最新人教版高中数学必修2第三章《直线方程的概念与直线的斜率》课堂探究

第二章解析几何初步本章教材分析解析几何的主要内容为直线与圆、圆锥曲线、坐标系与参数方程.根据课程标准要求，在必修2解析几何初步中，学生学习的最基本内容为直线与直线方程、圆与圆的方程，并初步建立空间坐标系的概念.这一内容是对全体学生设置的，大部分学生在选修中还将进一步学习圆锥曲线、坐标系与参数方程等有关内容.因此，本章要求学生掌握解析几何最基本的思想方法——用代数的方法研究曲线的几何性质，并学习最基本的直线、圆的方程，并通过方程去研究它们的图形性质.这样的安排，一方面降低了解析几何学习的难度，多次反复又逐步提高学生对解析几何的认识，另一方面对部分在解析几何学习上有较高要求的学生，可以在选修部分拓广加强.教科书对于某些知识点提供了信息技术应用的素材，信息技术可以快速、清晰、准确地建立起代数关系与图形关系的对应.教师可根据教学实际的需要选取这些素材或补充其他的相关素材.§1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.本小节从一个具体的一次函数与它的图像入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要.三维目标1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想.2.掌握经过两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2)的直线的斜率公式：k=1212x x y y --（x 1≠x 2），培养学生树立辩证统一的观点，并形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点教学重点:直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(如图1所示)在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.图1思路2.我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P 的直线l 的位置能确定吗?这些直线有什么联系和区别呢?教师引入课题：直线的倾斜角和斜率. 推进新课 新知探究 提出问题①怎样描述直线的倾斜程度呢？②下列图(图2)中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图2③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ ⑤正切函数的定义域是什么？ ⑥任何直线都有斜率吗？⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线l 上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且l 与x 轴不垂直，如何才能求出直线l 的斜率呢？活动:①当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角.可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了. ②考虑正方向.③动手在坐标系中任意作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x 轴正方向的倾斜程度. 规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以，倾斜角的范围是0°≤α<180°. ④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念. 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫作这条直线的斜率，常用k 表示，即k=tanα. ⑤指导学生回忆正切函数相关知识.⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x 轴的直线没有斜率（倾斜角是90°的直线没有斜率）.当α∈［0°,90°)时，斜率是非负的,倾斜角越大,直线的斜率就越大;当α∈(90°,180°)时，斜率是负的,倾斜角越大,直线的斜率就越大.⑦教学时可与教材上的方法一样推出.这样显得简捷明了，合情合理且科学严谨. 讨论结果: ①用倾斜角.②都不对.与定义中的x 轴正方向、直线向上方向相违背. ③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤定义域:{x|x≠kπ+2π,k ∈Z }. ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率.⑦过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线的斜率公式k=1212x x y y --（x 1≠x 2）.应用示例思路1例1 求过已知两点的直线的斜率. (1)直线PQ 过点P(2,3),Q(6,5); (2)直线AB 过点A(-3,5),B(4,-2). 解:(1)如图3,直线PQ 的斜率k=2635--=21;图3(2)如图4,直线AB 的斜率k=)3(452----=-1.图4例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线a,b,c,l.活动:要画出经过原点的直线a,只要再找出a 上的另外一点M.而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定;或者由k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边,在x 轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可. 解:设直线a 上的另外一点M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=--x y ，所以x=y. 可令x=1,则y=1.于是点M 的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1)可作直线a. 同理,可作直线b,c,l.画图略. 变式训练如图5，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.图5解：l 1的斜率k 1＝tanα1＝tan30°＝33， ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （180°-60°）＝-tan60°＝3-.点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率. 例3 已知直线的倾斜角，求直线的斜率. (1)α＝0°；（2）α＝60°；(3)α＝90°；（４）α＝43π. 活动：指导学生根据定义直接求解. 解：(1)∵tan0°＝0， ∴倾斜角为0°的直线斜率为0； (2)∵tan60°＝3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3； (3)∵tan90°不存在， ∴倾斜角为90°的直线斜率不存在； (4)∵tan43π＝tan(π4π-)＝-tan 4π＝-1， ∴倾斜角为3π4的直线斜率为-1.点评：通过此题的训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°；倾斜角是90°的直线没有斜率. 