浙江省浙东北(ZDB)教学联盟2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

浙东北联盟(ZDB) 2019-2020学年第一学期期中考试高二数学试卷一．选择题（共10小题）1.椭圆22143x y +=的焦点坐标为（ ）A. （﹣1，0），（1，0）B. ())33-，，， C. （0，﹣1），（0，1）D. ((0303，， 【答案】A 【解析】 【分析】判断焦点在x 轴上，再求出c 即可． 【详解】由椭圆方程知焦点在x 轴，431c =-=，焦点坐标为(1,0)，(1,0)-．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，由椭圆标准方程确定焦点坐标，可由变量,x y 下面的分母的大小确定焦点所在的轴，然后计算22c a b =- 2.圆O ：（x ﹣1）2+y 2=1和直线l ：x ﹣y +1=0的位置关系是( ) A. 相交 B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】由圆心O 到直线l 的距离与半径比较，即可得到结论．【详解】圆O ：（x ﹣1）2+y 2＝1，圆心坐标为O （1，0），半径为1r =．∴圆心O 到直线x ﹣y +1＝0的距离为：1d r ===>=，∴直线与圆相离． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，也考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题． 3.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线D 1B 与平面BB 1C 1C 所成角余弦值为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】先作出并证明直线与平面所成的角，然后计算【详解】∵11D C ⊥平面11BB C C ，∴11D BC ∠是直线D 1B 与平面BB 1C 1C 所成角，设正方体棱长为a ，在11Rt BD C ∆中，1BC =，1BD =，1111cos 3BC D BC BD ∠===． 故选：D ．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题时需先作出直线与平面所成的角，为此要过直线上一点找（作）与平面垂直的直线，从而得直线在平面上的射影，得直线与平面所成的角，再在直角三角形中求解即得．4.某几何体的三视图如图，则它的体积是（ ）A. 6B. 4+πC. 2+2πD. 2+π【答案】D 【解析】 【分析】由三视图还原出原几何体，它是一个长方体半个圆柱的组合体，再计算体积．【详解】由三视图还原出原几何体，它是一个长方体半个圆柱的组合体，尺寸见三视图， 体积为211121222V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+． 故选：D ．【点睛】本题考查组合体的体积，考查三视图，解题关键是由三视图还原出原几何体，然后用体积公式计算各个部分的体积可得．5.对空间中两条不相交的直线a 和b ，必定存在平面α，使得 （ ） A. ,a b αα⊂⊂B. ,a b αα⊥⊥C. ,//a b αα⊂D.,a b αα⊂⊥【答案】C 【解析】 【分析】讨论两种情况，利用排除法可得结果.【详解】a 和b 是异面直线时，选项A 、B 不成立，排除A 、B ；a 和b 平行时，选项D 不成立，排除D,故选C.【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断，考查了空间想象能力以及排除法的应用，属于基础题.6.正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】取BD 中点O ，连结,EO FO ，则//,//OF CD OE AB ，且2aOF OE ==，从而EFO ∠是异面直线EF 与CD 所成的角，由此能求出异面直线EF 与CD 所成的角.【详解】取BD 中点O ，连结,EO FO ， 设正四面体的棱长为a ,则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==， EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连结,BG AG则,AG CD BG CD ⊥⊥，,BG AG G CD ⋂=∴⊥平面ABG ,AB ⊂平面ABG ,CD AB ∴⊥，OF OE ∴⊥，4EFO π∴∠=，∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π,故选B . 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.7.如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．A. AE 、B 1C 1为异面直线，且AE⊥B 1C 1B. AC⊥平面A 1B 1BAC. CC 1与B 1E 是异面直线D. A 1C 1∥平面AB 1E 【答案】A 【解析】试题分析：底面是正三角形，E 为中点AE BC ∴⊥，11BC B C 11AE B C ∴⊥,∴A 项正确考点：空间线面的位置关系 点评：题目较简单学生易得分8.如图，60°的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD 的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】CA AB ⊥，BD AB ⊥0CA AB∴→⋅→=，0BD AB→⋅→=CDBDABCA→=→+→+→2222222CDCAABBDCAABCA BDAB BD→=→+→+→+→⋅→+→⋅→+→⋅→222648268cos12068=+++⨯⨯︒=CD ∴=故选B9.如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为（ ）D.23【答案】B 【解析】 【分析】设出直线AB 方程为y x n =-+，求出它与椭圆的交点,A B 的坐标（设而不求），由OM OA OB =+得M 点坐标，再由13OM k =得出,a b 的关系，然后求得离心率．【详解】设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=，∴212222a nx x a b+=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ，∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+，∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==， ∴2222223c a b a a -==，∴3c e a ==． 故选：B ．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的一个等量关系．本题中已知两直线AB 和OM 的斜率，因此设出直线AB 方程，代入椭圆方程，消元后求出它们横坐标的和，由向量加法的平行四边形法则，M x A B x x =+，这样利用OM k 就可建立,a b 的等式，变形后可求得离心率e ．本题还考查学生的运算求解能力．10.斜线段PA 与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 与直线PA 成β（β＜α）角，交平面M 于点B ，动点B 的轨迹图形为（ ）A. 一条直线B. 一个圆C. 一个半圆D. 一个椭圆【答案】D【分析】由圆锥曲线与圆锥面的关系可得．【详解】由于BPAβ∠=，因此PB运动后可形成以PA为对称轴的圆锥侧面，而平面α与轴PA不垂直不平行，又与母线不平行，因此平面α与此圆锥侧面的交线是椭圆．故选：D．【点睛】本题考查圆锥曲线与圆锥侧面的关系，属于基础题．二．填空题（共7小题）11.圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0的圆心坐标为_____，半径为_____．【答案】 (1). （2，2） (2). 4【解析】【分析】配方后可得圆心坐标和半径．【详解】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16，故它的圆心坐标为（2，2）=4，故答案为：（2,2）；4．【点睛】本题考查圆的一般方程，配方后化为标准方程可得圆心坐标与半径．12.已知椭圆22143x y+=的左、右焦点为F1，F2，则椭圆的离心率为_____，过F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A，则|F1A|＝_____．【答案】 (1). 12(2).52【分析】由椭圆标准方程得出2,a b ==，计算出c ，可得离心率，2F A 是通径的一半为2ba，再结合椭圆定义可得1F A ．【详解】椭圆22143x y +=，可得a ＝2，b =则c ＝1，所以椭圆的离心率为：e 12c a ==．过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以|AF 2|232b a ==，由椭圆的定义可知：|F 1A |＝2a ﹣|AF 2|＝43522-=． 故答案为：12；52． 【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出,a b 再计算出c ，可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来．13.已知圆（x +2）2+y 2＝5外点P （0，3），过P 点作直线l 与圆相切交于点Q ，则切线长|PQ |＝_____．【答案】【解析】 【分析】求出P 点到圆心C距离PC【详解】圆（x +2）2+y 2＝5的圆心为C （﹣2，0），半径为r =且|PC |2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣3）2＝13，所以切线长|PQ|===．故答案为：【点睛】本题考查直线与圆相切问题，考查求切线长，解题时由切线与过切点的半径垂直，用勾股定理计算切线长．14.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为_____，圆柱的表面积与球的表面积之比为_____．【答案】 (1). 32(2).32【解析】【分析】设球半径为R，根据圆柱和球的体积公式、表面积公式直接计算．【详解】由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，圆柱的高h＝2R，则V球43=πR3，V柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3．∴3323423V RV Rππ==柱球．S 球＝4πR 2，S 柱＝2πr 2+2πrh ＝2πR 2+2πR •2R ＝6πR 2． ∴226342S R S R ππ==柱球． 故答案为：32，32【点睛】本题考查圆柱和球的体积公式、表面积公式，属于基础题．15.已知F 1，F 2为椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长BF 2交椭圆于M 点，且△F 1BM 是腰长为3的等腰三角形，则a ＝_____．【答案】2【解析】【分析】根据椭圆的定义，△F 1BM 的周长为4a ，再用另一方法求出周长即可求得a ．【详解】根据椭圆定义，△F 1BM 的周长为4a ，所以4a ＝6=6+a ，所以3a ＝6，a ＝2，故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的基本运算．属于基础题．16.已知三棱锥A ﹣BCD 的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为_____，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为_____．