2017年高中数学选修4-5全册配套试卷(人教A版共21份含答案)

第二讲证明不等式的基本方法1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解．2．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景．所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中．2．1 比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0答案：＞＝＜思考1 比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.2．作商法：由于当b ＞0时，a ＞b ⇒ab ＞1，因此要证明a ＞b (b ＞0)，可以转化为证明与之等价的a b＞1(b ＞0)，这种证明方法即为作商法．思考2 求证：1618＞1816.证明：∵16181816＝256332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27348＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128818＞1，∴1618＞1816.一层练习1．设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则( ) A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜n D ．m ≤n 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b 答案：A3．已知下列不等式：①x 2＋3＞2x (x ∈R)；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(a ，b ∈R)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4.2a1＋a2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)． 答案：≤二层练习5．若a ＞b ，则代数式a 3＋a 2b 与ab 2＋b 3的大小关系是( )A ．a 3＋a 2b ＜ab 2＋b 3B ．a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3C ．a 3＋a 2b ＝ab 2＋b 3D ．不能确定解析：∵a ＞b ，∴(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a －b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，∴a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.答案：B6．设0<2a <1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝11－a ，Q ＝11＋a ，那么( )A ．Q <P <M <NB ．M <N <Q <PC ．Q <M <N <PD ．M <Q <P <N 答案：C7．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a ＜a b答案：B8．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a的大小关系是______________．答案：a a b b ＞a b b a9.6－22与5－7的大小关系是________________________________________________________________________．答案：(6－22)＞(5－7)10．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P ＞Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.∵P ＞Q ，P －Q ＞0.∴ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－211．若a ，b 均为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a ＋b . 证明：证法一 左边－右边＝a b ＋ba－(a ＋b ) ＝（a ）3＋（b ）3－（a ＋b ）abab＝（a ＋b ）[（a ）2－2ab ＋（b ）2]ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab，因为a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0，所以ab＋ba－(a＋b)≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法二左边－右边＝ab＋ba－(a＋b)＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝（a－b）（a－b）ab ＝（a＋b）（a－b）2ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法三左边右边＝ab＋baa＋b＝（a）3＋（b）3ab（a＋b）＝a＋b－abab＝1＋（a－b）2ab≥1，所以ab＋ba≥a＋b.三层练习12．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2－a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.13．设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解析：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得 0<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1，0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.14．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]＞0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1)．作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．习题课 不 等 式1．若a ，b ， c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( ) A ．a －c ＞b －d B ．ac ＞bd C ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c 答案: D2．若1a <1b<0，则下列等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案: C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④ 答案: C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( )A ．－3B ．2C ．5D ．7答案: D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 答案: C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．7 答案: D7．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________． 答案: 68．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0，2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0. ∴(xy －32)(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0， ∴xy ≥32， 即xy ≥18.∴xy 的最小值为18. 答案：189．(2014·上海高考文科)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为______．解析：当时x ＞0，f (x )＝x ＋1x≥2，若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤2.答案：(－∞，2]．10．(2014·辽宁卷)对于c ＜0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为______．解析：因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值． 故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－1，其最小值为－1 答案：－111．(2014·湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流量速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l .(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大流量比(l )中的作答车流量增加______辆/时． 解析：(1)依题意知，l ＞0，v ＞0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋12l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时，取等号． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v ＋18v ＋100≤76 000v ＋100v＋18≤2 000， 当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(l )中的最大车流量增加100辆/时．答案：(1)1 900 (2)10012．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1. 求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0. 又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y （x ＋y ＋z ）＝2， 即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y （x ＋y ＋z ），xyz （x ＋y ＋z ）＝1时取等号．13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值；(2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值．解析：(1)y ＝x 2x －1＝（x ＋1）（x －1）＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2（x －1）·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3.∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0.∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－2x ）＋11－2x ＋3≤－2（1－2x ）·1（1－2x ）＋3＝1.当且仅当1－2x ＝11－2x ，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.14．如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18， 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3， 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ，∵x ＞0，∴0＜y ＜6，S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y ，∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0， ∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝272， 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1 不等式1．1.1 不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案:＞0 ＝0 ＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1 比较大小：x2＋3________x2＋1.答案:＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N，且n ＞1)． (6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞nb (n ∈N，且n ＞1)． 思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b . 思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b . 答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a－d＞b－c，从而有a d ＜b c.答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2. 答案：＜ 4．“a ＞b ”与“1a＞1b”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab>2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a ＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3B.1a <1bC ．a b>1 D ．lg(b －a )<0 答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y(0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以 A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断 C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c<b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________． A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解． ∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故①正确．构造函数y ＝x c.∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． 答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．【金版学案】2015-2016学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式讲末检测 新人教A 版选修4-5一、选择题(每小题5分，共60分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 答案: D2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．2 2解析：由a ＞0，b ＞0，2＝a ＋b ≥2ab 得0＜ab ≤1，令t ＝ab ，则t ∈(0，1]．因为y ＝t ＋1t在(0，1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝2.答案：A 3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：∵(x －a )(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，∴(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x成立，∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，∴1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.答案：C4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是( ) A.b a ＞c a B.b －ac＞0 C.b 2c ＞a 2c D.a －c ac＜0 解析：∵c ＜b ＜a 且ac ＜0，∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0可得b a ＞c a .故A 恒成立．∵b ＜a ，∴b －a ＜0，又c ＜0，∴b －a c＞0.故B 恒成立．∵c ＜a ，∴a －c ＞0，又ac ＜0，∴a －cac＜0.故D 恒成立．当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立． 答案：C5．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：依题意知a ＞0，b ＞0，c ＞0，故2a＞1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＜1，∴log 12a ＞1，0＜log 12b ＜1，0＜log 2c ＜1，即0＜a ＜12，12＜b ＜1，1＜c ＜2，从而a ＜b ＜c .答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1 答案：C7．