变式训练1.已知α和k 分别是l 的倾斜角和斜率，当（1）sinα=53；（2）cosα=53；（3）cosα=53-时，分别求直线l 的斜率k. 解：(1)当sinα=53时，∵0°≤α<180°，∴k=tanα=±43. (2)当cosα=53时，∵0°≤α<180°， ∴0°≤α<90°.∴k=tanα=34.(3)当cosα=53-时，∵0°≤α<180°，∴90°<α<180°.∴k=tanα=34-.2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C.平行于x 轴的直线的倾斜角是0或πD.直线斜率的范围是(-∞，＋∞) 答案：D思路2例1 求经过点A(-2,0)，B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角. 解：k=)2(503----=-1，即tanα=-1，又∵0°≤α<180°，∴α=135°.∴该直线的斜率是-1，倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α. （1）P 1(-2,3)，P 2(-2,8)；（2）P 1(5,-2)，P 2(-2,-2). 解:（1）∵过P 1,P 2的直线与x 轴垂直， ∴直线斜率不存在，倾斜角α=90°. （2）k=tanα=52)2(2-----=0，∴直线斜率为0，倾斜角α=0°.例2 已知三点A 、B 、C ，且直线AB 、AC 的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上. 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而两直线过公共点A ，所以直线AB 与AC 重合.因此A ，B ，C 三点共线. 点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有公共点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线. 变式训练1.若三点A(2,3)，B(3,2)，C(21,m)共线，求实数m 的值. 解:由题意,知k AB =2332--=-1，k AC =2213--m ，∵A,B,C 三点共线，∴k AB =k AC .∴2213--m =-1.∴m=29.2.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则a 1+b1的值等于_______________.答案：21例3 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD|的长.活动：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间的距离公式.解：D 点的坐标为(25-,22-m )，∴k AD =025522----m =1.∴m=7.∴D 点坐标为(25-,25).∴|AD|=22)255()25(-+=225. 变式训练1.过点P(-1，-1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角. 答案：k=22-=-1,倾斜角为43π.2.如图6中菱形ABCD 的∠BAD ＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率.图6解：由题意知直线AD 和BC 的倾斜角为60°,直线AB 和DC 的倾斜角为0°,直线AC 的倾斜角为30°,直线BD 的倾斜角为120°；直线AD 和BC 的斜率为k=tan60°=3,直线AB 和DC的斜率为k=tan0°=0,直线AC 的斜率为k=tan30°=33,直线BD 的斜率为k=tan120°=3-. 知能训练1.已知直线l 的倾斜角的变化范围为α∈［6π,3π)，求该直线斜率的变化范围. 2.已知直线l 的斜率k ∈［-1,3)，求该直线的倾斜角的范围. 解答：1.∵α∈［6π,3π)， ∴斜率k=tanα∈［33,3). 2.∵k=tanα∈［-1,3)， ∴倾斜角α∈［43π,π)∪［0,3π). 拓展提升已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.活动：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形. 答案：(-∞,25-)∪(34,+∞).课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围. （2）掌握直线斜率的概念.（3）掌握已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法. 作业习题2—1 A 组1、2、3、4.设计感想在直线的倾斜角和斜率的学习过程中，引导学生注重倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.掌握过已知两点的斜率公式，并能根据斜率求直线的倾斜角，由斜率相同怎样判定三点共线等.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口.同时本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要给学生充分的思考时间.透彻理解直线的倾斜角和斜率的概念，能根据条件正确地求出直线的倾斜角和斜率是知识教学目的；在形成概念的过程中，培养分析、抽象、归纳的思维能力，强化“形”“数”结合相互转化的思想方法，完善学生的数学知识结构.新课程解析几何教材在学生没有三角函数、向量基础的情况下展开，使得教学设计有了无米之炊的感觉.从知识接受上讲似乎并无大碍，但是从知识的联系性、思维的丰富性上来说，讲多了给人一种数学文科感觉——记住结论会用就行！这或许就是新课程的理念吧.但本课还是力求在学生思维发展层面上保持较高要求.。

必修二 第三章 直线与方程3.1.1直线的倾斜角和斜率教学目标教学目标: : 知识与技能知识与技能知识与技能(1)(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． (2)(2) 理解直线的倾斜角的唯一性理解直线的倾斜角的唯一性. . (3)(3) 理解直线的斜率的存在性理解直线的斜率的存在性. .(4)(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 情感态度与价值观情感态度与价值观(1) (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力． (2) (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．神． 重点与难点重点与难点: : : 直线的倾斜角、斜率的概念和公式直线的倾斜角、斜率的概念和公式直线的倾斜角、斜率的概念和公式. .教学用具：计算机教学用具：计算机教学方法：启发、引导、讨论教学方法：启发、引导、讨论. . 教学过程：教学过程：（一）（一） 直线的倾斜角的概念直线的倾斜角的概念 我们知道我们知道, , , 经过两点有且只有经过两点有且只有经过两点有且只有((确定确定))一条直线一条直线. . . 那么那么那么, , , 经过一点经过一点P 的直线l 的位置能确定吗能确定吗? ? ? 如图如图如图, , , 过一点过一点P 可以作无数多条直线a,b,c, a,b,c, …易见…易见,答案是否定的答案是否定的..