浙江省浙东北联盟(ZDB)2019-2020高一下学期期中数学试题(wd无答案)

2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在等比数列中，若，，则的值为（）A. B. ___________________________________ C.D.2. 在中，已知，则等于（）A． B. _________________________________ C.D.3. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则实数的值是（）A. _______________________B. ____________________________C.或____________________________ D. 或4. 在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（）A. ________________________B. ______________________C.______________________ D.5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A．____________________ B. ______________ C.___________ D.6. 若，则一定有（）A. _________________________________B.____________________________ C．______________________________ D.7. 直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（）A. ___________________________________B._________________________________ C. ______________________________ D.8. 已知是上的奇函数,数列满足,则数列的通项公式为（）A. ________________________B. ________________________C.________________________ D.二、填空题9. 已知直线，直线；若直线的倾斜角为，则______________ ，若，则______________ .10. 若规定，则______________ ，不等式的解集为______________ .11. 已知数列是等比数列，是其前项的和，若，，则___________ ，______________ .12. 在中，内角的对边分别为，已知， ,，则______________ ，边______________ .13. 若是等差数列的前项和，且，则______________ .14. 在中，内角的对边分别为，已知，则角______________ .15. 设数列满足：，则的前项的和为______________ .三、解答题16. 已知直线 .（Ⅰ ）证明：直线过定点；（Ⅱ ）若直线与直线平行，求的值并求此时两直线间的距离.17. 在中内角的对边分别为，已知．（Ⅰ ）求角的大小；（Ⅱ ）求的取值范围．18. 已知等差数列的前项和为，，，是递减的等比数列，且， .（Ⅰ ）求，；（Ⅱ ）求数列的前项和 .19. 已知不等式 .（Ⅰ ）若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ ）若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.20. 已知数列的前项和为，且，数列满足.（Ⅰ ）求数列、的通项公式；（Ⅱ ）数列满足，记，求使恒成立的实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

浙东北联盟（ZDB ）2020-2021学年第二学期期中考试高一数学试卷总分150分 考试时间120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，复数2)i 1(-等于 A.i 22+B.i 22-C.i 2D.i 2-2.如图，在ABC ∆中，4,25BC AB AC ===，若ABC ∆的水平放置直观图为'''A B C ∆ ，则'''A B C ∆的面积为A.2B.22C.32D.423.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长为 A.1 B.32C.2D.4 4.已知向量(4,2)a =，(0,5)b =，则向量b 在向量a 上的投影向量为 A.(2,1) B.(2,1)-- C.2010(,)99D ．(6,3) 5.已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若222sin sin sin 2sin sin 0A B C B C --+=，则角A 的大小为 A.4π B.3π C.2π D.34π 6.已知复数z 的共轭复数是z ，满足(13i)2z +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为第2题图A.3i 2-B.3i 2C.32-D.327.在平行四边形ABCD 中，点E 在线段DC 上，且2=DE EC ，BE 与AC 的交点为F ，则向量DF 等于 A.1233DC DA - B.2133DC DA + C.3255DC DA + D.2355DC DA -8.如图，在四边形ABCD 中，3,23BC CD DA ===，0CB CD ⋅=，6CD DA ⋅=，,E F 分别为边,BC CD 上的动点，且2EF =，则AE AF ⋅的最小值为A.4B.5C.24D.25第8题图二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.在复平面内有一个平行四边形OABC ，点O 为坐标原点，点A 对应的复数为11i z =+，点B 对应的复数为212i z =+，点C 对应的复数为3z ，则下列结论正确的是 A.点C 位于第二象限 B.132z z z += C.13z z AC -= D.132z z z ⋅= 10.已知向量(1,1)a =-，(2,)b λ=，则下列叙述不正确．．．的是 A.若a 与b 的夹角为锐角，则2λ> B.若a 与b 共线，则2λ=C.若2λ=，则a 与b 垂直D.若2λ<，则a 与b 的夹角为钝角11.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若3a =，且sin sin()2sin 20A B C C +--=，则边c 的大小可能是A.1B.2C.3D.412.已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是 A.该多面体的体积为823B.该多面体的外接球的表面积为8πC.该多面体的内切球的体积为86π D.该多面体的表面积为8第12题图三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则这个圆柱的体积为 ． 14.复数43i +与2i -分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为 ． 15.在ABC ∆中，5AB =，12AC =，5cos 13ABC ∠=，12cos 13ACB ∠=，则BC 的值为 ．16.已知,a b 是两个平面向量，22b =，且对任意t R ∈，恒有b ta b a -≥-，则a b a -+的最大值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题10分）已知向量(2,2)a =，2b =，且(2)8a b b +⋅=．（1）设向量a 与b 的夹角为θ，求θ的值； （2）若()()a kb b a +⊥-，求实数k 的值．18.（本题12分）已知复数12i z c =+，复数21i z d =+，其中i 是虚数单位，,c d R ∈． （1）若2c =，1d =，求122z z -的值；（2）若2212z z =，求22c d +的值．19.（本题12分）如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，15,5,4AD AB AA ===，1DG BE ==，2CF =．（1）求平面四边形AEFG 的面积； （2）求几何体ABCDEFG 的体积．第19题图20.（本题12分）如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为ABC ∆），现修成草坪，图中MN 把草坪分成面积相等的两部分，点M 在AB 上，点N 在AC 上． （1）若75AM =米，求AN 长；（2）如果MN 是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN 最短，请确定点,M N 的位置，并求MN 的最小值．第20题图21.（本题12分）如图，在ABC ∆中，已知4,5==AC AB 且，16=⋅AC AB ，02=+DB DC ，EB AE =.（1）求AC AD ⋅；（2）设AD 与CE 交于点F ，求DFE ∠的余弦值大小.第21题图22.（本题12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知2sin cos sin A B C =，且边BC 上的中线长为4． （1）证明：A B =；（2）求ABC ∆面积的最大值．浙东北联盟（ZDB ）2020-2021学年第二学期期中考试高一数学答案一、选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.D7.C8.C9.BC 10.BD 11.ABD 12.AB二、填空题（每小题5分，共20分）13．2π 14．24i + 15．13 16．4 三、解答题（共70分）17.（本题10分）已知向量(2,2)a =，2b =，且(2)8a b b +⋅=． （1）设向量a 与b 的夹角为θ，求θ的值； （2）若()()a kb b a +⊥-，求实数k 的值． 解：（1）(2)8a b b +⋅=，228a b b ∴⋅+=，又2b =，2a b ∴⋅=，(2,2)a =，2a ∴=，1cos 2a b a bθ⋅∴==，[0,]θπ∈，3πθ∴=. .........5分 （2）()()a kb b a +⊥-，()()0a kb b a ∴+⋅-=，22(1)0a kb k a b ∴-++-⋅=，1k ∴=. .........10分18.（本题12分）已知复数12i z c =+，复数21i z d =+，其中i 是虚数单位，,c d R ∈． （1）若2c =，1d =，求122z z -的值；（2）若2212z z =，求22c d +的值． 解：（1）1222,1z i z i =+=+，12233z z i ∴-=+，12232z z ∴-=.........6分（2）2212z z =，22(4)4(1)2c ci d di ∴-+=-+224142c d c d⎧-=-∴⎨=⎩，225c d ∴+=. .........12分19.（本题12分）如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，15,5,4AD AB AA ===，1DG BE ==，2CF =．（1）求平面四边形AEFG 的面积； （2）求几何体ABCDEFG 的体积．第19题图解：（1）由已知得四边形AEFG 是菱形，边长为26， 52EG =,36AF =, 所以四边形AEFG 的面积11S=5236=15322AF EG ⋅=⨯⨯. .........6分（2）连接,AC AF ,则=+A CDGF A BCFE V V V --11=+33CDGF BCFE S AD S AB ⋅⋅四边形四边形 由已知得115(12)522CDGF BCFE S S ==⨯+⨯=四边形四边形,5AD AB ==,所以1115=52=2532V ⨯⨯⨯. .........12分20.（本题12分）如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为ABC ∆），现修成草坪，图中MN 把草坪分成面积相等的两部分，点M 在AB 上，点N 在AC 上． （1）若75AM =米，求AN 长；（2）如果MN 是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN 最短，请确定点,M N 的位置，并求MN 的最小值．第20题图解：（1）12AMN ABC S S ∆∆=，5000AM AN ∴⋅=，75AM =，5000200753AN ∴==米 .........6分 （2）在AMN ∆中，由余弦定理得：2222MN AM AN AM AN COS MAN =+-⋅⋅∠，即22225000MN AM AN AM AN AM AN AM AN AM AN =+-⋅≥⋅-⋅=⋅=， 当且仅当502AM AN ==米时，MN 的最小值为502米. .........12分 21.（本题12分）如图，在ABC ∆中，已知4,5==AC AB 且，16=⋅AC AB ，02=+DB DC ，EB AE =.（1）求AC AD ⋅；（2）设AD 与CE 交于点F ，求DFE ∠的余弦值大小.解：（1）因为AC AB CB -=， 所以AC AC AC AB AC AC AB AC CB ⋅-⋅=⋅-=⋅)(01616=-所以⊥因为2=+，所以CB AC CD AC AD 31+=+=所以1631)31(22==⋅+=⋅+=⋅AC AC CB AC AC CB AC AC AD . .........5分（2）因为=，所以2121+=，而31+-=所以)31(2121(+-⋅+=⋅）213612122-=+-=所以8517131725213cos -=⋅-=⋅=∠AD CE DFE ． .........12分 22.（本题12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知2sin cos sin A B C =，且边BC 上的中线长为4． (1)证明：A B =；(2)求ABC ∆面积的最大值． 证明：（1） A B C ++=π，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B ∴=+=+, 2sin cos =sin cos cos sin A B A B A B ∴+,sin()=0A B ∴-,又(0,)A B ∈，π，所以A B =. .........5分 (2)由(1) 得A B =，所以2cos c a A =，及2216()2cos 22a ac c A =+-⋅，解得226418cos a A=+．所以ABC ∆的面积22164sin cos sin 2sin 9cos A AS ac A A A==+，由基本不等式得323S ≤，当且仅当sin 3cos A A =时，等号成立． 所以ABC ∆面积的最大值为323． .........12分 本题方法较多，其它方法同步给分。