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[4，5] 答案：A8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜3 B ．k ＜－3 C ．k ≤3 D ．k ≤－3 答案：B9．设a ＞b ＞c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：因为原不等式⇔n ≤⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －b ＋b －c )恒成立， 所以n ≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [（a －b ）＋（b －c ）]min＝4. 答案：C10．不等式|x |＞2x －1的解集为( ) A ．{x |x ＞2或x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜2} C ．{x |x ＜1或x ＞2} D ．{x |1＜x ＜2} 解析：方法一 当x ＜1时，2x －1＜0，不等式恒成立，故选C. 方法二 |x |＞2x －1]⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜21－x ]，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2.答案：C11．已知命题p ：不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，则m ＜1，若函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数， 则5－2m ＞1，则m ＜2，.故p ⇒q ，q ⇒ /p . 答案：A12．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |x ＞1} D ．{x |x ＞2}解析：因为|a －b |≤|a |＋|b |，其中等号成立的条件为ab ≤0，所以由原不等式成立得 2x ·log 2x ＞0，所以x ＞1. 答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝______________． 解析：由集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}解出A ＝{x |－4≤x ≤5}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}＝{x |x ≥ －2}；故A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5} 14．已知x 1·x 2·x 3·…·x 2012＝1，＝且x 1，x 2，…，x 2012都是正数，则(1＋x 1)(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)的最小值是________．解析：∵x 1是正数，∴1＋x 1≥2x 1，同理：1＋x 2≥2x 2，…，1＋x 2012≥2x 2012，各式相乘，得(1＋x 1)·(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)≥22012x 1·x 2·…·x 2012＝22012.等号成立的条件为x 1＝x 2＝…＝x 2012＝1.答案：2201215．设a ＞b .①ac 2＞bc 2；②2a ＞2b ；③1a ＜1b；④a 3＞b 3；⑤a 2＞b 2.其中正确的结论序号有________．解析：若c ＝0，①错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，则③⑤错． 答案：②④16．若a ＋1＞0，则不等式x ≥x 2－2x －ax －1的解集为________．解析：由题意得x －x 2－2x －ax －1≥0∴x ＋ax －1≥0.又a ＋1＞0，∴－a ＜1， ∴x ≤－a 或x ＞1，∴原不等式的解集为(－∞，－a ]∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，a ]∪(1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分11分)解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1.解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1，∴x －2x ＞1或x －2x ＜－1，∴x 2－x －2x ＞0或x 2＋x －2x＜0，∴－1＜x ＜0或x ＞2或x ＜－2或0＜x ＜1.∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或－1＜x ＜0或0＜x ＜1或x ＞2}．18．(本小题满分11分)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R? 解析：(1)当a ＝1时，原不等式可变形为 |x ＋3|＋|x －7|＞10，可解得其解集为 {x |x ＜－3或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|≥lg10＝1对任意x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时对任意x ∈R 都成立．19．(本小题满分12分)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 解析：∵x ＞3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3＋x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5，当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号． ∴当x ＝4时，函数的最小值为5.20．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且当x ∈[2，3]时，g (x )＝－x 2＋4x －4.(1)求f (x )的解析式；(2)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|＜2|x 2－x 1|； (3)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|≤1. (1)解析：由题意知f (x ＋1)＝g (1－x )⇔ f (x )＝g (2－x )．当－1≤x ≤0时， 2≤2－x ≤3，∴f (x )＝－(2－x )2＋4(2－x )－4＝－x 2； 当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，∴f (－x )＝－x 2.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2（－1≤x ≤0），x 2（0＜x ≤1）.(2)证明：∵当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0＜x 1＋x 2＜2，∴|f (x 2)－f (x 1)＝|x 22－x 21|＝|(x 2－x 1)(x 2＋x 1)|＜2|x 2－x 1|.(3)证明：当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0≤x 21≤1，0≤x 22≤1，∴－1≤x 22－x 21≤1，即|x 22－x 21|≤1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＝|x 22－x 21|≤1.21．(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 的距离的最小值．解析：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.所以直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立，所以O 点到l 的距离的最小值为2.22．(本小题满分12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(结果可保留分数形式)?解析：(1)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64；(2)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时上式等号成立， ∴y max ＝92083(千辆/时)．第三讲柯西不等式与排序不等式1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2(通常称作平面三角不等式)．3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑n,i＝1a2i·∑n,i＝1b2i≥(∑n,i＝1a i b i)2.4．用向量递归方法讨论排序不等式．,1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．3．1 二维形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立．答案：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立．答案：|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A (a ，b )，B (c ，d )，那么它们的数量积α·β＝________，而|α|＝a 2＋b 2，|β|＝c 2＋d 2，所以柯西不等式的几何意义就是________，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．答案：ac ＋bd |α||β|≥|α·β|3．定理3(三角形不等式)：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则________________________________________________________________________．答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2思考2 设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，则P 与Q 的大小关系是________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 答案：P ≤Q一层练习1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2B.m ＋nC ．m ＋nD ．(m ＋n )2答案：A3．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________．解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝32＋ 2.答案：32＋24．若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式有(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，∴x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y 4时等号成立，为求最小值点，需解⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2的最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.二层练习5．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b2≥1答案：D6．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为______． 答案：37．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是______． 答案：38．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.14答案：A三层练习9．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)．于是a 2＋b 2＝1.10．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127.证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2]≥12(1×a 4＋1×b 4)2＝12(a 4＋b 4)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 4＋b 4）2＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2＝123·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 2＋b 2）2≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．11．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2，于是长方形ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1·4R 2－x 2)，由柯西不等式有l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R ＝42R ，等号成立⇔x 1＝4R 2－x 21⇔x ＝2R ，此时宽为4R 2－（2R ）2＝2R ，即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号“＝”取到的条件是要从推导过程来理解的．2．3 反证法与放缩法1．了解用反证法证明不等式．2．了解用放缩法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法．(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步，做出与所证不等式________的假定．第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见个以上思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞nb (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．答案：假设n a ≤nb2．放缩法．(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．答案：放大 缩小(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122； 将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1( k ∈R，k ＞1)等．(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：①直接放缩； ②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．思考2 对于任何实数x ，求证：x 2－x ＋1≥34.证明： 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以x 2－x ＋1≥34.一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．反证法 D ．直接法 答案：C3．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定 答案：B4．A ＝1＋12＋13＋ (1)与n (n ∈N *)的大小关系为________．解析：n ∈N *，当n ＝1时，A ＝n ＝1；当n >1时，A ＝1＋12＋13＋…＋1n >1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n ＋n －1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n .综上可知，A ≥n . 答案：A ≥n二层练习5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根．C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.答案：A6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．A ＝1＋122＋132＋…＋1n2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2. 答案：A ＜28．已知x ，y >0，且x ＋y >2.证明：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n. 证明：∵1－x n1＋x n＝1－nn ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1，x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12×34×…×2n －12n <13×35×…×2n －12n ＋1＝12n ＋1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1< 1－x n1＋x n.10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. (1)证明：证法一1a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1n ＋1)， 所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 证法一 首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)·(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27.当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.三层练习11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. 证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74.∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾． 当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1， 此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾． 综上{a n }中没有超过2的项．综合①②，{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾． 因此1有无数个．13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 21－(12＋1－3)S 1－3(12＋1)＝0，即a 21＋a 1－6＝0，解得a 1＝2或a 1＝ －3(舍去)．(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0， 因为数列{a n }中a n ＞0，所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(3)因为1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＜14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14，1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14＝1n －14－1n ＋1－14， 所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14－12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－14－13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －14－1n ＋1－14＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－14－1n ＋1－14＝13－14n ＋3＜13.故对一切正整数n ，有。

