在定义1中，若把“00x x δ<-<”改为“00x x x δ-<<”，即自变量x 从0x 的左侧趋近于0x ，则称a 为函数()f x 当0x x →时的左极限，记作0lim ()(0);x x f x a f x a -→=-=或 相应把定义1中的“00x x δ<-<”改为00x x x δ<<+， a 便是函数()f x 当0x x →时的右极限，记作00lim ()(0).x x f x a f x a +→=+=或 极限存在的充分必要条件：当0x x →时，函数()f x 的极限存在的充分必要条件为其左、右极限存在并相等，即00(0)(0)f x f x -=+.在定义2中，把x M >改为x M >，便得到x →+∞时函数()f x 的极限的定义，即lim (),x f x a →+∞=以及把“x M >”改为x M <-，便得到lim ()x f x a →-∞=的定义.注 把数列{}n x 看作整数函数即()n x f n =(1,2,)n =，则数列极限的概念lim n n x a →∞=便是()f x 在x →+∞时极限的特殊情况：自变量x 取正整数.即对于任意给定的0ε>，总存在正整数N ，使当n N >时，不等式n x a ε-<恒成立，则称常数a 为数列{}n x 的极限，也称此数列收敛于a .2.性质(1)唯一性 在自变量的一个变化过程中(0x x →或x →∞)，函数的极限存在，则此极限唯一. (2)有界性 若0lim ()[lim ()]x x x f x a f x a →→∞==或，则存在0x 的某去心邻域(或0x M >>)，()f x 在此邻域(或0x M >>)内有界.(3)保号性 设0)lim ()x x f x a →→∞=(x ，0()lim ()x x x g x b →→∞=，若在0x 的某去心邻域(或0x M >>)内恒有()()f x g x <(或()()f x g x ≤)，则a b ≤.3.极限存在准则夹逼准则：若在x 的某去心邻域(或0x M >>)内恒有()()()g x f x h x ≤≤， 且000()()()lim ()lim ()lim ().x x x x x x x x x g x h x a f x a →→→→∞→∞→∞===，则单调有界准则：单调有界数列必收敛. 4.两个重要极限(1)0sin lim 1.x x x→= (2)1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或10lim xx x e →=（1+）. 5.极限的运算设在自变量的同一变化过程中(0x x →或x →∞)，lim (),lim ()f x a g x b ==，则有(1)和差：[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x a b ±=±=±.(2)积：[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x a b ⋅=⋅=⋅.特别地，lim ()lim ()cf x c f x =ca = (其中c 为常数)，[][]lim ()lim ()k kk f x f x a ==(其中k 为正整数).(3)商：若lim ()0g x b =≠，则()lim ()lim()lim ()f x f x ag x g x b==. (4)复合函数的运算法则：已知00lim (),lim ()u u x x f u A x u ϕ→→==⇒在有意义的情况下，lim [()]x x f x ϕ→.A =6.无穷小量与无穷大量(1)无穷小量的概念 若0()lim ()0x x x x α→→∞=，称()x α为0x x →(x →∞)时的无穷小，即极限为0的变量为无穷小量，以下简称无穷小.常数0也是无穷小.(2)无穷小量的性质 0lim ()x x f x a →→∞=(x )的充分必要条件为()()f x a x α=+，其中()x α为0x x →(x →∞)的无穷小.(3)无穷小量的运算1°加法：有限多个无穷小的和仍为无穷小; 2°乘法：有限多个无穷小的积仍为无穷小; 3°有界变量与无穷小的乘积亦为无穷小. (4)无穷小量的比较设()x α与()x β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且()lim ()x x αβ也是在此变化过程中的极限：若()lim0()x x αβ=，称()x α是比()x β高阶的无穷小，记作()(())x o x αβ=; 若()lim()x x αβ=∞，称()x α是比()x β低阶的无穷小; 若()lim0()x c x αβ=≠(其中c 为常数)，称()x α与()x β是同阶的无穷小;特别()lim1()x x αβ=，称()x α与()x β是等价无穷小，记作()~()x x αβ. 在求极限过程中，有时利用等价无穷小代换可以化简计算，所以应掌握几个常见的等价无穷小：当0x →时，sin ~~tan x x x ，ln(1)~x x +，1~x e x -11~x n ，211cos ~2x x -等等. (5)无穷大量的概念 设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义(或x 大于某一正数时有定义)，如果对于任意给定的正数M (不论它多么大)，总存在正数δ (或正数X )，只要x 适合不等式00x x δ<-<(或x X >)，对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大量，以下简称无穷大.(6)无穷小量与无穷大量之间的关系在自变量的同一变化过程中，若()f x 为无穷大，则其倒数1()f x 必为无穷小;反之，若()f x 为无穷小，且()0f x ≠，则其倒数1()f x 必为无穷大. 7.洛必达(L’Hospital)法则(1)00⎛⎫⎪⎝⎭型 (),()f x g x 在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →0=，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (2)∞⎛⎫⎪∞⎝⎭型 (),()f x g x在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若 0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →=∞，且0()lim ()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (三)连续1.函数的连续性(1)连续性的概念 设函数()y f x =在点0x 某邻域内有定义，若当自变量增量x ∆=0x x -0→时，对应的函数值增量00()()0y f x x f x ∆=+∆-→，即0lim 0x y ∆→∆=，或0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 处连续.若00lim ()()x x f x f x -→=，称函数()f x 在0x 处左连续，00lim ()()x x f x f x +→=，称函数()f x 在0x 处右连续. 显然，函数()f x 在0x 处连续的充分必要条件是()f x 在0x 处既左连续又右连续.若函数()f x 在区间(,)a b 内每一处都连续，称()f x 在开区间(,)a b 内连续，也称()f x 是(,)a b 内的连续函数;若()f x 在(,)a b 内连续，又在a 点处右连续，b 点处左连续，则称()f x 在闭区间[,]a b 上连续.(2)运算1°加法 有限多个在同一点连续的函数之和，仍在该点处连续; 2°乘法 有限多个在同一点连续的函数之积，仍在该点处连续; 3°除法 若()f x 与()g x 均在点0x 处连续，且0()0g x ≠，则()()f xg x 在点0x 处连续. (3)复合函数与初等函数的连续性设函数()u x ϕ=在点0x x =处连续，且00()x u ϕ=，若函数()y f u =在点0u u =处连续，则复合函数[()]y f x ϕ=在点0x x =处连续.一切初等函数在其定义区间上都是连续的. 2.函数的间断点(1)函数间断点的概念 设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数()f x 有下列三种情形之一：1°在0x x =没有定义;2°虽在0x x =有定义，但()0lim x x f x →不存在;3°虽在0x x =有定义，且()0lim x x f x →存在，但()00lim (),x x f x f x →≠则函数()f x 在点0x 不连续，而点0x 称为()f x 的不连续点或间断点.(2)函数间断点的类型 设0x x =为函数()y f x =的间断点，若0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→都存在，称0x 为函数()f x 的第一类间断点，其他均称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等的称为可去间断点，不相等的称为跳跃间断点；无穷间断点与振荡间断点都是第二类间断点.3.闭区间上连续函数的性质(1)最大值和最小值定理 闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值. (2)有界性定理 闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界.(3)介值定理 设函数()f x 在闭区[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠，则对于()f a 与()f b 之间的任一常数C ，必在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()f C ξ=.推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.(4)零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则在开区间(,)a b 内至少存在函数()f x 的一个零点，即至少有一点(,)a b ξ∈使()0f ξ=.四、典型例题[例1.1]设函数11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，，，则[()]f f x =.[例1.2]已知2()sin ,[()]1,f x x f x x ϕ==-则()________x ϕ=，其定义域为 .[例1.3]设函数2sin ()(ln )(tan )x f x x x e =，则()f x 是( ).(A)偶函数.(B)无界函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.4]设对任意(,)∈-∞+∞x 有(1)()+=-f x f x ，则()f x 一定是( ).(A)奇函数.(B)偶函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.5]设函数21tan(3)()(1)(2)(3)x x f x x x x --=---，则()f x 在下列哪个区间内有界().(A)(0,1).(B)(1,2). (C)(2,3). (D)(3,4).[例1.6]设数列n x 与n y ，满足lim 0n n n x y →∞=，则下列叙述正确的是().(A)若n x 发散，则n y 必发散. (B)若n x 无界，则n y 必有界. (C)若n x 有界，则n y 必为无穷小量. (D)若1nx 为无穷小量，则n y 必为无穷小量. [例1.7]下列极限正确的是().(A)sin lim1x xxπ→=.(B)1lim sin1x x x→∞⋅=. (C)11limsin 1x x x→∞=. (D)sin lim1x xx→∞=.[例1.8]设n n x a y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，a 为常数，则数列{}n x 和{}n y ( ).(A)都收敛于a .(B)都收敛，但不一定收敛于a . (C)可能收敛，也可能发散.(D)都发散.[例1.9]设n n n x a y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，{}n x ，{}n y 和{}n a 均为数列，则lim n n a →∞( ).(A)存在且等于0.(B)存在但不一定等于0. (C)一定不存在. (D)不一定存在.[例1.10]22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪++++++⎝⎭.[例1.11]30arctan sin limx x xx →-=.[例1.12]求极限limx [例1.13]求下列极限：2011lim()tan x x x x→-. [例1.14]设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =.[例1.15]21ln(1)0lim(cos )+→x x x =.[例1.16]当0x →时，211()sin f x x x=是( ). (A)无穷小量.(B)无穷大量.(C)有界量非无穷小量.(D)无界但非无穷大量.[例1.17]设220ln(1)()lim 2x x ax bx x →+-+=，则().(A)1a =，52b =-. (B)0a =，2b =-. (C)0a =，52b =-. (D)1a =，2b =-. [例1.18]设当0x →时，()()21cos ln 1x x-+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin n x x 是比2(1)x e -高阶的无穷小，则正整数n 等于().(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.[例1.19]当0x →时，求常数,c k 使得(I)3sin sin3~;kx x cx -~kcx .[例1.20]设110x =，1n x +=(1,2,n =)，试证数列{}n x 极限存在，并求此极限.[例1.21]下列各式中正确的是( ).(A)01lim (1)1xx x+→+=. (B)01lim(1)e xx x+→+=. (C)1lim(1)e xx x→∞-=. (D)1lim(1)e xx x-→∞+=-.[例1.22]求极限21lim ln(1)→∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦x x x x.[例1.23]()f x 在0x 点连续是()f x 在0x 点连续的( ). (A)充分条件，但不是必要条件. (B)必要条件，但不是充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不是充分条件，也不是必要条件.[例1.24]函数1()tan ()x x e e xf x x e e +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x =().(A)0.(B)1.(C)2π-. (D)2π. [例1.25]设函数21()lim 1nn xf x x →∞+=+，讨论函数()f x 的间断点，其结论为().(A)不存在间断点. (B)存在间断点1x =. (C)存在间断点0x =. (D)存在间断点1x =-.[例1.26]设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =.[例1.27]设函数()tan 21e ,0arcsin 2e ,0xx x x f x a x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =处连续，则________a =.[例1.28]设)(x f 在(+∞∞-,)内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩，则( ).(A)0=x 必是)(x g 的第一类间断点. (B)0=x 必是)(x g 的第二类间断点.(C)0=x 必是)(x g 的连续点.(D))(x g 在点0=x 处的连续性与a 的取值有关.[例1.29]设函数()f x 在[,]a b 上连续，且12n a x x x b <<<<<，证明：存在(,)a b ξ∈，使得12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.[例1.30]设()f x 是[0,1]上非负连续函数，且(0)(1)0.f f ==证明：对任意实数r (01r <<)，必存在0[0,1]x ∈，使得0[0,1]x r +∈，且00()()f x f x r =+.[例1.31]设()f x 在[0,1]上连续，(0)(1)f f =且 . (1)证明：存在[0,1],ξ∈使1()()2f f ξξ=+.(2)证明：存在[0,1],η∈使1()()f f nηη=+(2n >且n 为正整数).五、经典习题1.求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x sin 1)1ln(1lim 0. 【答案】212.求xx e e xx x sin lim tan 0--→.【答案】23.已知()01lim2=--++-∞→b ax x xx ，则___________,==b a .【答案】21,1--. 4.极限()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( )(A) 1.(B) e . (C) a be-.(D) b ae-.【答案】(C).5.求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【答案】43. 6.求1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 【答案】1. 7.若()3sin 6lim0x x xf x x →+=，则()26limx f x x →+为( ).(A)0.(B)6.(C)36.(D)∞.【答案】(C).8.1lim1cosn n→∞++=________. 【答案】π.9.设103x <<，1n x +=(n =1，2，…)，证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限.【答案】证明{}n x 单调增加且有上界，3lim 2n n x →∞=. 10.设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数，且()00f ≠，()00f '≠，若()()()20af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==-.11.设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，且[()]f f x x =，证明在(,)-∞+∞内至少有一个0x 满足00()f x x =.【答案】利用反证法.第二章 一元函数微分学导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念，在高等数学中占有重要地位，其内涵丰富，应用广泛，是研究生入学考试的主要内容之一，应深入加以理解，同时应熟练掌握导数的各种计算方法.中值定理与导数的应用在高等数学中占有极为重要的位置，内容多，影响深远，是复习的重点也是难点，而且具有承上启下的作用，应熟练掌握.一、大纲内容与要求【大纲内容】导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达(L'Hospital)法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 (弧微分;曲率的概念;曲率圆与曲率半径，数学三不要求). 【大纲要求】1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，(了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，数学一、二要求)，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数.