【K12教育学习资料】[学习]高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数学案 苏教版

第3课时简单复合函数的导数学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考这两个函数有什么共同特征？答案函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)都是由两个基本函数复合而成的．梳理1．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.( ×)2．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( ×)3．函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cos u，u＝3x＋1复合而成．( √)类型一 求复合函数的导数 命题角度1 单纯的复合函数求导 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝11－2x2；(2)y ＝log 2(2x ＋1)； (3)y ＝ecos x ＋1；(4)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 解 (1)y ＝122(12)x --，设y ＝12u-，u ＝1－2x 2，则y ′＝(12u -)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1232u -·(－4x )＝－12322(12)x --·(－4x )＝2x 322(12)x --.(2)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2. (3)设y ＝e u，u ＝cos x ＋1， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·(－sin x ) ＝－ecos x ＋1sin x .(4)y ＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π32对于t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3， 设u ＝4x ＋2π3，则t ＝cos u ，t u ′u x ′＝－4sin u ＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.∴y ′＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. 反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1 求下列函数的导数． (1)y ＝(x 2－4)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝103x －2；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x .考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数解 (1)y ′＝2(x 2－4)(x 2－4)′＝2(x 2－4)·2x ＝4x 3－16x .(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2.(3)y ′＝(103x －2ln 10)·(3x －2)′＝3×103x －2ln 10.(4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1.(5)y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4′＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4.(6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x . 命题角度2 复合函数与导数运算法则结合求导 例2 求下列函数的导数． (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x ，∴y ′＝(ln 3x )′e x－(ln 3x )(e x)′(e x )2＝1x－ln 3xe x＝1－x ln 3xx e x. (2)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x2. (3)∵y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (2)y ＝x ln(1＋2x )． 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数解 (1)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(2)y ′＝x ′ln(1＋2x )＋x [ln(1＋2x )]′ ＝ln(1＋2x )＋2x1＋2x .类型二 复合函数导数的应用例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ， 得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． 跟踪训练3 曲线y ＝e sin x在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l的方程．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由y ＝e sin x，得y ′＝(esin x)′＝cos x e sin x，即=0|x y'＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，得c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A.12(e x －e －x) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 A解析 y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )． 2．函数y ＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的导数为( )A ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ′＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.3．已知函数f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 32解析 ∵f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，∴f ′(1)＝32.4．函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 －1解析 由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ， 得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝－1. 5．曲线y ＝2e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 e 2解析 y ′＝122e x，切线的斜率k ＝12e 2，则切线方程为y －e 2＝e22(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2， 令y ＝0，得x ＝2，∴切线与坐标轴围成的面积为12×2×|－e 2|＝e 2.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.一、选择题1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4考点 简单复合函数的导数 题点 复合函数的判断 答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 D解析 y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.3．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．60 C ．－1D ．－60考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 B解析 f ′(x )＝10(1－2x 3)9(－6x 2) 所以f ′(1)＝10(1－2)9(－6)＝60. 4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5 B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数 答案 B解析 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′ ＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′ ＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.5．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D 解析 y ′＝a －1x ＋1，由题意得=0|x y'＝2，即a －1＝2， 所以a ＝3. 6．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 A解析 ∵=0|x y'＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得x ＝y ＝23，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，则围成的三角形的面积为12×23×1＝13.7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D解析 y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4ex(e x )2＋2e x＋1 ＝－4e x＋1ex ＋2. ∵e x＋1e x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当e x ＝1e x ＝1时等号成立，∴e x＋1ex ＋2≥4，∴y ′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.二、填空题8．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________________． 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数答案 2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x 解析 ∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′ ＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 9．曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 2 解析 y ′＝ex －1＋x ex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1＋1)e1－1＝2. 10．