高中数学学习材料唐玲出品高中数学选修4-5模块考试一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知c ＜d, a ＞b ＞0, 下列不等式中必成立的一个是 （ ）A ．a+c ＞b+dB ．a –c ＞b –dC ．ad ＜bcD ．db c a > 2．函数28(0)2x y x x=-->的最大值是 （ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．183．已知函数f （x ）=-2x +1,对于任意正数ε,使得|f （x 1）-f （x 2）|＜ε成立的一个充分但不必要条件是A ．|x 1-x 2|<εB ．|x 1-x 2|<2εC ．|x 1-x 2|<4εD ．|x 1-x 2|>4ε 4．用数学归纳法证明“nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- ”时，由k n =的假设证明1+=k n 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ） A ．1212111+++++k k k B ．2211212111+++++++k k k k C ．1212121+++++k k k D ．22112121++++++k k k 二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）5．若14a <<，24b -<<，则2a －b 的取值范围是 .6．函数220()5(0)f x x x x =+>的最小值为_____________. 三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）7．（本小题10分）已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且a 1＞b 1，x ＞y. 求证：ax x +＞b y y +.8．（本小题10分）已知函数()|8||4|f x x x =---. （Ⅰ）作出函数y =f （x ）的图像：（Ⅱ）解不等式|8||4|2x x --->.高中数学选修4-5模块考试参考答案一、选择题 BACD二、填空题5． )10,2(- 6．15三、解答题7．证法一：（作差比较法）∵a x x +－b y y +=））（（b y a x ay bx ++-，又a 1＞b1且a 、b ∈R +， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，∴bx ＞ay. ∴））（（b y a x ay bx ++-＞0，即ax x +＞b y y +. 证法二：（分析法）xy 0 1 1∵x 、y 、a 、b ∈R +，∴要证ax x +＞b y y +，只需证明x （y+b ）＞y （x+a ），即证xb ＞yA ． 而由a 1＞b1＞0，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，知xb ＞ya 显然成立.故原不等式成立.8．解： ()()的图像如图所示函数－－x f 8)(x 4,8)x (42x,124)(x ,4x f )1(∴⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<= （分段函数3分，图象3分，共6分）()()();52x f 5x 2，集为由图可知，不等式的解＝时，解法一：当∞-=（10分） 448844542122242φ<≤≤>⎧⎧⎧⇒<≤<⎨⎨⎨>->->⎩⎩⎩解法二：或或或或　x x x x x x ()5∴-∞原不等式的解集是，。

高中数学选修4-5模块测试出题人：李娅 审题人：邱若好一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知c ＜d, a ＞b ＞0, 下列不等式中必成立的一个是 （ ）A ．a+c ＞b+dB ．a –c ＞b –dC ．ad ＜bcD ．dbc a > 2．函数28(0)2x y x x=-->的最大值是 （ ）A ．6B ．8C ．10D ．183．已知函数f （x ）=-2x +1,对于任意正数ε,使得|f （x 1）-f （x 2）|＜ε成立的一个充分但不必要条件是A ．|x 1-x 2|<εB ．|x 1-x 2|<2εC ．|x 1-x 2|<4ε D ．|x 1-x 2|>4ε 4．用数学归纳法证明“nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-”时，由k n =的假设证明1+=k n 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ）A ．1212111+++++k k k B ．2211212111+++++++k k k k C ．1212121+++++k k k D ．22112121++++++k k k 5. 若不等式26ax +<的解集为()1,2-，则实数a 等于( ).A 8 .B 2 .C 4- .D 8-6. .证明：2111111(1)22342n n n n+<+++++<+>，当2n =时，中间式子等于（ ） Ａ．1 Ｂ．112+ Ｃ．11123++ Ｄ．1111234+++7. 若a , b , c ∈R，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤8. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥9.下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）11.．若14a <<，24b -<<，则2a －b 的取值范围是 . 12．函数220()5(0)f x x x x=+>的最小值为_____________. 13. 不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 14. 已知111()1()23f n n n *=++++∈N ，用数学归纳法证明(2)2n nf >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ．三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题10分） 解不等式(1)52312≥-++x x ; (2)512≥-+-x x .16．（本小题10分）已知函数()|8||4|f x x x =---. （Ⅰ）作出函数y =f （x ）的图像： （Ⅱ）解不等式|8||4|2x x --->.17.若不等式111123124an n n +++>+++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．18.由下列不等式：112>，111123++>，111312372++++>，111122315++++>，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．xy11高中数学选修4-5模块考试参考答案一、选择题 BACD 二、填空题5． )10,2(- 6．15 三、解答题7．证法一：（作差比较法）∵a x x +－b y y +=））（（b y a x ay bx ++-，又a 1＞b1且a 、b ∈R +， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，∴bx ＞ay. ∴））（（b y a x ay bx ++-＞0，即ax x+＞b y y +.证法二：（分析法）∵x 、y 、a 、b ∈R +，∴要证ax x+＞b y y +，只需证明x （y+b ）＞y （x+a ），即证xb ＞yA ．而由a 1＞b1＞0，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，知xb ＞ya 显然成立.故原不等式成立. 8．解：()()的图像如图所示函数－－x f 8)(x 4,8)x (42x,124)(x ,4x f )1(∴⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<= （分段函数3分，图象3分，共6分）()()();52x f 5x 2，集为由图可知，不等式的解＝时，解法一：当∞-=（10分）448844542122242φ<≤≤>⎧⎧⎧⇒<≤<⎨⎨⎨>->->⎩⎩⎩解法二：或或或或　x x x x x x ()5∴-∞原不等式的解集是，。

高中数学新人教A版选修4-5试题附答案第二讲证明不等式的基本方法测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知,则下列不等式成立的是()A.a<bB.C. D.<0解析由>0,即>0,则<0.答案D2.若a∈R,且p=,q=a2-a+1,则()A.p≥qB.p>qC.p≤qD.p<q解析因为a∈R,所以p,q>0,且=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+1≥1,所以q≥p.答案C3.(2017江西二模)求证,p=(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(x n-a)2,若a≠,则一定有()A.p>qB.p<qC.p,q的大小不定D.以上都不对解析设f(x)=(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x n-x)2,则f(x)=nx2-2(x1+x2+…+x n)x++…+.当x=时,f(x)取得最小值,即p<q,故选B.答案B4.对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b与a<b及a≠c中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立,其中判断正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析对于①,假设(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,这时a=b=c,与已知矛盾,故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故①正确;对于②,假设a>b与a<b及a≠c都不成立时,有a=b=c,与已知矛盾,故a>b与a<b及a≠c中至少有一个成立,故②正确;对于③,显然不正确.答案C5.已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a3>0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析因为f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数,且a3>0,所以f(a3)>f(0)=0,而a1+a5=2a3,所以a1+a5>0,则a1>-a5,于是f(a1)>f(-a5),即f(a1)>-f(a5),所以f(a1)+f(a5)>0,故f(a1)+f(a3)+f(a5)>0.答案A6.要使成立,a,b应满足的条件是()A.ab<0,且a>bB.ab>0,且a>bC.ab<0,且a<bD.ab>0,且a>b或ab<0,且a<b解析⇔a-b+3-3<a-b⇔,所以当ab>0时,有,即b<a;当ab<0时,有,即b>a.答案D7.设a,b,c∈R,且a,b,c不全相等,则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是()A.a,b,c全为正数B.a,b,c全为非负实数C.a+b+c≥0D.a+b+c>0解析a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],而a,b,c不全相等⇔(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2>0.故a3+b3+c3-3abc≥0⇔a+b+c≥0.答案C8.设a,b,c,d∈R,若a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则有()A.ad=bcB.ad<bcC.ad>bcD.ad≤bc解析|a-d|<|b-c|⇒(a-d)2<(b-c)2⇒a2+d2-2ad<b2+c2-2bc,因为a+d=b+c⇒(a+d)2=(b+c)2⇒a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以-4ad<-4bc,所以ad>bc.答案C9.使不等式>1+成立的正整数a的最大值是()A.10B.11C.12D.13解析用分析法可证当a=12时不等式成立,当a=13时不等式不成立.答案C10.已知a,b,c∈(0,+∞),若,则()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a解析由可得+1<+1<+1,即,所以a+b>b+c>c+a.由a+b>b+c可得a>c,由b+c>c+a可得b>a,于是有c<a<b.答案A11.设m>n,m,n∈N+,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,其中x>1,则()A.a>bB.a≥bC.a≤bD.a<b解析a-b=[(lg x)m-(lg x)n]-[(lg x)-n-(lg x)-m]=[(lg x)m-(lg x)n]-=(lg m x-lg n x)-=(lg m x-lg n x).因为x>1,所以lg x>0.当lg x=1时,a-b=0,所以a=b;当lg x>1时,a-b>0,所以a>b;当0<lg x<1时,a-b>0,所以a>b.综上,a≥b.答案B12.已知x,y>0,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y≥2(+1)B.xy≤+1C.x+y≤(+1)2D.xy≥+1解析由xy-(x+y)=1可得xy=1+x+y≥1+2,即()2-2-1≥0,所以+1,则xy≥(+1)2,排除B和D;因为xy=x+y+1≤,解得x+y≥2(+1).故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.当x>1时,x3与x2-x+1的大小关系是.解析因为x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x>1,所以(x-1)(x2+1)>0.因此x3-(x2-x+1)>0,即x3>x2-x+1.答案x3>x2-x+114.设0<m<n<a<b,函数y=f(x)在R上是减函数,下列四个数f,f,f,f的大小顺序是.解析∵<1<,y=f(x)在R上是减函数,∴f>f>f>f.答案f>f>f>f15.若a+b>a+b,则a,b应满足的条件是.解析因为a+b>a+b⇔()2()>0⇔a≥0,b≥0,且a≠b.答案a≥0,b≥0,且a≠b16.设a,b为正数,α为锐角,M=,N=()2,则M,N的大小关系是.解析因为a>0,b>0,α为锐角,所以N=ab+2+2,M=ab+≥ab+2当且仅当时,等号成立.又sin 2α≤1,所以M≥ab+2+2=N,当且仅当a=b,且α=时,等号成立.答案M≥N三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设a>b>0,求证.证明因为a>b>0,所以>0,>0.又=1+>1,故.18.(本小题满分12分)设a,b>0,a≠b,求证>a+b.证明-(a+b)==(a3-b3)=,因为a,b>0,a≠b,所以a+b>0,(a-b)2>0,a2+ab+b2>0,a2b2>0, 所以>0.故>a+b.19.(本小题满分12分)已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明ax+by≤1.证明要证ax+by≤1成立,只需证1-(ax+by)≥0,只需证2-2ax-2by≥0.因为a2+b2=1,x2+y2=1,只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0,即证(a-x)2+(b-y)2≥0,显然成立.所以ax+by≤1.20.(本小题满分12分)设a,b,c,d是正数,试证明下列三个不等式:①a+b<c+d;②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确.证明假设不等式①②③都正确.因为a,b,c,d都是正数,所以①②两不等式相乘并整理,得(a+b)2<ab+cd.④由③式,得(a+b)cd<ab(c+d)≤·(c+d).又a+b>0,(a+b)(c+d)<ab+cd,所以4cd<ab+cd.所以3cd<ab,即cd<.由④式,得(a+b)2<,即a2+b2<-ab,与平方和为正数矛盾.故假设不成立,即不等式①②③中至少有一个不正确.21.导学号26394042(本小题满分12分)已知正数a,b,c满足a+b+c=6,求证.证明由已知及三个正数的算术-几何平均不等式可得≥3==≥(当且仅当a=b=c=2时,等号成立),故原不等式成立.22.导学号26394043(本小题满分12分)设S n为数列{a n}的前n项和,S n=na n-3n(n-1)(n∈N+),且a2=11.(1)求a1的值;(2)求数列{a n}的前n项和S n;(3)设数列{b n}满足b n=,求证b1+b2+…+b n<.(1)解当n=2时,由S n=na n-3n(n-1),得a1+a2=2a2-3×2(2-1),又a2=11,可得a1=5.(2)解当n≥2时,由a n=S n-S n-1,得a n=na n-3n(n-1)-[(n-1)a n-1-3(n-1)(n-2)],整理,得a n-a n-1=6(n∈N,n≥2).又a2-a1=6,所以数列{a n}是首项为5,公差为6的等差数列.所以a n=5+6(n-1)=6n-1.故S n==3n2+2n.(3)证明b n====),所以b1+b2+…+b n<[()+()+()+…+()] =)<.故b1+b2+…+b n<成立.。