浙江省宁波市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一下·和平期末) 若事件A与B是互为对立事件，且P(A)=0.4，则P(B)=（）A . 0B . 0.4C . 0.6D . 12. （2分） (2019高二下·宁德期末) 某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·乌兰察布期末) 若cosθ＜0，且tanθ= ，那么θ 是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角4. （2分）要从已编号（1～50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射的试验，用选取的豪迈间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（）A . 5，10，15，20，25B . 3，13，23，33，43C . 1，2，3，4，5D . 2，4，8，16，325. （2分） (2017高二下·淄川期中) 张家的3个鸡仔钻进了李家装有3个鸡仔的鸡笼里，现打开笼门，让鸡仔一个一个地走出来，若第一个走出来的是张家的鸡仔，那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一上·南开期末) 与α= +2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A . 345°B . 375°C . ﹣πD . π7. （2分）以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为（）A . 5，2B . 5，5C . 8，5D . 8，88. （2分） (2017高二上·荆门期末) 已知等边△ABC的边长为2 ，动点P、M满足| |=1，，则| |2的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分）直线：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是（）．A . 相切B . 相离C . 直线过圆心D . 相交但直线不过圆心10. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)11. （1分） (2016高一下·姜堰期中) 圆（x﹣1）2+y2=9的半径为________．12. （1分）(2017·湖南模拟) 若a和b是计算机在区间（0，3）上产生的随机数，那么函数f（x）=lg（ax2+4x+4b）的值域为R的概率为________．13. （3分） (2017高一下·宿州期末) 为响应国家治理环境污染的号召，增强学生的环保意识，宿州市某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了l00学生的成绩进行统计，成绩频率分布直方图如图所示．估计这次测试中成绩的众数为________；平均数为________；中位数为________．（各组平均数取中值计算，保留整数）14. （1分）(2017·扬州模拟) 在区间（0，5）内任取一个实数m，则满足3＜m＜4的概率为________．三、解答题 (共4题；共30分)15. （15分）(2017·吕梁模拟) 某校某次N名学生的学科能力测评成绩（满分120分）的频率分布直方图如下，已知分数在100﹣110的学生数有21人（1）求总人数N和分数在110﹣115分的人数n．；（2）现准备从分数在110﹣115的n名学生（女生占）中选3位分配给A老师进行指导，设随机变量ξ表示选出的3位学生中女生的人数，求ξ的分布列与数学期望Eξ；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析，该生7次考试成绩如表数学（x）888311792108100112物理（y）949110896104101106已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程 = x+ ．若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = ，．16. （5分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率．17. （5分）一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的左岸．只有一条小船和两个小孩，这条船只能承载两个小孩或一个士兵．试设计一个算法，将这队士兵渡到对岸，并将这个算法用程序框图表示．18. （5分） (2016高二上·唐山期中) 已知圆心在y轴上的圆C经过点A（1，2）和点B（0，3）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l在两坐标轴上的截距相等，且被圆C截得的弦长为，求l的方程．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共30分) 15-1、15-2、15-3、16-1、17-1、18-1、。

浙东北联盟（ZDB ）四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷总分150分 考试时间120分钟选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（ ）A B. C. D. 2. 设l ，m ，n 是不同的直线，m ，n 在平面内，则“且”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知一个正方体外接球的体积为，则这个正方体的体积为（ ）A 3 B. C. D. 84.，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，点E ，F ，G ，H 分别是棱，，，的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为（ ）A. B.C. D. 6. 若两个非零向量与满足，则向量与夹角为（ ）A. B. C. D. .的.的()5,12a = a 512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭512,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭125,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭512,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭αl m ⊥l n ⊥l α⊥92π2783a b ⋅=- b a a -r 13a b - 13b r 1111ABCD A B C D -11B C 1C C 1B B AB π6π4π3π2a b 2a b a b b +=-= a b + a b - π6π32π35π67. 已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）A. B. C. D. 8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B ，A ，D 三点共线，设点P 是内的任意一点，则的最小值为（ ）A 5 B. C.D. 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（ ）A. B. C. D. 10. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（ ）A. 0B.C.D. 11. 如图，正方体的棱长为2，是线段的中点，是线段的中点，是线段上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）.1r 2r 213r r =13π920π926π926π323π23πABC V ADE V 4AB =2AE =ACE △PA PC PE ++{}12e e ，{}1212ee e e +-，{}1221e e e e -- ，{}21122364e e e e -- ，1212133e e e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ ，ABC V π4A =b =ABC Vc a -4-321111ABCD A B C D -E 11B C F 1CC P 1A DA.B. 可能是直角C. 三棱锥的体积为定值D. 的周长的最小值为非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 水平放置的斜二测直观图为，已知，，则的面积为______.13. 已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为______.14. 已知向量，，满足，，，，则的取值范围为______.四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知向量，，.（1）求满足的实数x ，y 的值；（2）若，求实数x 的值.16. 如图，在直三棱柱中，，、分别是BC 、的中点，.（1）证明：平面；1C P 1B PC ∠A PEF -PEF !ABC V A B C '''V 2A B B C ''''==60A B C '''∠=︒ABC V a b c 4a = 2b = ,3a b π= ()()20a c b c -⋅-= a c ⋅ (),1a x = ()2,3b =-r ()6,1c =- 2c a yb =+ ()4//a c b + 111ABC A B C -12AA AB AC ===M N 1CC 1AB MN ⊥MN ⊥1AB M（2）求点到平面的距离.17. 某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，.（1）求的值；（2）若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C 为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）18. 如图在直角梯形中，，，点E 为CD 的中点，以A 为圆心AD 为半径作圆交AB 于点G ，点P 为劣弧DG （包含D ，G 两点）上的一点，AC 与劣弧、BE 分别交于点F ，H .（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量，求实数x ，y 的值；（3）若向量与的夹角为，求的最小值.19. 如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点E 为AD中点，1C 1AB M 100AB AD ==160BC =2120BAD BCD ∠∠==︒cos BDC ∠,E F ,BC CD 80CE =60CF =I CF FG BCD △CEIF ECI ∠θ=CEIF θABCD 2BC AD =2BC CD ==AF BE αBH xBD y AC =+ BP CP βcos βP ABCD -ABCD PA PD ⊥44AD AB ==2PA=PC =（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）点F 为对角线AC 上的点，且，垂足为G ，求FG 与平面ABCD 所成的最大角的正弦值.PAD ⊥ABCD B PC E --FG PB ⊥浙东北联盟（ZDB）四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ACD非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1），（2）【16题答案】【答案】（1）证明略；（2【17题答案】【答案】（1）（2），其中为锐角且，最大值为【18题答案】【答案】（1（2）， （3）0【19题答案】【答案】（1）证明略（2） []420，2x =1y =-2x =-35()S θϕ=+ϕtan ϕ=23x =415y =58（3。

浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）1 设集合，，则（）A. {3}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {0,1,3}【答案解析】 A【分析】根据集合交集的定义，即可求出答案.【详解】因为，所以故选：A.2 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】根据对数函数的真数大于0,即可解出其定义域.【详解】故选:D.3 下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案解析】 D【分析】根据初等函数的性质，分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同，对每个选项逐一判断即可.【详解】对于A，函数，所以两个函数的对应法则不相同，故A错误；对于B，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故B错误；对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故C错误；对于D，函数的定义域为，的定义域为，，两个函数的定义域和对应法则相同，故选D．4 已知，，，则（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】根据对数函数的单调性，可知道、，有指数函数的单调性知道，即可选出答案.【详解】因为为增函数，所以.因为增函数，所以.因为为增函数，所以.所以.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数与对数函数的单调性比较大小，属于基础题.解此类题型一般都只需将所给数与0或1比较大小，即可得出结论.5 函数的图像为（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】根据函数的定义域为可排除B、D.再由单调性即可选出答案.【详解】当时，，故排除B、D.当时，，故A正确.故选：A.6 若函数的定义域为[－2,4]，则的定义域是（）A. [－1,1]B. [－5,13]C. [－5,1]D. [－1,13]【答案解析】 B【分析】根据函数中，即可得出，即可选出答案.【详解】因为函数的定义域为，即所以所以的定义域是故选:B.【点睛】本题考查隐函数的定义域，属于基础题.解本题的关键在于正确理解函数的定义域是的取值范围与同一个函数其括号里面的取值范围一样.7 函数的值域为（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】先求出，即可根据指数函数的性质求出的值域.【详解】令，则.，因为所以，所以故选:C.【点睛】本题考查简单复合函数的值域，属于基础题.解决本类问题的思路是先找到内层函数的取值范围，再由外层函数的单调性求出该函数的值域.8 设函数，若，则（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】根据，即可化简出，再代入,即可得出答案. 【详解】由题意知：.所以.故选:C.【点睛】本题考查函数对称点的函数值，属于基础题,解本类题只需将已知函数值代入，化简为所求函数值的形式，即可解出答案.9 已知，函数，若，则下列不等式不可能成立的是（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】由知函数为二次函数，且对称轴为,分别讨论开口方向，即可选出答案.