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 1解析 令u ＝2x ＋a ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1.11．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，0e x -)，0=|x x y'＝0e x --＝－2，得x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2,2)．12．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＝－1，a ＝2.三、解答题13．曲线y ＝e 2x cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由y ′＝(e 2x cos 3x )′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x )＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )，得=0|x y'＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5，得c ＝6或c ＝－4. 故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.四、探究与拓展14．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2x －y ＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝ex －1＋x . 因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝ex －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.15．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图象(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1. 设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1， 所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，P (1,0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1,0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.。

第2课时 导数的运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一 和、差的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.Q (x )＝f (x )＋g (x )，H (x )＝f (x )－g (x )思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 试求y ＝Q (x )，y ＝H (x )的导数．并观察Q ′(x )，H ′(x )与f ′(x )，g ′(x )的关系． 答案 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δxx (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). ∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2. 同理，H ′(x )＝1＋1x2.Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和．H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．梳理 和、差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． 知识点二 积、商的导数 (1)积的导数①[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． ②[cf (x )]′＝cf ′(x )． (2)商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． (3)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠f ′(x )g ′(x ).1．若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( × )2．函数f (x )＝x e x的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)．( √ ) 3．当g (x )≠0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )类型一 利用导数的运算法则求导 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝lg x －1x2；(3)y ＝(x 2＋3)(e x＋ln x )； (4)y ＝x 2＋tan x ； (5)y ＝ex x ＋1.考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则解 (1)y ′＝6x ＋cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝(lg x )′－(x －2)′＝1x ln 10＋2x3. (3)y ′＝(x 2＋3)′(e x ＋ln x )＋(x 2＋3)(e x＋ln x )′＝2x (e x ＋ln x )＋(x 2＋3)⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x＝e x (x 2＋2x ＋3)＋2x ln x ＋x ＋3x. (4)因为y ＝x 2＋sin x cos x ，所以y ′＝(x 2)′＋⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝2x ＋cos 2x －sin x (－sin x )cos 2x ＝2x ＋1cos 2x.(5)y ′＝(e x)′(x ＋1)－(x ＋1)′ex(x ＋1)2＝e x(x ＋1)－e x (x ＋1)2＝x e x(x ＋1)2.反思与感悟 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练1 求下列函数的导数． (1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)． 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 解 (1)∵y ＝232x －312x-＋x －1＋32x-，∴y ′＝312x ＋3232x -－x －2－3252x -.(2)方法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2.方法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′ ＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. 类型二 导数公式及运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx2＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.∴f (x )＝ln xx－2x .∴f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e－2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数． (2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值． 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则． 跟踪训练2 函数f (x )＝x2x －1＋2f ′(1)x ，则f ′(0)＝________. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 1解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＋2f ′(1)＝－1(2x －1)2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1，∴f ′(0)＝1.命题角度2 与切线有关的问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e xsin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)， 所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. (2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7. 又g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)， 即7x ＋y －3＝0.反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________.(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x ， 当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1.又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a，∴－1a＝－1，即a ＝1.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2.又∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，即f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4， ∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.1．设函数y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( ) A ．－2e xcos x B ．－2e xsin xC ．2e xsin x D ．－2e x(sin x ＋cos x )考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 D解析 y ′＝－2(e xsin x ＋e xcos x )＝－2e x(sin x ＋cos x )．2．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.22考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.3．若函数f (x )＝12 f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 A解析 因为f (x )＝12 f ′(－1)x 2－2x ＋3，所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2， 所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________.