当''()0f x >时，()f x 的图形是凹的;当''()0f x <时，()f x 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(数学一、二要求).二、知识网络三、基本内容(一)导数概念1．导数定义 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若自变量从0x 变到0x x +∆时，导数的定义左、右导数基本初等函数的导数导数的四则运算 复合函数的导数 反函数的导数隐函数的导数参数方程求导（数一、二）2阶导数n 阶导数 高阶导数导数的概念导数的计算罗尔定理拉格朗日中值定理 柯西中值定理 中值定理应用洛必达法则求极限 研究函数性质及几何应用单调性定理、函数的单调区间 函数的极值、最值曲线的凹凸性及拐点 渐近线、函数作图 边际、弹性经济中的最大值和最小值应用经济应用(数学三要求) 微分概念微分的计算 一阶微分形式不变性微分导数泰勒定理 曲率(数学一、二要求) 费马引理 切线、法线方程函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-与自变量增量x ∆之比的极限0000()()limlim x x f x x f x yx x→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称()y f x =在0x 处可导，此极限值称为()f x 在0x 处的导数，记作0()f x '，或00,x x x x dyy dx=='等.令0x x x =+∆，可得导数的等价定义0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-2.左导数 若000()()lim x f x x f x x -∆→+∆-∆存在，则称此极限值为()f x 在x =0x 处的左导数，记作0()f x -'.3.右导数 若000()()lim x f x x f x x+∆→+∆-∆存在，则称此极限值为()f x 在x =0x 处的右导数，记作0()f x +'.4.若函数()f x 在区间(,)a b 内任意点x 处的导数()f x '都存在，则称()f x 在(,)a b 内可导.5.若函数()f x 在(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，称()f x 在闭区间[,]a b 上可导. (二)函数可导的条件1.()f x 在x =0x 处可导的必要(非充分)条件是()f x 在x =0x 处连续.2.()f x 在x =0x 处可导的充分与必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且相等. (三)导数的几何意义与物理意义1.设函数()f x 可导，则0()f x '等于曲线y ＝()f x 在点00(,())x f x 处切线的斜率.曲线y ＝()f x 在点00(,())x f x 处的切线与法线方程分别是：000()()()y f x f x x x '--＝和0001()(),()y f x x x f x -=--'其中0()0f x '≠. 2.设一质点作变速直线运动，若其位移s 随时间t 的变化规律为函数()s s t =，则导数0()s t '表示该质点在时刻0t 的瞬时速度.注 导数的物理意义有多种，如细棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等.(四)导数的计算1.基本初等函数的导数公式 (1)()0()c c '=为常数(2)1()()x x μμμμ-'=为实数(3)()ln (01)xxa a a a a '=>≠， (4)();x x e e '=(5) 1(log ||)(0,1);ln a x a a x a '=>≠ (6) 1(ln ||);x x'= (7)(sin )cos ;x x '= (8)(cos )sin ;x x '=- (9)2(tan )sec ;x x '= (10)2(cos )csc x x '=-(11)(sec )sec tan ;x x x '= (12)(csc )csc cot ;x x x '=-(13)(arcsin )x '=(14)(arccos )x '=(15)21(arctan );1x x'=+ (16)21(arccot ).1x x-'=+ 2.导数的四则运算法则 设函数(),()u x v x 都可导，则 (1)();u v u v '''±=±(2)()uv u v uv '''=+，特别()cu cu ''=(c 为常数).(3)2(0).u u v uv v v v '''-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数求导法设()u x ϕ=在x 处可导，()y f u =在对应的()u x ϕ=处可导，则复合函数[()]y f x ϕ=在x 处可导，且{[]}()(),f x f u x ϕϕ'''=()即d .y dy dudx du dx=⋅ 4.反函数的导数若()x y ϕ=在某区间内单调、可导，且()0y ϕ'≠，则其反函数()y f x =在对应的区间内也可导，且1()()f x y ϕ'='. 5.隐函数的导数设()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的可导函数，注意到x 是自变量，y 是x 的函数，y 的函数是x 的复合函数，在方程的两边同时对x 求导，可得到一个含有y '的方程，从中解出y '即可.注 y '也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式x y F dydx F '=-'得到，这里()y x 是由方程(,)0F x y =确定的函数.6.高阶导数(1) 函数()y f x =导数的导数，称为函数()f x 的二阶导数，即(),y y ''''=记作()y f x ''''=，或2(2)2,d y y dx.一般地，函数()y f x =的n 阶导数为()(1)(),n n y y-'=也可写作()()n n n d y fx dx或.(2)设(),()u x v x 具有n 阶导数，则有()()()[()()]()()n n n au x bv x au x bv x +=+(,a b 为常数);()()1(1)()()()[()()]()()()()()()()().n n n k n k k n n n u x v x u x v x C u x v x C u x v x u x v x --'=+++++7.由参数方程所确定的函数的导数(数学一、二要求)设()y y x =是由参数方程()()()x t t y t ϕαβψ=⎧<<⎨=⎩确定的函数，(1)若()t ϕ和()t ψ都可导，且()0t ϕ'≠，则()()dy t dx t ψϕ'='. (2)若()()t t ϕψ,二阶可导，且()0t ϕ'≠，则223()1()()()()()()()td y t t t t t dx t t t ψψϕψϕϕϕϕ''''''''⎡⎤-=⋅=⎢⎥'''⎣⎦. (五)微分1.微分定义 设函数()y f x =在点x 的某邻域内有定义，若对应于自变量的增量x ∆，函数的增量y ∆可以表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 与x ∆无关， ()o x ∆是x ∆的高阶无穷小，则称函数()y f x =在点x 处可微，并把A x ∆称为()f x 在点x 处的微分，记作dy 或()df x ，即dy =A x ∆.2.函数()y f x =在点x 处可微的充分必要条件是()f x 在x 处可导，此时()A f x '=，即有()dy f x dx '=.3.一阶微分形式的不变性 设()y f u =可微，则微分()dy f u du '=，其中u 不论是自变量还是中间变量，以上微分形式保持不变. (六)微分中值定理1.费马(fermat)引理 若()f x 在0x 的某邻域0()U x 内有定义，且在0x 处可导，如果对任意0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤(或0()()f x f x ≥)，则0()0f x '=.2.罗尔(Rolle)定理 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，并且f (a )＝f (b )，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.3.拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数()f x 在闭区间上连续，在开区间(,)a b 内可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()().f b f a f b a ξ'-=-4.柯西(Cauchy)中值定理 若函数()f x 和()g x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()0g x '≠，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()().()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-5.泰勒(Taylor)定理(1)假设函数()f x 在含有0x 的开区间(,)a b 内具有直到1n +阶的导数，则()20000000()()()()()()()()(),2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中(1)10()()(),(1)!n n n f R x x x n ξξ++=-+是0x 与x 之间的某个值，此公式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.(2)假设函数()f x 在含有0x 的开区间(,)a b 内具有直到n 阶的导数，则()200000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''⎡⎤=+-+-++-+-⎣⎦， 此公式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.注 当00x =时，以下两公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式，即()21(0)(0)(1)()()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n f f f n x f x f f x x x x n n θθ+''+'=+++++<<+和 ()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x o x n '''=+++++.(七)洛必达(L ’Hospital)法则 1.00⎛⎫⎪⎝⎭型 0()()()0,f x g x x g x '≠设，在点的某去心邻域内可导，若0lim ()lim ()x x x x f x g x →→=0=，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. 2.∞⎛⎫⎪∞⎝⎭型 设()()f x g x ，在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →=∞，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (八)利用导数研究函数及平面曲线的性态1.单调性定理 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，若对任一x ∈(,)a b ，有()0(0)f x '><，则()f x 在[,]a b 上单调增加(减少).注 若将上面的不等式()0(0)f x '><，改为()0(0)f x '≥≤，且使()0f x '=的点(驻点)只有有限个，则结论仍成立.2.极值(1)极值的定义 若()f x 在0x 的某邻域0()U x 内有定义，且对该邻域内任意异于0x 的点x 都有0()()f x f x <(或0()()f x f x >)，则称0x 的极大(或小)值点，0()f x 称为()f x 的极大(或小)值.(2)判断极值的第一充分条件 设函数()f x 在点0x 的某邻域00(,)x x δδ-+内连续，0x 是()f x 的驻点或不可导点，在00(,)x x δ-及00(,)x x δ+内()f x 均可导.1°若在00(,)x x δ-内()0(0)f x '<>而在00(,)x x δ+内()0(0)f x '><则()f x 在0x 处取21极小值(极大值);2°若在00(,)x x δ-和00(,)x x δ+内()f x '符号相同，则()f x 在0x 处不取得极值. (3)判断极值的第二充分条件 设函数()f x 在x =0x 处 ，一阶导数0()0f x '=，二阶导数0()f x ''存在且不等于零，则当0()0f x ''>时，()f x 在0x 处取得极小值;当0()0f x ''<时，()f x 在0x 处取得极大值.3.取到极值的唯一性定理 若()f x 在区间I 上可导，驻点唯一，且该驻点是极值点，则该驻点一定是最值点.4.曲线凹凸性及拐点(1)凹凸性的定义 设()x f 在区间I 上连续，若对任意不同的两点21,x x ，恒有()()()()12121212112222x x x x f f x f x f f x f x +⎛+⎫⎛⎫⎛⎫>+<+⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭或则称()x f 在I 上是凸（凹）的.(2)凹凸性的判断 若函数()f x 在区间I 上()0(0)f x ''><则曲线()y f x =在I 上凹 (凸)的.(3)拐点的定义 在连续曲线上，凹凸部分的分界点00(,())x f x 称为曲线的拐点.(4)拐点的第一充分条件 设函数()f x 在点0x 的某邻域内连续且在该去心邻域内二阶可导，若()f x 在0x 的左右两边()f x ''的符号相反，则点00(,())x f x 是曲线)(x f y =的拐点.(5)拐点的第二充分条件：设函数()f x 在点0x 的某邻域内连续，0()0f x ''=，而0()0f x '''≠，则点00(,())x f x 是曲线)(x f y =的拐点.5.曲线的渐近线(1)若lim ()x f x C →∞=(或x →+∞或x →-∞)(C 为常数)，则y C ＝是曲线()y f x ＝的一条水平渐近线;(2)若0lim ()x x f x →∞＝(或0x x +→，或0x x -→)，则0x x =是曲线()y f x ＝的一条铅直渐近线; (3)若()lim,0,x f x a a x→∞=≠且lim[()],x f x ax b →∞-=则y ax b +＝是曲线()y f x ＝的斜渐近线.22(九)平面曲线的曲率(数学一、二要求) 1.弧微分设()y f x ＝是平面内的光滑曲线，则弧微分.ds = 若曲线方程为(),(),x x t y y t =⎧⎨=⎩则弧微分为.ds =2.曲率(1)设M 和N 是曲线上不同的两点，弧MN 的长为s ∆，当M 点沿曲线到达Ｎ点时，Ｍ点处的切线所转过角为α∆，则称极限0lims K sα∆→∆=∆为该曲线在点M 处的曲率. (2)曲率计算公式若曲线方程为()y f x ＝，则曲率23/2(1)y K y ''='+. 若曲线由参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩给出，则曲率223/2()t t t t t t x y y x K x y ''''''-=''+. (3)曲率半径1(0)R K K=≠. 三、典型题型[例2.1]已知(3)2f '=，则0lim 2h h→=______________.[例2.2]设函数()f x 在0x =处连续，且201lim (1cos )1h f h h→-=，则().(A)(0)1-'=f .(B)(0)2-'=f .(C)(0)1+'=f . (D)(0)2+'=f .[例2.3]设函数()f x 可导，()(sin 2)()xF x e x f x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的( )条件.(A)充要. (B)充分非必要. (C)必要非充分.(D)非充分非必要.[例2.4]设周期函数()f x 在),(+∞-∞内可导，周期为4，0(1)(1)lim2x f f x x→--=1-，则曲线()y f x =在点))5(,5(f 处的法线斜率为(). (A)21. (B)0.(C)1 .(D)2-.[例2.5]设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当x ∈(,)δδ-时，恒有2()f x x ≤，则23x 0=必是()f x 的( ).(A)间断点.(B)连续而不可导的点. (C)可导的点，且(0)0'=f . (D)可导的点，且(0)0'≠f .[例2.6]设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则(0)________.f '=[例2.7]设函数0()y f x x x ==在处可导，0()1f x '=-，则0limx y dydy∆→∆-=_______.[例2.8] 设函数()f x 处处可微，且有()01f '=，且对任何,x y 恒有()()x f x y e f y +=()x e f y +， 求().f x[例2.9]设函数()f x 在(,)-∞+∞上有定义，对任意,x y ，()f x 满足关系式()()[()1]()f x y f x f x y y α+-=-+，其中0()lim0y y yα→=.又已知(0)2,f =则(1)f =.[例2.10]设()()(),()F x g x x x ϕϕ=在x a =连续，但不可导，又()g a '存在，则()0g a =是()F x 在x a =可导的()条件.(A) 充要. (B) 充分非必要.(C) 必要非充分.(D) 非充分非必要. [例2.11]函数32()2arctan f x x x x x =+-的不可导点的个数是( ). (A)3.(B)2.(C)1.(D)0.[例2.12]设函数11,0()1,0x x f x x e k x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩连续，求常数k 的值，并求()f x '.[例2.13] 求下列函数的导数(1)arctanx y e=-(2)2()ln |2a f x x =.24[例2.14]设2sin[()]y f x =，其中f 具有二阶导数，求22,dy d ydx dx . [例2.15]设函数1,()21,x f x x ⎧≥=⎨<⎩，()()y f f x =，则x edy dx ==_____________.[例2.16]设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1=-x 处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)'=f _________________.[例2.17] (数一、二)设()2arctan ,25t x t y y x y ty e =⎧⎪=⎨-+=⎪⎩由所确定，求.dy dx[例2.18]设22411x y x -=-，求(100)y .[例2.19]设函数()y f x ＝由方程23ln()sin +=+x y x y x 确定，则==x dy dx_________.[例2.20]设()()()nf x x a x ϕ=-，其中()x ϕ在x a =处具有1n -阶连续导数，试求()()n f a (2)n ≥.题型三 利用导数研究函数的性态[例2.21]设当a x b <<时函数()f x ，()g x 是大于零的可导函数，且()()f x g x '-()f x ()0g x '<，则当a x b <<时，有().(A)()()()()f x g b f b g x >.(B)()()()()f x g a f a g x >.(C)()()()()f x g x f b g b >.(D)()()()()f x g x f a g a >.。