的【答案】【解析】【分析】//PE AD ，则直线PE 与平面BCD 所成角等于直线AD 与平面BCD 所成角，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连结OD ，则∠ADO 是直线PE 与平面BCD 所成角，在ADO ∆中求解即得，ABCD 是一个正四面体，当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，在AEO ∆中计算可得最大值．【详解】连结BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连结OD ，则∠ADO 是直线PE 与平面BCD 所成角，设三棱锥A ﹣BCD 所有棱长均相等，设棱长为2，则DO ＝BO 23=BE ==，AO ==， ∴sin∠ADO 32AO AD === ∴直线PE 与平面BCD ． 当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线QE 与平面BCD 所成角为∠AEO ，AE ==∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为：的sin∠AEO3AO AE ===．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，为此需作一直线与平面垂直．找到直线在平面内的射影，从而得直线与平面所成角，然后在直角三角形中求解即得．17.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，则二面角D ﹣AF ﹣B 的平面角余弦值的取值范围是_____．【答案】（14，1）． 【解析】【分析】由于平面ABD ⊥平面ABC ，因此作DK ⊥AB ，则DK ⊥平面ABCF ，作DO ⊥AF ，则OK ⊥AF ， 则∠DOK 为所求二面角的平面角，而cos∠DOK OK OD=，设DF x =，(1,2)x ∈，然后计算,OK DO （可在矩形ABCD 中计算,OK DO ），把cos DOK ∠表示为x 的函数，求得其取值范围．【详解】作DK ⊥AB ，则DK ⊥平面ABCF ，作DO ⊥AF ，则OK ⊥AF ，则∠DOK 为所求二面角的平面角，cos∠DOK OK OD=，设DF ＝x ，AF =，AD 2＝AO •AF ，则AO=，OD =，由平面图形ABCD 知，∠DAF ＝90°﹣∠FAB ，故tan∠FAB OK OA ==cot∠DAF 1x=， 所以OK 1x=OA ， 所以cos∠DOK 21OK OD x ==，x ∈（1，2）， 故答案为：（14，1）． 【点睛】本题考查求二面角，解题时首先要作出二面角的平面角并证明，这可利用题设中的面面垂直的性质，然后引入变形DF x =，把所求二面角的余弦值表示为x 的函数，从而可得取值范围．三．解答题（共5小题）18.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D ，E ，F 分别是棱BC ，CC 1，B 1C 1的中点．求证：（1）直线A1F∥平面ADE；（2）平面ADE⊥平面BCC1B1．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】A F AD后可得线面平行；（1）证明1//（2）证明AD⊥平面BCC1B1后可证得面面垂直．DF BB AA，【详解】证明：（1）连结DF，∵D，F为中点，∴11∴四边形ADFA1为平行四边形，∴A1F∥AD，∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，∴A1F∥平面ADE．（2）∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，∵BC⊥AD（三线合一），∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC1B1．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，掌握其判定定理是解题基础，证明时注意定理的条件要一一满足，缺一不可．19.已知关于x ，y 的方程x 2+y 2﹣4x +4y +m ＝0表示一个圆．（1）求实数m 的取值范围；（2）若m ＝4，过点P （0，2）的直线l 与圆相切，求出直线l 的方程． 【答案】(1) m ＜8．(2)324y x =-+和x ＝0． 【解析】【分析】 （1）可配方，方程左边是平方和形式，右边为正即可；（2）斜率不存在时，直线0x =是圆的切线，斜率存在时，设方程为2y kx =+，由圆心到切线距离等于半径可求得k ，得切线方程．【详解】（1）方程x 2+y 2﹣4x +4y +m ＝0可化为（x ﹣2）2+（y +2）2＝8﹣m ，令8﹣m ＞0，解得m ＜8；所以方程表示圆时m 的取值范围是m ＜8．（2）m ＝4时，圆的方程为（x ﹣2）2+（y +2）2＝4，则圆心为C （2，﹣2），半径为r ＝2，当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程为：y ＝kx +2，化为kx ﹣y +2＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ==2，解得k 34=-， 所以直线l 的方程为y 34=-x +2； 当直线l 的斜率k 不存在时，直线x ＝0也为圆C 的切线；综上，直线l 的方程为324y x =-+和x ＝0． 【点睛】本题考查圆的方程，考查求圆的切线方程，在过某一点P 的切线方程时，如果P 点在圆外，可分类讨论，斜率不存在的直线（验证是否为切线）和斜率存在的直线（设斜率为k ，写出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得k ）．20.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点M （0，﹣2）且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的l 的方程．【答案】(1)22 143x y +=．(2) 2y x =- 【解析】【分析】（1）已知条件为22191412a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a c b -=可求得,a b ，得椭圆方程；（2）设直线l ：y ＝kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线方程代入椭圆方程整理后可得1212,x x x x +，表示出12x x -，而1212OAB S OM x x ∆=-k ，得直线方程． 【详解】（1）椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，可得2222219142121a b a c b ac a b c ⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设直线l ：y ＝kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），2222341234(2)122x y x kx y kx ⎧+=⇒+-=⎨=-⎩， ∴（4k 2+3）x 2﹣16kx +4＝0，1212221644343k x x x x k k +==++，，12243x x k -===+，1212OAB S OM x x =⋅-==解得2k =±，直线l 的方程为22y x =±-． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆的标准方程，关键是找到关于,,a b c 的两个等式，即把题中两个条件用,,a b c 表示出来就可求解，而直线与椭圆相交问题，常常采用“设而不求”思想，即设直线方程为y kx b =+，设交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，然后由直线方程和椭圆方程联立并消元后由韦达定理得1212,x x x x +，再把题中其他条件用交点坐标表示，同时代入1212,x x x x +，可求得参数,k b 的关系或值．21.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形，且AD ∥BC ，AD ⊥CD ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AD ＝2，PC ＝3，△PAB 是正三角形．（1）求证：AB ⊥PC ；（2）求二面角P ﹣CD ﹣B 的平面角的正切值．【答案】(1)证明见解析；(2)2 3．【解析】【分析】（1）要证线线垂直，先证线面垂直，由于PAB ∆是正三角形，取AB 中点E ，则有PE AB ⊥，从而只要再证CE AB ⊥即可证；（2）关键是作二面角的平面角，由（1）知平面PEC ⊥平面ABCD ，因此只要作作PO ⊥CE ，PH ⊥CD ，连结OH ，就可得∠PHO 为二面角P ﹣CD ﹣B 的平面角，接着就是计算出这个角即可．【详解】（1）证明：取AB 中点E ，连结PE ，CE ，易证△ABC 为正三角形，E 为AB 中点，∴CE ⊥AB ，∵△ABP 为正三角形，E 为AB 中点，∴PE ⊥AB ，∴AB⊥平面PCE，∴AB⊥PC．（2）解：过P点作PO⊥CE，PH⊥CD，连结OH，∵AB⊥平面PCE，∴平面ABCD⊥平面PCE，∵PO⊥CE，∴PO⊥平面ABCD，∵PH⊥CD，∴OH⊥CD，∴∠PHO为二面角P﹣CD﹣B的平面角，四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AD⊥CD，∠ABC＝60°，BC＝2AD＝2，PC＝3，△PAB是正三角形．AB＝2，PA＝PB＝2，PE＝CE=PCE＝30°，所以PO32=，OC=，∠ECD＝60°，OH94==，三角形POH直角三角形，∠POH＝90°，∴23POtan PHOOH∠==．∴二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值：23．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求二面角．要证线线垂直，一般可先证线面垂直即用线面垂直的性质定理．而证线面垂直又要寻找线线垂直，这可从图形中发现并证明．求二是面角关键是作二面角的平面角，一般要先找一个面的垂线，然后利用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再在三角形中求得这个角．22.已知椭圆()22211x C y a a+=：＞． （1）若过点22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，的直线l 与椭圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围； （2）若存在以点B （0，2）为圆心的圆与椭圆C 有四个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】(1) a ≥(2)a ． 【解析】【分析】（1）点P 在椭圆上或椭圆内，解不等式2222(12a +≤即得； （2）要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，考虑到B 在y 轴上，只要在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B 点的距离相等，设动点Q （x 0，y 0）在椭圆上，BQ ===， 令()()222000144f y a y y a =--++，只要f （y 0）在y 0∈（﹣1，1）上不单调即可．【详解】（1）要使得直线l 与椭圆C 恒有公共点，则点22P ⎛⎝⎭，要在椭圆上或者椭圆内，∴22221a +≤，∴a ≥ （2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B 点的距离相等，设动点Q （x 0，y 0）在椭圆上，BQ ===， 令()()222000144f y a y y a =--++，使得f （y 0）在y 0∈（﹣1，1）上不单调，∴22111a --＜＜，∴a ．法二：设圆B ：x 2+（y ﹣2）2＝r 2，222222222222(2)(2)x y r a a y y r x a y a ⎧+-=⇒-+-=⎨+=⎩， 整理得：（1﹣a 2）y 2﹣4y +a 2+4﹣r 2＝0，所以存在r ，使得方程（1﹣a 2）y 2﹣4y +a 2+4﹣r 2＝0在（﹣1，1）上有两解，令函数f （y ）＝（1﹣a 2）y 2﹣4y +a 2+4﹣r 2，对称轴221y a =-， 只需22111a--＜＜即可，∴a ．【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系．圆与椭圆的公共点问题．点00(,)P x y ，椭圆方程22221x y a b +=， 点在椭圆内2200221x y a b ⇔+<，点在椭圆上2200221x y a b ⇔+=，点在椭圆外2200221x y a b⇔+>． 圆与椭圆都是轴对称图形，当圆心在椭圆的轴上时，它们的交点个数要利用其对称性进行变换说法，如本题圆与椭圆有4个公共点，则圆与椭圆在椭圆的左半边（或右半边）有两个公共点，即椭圆左半边（或右半边）有两点到圆心的距离相等．如果用方程的思想，则化为关于y 的方程在椭圆的范围内有两不等实解．。

浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，则k的值为()A. 1B. 3C. 9D. 812.直线x+y=5和圆O：x2+y2−4y=0的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交不过圆心D. 相交过圆心3.如图，正方体ABCD−EFGH中，M为BG的中点，则直线DM与平面ABCD所成角的正切值为()A. √56B. √55C. √5D. √24.下列三视图表示的几何体是()A. 正六棱柱B. 正六棱锥C. 正六棱台D. 正六边形5.l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是()A. 如果l1//α，l2//α，则一定有l1//l2B. 如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC. 如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1//αD. 如果l1⊥α，l2//α，则一定有l1⊥l26.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F，G分别是棱BC，BB1的中点，则AC与GF所成的角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，若AB1⊥BC1，则下列关于直线A1C和AB1，BC1的关系的判断正确的为()A. A1C和AB1，BC1都垂直B. A1C和AB1垂直，和BC1不垂直C. A1C和AB1，BC1都不垂直D. A1C和AB1不垂直，和BC1垂直8.下列说法正确的是()A. 单位向量都相等B. 模长相等的两个平行向量是相等向量C. 若a→ =b→ ，则|a→ |=|b→ |D. 若a→ //b→ ,b→ //c→ 则a→ //c→ 9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在A、B两点恰好关于直线l:x−y−1=0对称，且直线AB与直线l的交点的横坐标为2，则椭圆C的离心率为()A. 13B. √33C. √22D. 1210.已知AB是平面α的斜线段，A为斜足，若AB与平面α成60°角，过定点B的动直线l与斜线AB成60°角，且交α于点P，则动点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.方程x2+y2+2ax−by+c=0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a=________，b=________，c=________．12.设F1、F2是椭圆3x2+4y2=48的左、右焦点，点P在椭圆上，满足sin∠PF1F2=35，△PF1F2的面积为6，则|PF2|=______．13.若过点M( 0，2 )作圆x2+y2−2x−1=0的切线，则切线长为______．14.已知球的直径为4，则该球的表面积为__________．15.已知经过椭圆x236+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为______ ．16.已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为1.点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值是_________．17.在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点(靠近C处)，F为线段EC上一动点(包括端点)，现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的射影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D−AF−B平面角余弦值的变化范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC，A′A，AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．19.已知△ABC的顶点坐标是A(8,0)，B(0,6)，O(0,0)．(1)求△ABC外接圆C的方程．(2)过点P(−1,5)作圆C的切线l，求切线l的方程．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为√22，短轴的两个端点分别为A，B，S△ABF=1．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过点D(2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(M在D，N之间)，求S△ODMS△ODN(O为坐标原点)的取值范围．21.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，△PAB是等边三角形．(Ⅰ)证明：AB⊥PD；(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD，求二面角A−PB−C的余弦值．22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−√22,√32)，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P,Q，且OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】利用椭圆的方程，通过焦点坐标为(2,0)，求解k即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，可得√k−5=2，解得k=9．故选C．2.答案：A解析：解：将圆O的方程化为标准方程得：x2+(y−2)2=4，可得：圆心O(0,2)，半径r=2，∵圆心O到直线x+y=5的距离d=√2=3√22>2=r，∴直线与圆O的位置关系是相离．故选A将圆O的方程化为标准方程，找出圆心O坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线x+y=5的距离d，判断d与r的大小关系，即可得出直线与圆O的位置关系．此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离(d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径)．3.答案：B解析：【分析】本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题．过M作MN⊥BC，交BC于N，连接DN，则∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角，由此能求出直线与平面所成角的正切值．【解答】解：过M作MN⊥BC，交BC于N，连接DN，∵正方体ABCD−EFGH中，M为BG的中点，∴MN//CG，∵CG⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角，设正方体ABCD−EFGH的棱长为a，则MN=12a，DN=√a2+(12a)2=√52a，∴tan∠MDN=MNDN =12a√52a=√55．故选：B．4.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是由三视图判断几何体的形状，属于基础题．由题目中的三视图中，正视图和侧视图为矩形，易得这是一个柱体，又由俯视图即可判断几何体的形状．【解答】解：∵正视图、侧视图是矩形，俯视图是正六边形，∴该几何体是六棱柱，故选：A．5.答案：D解析：【分析】本题考查空间中的线面关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1//α，l2//α，则有l1//l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1//α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2//α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2//a，∴l1⊥l2，故D正确．故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．连接B1C，AB1，因为F，G分别为BC，BB1的中点，则∠B1CA为异面直线FG与AC所成的角，由此解答即可．【解答】解：连接B1C，AB1，因为F，G分别为BC，BB1的中点，所以FG//B1C，所以∠B1CA为异面直线FG与AC所成的角，在正方体中易证AC=B1C=AB1，所以△ACB1为等边三角形，所以∠B1CA=60°．故选C．7.答案：A解析：解：设D 为BC 的中点，连结AD 、B 1D ，设E 为AB 的中点，连结CE 、A 1E ，∵△ABC 是正三角形，∴AD ⊥BC ，由正三棱柱的性质可知，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， 又平面ABC ∩平面BB 1C 1C =BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴B 1D 是AB 1在平面BB 1C 1C 上的射影， 同理，A 1E 是A 1C 在平面AA 1B 1B 上的射影， ∵AB 1⊥BC 1，由三垂线逆定理可知，B 1D ⊥BC 1，∵长方形AA 1B 1B≌长方形BB 1C 1，∴A 1E ⊥AB 1，由三垂线定理可知，AB 1⊥A 1C ； 取AC 中点F ，连结BF 、C 1F ，∵△ABC 是等边三角形，∴BF ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，∴BF ⊥AA 1， ∵AA 1∩AC =A ，∴BF ⊥平面ACC 1A 1，∵A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴BF ⊥A 1C ，∵长方形AA 1B 1B≌长方形BB 1C 1≌长方形AA 1C 1C ，∴A 1C ⊥C 1F ，由三垂线定理可知，BC 1⊥A 1C . ∴A 1C 和AB 1，BC 1都垂直． 故选：A ．设D 为BC 的中点，连结AD 、B 1D ，设E 为AB 的中点，连结CE 、A 1E ，由射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理能推导出A 1C 和AB 1，BC 1都垂直．本题考查线线关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理的合理运用．8.