考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 12解析 因为f ′(x )＝(e x)′x －e x·x ′x2＝e x(x －1)x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得0e x (x 0－1)x 20＋e x x 0＝0.解得x 0＝12.5．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 2．和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )． 3．积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；(3)当f (x )＝1时，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′ B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 A解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′正确； B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′错误； C 项中，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′错误．2．若函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0等于( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0，得x 0＝±a .3．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 C解析 ∵f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ， ∴f ′(4)＝e 4(sin 4＋cos 4)．∵π<4<32π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f ′(4)<0.由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x>0，整理得(x ＋1)(x －2)x>0，解得－1<x <0或x >2. 又x >0，∴x >2.5．函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 B解析 f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令F (x )＝－x sin x ，x ∈R ，则F (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝F (x )， ∴f ′(x )是偶函数． 6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2，∴=3|x y'＝－12. ∴－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即a ＝－2.7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13C.73D ．－13或53考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x )的图象开口向上， 故其图象必为③.由图象特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0， ∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B.二、填空题8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝________. 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案516解析 由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－[f (x )＋2]g ′(x )[g (x )]2， ∴h ′(5)＝f ′(5)g (5)－[f (5)＋2]g ′(5)[g (5)]2＝3×4－(5＋2)×142＝516. 9．已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则t ＝1 s 时物体的瞬时速度为________ m/s. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 5解析 因为s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t2＋2t 2＝1t －1t2＋2t 2，所以s ′(t )＝－1t 2＋2·1t3＋4t ，所以s ′(1)＝－1＋2＋4＝5，即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为5 m/s.10．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 11．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________． 考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点坐标为(x 0，y 0)． 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.12．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 8解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝=1|x y'＝2， 所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，所以a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 三、解答题13．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点坐标为(1，－1)． ∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.四、探究与拓展14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)等于( ) A ．26B ．29C ．215D ．212考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 D解析 ∵f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)， ∴f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.15．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

1.2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数知识梳理(1)C′=_____________(C 为常数); (2)(x n )′=_____________;(3)(sinx)′=_____________;(4)(cosx)′=_____________;(5)(e x )′=_____________;(6)(a x )′=_____________;(7)(lnx)′=_____________;(8)(log a x)=_____________;(9)(x α)′=_____________.知识导学由导数定义给出了求导数的最基本方法,因为导数是由极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限运算.这显然比较麻烦,甚至困难,但是找到一些常用函数的导数将使求导工作大大简便,因此要熟记常见函数的导数.疑难突破通过几个实例归纳出y=x n 的导数的形式;熟记基本初等函数的求导公式.剖析:通过对函数y=kx+b,y=x 2,y=x 3,y=x1及y=x 几种函数导数的推导过程,总结出y=x n 的导数的形式，这是培养学生善于思考及善于归纳的好习惯.正确记忆基本初等函数的求导公式是本节课的重点和难点,只有熟练记忆才能用起来方便.常用函数的导数公式是求导的基础,高考中经常涉及,但单独考查利用导数公式求导数的题目并不多,常与其他知识联系起来考查.典题精讲【例1】 (1)求曲线y=sinx 在点P(23,3π)处切线的斜率k; (2)物体运动方程为s=3414-t ,求当t=5时瞬时物体运动的速度v. 思路分析：本题是一道导数应用题,必须从导数的公式入手.解:(1)(sinx)′=cosx,当x=3π时,k=213cos =π. (2)s′=(3414-t )′=t 3,当t=5时,v=125. 变式训练：已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x 2上的两点,求与直线PQ 平行的曲线y=x2的切线方程.思路分析：本题是已知斜率求点的坐标的问题.可先设出点的坐标，再代入方程求得切线方程.解:y′=(x 2)′=2x,设切点坐标为M(x 0,y 0)，则当x=x 0时，切线斜率k=2x 0,因为PQ 的斜率为1214+-=1.又切线平行于直线PQ,所以k=2x 0=1，即x 0=21. 所以切点M(41,21).所求切线方程为2141-=-x y ,即4x-4y-1=0. 【例2】 求曲线y=2x 2-1的斜率为4的切线方程.思路分析：导数反映了函数在某一点处的变化率,它的几何意义就是相应曲线在该点处的切线的斜率.由于切线的斜率已知,只要确定切点的坐标,先利用导数求出切点的横坐标,再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标,从而可求出切线方程.解:设切点为P(x 0,y 0)，则y′=(2x 2-1)′=4x.当x=x 0时,4=4x 0,∴x 0=1;当x 0=1时,y 0=1,∴切点P 的坐标为(1,1).故所求切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.绿色通道：联系实际，深刻理解导数的意义,在不同的区域代表的具体意义不一样,但本质上都是指事物在某过程中的变化率的极值.变式训练：求过曲线y=cosx 上点P(21,3π),且与过这点的切线垂直的直线方程. 思路分析：首先要求切线的斜率. 解:因为y=cosx,所以y′=(cosx)′=-sinx.曲线在点P(21,3π)处的切线斜率是233sin -=-π, 所以过点P 且与切线垂直的直线的斜率为33232=. 所以所求直线方程为)3(33221π-=-x y , 即233232+--πy x =0. 【例3】 已知直线x+2y-4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点.O 是坐标原点,试在抛物线的上求一点P,使△ABP 面积最大.思路分析：依题意|AB|为定值,只要P 点到AB 的距离最大,S △ABP 就最大,问题转化为在抛物线的上求一点P 到直线AB 的距离最大.由导数的几何意义,知P 为抛物线上与AB 平行的切线的切点,求出P 点坐标即可,也可用解析几何知识求解.解法一:如图1-2-1所示，|AB|是定值,△PAB 的面积最大.只需P 到AB 的距离最大,即只需点P 是抛物线上平行于AB 的切线的切点.设P(x,y)，由图知点P 在x 轴下方的图象上,所以x y 2-=.所以y′=x1-.图1-2-1 因为k AB =21-,所以211-=-x ,x=4. 又y 2=4x(y ＜0)时,y=-4，所以P(4,-4). 解法二:设P(020,4y y ).