1高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于0型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim 0=→xx x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。

1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。

在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。

所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aadx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-aadx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-aadx x f )(=2⎰adx x f 0)(；对于⎰2)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。

所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-aa 奇函数 、⎰⎰=-aa a2偶函数偶函数。

《高等数学（一元函数微分学2》考点精讲例题解析一、主要内容1.导数的概念，导数的几何意义，平面曲线的切线方程和法线方程，左、右导数的概念及函数可导的充要条件.可导与连续的关系2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公式.3.隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，反函数的导数.4.高阶导数的概念，莱布尼兹公式.5.微分的概念，函数微分的几何意义，微分的四则运算法则和一阶微分不变性.6.罗尔定理、拉格朗日中值定理7.洛必达法则.8.函数的单调性与曲线的凹凸性.9.函数的极值与最值.10.函数图形的描绘.二、学习要求1.深刻理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解左、右导数的概念及函数可导的充要条件.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求初等函数和分段函数的导数.3.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数.4.理解高阶导数的概念，了解莱布尼兹公式，会求简单函数的n阶导数.5.深刻理解微分的概念，理解导数与连续、微分的关系，了解函数微分的几何意义，了解微分的四则运算法则和一阶微分不变性.6 .会求函数的微分.7.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，会利用微分中值证明简单的不等式及方程解的存在性.8.熟练掌握用洛必达法则求各种类型的未定式的极限的方法.9.掌握单调性、凹凸性的判别，会利用它们证明某些不等式及方程解的唯一性.10.理解函数的极值概念，掌握求极值和最值和拐点的方法，会求简单实际问题的最值.2.解题指导1. 利用导数定义求导数或微分例1 求下列函数在指定点处的导数或微分：(1) 设)2arcsin()100()2)(1()(2-+---=x x x x x x x f ，求)2(f '；(2)设)(x ϕ在a x =连续且)()()(22x a x x f ϕ-=，求a x x df =)(.解题思路： 由导数与微分的关系，求函数)(x f y =在一点0x 处的导数或微分，一般是利用公式及法则先求出导函数)(x f '，再将0x 代入计算导函数在0x 处的函数值)(0x f '，但有时直接利用导数定义反而简便。

数学考研重点复习常见题型解析数学是考研数学专业的核心科目之一，备考考研数学必须对常见题型进行深入的复习与解析。

本文将介绍一些数学考研重点复习常见题型的解析，帮助考生更好地应对考试。

一、选择题解析选择题是数学考研中常见的题型，考查考生对数学知识的掌握和运用能力。

解答选择题时，要注意审题，理解题意，分析选项，选择正确答案。

例如，一道常见的选择题如下：已知函数 f ( x ) = 2 x 2 - 3 x + 1 ，求 f ( 2 ) 的值。

解析：将 x=2 代入函数 f ( x ) ，则有：f ( 2 ) = 2 × 2 2 - 3 × 2 + 1= 2 × 4 - 6 + 1= 8 - 6 + 1= 3故 f ( 2 ) 的值为 3。

二、填空题解析填空题考察考生的逻辑思维和计算能力，要求考生根据题目给出的条件进行推理，并填入合适的数值或表达式。

例如，一道常见的填空题如下：已知 a + b = 7 ， a - b = 3 ，求 a 和 b 的值。

解析：将 b 的值求出，再代入等式 a + b = 7 中，即可求得 a 的值。

首先，将两个等式相加，得：(a + b) + (a - b) = 7 + 32a = 10a = 5将 a 的值代入 a + b = 7 中，得：5 + b = 7b = 2故 a 和 b 的值分别为 5 和 2。

三、解答题解析解答题是数学考研中较为复杂的题型，要求考生对数学概念和方法有深刻的理解与应用能力。

解答题需要从问题入手，分析解题思路，清晰地呈现解题过程。

例如，一道常见的解答题如下：已知一元二次方程 f ( x ) = a x 2 + b x + c = 0 的两个根分别为 x_1 和x_2 ，求 a、b、c 与 x_1、x_2 的关系。

解析：根据一元二次方程的求根公式，可得：x_1 = ( -b + sqrt ( b^2 - 4ac ) ) / 2ax_2 = ( -b - sqrt ( b^2 - 4ac ) ) / 2a通过整理可得：x_1 + x_2 = -b / ax_1 × x_2 = c / a故 a、b、c 与 x_1、x_2 的关系满足上述等式。

09考研高等数学强化讲义(第六章)全(2)第六章多元函数微分学§6.1 多元函数的概念、极限与连续性（甲）内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设«Skip Record If...»是平面上的一个点集，如果对每个点«Skip Record If...»，按照某一对应规则«Skip Record If...»，变量«Skip Record If...»都有一个值与之对应，则称«Skip Record If...»是变量«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»的二元函数，记以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»称为定义域。

二元函数«Skip Record If...»的图形为空间一块曲面，它在«Skip Record If...»平面上的投影域就是定义域«Skip Record If...»。

例如«Skip Record If...»，«Skip Record If...»二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域«Skip Record If...»就是«Skip Record If...»平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与«Skip Record If...»元函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»空间一个点集，称为三元函数«Skip Record If...»称为«Skip Record If...»元函数。

考研数学二高等数学考察重点及题型总结
章节知识点题型
重要度等
级
第一章函数、极限、连续等价无穷小代换、洛必达
法则、泰勒展开式
求函数的极限★★★★★函数连续的概念、函数间
断点的类型
判断函数连续性与间断点的类型★★★
第二章一元函数微分学导数的定义、可导与连续
之间的关系
按定义求一点处的导数，可导与连续
的关系
★★★★函数的单调性、函数的极
值
讨论函数的单调性、极值★★★★闭区间上连续函数的性
质、罗尔定理、拉格朗日
中值定理、柯西中值定理
和泰勒定理
微分中值定理及其应用★★★★★
第三章一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★有理函数、三角函数有理
式、简单无理函数的积分
计算被积函数为有理函数、三角函数
有理式、简单无理函数的不定积分和
定积分
★★
第四章多元函数微隐函数、偏导数、全微分
的存在性以及它们之间的
函数在一点处极限的存在性，连续性，
偏导数的存在性，全微分存在性与偏
★★
积分学因果关系导数的连续性的讨论与它们之间的因
果关系
二重积分的概念、性质及
计算
二重积分的计算及应用★★★★★
第五章常微分方程一阶线性微分方程、齐次
方程，微分方程的简单应
用
用微分方程解决一些应用问题★★★★★。

xx考研《数学(二)》各题考点分析一、选择题部分：前6题是高等数学部分内容：第1题，是关于高等数学第一章的无穷小量比阶数的问题，这类题在之前的考研试题中是经常出现的，这里就要求同学们一定要在我们学第一部分内容极限的时候，把有关等价无穷小量给看一看，特别是我们通过泰勒公式总结出来的那几个常用的等价无穷小量的替换，若是同学把我们之前讲过的这种等价无情小量替换，那么这题还是可以轻松过的。

第2题是有关原函数的问题，这部分是要知道原函数的概念的，别切要求我们知道哪些函数一定有原函数(连续函数)，哪些函数一定没有原函数的(含有可去、跳跃、无穷间断点的函数)。

第3题是关于一元函数积分学中的反常积分判别收敛问题，这部分是要求我们会计算反常积分和判别其收敛性的，关于反常积分的计算就把它当做定积分来计算即可，最把端点这取极限。

第4题是关于拐点和极值点的问题，此类题型我们在之前是做过的，这种给你某函数的图形问题来做题的，一定要对拐点、极值点以及渐近线问题做一个系统的总结，这样你自己会对这一部分内容有个深刻的了解，这样以后再做这种题目的时候能够很快的找到突破口，来处理相关的问题。

关于间断点、极值点、拐点以及渐近线是我们常考的小题型，希望同学们能够熟练掌握。

第5题考查的是曲率问题，此类问题属于边角问题，需要同学们在考试前一定要熟记曲率的公式，以及去曲率半径个求法等。

难度不大，主要是记忆不太方便，容易忘，这个很正常。

反复的去记住这些公式，考试时有时便会派上用场。

第6题选择题主要考察了多元函数偏导数的计算问题，本题数一般题型，算是比较基础的内容了，这个考生同学们一点那个要会。

选择题的后面两题是关于线性代数部分的内容：第7题是有关矩阵相似的问题，这题我们利用相似定义很快便可得出答案选C,关于矩阵相似的问题我们已经做过很多练习了，相对而言本题还是容易判别的。