【详解】因为.所以函数关于对称.即.选项中不等式不可能成立的，则只需找到与，都不能成立的选项.①若，则函数在上单调递减，在上单调递增. 又，故,A正确.因为，所以，又即，B正确.,即，D 错误.因为，故,C错误.②若，则函数在上单调递增，在上单调递减. 又，故,A错误.因为，所以，又即，B错误.又,即，D正确.因为，故,C错误.综上所述：不管还是，C都不可能成立.故选：C.【点睛】本题考查根据二次函数的对称性与单调性比较大小,属于中档题.解本题的关键在于找到二次函数的对称轴与开口方向.10 已知函数，，则方程的实根个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案解析】 C【分析】解,即解.再分与，分别找到函数与在区间、、上的单调性，则可找到方程的实数根的个数.【详解】1），,.①当时，.即在上有1个零点.②当时，，记，因为在上单调递增，在单调递增，所以在单调递增,又，，由零点存在定理知道在上有唯一零点.③当时，，记,,记，开口向下，且，即恒成立,即，即在上单调递减,又，即在上存在且有唯一零点.2），,.①当时，无解.即在上无零点.②当时，，记，因为在上单调递增，在单调递增，所以在单调递增,又，，由零点存在定理知道在上无零点.③当时，，记,,记，开口向下，且，即恒成立,即，即在上单调递减,又，即在上存在且有唯一零点.综上所述：方程的实根个数为4个.故选:C.【点睛】本题考查分段函数的零点个数,属于难题,解本题的关键在于将绝对值等式解开后，根据分段函数的性质，在各段上求出其零点个数，再加起来即为答案.11 用符号“”或“”填空：若，则4______ A，{2,6}______ A．【答案解析】 ;【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，即可写出答案.【详解】因为，所以，故答案为： ;12 已知幂函数的图像过点，则这个函数的解析式为___________，若，则a的值为___________．【答案解析】; 4【分析】设出幂函数，代入即可求出,即可求出解析式，再由，即可求出的值.【详解】设函数，则.所以.故答案为：(1). (2). 4.【点睛】本题考查幂函数，属于基础题.幂函数的考查方式相对于其他函数较为单一,只需掌握幂函数简单性质即可.13 已知全集，，，则集合为___________，集合B共有___________个子集．【答案解析】; 4【分析】根据集合的交集、补集定义，即可求出,则可求出其子集个数与.【详解】因为，，所以所以,集合的子集个数为个故答案为：; 4.14 设函数，则___________，不等式的解集是______．【答案解析】 1;【分析】先求出，即，即可得出答案. 要解不等式，只需按与分段解出后再求并集即可.【详解】因为，所以,即.①当时：.②当时：.综上所述：的解集为.故答案为： 1;.【点睛】本题考查分段函数的函数值,解分段函数的不等式,属于基础题.多重函数的求值，只需由内向外依次求出即可,涉及分段函数的等式或者不等式，只需分段解决即可.15 已知是定义在R上的增函数，那么a的取值范围是___________．【答案解析】【分析】根据分段函数在上单调递增，其在各段上单调递增，且界点左边的函数值小于等于右边的函数值，即可列出等式，解出即为答案.【详解】因为是定义在上的增函数.所以故答案为：.16 函数在区间内不单调，则k的取值范围是___________．【答案解析】【分析】根据函数在区间内不单调，可知道在区间内不单调，再由得单调性，即可列出不等式，解出即可.【详解】令，则，因为在区间内不单调，即在区间内不单调，又因为在单调递减,在上单调递增.所以解得故答案为：.【点睛】本题考查复合函数的单调性，绝对值函数的单调区间,属于基础题.解本类题型需正确理解题意，不单调即为既有单增区间也有单减区间.17 若已知函数，，用，表示，中的最小值，设函数，若有两个不同实根，则实数a的值为___________．【答案解析】或-1【分析】讨论函数的对称轴位置，而后再讨论其在的零点的个数，结合的图像，即可得出结论.【详解】函数的对称轴为，.1）若，即时：在上单调递增，即,在上单调递减，,只有一个根 .如图所示:2）若，即时： .①当时，，，,只有一个根 .如图所示:②当时，，，,有两个根、.如图所示:③当时，要使有两个一个根，则必使，解得.综上所述：或.故答案为：或-1.【点睛】本题考查根据函数的零点的个数，求参数的取值.属于难题.讨论过程比较抽象，可画出图像帮助我们分析.解本题还需正确理解取小函数的意义.18 已知集合，，．（1）求A∪B，；（2）若，求a的取值范围．【答案解析】（1），（2）试题分析：（1）集合的并集为两集合所有元素构成的集合，交集为两集合相同的元素构成的集合，A的补集为全集中除去集合A中的元素，剩余的元素构成的集合；（2）由可知两集合有相同的元素，从而得到集合边界值的大小关系，即关于的不等式，求解其范围试题解析：（1）（2）因为，，且所以的取值范围是考点：集合的交并补运算19 化简或求值：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【答案解析】（Ⅰ）1 （Ⅱ）（Ⅲ）2【分析】（Ⅰ）将根式化为指数形式,再利用指数的运算性质，化简得出答案.（Ⅱ）利用指数的运算性质化简，再求和即可得出答案.（Ⅲ）利用对数的运算性质化简，再求和即可得出答案.【详解】（Ⅰ）.（Ⅱ）原式.（Ⅲ）原式.【点睛】本题考查根式化指数式，指数、对数的运算，属于基础题.解本题需熟练掌握根式与指数式的互化，指数与对数的运算性质.20 已知函数．（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）试判断f(x)在区间(2,+∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（3）求函数f(x)在区间[－3,－1]上的最值．【答案解析】（1）非奇非偶函数.（2）增函数；证明见解析（3）见解析.【分析】（1）根据解析式，即可求出的定义域，其不关于原点对称,即可说明为非奇非偶函数.（2）利用单调性的定义：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.（3）由（2）知函数在区间上单调递减，即，，解出即可.【详解】解：（1）的定义域为,不关于原点对称所以函数为非奇非偶函数.（2）任取，且，则，因为，，，所以，所以，即函数在区间上是增函数.（3）函数在区间上单调递减，所以，.【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用函数单调性的定义证明单调性,函数在定区间上的值域.属于基础题.其中函数奇偶性的判断：①定义域关于原点对称;②为偶函数，为奇函数.证明函数的单调性步骤为：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.21 已知函数．（1）当，求函数f(x)的单调区间；（2）对于，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案解析】（1）单调减区间，无单调增区间；（2）【分析】（1）先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性，即可的出的单调减区间为，无单调增区间.（2）问题等价于当时，恒成立且恒成立，先解在上恒成立，利用参变分离化简即可求出.根据，函数开口向下,在上要恒大于0,只需，解出再与取交集即可.【详解】解：（1）因为，所以，定义域为,记，在上单调递增, 在上单调递减.所以在上单调递减，所以的单调减区间为，无单调增区间.（2）原问题等价于当时，恒成立且恒成立，恒成立即，因为，.【点睛】本题考查复合函数的单调区间与不等式恒成立问题,属于中档题.解本题需要注意的是：对于，不等式恒成立的等价命题是当时，恒成立且恒成立.其中的这个条件是非常容易忽的.在研究函数的性质时需牢记一点：定义域优先.22 已知函数在区间[－1,2]上是单调函数．（1）求实数m的所有取值组成的集合A；（2）试写出f(x)在区间[－1,2]上的最大值；（3）设，令，若对任意，总有，求a的取值范围．【答案解析】（1）（2）（3）【分析】（1）因为为开口向上的二次函数，故其在对称轴左边单调递减，对称轴右边单调递增. 函数在区间上是单调函数，等价于区间在对称轴的左边或者右边.列出不等式解出即可.（2）讨论在上的单调性，分别求出其最大值,再写成分段函数的形式即可.（3）根据题意写出,对任意，总有等价于且，则分别讨论与的大小关系，找到其对应的与，代入即可解出答案.【详解】解：（1）对称轴.所以或.（2）①当，即时.函数上单调递增.所以.②当，即时.函数在上单调递减.所以.综上所述：.（3）.由题意得，，画出函数的图像：①当时，在单调递减.所以，.代入，解得，舍.②当时，在单调递减，在上单调递增.，.代入，解得，所以，③当时，在单调递减，在上单调递增.，.代入，化简得,解得或，所以.浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）④当时，在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，.代入，解得，所以，⑤当时，在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，.代入，解得，综上所述：.即 .【点睛】本题考查含参二次函数的单调性、在定区间上的最值，含绝对值的不等式恒成立问题.属于难题.解本题的关键在于能够正确画出函数的图像，根据图像确定参数的讨论标准.20。

2020-2021学年浙江省浙东北联盟（ZDB ）高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知i 为虚数单位，则(1−i)2的值等于( )A. 2−2iB. 2+2iC. −2iD. 2i2. 如图，在△ABC 中，BC =4，AB =AC =2√5，若△ABC 的水平放置直观图为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为( )A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√23. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长为( )A. 1B. 32C. 2D. 44. 已知向量a ⃗ =(4,2)，b ⃗ =(0,5)，则向量b ⃗ 在向量a⃗ 上的投影向量为( ) A. (2,1) B. (−2,−1)C. (209,109)D. (6,3)5. 已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若sin 2A −sin 2B −sin 2C +√2sinBsinC =0，则角A 的大小为( )A. π4B. π3C. π2D. 3π46. 已知复数z 的共轭复数是z −，满足z(1+√3i)=2(i 为虚数单位)，则z −的虚部为( )A. −√32i B. √32i C. −√32D. √327. 在平行四边形ABCD 中，点E 在线段DC 上，且2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE 与AC 的交点为F ，则向量DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23DA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 35DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25DA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 25DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −35DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 如图，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =DA =2√3，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点，且EF =2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 4B. 5C. 24D. 25二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在复平面内有一个平行四边形OABC ，点O 为坐标原点，点A 对应的复数为z 1=1+i ，点B 对应的复数为z 2=1+2i ，点C 对应的复数为z 3，则下列结论正确的是( )A. 点C 位于第二象限B. z 1+z 3=z 2C. |z 1−z 3|=|AC|D. z 1⋅z 3=z 210. 已知向量a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,λ)，则下列叙述不正确的是( )A. 若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则λ>2B. 若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则λ=2C. 若λ=2，则a ⃗ 与b ⃗ 垂直D. 若λ<2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角11. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a =√3，且sinA +sin(B −C)−2sin2C =0，则边c 的大小可能是( )A. 1B. 2C. √3D. 412. 已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是( )A. 该多面体的体积为8√23B. 该多面体的外接球的表面积为8πC. 该多面体的内切球的体积为8√627πD. 该多面体的表面积为8三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则此圆柱的体积为______ ． 14. 复数4+3i 与2−i 分别表示向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则表示向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的复数为______． 15. 在△ABC 中，AB =5，AC =12，cos∠ABC =513，cos∠ACB =1213，则BC 的值为______． 16. 已知a ⃗ ,b ⃗ 是两个平面向量，|b ⃗ |=2√2，且对任意t ∈R ，恒有|b ⃗ −t a ⃗ |≥|b ⃗ −a ⃗ |，则|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ |的最大值是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗=(√2,√2)，|b⃗ |=2，且(2a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =8．