因为|AB|为定值,要使△PAB 的面积最大,只需P 到直线AB:x+2y-4=0的距离最大.设距离为d,则 d=|8)4(41|515|4241|20020-+=-+y y y , y 0∈(424,244---).当y 0=-4时,d 最大.此时△PAB 的面积最大,所以P(4,-4).绿色通道：解法一是利用导数的几何意义解题,注意数形结合思想的运用;解法二是用函数的方法求P 点的坐标,注意配方法的运用.变式训练：已知抛物线c 1：y=x 2+2x 和c 2：y=-x 2+a.如果直线l 同时是c 1和c 2的切线,称l是c 1和c 2的公切线.公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(1)a 取什么值时,c 1和c 2有且仅有一条公切线?写出此公切线方程.(2)若c 1和c 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线c 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2) (x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数为y′=-2x,曲线c 2在点Q(x 2,-x 22+a)处的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，所以⎩⎨⎧+=--=+.,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0. 若判别式Δ=4-4×2(1+a)=0,即a=21-,解得x 1=21-.此时点P 与Q 重合，即当a=21-时，c 1和c 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为41-=x y . (2)证明：由(1)知，当a ＜21-时，c 1和c 2有两条公切线.设一条公切线上的切点为P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2),其中P 在c 1上，Q 在c 2上，则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点坐标为(21,21a +--). 同理，另一条公切线段P′Q′的中点坐标也是(21,21a +--),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.问题探究问题：函数y=f(x)在x 0处的导数是如何定义的?若x 0∈(a,b),y=f(x)在x 0处可导,则y=f(x)在(a,b)内处处可导吗?导思：函数y=f(x)在x 0处可导即当x 0∈(a,b )时,y=f(x)在x 0处可导.与y=f(x)在(a,b)内处处可导是两码事.函数y=f(x)在(a,b)内处处可导,必须满足对任意的x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导.探究：自变量x 在x 0处有增量Δx,那么相应地函数y 也有增量Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).若Δx 趋近于0时,xy ∆∆存在,则这个值就是y=f(x)在x=x 0处的导数,x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导,只能说明在(a,b)内某一点x 0处可导,而不能说明在(a,b)内处处可导.。

习题课导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．1．函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.类型一 构造法的应用命题角度1 比较函数值的大小例1 已知定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且sin x ·f ′(x )>cos x ·f (x )恒成立，则( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C.6f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 D解析 由f ′(x )sin x >f (x )cos x ， 得f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，构造函数g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ′(x )>0，即函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴3f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 故选D.反思与感悟 用构造法比较函数值的大小关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小．跟踪训练1 已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x<0，若a ＝12 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f ()－2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <a <b考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用 答案 B解析 令g (x )＝xf (x )， 则g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )，∴g (x )是偶函数．g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∵f ′(x )＋f (x )x<0， ∴当x >0时，xf ′(x )＋f (x )<0， 当x <0时，xf ′(x )＋f (x )>0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数． ∵12<ln 2<1<2， ∴g (2)<g (ln 2)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. ∵g (x )是偶函数，∴g (－2)＝g (2)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝g (ln 2)， ∴g (－2)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，故选B. 命题角度2 求解不等式例2 已知定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )<2e x的解集为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2) C ．(0，＋∞)D ．(2，＋∞)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 C 解析 设g (x )＝f (x )ex，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex.∵f (x )>f ′(x )，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在R 上单调递减． ∵f (0)＝2，∴g (0)＝f (0)＝2， 则不等式等价于g (x )<g (0)． ∵函数g (x )单调递减，∴x >0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练2 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对任意的x ∈R 都有f ′(x )<13，则不等式f (lg x )>lg x ＋23的解集为________．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 (0,10)解析 ∵f ′(x )<13，∴f ′(x )－13<0，∴f (x )－x ＋23在R 上为减函数．设F (x )＝f (x )－x ＋23，则F (x )在R 上为减函数．∵f (1)＝1，∴F (1)＝f (1)－1＝1－1＝0.由f (lg x )>lg x ＋23，得f (lg x )－lg x ＋23>0，∴F (lg x )>F (1)．∵F (x )在R 上单调递减，∴lg x <1，∴0<x <10， ∴原不等式的解集为(0,10)． 类型二 利用导数研究函数的单调性 例3 已知函数f (x )＝ax －ax－2ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间解 (1)f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋ax 2(x >0)．①当a ≤0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； ②当a >0时，令g (x )＝ax 2－2x ＋a ， ∵函数f (x )在区间[1，＋∞)上是单调函数， ∴g (x )≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴a ≥2xx 2＋1在区间[1，＋∞)上恒成立． 令u (x )＝2xx 2＋1，x ∈[1，＋∞)．∵u (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x＝1， 当且仅当x ＝1时取等号． ∴a ≥1.∴当a ≥1时，函数f (x )单调递增．∴实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．(2)由(1)可知：①当a ≤0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ②当a ≥1时，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ③当0<a <1时，由ax 2－2x ＋a ＝0， 解得x ＝1－1－a 2a 或x ＝1＋1－a2a.∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－a 2a ，1＋1－a 2a 上单调递减．反思与感悟 利用导数研究函数单调性应注意以下几点 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法．跟踪训练3 设函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，a ∈R . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1,3]上不存在单调递增区间，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 存在递增(或递减)区间解 (1)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋x 2－4x ＋4(x >0)， f ′(x )＝1x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋1x，令f ′(x )>0，解得x >2＋22或x <2－22，令f ′(x )<0，解得2－22<x <2＋22，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，＋∞上单调递增．(2)f ′(x )＝1x ＋2x －2a ＝2x 2－2ax ＋1x，x ∈[1,3]，设g (x )＝2x 2－2ax ＋1，假设函数f (x )在[1,3]上不存在单调递增区间， 必有g (x )≤0，于是⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝3－2a ≤0，g (3)＝19－6a ≤0，解得a ≥196.