第8题是有关二次型的问题。

一直一个一般二次型，其中有参数，结合二次型中的正负惯性指数来出题的，我们之地，求正负惯性指数可以通过配方法来做，也可以通过求其二次型矩阵的特征值来做。

2022考研高等数学强化讲义第一章函数极限连续重点题型一函数的性态【类型一与方法】有界性的判定例1下列函数无界的是 1（A ）f x x x ()sin ,(0,)x =∈+∞1（B ）f x x x ()sin ,(0,)x =∈+∞ 11（C ）f x x ()sin ,(0,)x x =∈+∞x 0sin t（D ）f x dt x (),(0,2022)t=∈∫【详解】【类型二与方法】导函数与原函数的奇偶性与周期性例2【2002，数二】设函数f x ()连续，则下列函数中，必为偶函数的是2x0()f t dt （A ）∫x20()f t dt （B ）∫x[0()()t f t f t dt −−]（C ）∫x [0()()t f t f t dt +−]（D ）∫【详解】重点题型二极限的概念例3【2003，数一、数二】设{a n }，{b n }，{c n }均为非负数列，且lim →∞a n =0n ，lim →∞b n =1n ， →∞c n =∞n lim ， 则必有（A ）a n <b n 对任意n 成立（B ）b n <c n 对任意n 成立→∞a n c n （C ）极限n lim 不存在→∞b nc n （D ）极限n lim 不存在【详解】例4【2014，数三】设lim →∞a a n =，且a ≠0，则当n n 充分大时有（A ） 2a a n >（B ）2aa n <（C ）a a n >−n 1【详解（D ）a a n <+n 1】x f x g x 例5【2000，数三】设对任意的x ，总有ϕ()()()≤≤，且lim ()()0x[g x x →∞−=ϕ]，则lim ()→∞x f x （A ）存在且等于零（C ）一定不存在【详解（B ）存在但不一定为零（D ）不一定存在】重点题型三函数极限的计算【类型一与方法】003sin 6()例6【2000，数二】若limx xf x x x →0+26()=0，则lim f x xx →0+为（C ）36 （D ）（B ）6∞（A ）0【详解】′′′++=3x满足初始条=()是二阶常系数微分方程例7【2002，数二】设y y x y py qy e 件y y (0)(0)0′的特解，则当x →0==时，函数 ln(1)+x y x ()2的极限（A ）不存在（B ）等于1 （C ）等于2 （D ）等于3【详解】[](1cos )ln(1tan )例8【2009，数二】求极限limsin 4x−−+x →0x x x .【详解】【类型二与方法】∞∞2(1)(21)(21)x xx x e e 例9lim e e x x →+∞+−=__________+2.【详解】1例10【2007，数三】lim (sin cos ) 2x x x 32→+∞++x x +=__________x +x 3.【详解】121(1)12ln 1x t e t dt x x例11【2014，数一、数二、数三】求极限limx →+∞t−−+∫.【详解】【类型三与方法】0 ∞1x e 例12lim ln(1)ln(1)x+x →0++=__________.【详解】【类型四与方法】∞−∞321例13求极限lim ln 2x x x x x →∞+−−1.【详解】【类型五与方法】00与∞011ln 例14【2010，数三】求极限lim 1xx x x→+∞−.【详解】【类型六与方法】1∞1x cos sin 例15【2012，数三】lim(tan )x xπ−=x →4__________.【详解】12例16求极限lim (0,)a a a a n N nx x +++ >∈x →0 nxx.【详解】重点题型四已知极限反求参数【方法】例17【1998，数二】确定常数a b c sin ,,的值，使limln(1)x b ax xt 3dtx →t 0−+=≠c c (0)∫.【详解】重点题型五数列极限的计算【类型一与方法】数列未定式例18设11,x n e 1−n nn =+−∈n N，求→∞x n n lim .【详解】【类型二与方法】通项由递推公式n n x f x +1=()给出x 例19【2002，数二】设031<<，n x n，证明数列{x +1==1,2,)n }的极限存在，并求此极限.【详解】例20【2011，数一、数二】（111ln 1I ）证明：对任意正整数n ，都有1n n n<+< + ；1112n n（II ）设a n nln (1,2,)=+++−=，证明数列{a n }收敛.【详解】【类型三与方法】n 项和的数列极限2sin sin 例21【1998，数一】求lim 1112n n n n ππsin π +++→∞ n +n n ++.【详解】例22【2017，数一、数二、数三】求2lim ln 1nn k kk =1→∞nn+∑.【详解】重点题型六无穷小量阶的比较【方法】例23【2002，数二】设函数f x ()在x =0的某邻域内具有二阶连续导数，且f (0)0≠，f ′(0)0≠，f ′′(0)0,,，使得当h →0≠.证明：存在唯一的一组实数λλλ123时，123()(2)(3)(0)f h f h f h f λλλ是比h 2高阶的无穷小++−.【详解】例24【2006，数二】试确定A ，B ，C 的值，使得x(1)1()e Bx Cx Ax o x++=++23，其中o x ()3是当x →0时比x 3高阶的无穷小量.【详解】−⋅⋅x x x 与ax n 为等价无穷小，求n 与a 例25【2013，数二、数三】当x →0时，1cos cos 2cos3的值.【详解】重点题型七间断点的判定x例26【2000，数二】设函数f x ()=a ebx在(,)−∞+∞+内连续，且→−∞f x =，则常数x lim ()0a b ,满足（A ）a <0，b <0（C ）a ≤0，b >0【详解（B ）a >0，b >0（D ）a ≥0，b <0】第二章一元函数微分学重点题型一导数与微分的概念例1【2000，数三】设函数f x ()在点x a =处可导，则函数 在点f x ()x a =处不可导的充分条件是 ′=且（A ）f a ()0f a ()0（B ）f a =()0 ′=且f a ()0 ≠′>且（C ）f a ()0f a ()0′<且（D ）f a >()0f a ()0<【详解】例2【2001，数一】设f (0)=0，则f (x )在x =0处可导的充要条件为 1（A ）lim (1cosh)2f h →0h − 1（B ）lim (1)f e −h h →0h存在 1（C ）lim (sinh)存在2f h h →0h−存在1[（D ）lim (2)()f h f h ]h →0h −存在【详解】2.当自变量x 在x =−1处取得增量x ∆=−0.1时，相例3【2002，数二】设函数f u ()可导，y f x =()应的函数增量∆y 的线性主部为0.1，则f ′(1)=（A ）−1【详解（B ）0.1 （C ）1 （D ）0.5】例4【2004，数一、数二】设函数f x ()连续，且f ′(0)0>，则存在δ>0，使得（A ）f x ()在(0,) δ内单调增加（B ）f x ()在(−δ,0)内单调减少 （C ）对任意的x ∈(0,δ)，有f x f ()(0)>（D ）对任意的x ∈(−δ,0)，有f x f ()(0)>【详解】 2()(1)(2)()xx例5【2012，数一、数二、数三】设函数f x e e e n ，其中n 为正整数，则f ′(0) =−−−nx = n −1（A ）(1)(1)!nn （B ）−−(1)(1)!n−−−n −1（C ）(1)!n −n （D ）(1)!n 【详解】,0,≤ 例6【2016，数一】已知函数f x ()=x x 111<≤= x n ,1,2, +1n n n ，则（A ）x =0是f x ()的第一类间断点（C ）f x ()在x =0处连续但不可导【详解（B ）x =0是f x ()的第二类间断点（D ）f x ()在x =0处可导】重点题型二导数与微分的计算【类型一与方法】分段函数1=例7【1997，数一、数二】设函数f x ()连续，ϕ()()0x f xt dt ∫f x ，且lim()x=A (A 为常数)，求ϕ′x →0()x ，x 在x =0处的连续性并讨论ϕ′().【详解】【类型二与方法】复合函数11x x ≥例8【2012，数三】设函数f x ()= <x −，y f f x =(())21,，求x edydx ==__________.【详解】【类型三与方法】隐函数−=x y =()由方程例9【2013，数一】设函数y f x y x e (1)−确定，则1lim 1→∞n n n f−=__________.【详解】y −1例10【2007，数二】已知函数f u ()具有二阶导数，且f ′=(0)1，函数y y x 1=()由方程y xe −=所确定.设z f y x =−(ln sin )，求dz dxx =0，22d zdx x =0.【详解】【类型四与方法】反函数=()在(−∞,+∞)内具有二阶导数，且y ′≠0，x x y =()是y y x 例11【2003，数一、数二】设函数y y x 的反函数=().I ）试将（x x y =()所满足的微分方程2dx (sin )0d x3y x dy dy 2++=变换为y y x =()满足的微分方程；（II ）求变换后的微分方程满足初始条件y (0)03=，y ′(0)=2的解.【详解】【类型五与方法】参数方程例12【2008，数二】设函数y y x 0() t ln(1)2==()由参数方程x x t =+确定，其中x t ()y u du ∫是初值问题 dx te −x−=dt20 x t =0=|0的解，求2d y 2dx .【详解】【类型六与方法】高阶导数n (0)==−ln(12)在x =0处的n 阶导数y 例13【2010，数二】函数y x ()__________.【详解】2例14【2015，数二】函数f x x ()2x在x =0处的n 阶导数f =⋅()n (0)=__________.【详解】例15【2017，数一】已知函数f x ()=1+1x2，则f (3)(0)=__________.【详解】重点题型三导数应用求切线与法线【类型一与方法】直角坐标y f x =()表示的曲线0arctan x e−t 例16【2002，数一】已知两曲线y =f (x )与y =∫2dt 在点(0,0)处的切线相同，写出此切线2 方程，并求极限lim→∞n n nf.【详解】例17【2000，数二】已知f x ()是周期为5的连续函数，它在x =0的某个领域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x xx 是当x →0时比x 高阶的无穷小，且f x ()，其中α+−−=+α()在x =1处可导，求曲线y f x =()在点(6,(6))f 处的切线方程.【详解】=()x x t 【类型二与方法】参数方程 y y t =()表示的曲线1−t −µ02 例18【1999，数二】曲线 x e du=−22ln(2)= y t t ∫在(0,0)处的切线方程为__________.【详解】【类型三与方法】极坐标r r =()θ表示的曲线=θ例19【1997，数一】对数螺线r e 在点2,e ππ2处切线的直角坐标方程为__________.【详解】重点题型四导数应用求渐近线【方法】例20【2005，数二】曲线y =的斜渐近线方程为__________.【详解】例21【2014，数一、数二、数三】下列曲线中有渐近线的是 （A ）y x x 2=+sin sin（B ）y x x =+2sin x 1（C ）y x =+sin x 1【详解（D ）y x =+】1例22【2007，数一、数二、数三】曲线ln(1)y e x x=++渐近线的条数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】重点题型五导数应用求曲率【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）22741 例23【2014，数二】曲线 x t =+=++上对应于t =1y t t的点处的曲率半径是（A （B （C ）（D ）【详解】重点题型六导数应用求极值与最值【方法】例24【1997，数二】已知函数y f x []2=()对一切x 满足()3()1xf x x f x e ′′′ −x .+=−若′f x x ()0(0)00=≠，则（A ）f x ()（B ）f x 0是f x ()的极大值()0是f x ()的极小值x f x 00是曲线（C ）(,())y f x =()的拐点x f x 00也不是曲线0不是f x ()的极值，(,())y f x （D ）f x ()【详解=()的拐点】[] 2例25【2000，数二】设函数f x ()满足关系式f x f x x ′′′，且f ′()()+=(0)0=，则（A ）f (0)是f x ()的极大值（B ）f (0)是f x ()的极小值（C ）点(0,(0))f 是曲线y f x =()的拐点 （D ）f (0)不是f x ()的极值，点(0,(0))f 也不是曲线y f x =()的拐点【详解】′′例26【2010，数三】设函数f x ()，g x ()具有二阶导数，且g x ()0 <.若()g x a 0=是g x ()的极值，则f g x (())在x 0取极大值的一个充分条件是 （B ）f a ′>()0（C ）f a ″<()0（A ）f a ′<()0【详解（D ）f a ″>()0】322+++=60确定，求f x ()的极值=()由方程例27【2014，数一】设函数y f x y xy x y .【详解】重点题型七导数应用求凹凸性与拐点【方法】例28【2016，数二、数三】设函数f x ()在(,)−∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（A ）函数f x ()有2个极值点，曲线y f x =()有2个拐点 （B ）函数f x ()有2个极值点，曲线y f x =()有3个拐点 （C ）函数f x ()有3个极值点，曲线y f x=()有1个拐点（D ）函数f x ()有3个极值点，曲线y f x=()有2个拐点【详解】22例29【2001，数二】曲线y x x =−−(1)(3)的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】 例30【2011，数一】曲线(1)(2)(3)(4)y x x x x 234=−−−−的拐点是 （B ）（2，0）（C ）（3，0）（D ）（（A ）（1，0）【详解4，0）】重点题型八导数应用证明不等式【方法】例31【2000，数一、数二】设f x ()，g x ()是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ′′ −<，则当a x b <<时，有（A ）()()()()f x g b f b g x（B ）>()()()()f x g a f a g x>（C ）()()()()f x g x f b g b （D ）>()()()()f x g x f a g a >【详解】 例32【2017，数一、数三】设函数f x ()可导，且f x f x ()()0′ >，则（A ）f f (1)(1)（B ）f f >−(1)(1)<−（C ） f f (1)(1)>−（D ）f f (1)(1)<−【详解】例3【2002，数二】设0<<a b，证明不等式2ln ln a b a a b b a−<<22+−【详解】重点题型九 导数应用求方程的根【方法】例34【2003，数二】讨论曲线4ln y x k 与y x x =+4ln 4的交点个数=+.【详解】x 1()2例35【2015，数二】已知函数xf x =+∫∫，求f x ()零点的个数.【详解】重点题型十微分中值定理证明题【类型一与方法】证明含有ξ一个点的等式1例36【1999，数三】设函数f x ()在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f f (0)(1)0==，2f=1.试证：（12I ）存在η∈,1，使f ()ηη =；（II ）对于任意实数λ，必存在ξη[′∈(0,)，使得f f ()()1]ξλξξ−−=.【详解】例37设f x ()在[,]a b 上连续，在(,)=，a >0.证明：存在ξ∈a b 内可导，f a ()0(,)a b ，使得f f ()()aξb ξξ−′=.【详解】例38设函数f (x )在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f (1)=0，证明：存在ξ∈(0,1)，使得(2ξ+1)f (ξ)+ξf ′(ξ)=0.【详解】,【类型二与方法】证明含有ξη两个点的等式=，f (1)=31例39【2010，数二】设函数f x ()在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f (0)0.证明：存在ξ∈20,21，η∈1,1，使得f f ′′()()ξηξη+=+22.【详解】【类型三与方法】证明含有高阶导数的等式或不等式例40设f x ()在[−1,1]上有三阶连续的导数，f (1)0=，f ′−=，f (1)1(0)0ξ(1,1)=，证明∃∈−，使得f ′′′()3ξ=.【详解】第三章一元函数积分学重点题型一定积分的概念=()在区间[−−3,2]，[2,3]例1【2007，数一、数二、数三】如图，连续函数y f x 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2,0]，[0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周.()()x=设F x f t dt ∫，则下列结论正确的是 3（A ）F F 4(3)(2)=−− 5（B ）F F 4(3)(2)=3（C ）F F 4(3)(2)−=5（D ）F F 4(3)(2)−=−−【详解】2008，数二、数三】如图，曲线段的方程为y f x =()例2【，函数f x ()在区间[0,a ]上有连续的导数，则定积分axf x dx ∫′()等于（A ）曲边梯形ABOD 的面积（B ）梯形ABOD 的面积（C ）曲边三角形ACD 的面积（D ）三角形ACD 的面积【详解】x1sin t例3【2009，数三】使不等式t∫dt x >ln 成立的x 的范围是（B ）1, 2π （C ） π2,π（D ）(,)（A ）(0,1)【详解π+∞】40tan πxx例4【2003，数二】设I 1=∫x 4dx ，I 2=0∫tan πx dx ，则（B ）1>>I I 12（A ）I I 12>>1（C ）I I 21>>1【详解（D ）1>>I I 21】重点题型二不定积分的计算【类型一与方法】分段函数例5求∫max(,,1)32x x dx .【详解】1x2x 4+例6求+∫1dx .【详解】【类型三与方法】无理函数例7【2009，数二、数三】计算不定积分 +>∫ln 1dx x (0).【详解】ln(1)【类型四与方法】指数有理式例8【2000，数二】设f x (ln )+xx =，计算∫f x dx ().【详解】1例9求∫sin cos x x 3dx .【详解】1例10求∫++x x 1sin cosdx .【详解】（2）∫sin cos 24x xdx 例11求（.1）∫sin 4cos 2cos3x x xdx 1【详解】（）1sin 4cos 2cos3(sin 6sin 2)cos3211sin 6cos3sin 2cos32211115sin 4444x x xx x x x x x xx x x x=+=+ sin 9sin 3sin =++−141111 cos9cos5cos3cos 3620124Ix x x x dx x x x x C=++−∫=−−−++(sin 9sin 5sin 3sin )（2）24211cos 211cos 4sin cos sin 2(1cos 2)1(1cos 2cos 4cos 2cos 4)161111cos 2cos 4cos 616321632x x x x x +−x x xx xx x x =⋅=+4282=+−−=+−−1111163216321111 sin 2sin 4sin 6cos 2cos 4cos 6166464192x x x dx x x x x C I =+−− ∫=+−−+ 【类型六与方法】被积函数含有对数函数、反三角函数例12求.【详解】重点题型三定积分的计算【类型一与方法】分段函数,0x x 1≥例13设f x ()= 1+1x,0 <2 1+e x(1)f x dx ，求−∫. 