(1)设向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，求θ的值；(2)若(a⃗+k b⃗ )⊥(b⃗ −a⃗ )，求实数k的值．18.已知复数z1=c+2i，复数z2=1+di，其中i是虚数单位，c，d∈R．(1)若c=2，d=1，求|2z1−z2|的值；(2)若z12=z22，求c2+d2的值．19.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=5，AB=5，AA1=4，DG=BE=1，CF=2．(1)求平面四边形AEFG的面积；(2)求几何体ABCDEFG的体积．20. 如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地(记为△ABC)，现修成草坪，图中MN 把草坪分成面积相等的两部分，点M 在AB 上，点N 在AC 上． (1)若AM =75米，求AN 长；(2)如果MN 是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN 最短，请确定点M ，N 的位置，并求MN 的最小值．21. 如图，在△ABC 中，已知AB =5，AC =4且，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =16，2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)设AD 与CE 交于点F ，求∠DFE 的余弦值大小．22. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知2sinAcosB =sinC ，且边BC 上的中线长为4． (1)证明：A =B ； (2)求△ABC 面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：化简可得(1−i)2=1−2i+i2=−2i故选：C．由完全平方公式展开化简可得．本题考查复数的代数形式的运算，属基础题．2.【答案】B【解析】解：在△ABC中，BC=4，AB=AC=2√5，所以底边BC上的高为AO=√(2√5)2−22=4，所以△ABC的面积为S△ABC=12×4×4=8，所以△ABC水平放置的直观图△A′B′C′的面积为S△A′B′C′=√24S△ABC=√24×8=2√2．故选：B．求出△ABC的面积，利用平面图形水平放置的直观图面积与原图形的面积比为√24，计算即可．本题考查了平面图形水平放置的直观图面积与原图形的面积计算问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：圆锥的侧面展开图是个半圆，且半圆的半径是母线长l，半圆的弧长是πl，由圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形弧长，且圆锥的底面半径是r=1，所以2πr=πl，所以该圆锥的母线长为l=2r=2．故选：C．根据圆锥的侧面展开图是半圆，半圆的半径圆锥的母线长，半圆的弧长是圆锥底面的周长，由此求出结果．本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算问题，解题的关键是圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，是基础题．4.【答案】A【解析】解：向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(0,5)，则向量b⃗ 在向量a⃗上的投影为|b⃗ |cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |=√16+4=√5；所以向量b⃗ 在向量a⃗上的投影向量为√5√16+4×(4,2)=(2,1)．故选：A．根据平面向量的投影定义，结合向量的数量积，转化求解的投影和投影向量．本题考查了平面向量的投影和投影向量计算问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：因为sin2A−sin2B−sin2C+√2sinBsinC=0，由正弦定理得，a2−b2−c2+√2bc=0，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =√22，因为A∈(0,π)，所以A=π4．故选：A．由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos A，进而可求A．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：z(1+√3i)=2(i为虚数单位)，∴(1−√3i)z(1+√3i)=2(1−√3i)，化为：4z=2(1−√3i)，∴z=12−√32i，z−=12+√32i，则z −的虚部为√32，故选：D ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：如图所示，因为2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，所以EC AB =CF AF =23，所以CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以DF ⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=25DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +35DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：C ．由已知可得EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AB//CD ，则可得CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后利用三角形法则即可求解． 本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到平行线段成比例的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设EF 的中点为M ，连接CM ，∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即CE ⊥CF ，∴CM =1．可得M 的轨迹是以C 为圆心，以1为半径的一段圆弧， 连接AC ，AM ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+12=36， ∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6． AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14EF⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1=5， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥25−14×4=24，即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为24． 故选：C ．设EF 的中点为M ，连接CM ，可得CM =1，连接AC ，AM ，由已知求得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，再由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14EF⃗⃗⃗⃗⃗ 2及|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1=5，即可求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化、数形结合思想，考查灵活变形及运算求解能力，是中档题．9.【答案】BC【解析】解：如图，由题意，O(0,0)，A(1,1)，B(1,2)， ∵OABC 为平行四边形，则C(0,1)， ∴z 3=i ，点C 位于虚轴上，故A 错误； z 1+z 3=1+i +i =1+2i =z 2，故B 正确； |z 1−z 3|=|1+i −i|=1=|AC|，故C 正确； z 1z 3=(1+i)i =−1+i ≠z 2，故D 错误． 故选：BC ．由题意画出图形，求出C 的坐标，得到z 3，然后逐一分析四个选项得答案． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合思想，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：∵向量a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,λ)，若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0，即−2+λ>0，求得λ>2，故A 正确；若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则2−1=λ1，则λ=−2，故B 错误；若λ=2，∵a⃗⋅b⃗ =−2+λ=0，故a⃗与b⃗ 垂直，故C正确；若λ<2，则a⃗⋅b⃗ =−2+λ<0，则a⃗与b⃗ 的夹角为钝角或平角180°，故D错误，故选：BD．由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量的夹角，得出结论．本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的夹角，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：因为sinA+sin(B−C)−2sin2C=0，所以sin(B+C)+sin(B−C)−2sin2C=0，整理得2sinBcosC=4sinCcosC，所以C=90°或sinB=2sinC，当C=90°时，a=√3，c>√3，B，D符合题意；当sinB=2sinC，即b=2c时，对应A：c=1，b=2，a=√3构成直角三角形，符合题意；对应C：a=c=√3，b=2√3构不成三角形，不符合题意．故选：ABD．由已知结合三角形诱导公式及和差角公式进行化简，然后结合选项及三角形两边之和大于第三边分别检验各选项即可判断．本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形大边对大角，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：如图所示，该多面体是每个面都是正三角形的正八面体，其中四棱锥P−ABCD和四棱锥Q−ABCD都是正四棱锥，所以四边形ABCD是正方体，且PO⊥平面ABCD，V八面体=2V P−ABCD=2⋅13⋅S ABCD⋅PO=2⋅13⋅2⋅2⋅√22−(√2)2=8√23，故A 正确；连接AB ，CD ，PQ ，三条直线相交于点O ， 因为OA =OB =OC =OD =OP =OQ =√2，所以O 为正八面体的外接球球心，且外接球的半径为√2， 故S 外接球=4π⋅(√2)2=8π.故B 正确；正八面体内切球的半径即点O 到平面ABP 的距离，设为r ， 则V O−ABP =V P−AOB ⇔13⋅√34⋅22⋅r =13⋅12⋅(√2)2⋅√2，解得r =√63，故V 内切球=43π⋅(√63)3=8√627，故C 正确；S 八面体=8S △ABP =8⋅√34⋅22=8√3，故D 错误．故选：ABC ．根据条件，可知该几何体是每个面都是正三角形的正八面体，然后依次判断各个选项即可．本题考查几何体体积，外接球和内切球问题，考查的核心素养为直观想象和数学运算，属于难题．13.【答案】2π【解析】解：∵圆柱的轴截面是面积为4的正方形， ∴圆柱的底面半径为1，高为2． ∴圆柱的体积V =π×12×2=2π． 故答案为：2π．根据轴截面为正方形可知圆柱的底面半径为2，高为4． 本题考查了圆柱的结构特征，体积计算，属于基础题．14.【答案】2+4i【解析】解：∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ =4+3i ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−i ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4+3i)−(2−i)=2+4i ， 即表示向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的复数为2+4i ． 故答案为：2+4i ．由已知直接利用向量的减法运算求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量的减法运算，是基础题．15.【答案】13【解析】解：由题意得，c =5，b =12，cosB =513，cosC =1213， 所以sinB =1213，sinC =513，所以sinA =sin(B +C)=sinBcosC +sinCcosB =1213×1213+513×513=1， 所以A =π2，a =√b 2+c 2=13． 故答案为：13．由已知结合和差角及同角基本关系可求A =90°，然后结合勾股定理可求． 本题主要考查了同角基本关系及和差角公式，属于基础题．16.【答案】4【解析】解：∵对任意t ∈R ，恒有|b ⃗ −t a ⃗ |≥|b ⃗ −a ⃗ |，∴向量b ⃗ 的终点到向量a ⃗ 所在直线的距离最短．∴a ⃗ ⊥(b ⃗ −a ⃗ ).设|a ⃗ |=x ，|b ⃗ −a ⃗ |=y ，则x 2+y 2=(2√2)2=8，∴|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ |=x +y =√(x +y)2=√x 2+y 2+2xy =√8+2xy ≤√8+x 2+y 2=4，当且仅当“x =y ”时“=”成立．∴最大值为4． 故答案为：4．由向量加法几何意义和基本不等式可解决此题．本题考查向量加法几何意义、基本不等式、数形结合思想，考查数学运算能力及直观想象能力．17.【答案】解：(1)∵设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，∵向量a ⃗ =(√2,√2)，|b⃗ |=2， 且(2a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =8=2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2×2×2cosθ+4，∴cosθ=12，∴θ=π3． (2)若(a ⃗ +k b ⃗ )⊥(b ⃗ −a ⃗ )，则(a ⃗ +k b ⃗ )(b ⃗ −a ⃗ )=(1−k)a ⃗ ⋅b ⃗ −a ⃗ 2+k b ⃗ 2=(1−k)×2×2×cosπ3−4+4k=0，∴k=1．【解析】(1)由题意利用两个向量的数量积的定义，求得θ的值．(2)由题意利用两个向量垂直的性质，求得k的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)c=2，d=1时，2z1−z2=4+4i−(1+i)=3+3i，∴|2z1−z2|=√9+9=3√2．