课时提升作业九二维形式的柯西不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·泰安高二检测)若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是( )A.[0,]B.[-,0]C.[-,]D.[-5,5]【解析】选C.|3x+2y|≤·≤,从而-≤3x+2y≤.2.设a,b∈R,a2+b2=3,则3a-b的最大值为( )A.30B.-30C.D.-【解析】选 C.3a-b=3a+(-1)·b≤·==,当且仅当3b=-a,即a=,b=-时等号成立.3.(2016·长春高二检测)已知a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,Q=·,则P与Q的大小关系为( )A.P≤QB.P<QC.P≥QD.P=Q【解析】选A.Q2=(am+cn)≥=(+)2=P2,因为a,b,c,d,m,n都是正实数,所以P≤Q.二、填空题(每小题6分,共12分)4.设x,y∈R,则(x+y)·的最小值是________.+【解析】(x+y)≥=(+)2=5+2,当且仅当·=·时,等号成立.答案:5+25.已知x>0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为________. 【解析】2x+y=(2x+y)=[()2+()2]≥=3+2,当且仅当·=·时,等号成立,又+=1,则此时答案:3+2【一题多解】2x+y=(2x+y)=++3≥2+3=2+3.当且仅当=,即2x2=y2时取等号.又+=1,则此时答案:2+3【拓展延伸】利用柯西不等式的关键利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1·a)、变形等.三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·天津高二检测)已知m>0,n>0,m+n=p,求证:+≥,指出等号成立的条件.【解析】根据柯西不等式,得(m+n)≥=4,于是+≥=,当m=n=时等号成立.7.求函数f(x)=-的最大值.【解题指南】由二维形式的三角不等式稍作变化,即得-≤.【解析】由于f(x)=- =-=-≤=.8.已知函数f(x)=|x-4|. (1)若f(x)≤2,求x 的取值范围. (2)在(1)的条件下,求g(x)=2+的最大值.【解析】(1)由已知得,|x-4|≤2,即-2≤x-4≤2, 即2≤x ≤6,即x 的取值范围为[2,6]. (2)由2≤x ≤6可得g(x)=2+,由柯西不等式, 得g(x)≤=2.当且仅当=,即x=时,g(x)的最大值为2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知a,b,x 1,x 2为互不相等的正数,若y 1=,y 2=,则y 1y 2与x 1x 2的关系为 ( )A.y 1y 2<x 1x 2B.y 1y 2=x 1x 2C.y 1y 2>x 1x 2D.不能确定【解析】选C.因为a,b,x 1,x 2为互不相等的正数, 所以y 1y 2=·== >==x 1x 2.【补偿训练】已知a,b ∈R,且P=,Q=,则P,Q 的大小关系是 ( ) A.P ≥Q B.P>Q C.P ≤Q D.P<Q 【解析】选C.因为(a 2+b 2)≥,当且仅当a ·=b ·,即a=b 时“=”成立. 所以≥+,即Q ≥P.2.函数y=+的最小值是 ( )A.20B.25C.27D.18【解题指南】由函数式的特征,两项分母x 及1-2x 的关系可表示为2·x+1-2x=1,这为创造条件利用柯西不等式提供了可能. 【解析】选B.y=+=+=[2x+(1-2x)]≥=25,当且仅当x=时等号成立.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·广州高二检测)已知函数f(x)=3+4,则函数f(x)的最大值为________.【解析】由柯西不等式知(3+4)2≤(32+42)·[()2+()2]=25.当且仅当3=4时,等号成立,因此f(x)≤5.答案:5,且a+b=1,则+的最小值是________.4.已知a,b∈R+且a+b=1,【解析】因为a,b∈R+所以+=(a+b),由柯西不等式得(a+b)≥==+.当且仅当时等号成立,此时a=-1,b=2-.答案:+【一题多解】+=(a+b)=++≥2+=+,当且仅当a=-1,b=2-时等号成立.答案:+三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·天津高二检测)设x>0,y>0,且x+y=2,求+的最小值.【解题指南】利用柯西不等式求最小值,需要出现(a 2+b 2)(c 2+d 2)的结构,我们把+看作一部分,利用x+y=2构造出一部分(2-x+2-y). 【解析】因为x+y=2,根据柯西不等式,有 [(2-x)+(2-y)]= [()2+()2][()2+()2]≥=(x+y)2=4,所以+≥===2.当且仅当·=·,即x=y=1时,等号成立.所以当x=y=1时,+有最小值2.6.求证:点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.【证明】设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0. 因为|PQ|2=(x-x 0)2+(y-y 0)2,A 2+B 2≠0.由柯西不等式,得 (A 2+B 2)[(x-x 0)2+(y-y 0)2]≥[A(x-x 0)+B(y-y 0)]2=[(Ax+By)-(Ax 0+By 0)]2 =(Ax 0+By 0+C)2, 所以|PQ|≥.当且仅当=时,取等号,|PQ|取得最小值. 因此,点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.关闭Word 文档返回原板块。

单元质量评估(四)(第四讲)(90分钟 120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. (2019·金华高二检测)用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证n=k+1时命题成立,需将n=k+1时的原式表示成 ( )A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B.6k(k+1)(2k+1)C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D.以上都不对【解析】选C.因为假设当n=k时命题成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,当n=k+1时,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(2k2+7k+6)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2.2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2·(2n-1)(n∈N+)”时,从“n=k 到n=k+1”时,左边应增加的式子是 ( )A.2k+1B.2k+3C.2(2k+1)D.2(2k+3)【解析】选C.当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k).当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1).可见从“n=k到n=k+1”,左边增加了2(2k+1).3. (2019·广州高二检测)如果命题P(n)对n=k成立,那么它对n=k+2成立,又若P(n)对n=2成立,则P(n)对所有 ( )A.正整数n成立B.正偶数n成立C.正奇数n成立D.大于1的自然数n成立【解析】选B.根据数学归纳法的意义可知,命题P(n)对所有正偶数n都成立.4.(2019·大连高二检测)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于 ( )A.1B.2C.3D.0【解析】选C.因为凸n边形中,边数最少的是三角形,边数为3.5.在数列{a n}中,a n=1-+-+…+-,则a k+1= ( )A.a k+B.a k+-C.a k+D.a k+-【解析】选 D.a1=1-,a2=1-+-,…,a n=1-+-+…+-,a k=1-+-+…+-,所以a k+1=a k+-.6.已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n+1=2a n+a n-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明( )A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除【解析】选D.由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.7.(2019·烟台高二检测)设f(n)=1++++…+,则f(k+1)-f(k)等于( )A. B.++C.+D.+【解析】选D.当n=k时,f(k)=1+++…+.当n=k+1时,f(k+1)=1+++…+++….所以f(k+1)-f(k)=+.8.已知n为正偶数,用数学归纳法证明:1-+-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时,等式成立,则还需要利用归纳假设再证( ) A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.偶数k的后继偶数为k+2,故应再证n=k+2时等式成立.【误区警示】解答本题易忽视k的限制条件:k≥2且为偶数,而错选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,推测第n个等式应该是 .【解析】观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72知,第n个等式左端是2n-1个连续自然数的和,其中最小的自然数是n,右端是(2n-1)2.即第n 个等式应该是n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)210.(2019·大连高一检测)用数学归纳法证明cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N+),在验证n=1时,等式右边的式子是 .【解析】当n=1时,右边===cosα.答案:cosα11.设f(n)=…,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)· _________.【解析】当n=k时,f(k)=…;当n=k+1时,f(k+1)=…,所以f(k)应乘·.答案:·12.已知数列{a n},其中a2=6,且满足=n,则a1= ,a3= ,a4= ,猜想a n= .【解析】由已知可得=1,=2,=3,将a2=6代入以上三式,解得:a1=1,a3=15,a4=28.由于a1=1,a2=2×3,a3=3×5,a4=4×7,猜想得a n=n(2n-1).答案:1 15 28 n(2n-1)三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2019·石家庄高二检测)用数学归纳法证明:当n∈N+时,++…+=.【证明】(1)当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立. (2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即++…+=.则当n=k+1时,++…++=+====.即当n=k+1时,等式也成立.由(1),(2)可知对一切n∈N+等式都成立.14.(10分)对于n∈N+,用数学归纳法证明:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1=n(n+1)(n+2).【证明】设f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;(2)设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-1)·2+k·1=k(k+1)(k+2),则当n=k+1时, f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)·1=f(k)+1+2+3+…+k+(k+1)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)(k+3).所以由(1)(2)可知当n∈N+时,等式都成立.15.(10分)(2019·南京高二检测)用数学归纳法证明:f(n)=(2n+7)·3n+9(n∈N*)能被36整除.【证明】(1)当n=1时,f(1)=(2×1+7)×31+9=36,能被36整除.(2)假设n=k(k≥1,k∈N*),f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1)=3f(k)+18(3k-1-1)又因为3k-1-1是偶数,所以f(k+1)能被36整除,即当n=k+1时,f(n)=(2n+7)·3n+9也能被36整除. 由(1)(2)知,对n∈N*,f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除.16.(10分)(2019·苏州高二检测)已知正项数列{a n}和{b n}中,a1=a(0<a<1),b1=1-a.当n≥2时,a n=a n-1b n,b n=.(1)证明:对任意n∈N+,有a n+b n=1.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)用数学归纳法证明.①当n=1时,a1+b1=a+(1-a)=1,命题成立;②假设n=k(k≥1)时命题成立,即a k+b k=1,则当n=k+1时,a k+1+b k+1=a k b k+1+b k+1=(a k+1)·b k+1=(a k+1)·===1.所以当n=k+1时,命题也成立.由①②可知,a n+b n=1对n∈N+恒成立.(2)因为a n+1=a n b n+1===,所以==+1,即-=1.数列是公差为1的等差数列,其首项为=,=+(n-1)×1,从而a n=(0<a<1).17.(10分)(2019·太原高二检测)求证:用数学归纳法证明2n+2>n2(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,21+2>12,不等式成立;当n=2时,22+2>22,不等式成立;当n=3时,23+2>32,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即2k+2>k2.则当n=k+1时,2k+1+2=2(2k+2)-2>2k2-2=(k+1)2+k2-2k-3因为k≥3,所以k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,(*)从而2k+1+2>(k+1)2+k2-2k-3≥(k+1)2,所以2k+1+2>(k+1)2.即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,2n+2>n2对一切n∈N+都成立.18.(10分)(2019·广州高二检测)在数列{a n},{b n}中,a1=2,b1=4,且a n,b n,a n+1成等差数列,b n,a n+1,b n+1成等比数列(n∈N+).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{a n},{b n}的通项公式,并证明你的结论.(2)证明:++…+<.【解析】(1)由条件得2b n=a n+a n+1,=b n b n+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜测a n=n(n+1),b n=(n+1)2.用数学归纳法证明:①当n=1时,由上可得结论成立.②假设当n=k(k≥1)时,结论成立,即a k=k(k+1),b k=(k+1)2.那么当n=k+1时,a k+1=2b k-a k=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),b k+1==(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.由①②,可知a n=n(n+1),b n=(n+1)2对一切正整数都成立.(2)=<.当n≥2时,由(1)知a n+b n=(n+1)·(2n+1)>2(n+1)·n. 故++…+<+=+=+<+=.。