答案：C解析： 【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，属于基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【解答】解：单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A 错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B 错误； 由向量的定义可知C 正确；b → =0→ 时，a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 不一定平行，D 错误； 故选C ．9.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的几何意义及直线与椭圆的位置关系，属于一般题． 利用直线AB 与椭圆交点的中点为(2,1)建立关系式，即可得解． 【解答】解：由题知AB 中点坐标为(2,1)，直线AB 斜率为−1， 则直线AB 方程为y −1=−(x −2)， 即y =−x +3，由{y =−x +3x 2a 2+y 2b 2=1消去y 得，(a 2+b 2)x 2−6a 2x +9a 2−a 2b 2=0，所以6a 2a 2+b 2=2×2，有a 2=2b 2，则a 2=2b 2=2(a 2−c 2)，所以e =c a=√12=√22， 故选C ．10.答案：D解析：解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆； 把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题AB 与平面α成60°角，过定点B 的动直线l 与斜线AB 成60°角，且交α于点P ， 故可知动点P 的轨迹是抛物线． 故选：D ．用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．本题考查点的轨迹方程的判断，考查圆锥曲线的定义及性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．11.答案：−2；4；4解析： 【分析】本题考查圆的标准方程及一般方程，属于基础题．利用圆心与半径可写出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解． 【解答】解：由于圆心为C(2,2)，半径为2，故圆方程为：(x−2)2+(y−2)2=22，即x2+y2−4x−4y+4=0，故2a=−4，−b=−4，c=4，故a=−2，b=4，c=4，故答案为−2；4；4．12.答案：3解析：解：椭圆方程3x2+4y2=48可化为，x2 16+y212=1，∴a=4,b=2√3．∴c=2，∴|F1F2|=4，∵△PF1F2的面积为6，∴12|F1P|⋅|F1F2|⋅sin∠PF1F2=6，又∵sin∠PF1F2=35，∴|PF1|=5，根据椭圆定义易知，|PF2|=3．故答案为：3．将椭圆方程化为标准方程，易得a=4，b=2√3，然后根据三角形面积公式和椭圆的定义求解即可．本题主要考查椭圆的定义三角形面积公式等基础知识，属于中档题．13.答案：√3解析：解：把圆的方程化为标准方程得：(x−1)2+y2=2，∴圆心A坐标(1,0)，半径|AN|=√2，又M(0,2)，∴|AM|=√(1−0)2+(0−2)2=√5，则切线长|MN|=√|AM|2−|AN|2=√3．故答案为：√3把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，根据题意画出相应的图形，根据切线的性质得到三角形AMN为直角三角形，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，再由半径|AN|，利用勾股定理即可求出切线长|MN|的长．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，切线的性质，以及勾股定理，利用了数形结合的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即直线与圆只有一个交点，熟练掌握切线性质是解本题的关键．14.答案：16π解析：球的直径为4，球的半径为：2，球的表面积为：S=4πR2=16π．故答案为：16π．15.答案：24解析：解：∵F1，F2为椭圆x236+y216=1的两个焦点，∴由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，∴△AF2B的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=24，故答案为：24．△AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B的周长．本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．16.答案：√1010解析：【分析】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键，属于中档题．取AB 的中点F ，连接B 1F ，过点F 作FG ⊥BD ，垂足为G ，连接B 1G ，根据FG ⊥平面BDD 1B 1，可知∠FB 1G 为B 1F 与平面BDD 1B 1所成角，在Rt △FB 1G 中求解即可，而AE//B 1F ，从而求出所求．【解答】解：取AB 的中点F ，连接B 1F ，过点F 作FG ⊥BD ，垂足为G ，连接B 1G ，由正方体性质易知BB 1⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥FG ，又FG ⊥BD ，BD ∩BB 1=B ，BD ⊂平面BDD 1B 1，BB 1⊂平面BDD 1B 1, ∴FG ⊥平面BDD 1B 1,∴∠FB 1G 为B 1F 与平面平面BDD 1B 1所成角，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为1，∴FG =√24，B 1F =√52， ∴sin∠FB 1G =√24√52=√1010， 而AE//B 1F ，所以直线AE 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为√1010． 故答案为√1010．17.答案：[19,14] 解析：解：如图，过点D 作DM ⊥AF 于点O ，交AB于点M ，不妨设二面角D −AF −B 的平面角为θ， 则cosθ=OMOD ，设DF =x ，2≤x ≤3，由勾股定理，OD =√x 2+1，OF =√x 4x 2+1，OA =√1x 2+1，∴cosθ=OM OD =OAOF =1x 2在[2,3]上是减函数，∴19≤cosθ≤14．故答案为：[19,14].过点D 作DM ⊥AF 于点O ，交AB 于点M ，不妨设二面角D −AF −B 的平面角为θ，则cosθ=OM OD =OAOF =1x 2，从而求其取值范围． 本题考查了学生的作图能力及空间想象力，注意折起前后的等量关系是本题解决的关键，属于中档题．18.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC ，BB′⊂平面B′C′CB ，∴平面B′C′CB ⊥平面ABC ，∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，又平面B′C′CB ⊥平面ABC ，平面B′C′CB ∩平面ABC =BC ，∴AD ⊥平面B′C′CB ，∵AD ⊂平面AB′D ，∴平面AB′D ⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M ，连接EM ，DM ，DF ．∵D 、E 、F 、M 分别为棱BC ，A′A ，AC ，AB′的中点，∴DF=//12AB，EM=//12A′B′，∵AB=//A′B′，∴DF=//EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．19.答案：解：(1)∵△ABC的顶点坐标是A(8,0)，B(0,6)，O(0,0)，显然，故其外接圆圆圆心为斜边的中点即AB中点，其外接圆直径的长度为斜边的长度．∴△ABC外接圆C的直径为|AB|=√82+62=10，圆心为(4,3)，∴△ABC外接圆C的方程为：(x−4)2+(y−3)2=25；(2)当直线l的斜率不存在时，x=−1，圆心(4,3)到直线x=−1的距离为4−(−1)=5，故直线x=−1为该圆的一条切线；当直线l的斜率存在时，设为k，则过点P(−1,5)的l的方程为y−5=k(x+1)，即kx−y+k+5=0，依题意，圆心(4,3)到直线l的距离d=2=2=5，解得：k=2120，∴l的方程为：21x−20y+121=0，综上所述，过点P(−1,5)作圆C的切线l的方程为：x=−1或21x−20y+121=0．解析：(1)依题意，易知ABC外接圆C的直径为|AB|=√82+62=10，圆心为(4,3)，从而可得△ABC 外接圆C的方程．(2)分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在时，设为k两种情况讨论，分别利用圆心到直线的距离等于半径去解决问题即可．本题考查圆的一般方程与圆的切线方程的求法，利用圆心到直线的距离等于半径是求切线斜率(存在时)的关键，考查转化思想．20.答案：解：(Ⅰ)S△ABF=1，则bc=1，又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，∴a =√2，b =1，∴椭圆C 的标准方程x 22+y 2=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +2，由{x =my +2x 22+y 2=1，得(2+m 2)y 2+4my +2=0， ∴△=16m 2−8(2+m 2)>0，解得m 2>2，∴y 1+y 2=−4m m 2+2，y 1y 2=2m 2+2，令， ∵|y 1|<|y 2|，∴0<t <1，则(y 1+y 2)2y 1y 2=t +1t +2=8m 2m 2+2=81+2m 2∈(4,8)，∴3−2√2<t <1，故为坐标原点)的取值范围为(3−2√2,1)．解析：(Ⅰ)由S △ABF =1，则bc =1，又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，解得即可求出椭圆的方程， (Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +2.由此利用韦达定理得到为坐标原点)的取值范围(O 为坐标原点)．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的取值范围的求法，解题时要认真审题． 21.答案：(Ⅰ)证明：取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，∵△PAB 是等边三角形，∴PO ⊥AB ，又∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴DO ⊥AB ，∵PO ∩DO =O ，PO ，DO ⊂平面POD ，∴AB ⊥平面POD ，∵PD ⊂平面POD ，∴AB ⊥PD ．(Ⅱ)∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面BCD =AB ，PO ⊥AB ，PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD∴PO ⊥DO ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，平面PAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)， P(0,0,√3)，B(1,0，0)，C(2,√3,0)，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,−√3)， 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{x −√3z =02x +√3y −√3z =0, 令z =1，得x =√3，y =−1，∴n ⃗ =(√3,−1,1)，设二面角A −PB −C 的平面角为θ，θ为钝角，∴cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5=−√55．