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫196，＋∞. 类型三 函数的极值、最值与导数例4 已知函数f (x )＝2ax －ln(2x )，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx，x ∈(0，e]，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 考点 导数在最值中的应用 题点 已知最值求参数(1)解 当a ＝1时，f (x )＝2x －ln(2x )，f ′(x )＝2－1x ＝2x －1x，x ∈(0，e]，当0<x <12时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当12<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． 所以f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1， 故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e ，f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，无极大值．(2)证明 令h (x )＝g (x )＋12＝ln x x ＋12，h ′(x )＝1－ln xx2，x ∈(0，e]， 当0<x <e 时，h ′(x )>0，此时h (x )单调递增， 所以h (x )max ＝h (e)＝1e ＋12<1，由(1)知f (x )min ＝1，所以在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)解 假设存在实数a ，使f (x )＝2ax －ln(2x )，x ∈(0，e]有最小值3，f ′(x )＝2a －1x＝2ax －1x，x ∈(0，e]，①当a ≤0时，因为x ∈(0，e]，所以f ′(x )<0，f (x )在(0，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝2a e －ln(2e)＝3， 解得a ＝4＋ln 22e(舍去)，②当0<12a <e ，即a >12e 时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝1－ln 1a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件，③当12a ≥e，即0<a ≤12e 时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝2a e －ln(2e)＝3， 解得a ＝4＋ln 22e(舍去)．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )的最小值为3.反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f ′(x )的正负．(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者． 跟踪训练4 设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)； (2)若函数f (x )恰有两个零点，求实数c 的取值范围． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根解 f ′(x )＝c x ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋cx，∵x ＝1为f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0， ∴f ′(x )＝(x －1)(x －c )x且c ≠1，b ＋c ＋1＝0.(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，∴c >1， 当0<x <1时，f ′(x )>0；当1<x <c 时，f ′(x )<0； 当x >c 时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递增区间为(0,1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )． (2)①若c <0，则f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 函数f (x )恰有两个零点，则f (1)<0，即12＋b <0，∴－12<c <0；②若0<c <1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ，f (x )极小值＝f (1)＝12＋b ，∵b ＝－1－c ，则f (x )极大值＝c ln c ＋12c 2＋c (－1－c )＝c ln c －c －12c 2<0，f (x )极小值＝－12－c ，从而得f (x )只有一个零点；③若c >1，则f (x )极小值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋c (－1－c )＝c ln c －c －12c 2<0，f (x )极大值＝f (1)＝－12－c ，从而得f (x )只有一个零点．综上，使f (x )恰有两个零点的c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.1．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.43B.73C.83D.163考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析 由题意可知f (0)＝0，f (1)＝0，f (2)＝0， 可得1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2， 所以函数的解析式为f (x )＝x 3－3x 2＋2x .f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，由方程3x 2－6x ＋2＝0，可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2×23＝83.2．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A ．bf (b )≤af (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤bf (b )D ．af (b )≤bf (a )考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 A解析 设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴g (x )在区间(0，＋∞)上单调递减或g (x )为常函数． ∵a <b ，∴g (a )≥g (b )，即af (a )≥bf (b )，故选A.3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3， 验证可知x ＝3是函数的最小值点， 故f (x )min ＝f (3)＝3m －272，由f (x )＋9≥0恒成立，得f (x )≥－9恒成立， 即3m －272≥－9，∴m ≥32.4．已知函数f (x )＝x (x 2－ax ＋3)．(1)若x ＝13是f (x )的极值点，求f (x )在区间[－1,4]上的最大值与最小值；(2)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 解 (1)由f (x )＝x 3－ax 2＋3x ， 得f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由已知得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，解得a ＝5， ∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3， 由f ′(x )＝0，解得x ＝13或x ＝3，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )在[－1,4]上的最小值为－9，最大值是1327.(2)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由f (x )在[1，＋∞)上单调递增，得3x 2－2ax ＋3≥0， 即a ≤32⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，要使上式成立，只要a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min 即可，设g (x )＝x ＋1x(x ≥1)，由于g (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝2，∴a ≤3，即实数a 的取值范围是(－∞，3]．导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用研究导数得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.一、选择题1．函数f (x )＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 B解析 f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内f ′(x )大于或等于0(不恒为0)即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，f ′(x )>0恒成立．2．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )A ．0≤a ≤21B ．a ＝0或a ＝7C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝21 考点 利用导数研究函数的极值题点 极值存在性问题答案 A解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点．3．若函数f (x )＝(x 2＋ax －1)ex －1的一个极值点为x ＝1，则f (x )的极大值为( ) A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 C解析 由题意知f ′(1)＝0，解得a ＝－1，∴f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1，则函数的极值点为x 1＝－2，x 2＝1，当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，函数是增函数，当x ∈(－2,1)时，函数是减函数，∴f (x )极大值＝f (－2)＝5e －3.4.已知定义在R 上的函数f (x )的图象如图，则x ·f ′(x )>0的解集为( )A ．(－∞，0)∪(1,2)B ．(1,2)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据单调性确定导数值的正负号答案 A解析 不等式x ·f ′(x )>0等价于当x >0时，f ′(x )>0，即当x >0时，函数单调递增，此时1<x <2；或者当x <0时，f ′(x )<0，即当x <0时，函数单调递减，此时x <0，综上，1<x <2或x <0，即不等式的解集为(－∞，0)∪(1,2)．