考前过关训练(二)证明不等式的基本方法(35分钟 60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1. 求证:-<-.证明:欲证-<-,只需证+<2,只需证(+)2<(2)2,只需证10+2<20,只需证<5,只需证21<25,这显然成立.所以-<-.上述证明过程应用了 ( )A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法【解析】选B.根据分析法的特点可知,上述证明过程是分析法.2. 已知m≠n,若x=m4-m3n,y=mn3-n4,则x,y的大小关系为 ( )A.x>yB.x=yC.x<yD.与m,n的取值有关【解析】选A.x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)=(m-n)2,因为m≠n,所以x-y>0,即x>y.3.若1<x<10,下面不等式中正确的是 ( )A.(lgx)2<lgx2<lg(lgx)B.lgx2<(lgx)2<lg(lgx)C.(lgx)2<lg(lgx)<lgx2D.lg(lgx)<(lgx)2<lgx2【解析】选D.因为1<x<10,所以0<lgx<1,0<(lgx)2<1,0<lgx2<2,lg(lgx)<0.又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2)<0,所以(lgx)2<lgx2.所以lg(lgx)<(lgx)2<lgx2.【一题多解】选D.因为1<x<10,所以0<lgx<1,lg(lgx)<0,结合选项知A,B,C错误.4.若a,b,c为△ABC的三条边,S=a2+b2+c2,p=ab+bc+ac,则 ( )A.S≥2pB.p<S<2pC.S>pD.p≤S<2p【解析】选D.S-p=a2+b2+c2-(ab+bc+ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0,所以S≥p.又因为|a-b|<c,|b-c|<a,|a-c|<b;所以a2-2ab+b2<c2,b2-2bc+c2<a2,a2-2ac+c2<b2.所以a2+b2+c2<2(ab+bc+ac),所以S<2p.5.已知x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则M与N的大小关系是 ( )A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定【解析】选A.M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)=[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]=[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.故M≥N.6.(2019·合肥高二检测)已知a,b,c是△ABC的三边长,A=+,B=,则( ) A.A>B B.A<BC.A≥BD.A≤B【解析】选A.因为a,b,c是△ABC的三边长,所以c<a+b,所以B==<==+<+=A,所以B<A.【补偿训练】设a,b,x,y均为正数,且a,b为常数,x,y为变量,若x+y=1,则+的最大值为 ( )A. B.C. D.【解析】选C.本题可利用换元的方法处理:由x+y=1且x>0,y>0,可设x=sin2α,y=cos2α,故+=sinα+cosα=sin(α+φ)≤.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2019·沈阳高二检测)设α,β为锐角,P=sin(α+β),Q=sinα+sinβ,则P与Q的大小关系为________.【解析】因为α,β为锐角,P-Q=sin(α+β)-(sinα+sinβ)=sinα(cosβ-1)+sinβ(cosα-1)<0,所以P<Q.答案:P<Q8.(2019·郑州高二检测)A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________. 【解析】A=+++…+≥==.答案:A≥9.若a,b∈R+,且a≠b,M=+,N=+,则M,N的大小关系为________.【解析】因为a≠b,所以+>2,+>2,所以+++>2+2.所以+>+.即M>N.答案:M>N三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知0<a<1,求证:+≥9.【证明】因为(3a-1)2≥0,所以9a2-6a+1≥0.所以1+3a≥9a(1-a).因为0<a<1,所以≥9,即≥9,所以+≥9.11.已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明:ax+by≤1.【证明】要证ax+by≤1成立,只需证1-(ax+by)≥0,只需证2-2ax-2by≥0,因为a2+b2=1,x2+y2=1,只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0,即证(a-x)2+(b-y)2≥0,显然成立.所以ax+by≤1.12.设数列{a n}的前n项和S n满足:S n=na n-2n(n-1).等比数列{b n}的前n项和为T n,公比为a1,且T5=T3+2b5.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设数列的前n项和为M n,求证:≤M n<.【解析】(1)因为等比数列{b n}的前n项和为T n,公比为a1,且T5=T3+2b5,所以b4+b5=2b5,所以b4=b5,所以公比a1==1,故等比数列{b n}是常数数列.数列{a n}的前n项和S n满足:S n=na n-2n(n-1),当n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2n(n-1)-[(n-1)a n-1-2(n-1)(n-2)],所以a n-a n-1=4(n≥2),所以数列{a n}是以1为首项,以4为公差的等差数列,a n=4n-3.(2)因为数列的前n项和为M n,===,所以M n==<.再由数列{M n}是增数列,所以M n≥M1=. 综上可得,≤M n<.。

全册质量检测一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知：＋>，<，那么( )．>>－>－．>－>>－．>－>>－．－>－>>解析：∵＋>∴>－，>－∵<∴－>>∴>－>>－答案：．“＋>＋”是“>且>”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件解析：易得>且>时必有＋>＋.若＋>＋时，则可能有>且>，选.答案：．≥，≥，且＋＝，则( )．≤．≥．＋≥．＋≤解析：由≥，≥，且＋＝，∵＝(＋)＝＋＋≤(＋)，∴＋≥.选.答案：．若不等式－>与不等式＋＋>的解集相同，则∶等于( )．∶．∶．(－)∶．(－)∶解析：－>⇔－>或－<－⇔>或<－，∴－＝－，＝－，×＝，＝－，∴∶＝∶.答案：．若不等式＋＋≥对一切∈恒成立，则的最小值为( )．．－．－．－解析：∵＋＋≥∴≥－，∈，又∵－的最大值为－，∴＝－.答案：．如果＝，＝＋，＝＋，那么有( )．>> ．>>．>> ．>>解析：＝，＝＋，＝＋，∴－＝－>，－＝－>，∴最小．－＝＋－，又(＋)＝＋＋＝＋<＋＝，()＝×＝，∴>＋，∴<，∴<，∴选.答案：．用数学归纳法证明“对于任意>和正整数，都有＋－＋－＋…＋＋＋≥＋”时，需验证的使命题成立的最小正整数值应为( )．＝．＝．＝．以上答案均不正确解析：＝时，＋≥＋成立，再用数学归纳法证明．答案：．函数＝(>)的最小值为( )．－．．．－解析：∵>，∴－>，∴＝≥＝＝，当且仅当－＝时等号成立，又>，∴＝时，有最小值，选.。

最新人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案第一讲 不等式和绝对值不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |y ＝log 2(4－2x －x 2)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 3x ＋1≥1，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1<x <5－1}B ．{x |－3<x ≤2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |－1－5<x <－3或5－1<x ≤2}解析： 不等式4－2x －x 2>0可转化为x 2＋2x －4<0，解得－1－5<x <－1＋5，∵A ＝{x |－1－5<x <－1＋5}；不等式3x ＋1≥1可转化为x －2x ＋1≤0，解得－1<x ≤2，∴B ＝{x |－1<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <5－1}．答案： A2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1<1的解集为( )A ．{x |0<x <1}∪{x |x >1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |x <0}解析： 方法一：特值法：显然x ＝－1是不等式的解，故选D.方法二：不等式等价于|x ＋1|<|x －1|，即(x ＋1)2<(x －1)2，解得x <0，故选D.答案： D3．设a ，b 是正实数，以下不等式 ①ab >2ab a ＋b，②a >|a －b |－b ， ③a 2＋b 2>4ab －3b 2，④ab ＋2ab >2 恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解析： 2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，即ab ≥2ab a ＋b，故①不正确，排除A 、B ；∵ab ＋2ab ≥22>2，即④正确． 答案： D4．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2B ．22C ．4D ．5解析： ∵a >b ，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab＋2ab ≥22ab ·2ab ＝4. 当且仅当a ＝b ＝1且2ab ＝2ab 时成立，能取等号，故1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4，故选C. 答案： C5．设|a |＜1，|b |＜1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |＞2B ．|a ＋b |＋|a －b |＜2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不可能比较大小解析： 当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |＜2，当(a ＋b )(a －b )＜0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＜2.答案： B6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为() A ．2 B.32C ．1 D.12解析： ∵a x ＝b y ＝3，∴x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3(a ＋b )24＝log 33＝1，故选C.答案： C7．0<a <1，下列不等式一定成立的是( )A ．|log 1＋a (1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|>2B ．|log 1＋a (1－a )|<|log (1－a )(1＋a )|C ．|log (1＋a )(1－a )＋log (1－a )(1＋a )|<|log (1＋a )(1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|D ．|log (1＋a )(1－a )－log (1－a )(1＋a )|>|log (1＋a )(1－a )|－|log (1－a )(1＋a )|解析： 令a ＝12，代入可排除B 、C 、D. 答案： A8．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3 D.43解析： 3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝232＝6. 答案： B9．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n解析： ∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b |＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1，∴m ≤1≤n . 答案： D10．某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，第四年比第三年增长的百分率为p 3，则年平均增长率p 的最大值为( ) A.3p 1p 2p 3B.p 1＋p 2＋p 33C.p 1p 2p 33D ．2(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)3解析： ∵(1＋p )3＝(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)，∴1＋p ＝3(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)≤1＋p 1＋1＋p 2＋1＋p 33， ∴p ≤p 1＋p 2＋p 33. 答案： B11．若a ，b ，c >0，且a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc ＝12，则a ＋b ＋c 的最小值是( )A ．2 3B ．3C ．2 D.3解析： a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc＝a (a ＋2c )＋2b (a ＋2c )＝(a ＋2c )(a ＋2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋2c )＋(a ＋2b )22，∴(a ＋b ＋c )2≥12，又a ，b ，c >0，∴a ＋b ＋c ≥2 3.答案： A12．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2 xsin 2x 的最小值为() A ．2 B ．23C ．4D ．43解析： 方法一：f (x )＝2cos 2 x ＋8 sin 2 x2sin x cos x ＝1＋4tan 2 xtan x＝4tan x ＋1tan x ≥4.这里tan x >0，且tan x ＝12时取等号．方法二：f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2 x sin 2x ＝5－3cos 2x sin 2x(0<2x <π)． 令μ＝5－3cos 2x sin 2x，有μsin 2x ＋3cos 2x ＝5. μ2＋9sin(2x ＋φ)＝5,∴sin(2x ＋φ)＝5μ2＋9.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5μ2＋9≤1，得μ2≥16. ∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知－π2≤α＜β≤π2，则α－β2的取值范围是________． 解析： 利用不等式的性质进行求解．由－π2≤α＜β≤π2可得． 答案： －π2≤α－β2＜0. 14．设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是____________． 解析: ∵|x －2|>3，∴x －2>3或x －2<－3，∴x >5或x <－1，即S ＝{x |x >5或x <－1}．又∵T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，∴画数轴可知a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <－1a ＋8>5， ∴－3<a <－1.答案： －3<a <－115．设x >－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为________． 解析： ∵x >－1，∴x ＋1>0，y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝[(x ＋1)＋4][(x ＋1)＋1]x ＋1＝(x ＋1)＋5＋4x ＋1≥2·(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴y 的最小值是9.答案： 916．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50<x ≤80时，每天售出的件数P ＝105(x －40)2，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为____________元． 解析： 设销售价格定为每件x 元(50<x ≤80)，每天获得利润y 元，则：y ＝(x －50)·P ＝105(x －50)(x －40)2， 设x －50＝t ，则0<t ≤30，∴y ＝105t (t ＋10)2＝105t t 2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500. 当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500.答案： 60三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知30＜x ＜42,16＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y ，x y的取值范围． 解析： ∵30＜x ＜42,16＜y ＜24，∴46＜x ＋y ＜66.∵16＜y ＜24，∴－48＜－2y ＜－32，∴－18＜x －2y ＜10.∵30＜x ＜42，∴124＜1y ＜116. ∴54＜x y ＜218. 18．(12分)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解析： ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ay x时取等号．