解析：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，证明PO ⊥AB ，DO ⊥AB ，推出AB ⊥平面POD ，然后证明AB ⊥PD ．(Ⅱ)以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，求出平面PAB 的一个法向量，平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −PB −C 的平面角的余弦函数值即可．22.答案：解：(1)由题意得：a =√2b,12a 2+34b 2=1⇒b =1,a =√2，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1;(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2(0<r <1)，当直线P,Q 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +m ，由{y =kx +m x 2+2y 2=2得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 令P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则有：x 1+x 2=−4km 1+2k ，x 1x 2=2m 2−21+2k 2， ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由x 1x 2+y 1y 2=0，得(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，∴(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=0， ∴3m 2=2k 2+2，因为直线PQ 与圆相切，∴r 2=m 21+k 2=23，所以存在圆x 2+y 2=23， 当直线PQ 的斜率不存在时，也适合x 2+y 2=23，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=23满足题意．解析：本题考查椭圆的方程的求法，圆与椭圆以及直线的综合应用，考查分类讨论思想、转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)由短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形，推出a =√2b ，利用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出a 、b ，即可得到椭圆C 方程；(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2(0<r <1)，当直线PQ 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +b ，联立方程组，令P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合x 1x 2+y 1y 2=0，推出3m 2=2k 2+2，利用直线PQ 与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线PQ 的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果．。

浙东北联盟（ZDB ）2019-2020学年第一学期期中考试高二数学试卷总分150分 考试时间120分一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆13422=+y x 的焦点坐标为 （A ）)0,1(),0,1(- （B ）)0,3(),0,3(- （C ）)1,0(),1,0(- （D ）)3,0(),3,0(- 2．圆1)1(:22=+-y x O 和直线01:=+-y x l 的位置关系是 （A ）相交（B ）相切 （C ）相离 （D ）不确定3．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，直线B D 1与平面C C BB 11所成角的余弦值为（A ）33 （B ）22 （C ）23 （D ）36 4．某几何体的三视图如图，则它的体积是（A ）6 （B ）π+4 （C ）π22+ （D ）π+25．有两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得 （A ）,a b αα⊂⊂ （B ）,//a b αα⊂ （C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥6．正四面体ABCD 中，E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π 7．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面111C B A ，底面三角形111C B A 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（A ）1CC 与E B 1是异面直线1C B侧视图俯视图（第4题）正视图 A 1（B ）⊥AC 平面11A ABB（C ）AE 与11C B 为异面直线，且11C B AE ⊥ （D ）//11C A 平面E AB 18．如图，大小为︒60的二面角的棱上有B A ,两点，线段BD AC ,分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为（A ）172 （B ）232 （C ）352 （D ）4129．如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，斜率为1-的直线与椭圆C 相交于B A ,两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为31，则椭圆的离心率为 （A（B（C（D ）2310．斜线段PA 与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 与直线PA 成)(αββ<角，交平面M 于点B ，动点B 的轨迹图形为（A ）一条直线 （B ）一个圆（C ）一个半圆 （D ）一个椭圆二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．圆084422=---+y x y x 的圆心坐标为________，半径为________．12．已知椭圆13422=+y x 的左、右焦点为21,F F ，则椭圆的离心率为_______，过2F 且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则=A F 1________．13．已知圆5)2(22=++y x 外点)3,0(P ，过P 点作直线与圆相切交于点Q 两点，则切线长=PQ ．14．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达PβαA BM了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为_______，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．15．已知21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长2BF 交椭圆于M 点，且1F BM ∆是腰长为3的等腰三角形，则=a ． 16．已知三棱锥BCD A -的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为________，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为 ．17．如图，在长方形ABCD 中，1,2==BC AB ，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD ∆沿AF 折起，使平面⊥ABD 平面ABC ，则二面角B AF D --的平面角余弦值的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，F E D ,,分别是棱111,,C B CC BC 的中点． 求证：（1）直线//1F A 平面ADE ； （2）平面⊥ADE 平面11B BCC ．19．（本题满分15分）已知关于y x ,的方程04422=++-+m y x y x 表示一个圆． （1）求实数m 的取值范围；（2）若4=m ，过点)2,0(P 的直线l 与圆相切，求出直线l 的方程．A1A 1B BC1C DEFC C BA DFA BCDEP20．（本题满分15分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点为21,F F ，离心率为21，且点)23,1(P 在椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点)2,0(-M 且与椭圆C 相交于B A ,两点，且OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为3，求出直线l 的方程．21．（本题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 是直角梯形，且BC AD //，CD AD ⊥，︒=∠60ABC ，22==AD BC ，3=PC ，PAB ∆是正三角形． （1）求证：PC AB ⊥；（2）求二面角B CD P --的平面角的正切值．22．（本题满分15分）已知椭圆)1(1:222>=+a y ax C ．（1）若过点)22,2(P 的直线l 与椭圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围； （2）若存在以点)2,0(B 为圆心的圆与椭圆C 有四个公共点，求实数a 的取值范围．ABCPD浙东北联盟（ZDB ）2019-2020学年第一学期期中考试高二数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11． )2,2( ； 4 ．12． 21 ； 25． 13． 14． 23 ； 23．15． 2 ．16．36 ； 322 ．17． )1,41( ． 三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（1）连结DF ，F D , 为中点，11////AA BB DF ∴，∴四边形1ADFA 为平行四边形，AD F A //1∴，⊂AD 平面ADE ，⊄F A 1平面ADE ，//1F A ∴平面ADE ． 7分（2）⊥1BB 平面ABC ，AD BB ⊥∴1， AD BC ⊥ （三线合一）， ⊥∴AD 平面11B BCC ，⊂AD 平面ADE ，∴平面⊥ADE 平面11B BCC ． 14分19．（1）m y x -=++-8)2()2(22，808<⇒>-∴m m ． 5分（2）4)2()2(22=++-y x ，圆心)2,2(-，半径为2，A1A 1B BC1C DEF当k 存在时，设2:+=kx y l ，02=+-y kx ，43212222-=⇒=+++=k k k d ，243+-=∴x y ，当k 不存在时，直线0=x 为圆的切线，综上，直线l 的方程为243+-=x y 和0=x ． 15分20．（1）⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+13221149122222c b a c b a a c b a ，∴椭圆的标准方程为13422=+y x ． 5分 （2）设直线2:-=kx y l ，),(),,(2211y x B y x A ，12)2(43212432222=-+⇒⎩⎨⎧-==+kx x kx y y x ， 0416)34(22=+-+∴kx x k ，344,3416221221+=+=+k x x k k x x ， 21221214)(x x x x x x -+=-3414343416)3416(22222+-=+-+=k k k k k ，2121x x OM S OAB-⋅=∆334143422=+-=k k ， 解得25±=k ，直线l 的方程为225-±=x y ． 