【详解】【类型二与方法】对称区间例14设f x ()，g x ()在[−l l ,]上连续，f x f x A ()()+−=，g x ()为偶函数.（()()()lllf xg x dx A g x dx 1）证明：−=∫∫；22xsin arctan xe dx ππ（2）计算−∫；222sin1xππ−（3）计算∫【详解x dx +−e .】【类型三与方法】周期函数100+π2100x x dx sin 2(tan 1)例15 求⋅+∫.【详解】【类型四与方法】被积函数含有变限积分函数或抽象函数的导数0例16【2013，数一】计算∫x 1ln(1)t +dt ，其中f x ()=t ∫.【详解】bf x a()f xg x ()()【类型五与方法】形如+∫dx 的积分例17 求下列积分（20xe sin dx e e sin cos x x π1）+∫（2）.【详解】40ln(1tan )π例18 求+∫x dx .【详解】重点题型四反常积分的计算【方法】例19【1998，数二】计算积分【详解】重点题型五反常积分敛散性的判定【方法】1x x (1)a b+∞例20【2016，数一】若反常积分+∫dx 收敛，则（A ）a <1且b >1（C ）a <1且a b +>1【详解（B ）a >1且b >1（D ）a >1且a b +>1】重点题型六变限积分函数sin ,0x x x πππ≤<例21【2013，数二】设函数f x ()= 2, 2≤≤0()()x =，F x f t dt ∫，则（A ）x =π是函数F x ()的跳跃间断点（B ）x =π是函数F x ()的可去间断点（C ）F x ()在x =π处连续但不可导（D ）F x ()在x =π处可导【详解】例22【2007，数二】设f x ()是区间0,4π上的单调，可导函数，且满足0cos sin sin cos t tf x ()f t dt tdtt t−−1()=x+∫∫其中f−1是f 的反函数，求f x ().【详解】重点题型七 定积分应用求面积【方法】例23【1998，数二】曲线y x x x 322与x 轴所围成的图形的面积A ==−++__________.【详解】66ππcos3θθ例24【2013，数二】设封闭曲线L 的极坐标方程为r =−≤≤，则L 所围平面图形的面积是__________.【详解】=−t (sin )x a t t≤≤=−(1cos )例25求摆线 y a t (02)π与x 轴所围的图形面积.【详解】重点题型八定积分应用求体积【方法】=()，使得由曲线例26【2002，数二】求微分方程xdy x y dx +−=(2)0的一个解y y x y y x =()与直线x =1，x =2以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小. 【详解】例27【2003，数一】过原点作曲线y x =ln 及x 轴围成平面图形D =ln 的切线，该切线与曲线y x .（I ）求D 的面积A ；（II ）求D 绕直线x e 【详解=旋转一周所得旋转体的体积V .】重点题型九 定积分应用求弧长【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例28求心形线r a a =+>θ(1cos )(0)的全长.【详解】22020002l d a a d a t dt a tdt a πππ2ππθθθ==2cos 4cos 8cos 8θ===∫∫∫∫∫重点题型十定积分应用求侧面积【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例29过原点作曲线y =的切线，求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.【详解】设切点为x 0(，切线方程为 )y −0x x ，代入(0,0)，得x 0=2，y 0=1x故切线方程为y =2.由曲线y x =≤≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为1126S 1)πππ 1=−∫∫ 1(02)绕x 由yx x 2=≤≤轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为0πS 2==2∫12π因此，所求旋转体的表面积为S S S =+=61).重点题型十一定积分物理应用【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例30设星形线x a t y a t 33==cos ,sin 上每一点处线密度的大小等于该点到原点的距离的三次方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力.x y 处长为ds 的小段到原点的距离【详解】点(,)为r=，线密度为r 3，质量为3r ds ，其中ds a t tdt 3sin cos .32r ds 该小段对质点的引力为dF G Grds r == x ，水平分量为dF dF Gxds x r ⋅，垂直分量为ydF dF Gyds y r=⋅=，故323222cos 3sin cos 0.6,sin 3sin cos 0.6x y F Ga t a t tdt Ga F Ga t a t tdt Ga ππ=⋅==⋅=∫∫重点题型十二证明含有积分的等式或不等式【方法】()cos x=例31【2000，数二】设函数S x t dt ∫.I ）当n 为正整数，且n x n （ππn S x n ≤+≤<+(1)时，证明2()<2(1)；S x x ()（II ）求lim x→+∞.【详解】例32【2014，数二、数三】设函数f x ()，g x ()在区间[a b ,]上连续，且f x ()单调增加，0()1g x ≤≤.证明：I ）（0(),,xag t dt x a x a b []≤≤−∈∫；()()()a a g t dt b()aaf x dx f xg x dx+∫≤b（II ）∫∫.【详解】第四章常微分方程重点题型一一阶微分方程【类型一与方法】可分离变量y1y xx 2∆=()在任意点x 处的增量∆=+ +x 0α，且当∆→时，例1【1998，数一、数二】已知函数y y x α是∆x 的高阶无穷小，y (0)=π，则y (1)等于（B ）π （C ）e 4ππ（A ）2π【详解（D ）πe 4】例2【2002，数二】已知函数f x ()在(0,)+∞内可导，f x ()0>，→+∞f x =，且x lim ()1满足1f x hx lim h()f x () h →01=e +x，求f x ().【详解】【类型二与方法】一阶齐次例3【1999，数二】求初值问题0(0)|x =1(+−=>y dx xdy x=0的解 y .【详解】【类型三与方法】一阶线性例4【2010，数二、数三】设y y ,12是一阶线性非齐次微分方程y p x y q x′+=()()的两个特解.若,使λµy y 常数λµ12 是该方程的解，λµy y +12−是该方程对应的齐次方程的解，则（B ）λ=−21，µ=−2（A ）λ=21，µ=211 3，µ=31（D ）λ=23，µ=32（C ）λ=2【详解】22例5【2016，数一】若(1)y x =+22(1)y x =++′+=y p x y q x ()() 的两个解，则q x () +（A ）3(1)x x 2x x 2（B ）−+3(1)（C ）1+x x 221x（D ）−+x【详解】例6【1999，数三】设微分方程y y x ′−=ϕ2()2,1x ，其中ϕx ()<x =0,1>，试求在(,)−∞+∞内的连续函数y y x=()，使之在(,1)+∞内都满足所给方程，且满足条件y −∞和(1,)(0)0=.【详解】【类型四与方法】伯努利方程（数一掌握，数二、数三大纲不要求）例7求解微分方程 4y y x ′x−.【详解】令z =21，则2z z x ′x −=2，得222211dx 22x x z e x e dx Cx x C − dx +=+=∫∫∫12x Cx 32，其中C 为任意常数+.【类型五与方法】全微分方程（数一掌握，数二、数三大纲不要求）例8求解下列微分方程：22（1）(231)(2)0yyxe x dx x e y dy +−+−=；（2）2223x y x y y −34dx dy +=0.2y【详解】（1）法一：设P x y xe x (,)2312+−(,)2y，Q x y x e y =−，则PQ2xe yyx∂∂==∂∂，方程为全微分方程.u u设存在u x y (,)，使得du x y dx dy P x y dx Q x y dy x y∂∂(,)=+=+(,)(,)∂∂，得y y 223u x y xe x dx x e x x y (,)(231)ϕ()=+−=+−+∫∂u由y=+x e y2y ϕ′()，得ϕ′()2∂y y=−2，方程的，ϕ()=−y y 通解为232y +−−=x e x x y C .法二：由232232(231)(2)(2()()()(22)0yy y 22)(31)(2)yyxe x dx x e y dy xe dx x e dy x dx y dyy d x e d x x d y d x e x x y +−+−=++−+−=+−+−=+−−=232y+−−=得x e x x y C .2x （2）设P x y (,)y =y x 4322y −3，Q x y (,)=，则 46P x Qy y x∂∂=−=∂∂.当y ≠0时，方程为全微分方程.2243131xyy x 122x 2 u x y xdx x C y y y−(,)2=+dy x =−++−=∫∫2233方程的通解为x y y Cy −+=.重点题型二二阶常系数线性微分方程【类型一与方法】解的性质与结构1=−32x x ，例9【2013，数二】已知y e xe y e xe 2=−x x 2，y xe 3=−2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件yx =0=0，y ′x =0=1的解为y =__________.【详解】 ′′例10【2004，数二】微分方程y y x x +=++21sin 的特解形式可设为 2∗（A ）(sin cos )y ax bx c x A x B x =++++ (2∗（B ）sin cos )y x ax bx c A x B x =++++ 2∗（C ）sin y ax bx c A x =+++2∗（D ）cos y ax bx c A x =+++ 【详解】 2x′′′−+=+例11【2017，数二】微分方程y y y e x 48(1cos 2) 的特解可设为y *=22xx ++（A ）Ae e B x C x (cos 2sin 2)22x x ++（B ）Axe e B x C x (cos 2sin 2)22xx ++（C ）Aexe B x C x (cos 2sin 2)22x x ++（D ）Axe xe B x C x (cos 2sin 2)【详解】【类型二】已知微分方程的解反求微分方程11223x x 例12【2015，数一】设y e x e=+−′′′++=是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x 的一个特解，则（A ）a =−3，b =2，c =−1（C ）a =−3，b =2，c =1（B ）a =3，b =2，c =−1（D ）a =3，b =2，c =1【详解】 【类型三】解二阶常系数线性微分方程′′′例13【2012，数一、数三】已知函数f x ()满足方程f x f x f x ()()2()0′′+−=及f x f x e ()()2+=x.（I ）求f x ()的表达式；22x（II ）求曲线y f x f t dt =−()()∫的拐点.【详解】重点题型三高阶常系数线性齐次微分方程【方法】例14求解微分方程y (4)−3y ′′−4y =0.【详解】特征方程为r r 42−−=340，得r 1,2=±2，r i3,4=±，方程的通解为x x −y C e C e C x C x 22cos sin =+++1234.重点题型四二阶可降阶微分方程【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）2例15求微分方程()y x y y ″+′=′满足初始条件y y (1)(1)1=′=的特解.′=，则y p 【详解】本题不含y ，令y p ′′′=2′()，原方程化简为p x p p +=，转化为反函数1dx −=dp dp ppdp px p ，得x e e pdp C p p C − =∫∫∫+=+().由p y (1)(1)1=′=，得C =0，从而xp ′=2，于是y =322，得3y x C =+1.由y (1)13221=，得C 1=31，故y x 33=+.重点题型五欧拉方程【方法】（数一掌握，数二、数三大纲不要求）2′′′++=2sin ln 例16求解微分方程x y xy y x .=t，原方程转化为【详解】令x e D D y Dy y t (1)−++=2sin ，即2d y2+dty t =2sin .特征方程为r 2+=10，得λ=±i ，齐次方程的通解为y C t C t =+12cos sin .∗=+(cos sin )，代入方程，得A =−1，B =0，故令y t A t B t y t t ∗=−cos .因此原方程的通解为12y C x C x x x cos ln sin ln ln cos ln =+−⋅.重点题型六差分方程【方法】（数三掌握，数一、数二大纲不要求）+1−=⋅2t的通解为__________例17【1997，数三】差分方程t t y y t . 【详解】齐次方程的通解为y C t =.令t y At B *=+()2t，代入方程，得A =1，B =−2，故t y t*=−(2)2t.因此原方程的通解为y C t t =+−(2)2t. 2y y x x 5的通解为__________例18【2018，数三】差分方程∆−=. 【详解】121121()()()22x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y ++++++∆=∆∆=∆−=−−−=−+原方程化简为y y x x ++21−=25，转化为y y x x x =2x+1−=25.齐次方程的通解为y C .令x y A x*=，代入方程，得A =−5，故y x *=−5.因此原方程的通解为y C x =−25.重点题型七变量代换求解二阶变系数线性微分方程2例19【2005，数二】用变量代换x t t =<<cos (0)x y xy y ′′′π化简微分方程(1)−−+=0，并求其x =0=，y ′满足y |1|2x =0=的特解.【详解】重点题型八微分方程综合题【类型一】综合导数应用2001，数二】设L 是一条平面曲线，其上任意一点P x y x 例20【(,)(0)>到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点 12,0，求曲线L 的方程.【详解】【类型二】综合定积分应用例21【2009，数三】设曲线y f x=()，其中f x ()是可导函数，且f x ()0>.已知曲线y f x=()与直线y =0，x =1及x t t =>(1)所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt 倍，求该曲线的方程.【详解】【类型三】综合变限积分例22【()()()1xx−f x t dt x t f t dt e x 2016，数三】设函数f x ()连续，且满足−=−+−∫∫，求f x ().【详解】【类型四】综合多元复合函数x例23【2014，数一、数二、数三】设函数f u ()具有二阶连续导数，z f e y =(cos )满足 ∂∂22z e y e 2x x z z+=+(4cos )∂∂x y22=，f ′若f (0)0(0)0=，求f u ()的表达式.【详解】【类型五】综合重积分例24【1997，数三】设函数f t ()在[0,+∞)上连续，且满足方程x y t 222f t e 4πt f dxdy 2+≤4 ()=+∫∫求f t ().【详解】第五章多元函数微分学重点题型一多元函数的概念【方法】例1【2007，数二】二元函数f x y (,)在点(0,0)处可微的一个充分条件是 ]（A ）(,)(0,0)lim(,)(0,0)0x y [f x y f →−=f x f （B ）lim(,0)(0,0)x x →0− f y f =0，且lim(0,)(0,0)yy →0−=0（C）(,)limx y→=0[f x f （D ）lim (,0)(0,0)0x x ]，且′′x →0−=lim (0,)(0,0)0f y f y y ′′y →0−=【详解】例2【2012，数一】如果函数f x y (,)在点(0,0)处连续，那么下列命题正确的是f x y （A ）若极限lim (,)x yx →0存在，则f x y (,)在点(0,0)y →0+处可微 f x y （B ）若极限lim (,)x y22x →0存在，则f x y (,)在点(0,0)y →0+处可微f x y （C ）若f x y (,)在点(0,0)处可微，则极限lim (,)x y x →0y →0+存在f x y （D ）若f x y (,)在点(0,0)处可微，则极限lim (,)x y22x →0y →0+存在【详解】例3【2012，数二】设函数f x y (,)可微，且对任意x y ,都有∂f x y x(,)>0，∂f x y (,)<0，则使不等∂y∂式f x y f x y 1122(,)(,)<成立的一个充分条件是（A ）x x 12 ，y y >12（B ）x x <12，y y >12>（C ）x x 12<，y y 12（D ）x x <12<，y y 12>【详解】例4【2012，数三】设连续函数z f x y =(,)满足x →0y →=0，则dz (0,1)=__________.【详解】重点题型二多元复合函数求偏导数与全微分【方法】例5【2001，数一】设函数z =f (x ,y )在点(1,1)处可微，且f (1,1)1=，∂(1,1)xf=2∂，∂(1,1)yf =3∂，x f x f x x ϕ()(,(,))=，求dx ϕ3dx ()x =1.【详解】例6【2011，数一、数二】设z f xy yg x =(,())，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g x ()可导，且在x =1处取得极值g (1)1=，求2x 11y z==∂∂∂x y.【详解】重点题型三多元隐函数求偏导数与全微分【方法】例7【2005，数一】设有三元方程xy −z ln y +e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程 （A ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z x y =(,)（B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z =(,)和z z x y =(,)（C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y x z =(,)和z z x y =(,)（D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z =(,)和y y x z =(,)【详解】例8【1999，数一】设y y x =()，z z x =()是由方程z xf x y =+()和F x y z (,,)0=所确定的函数，dz其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dx.【详解】重点题型四变量代换化简偏微分方程【方法】例9【2010，数二】设函数u f x y 222=(,)具有二阶连续偏导数，且满足等式2241250u u ux y∂∂∂++=∂∂x y ∂∂.确定a bξη∂2u=0,的值，使等式在变换ξ=+x ay ，η=+x by 下简化为∂∂.【详解】重点题型五求无条件极值【方法】222(,)例10【2003，数一】已知函数f x y (,)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim()f x y xyx yx →0y →0−=1+，则（A ）点(0,0)不是f x y (,)的极值点（B ）点(0,0)是f x y (,)的极大值点（C ）点(0,0)是f x y (,)的极小值点（D ）根据所给条件无法判别点(0,0)是否为f x y (,)的极值点。