(2)∵z1=c+2i，复数z2=1+di，z12=z22，∴c2+4ci+4i2=1+2di+d2i2，即c2−4+4ci=1−d2+2di，∴{c2−4=1−d24c=2d，∴c2+d2=5．【解析】(1)c=2，d=1时，求出2z1−z2=3+3i，由此能求出|2z1−z2|.(2)由z12=z22，得c2−4+4ci=1−d2+2di，由此利用复数相等的定义能求出c2+d2．本题考查复数的运算，考查复数运算法则、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．19.【答案】解：(1)在平面CC1D1D中，过G作GM⊥C1C，由DG=1，CF=2，可得FM=1，在Rt△GMF中，求得GF=√52+12=√26，在Rt△ABE中，求得AE=√26，则AE//GF且AE=GF，∴四边形AGFE为平行四边形．又AG=√AD2+DG2=√52+12=√26，AF=√AC2+CF2=√(5√2)2+22=3√6，在△AGF中，可得cos∠AGF=2×√26×√26=−126，∴sin∠AGF =√1−(−126)2=15√326．∴平面四边形AEFG 的面积S =AG ⋅GF ⋅sin∠AGF =√26×√26×15√326=15√3；(2)几何体ABCDEFG 的体积V =V A−DCFG +V A−BCFE ==2×13×12×(1+2)×5×5=25．【解析】(1)证明四边形AEFG 为平行四边形，求出∠AGF 的余弦值，进一步得到正弦值，利用平行四边形面积公式求解；(2)把几何体ABCDEFG 的体积转化为两个全等的四棱锥的体积求解．本题考查长方体截面四边形面积的求法，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由AM =75，S △AMN =12S △ABC =12×12×10×10×sin60°=1250√3， 设AN =a ，则S △AMN =12×75×a ×sin60°=1250√3， ∴a =2003，即AN 的长为2003．(2)设MN =y ，AM =x ，在△AMN 中由余弦定理可得y 2=x 2+AN 2−2xANcos60°， 又S △AMN =12xANsin60°=1250√3，∴AN =5000x，∴y 2=x 2+(5000x )2−5000，∴y =√x 2+(5000x)2−5000≥√2×5000−5000=50√2，当且仅当x 2=(5000x)2，即x =50√2时取等号；即当M ，N 分别在AB ，AC 上距离A 点50√2米时MN 距离最小，最小值为50√2．【解析】(1)利用题中的条件三角形△AMN 的面积是三角形△ABC 面积的一半，即可解出；(2)设AM =x ，则利用三角形△AMN 的面积是三角形△ABC 面积的一半，可将AN 的长度用x 表示出，再利用余弦定理即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，解三角形，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16−16=0， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16． (2)因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−132， 所以cos∠DFE =CE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−13252⋅√17=−13√1785．【解析】(1)由向量的线性运算及向量的数量积运算即可求得可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)由向量的数量积运算及夹角公式即可求解∠DFE 的余弦值．本题主要考查向量的线性运算及平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)因为2sinAcosB =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，所以sinAcosB −sinBcosA =0，即sin(A −B)=0， 所以A =B ；解(2)：由(1)a =b ，取BC 的中点D ，△ABD 中，由余弦定理得，c 2=AD 2+(a2)2−2AD ⋅a2cos∠ADB ， △ACD 中，由余弦定理得，b 2=AD 2+(a2)2−2AD ⋅(a2)cos∠ADC ， 因为∠ADB +∠ADC =π， 两式相加得，c 2+b 2=2AD 2+a 22，即a 2+2c 2=64，由0<c 2<32，a 2=64−2c 2>0， S △ABC =c2⋅√a 2−c 24=14√c 2(4a 2−c 2)=14√−9(c 2−1289)2+(1283)2≤14×1283=323，所以△ABC 面积的最大值323．【解析】(1)由已知结合和差角公式进行化简即可证明；(2)由已知结合余弦定理及诱导公式进行化简，然后结合三角形面积公式及二次函数的性质可求．本题主要考查了和差角公式，余弦定理，三角形面积公式及二次函数的性质在求解最值中的应用，属于中档题．。

2019-2020学年浙江省浙东北联盟（ZDB ）高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合M ＝{0, 3}，N ＝{1, 2, 3}，则M ∩N ＝（ ） A.{3} B.{0, 1, 2} C.{1, 2, 3} D.{0, 1, 2}【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】进行交集的运算即可． 【解答】∵ M ＝{0, 3}，N ＝{1, 2, 3}， ∴ M ∩N ＝{3}．2. 函数f(x)＝ln(2x −1)的定义域为（ ）A.(−∞, 0)B.(−∞, 12)C.(0, +∞)D.(12, +∞)【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据对数函数的真数大于0，列不等式求出解集即可． 【解答】函数f(x)＝ln(2x −1)中， 令2x −1>0，解得x >12； 所以函数f(x)的定义域为(12, +∞)．3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A.y ＝x −1与y =√(x −1)2 B.y =√x −1与y =x−1C.y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2 D.y ＝lg x −2与y ＝lg x 100【答案】 D【考点】判断两个函数是否为同一函数 【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 【解答】A．函数y=√(x−1)2=|x−1|，两个函数的对应法则不相同．B．函数y=√x−1的定义域为{x|x≥1}，y=√x−1的定义域为{x|x>1}，两个函数的定义域不相同．C．函数y＝4lg x的定义域为{x|x>0}，y＝2lg x2的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同．D．函数y＝lg x−2的定义域为{x|x>0}，y＝lg x100的定义域为{x|x>0}，y＝lg x100=lgx−lg100＝lgx−2，两个函数的定义域和对应法则相同．4. 已知a＝log20.8，b＝log3π，c＝2−2，则（）A.c>b>aB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b 【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性分别与0，1比较即可得出．【解答】a＝log20.8<0，b＝log3π>1，c＝2−2∈(0, 1)．∴b>c>a．5. 函数f(x)＝log2(1−x)的图象为（）A.B.C.D.【答案】A【考点】对数函数的图象与性质 【解析】由题中函数知，当x ＝0时，y ＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案． 【解答】观察四个图的不同发现，A 、C 图中的图象过原点， 而当x ＝0时，y ＝0，故排除B 、D ；剩下A 和C ． 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除C ．6. 若函数y ＝f(3x +1)的定义域为[−2, 4]，则y ＝f(x)的定义域是（ ） A.[−1, 1] B.[−5, 13] C.[−5, 1] D.[−1, 13] 【答案】 B【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数y ＝f(3x +1)的定义域得出x 的取值范围，再求出3x +1的取值范围即得y ＝f(x)的定义域． 【解答】函数y ＝f(3x +1)的定义域为[−2, 4]， 令−2≤x ≤4，则−6≤3x ≤12， 所以−5≤3x +1≤13，所以函数y ＝f(x)的定义域是[−5, 13]．7. 函数y =5x+1x的值域为（ ）A.(0, 5)B.(0, +∞)C.(0, 5)∪(5, +∞)D.(5, +∞)【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 【解析】 容易得出x+1x≠1，从而得出y ≠5，并且y >0，这样即可得出原函数的值域．【解答】 ∵x+1x=1+1x ≠1， ∴ 5x+1x≠5，且5x+1x>0，∴ 函数y =5x+1x的值域为(0, 5)∪(5, +∞)．8. 设函数y =f(x)=2−22x +1，若f(x 0)=13，则f(−x 0)＝（ ） A.−13B.23C.53D.83C【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】推导出f(x 0)＝2−22x 0+1=13，解得2−x 0=5，由此能求出f(−x 0)的值． 【解答】∵ 函数y =f(x)=2−22x +1，f(x 0)=13，∴ f(x 0)＝2−22x 0+1=13，解得2x 0=15，∴ 2−x 0=5， ∴ f(−x 0)＝2−22−x 0+1=2−25+1=53．9. 已知a ，b ，c ∈R ，函数f(x)＝ax 2+bx +c ，若f(x)＝f(4−x)，则下列不等式不可能成立的是（ ）A.f(2)<f(2−a)<f(2−3a)B.f(2)<f(2−a)<f(2+3a)C.f(2−a)<f(2−2a)<f(2)D.f(2+2a)<f(2−a)<f(2) 【答案】 C【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】根据f(x)＝f(4−x)即可得出f(x)的对称轴为x ＝2，从而可讨论a >0和a <0，根据f(x)的单调性即可判断每个选项的不等式是否可能成立，从而找出正确选项． 【解答】根据f(x)＝f(4−x)得，f(x)的对称轴为x ＝2，①a >0时，f(x)在(−∞, 2]单调递减，在[2, +∞)上单调递增，且2>2−a >2−3a ，2<2+a <2+3a ，2>2−a >2−2a ，∴ f(2)<f(2−a)<f(2−3a)，f(2)<f(2+a)<f(2+3a)，f(2)<f(2−a)<f(2−2a)，且f(2−a)＝f(2+a)， ∴ f(2)<f(2−a)<f(2+3a)；②a <0时，f(x)在[2, +∞)上单调递减，且2−2a >2−a >2， ∴ f(2−2a)<f(2−a)<f(2)，且f(2+2a)＝f(2−2a)， ∴ f(2+2a)<f(2−a)<f(2)， ∴ 不可能成立的不等式是C ．10. 已知函数f(x)＝|log 2x|，g(x)={0,0<x ≤1|x −2|−1x ,x >1 ，则方程|f(x)−g(x)|＝1的实根个数为（ ） A.2个 B.3个C.4个D.5个【答案】 C函数的零点与方程根的关系【解析】首先去绝对值，得方程|f(x)−g(x)|＝1⇔f(x)＝g(x)±1，问题转化为研究函数y＝f(x)与函数y＝g(x)±1的图象交点个数问题．其次，分别在同一坐标系中画出函数y＝f(x)，y＝g(x)+1的图象及y＝f(x)，y＝g(x)−1的图象，观察分析交点个数即可．【解答】1<x≤2时，两图象有一个交点；x>2时，两图象有一个交点．分别画出y＝f(x)，y＝g(x)−1的图象．由图象（2）可知：x>7时，两图象有一个交点．2综上可知：方程|f(x)−g(x)|＝1实数根的个数为4．故选：C．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分用符号“∈“或“⊆“填空：若A＝{2, 4, 6}，则4∈A，{2, 6}⊆A．【答案】∈，⊆【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】由元素与集合的关系，子集的定义即可解得．【解答】因为集合A中有4这个元素，所以4∈A，因为2∈A，6∈A，所以{2, 6}⊆A．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3, √3)，则这个函数的解析式为________，若f(a)＝2，则a 的值为________． 【答案】 y =√x ,4 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】用待定系数法求出幂函数的解析式，然后解方程f(a)＝2，求出a 的值． 【解答】设幂函数y ＝f(x)＝x α，∵ 幂函数y ＝f(x)的图象过点(3, √3)， ∴ f(3)＝3α=√3， ∴ α=12，∴ f(x)=x 12=√x ，(x ≥0)，由f(a)＝2，知√a =2 ∴ a ＝4，已知全集U ＝A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ＝{1, 2, 4}，A ∩B ＝{1}，则集合∁U B 为________，集合B 共有________个子集． 【答案】 {2, 4},4 【考点】 子集与真子集 补集及其运算 【解析】先由条件求出集合B ，由补集的概念求出集合∁U B ，再由集合子集的定义求出集合B 的所有子集，数出个数即可． 【解答】由全集U ＝A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ＝{1, 2, 4}，A ∩B ＝{1}， 得B ＝{1, 3}， ∴ ∁U B ＝{2, 4}，集合B ＝{1, 3}的子集有：⌀，{1}，{3}，{1, 3}，共4个．设函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0] ，则f （f(−1)）＝________，不等式f(x)≤3的解集是________． 【答案】 1,[−1, 27] 【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】推导出f(−1)＝(−1)2+2＝3，从而f （f(−1)）＝f(3)，由此能求出结果；当x ∈(−∞, 0]时，f(x)＝x 2+2≤3，当x ∈(0, +∞)时，f(x)＝log 3x ≤3，由此能求出不等式f(x)≤3的解集． 【解答】∵ 函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0]，∴ f(−1)＝(−1)2+2＝3， f （f(−1)）＝f(3)＝log 33＝1，当x ∈(−∞, 0]时，f(x)＝x 2+2≤3，解得−1≤x ≤0； 当x ∈(0, +∞)时，f(x)＝log 3x ≤3，解得0<x ≤27， 综上不等式f(x)≤3的解集是[−1, 27]．