5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 C解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0，x ∈(－1，＋∞)， 即f ′(x )＝－x 2－2x ＋b x ＋2≤0， 即－x 2－2x ＋b ＝－(x ＋1)2＋1＋b ≤0，∴1＋b ≤0，b ≤－1.6．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，若关于x 的不等式f (x )－m ≥0在[1，e]上有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，e 2－2)B ．(－∞，e 2－2] C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求函数中参数的取值范围答案 B解析 由f (x )－m ≥0得f (x )≥m ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x， 当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，此时，函数f (x )单调递增，所以f (1)≤f (x )≤f (e)．即1≤f (x )≤e 2－2，要使f (x )－m ≥0在[1，e]上有实数解，则有m ≤e 2－2.7．定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )>1－f (x )，f (0)＝6，其中f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x ＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(3，＋∞) 考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 A解析 不等式e x f (x )>e x ＋5可化为e x f (x )－e x －5>0.设g (x )＝e x f (x )－e x －5，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以函数g (x )在定义域R 上单调递增．又g (0)＝0，所以g (x )>0的解集为(0，＋∞)．二、填空题8．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递增区间为________________．考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 (－∞，－1)和(1，＋∞)解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a .由题意得f (a )＝2，f (－a )＝6，得a ＝1，b ＝4.由f ′(x )＝3x 2－3>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 9．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 c <a <b解析 f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， 因为π2>π－2>1>π－3>0， 所以f (π－2)>f (1)>f (π－3)．即c <a <b .10．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 (－1,0]解析 f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1， 即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，m <2m ＋1，2m ＋1≤1，解得－1<m ≤0.11．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 [1，＋∞)解析 由f (x )>1，得ax －ln x >1，∵x >1，∴原不等式转化为a >1＋ln x x， 设g (x )＝ln x ＋1x ，得g ′(x )＝－ln x x 2， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，则g (x )在(1，＋∞)上单调递减，则g (x )<g (1)＝1，∵a >1＋ln x x在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1.三、解答题12．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 考点 导数在最值问题中的应用题点 求函数的最值解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9，令f ′(x )<0，解得x <－1或x >3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)>f (－2)．于是有22＋a ＝20，∴a ＝－2，∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.当x ∈(－1,3)时，f ′(x )>0，∴f (x )在[－1,2]上单调递增．又由于f (x )在[－2，－1)上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值，∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f (x )的最小值为－7.13．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式(1)解 f ′(x )＝x －a x ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a 2＝0，则a ＝4. 此时f ′(x )＝x －4x ＝(x ＋2)(x －2)x， 因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )>0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，故a ＝4.(2)解 因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x， 所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x， 所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；单调递减区间为(0，a )．(3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ， 则g ′(x )＝2x 2－x －1x， 因为当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0， 所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )>g (1)＝16>0， 所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 四、探究与拓展14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2>0，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________．考点 利用导数求函数的单调区间题点 求不等式的解集答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 令g (x )＝f (x )x (x ≠0)， 则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2. ∵当x >0时，xf ′(x )－f (x )x 2>0，即g ′(x )>0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0，∴在(0，＋∞)上，g (x )>0的解集为(1，＋∞)．∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴在(－∞，0)上，g (x )<0的解集为(－1,0)．由x 2f (x )>0，得f (x )>0(x ≠0)．又f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，∴不等式x 2f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．15．设函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax . (1)若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数解 (1)已知f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ， 则f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ， 由于函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间， 即导函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在函数值大于零的部分， 故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23＋2a >0，即a >－19. 即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. (2)已知0<a <2时，f (x )在[1,4]上取到最小值－163， 而f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a 的图象开口向下，且对称轴为x ＝12， 则f ′(1)＝－1＋1＋2a ＝2a >0，f ′(4)＝－16＋4＋2a ＝2a －12<0，则必有一点x 0∈[1,4]，使得f ′(x 0)＝0，此时函数f (x )在[1，x 0]上单调递增，在[x 0,4]上单调递减，因为f (1)＝－13＋12＋2a ＝16＋2a >0， 所以f (4)＝－13×64＋12×16＋8a ＝－403＋8a <0. 所以f (4)＝－403＋8a ＝－163，即a ＝1. 此时，由f ′(x 0)＝－x 20＋x 0＋2＝0，得x 0＝2或－1(舍去)，即f (x )在[1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减．10 3.所以函数f(x)max＝f(2)＝。