第九章㊀数学一二公共部分常考题型一㊀曲率㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀1.ʌ2009-2㊀4分ɔ若f ᵡ(x )不变号,且曲线y =f (x )在点(1,1)上的曲率圆为x 2+y 2=2,则f (x )在区间(1,2)内(㊀㊀).(A)有极值点,无零点(B)无极值点,有零点(C)有极值点,有零点(D)无极值点,无零点2.ʌ2012-2㊀4分ɔ曲线y =x 2+x (x <0)上曲率为22的点的坐标是㊀㊀㊀㊀.3.ʌ2014-2㊀4分ɔ曲线x =t 2+7y =t 2+4t +1{上对应于t =1的点处的曲率半径是(㊀㊀).(A)1050(B)10100(C)1010(D)5104.ʌ2016-2㊀4分ɔ设函数f i (x )(i =1,2)具有二阶连续导数,且f ᵡi (x 0)<0(i =1,2).若两条曲线y =f i (x )(i =1,2)在点(x 0,y 0)处具有公切线y =g (x ),且在该点处曲线y =f 1(x )的曲率大于曲线y =f 2(x )的曲率,则在x 0的某个邻域内,有(㊀㊀).(A)f 1(x )ɤf 2(x )ɤg (x )(B)f 2(x )ɤf 1(x )ɤg (x )(C)f 1(x )ɤg (x )ɤf 2(x )(D)f 2(x )ɤg (x )ɤf 1(x )5.ʌ2018-2㊀4分ɔ曲线x =cos 3ty =sin 3t {在t =π4对应点处的曲率为㊀㊀㊀㊀.常考题型二㊀物理应用6.ʌ1991-2㊀3分ɔ质点以速度t sin(t 2)米每秒作直线运动,则从时刻t 1=π2秒到t 2=π秒内质点所经过的路程等于㊀㊀㊀㊀米.7.ʌ1991-2㊀3分ɔ如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为(㊀㊀).114㊀考研数学真题精讲(高等数学)(A)ʏ0-l kmμ(a -x )2d x (B)ʏl 0kmμ(a -x )2d x (C)2ʏ0-l 2kmμ(a +x )2d x (D)2ʏl 20kmμ(a +x )2d x 8.ʌ1993-1㊀6分ɔ设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(-1,0)与A 同时出发,其速度大小为2v ,方向始终指向A ,试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.9.ʌ1995-2㊀5分ɔ设单位质点在水平面内作直线运动,初速度v t =0=v 0,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t 为多少时此质点的速度为v 03?并求到此时刻该质点所经过的路程.10.ʌ1995-2㊀8分ɔ如图设曲线L 的方程为y =f (x ),且yᵡ>0,又MT ,MP 分别为该曲线在点M (x 0,y 0)处的切线和法线.已知线段MP 的长度为[1+(yᶄ0)2]32y 0ᵡ,其中y 0ᶄ=yᶄ(x 0),y 0ᵡ=yᵡ(x 0),试推导出点P (ξ,η)的坐标表达式.11.ʌ1997-1㊀5分ɔ在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ,在t =0时刻已掌握新技术的人数为x 0,在任意时刻t 已掌握新技术的人数为x (t ),将x (t )视为连续可微变量,其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k >0,求x (t ).12.ʌ1998-12㊀6分ɔ从船上向海中沉放某种探测仪器,沉深度y (从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m ,体积为B ,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k (k >0).试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式y =y (v ).13.ʌ1999-12㊀6分ɔ为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口㊂见图,已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m /s,在提升过程中,污泥以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现第九章㊀数学一二公共部分115㊀将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需做多少焦耳的功?(说明:①1N ˑ1m =1J,其中m,N,s,J 分别表示米,牛顿,秒,焦耳;②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)14.ʌ2000-2㊀7分ɔ某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为V 6,流入湖泊内不含A 的水量为V 6,流出湖泊的水量为V 3,已知1999年底湖中A 的含量为5m 0,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过m 0V.问至多需要经过多少年,湖泊中污染物A 的含量降至m 0以内(注:设湖水中A 的浓度是均匀的).15.ʌ2001-1㊀8分ɔ设有一高度为h (t )(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程z =h (t )-2(x 2+y 2)h (t )(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?16.ʌ2001-2㊀7分ɔ设ρ=ρ(x )是抛物线y =x 上任一点M (x ,y )(x ȡ1)处的曲率半径,s =s (x )是该抛物线上介于点A (1,1)与M 之间的弧长,计算3ρd 2ρd s 2-d ρd s ()2的值(在直角坐标系下曲率公式为K =yᵡ(1+y ᶄ2)32).17.ʌ2001-2㊀7分ɔ设函数f (x )在[0,+ )上可导,f (0)=0,且其反函数为g (x ).若ʏf (x )0g (t )d t =x 2e x ,求f (x ).18.ʌ2001-2㊀7分ɔ设函数f (x ),g (x )满足f ᶄ(x )=g (x ),gᶄ(x )=2e x -f (x ),且f (0)=0,g (0)=2,求ʏπ0g (x )1+x -f (x )(1+x )2[]d x.19.ʌ2001-2㊀9分ɔ设L 是一条平面曲线,其上任意一点P (x ,y )(x >0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y 轴上的截距,且L 经过点12,0().(1)试求曲线L 的方程.(2)求L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L 以及两坐标轴所围图形面积最小.20.ʌ2001-2㊀7分ɔ一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S 成正比,比例常数K >0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r 0的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的78,问雪堆全部融化需要多少小时?21.ʌ2002-2㊀7分ɔ某闸门的形状与大小如图所示,其中直线l 为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD ,下部由二次抛物线与线段AB 所围成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5ʒ4,闸门矩形部分的高h 应为多少米?㊀考研数学真题精讲(高等数学)11622.ʌ2003-1㊀10分ɔ某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而做功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问:(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米.)23.ʌ2003-2㊀10分ɔ有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(yȡ0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).(1)根据t时刻液面的面积,写出t与φ(y)之间的关系式.(2)求曲线x=φ(y)的方程.(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分.) 24.ʌ2004-12㊀11分ɔ某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0ˑ106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时.)25.ʌ2010-2㊀4分ɔ已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加,宽w以3cm/s的速率增加.则当l=12cm w=5cm时,它的对角线增加的速率为㊀㊀㊀㊀.26.ʌ2010-2㊀10分ɔ一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭第九章㊀数学一二公共部分117㊀圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(注:长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg /m 3.)27.ʌ2011-2㊀11分ɔ一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由x 2+y 2=2y y ȡ12()与x 2+y 2=1y ɤ12()连接而成的.(Ⅰ)求容器的容积.(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(注:长度单位为m,重力加速度为gm /s 2,水的密度为103kg /m 3.)28.ʌ2013-2㊀11分ɔ设曲线L 的方程式y =14x 2-12ln x (1ɤx ɤe),(Ⅰ)求L 的弧长;(Ⅱ)设D 是由曲线L ,直线x =1,x =e 及x 轴所围平面图形,求D 的形心的横坐标.29.ʌ2014-2㊀4分ɔ一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度ρ(x )=-x 2+2x +1,则该细棒的质心坐标x =㊀㊀㊀㊀.30.ʌ2015-2㊀10分ɔ已知高温物体置于低温介质中,任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为120ħ的物体在20ħ恒温介质中冷却,30分钟后该物体温度降至30ħ,若要该物体的温度继续降至21ħ,还需要多长时间?31.ʌ2016-2㊀4分ɔ已知动点P 在曲线y =x 3上运动,记坐标原点与点P 间的距离为l .若点P 的横坐标对时间的变化率为常数v 0,则当点P 运动到点(1,1)时,l 对时间的变化率是㊀㊀㊀㊀.32.ʌ2018-2㊀11分ɔ已知曲线L :y =49x 2(x ȡ0),点O (0,0),点A (0,1),设P 是L 上的动点,S 是直线OA 与直线AP 及曲线L 所围成图形的面积,若P 运动到点(3,4)时沿x 轴正向的速度是4,求此时S 关于时间t 的变化率.33.ʌ2019-2㊀4分ɔ设函数y =lncos x 0ɤx ɤπ6()的弧长为㊀㊀㊀㊀.118㊀考研数学真题精讲(高等数学)常考题型三㊀可降阶的高阶方程34.ʌ2000-1㊀3分ɔ微分方程xyᵡ+3yᶄ=0的通解为㊀㊀㊀㊀.35.ʌ2002-12㊀3分ɔ微分方程yyᵡ+yᶄ2=0满足初始条件y (0)=1,yᶄ(0)=12的特解为㊀㊀㊀㊀.36.ʌ2007-2㊀11分ɔ求微分方程yᵡ[x +(yᶄ)2]=yᶄ满足初始条件y (1)=yᶄ(1)=1的特解.常考题型四㊀弧长侧面积37.ʌ1992-2㊀9分ɔ计算曲线y =ln(1-x 2)上相应于0ɤx ɤ12的一段弧的长度.38.ʌ1995-2㊀5分ɔ求摆线x =1-cos ty =t -sin t {一拱(0ɤt ɤ2π)的弧长.39.ʌ1996-1㊀5分ɔ求心形线r =a (1+cos θ)的全长,其中a >0是常数.40.ʌ1996-2㊀5分ɔ设有一正椭圆柱体,其底面的长㊁短轴分别为2a ,2b ,用过此柱体底面的短轴与底面成α角0<α<π2()的平面截此柱体,得一楔形体(如图),求此楔形体的体积V .41.ʌ1998-2㊀8分ɔ设有曲线y =x -1,过原点作其切线,求由此曲线㊁切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.42.ʌ2003-2㊀12分ɔ设位于第一象限的曲线y =f (x )过点22,12(),其中任一点P (x ,y )处的法线与y 轴的交点为Q ,且PQ 被x 轴平分.(1)求曲线y =f (x )的方程.(2)已知曲线y =sin x 在[0,π]的弧长为l ,试用l 表示曲线y =f (x )弧长s .㊀第九章㊀数学一二公共部分119 43.ʌ2004-2㊀12分ɔ曲线y=e x+e-x2与直线x=0,x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在x=t处的底面积为F(t).(Ⅰ)求S(t)V(t)的值.(Ⅱ)计算极限lim tң+ S(t)F(t).44.ʌ2008-2㊀11分ɔ设f(x)是区间[0,+ )上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)= 1.对于任意的tɪ[0,+ ),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式.第十章㊀数学一单独部分常考题型一㊀方向导数㊁梯度㊁散度㊁旋度1.ʌ1989-1㊀3分ɔ向量场u(x,y,z)=xy2i+y e z j+x ln(1+z2),k在点P(1,1,0)处的散度div u=㊀㊀㊀㊀.2.ʌ1991-1㊀5分ɔ设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u=6x2+8y2z在点P处沿方向n的方向导数.3.ʌ1992-1㊀3分ɔ函数u=ln(x2+y2+z2)在点M(1,2,-2)处的梯度grad u|M=㊀㊀㊀㊀.4.ʌ1993-1㊀3分ɔ设数量场u=ln x2+y2+z2,则div(grad u)=㊀㊀㊀㊀.5.ʌ1993-1㊀3分ɔ由曲线3x2+2y2=12z=0{绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为㊀㊀㊀㊀.6.ʌ1996-1㊀3分ɔ函数u=ln(x+y2+z2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3,-2,2)的方向导数为㊀㊀㊀㊀.7.ʌ1998-1㊀6分ɔ确定常数λ,使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xy(x4+y2)λi-x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).8.ʌ2001-1㊀3分ɔ设r=x2+y2+z2,则div(grad r)(1,-2,2)=㊀㊀㊀㊀.9.ʌ2001-1㊀3分ɔ设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且fᶄx(0,0)=3,fᶄy(0,0)= 1,则(㊀㊀).(A)d z|(0,0)=3d x+d y(B)曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3,1,1}(C)曲线z=f(x,y)y=0{在点(0,0,f(0,0))的切向量为{1,0,3}(D)曲线z=f(x,y)y=0{在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}10.ʌ2005-1㊀4分ɔ设函数u(x,y,z)=1+x26+y212+z218,单位向量nң=13{1,1,1},则 un(1,2,3)=㊀㊀㊀㊀.第十章㊀数学一单独部分121㊀11.ʌ2008-1㊀4分ɔ函数f (x ,y )=arctanx y 在点(0,1)处的梯度等于(㊀㊀).(A)i (B)-i (C)j (D)-j 12.ʌ2012-1㊀4分ɔgrad xy +z y ()|(2,1,1)=㊀㊀㊀㊀.13.ʌ2015-1㊀10分ɔ已知函数f (x ,y )=x +y +xy ,曲线C :x 2+y 2+xy =3,求f (x ,y )在曲线C 上的最大方向导数.14.ʌ2016-1㊀4分ɔ向量场A (x ,y ,z )=(x +y +z )i +xyj +zk 的旋度rot A =㊀㊀㊀.15.ʌ2017-1㊀4分ɔ函数f (x ,y ,z )=x 2y +z 2在点(1,2,0)处沿向量u =(1,2,2)的方向导数为(㊀㊀).(A)12(B)6(C)4(D)216.ʌ2018-1㊀4分ɔ设F (x ,y ,z )=xy i -yz j +zx k ,则rot F (1,1,0)=㊀㊀㊀㊀.常考题型二㊀向量代数与空间解析几何17.ʌ1987-1㊀3分ɔ与两直线x =1y =-1+t z =2+tìîíïïï及x +11=y +22=z -11都平行,且过原点的平面方程为㊀㊀㊀㊀.18.ʌ1988-1㊀6分ɔ求椭球面x 2+2y 2+3z 2=21上某点M 处的切平面π的方程,使π过已知直线L :x -62=y -31=2z -1-2.19.ʌ1989-1㊀3分ɔ已知曲面z =4-x 2-y 2上点P 处的切平面平行于平面2x +2y +z -1=0,则点P 的坐标是(㊀㊀).(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(-1,-1,2)20.ʌ1989-1㊀9分ɔ设半径为R 的球面ð的球心在定球面x 2+y 2+z 2=a 2(a >0)上,问当R 为何值时,球面ð在定球面内部的那部分的面积最大?21.ʌ1990-1㊀3分ɔ过点M (1,2,-1)且与直线x =-t +2y =3t -4z =t -1ìîíïïï垂直的平面方程是㊀㊀㊀㊀.22.ʌ1991-1㊀3分ɔ已知两条直线的方程是L 1:x -11=y -20=z -3-1;L 2:x +22=y -11=z 1,则过L 1且平行于L 2的平面方程是㊀㊀㊀㊀.122㊀考研数学真题精讲(高等数学)23.ʌ1992-1㊀3分ɔ在曲线x =t ,y =-t 2,z =t 3的所有切线中,与平面x +2y +z =4平行的切线(㊀㊀).(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在24.ʌ1993-1㊀3分ɔ设有直线L 1:x -11=y -5-2=z +81与L 2:x -y =62y +z =3{,则L 1与L 2的夹角为(㊀㊀).(A)π6(B)π4(C)π3(D)π225.ʌ1994-1㊀3分ɔ曲面z -e z +2xy =3在点(1,2,0)处的切平面方程为㊀㊀㊀㊀.26.ʌ1994-1㊀6分ɔ在椭圆x 2+4y 2=4上求一点,使其到直线2x +3y -6=0的距离最短.27.ʌ1995-13分ɔ设(a ˑb )㊃c =2,则[(a +b )ˑ(c +b )]㊃(c +a )=㊀㊀㊀㊀.28.ʌ1995-1㊀3分ɔ设有直线L :x +3y +2z +1=02x -y -10z +3=0{及平面π:4x -2y +z -2=0,则直线L (㊀㊀).(A)平行于π(B)在π上(C)垂直于π(D)与π斜交29.ʌ1995-1㊀5分ɔ求曲面z =x 22+y 2平行于平面2x +2y -z =0的切平面方程.30.ʌ1996-1㊀3分ɔ设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面4x -y +2z =8垂直,则此平面方程为㊀㊀㊀㊀.31.ʌ1997-1㊀6分ɔ设直线L :x +y +b =0x +ay -z -3=0{在平面Ⅱ上,且平面Ⅱ与曲面z =x 2+y 2相切于点(1,-2,5),求a ,b 之值.32.ʌ1998-1㊀5分ɔ求直线l :x -11=y 1=z -1-1在平面π:x -y +2z -1=0上的投影直线l 0的方程,并求l 0绕y 轴旋转一周所围成的曲面的方程.33.ʌ2000-1㊀3分ɔ曲面x 2+2y 2+3z 2=21在点(1,-2,2)的法线方程为㊀㊀㊀㊀.34.ʌ2003-1㊀4分ɔ曲面z =x 2+y 2与平面2x +4y -z =0平行的切平面的方程是㊀㊀㊀.35.ʌ2006-1㊀3分ɔ点(2,1,0)到平面3x +4y +5z =0的距离d =㊀㊀㊀㊀.36.ʌ2013-1㊀4分ɔ曲面x 2+cos xy +yz +x =0在点(0,1,-1)的切平面方程为(㊀㊀).(A)x -y +z =-2(B)x +y +z =0(C)x -2y +z =-3(D)x -y -z =037.ʌ2014-1㊀4分ɔ曲面z =x 2(1-sin y )+y 2(1-sin x )在点(1,0,1)处的切平面方程为㊀㊀㊀㊀.38.ʌ2017-1㊀10分ɔ设薄片型物体S 是圆锥面z =x 2+y 2被柱面z 2=2x 割下的有限部分,其上任一点的密度为μ=9x 2+y 2+z 2,记圆锥面与柱面的交线为C .求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程.39.ʌ2018-1㊀4分ɔ过点(1,0,0)与(0,1,0)且与曲面z =x 2+y 2相切的平面方程为(㊀㊀).(A)z =0与x +y -z =1(B)z =0与2x +2y -z =2(C)y =x 与x +y -z =1(D)y =x 与2x +2y -z =2常考题型三㊀三重积分40.ʌ1988-1㊀3分ɔ设有空间区域Ω1:x 2+y 2+z 2ɤR 2,(z ȡ0)及Ω2:x 2+y 2+z 2ɤR 2(x ȡ0,y ȡ0,z ȡ0),则(㊀㊀).