15分 21．（1）取AB 中点E ，连结CE PE ,， 易证ABC ∆为正三角形，E 为AB 中点，AB CE ⊥∴，ABP ∆ 为正三角形，E 为AB 中点， AB PE ⊥∴，⊥∴AB 平面PCE ，PC AB ⊥∴． 6分A BCPD EOH（2）过P 点作CD PH CE PO ⊥⊥,，连结OH ，⊥AB 平面PCE ，∴平面⊥ABCD 平面PCE ， CE PO ⊥ ，⊥∴PO 平面ABCD ，CD PH ⊥ ，CD OH ⊥∴，PHO ∠∴为二面角B CD P --的平面角，49=PH ，23=PO ，32tan ==∠∴PH PO PHO ． 15分22．（1）要使得直线l 与椭圆C 恒有公共点，则点)22,2(P 要在椭圆上或者椭圆内， 1)22(2222≤+∴a ，22≥∴a ． 5分 （2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B 点的距离相等， 设动点),(00y x Q 在椭圆上，2020222020)2()2(-+-=-+=y y a a y x BQ 44)1(20202++--=a y y a ，令44)1()(202020++--=a y y a y f ，使得)(0y f 在)1,1(0-∈y 上不单调，11212<-<-∴a，3>∴a ． 15分 法二：设圆222)2(:r y x B =-+，222222222222)2()2(r y y a a ay a x r y x =-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+， 整理得：044)1(2222=-++--r a y y a ，所以存在r ，使得方程044)1(2222=-++--r a y y a 在)1,1(-上有两解，令函数222244)1()(r a y y a y f -++--=，对称轴212a y -=， 只需11212<-<-a即可，3>∴a ． 15分。

2018-2019学年浙江省杭州市中学高二上学期期中数学试题及答案解析一、单选题1．过点（–1，–3）且垂直于直线x–2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y–1=0 B．x–2y–5=0C．x–2y+7=0 D．2x+y+5=0【答案】D【解析】设所求直线为m，根据垂直关系，得到直线m的斜率，由点斜式写出直线方程，得到答案.【详解】设直线l为–230x y+=，所求直线为m．因为两直线垂直，所以斜率乘积为–1，故直线m的斜率为–2，所以直线m的方程为()+=-+，y x321整理得：250x y++=，故选：D.【点睛】本题考查两直线垂直时斜率的关系，直线的点斜式方程，属于简单题.2．设,,mβ”的⊥”是“// mααβ⊂是两个不同的平面，则“αβ（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】由面面垂直与线面平行的位置关系结合充分必要条件的定义进行判断【详解】由αβmβ也推不出αβ⊥，应该是⊥推不出//mβ，反之由//既不充分又不必要的条件．故选：D.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，根据充分必要条件的定义判断相应命题的真假即可．3．空间直角坐标系中，点(1,2,3)A关于xOy平面的对称点为点B，关于原点的对称点为点C，则 ,B C间的距离为( ) AB C．D．【解析】【详解】分析：求出点(1,2,3)A关于xOy平面的对称点B，关于原点的对称点C，直接利用空间中两点间的距离公式，即可求解结果.详解：在空间直角坐标系中，点(1,2,3)A关于xOy平面的对称点B(1,2,3)-，关于原点的对称点(1,2,3)C---，则,B C= C.点睛：本题主要考查了空间直角坐标系中点的表示，以及空间中两点间的距离的计算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2x y +的最大值为（）A ．8B ．9C ．2D ．1【答案】A【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，向上平移直线l ，2x y +增大，当直线l 过点(3,2)B 时，28x y +=为最大值． 故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键． 5．下列说法的正确的是 A ．经过定点的直线的方程都可以表示为()00y y k x x -=-B ．经过定点()0A b ，的直线的方程都可以表示为y kx b =+C ．不经过原点的直线的方程都可以表示为D ．经过任意两个不同的点()()111222P x y P x y ，、，的直线的方程都可以表示为 ()()()()121121y y x x x x y y --=-- 【答案】D【解析】考虑斜率不存在和平行于x 轴的直线，利用排除法。

2018学年第一学期温州“十五校联合体”期中考试联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．若直线过点A(1，2)，B(2,3)，则此直线AB的倾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°2．两条直线y=ax-2与y=x+1互相垂直，则a等于（）A.2B.1C. -1D. 03．已知点Q是点P(5,4,3)在平面xOy上的射影，则线段PQ的长等于（）A.2B.3C.4D.54．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l ⊂α，m⊂β（）A.若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥βD.若α∥β，则l∥m5．若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，且此多面体的体积36V cm=，则=a（）A. 9B.3C.6D.4正视图侧视图俯视图(第5题)6．已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点P ∈l ，则下列说法中，正确的个数是（ ） ①过P 与l 垂直的直线在α内; ②过P 与β垂直的直线在α内; ③过P 与l 垂直的直线必与α垂直; ④过P 与β垂直的直线必与l 垂直.A.1B.2C.3D.47．矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）A.5003πB.1003πC.100πD.400π8．当点P 在圆x 2+y 2=1上变动时，它与定点Q(-3,0)的连线PQ 的中点的轨迹方程是 （ ） A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1C.(2x-3)2+4y 2=1D.(2x+3)2+4y 2=19．已知直角三角形ABC ，其三边分为,,a b c ，（a b c <<）.分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321,,S S S 和321,,V V V ，则它们的关系为 （ ） A.123S S S <<， 123V V V << B.123S S S >>， 123V V V >> C.123S S S <<， 123V V V >> D.123S S S >>， 123V V V <<10.已知在矩形中，，沿直线BD 将△ABD 折成，使得点在平面上的射影在内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则（ ）A ．B ．C ．D ．非选择题部分二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.） 11．面数最少的棱台为_____棱台;共有_____个面围成．12．已知点(3,1)A 关于点(1,3)B 的对称点C 的坐标为_____;直线AB 的方程是_____. 13．已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PA PB =，则点P 的轨迹方程是_____;如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹方程是_____.。

2019-2020学年浙东北联盟（ZDB ）2018级高二上学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★一．选择题（共10小题）1.椭圆22143x y +=的焦点坐标为（ ）A. （﹣1,0）,（1,0）B. ())C. （0,﹣1）,（0,1）D. ((00-，，【答案】A 【解析】 【分析】判断焦点在x 轴上,再求出c 即可．【详解】由椭圆方程知焦点在x 轴,1c ==,焦点坐标为(1,0),(1,0)-． 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆的几何性质,由椭圆标准方程确定焦点坐标,可由变量,x y 下面的分母的大小确定焦点所在的轴,然后计算c 可得焦点坐标． 2.圆O ：（x ﹣1）2+y 2=1和直线l ：x ﹣y +1=0的位置关系是( ) A. 相交 B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】由圆心O 到直线l 的距离与半径比较,即可得到结论．【详解】圆O ：（x ﹣1）2+y 2＝1,圆心坐标为O （1,0）,半径为1r =．∴圆心O 到直线x ﹣y +1＝0的距离为：1d r ===>=,∴直线与圆相离． 故选：C ．3.如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,直线D 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ）A.3 B.22C.3 D.6 【答案】D 【解析】 【分析】先作出并证明直线与平面所成的角,然后计算【详解】∵11D C ⊥平面11BB C C ,∴11D BC ∠是直线D 1B 与平面BB 1C 1C 所成角, 设正方体棱长为a ,在11Rt BD C ∆中,12BC a =,1BD 3a =,111126cos 3BC D BC BD ∠===． 故选：D ．4.某几何体的三视图如图,则它的体积是（ ）A. 6B. 4+πC. 2+2πD. 2+π【答案】D 【解析】 【分析】由三视图还原出原几何体,它是一个长方体半个圆柱的组合体,再计算体积．。