1.3.1 函数的单调性与导数(二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．1．如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( √ ) 2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( √ )类型一 利用导数求参数的取值范围例1 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求k 的取值范围． 解 ∵f ′(x )＝k －1x，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )＝k －1x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≤1x ，∵0<1x<1，∴k ≤0.即k 的取值范围为(－∞，0]．2．若将本例中条件递增改为不单调，求k 的取值范围．解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x.当k ≤0时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意． 当k >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1k，只需1k ∈(1，＋∞)，即1k>1，则0<k <1.∴k 的取值范围是(0,1)．反思与感悟 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．(2)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练1 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 解 方法一 (直接法)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减，由题意知(1,4)⊂(1，a －1)且(6，＋∞)⊂(a －1，＋∞)， 所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 故实数a 的取值范围为[5,7]． 方法二 (数形结合法) 如图所示，f ′(x )＝(x －1)[x －(a －1)]．因为在(1,4)内，f ′(x )≤0， 在(6，＋∞)内f ′(x )≥0， 且f ′(x )＝0有一根为1， 所以另一根在[4,6]上．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(4)≤0，f ′(6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×(5－a )≤0，5×(7－a )≥0，所以5≤a ≤7.故实数a 的取值范围为[5,7]．方法三(转化为不等式的恒成立问题)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2<x＋1<5，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．类型二证明不等式例2 证明e x≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)．考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明令f(x)＝e x－x－1(x≥0)，则f′(x)＝e x－1≥0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，∴f(x)≥0，即e x≥x＋1，令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0，∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0，∴x＋1≥sin x＋1(x≥0)，综上，e x≥x＋1≥sin x＋1.反思与感悟用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.跟踪训练2 已知x >0，证明不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式 证明 设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x21＋x .当x >－1时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，＋∞)内是增函数． ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0.∴当x >0时，不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立.1．已知命题p ：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0，q ：f (x )在(a ，b )内是单调递增的，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A2．已知对任意实数x ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 由题意知，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数． 当x >0时，f (x )，g (x )都单调递增， 则当x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )>0，g ′(x )<0.3．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [－1,1)解析 f ′(x )≤0，即3x 2－12≤0，得－2≤x ≤2. ∴f (x )的减区间为[－2,2]， 由题意得(2m ，m ＋1)⊆[－2,2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，2m <m ＋1，得－1≤m <1.4．函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则a 的取值范围为________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [2，＋∞)解析 y ′＝a －1x，由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，y ′≥0， 即a ≥1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立， 由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞得，1x <2，∴a ≥2.5．证明方程x －12sin x ＝0只有一个实根，并试求出这个实根．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式解 令f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x >0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，其图象若穿越x 轴，则只有一次穿越的机会， 显然x ＝0时，f (x )＝0.所以方程x －12sin x ＝0有唯一的实根x ＝0.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f (x )是否满足题意.一、选择题1．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 A解析 y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0， 解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故选A. 2．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 A解析 由f ′(x )＝1－ln x x2<0，解得x >e ， ∴f (x )在(e ，＋∞)上为减函数， ∵e<a <b ，∴f (a )>f (b )．3．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 C ．(1,2] D ．[1,2) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k－1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32.4．若a >0，且f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－a ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤(3x 2)min ＝3， 又a >0，∴0<a ≤3. 5．若函数y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33， 当－33<x <33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33<0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上单调递减，只需y ′<0，即a >0.6．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 C解析 设h (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x <b 时，h (x )>h (a )， ∴f (x )－g (x )>f (a )－g (a )， 即f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )． 二、填空题7．若y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 因为y ′＝cos x ＋a ≥0， 所以a ≥－cos x 对x ∈R 恒成立． 所以a ≥1.8．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (－∞，0)解析 y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0， ∴a <0.9．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (0，＋∞)解析 ∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.10．若函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 (－∞，－1]解析 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立， 即bx ＋2≤x 在(－1，＋∞)上恒成立，∵x >－1，∴x ＋2>1>0，∴b ≤x (x ＋2)，设y ＝x (x ＋2)，则y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x >－1，∴y >－1，∴要使b ≤x (x ＋2)成立，则有b ≤－1.11．若f (x )＝2x －a x 2＋2(x ∈R )在区间[－1,1]上是增函数，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 [－1,1]解析 f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2， ∵f (x )在[－1,1]上是增函数，∴f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2≥0. ∵(x 2＋2)2>0，∴x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－ax －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a －2≤0，1－a －2≤0，∴－1≤a ≤1.即a 的取值范围是[－1,1]．三、解答题12．已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)．(1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)当a ＝－14时， f (x )＝－14x 2＋ln(x ＋1)(x >－1)，f ′(x )＝－12x ＋1x ＋1＝－(x ＋2)(x －1)2(x ＋1)(x >－1)． 当f ′(x )>0时，解得－1<x <1；当f ′(x )<0时，解得x >1.