(A)∭Ω1x d v =4∭Ω2x d v(B )∭Ω1y d v =4∭Ω2y d v(C)∭Ω1z d v =4∭Ω2z d v(D )∭Ω1xyz d v =4∭Ω2xyz d v41.ʌ1989-1㊀5分ɔ计算三重积分∭Ω(x +z )d V ,其中Ω是由曲面z =x 2+y 2与z =1-x 2-y 2所围成的区域.42ʌ1991-1㊀5分ɔ∭Ω(x2+y 2+z )d V ,其中Ω是由曲线y 2=2z x =0{绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面z =4所围成的立体.43.ʌ1994-1㊀6分ɔ已知A 点和B 点的直角坐标分别为(1,0,0),(0,1,1),线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ,求由S 及两平面z =0,z =1所围成立体的体积.44.ʌ1997-1㊀5分ɔ计算I =∭Ω(x2+y 2)d V ,其中Ω为平面曲线y 2=2z x =0{绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面z =8所围成的区域.45.ʌ2000-1㊀7分ɔ设有一半径为R 的球体,P 0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P 0距离的平方成正比(比例常数k >0),求球体的重心位置.46.ʌ2003-1㊀12分ɔ设函数f (x )连续且恒大于零,F (t )=∭Ω(t )f (x 2+y 2+z 2)d v ∬D (t )f (x 2+y 2)d σ,G (t )=∬D (t )f (x 2+y 2)d σʏt-tf (x 2)d x,其中Ω(t )={(x ,y ,z )x 2+y 2+z 2ɤt 2},D (t )={(x ,y )x 2+y 2ɤt 2}.(1)讨论F (t )在区间(0,+ )内的单调性.(2)证明当t >0时,F (t )>2πG (t ).47.ʌ2009-1㊀4分ɔ设Ω={(x ,y ,z )x 2+y 2+z 2ɤ1},则∭Ωz 2d x d y d z =㊀㊀㊀㊀.48.ʌ2010-1㊀4分ɔ设Ω={(x ,y ,z )x 2+y 2ɤz ɤ1},则Ω的形心的竖坐标z =㊀㊀㊀.49.ʌ2013-1㊀10分ɔ已知直线L 过A (1,0,0),B (0,1,1)两点,将L 绕Z 轴旋转一周得到曲面Σ,Σ与平面z=0,z=2所围成的立体为Ω.(1)求曲面Σ的方程;(2)求Ω的形心坐标.50.ʌ2015-1㊀4分ɔ设Ω是由x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域,则∭Ω(x+2y+3z)d x d y d z=㊀㊀㊀㊀.常考题型四㊀对弧长的曲线积分51.ʌ1989-1㊀3分ɔ设平面曲线L为下半圆周y=-1-x2,则曲线积分ʏL(x2+y2)d s =㊀㊀㊀㊀.52.ʌ1998-1㊀3分ɔ设l是椭圆x24+y23=1,其周长记为a,则ɥl(2xy+3x2+4y2)d s=㊀㊀㊀㊀.53.ʌ2009-1㊀4分ɔ已知曲线L:y=x2(0ɤxɤ2),则ʏL x d s=㊀㊀㊀㊀.54.ʌ2018-1㊀4分ɔ曲线S由x2+y2+z2=1与x+y+z=0相交而成,求ɥxy d s=㊀㊀㊀.常考题型五㊀对坐标的曲线积分55.ʌ1987-1㊀3分ɔ设L为取正向的圆x2+y2=9,则曲线积分ɥL(2xy-2y)d x+(x2-4x)d y的值是㊀㊀㊀㊀.56.ʌ1988-1㊀9分ɔ设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为k r3(k>0为常数,r为质点A与M之间的距离),质点M沿曲线y=2x-x2自B(2,0)运动到O(0,0).求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.57.ʌ1989-1㊀5分ɔ设曲线积分ʏC xy2d x+yφ(x)d y与路径无关,其中φ(x)具有连续的导数,且φ(0)=0,计算ʏ(1,1)(0,0)xy2d x+yφ(x)d y的值.58.ʌ1990-1㊀8分ɔ质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3, 4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于π2,求变力F对质点P所作的功.㊀㊀59.ʌ1991-1㊀6分ɔ在过点O (0,0)和A (π,0)的曲线族y =a sin x (a >0)中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分ʏL(1+y 3)d x +(2x +y )d y 的值最小.60.ʌ1992-1㊀8分ɔ在变力F =yzi +zxj +xyk 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=1上第一卦限的点M (ξ,η,ζ),问当ξ,η,ζ取何值时,力F 所作的功W 最大,并求出W 的最大值.61.ʌ1993-1㊀5分ɔ设曲线积分ʏL[f (x )-e x ]sin y d x -f (x )cos y d y 与路径无关,其中f (x )具有一阶连续导数,且f (0)=0,则f (x )等于(㊀㊀).(A)e -x -e x2(B)e x -e -x2(C)e x +e -x2-1(D)1-e x +e -x262.ʌ1995-1㊀8分ɔ设函数Q (x ,y )在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分ʏL2xy d x +Q (x ,y )d y 与路径无关,并且对任意t 恒有ʏ(t ,1)(0,0)2xy d x +Q (x ,y )d y =ʏ(1,t )(0,0)2xy d x +Q (x ,y )d y ,求Q (x ,y ).63.ʌ1999-1㊀5分ɔ求I =ʏL[e x sin y -b (x +y )]d x +(e xcos y -ax )d y ,其中a ,b 为正常数,L 为从点A (2a ,0)沿曲线y =2ax -x 2到点O (0,0)的弧.64.ʌ2000-1㊀6分ɔ计算曲线积分I =ɥLx d y -y d x 4x 2+y 2,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(R >1),取逆时针方向.65.ʌ2002-1㊀8分ɔ设函数f (x )在(- ,+ )内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a ,b ),终点为(c ,d ),记I =ʏL1y[1+y 2f (xy )]d x +x y2[y2f(xy)-1]d y.(1)证明曲线积分I与路径L无关;(2)当ab=cd时,求I的值.66.ʌ2003-1㊀10分ɔ已知平面区域D={(x,y)0ɤxɤπ,0ɤyɤπ},L为D的正向边界.试证:(1)ɥL x e sin y d y-y e-sin x d x=ɥL x e-sin y d y-y e sin x d x;(2)ɥL x e sin y d y-y e-sin x d xȡ2π2.67.ʌ2004-1㊀4分ɔ设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分,则曲线积分ʏL x d y-2y d x的值为㊀㊀㊀㊀.68.ʌ2005-1㊀12分ɔ设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分ɥLφ(y)d x+2xy d y2x2+y4的值恒为同一常数.(Ⅰ)证明:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有ɥCφ(y)d x+2xy d y2x2+y4=0. (Ⅱ)求函数φ(y)的表达式.69.ʌ2006-1㊀12分ɔ设在上半平面D={(x,y)y>0}内,函数f(x,y)有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t-2f(x,y).证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有ɥL yf(x,y)d x-xf(x,y)d y=0.70.ʌ2007-1㊀4分ɔ设曲线L:f(x,y)=1,f(x,y)具有一阶连续偏导数,曲线L过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,Γ为L上从点M到点N的一段弧,则下列积分小于零的是(㊀㊀).(A)ʏΓf(x,y)d x(B)ʏΓf(x,y)d y(C)ʏΓf(x,y)d s(D)ʏΓf xᶄ(x,y)d x+f yᶄ(x,y)d y71.ʌ2008-1㊀9分ɔ计算曲线积分ʏL sin2x d x+2(x2-1)y d y,其中L是曲线y=sin x上从点(0,0)到点(π,0)的一段.72.ʌ2010-1㊀4分ɔ已知曲线L的方程为y=1-x{xɪ[-1,1]},起点是(-1,0),终点是(1,0),则曲线积分ʏL xy d x+x2d y=㊀㊀㊀㊀.73.ʌ2012-1㊀10分ɔ已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2=2x到点(2,0),再沿圆周x2+y2=4到点(0,2)的曲线段,计算曲线积分I=ʏL3x2y d x+(x3+x-2y)d y.74.ʌ2013-1㊀4分ɔ设L1:x2+y2=1,L2:x2+y2=2,L3:x2+2y2=2,L4:2x2+y2=2为4条逆时针方向的平面曲线,记I i=ɥL i y+y36()d x+2x-x33()d y(i=1,2,3,4),则max{I1, I2,I3,I4}=(㊀㊀).(A)I1(B)I2(C)I3(D)I475.ʌ2016-1㊀10分ɔ设函数f(x,y)满足 f(x,y) x=(2x+1)e2x-y,且f(0,y)=y+1,L t 是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线,计算曲线积分I(t)=ʏL t f(x,y) x d x+ f(x,y) y d y,并求I(t)的最小值.76.ʌ2017-1㊀4分ɔ若曲线积分ʏL x d x-ay d y2+y2<1}内与路x2+y2-1在区域D={(x,y)|x径无关,则a=㊀㊀㊀㊀.77.ʌ2019-1㊀4分ɔ设函数Q(x,y)=x y2,如果对上半平面(y>0)内的任意有向光滑封闭曲线C都有ɥC P(x,y)d x+Q(x,y)d y=0,那么函数P(x,y)可取为(㊀㊀). (A)y-x2y3(B)1y-x2y3(C)1x-1y(D)x-1y常考题型六㊀对面积的曲面积分78.ʌ1989-1㊀6分ɔ求1/8的球面x2+y2+z2=R2(xȡ0,yȡ0,zȡ0),的边界曲线的重心,设曲线的线密度ρ=1.79.ʌ1995-1㊀6分ɔ计算曲面积分∬Σz d S,其中Σ为锥面z=x2+y2在柱体x2+y2ɤ2x内的部分.80.ʌ1999-1㊀7分ɔ设S为椭球面x22+y22+z2=1的上半部分,点P(x,y,z)ɪS,π为S 在点P处的切平面,ρ(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面π的距离,求∬S zρ(x,y,z)d S. 81.ʌ2000-1㊀3分ɔ设S:x2+y2+z2=a2(zȡ0),S1为S的第一卦限中的部分,则有(㊀㊀).(A)∬S x d S=4∬S1x d S(B)∬S y d S=4∬S1x d S (C)∬S z d S=4∬S1x d S(D)∬S xyz d S=4∬S1xyz d S82.ʌ2007-1㊀4分ɔ设曲面Σ:|x|+|y|+|z|=1,则∯Σ(x+y)d S=㊀㊀㊀㊀.83.ʌ2010-1㊀10分ɔ设P为椭球面S:x2+y2+z2-yz=1上的动点,若S在点P处的切平面与xOy面垂直,求点P的轨迹C,并计算曲面积I=∬Σ(x+3)y-2z4+y2+z2-4yz d S,其中 是椭球面S位于曲线C上方的部分.84.ʌ2012-1㊀4分ɔ设Σ={(x,y,z)|x+y+z=1,xȡ0,yȡ0,zȡ0},则∬Σy2d S=㊀㊀㊀㊀.85.ʌ2017-1㊀10分ɔ设薄片型物体S是圆锥面z=x2+y2被柱面z2=2x割下的有限部分,其上任一点的密度为u(x,y,z)=9x2+y2+z2,记圆锥面与柱面的交线为C. (Ⅰ)求C在xOy平面上的投影曲线的方程.(Ⅱ)求S的质量M.常考题型七㊀对坐标的曲面积分86.ʌ1987-1㊀10分ɔ计算曲面积分I=∬ðx(8y+1)d y d z+2(1-y2)d z d x-4yz d x d y,其中ð是由曲线z=y-1x=0{(1ɤyɤ3)绕y轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角恒大于π2.87.ʌ1988-1㊀5分ɔ设ð为曲面x2+y2+z2=1的外侧,计算曲面积分I=∯ðx3d y d z+y3d z d x+z3d x d y.88.ʌ1989-1㊀6分ɔ设空间区域Ω由曲面z=a2-x2-y2与平面z=0围成,其中a为正常数.记Ω表面的外侧为S,Ω的体积为V.证明:∯S x2yz2d y d z-xy2z2d z d x+z(1+xyz)d x d y=V.89.ʌ1990-1㊀8分ɔ求曲面积分I=∬S yz d z d x+2d x d y,其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在zȡ0的部分.90.ʌ1991-1㊀6分ɔ计算I=∬S-y d z d x+(z+1)d x d y,其中S是圆柱面x2+y2=4被平面x+z=2和z=0所截出部分的外侧.91.ʌ1992-1㊀8分ɔ计算曲面积分∬Σ(x3+az2)d y d z+(y3+ax2)d z d x+(z3+ay2)d x d y,其中Σ是上半球面z=a2-x2-y2的上侧.(90题图)92.ʌ1993-1㊀6分ɔ计算∯Σ2xz d y d z +yz d z d x -z 2d x d y ,其中Σ是由曲面z =x 2+y 2与z =2-x 2-y 2所围立体的表面外侧.93.ʌ1994-1㊀6分ɔ计算曲面积分Sx d y d z +z d x d yx 2+y 2+z2,其中S 是曲面x 2+y 2=R 2及两平面z =R ,z =-R (R >0)所围成立体表面的外侧.94.ʌ1996-1㊀6分ɔ计算曲面积分∬S(2x +z )d y d z +z d x d y ,其中S 为有向曲面z =x 2+y 2(0ɤz ɤ1),其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.95.ʌ1998-1㊀7分ɔ计算∬Σax d y d z +(z +a )2d x d y(x 2+y 2+z 2)12,其中Σ为下半球面z =-a 2-x 2-y 2的上侧,a 为大于零的常数.96.ʌ2000-1㊀7分ɔ设对于半空间x >0内任意的光滑有向封闭曲面S ,都有∯Sxf (x )d y d z -xyf (x )d z d x -e2xz d x d y =0,其中函数f (x )在(0,+ )内具有连续的一阶导数,且lim x ң0+f (x )=1,求f (x ).97.ʌ2004-1㊀12分ɔ计算曲面积分I =∬Σ2x 3d y d z +2y 3d z d x +3(z2-1)d x d y ,其中Σ是曲面z =1-x 2-y 2(z ȡ0)的上侧.98.ʌ2005-1㊀4分ɔ设Ω是由锥面z =x 2+y 2与半球面z =R 2-x 2-y 2围成的空间区域,Σ是Ω的整个边界的外侧,则∬Σx d y d z +y d z d x +z d x d y =㊀㊀㊀㊀.99.ʌ2006-1㊀4分ɔ设Σ是锥面z =x 2+y 2(0ɤz ɤ1)的下侧,∬Σx d y d z +2y d z d x +3(z -1)d x d y =㊀㊀㊀㊀.100.ʌ2007-1㊀10分ɔ计算曲面积分I =∬Σxz d y d z +2zy d z d x +3xy d x d y ,其中Σ为曲面z =1-x 2-y24(0ɤz ɤ1)的上侧.101.ʌ2008-1㊀4分ɔ设曲面Σ是z =4-x 2-y 2的上侧,则∬Σxy d y d z +x d z d x +x 2d x d y =㊀㊀㊀㊀.102.ʌ2009-1㊀10分ɔ计算曲面积分I =∯Σx d y d z +y d z d x +z d x d y(x 2+y 2+z 2)32,其中Σ是曲面2x 2+2y 2+z 2=4的外侧.103.ʌ2014-1㊀10分ɔ设Σ为曲面z =x 2+y 2(z ɤ1)的上侧,计算曲面积分I =∬Σ(x -1)3d y d z +(y -1)3d z d x +(z -1)d x d y.104.ʌ2016-1㊀10分ɔ设有界区域Ω由平面2x +y +2z =2与三个坐标平面围成,Σ为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分I =∬Σ(x2+1)d y d z -2y d z d x +3z d x d y.105.ʌ2018-1㊀10分ɔ设ð是曲面x =1-3y 2-3z 2的前侧,计算曲面积分I =∬Σx d y d z +(y 3+z )d z d x +z 3d x d y.106.ʌ2019-14分ɔ设Σ为曲面x 2+y 2+4z 2=4(z ȡ0)的上侧,则∬Σ4-x 2-4z 2d x d y =㊀㊀㊀㊀.常考题型八㊀斯托克斯公式107.ʌ1997-1㊀5分ɔ计算曲线积分ɥ(z -y )d x +(x -z )d y +(x -y )d z ,其中C 是曲线x 2+y 2=1x -y +z =2{,从z 轴正向往z 轴负向看,C 的方向是顺时针的.108.ʌ2001-1㊀7分ɔ计算I =ɥL(y2-z 2)d x +(2z 2-x 2)d y +(3x 2-y 2)d z ,其中L 是平面x+y+z=2与柱面x+y=1的交线,从z轴正向看去,L为逆时针方向. 109.ʌ2011-1㊀4分ɔ设L是柱面方程x2+y2=1与平面z=x+y的交线,从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分ɥL xz d x+x d y+y22d z=㊀㊀㊀㊀. 110.ʌ2014-1㊀4分ɔ设L是柱面x2+y2=1与平面y+z=0的交线,从Z轴正向往Z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分ɥL z d x+y d z=㊀㊀㊀㊀.{,起点为A(0,2,0),终点111.ʌ2015-1㊀10分ɔ已知曲线L的方程为z=2-x2-y2z=x为B(0,-2,0),计算曲线积分I=ɥL(y+z)d x+(z2-x2+y)d y+x2+y2d z.常考题型九㊀综合应用112.ʌ2010-1㊀4分ɔ设Ω={(x,y,z)|x2+y2ɤzɤ1},则Ω的形心坐标z=㊀㊀㊀㊀. 113.ʌ2019-1㊀10分ɔ设a,b为实数,函数z=2+ax2+by2在点(3,4)处的方向导数中,沿方向l=-3i-4j的方向导数最大,最大值为10.(Ⅰ)求a,b;(Ⅱ)求曲面z=2+ax2+by2(zȡ0)的面积;114.ʌ2019-1㊀10分ɔ设Ω是由锥面x2+(y-z)2=(1-z)2(0ɤzɤ1)与平面z=0围成的椎体,求Ω的形心坐标.常考题型十㊀全微分方程115.ʌ1994-1㊀9分ɔ设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,fᶄ(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]d x+[fᶄ(x)+x2y]d y=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.常考题型十一㊀欧拉方程的求解116.ʌ2004-1㊀4分ɔ欧拉方程x2d2y d x2+4x d y d x+2y=0(x>0)的通解为㊀㊀㊀㊀.常考题型十二㊀傅里叶级数117.ʌ1988-1㊀3分ɔ设f(x)是周期为2的周期函数,它在区间(-1,1]的定义为f (x )=2,-1<x ɤ0x 3,0<x ɤ1{,则f (x )的傅里叶级数在x =1处收敛于㊀㊀㊀㊀㊀㊀.118.ʌ1989-1㊀3分ɔ设函数f (x )=x 2,0ɤx ɤ1,而S (x )=ðn =1b n sin n πx ,- <x <+ ,其中b n =2ʏ1f (x )sin n πx d x ,n =1,2,3, ,则S -12()等于(㊀㊀).(A)-12(B)-14(C)14(D)12119.ʌ1991-1㊀8分ɔ将函数f (x )=2+|x |(-1ɤx ɤ1)展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数ðn =11n 2的和.120.ʌ1992-1㊀3分ɔ设f (x )=-1,-π<x ɤ01+x 2,0<x ɤπ{,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x =π处收敛于㊀㊀㊀㊀.121.ʌ1993-1㊀3分ɔ设函数f (x )=πx +x 2(-πɤx ɤπ)的傅里叶级数展开式为a 02+ðn =1(a n cos nx +b n sin nx ),则其中系数b 3的值为㊀㊀㊀㊀.122.ʌ1995-1㊀6分ɔ将函数f (x )=x -1(0ɤx ɤ2)展开成周期为4的余弦级数.123.ʌ1999-1㊀3分ɔ设f (x )=x ,0ɤx ɤ122-2x ,12<x <1ìîíïïïï,S (x )=a 02+ðn =1a n cos n πx (- <x <+ ),其中a n =2ʏ10f (x )cos n πx d x (n =0,1,2, ),则S -52()等于(㊀㊀).(A)12(B)-12(C)34(D)-34124.ʌ2003-1㊀4分ɔ设x 2=ðn =0a n cos nx (-πɤx ɤπ),则a 2=㊀㊀㊀㊀㊀.125.ʌ2008-1㊀11分ɔf (x )=1-x 2(0ɤx ɤπ)展开成余弦级数,并求级数ðn =1(-1)n -1n 2的和.126.ʌ2013-1㊀4分ɔ设f (x )=|x -12|,b n =2ʏ10f (x )sin n πx d x ,(n =1,2, ),令S (x )=ðn =1b n sin n πx ,则S -94()=(㊀㊀).(A)34(B)14(C)-14(D)-34。