又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18① 又a ＋b ＝10 ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2. 19．(12分)解不等式|x ＋1|＋|x |<2.解析： 方法一：利用分类讨论的思想方法．当x ≤－1时，－x －1－x <2，解得－32<x ≤－1； 当－1<x <0时，x ＋1－x <2，解得－1<x <0；当x ≥0时，x ＋1＋x <2，解得0≤x <12. 因此，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. 方法二：利用方程和函数的思想方法．令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1(x ≥0)，－1(－1≤x <0)，－2x －3(x <－1).作函数f (x )的图象(如图)，知当f (x )<0时，－32<x <12. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. 方法三：利用数形结合的思想方法．由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12.方法四：利用等价转化的思想方法．原不等式⇔ 0≤|x ＋1|＜2－|x |，∴(x ＋1)2＜(2－|x |)2，且|x |＜2，即0≤4|x |＜3－2x ，且|x |＜2.∴16x 2＜(3－2x )2，且－2＜x ＜2.解得－32＜x ＜12.故原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32＜x ＜12. 20．(12分)求函数y ＝3x ＋4x 2(x >0)的最值．解析： 由已知x >0，∴y ＝3x ＋4x 2＝3x 2＋3x 2＋4x 2 ≥333x 2·3x 2·4x 2＝339， 当且仅当3x 2＝3x 2＝4x 2，即x ＝2393时，取等号． ∴当x ＝2393时，函数y ＝3x ＋4x2的最小值为339. 21．(12分)在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d (m)正比于车速v (km/h)的平方与车身长s (m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为s (m)，且车速为50 km/h 时车距恰为车身长s ，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q 最大？解析： 由题意，知车身长s 为常量，车距d 为变量．且d ＝k v 2s ，把v ＝50，d ＝s 代入，得k ＝12 500，把d ＝12s 代入 d ＝12 500v 2s ，得v ＝25 2.所以 d ＝⎩⎨⎧12s (0<v ≤252)，12 500v 2s (v >252).则车流量 Q ＝1 000v d ＋s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 000v 32s (0<v ≤252)，1 000v s (1＋v 22 500)(v >252).当0<v ≤252时，Q 为v 的增函数，所以当v ＝252时，Q 1＝1 000v 32s ＝50 00023s .当v >252时，Q 2＝1 000v s ⎝⎛⎭⎫1＋v 22 500＝ 1 000s ⎝⎛⎭⎫1v ＋v 2 500 ≤ 1 000s ·21v ·v 2 500＝25 000s . 当且仅当1v ＝v 2 500，即v ＝50时，等号成立．即当v ＝50时，Q 取得最大值Q 2＝25 000s.因为Q 2>Q 1，所以车速规定为50km/h 时，该地段的车流量Q 最大．22．(14分)已知函数f (x )＝ax 2－4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x >0)－f (x ) (x <0). (1)若f (－2)＝0，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，解不等式1≤|F (x )|≤2；(3)设mn <0，m ＋n >0，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解析： (1)∵f (－2)＝0，∴4a ＋4＝0，得a ＝－1，∴f (x )＝－x 2＋4，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4 (x >0)x 2－4 (x <0). (2)∵|F (－x )|＝|F (x )|，∴|F (x )|是偶函数，故可以先求x >0的情况．当x >0时，由|F (2)|＝0，故当0<x ≤2时，解不等式1≤－x 2＋4≤2，得2≤x ≤3；x >2时，解不等式1≤x 2－4≤2，得5≤x ≤6；综合上述可知原不等式的解集为{x |2≤x ≤3或5≤x ≤6或－3≤x ≤－2或－6≤x ≤－5}．(3)∵f (x )＝ax 2＋4，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋4 (x >0)－ax 2－4 (x <0)， ∵mn <0，不妨设m >0，则n <0.又m ＋n >0，∴m >－n >0，∴m 2>n 2，∴F (m )＋F (n )＝am 2＋4－an 2－4＝a (m 2－n 2)，所以：当a >0时，F (m )＋F (n )能大于0，当a <0时，F (m )＋F (n )不能大于0.第二讲 证明不等式的基本方法一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a c 2>b c2，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．lg a >lg b C.1b >1c D.⎝⎛⎭⎫13b >⎝⎛⎭⎫13a解析： 从已知不等式入手：a c 2>b c2⇔a >b (c ≠0)，其中a ，b 可异号或其中一个为0，由此否定A 、B 、C ，应选D.答案： D2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2 C.b a ＋a b >2 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析： 因为1a <1b <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1a －1b <0a <0且b <0⇔⎩⎨⎧ b －a ab <0a <0，b <0⇔b <a <0.由此判定A 、B 、C 正确，应选D.答案： D 3．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析： 反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．故应选A.答案： A4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析： 至少有一个不大于60度是指三个内角有一个或者两个或者三个小于或等于60°.所以，反设应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60度．答案： B5．设x >0，y >0，x ＋y ＝1，x ＋y 的最大值是( )A ．1 B.2 C.22 D.32 解析： ∵x >0，y >0，∴1＝x ＋y ≥2xy ， ∴12≥xy ， ∴x ＋y ≤2(x ＋y )＝2(当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”)． 答案： B6．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里①是②的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件． 答案： B7．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( )A ．log 2a >0B ．2a －b <12C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．2a b ＋b a <12 解析： 方法一：特值法令a ＝13，b ＝23代入可得． 方法二：因为0<a <b 且a ＋b ＝1，所以0<a <1，所以log 2a <0.－1<a －b <0所以12<2a －b <1，又因为b a ＋a b>2所以2b a ＋a b >4， 而ab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 所以log 2a ＋log 2b <－2成立．答案： C8．a >0，b >0，则“a >b ”是“a －1a >b －1b”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析： a －1a －b ＋1b ＝a －b ＋a －b ab＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab . ∵a >0，b >0，∴a >b ⇔(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0⇔a －1a >b －1b. 可得“a >b ”是“a －1a >b －1b”成立的充要条件． 答案： C9．设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b 解析： 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，所以A 正确． a 3＋b 3≥2ab 2⇔(a －b )(a 2＋ab －b 2)≥0，但a ，b 大小不确定，所以B 错误．(a 2＋b 2＋2)－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，所以C 正确．|a －b |≥a －b ⇔|a －b |＋b ≥a ⇔b (a －b )≥0，所以D 正确．答案： B 10．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a，Q ＝a ＋b ，则( ) A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析： P －Q ＝a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab ＝(a ＋b )(a 2＋b 2－2ab )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab . ∵a ，b 都是正实数，且 a ≠b ，∴(a ＋b )(a －b )2ab>0，∴P >Q . 答案： A11．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)解析： 因为函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数．所以f (－x )－g (－x )＝－f (x )－g (x )＝e －x ，① f (x )－g (x )＝e x ，②①②联立，解之得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2代入数值比较可得． 答案： D12．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 因为2x ＋a x≥22x ·a x＝22a ， 当a ＝18时22a ＝1. 但当a ＝2时，22a ＝4，当然有2x ＋a x≥1所以是充分不必要条件． 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是__________． 解析： 用分析法比较，a >b ⇔3＋5>2＋6⇔8＋215>8＋212，同理可比较得b >c . 答案： a >b >c14．已知三个不等式：(1)ab >0；(2)－c a <－d b；(3)bc >ad . 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为________．解析： 运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式(2)切入，去寻觅它与(1)的联系． －c a <－d b ⇔c a >d b ⇔c a －d b>0 ⇔bc －ad ab >0⇔ab ·(bc －ad )>0. 答案： (1)、(3)⇒(2)；(1)、(2)⇒(3)；(2)、(3)⇒(1)15．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小顺序为________． 解析： 因为f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，g(n)＝n－n2－1＝1n2－1＋n.又因为n2－1＋n<2n<n2＋1＋n，所以f(n)<φ(n)<g(n)．答案：g(n)>φ(n)>f(n)16．完成反证法整体的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是1,2,3，……，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝________.②＝________.③＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．解析：反设p为奇数，则(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数．因为数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．答案：(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋3＋ (7)三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)若a <b <c ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <a 2c ＋b 2a ＋c 2b . 证明： ∵a <b <c ，∴a －b <0，b －c <0，a －c <0，于是：a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(a 2c ＋b 2a ＋c 2b )＝(a 2b －a 2c )＋(b 2c －b 2a )＋(c 2a －c 2b )＝a 2(b －c )＋b 2(c －a )＋c 2(a －b )＝a 2(b －c )－b 2(b －c )＋c 2(a －b )－b 2(a －b )＝(b －c )(a 2－b 2)＋(a －b )(c 2－b 2)＝(b －c )(a －b )(a ＋b )＋(a －b )(c －b )(c ＋b )＝(b －c )(a －b )[a ＋b －(c ＋b )]＝(b －c )(a －b )(a －c )<0，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.18．(12分)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明： ∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 19．(12分)求证：3＋8>1＋10.证明： 用分析法证明8＋3>1＋10⇐8＋3＋224>1＋10＋210⇐224>210 ⇐24>10.最后一个不等式是成立的，故原不等式成立．20．(12分)若x ，y >0，且x ＋y >2，则1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2. 证明： 反设1＋y x ≥2且1＋x y≥2， ∵x ，y >0，∴1＋y ≥2x,1＋x ≥2y 两边相加，则2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )，可得x ＋y ≤2，与x ＋y >2矛盾，∴1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2. 21．(12分)已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，求证|ac ＋bd |≤1.证明： 证法一(综合法) 因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22. 又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.所以|ac ＋bd |≤1.证法二(比较法) 显然有|ac ＋bd |≤1⇔－1≤ac ＋bd ≤1.先证明ac ＋bd ≥－1.∵ac ＋bd －(－1)＝ac ＋bd ＋12＋12＝ac ＋bd ＋a 2＋b 22＋c 2＋d 22＝(a ＋c )2＋(b ＋d )22≥0.∴ac ＋bd ≥－1.再证明ac ＋bd ≤1.∵1－(ac ＋bd )＝12＋12－(ac ＋bd )＝a 2＋b 22＋c 2＋d 22－ac －bd＝(a －c )2＋(b －d )22≥0，∴ac ＋bd ≤1.综上得|ac ＋bd |≤1.证法三(分析法) 要证|ac ＋bd |≤1.只需证明(ac ＋bd )2≤1.即只需证明a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤1. ①由于a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，因此①式等价于a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)② 将②式展开、化简，得(ad －bc )2≥0. ③因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以③式成立，即①式成立，原命题得证．22．(14分)数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1＝3，b 1＝1，数列{ba n }是公比为64的等比数列，b 2S 2＝64.(1)求a n ，b n ；(2)求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34. 