已知f(x)={(3−a)x −a,x <1a x −a,x ≥1 是定义在R 上的增函数，那么a 的取值范围是________． 【答案】[32, 3) 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】由一次函数、指数函数，及分段函数的单调性即可得到{3−a >0a >1(3−a)×1−a ≤a 1−a ，解该不等式组即可得出a 的取值范围． 【解答】根据已知条件得：{3−a >0a >1(3−a)×1−a ≤a 1−a ， 解得32≤a <3，∴ a 的取值范围是[32, 3)，函数y ＝2|x−1|在区间(k −1, k +1)内不单调，则k 的取值范围是________． 【答案】 (0, 2) 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】去绝对值号得出y =2|x−1|={2x−1x ≥121−x x <1，从而可判断该函数的单调性及单调区间，从而可得出{k −1<1k +1>1 ，解出k 的范围即可． 【解答】 y =2|x−1|={2x−1x ≥121−x x <1， ∴ y ＝2|x−1|在(−∞, 1)单调递减，在[1, +∞)上单调递增，且该函数在(k −1, k +1)内不单调，∴ {k −1<1k +1>1，解得0<k <2，∴k的取值范围是(0, 2)．若已知函数f(x)＝x2+ax+1，g(x)＝−lnx，用min{m, n}，表示m，n中的最小值，4设函数ℎ(x)＝min{f(x), g(x)}(x>0)，若ℎ(x)＝0有两个不同实根，则实数a的值为________−5或-1．4【答案】−5或−14【考点】函数的最值及其几何意义函数的零点与方程根的关系【解析】由于g(x)＝−lnx在(1, +∞)上恒小于0，所以ℎ(x)在(1, +∞)无解，数形结合可知，x＝0是ℎ(x)＝0的解，所以f(x)在(0, 1)上有一个解，分析可知，有两种情形，情形一，抛物线f(x)与x轴相切于(0, 1)中，情形二，f(x)有一个解x＝1，在(0, 1)内有一个解．【解答】情形二：△＝a2−1＝0时，a＝1时，f(x)有一个负的零点，不合题意，a＝−1时，f(x)有一个零点x=1，符合题意，2或−1．故答案为：−54三、解答题：5小题，共74分设集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}．（1）求A∪B，(∁R A)∩B；（2）若A∩C≠⌀，求a的取值范围．【答案】∵集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2<x<10}，∴A∪B＝{x|2<x<10}，∵∁R A＝{x|x<4或x≥8}∴(∁R A)∩B＝{x|8≤x<10或2<x<4}∵若A∩C≠⌀，A＝{x|4≤x<8}，C＝{x|x<a}．∴a的取值范围是a>4∴a∈(4, +∞)【考点】交、并、补集的混合运算交集及其运算【解析】本题考查集合的交、并、补运算，对于（1）求出A的补集是关键，对于（2）利用A∩C≠⌀确定参数a的取值范围【解答】∵集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2<x<10}，∴A∪B＝{x|2<x<10}，∵∁R A＝{x|x<4或x≥8}∴ (∁R A)∩B ＝{x|8≤x <10或2<x <4}∵ 若A ∩C ≠⌀，A ＝{x|4≤x <8}，C ＝{x|x <a}． ∴ a 的取值范围是a >4 ∴ a ∈(4, +∞)化简或求值：(Ⅰ)√a 3⋅√a3(a 12)4a −13(a >0)；(Ⅱ)823+64−12+(12)−3+(1681)−34；(Ⅲ)lg8+lg125−log 0.514+log 23⋅log 32． 【答案】 （1）√a 3⋅√a3(a 12)4a −13=√a 3+13a 2⋅a −13=a 53a 53=1；（2）823+64−12+(12)−3+(1681)−34=(23)23+(82)−12+23+[(23)4]−34=22+8−1+8+(32)3＝4+18+8+278=312；(Ⅲ)lg8+lg125−log 0.514+log 23⋅log 32 =31g2+31g5−log 12(12)2+lg3lg2⋅lg2lg3 ＝3lg10−2+1＝2． 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】(Ⅰ)化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质求解； (Ⅱ)直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；(Ⅲ)利用对数的运算性质及对数的换底公式化简求值． 【解答】 （1）√a 3⋅√a3(a 12)4a −13=√a 3+13a 2⋅a −13=a 53a 53=1；（2）823+64−12+(12)−3+(1681)−34=(23)23+(82)−12+23+[(23)4]−34=22+8−1+8+(32)3＝4+18+8+278=312；(Ⅲ)lg8+lg125−log 0.514+log 23⋅log 32 =31g2+31g5−log 12(12)2+lg3lg2⋅lg2lg3 ＝3lg10−2+1＝2．已知函数f(x)=12x 2+2x−1．（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）试判断f(x)在区间(2, +∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（3）求函数f(x)在区间[−3, −1]上的最值． 【答案】根据题意，f(x)=12x 2+2x−1，有x −1≠0，解可得x ≠1， 即函数的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称， 是非奇非偶函数； f(x)=12x 2+2x−1在区间(2, +∞)上是增函数；证明：设x 1>x 2>2，则f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x1−1)(x 2−1)]，又由x 1>x 2>2，则x 1−x 2>0，x 1+x 2>4，(x 1−1)(x 2−1)>1，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)>0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间(2, +∞)上是增函数； 根据题意，设−3≤x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x1−1)(x 2−1)]，又由−3≤x 1<x 2≤−1，则x 1−x 2<0，−6≤x 1+x 2≤−2，4≤(x 1−1)(x 2−1)≤16，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)<0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间[−3, −1]上是减函数； 故f(x)max ＝f(−3)＝4，f(x)min ＝f(−1)=−12． 【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）根据题意，求出函数的定义域为{x|x ≠1}，由函数奇偶性的定义分析可得结论； （2）根据题意，设x 1>x 2>2，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，设−3≤x 1<x 2≤−1，由作差法分析可得f(x)在区间[−3, −1]上是减函数，据此分析可得答案． 【解答】根据题意，f(x)=12x 2+2x−1，有x −1≠0，解可得x ≠1， 即函数的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称， 是非奇非偶函数； f(x)=12x 2+2x−1在区间(2, +∞)上是增函数；证明：设x 1>x 2>2，则f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x 1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)]，又由x 1>x 2>2，则x 1−x 2>0，x 1+x 2>4，(x 1−1)(x 2−1)>1，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)>0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间(2, +∞)上是增函数； 根据题意，设−3≤x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x1−1)(x 2−1)]，又由−3≤x 1<x 2≤−1，则x 1−x 2<0，−6≤x 1+x 2≤−2，4≤(x 1−1)(x 2−1)≤16，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)<0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间[−3, −1]上是减函数； 故f(x)max ＝f(−3)＝4，f(x)min ＝f(−1)=−12．已知函数f(x)=log 12(ax 2+3x +a +1)．（1）当a ＝0，求函数f(x)的单调区间；（2）对于x ∈[1, 2]，不等式(12)f(x)−3x ≤0恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】当a ＝0时，由函数f(x)=log 12(3x +1)， 可得3x +1>0，故函数的定义域为(−13, +∞)．∵ 对于x ∈[1, 2]，不等式(12)f(x)−3x ≤0恒成立，即 ax 2+3x +a +1−3x ≤0⇔ax 2+a +1≤0， 即a ≤−1x 2+1，而(−1x 2+1)min =−12， 故a ≤−12，∵ a ≤−12<0，ax 2+3x +a +1>0⇔{a +3+a +1>04a +6+a +1>0，⇒a >−75⇒−75<a ≤−12． 【考点】函数恒成立问题 复合函数的单调性 【解析】（1）当a ＝0时，由函数f(x)=log 12(3x +1)，可得3x +1>0，由此求得函数的定义域．（2）由题意可得a ≤−1x 2+1，求出a ≤−12<0，ax 2+3x +a +1>0，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】当a ＝0时，由函数f(x)=log 12(3x +1)， 可得3x +1>0，故函数的定义域为(−13, +∞)．∵ 对于x ∈[1, 2]，不等式(12)f(x)−3x ≤0恒成立， 即 ax 2+3x +a +1−3x ≤0⇔ax 2+a +1≤0， 即a ≤−1x 2+1，而(−1x 2+1)min =−12， 故a ≤−12，∵ a ≤−12<0，ax 2+3x +a +1>0⇔{a +3+a +1>04a +6+a +1>0，⇒a >−75⇒−75<a ≤−12．已知函数f(x)＝x 2+2mx −6在区间[−1, 2]上是单调函数． （1）求实数m 的所有取值组成的集合A ；（2）试写出f(x)在区间[−1, 2]上的最大值g(m)；（3）设ℎ(x)=−12x 2+12x +2，令F(m)={g(m),m ∈Aℎ(m),m ∈∁R A，若对任意m 1，m 2∈[−72, a]，总有|F(m 1)−F(m 2)|≤a +3，求a 的取值范围． 【答案】∵ f(x)＝x 2+2mx −6在区间[−1, 2]上的两个端点处取得最大值和最小值， ∴ 函数在区间[−1, 2]上是单调函数，又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝−m ， 必有−m ≥2，或−m ≤−1，解得m ≥1或 m ≤−2，∴ 实数m 的所有取值组成的集合A ＝{m|m ≥1或 m ≤−2}； 当m ≥1时，−m ≤−1，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递增， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(2)＝4m −2；当m ≤−2 时，−m ≥2，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递减， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(−1)＝−5−2m ， 即有g(m)={4m −2,m ≥1−5−2m,m ≤−2；由题意得F(m)={4m −2,m ≥1−12m 2+12m +2,−2<m <1−2m −5,m ≤−2 ，对任意m 1，m 2∈[−72, a]，总有|F(m 1)−F(m 2)|≤a +3， 可得a ≥−3，F(m)max −F(m)min ≤a +3，(∗)， 作出函数F(m)的图象，①当−72<a ≤−2时，F(m)在[−72, a]递减，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(a)＝−2a −5，代入(∗)解得a ≤−4，不成立，舍去；②当−2<a ≤0时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥0，即有a ＝0；③当0<a ≤12时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(a)=−12a 2+12a +2，F(m)min ＝F(−2)＝−1， 代入(∗)解得a ≥0或a ≤−1，可得0<a ≤12；④当12<a ≤3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(12)=178，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥18，可得12<a ≤3332；⑤当a >3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(a)＝4a −2，F(m)min ＝F(−2)＝−1， 代入(∗)可得3332<a ≤43；综上可得0≤a ≤43，即a 的范围是[0, 43]．【考点】二次函数的性质 函数恒成立问题 二次函数的图象 【解析】（1）考虑对称轴，由二次函数的单调性可得m 的不等式，解不等式即可； （2）分类讨论结合单调性可得最大值g(m)；（3）由题意求得F(m)的解析式，由题意可得a ≥−3，F(m)max −F(m)min ≤a +3，(∗)，作出函数F(m)的图象，对a 讨论，结合图象，可得单调性，求得最值，解不等式，可得所求范围． 