2018-2019学年浙江省湖州市长兴县、安吉县、德清县高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=1B．（x+1）2+（y+1）2=1C．（x﹣1）2+（y+1）2=2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=22．命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（）A．如果x＜a2+b2，那么x＜2abB．如果x≥2ab，那么x≥a2+b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2+b2D．如果x≥a2+b2，那么x＜2ab3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．5．方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是（）A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，则异面直线AC1与EF所成角的正切值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0＜λ＜2），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．8．已知点F1，F2分别是双曲线，的左、右焦点，O为坐标原点，点M在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OM|，△MF1F2的面积为4a2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．9．椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]10．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知两直线l1：（m﹣1）x﹣6y﹣2=0，l2：mx+y+1=0，若l1⊥l2，则m=；若l1∥l2，则m=．12．双曲线的一条渐近线为x﹣2y=0，则m=，该双曲线的焦距是．13．正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是，点A到侧面PBC的距离是．14．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的侧视图面积为cm2，此几何体的体积为cm3．15．过直线上点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则使∠AOB最小的点P坐标是．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为．17．在三棱锥ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，则三棱锥ABCD 体积的最大值是．三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知命题p：实数m满足：方程表示双曲线；命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点．（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1．20．已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在直线l：y=2x﹣4上的圆C的半径为1．（Ⅰ）若圆C与x轴交于A，B两点，且∠ACB=120°，求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线m，使其被圆C的截得的弦长总为，若存在，求出直线m方程．若不存在，请说明理由．21．如图，在几何体ABCDE中，△AED为等边三角形，AB∥CD，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=AB=2，BE=3．（Ⅰ）求证：AD⊥BE（Ⅱ）求直线BE与平面AED所成的角的大小．22．已知椭圆过点，且它的离心率．直线l：y=kx+t 与椭圆C1交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值；（Ⅲ）若直线l与圆相切，椭圆上一点P满足，求实数m的取值范围．2018-2019学年浙江省湖州市长兴县、安吉县、德清县高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=1B．（x+1）2+（y+1）2=1C．（x﹣1）2+（y+1）2=2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【分析】已知圆心，先求出圆的半径，可得圆的方程．【解答】解：圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的半径为=，故圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=2，故选：C．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，关键是确定半径，属于基础题．2．命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（）A．如果x＜a2+b2，那么x＜2abB．如果x≥2ab，那么x≥a2+b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2+b2D．如果x≥a2+b2，那么x＜2ab【分析】根据命题的逆否命题的概念，即是逆命题的否命题，也是逆命题的否命题；写出逆命题，再求其否命题即可．【解答】解：命题的逆命题是：如果x≥2ab，那么x≥a2+b2∴逆否命题是：如果x＜2ab，那么x＜a2+b2，故选：C．【点评】本题主要考查四种命题间的关系．如图3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．4．将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】求出圆锥的底面半径、高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=，∴r=，∴圆锥的高为=，∴圆锥的体积V=•π••=，故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积，考查学生的计算能力，正确求出圆锥的底面半径、高是关键．5．方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是（）A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线【分析】由已知的方程得到2x+3y﹣1=0或．然后在满足根式有意义的前提下化简．从而得到方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线．【解答】解：由（2x+3y﹣1）（﹣1）=0，得2x+3y﹣1=0或．即2x+3y﹣1=0（x≥3）为一条射线，或x=4为一条直线．∴方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选：D．【点评】本题考查了曲线与方程，关键是对含有根式方程的化简，是中档题．6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，则异面直线AC1与EF所成角的正切值为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】推导出EF∥AD，从而∠DAC1是异面直线AC1与EF所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC1与EF所成角的正切值．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，∴EF∥AD，∴∠DAC1是异面直线AC1与EF所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，则DC1=，AD=a，∴tan∠DAC1===．∴异面直线AC1与EF所成角的正切值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0＜λ＜2），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G到平面D1EF的距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则G（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），=（﹣2，0，1），=（0，2，0），=（0，λ，1），设平面D1EF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，2），∴点G到平面D1EF的距离为：d===．故选：D．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8．已知点F1，F2分别是双曲线，的左、右焦点，O为坐标原点，点M在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OM|，△MF1F2的面积为4a2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由直角三角形的判定定理可得△MF1F2为直角三角形，且MF1⊥MF2，运用双曲线的定义，可得|MF1|﹣|MF2|=2a，结合三角形的面积，可得双曲线的离心率．【解答】解：由|F1F2|=2|OM|，可得|OM|=c，即有△MF1F2为直角三角形，且MF1⊥MF2，∵△MF1F2的面积为4a2，∴|MF1|•|MF2|=8a2，∵|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4c2，∴（|MF1|﹣|MF2|）2=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1|•|MF2|，由双曲线定义可得|MF1|﹣|MF2|=2a，∴16a2=4c2﹣4a2，∴双曲线C的离心率为：故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质，考查运算能力，属于中档题．9．椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣3，0）、A2（3，0），设点P（m，n）（m≠±3），则…①，=，=；则•=•=．将①式代入得•=．∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈[]．故选：B．【点评】本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于基本知识的考查．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．【分析】等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE．由线面垂直的判定与性质，证出PB⊥面AEF，，利用三角函数知识，即可得出答案．得PB⊥EF．在Rt△AEF中，算出AF、EF，可得S△AEF【解答】解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2，∵AE⊥PB，∴AE=PB=，∴PE=BE=．∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC∵PB⊂平面PBC，∴AF⊥PB∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，结合EF⊂平面AEF，可得PB⊥EF．∵AF⊥平面PBC，EF⊂平面PBC．∴AF⊥EF．∴Rt△AEF中，AF=cosnα，EF=sinα=AF•EF=×sinα×cosα=sin2α∴S△AEF有最大值为，∴当sin2α=1，即α=45°时，S△AEF此时，三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为×=．故选：C．【点评】本题着重考查了线面垂直的判定与性质、解直角三角形等知识点，属于中档题．同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，是一道综合性较强的题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知两直线l1：（m﹣1）x﹣6y﹣2=0，l2：mx+y+1=0，若l1⊥l2，则m=3或﹣2；若l1∥l2，则m=．【分析】利用斜率与直线相互垂直及其平行的关系即可得出．【解答】解：由m（m﹣1）﹣6=0，解得m=3或﹣2．此时满足l1⊥l2．由m﹣1+6m=0，解得m=，经过验证满足l1∥l2．故答案为：m=3或﹣2，．【点评】本题考查了斜率与直线相互垂直及其平行的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．双曲线的一条渐近线为x﹣2y=0，则m=4，该双曲线的焦距是．【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求解m即可，然后求解双曲线的焦距．【解答】解：双曲线的一条渐近线为x﹣2y=0，可得=，解得m=4，所以双曲线的焦距为2c=2．故答案为：4；2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．13．