解析： (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ ba n ＋1ba n ＝q 3＋nd q 3＋(n －1)d ＝q d ＝64＝26，S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，①由(6＋d )q ＝64知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一，解①得d ＝2，q ＝8.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：∵S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)．∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<34.第三讲柯西不等式与排序不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是()A．[－25，25]B．[－210，210]C．[－10，10] D．[－5，5]解析：由(a2＋b2)(1＋1)≥(a＋b)2，所以a＋b∈[－25，25]，故选A.答案：A2．若x21＋x22＋…＋x2n＝1，y21＋y22＋…＋y2n＝1，则x1y1＋x2y2＋…＋x n y n的最大值是()A．2 B．1C．3 D.3 3 3解析：由(x1y1＋x2y2＋…＋x n y n)2≤(x21＋x22＋…＋x2n)(y21＋y22＋…＋y2n)＝1，故选B.答案：B3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花()A．300元B．360元C．320元D．340元解析：由排序原理知，反序和最小为320，故选C.答案：C4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2的最小值为( )A ．7B ．9C ．12D ．18解析： 由(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2＝(1＋1＋1)2＝9，∴所求最小值为9，故选B.答案： B5．设a ，b ，c ≥0，a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为() A ．0 B ．1C ．3 D.333解析： 由排序不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，所以ab ＋bc ＋ca ≤3.故应选C.答案： C 6．表达式x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值是( )A ．2B ．1C. 2D.32解析： 因为x 1－y 2＋y 1－x 2≤(x 2＋1－x 2)(1－y 2＋y 2)＝1，故选B.答案： B7．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2 D ．16解析： 由(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4，因此不等式(x ＋y )(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4，故应选B.答案： B8．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是() A. 5 B.3C ．2 3 D.32解析： 1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2 ＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13， ∴(a ＋b ＋2c )2≤3，即所求为 3.答案： B9．若a >b >c >d ，x ＝(a ＋b )(c ＋d )，y ＝(a ＋c )(b ＋d )，z ＝(a ＋d )(b ＋c )，则x ，y ，z 的大小顺序为( )A ．x <z <yB ．y <z <xC ．x <y <zD ．z <y <x解析： 因a >d 且b >c ，则(a ＋b )(c ＋d )<(a ＋c )(b ＋d )，得x <y ，因a >b 且c >d ，则(a ＋c )(b ＋d )<(a ＋d )(b ＋c )，得y <z ，故选C.答案： C10．若0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析： 利用特值法，令a 1＝0.4，a 2＝0.6，b 1＝0.3，b 2＝0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和最大．答案： A11．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝4，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝163，则a 的最大值为( ) A ．16B ．10C ．4D ．2解析： 构造平面π：x ＋y ＋z ＋(a －4)＝0，球O ：x 2＋y 2＋z 2＝163－a 2， 则点(b ，c ，d )必为平面π与球O 的公共点， 从而|a －4|3≤ 163－a 2， 即a 2－2a ≤0，解得0≤a ≤2，故实数a 的最大值是2.答案： D12．x ，y ，z 是非负实数，9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( )A ．9B ．10C ．14D ．15解析： u 2＝(3x ＋6y ＋5z )2≤[(3x )2＋(23y )2＋(5z )2]·[12＋(3)2＋(5)2]＝9×9＝81，∴u ≤9.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知a ，b ，c 都是正数，且4a ＋9b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c的最小值是________． 解析： 由4a ＋9b ＋c ＝3，∴4a 3＋3b ＋c 3＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝43a ＋3b ＋c 3a ＋43a ＋3b ＋c 3b ＋43a ＋3b ＋c 3c＝43＋3b a ＋c 3a ＋3＋4a 3b ＋c 3b ＋13＋4a 3c ＋3b c＝3＋53＋⎝⎛⎭⎫3b a ＋4a 3b ＋⎝⎛⎭⎫c 3a ＋4a 3c ＋⎝⎛⎭⎫c 3b ＋3b c ≥3＋53＋4＋43＋2＝12. 答案： 1214．已知a ，b 是给定的正数，则a 2sin 2α＋b 2cos 2α的最小值是________． 解析： a 2sin 2α＋b 2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)⎝⎛⎭⎫a 2sin 2α＋b 2cos 2α≥(a ＋b )2. 答案： (a ＋b )215．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 所满足的关系式为________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．解析： 利用三角形面积相等，得12×23(x ＋y ＋z )＝34×(23)2， 即x ＋y ＋z ＝3；由(1＋1＋1)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝9，则x 2＋y 2＋z 2≥3.答案： x ＋y ＋z ＝3 316．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋2z ，对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x ，y ，z 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析： 由柯西不等式可得(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋2z )2，所以x ＋2y ＋2z 的最大值为3，故有|a －1|≥3，∴a ≥4或a ≤－2.答案： a ≥4或a ≤－2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1.求证：ax ＋by ≤1.证明： ∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1.又由柯西不等式知∴1＝(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)≥(ax ＋by )2∴1≥(ax ＋by )2，∴1≥|ax＋by|≥ax＋by，∴所以不等式得证．18．(12分)设x2＋2y2＝1，求μ＝x＋2y的最值．解析：由|x＋2y|＝|1·x＋2·2y|≤1＋2·x2＋2y2＝ 3.当且仅当x1＝2y2，即x＝y＝±33时取等号．所以，当x＝y＝33时，μmax＝ 3.当x＝y＝－33时，μmin＝－ 3.19．(12分)设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：∵a≥b＞0，∴a≥a≥a≥b≥b＞0，a2≥a2≥a2≥b2≥b2＞0，由顺序和≥乱序和，得a3＋a3＋a3＋b3＋b3≥a2b＋a2b＋a2a＋ab2＋ab2.又a2b＋a2b＋a2a＋ab2＋ab2≥3a2b＋2ab2.则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.20．(12分)已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3，求x2＋y2＋z2的最小值．解析：方法一：注意到x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3为定值，利用柯西不等式得到(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x·1＋y·1＋z·1)2＝9，从而x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取“＝”号，所以x2＋y2＋z2的最小值为3.方法二：可考虑利用基本不等式“a 2＋b 2≥2ab ”进行求解，由x 2＋y 2＋z 2＝(x ＋y ＋z )2－(2xy ＋2xz ＋2yz )≥9－(x 2＋y 2＋x 2＋z 2＋y 2＋z 2)，从而求得x 2＋y 2＋z 2≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取“＝”号，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为3.21．(12分)设a ，b ，c 为正数，且不全相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c .证明： 构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ； 1a ＋b ，1b ＋c ，1c ＋a ，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，① 即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9.于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c .于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c .由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b 1a ＋b ＝b ＋c 1b ＋c ＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a⇔a ＝b ＝c .因题设a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c. 22．(14分)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1n ＋1. 证明： 因为x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，所以n ＋1＝(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )．又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋……＋x 2n 1＋x n (n ＋1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n [(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )] ≥(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1n ＋1.第四讲 数学归纳法证明不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 解析： n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B. 答案： B2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，等式左边增加的项为( )A ．(2k )2B ．(2k ＋3)2C ．(2k ＋1)2D ．(2k ＋2)2解析： 把k ＋1代入(2n －1)2得(2k ＋2－1)2即(2k ＋1)2，选C.答案： C3．设凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析： 凸n ＋1边形的对角线的条数等于凸n 边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n －2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f (n )＋n －1条对角线，故选C.答案： C4．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.n n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析： 观察归纳知选A.答案： A5．欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 3，那么验证不等式成立所取的第一个n 的最小值应该是( )A ．1B ．9C ．10D ．n ＞10，且n ∈N ＋解析： 由210＝1 024＞103知，故应选C.答案： C6．用数学归纳法证明：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)<1(n ∈N *，n ≥2)时，由“k 到k ＋1”，不等式左端的变化是( )A ．增加12(k ＋1)一项 B ．增加12k ＋1和12(k ＋1)两项 C ．增加12k ＋1和12(k ＋1)两项，同时减少1k 一项 D ．以上都不对解析： 因f (k )＝1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k， 而f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋1k ＋k ＋1＋1k ＋k ＋2， 故f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k，故选C. 答案： C7．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N ＋)能被8整除时，若n ＝k 时，命题成立，欲证当n ＝k ＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( ) A ．56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34×34k ＋1＋52×52kC ．34k ＋1＋52k ＋1D ．25(34k ＋1＋52k ＋1)解析： 由34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＋25×34k ＋1－25×34k ＋1＝56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)，故选A.答案： A8．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)……(n ＋n )＝2n ·1·3·5·(2n －1)(n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边需增乘代数式为( )A ．2k ＋1 B.2k ＋1k ＋1C.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1D.2k ＋3k ＋1 解析： 左边当n ＝k 时最后一项为2k .左边当n ＝k ＋1时最后一项为2k ＋2，又第一项变为k ＋2，∴需乘(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1. 答案： C9．数列a n 中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1D ．4n －3解析： 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2故应选B.答案： B10．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析： ∵当n ＝k 时，左端＝1＋1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故应选D.答案： D11．用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)”的第二步证n ＝k ＋1时(n ＝1已验证，n ＝k 已假设成立)这样证明：(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，则当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设解析： 经过观察显然选D.答案： D12．把正整数按下图所示的规律排序，则从2 006到2 008的箭头方向依次为( )A ．