【解答】∵ f(x)＝x 2+2mx −6在区间[−1, 2]上的两个端点处取得最大值和最小值， ∴ 函数在区间[−1, 2]上是单调函数，又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝−m ， 必有−m ≥2，或−m ≤−1，解得m ≥1或 m ≤−2，∴ 实数m 的所有取值组成的集合A ＝{m|m ≥1或 m ≤−2}； 当m ≥1时，−m ≤−1，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递增， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(2)＝4m −2；当m ≤−2 时，−m ≥2，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递减， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(−1)＝−5−2m ， 即有g(m)={4m −2,m ≥1−5−2m,m ≤−2；由题意得F(m)={4m −2,m ≥1−12m 2+12m +2,−2<m <1−2m −5,m ≤−2 ，对任意m 1，m 2∈[−72, a]，总有|F(m 1)−F(m 2)|≤a +3， 可得a ≥−3，F(m)max −F(m)min ≤a +3，(∗)， 作出函数F(m)的图象，①当−72<a ≤−2时，F(m)在[−72, a]递减，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(a)＝−2a −5，代入(∗)解得a ≤−4，不成立，舍去；②当−2<a ≤0时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥0，即有a ＝0；③当0<a ≤12时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(a)=−12a 2+12a +2，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥0或a ≤−1，可得0<a ≤12；④当12<a ≤3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(12)=178，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥18，可得12<a ≤3332；⑤当a >3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(a)＝4a −2，F(m)min ＝F(−2)＝−1， 代入(∗)可得3332<a ≤43；综上可得0≤a ≤43，即a 的范围是[0, 43]．。

浙东北联盟（ZDB ）2023-2024学年第二学期期中考试高一数学试卷（答案在最后）命题学校：总分150分考试时间120分钟选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知向量()5,12a =，则与向量a反向的单位向量的坐标为（）A.512,1313⎛⎫⎪⎝⎭ B.512,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ D.512,1313⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】与向量a方向相反的单位向量为a a- 求解即可.【详解】因为()5,12a =，所以13a ==，与向量()5,12a =方向相反的单位向量为512,1313a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故选：B2.设l ，m ，n 是不同的直线，m ，n 在平面α内，则“l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】若l m ⊥且l n ⊥，当//m n 时，直线l 可以与平面α平行，此时//l α，不能推出l α⊥，若l α⊥，m ，n 是平面α内两条不同的直线，则l m ⊥，l n ⊥，所以“l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的必要不充分的条件.故选：B3.已知一个正方体的外接球的体积为92π，则这个正方体的体积为（）A.3B.278C.D.8【答案】C 【解析】【分析】根据正方体性质，223d a =,由外接球体积求出半径得出直径，最后得出边长，即可求出体积．【详解】根据正方体性质，球心在体对角线中点上，体对角线长为外接球直径d ，半径设为r ，边长为a ，则222223d a a a a =++=.根据题意39π4π23r =，解得32r =，则3d =，则293a =，则a =3V a ==故选：C.4.已知a = 3a b ⋅=- ，则向量b 在向量a 上的投影向量为（）A.a-rB.13aC.b- D.13br 【答案】A 【解析】【分析】利用投影向量公式可求向量b 在向量a上的投影向量.【详解】向量b 在向量a上的投影向量为a b a a a a⋅==-，故选：A.5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别是棱11B C ，1C C ，1B B ，AB 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】【分析】分别取,CD BC 的中点,N Q ，连接,,,,,FN EQ QN EN GF HN ，由题意可知异面直线EF 与GH 所成的角（或其补角）即为EF 与FN 所成的角（或其补角），求出,,EF FN EN ，由余弦定理求解即可.【详解】分别取,CD BC 的中点,N Q ，连接,,,,,FN EQ QN EN GF HN ，由正方体的性质知：//,HN GF HN GF =，所以四边形GHNF 是平行四边形，所以//GH FN ，所以异面直线EF 与GH 所成的角（或其补角）即为EF 与FN 所成的角（或其补角），即为EFN ∠，设正方体的棱长为2，EF FN QN ===，EN ==所以22221cos242EF FN EN EFN EF FN +--∠====-⋅，所以异面直线EF 与GH 所成的角为π3.故选：C .6.若两个非零向量a 与b满足2a b a b b +=-= ，则向量a b + 与a b - 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】利用模长公式结合数量积公式求解即可．【详解】因为2a b a b b +=-=，两边平方，得到2222|2||2|0a b a b a a b b a a b b a b +=-⇒+⋅+=-⋅+⇒⋅= 2222|2|4||a b b a a b b b +=⇒+⋅+=，即22||3||a b = ，即||||a b = (1),又a b + ＝2b (2)，a b -=2||b (3)．并且()()22·||cos a b a b a b a b a b θ+-=-=+-，则22||||cos ||||a b a b a b θ-=+- ，将(1),(2),(3)代入，得到222||1cos 24||b b θ== ，(0,π)θ∈，则π3θ=．故选：B.7.已知某圆台的上、下底面半径分别为1r 、2r ，且213r r =，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A.13π9B.20π9C.26π9D.26π3【答案】C 【解析】【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解12,r r ，然后代入圆台体积公式求解即可.【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，则圆台内切球的球心O 一定在12O O 的中点处，设球O 与母线AB 切于M 点，所以OM AB ⊥，所以121OM OO OO ===，所以1AOO 与AOM 全等，所以1AM r =，同理2BM r =，所以1214AB r r r =+=，过A 作2AG BO ⊥，垂足为G ，则2112BG r r r =-=，122AG O O ==，所以222AG AB BG =-，所以()()22211144212r r r =-=，所以133r =，所以2r =所以该圆台的体积为()2212121211126πππ2313339V O O r r r r ⎛⎫=⋅++=⨯++= ⎪⎝⎭.故选：C8.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于23π时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为23π.如图，已知ABC 和ADE V 都是正三角形，4AB =，2AE =，且B ，A ，D 三点共线，设点P 是ACE △内的任意一点，则PA PC PE ++的最小值为（）A.5B.26C.33 D.27【答案】D 【解析】【分析】将PEC 绕点E 顺时针旋转60︒到QEF △，根据两点之间线段最短结合余弦定理可求PA PC PE ++的最小值，或者建立平面直角坐标系，根据费马点的性质结合圆的方程可求费马点的坐标，从而可求PA PC PE ++的最小值，也可以费马点的几何特征结合正弦定理可求,,PA PC PE 的值，从而可求PA PC PE ++的最小值.【详解】由题设有60EAC ∠=︒，而2,4AE AC ==，由余弦定理可得164423EC =+-⨯=所以222CE AE AC +=，故ACE △是直角三角形，且90AEC ∠=︒，60EAC ∠=︒.法一：几何法将PEC 绕点E 顺时针旋转60︒到QEF △，则,QF CP PE PQ ==，则PA PC PE PA QF PQ AF ++=++≥，当且仅当,,,A P Q F 四点共线时等号成立，此时180120APE QPE ∠=︒-∠=︒，180120CPE FQE PQE ∠=∠=︒-∠=︒，即P 为费马点时，PA PC PE ++取最小值，因为3EF EC ==9060150AEF ∠=︒+︒=︒，所以2537AF =+=.，故当且仅当P 为费马点时，PA PC PE ++取最小值且最小值为27.法二：解析法以点E 为原点建立平面直角坐标系，且()2,0A -，(0,23C ，由费马点的定义知点P 满足120APE CPE ∠==︒，故P 在以AE为弦且半径为11232r ==的劣弧上，设圆心为()()1,0M m m -<，而2413m +=，故3m =-，故31,3M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故圆()224:133M x y ⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭，同理P 也在以CE为弦且半径为11222r ==的劣弧上，其方程为()(22:14N x y -+-=，由22224(1)3(1)(4x y x y ⎧⎛+++=⎪ ⎨⎝⎪-+-=⎩可得20y +=，再代入其中一式解得47x =-，7y =（0,0x y ==舍）所以取最小值时PE =，PA =PC =，故PA PC PE ++取最小值且最小值为法三：代数法设AEP θ∠=，则90PEC θ∠=︒-，由费马点的性质可得60PAE θ∠=︒-，30PCE θ∠=-︒（3060θ︒<<︒），由正弦定理可得()2sin 60sin120PE θ=︒-︒且()sin 30sin120PE θ=-︒︒，故()()sin 30sin 60θθ-︒=︒-，整理得到11cos sin 2222θθθθ-=-，解得2sin θθ=，即sin θθ==，此时()2sin 601sin12022PE θ⎛⎫︒-===︒而2sin sin120AP θ==︒2sin sin120PC θ==︒故PA PC PE ++的最小值为故选：D .【点睛】思路点睛：对于给定条件的几何问题，我们可以根据几何对象的性质结合正弦定理或余弦定理求解几何量，或者利用旋转构造最值线段.二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若{}12e e，是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（）A.{}1212e e e e +- ，B.{}1221e e e e --，C.{}21122364e e e e --，D.1212133e e e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.【详解】对于A ，若存在实数λ，使得()1212e e e e λ+=- ，则11λλ=⎧⎨=-⎩，无解，所以12e e + 与12e e - 不共线，可以作为平面的基底，故A 错误；对于B ，因为()1221e e e e -=-- ，则12e e - 与21e e -是共线向量，不能作为平面向量的基底，故B 正确；对于C ，因为()2112123642e e e e -=--u u r u r ur u u r ，则2123e e - 与1264e e - 是共线向量，不能作为平面向量的基底，故C 正确；对于D ，因为12121333e e e e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭u r u u r u r u u r ，则123e e - 与1213e e -ur u u r 是共线向量，不能作为平面向量的基底，故D 正确.故选：BCD.10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且π4A =，b =，若ABC 有且仅有一个解，则c a -的可能取值有（）A.0B.4-C.32D.【答案】ABC 【解析】【分析】根据三角形解的个数可得ππ0,42B ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，再根据正弦定理结合三角变换可求c a -的取值范围.【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B=，故sin 2a B A ==，因为ABC 有且仅有一个解，故a b ≥或sin 2a b A =⨯=，由a b ≥可得A B ≥，由2a =可得sin 1B =，结合B 为三角形内角可得π2B =，故ππ0,42B ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，由正弦定理得ππsin sin sin 44c a B B ⎡⎤⎛⎫-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦){}cos 12222tan 420sin 2B B B -⎡=+=-∈-⋃⎣，而2>，35424022--=<，故3422-<<，故选：ABC.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是线段11B C 的中点，F 是线段1CC 的中点，P 是线段1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P 的最小值为6B.1B PC ∠可能是直角C.三棱锥A PEF -的体积为定值D.PEF !的周长的最小值为252【答案】ACD 【解析】【分析】求出等边11C A D 的高，即可判断A ；在矩形11A B CD 中假设1B PC ∠为直角，推出矛盾，即可判断B ；证明1A D//平面AEF ，即可判断C ，四边形1A DFE 求出PE PF +的最小值，即可判断D.