2023汤家凤高数辅导讲义重点题型讲解2023汤家凤高数辅导讲义重点题型讲解一、引言在学习高数的过程中，很多同学常常会遇到一些难以理解的题型，对于这些难点如何去解决，很多同学表示困惑。

针对这一问题，2023汤家凤高数辅导讲义给出了重点题型讲解，帮助学生更好地掌握高数知识。

本文将围绕2023汤家凤高数辅导讲义中的重点题型展开讲解，帮助大家更好地理解和掌握这些题型。

二、基本概念在开始具体的题型讲解之前，首先需要对一些基本概念进行梳理和理解。

在高数学习中，函数、极限、导数、积分等概念是非常重要的基础知识。

在2023汤家凤高数辅导讲义中，对这些基本概念进行了系统全面的讲解，以便学生能够建立起牢固的基础。

只有在理解了这些基本概念之后，才能更好地应对各种题型的解答。

三、重点题型讲解1.函数的应用在高数学习中，函数的应用是一个非常重要的内容。

2023汤家凤高数辅导讲义中对函数的应用进行了深入浅出的讲解，从一些基本的函数图像分析到函数的极值、最值等题型的讲解。

通过对函数的应用进行系统的学习，可以帮助学生更好地理解和掌握函数的相关知识。

2.极限的计算极限是高数学习中的难点之一，在解题过程中经常会遇到各种各样的极限计算题型。

2023汤家凤高数辅导讲义中对极限的计算进行了详细的讲解，涵盖了极限的性质、极限存在的条件、无穷小量的化简等内容。

通过对极限的计算进行系统的学习，可以帮助学生更好地掌握极限的计算方法。

3.导数的应用导数作为高数学习中的重要内容，其应用也是非常广泛的。

在2023汤家凤高数辅导讲义中，对导数的应用进行了全面的讲解，包括了导数的概念、性质、求导法则以及导数在各种问题中的应用等内容。

通过对导数应用进行系统的学习，可以帮助学生更好地理解和掌握导数的相关知识。

4.积分的计算积分作为高数学习中的重要内容，其计算也是需要重点掌握的部分。

在2023汤家凤高数辅导讲义中，对积分的计算进行了详细的讲解，包括了不定积分、定积分、换元积分法、分部积分法以及积分在各种问题中的应用等内容。