故函数f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(2)因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，所以f ′(x )＝2ax ＋1x ＋1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立， 即a ≤－12x (x ＋1)对任意x ∈[1，＋∞)恒成立． 令g (x )＝－12x (x ＋1)， 易求得在区间[1，＋∞)上g ′(x )>0，故g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12x (x ＋1)min ＝g (1)＝－14， 故a ≤－14. 即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14. 13．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－x 2＋x ＋1>0，解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明 令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)． 则F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.四、探究与拓展14．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是__________．考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x >0时，g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，g (x )>g (1)＝0⇔f (x )x >0⇔f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，g (x )<g (－1)＝0⇔f (x )x <0⇔f (x )>0.综上，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．15．设函数f (x )＝x e kx (k ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx ＝0，得x ＝－1k(k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 若k <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上，k >0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ， k <0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞. (2)由(1)知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1， 即0<k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增；若k <0，则当且仅当－1k≥1，即－1≤k <0时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 综上可知，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．。

1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2.问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1](1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨]先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析](1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e－x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u)′·(－x ＋1)′＝－u＝－－x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2.[一点通]对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′ ＝1u ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1x.答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________．解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 33．求下列函数的导数：(1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4，∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－xsin(2x －1)；(2)y ＝ln(2x －1)2x －1.[思路点拨]根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析](1)y ′＝(31－x)′sin(2x －1)＋31－x·[sin(2x －1)]′＝－31－xln 3·sin(2x －1)＋31－x·2cos(2x －1)＝31－x[2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln(2x －1)]′·2x －1－ln(2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln(2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln(2x －1)2x －12x －1＝2－ln(2x －1)(2x －1)·2x －1.[一点通](1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )． 解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－xx 22x －1.(2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] 2(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨]求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析]∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0. ∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118. ∴a 的值为118.[一点通]有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线方程是________．解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，ln 2处切线的倾斜角．解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x(x ≥0)在点M (t ，e －t)处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x，∴y ′＝(e －x)′＝－e －x， ∴y ′|x ＝t ＝－e －t.故切线方程为y －e －t＝－e －t(x －t )， 即x ＋e ty －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t(t ＋1)． ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t(t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t(t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x ex －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2.答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax)′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的导数为________．解析：∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x 2sin 4x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2′sin 4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·(sin 4x )′＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a，则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1. 则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. (2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))，a ＝(1,1)，∴f(x)＝AB―→·a＝x－1＋ln(2－x)－f′(1) ＝ln(2－x)＋x－f′(1)－1∴f′(x)＝12－x·(2－x)′＋1＝1x－2＋1，∴f′(1)＝0，∴f(x)＝ln(2－x)＋x－1.。

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1。

2.1 常数函数与幂函数的导数1.2。

2 导数公式表及数学软件的应用（建议用时：45分钟)[学业达标］一、选择题1．下列结论正确的是（)A．若y＝cos x，则y′＝sin xB．若y＝sin x，则y′＝－cos xC．若y＝错误!,则y′＝－错误!D．若y＝错误!，则y′＝错误!【解析】∵(cos x)′＝－sin x,∴A不正确；∵(sin x）′＝cos x，∴B不正确；∵(错误!)′＝错误!，∴D不正确．【答案】C2．在曲线f(x）＝错误!上切线的倾斜角为错误!π的点的坐标为（）【导学号：05410010】A．（1,1) B．(－1，－1)C．(－1，1）D．（1,1）或（－1，－1)【解析】切线的斜率k＝tan 错误!π＝－1，设切点为(x0,y0）,则f′（x0）＝－1，又f′（x）＝－错误!,∴－错误!＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1）或（－1，－1）．故选D.【答案】D3．对任意的x，有f′(x)＝4x3,f(1)＝－1,则此函数解析式为( ）A．f(x）＝x3B．f（x）＝x4－2C．f(x）＝x3＋1 D．f(x）＝x4－1【解析】由f′（x）＝4x3知f（x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得,选B.【答案】B4．已知曲线y＝x3在点（2,8）处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝（) A．4 B．－4C．28 D．－28【解析】∵y′＝3x2，∴点(2,8)处的切线斜率k＝f′（2)＝12.∴切线方程为y－8＝12(x－2），即y＝12x－16，∴k＝12,b＝－16，∴k－b＝28.【答案】C5．若f(x)＝sin x，f′(α）＝错误!，则下列α的值中满足条件的是( ）A。