【详解】对于A ，因为11C A D 为边长为22的等边三角形，所以1C P 的最小值即该等边三角形的高，即()1min322cos302262C P === ，故A 正确；对于B ：在矩形11A B CD 中112A B CD ==，1122A D B C ==，若190B PC ∠=︒，即1B P PC ⊥，此时11B A P PDC ∽，所以111B A A PPD CD=，则22PDPD -=，则240PD -+=，因为(2Δ4480=--⨯=-<，所以方程无解，即1B PC ∠不可能是直角，故B 错误；对于C ：连接1B C ，则1//EF B C ，又11//B C A D ，所以1//EF A D ，EF ⊂平面AEF ，1A D ⊄平面AEF ，所以1A D//平面AEF ，又P 是线段1A D 上的一个动点所以点P 到平面AEF 的距离为定值，又AEF △的面积为定值，所以三棱锥A PEF -的体积为定值，故C 正确；对于D ：因为==EF ，如下图，在四边形1A DFE 中EF =1A D =，1A E DF ===，作点F 关于1A D 的对称点F '，连接F E '交1A D 于点P ，此时PE PF +取得最小值，最小值为线段EF '的长度，又(122DM =-=，所以322FM ==，所以2FF FM '==，所以EF =='所以PEF !的周长的最小值为D 正确.故选：ACD非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12.水平放置的ABC 斜二测直观图为A B C ''' ，已知2A B B C ''''==，60A B C '''∠=︒，则ABC 的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出直观图的面积，由原图面积与直观图面积的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，水平放置的ABC 斜二测直观图为A B C ''' ，则直观图的面积122sin 260A B C S S '︒'''==⨯⨯⨯= ，则ABC 的面积为S '==.故答案为：13.已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】求出圆柱侧面展开图的周长利用基本不等式可得答案.【详解】设圆柱的母线长为()0a a >，则圆柱的底面直径为1a，所以该圆柱侧面展开图的周长为12π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭a a当且仅当1π=a a即a =等号成立.故答案为：.14.已知向量a ，b ，c满足4a = ，2b = ，,3a b π= ，()()20a c b c -⋅-= ，则a c ⋅ 的取值范围为______.【答案】[]420，【解析】【分析】由题意可得：4a b ⋅=，设(),c x y = ，()4,0a = ，(b = ，由()()20a c b c -⋅-= 可得：()(2234x y -+-=，从而可得：4a c x ⋅=，进而可求出结果.【详解】由题意可得：14242a b ⋅=⨯⨯= ，设(),c x y = ，()4,0a = ，(b = ，()4,a c x y -=--，()22,b c x y -=- ，()()20a c b c -⋅-= ，()()()420x x y y ∴---=，整理得：()(2234x y -+-=，所以4a c x ⋅=，因为232x -≤-≤，所以15x ≤≤，所以4420x ≤≤，即a c ⋅的取值范围为[]4,20.故答案为：[]4,20.四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量(),1a x = ，()2,3b =-r ，()6,1c =-.（1）求满足2c a yb =+的实数x ，y 的值；（2）若()4//a c b +，求实数x 的值.【答案】（1）2x =，1y =-（2）2x =-【解析】【分析】（1）运用向量相等条件可解；（2）运用向量平行坐标表示可解．【小问1详解】因为(),1a x = ，()2,3b =-r，则()222,23a yb x y y +=-+ ，又()6,1c =-，2c a yb =+ ，所以226231x y y -=⎧⎨+=-⎩，解得2x =，1y =-；【小问2详解】因为(),1a x = ，()6,1c =-，则()446,3a c x +=+ ，又()4//a c b +，()2,3b =-r ，所以46323x +=-，解得2x =-.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，M 、N 分别是BC 、1CC 的中点，1AB MN ⊥.（1）证明：MN ⊥平面1AB M ；（2）求1C 点到平面1AB M 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）利用直三棱柱的构造特征，结合线面垂直的性质、判定推理即得.（2）由（1）中信息，结合相似三角形的性质求出BC ，再利用等体积法求解即得.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，由2AB AC ==，M 是BC 的中点，得AM BC ⊥，由1BB ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，得1B B AM ⊥，而11,,BB BC B BB BC ⋂=⊂平面11BCC B ，则AM ⊥平面11BCC B ，又MN ⊂平面11BCC B ，则AM MN ⊥，而1AB MN ⊥，11,,AB AM A AB AM =⊂ 平面1AB M ，所以MN ⊥平面1AB M .【小问2详解】在矩形11BCC B 中，由（1）知1AM B M ⊥，1MN B M ⊥，1B MB MNC ∠=∠，于是直角1B BM 与直角MCN △相似，则1BM CNB B CM=，即·2BM CM =，因此2BM MC ==22BC =2AM =，16B M =，11111222BCC B MB C S S == ，11312MB A S AM B M =⋅= ，设1C 点到平面1AB M 的距离为d ，由1111C MB A A MB C V V --=，得1111133MB A MB C d AM S S ⋅=⋅ ，3222d =33d =，所以点1C 到平面1AB M 的距离为33.17.某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：100AB AD ==米，160BC =米，2120BAD BCD ∠∠==︒.（1）求cos BDC ∠的值；（2）若点,E F 分别为边,BC CD 上的点，且80CE =米，60CF =米，又点I 在以C 为圆心，CF 为半径的圆弧FG 上（BCD △内部），准备将四边形CEIF 区域种植郁金香.设ECI ∠θ=，求四边形CEIF 的面积关于θ的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）【答案】（1）35（2）()13sin S θϕ=+，其中ϕ为锐角且33tan 5ϕ=，最大值为13【解析】【分析】（1）由余弦定理可求BD ，由正弦定理可求sin BDC ∠，故可求cos BDC ∠，（2）由面积公式可求ECI S △，FCI S △，再利用辅助角公式可得S 及其最大值.【小问1详解】在ABD △上，由余弦定理BD ==在BCD △上，由正弦定理160200sin sin60BDC ∠==︒，所以4sin 5BDC ∠=，而160BD BC =>=，故π3BDC BCD ∠∠<=，故3cos 5BDC ∠=.【小问2详解】因为ECI ∠θ=，所以60FCI ∠θ=︒-，060θ︒<<︒，18060sin 2400sin 2ECI S θθ=⨯⨯=△，()()16060sin 601800sin 602FCI S θθ=⨯⨯︒-=︒- ，所以四边形CEIF 区域面积()12400sin 1800sin 602400sin 1800cos sin 22S θθθθθ⎛⎫=+︒-=+- ⎪ ⎪⎝⎭1500sin θθ=+()3005sin θθ=+()θϕ=+≤（平方米），其中ϕ为锐角且33tan 5ϕ=，因为3315<<，故4560ϕ︒<<︒，故当90θϕ=︒-时，S 有最大值且最大值为平方米.18.如图在直角梯形ABCD 中，2BC AD =，2BC CD ==，点E 为CD 的中点，以A 为圆心AD 为半径作圆交AB 于点G ，点P 为劣弧DG （包含D ，G 两点）上的一点，AC 与劣弧、BE 分别交于点F ，H .（1）求向量AF 与BE夹角α的余弦值；（2）若向量BH xBD y AC =+，求实数x ，y 的值；（3）若向量BP 与CP的夹角为β，求cos β的最小值.【答案】（1）2114（2）23x =，415y =（3）0【解析】【分析】（1）点B 为原点，BC 、BA分别为x 、y 轴正方向建立平面直角坐标系，由向量的夹角的坐标运算求解即可；（2）由平面向量基本定理可得324BH BA BC λλ=+，由A ，H ，C 三点共线求出4=5λ，由此可求出实数x ，y 的值；（3）法一：点O 为BC 中点，因为2AO =，所以以BC 为直径的圆与圆A 外切.由圆周角大于圆外角即可得出答案；法二：设DAP θ∠=，π0,2θ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，则()cos 3sin P θθ，求出BP ，CP，由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】易得90ABC BAD ∠=∠=︒，且BCD △为正三角形，所以AB =，AC =以点B 为原点，BC 、BA分别为x 、y轴正方向建立平面直角坐标系，(()()(,2,0,0,0,2,,A C B AC =(3,,22D E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，得2,AF AC ==，(12BE = ，所以cos 14AF BE AF BE α⋅====⋅.【小问2详解】()1322224BH BE BD BC BA BC BC BA BC λλλλλ⎛⎫==+=++=+ ⎪⎝⎭，又因为A ，H ，C 三点共线，所以3124λλ+=，解得4=5λ.()12BH xBD y AC x BA BC y BC BA⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭()2x x y BA y BC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，25325x y x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得23x =，415y =【小问3详解】法一：点O 为BC 中点，因为2AO =，所以以BC 为直径的圆与圆A 外切.因为圆周角大于圆外角，所以BPC ∠的最大值为90︒，即cos β的最小值为0.法二：设DAP θ∠=，π0,2θ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭且如（1）所建平面直角坐标系，则()cos sin P θθ-，()cos sin BP θθ∴= ，()cos sin CP θθ=-.22cos 2cos 3sin BP CP θθθθ⋅=-++-()42cos 44sin 06πθθθ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭当π3θ=时，BP CP ⋅ 取到最小值0，所以cos β的最小值为0.19.如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA PD ⊥，且44AD AB ==，2PA =，PC =，点E 为AD 中点，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B PC E --的余弦值；（3）点F 为对角线AC 上的点，且FG PB ⊥，垂足为G ，求FG 与平面ABCD 所成的最大角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）58（3）5【解析】【分析】（1）结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可得；（2）面面垂直的性质定理PH ⊥平面ABCD ，线面垂直的判定定理得AD ⊥平面PHK ，HM ⊥平面PBC ，线面平行的判定定理得//AD 平面PBC ，作EN PC ⊥垂足为N ，由等面积法得求出EN 可得答案；（3）作GI ⊥平面ABCD ，在平面PAB 作GJ PB ⊥交AB 于点J ，设线FJ 交线BH 于点L ，由线面垂直的判定定理得⊥FJ 平面BGL ，得≤IL IF ，90∠∠∠≤=- GFI GLI GBL ，求出cos ∠GBL 可得答案.【小问1详解】PA PD ⊥，PD ∴=则22213PC PD CD =+=，CD PD ∴⊥，又CD AD ⊥ ，=PD AD D ⋂，、⊂PD AD 平面PAD ，CD \^平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ；【小问2详解】侧棱PA PD ⊥，点E 为AD 中点.，2AE PE ==，2PA =，PAE ∴ 为正三角形，取AE 中点H ，则PH AD ⊥，1AH =，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，HK ⊂平面ABCD ，所以PH HK ⊥，PH =，在BC 边上取1BK =，连接HK ，可得四边形ABKH 是长方形，可得HK AD ⊥，又= PH HK H ，、⊂PH HK 平面PHK ，所以AD ⊥平面PHK ，作HM PK ⊥，垂足为M ，HM ⊂平面PHK ，AD HM ⊥ ，BC HM ∴⊥，又= BC PK K ，、⊂BC PK 平面PBC ，HM ∴⊥平面PBC ，且2HM =，又//AD BC ，AD ⊄Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，//AD ∴平面PBC ，所以点E 到平面PBC 的距离2d =，且点E 的投影在PBC 内，在PCE 中，2PE =，EC =，由余弦定理得cosPEC ∠=，作EN PC ⊥垂足为N ，由等面积法得EN ==，所以二面角B PC E --的大小α的正弦值39sin 8d EN α==，5cos 8α=；【小问3详解】作GI ⊥平面ABCD ，则//GI PH ，BH 为PB 在平面ABCD 内的射影，所以点B ，I ，H 共线，再在平面PAB 作GJ PB ⊥交AB 于点J ，又FG PB ⊥ ，= FG GJ G ，、⊂FG GJ 平面GFJ ，PB ∴⊥平面GFJ ，设线FJ 交线BH 于点L ，则BG FJ ⊥，又GI FJ ⊥ ，= GI BG G ，、⊂GI BG 平面BGL ，FJ ∴⊥平面BGL ，⊂BL 平面BGL ，得FJ BL ⊥，IL IF ∴≤，90∠∠∠∴≤=- GFI GLI GBL ，又因为cos5BH GBL BP∠===，所以FG 与平面ABCD 所成的最大角的正弦值为5，当点F 为线BH 与AC 的交点时取到最大角.【点睛】方法点睛：求二面角的方法：1.概念法，概念法指的是利用概念直接解答问题；2.空间变换法，空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法；3.空间向量法.。