↓→B ．→↓C ．↑→D ．→↑解析： 由2 006＝4×501＋2，而a n ＝4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数，故应选D. 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n ＋…＋3＋2＋1＝n 2(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是________________．解析： 当n ＝k 时，左边＝1＋2＋3＋…＋k ＋…＋3＋2＋1.当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k ＋k ＋1＋k ＋…＋3＋2＋1.所以左边应添加的代数式为k ＋1＋k ＝2k ＋1.答案： 2k ＋114．数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4分别为________，猜想 S n ＝________. 解析： 由题意得，a 1＝12S n ＋1＝S n ＋2S 1当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2S 1 ∴S 2＝32当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2S 1 ∴S 3＝74当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2S 1 ∴S 4＝158归纳猜想：S n ＝2n －12n －1 答案： 32 74 158 2n －12n －1 15．如下图所示，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2个图形中共有________个顶点．解析： 第一个图形是由正三角形扩展得到，三边扩展得3个顶点，加上三角形的三个顶点共6个；第二个图形是由正方形扩展得到，四边扩展得4个顶点，每个顶点变为两个，故增加8个顶点，因此共有12个顶点；第三个图形是由正五边形扩展得到，五边扩展得5个顶点，每个顶点变为3个，故增加15个顶点，因此共有20个顶点；…第n －2个图形是由正n 边形扩展得到，n 边扩展得n 个顶点，每个顶点变为n －2个，故增加(n －2)n 个顶点，因此共有n ＋n (n －2)＝n 2－n 个顶点．答案： n 2－n16．有以下四个命题：(1)2n ＞2n ＋1(n ≥3)；(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋2(n ≥1)；(3)凸n 边形内角和为f (n )＝(n －1)π(n ≥3)；(4)凸n 边形对角线条数f (n )＝n (n －2)2(n ≥4)． 其中满足“假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题也成立．”但不满足“当n ＝n 0(n 0是题中给定的n 的初始值)时命题成立”的命题序号是________．解析： 当n 取第一个值时经验证(2)(3)(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题不成立．所以(2)(3)正确．答案： (2)(3)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)用数学法归纳证明：11×2＋13×4＋…＋1(2n －1)·2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 证明： (1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12， 右边＝12，等式成立． (2)假设当n ＝k 时，等式成立，即11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)·2k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 则当n ＝k ＋1时，11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)·2k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＋1k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋… ＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋等式成立．18．(12分)用数学归纳法证明：n (n ＋1)(2n ＋1)能被6整除．证明： (1)当n ＝1时，1×2×3显然能被6整除．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立．即k (k ＋1)(2k ＋1)＝2k 3＋3k 2＋k 能被6整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)＝2k 3＋3k 2＋k ＋6(k 2＋2k ＋1)，结合假设可知，2k 3＋3k 2＋k,6(k 2＋2k ＋1)都能被6整除，所以2k 3＋3k 2＋k ＋6(k 2＋2k ＋1)能被6整除，即当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N ＋原命题成立．19．(12分)证明凸n 边形的对角线条数：f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)． 证明： ①当n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2.四边形有两条对角线，命题成立． ②假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)．当n ＝k ＋1时，凸k ＋1边形是在k 边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线条数是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，增加的对角线条数为[(k ＋1)－3＋1]＝k －1，f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故n ＝k ＋1时，命题也成立．故①②可知，对任何n ∈N ＋，n ≥4命题成立．20．(12分)求证：(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋1. 证明： 利用贝努利不等式(1＋x )n >1＋nx (n ∈N ＋，n ≥2，x >－1，x ≠0)的一个特例⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －12>1＋2·12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫此处n ＝2，x ＝12k －1，得1＋12k －1>2k ＋12k －1，k 分别取1,2,3，…，n 时，n 个不等式左右两边相乘，得(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>31·53…2n ＋12n －1. 即(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋1成立．21．(12分)是否存在常数a ，b ，c 使等式(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．解析： 存在．分别有用n ＝1,2,3代入，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18⇒⎩⎨⎧ a ＝14，b ＝－14，c ＝0下面用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，由上式可知等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)·[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k －1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4＋⎝⎛⎭⎫－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2.由(1)(2)得等式对一切的n ∈N ＋均成立．22．(14分)对于数列{a n }，若a 1＝a ＋1a (a >0，且a ≠1)，a n ＋1＝a 1－1a n. (1)求a 2，a 3，a 4，并猜想{a n }的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．解析： (1)∵a 1＝a ＋1a ，a n ＋1＝a 1－1a n， ∴a 2＝a 1－1a 1＝a ＋1a －1a ＋1a＝a 2＋1a －a a 2＋1＝a 4＋a 2＋1a (a 2＋1)， a 3＝a 1－1a 2＝a 6＋a 4＋a 2＋1a (a 4＋a 2＋1)， 同理可得a 4＝a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋1a (a 6＋a 4＋a 2＋1)猜想a n ＝a 2n ＋a 2n －2＋...＋a 2＋1a (a 2n －2＋a 2n －4＋ (1)＝a 2n ＋2－1a 2－1a ·a 2n －1a 2－1＝a 2n ＋2－1a (a 2n －1). (2)①当n ＝1时，右边＝a 4－1a (a 2－1)＝a 2＋1－1a ＝a 1，等式成立． ②假设当n ＝k 时(k ∈N *)，等式成立，即a k ＝a 2k ＋2－1a (a 2k －1)，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝a 1－1a k ＝a 2＋1a －a (a 2k －1)a 2k ＋2－1＝(a 2＋1)(a 2k ＋2－1)－a 2(a 2k －1)a (a 2k ＋2－1)＝a 2(k ＋2)－1a (a 2(k ＋1)－1)， 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立，根据①②可知，对于一切n ∈N *，全册质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知：a ＋b >0，b <0，那么( )A ．a >b >－a >－bB ．a >－a >b >－bC ．a >－b >b >－aD ．－a >－b >a >b解析： ∵a ＋b >0∴a >－b ，b >－a∵b <0∴－b >0>b∴a >－b >b >－a答案： C2．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 易得a >b 且c >d 时必有a ＋c >b ＋d .若a ＋c >b ＋d 时，则可能有a >d 且c >d ，选A. 答案： A3．a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析： 由a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∵4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥2.选C.答案： C4．若不等式|2x －3|>4与不等式x 2＋px ＋q >0的解集相同，则p ∶q 等于() A ．12∶7 B ．7∶12C ．(－12)∶7D ．(－3)∶4解析： |2x －3|>4⇔2x －3>4或2x －3<－4⇔x >72或x <－12，∴72－12＝－p ，p ＝－3，72×⎝⎛⎭⎫－12＝q ，q ＝－74，∴p ∶q ＝12∶7.答案： A5．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值为() A ．0 B ．－2C ．－52D ．－3解析： ∵x 2＋ax ＋1≥0∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，又∵－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 的最大值为－52，。

高中数学学习材料唐玲出品选修4－5(A 版) 高考真题集训 课时作业(14) 高考真题集训作业设计限时：40分钟 满分：90分一、填空题：每小题5分，共35分．1．(2012·江西)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为__________．解析：原不等式可化为⎩⎨⎧ x ≤－12，1－2x －2x －1≤6，或⎩⎨⎧－12＜x ＜12，1－2x ＋2x ＋1≤6，或⎩⎨⎧x ≥12，2x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪－32≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪－32≤x ≤322．(2012·山东)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.解析：依题可知x ＝1和x ＝3是方程|kx －4|＝2的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧|k －4|＝2|3k －4|＝2⇒k ＝2. 答案：23．(2013·湖南)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为__________．解析：由柯西不等式，则[a 2＋(2b )2＋(3c )2](12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36. ∴[a 2＋(2b )2＋(3c )2]×3≥36. ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥12. 答案：124．(2013·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析：∵(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2a 2＋2b 2≥2abmn ＋2a 2＋2b 2＝4ab ＋2a 2＋2b 2＝2(a ＋b )2＝2.答案：25．(2013·江西)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为__________．解析：由||x －2|－1|≤1得，⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≤1，|x －2|－1≥－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|≤2，|x －2|≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，x ∈R ，∴解集为[0,4]． 答案：[0,4]6．(2013·湖北)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝__________.解析：设a ＝(x ，y ，z )，b ＝(1,2,3)， 则a·b ＝x ＋2y ＋3z ＝14. ∴|a |＝1，|b |＝14，∴a·b ＝1×14·cos 〈a ，b 〉＝14.∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0，∴a ，b 共线同向， ∴a ＝114·b ＝⎝⎛⎭⎪⎫114，214，314， ∴x ＝114，y ＝214，z ＝314.∴x ＋y ＋z ＝614＝61414＝3147.答案：31477．(2013·重庆)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是______．解析：|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8， ∵不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，∴a ≤8. 答案：(－∞，8]二、解答题：每小题11分，共55分．8．(2013·新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，由f (x )＜g (x )得 |2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0，则设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43. 9．(2013·福建)设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＜a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a . 解得12＜a ≤32，又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3.当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3.10．(2013·辽宁)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}．求a 的值．解：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2.解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}．所以⎩⎨⎧a －12＝1.a ＋12＝2.于是a ＝3.11．(2012·课标全国)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5， x ≤2，1， 2＜x ＜3，2x －5， x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3， 解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}＝{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |， ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．12．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。