正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是2，点A到侧面PBC的距离是．【分析】作PO⊥底面ABC，交面ABC于点O，连线路AO并延长并AC于点D，取AB中点E，连结PE，CE，则点O在CE上，PE⊥AB，CE⊥AB，∠PEO是二面角P﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣C的正切值；在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．【解答】解：作PO⊥底面ABC，交面ABC于点O，连线路AO并延长并AC于点D，取AB中点E，连结PE，CE，则点O在CE上，PE⊥AB，CE⊥AB，∴∠PEO是二面角P﹣AB﹣C的平面角，∵正三棱锥P﹣ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，∴PO=2，∠PBO=45°，∠POB=90°，∴BO=CO=2，EO=1，∴二面角P﹣AB﹣C的正切值tan∠PEO==2，又BD=3，PB==2，设CD=x，则BC=2x，由勾股定理得4x2﹣x2=9，解得x=，∴BC=2，∴S△ABC==3．∵PD==，∴S△PAC==．∵V P﹣ABC =V A﹣PBC，设点A到面PBC的距离为h，∴=，解得h=．∴点A到面PBC的距离为．故答案为：2，．【点评】本题考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．14．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的侧视图面积为4cm2，此几何体的体积为8cm3．【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是以正视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：几何体的侧视图是直角三角形，直角边长为4，2，面积为×4×2=4由已知中的三视图可知：该几何体是以正视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（2+4）×4=12，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==8，故答案为：4，8．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．15．过直线上点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则使∠AOB最小的点P坐标是．【分析】首先把∠AOB最小的问题转化为三角函数的最值问题，进一步转化为点到直线的距离最短问题，然后得解．【解答】解：法1：如图可知，cosα==，∴当OP与直线垂直时，OP最小，cosα最大，α最小，从而∠AOB最小，此时直线OP的方程为：y=x，与直线x+y﹣2=0联立，解得P点坐标为（，），法2：如图可知sinθ==，∴当OP与直线垂直时，OP最小，θ最大，进而∠APB最大，又∠APB与∠AOB互补，从而∠AOB最小．此时直线OP的方程为：y=x，与直线x+y﹣2=0联立，解得P点坐标为（，）．【点评】此题考查了角的最值向线段的最值转化的过程，应该属于容易题．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为．【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），利用定义可得：m+n=2a，m﹣n=2a1，解出m，n．利用余弦定理可得关于e1，e2的等式，再由基本不等式求得当e1e2取最小值．【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．则m+n=2a，m﹣n=2a1，∴m=a+a1，n=a﹣a1．cos==，化为：（a+a1）2+（a﹣a1）2﹣4c2=（a+a1）（a﹣a1）．∴a2+3a12﹣4c2=0，∴+=4，∴4≥2，则≤，即e1e2≥，当且仅当e1=，e2=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．在三棱锥ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，则三棱锥ABCD 体积的最大值是3．【分析】过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，则V=S△BCE ×AD，进而可分析出当BE取最大值时，EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值，利用椭圆的几何意义及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．【解答】解：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，如图所示：∵BC=2，AD=6，×（AE+DE）则三棱锥D﹣ABC体积V=S△BCE=S△BCE×AD=וBC•EF×AD=2EF．故EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值．即BE取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值．在△ABD中，动点B到A，D两点的距离和为7，故B在以AD为焦点的椭圆上，此时a=，c=3，故BE的最大值为b==，此时EF=．故三棱锥D一ABC的体积的最大值是2EF=2×．故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，其中将求棱锥体积的最大值，转化为求椭圆上动点到长轴的距离最远是解答的关键，是中档题．三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知命题p：实数m满足：方程表示双曲线；命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据椭圆的定义得到关于m的不等式，解出即可；（2）关于双曲线的定义解出关于p的不等式，结合充分必要条件的定义得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）因为命题q为真命题，∴2﹣m＞m﹣1＞0，∴1＜m＜；（2）方程表示双曲线；则（m﹣3a）（m﹣4a）＜0，（a＞0），解得：3a＜m＜4a，∵p是q的充分不必要条件，∴，解得：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查椭圆、双曲线的定义，是一道基础题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点．（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1．【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C 中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面AB1C，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；【点评】本题考查了直三棱柱的性质，求证线面平行、面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，属于中档题．20．已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在直线l：y=2x﹣4上的圆C的半径为1．（Ⅰ）若圆C与x轴交于A，B两点，且∠ACB=120°，求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线m，使其被圆C的截得的弦长总为，若存在，求出直线m方程．若不存在，请说明理由．【分析】利用由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可顺利求解．【解答】解：（1）设圆心C（p，2p﹣4），圆C与x轴交于A、B两点，则∠ACB=120°，且由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得∴圆心到x轴的距离为，∴|2p﹣4|=，∴p=或∴圆心C的坐标为（，），或（，﹣）∴圆C的方程为或．（2）∵弦长总为，半径为1，∴由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得圆心C到直线m的距离总为，即直线m与l平行且距离为，设直线m的方程为：2x﹣y+n=0，则=，解得n=﹣4±∴存在直线m，其方程为或．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系中的重点内容，即由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形，并综合考查了圆的方程和直线方程的求法，属中档题．21．如图，在几何体ABCDE中，△AED为等边三角形，AB∥CD，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=AB=2，BE=3．（Ⅰ）求证：AD⊥BE（Ⅱ）求直线BE与平面AED所成的角的大小．【分析】（Ⅰ）取AD中点H，连结EH，BH．证明AD⊥EH，AD⊥BH，推出AD⊥平面BEH，即可证明AD⊥BE．（Ⅱ）说明∠BEH为直线BE与平面AED所成的角，通过在△BHE中，转化求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点H，连结EH，BH．∵△AED为等边三角形，∴AD⊥EH，又∵AD=AB=2，∠BAD=60°，∴AD⊥BH∴AD⊥平面BEH，∴AD⊥BE．………………………………（7分）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面BEH，∴平面ADE⊥平面BEH，且平面ADE∩平面BEH=EH，∴点B在平面ADE的投影在直线BE上∴∠BEH为直线BE与平面AED所成的角，………………………（11分）∵在等边△AED中AD=2，可得又AB=2，AH=1，∠BAH=60°可得，又BE=3．在△BHE中，，∴∠BEH=30°．…………………………………【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查计算能力以及空间想象能力．22．已知椭圆过点，且它的离心率．直线l：y=kx+t 与椭圆C1交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值；（Ⅲ）若直线l与圆相切，椭圆上一点P满足，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，利用已知条件求解a，b即可得到椭圆方程．（Ⅱ）由，得，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理推出结果即可．（Ⅲ）结合直线与圆的位置关系，通过向量的关系，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为由题知：∵过点，∴①又离心率，∴②，由①②解得a2=8，b2=6．∴椭圆标准方程为…………………………………（Ⅱ）由，得，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴…………………………………（7分）则为定值．…………（9分）（Ⅲ）因为直线l：y=kx+t与圆（x+1）2+y2=1相切，所以……………………………（11分）把y=kx+t代入并整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣24=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，因为，，所以，又因为点P在椭圆上，所以，…………………………（13分）．因为t2＞0所以，所以0＜m2＜2，所以m的取值范围为．…………………………【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。