这些直线有什么联系呢线有什么联系呢? ?Pcba YXO(1)(1)它们都经过点它们都经过点P. (2)(2)它们的‘倾斜程度’不同它们的‘倾斜程度’不同它们的‘倾斜程度’不同. . . 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同怎样描述这种‘倾斜程度’的不同怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? ? 引入直线的倾斜角的概念引入直线的倾斜角的概念: :当直线l 与x 轴相交时轴相交时, , , 取取x 轴作为基准轴作为基准, , x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地特别地,,当直线l 与x 轴平行或重合时轴平行或重合时, , , 规定规定α= 0= 0°°. 问: : 倾斜角倾斜角α的取值范围是什么的取值范围是什么? 0? 0? 0°≤°≤α＜180180°°.当直线l 与x 轴垂直时轴垂直时, , α= 90= 90°°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, , , 引入直线的倾斜角之后引入直线的倾斜角之后引入直线的倾斜角之后, , 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. .如图如图, , , 直线直线a ∥b ∥c, c, 那么它们那么它们YXcbaO的倾斜角α相等吗相等吗? ? ? 答案是肯定的答案是肯定的答案是肯定的..所以一个倾斜角α不能确定一条直线不能确定一条直线. .确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: : : 一个点一个点．．．P ．和一个倾斜角α．．．．．．．. (二)直线的斜率直线的斜率: :一条直线的倾斜角α(α≠9090°°)的正切值叫做这条直线的斜率的正切值叫做这条直线的斜率,,斜率常用小写字母k 表示,也就是也就是 k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时轴平行或重合时, , α=0=0°°, k = tan0, k = tan0°°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时轴垂直时, , α= 90= 90°°, k , k 不存在不存在不存在. . 由此可知由此可知, , , 一条直线一条直线l 的倾斜角α一定存在一定存在,,但是斜率k 不一定存在不一定存在. . 例如例如, , α=45=45°时°时°时, k = tan45, k = tan45, k = tan45°°= 1; α=135=135°时°时°时, k = tan135, k = tan135, k = tan135°°= tan(180= tan(180°－°－°－ 45 45 45°°) = - tan45) = - tan45°°= - 1. 学习了斜率之后学习了斜率之后, , , 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. . ( (三三) ) 直线的斜率公式直线的斜率公式直线的斜率公式: :给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠≠x2,x2,如何用两点的坐标来表示直线如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率的斜率? ? 可用计算机作动画演示可用计算机作动画演示: : : 直线直线P1P2的四种情况的四种情况, , , 并引导学生如何作辅助线并引导学生如何作辅助线并引导学生如何作辅助线, , 共同完成斜率公式的推导共同完成斜率公式的推导.(.(.(略略)斜率公式斜率公式: :对于上面的斜率公式要注意下面四点：对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) (1) 当当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90= 90°°, , 直线与直线与x 轴垂直；轴垂直； (2)k 与P1P1、、P2的顺序无关的顺序无关, , , 即即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换在公式中的前后次序可以同时交换, , , 但但分子与分母不能交换分子与分母不能交换; ; (3)(3)斜率斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; ; (4) (4) 当当 y1=y2时, , 斜率斜率k = 0, k = 0, 直线的倾斜角直线的倾斜角α=0=0°，直线与°，直线与x 轴平行或重合轴平行或重合. .§3.1.1……1．直线倾斜角的概念 3.例1……练习1 练习3 2. 直线的斜率4.例2……练习2 练习43.1.2两条直线的平行与垂直()教学目标教学目标 ( (一一)知识教学知识教学理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. . (二)能力训练能力训练通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力培养学生运用已有知识解决新问题的能力, , , 以及数形结以及数形结合能力．合能力．(三)学科渗透学科渗透 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,,激发学生的学习兴趣．激发学生的学习兴趣．重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用． 难点：启发学生难点：启发学生, , , 把研究两条直线的平行或垂直问题把研究两条直线的平行或垂直问题把研究两条直线的平行或垂直问题, , , 转化为研究两条直线的斜率的关转化为研究两条直线的斜率的关系问题．系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, , , 在课堂上老师应提醒学生注意解在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．决好这个问题．教学过程教学过程 ( (一一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课上一节课, , , 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, , , 而且知道而且知道而且知道,,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x 轴的倾斜程度轴的倾斜程度, , , 并推导出了斜率的坐标计算公式并推导出了斜率的坐标计算公式并推导出了斜率的坐标计算公式. . . 现在现在现在, , , 我们来研究能我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直． 讨论讨论: : : 两条直线中有一条直线没有斜率两条直线中有一条直线没有斜率两条直线中有一条直线没有斜率, (1), (1), (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为9090°，°，它们互相平行；(2)(2)当另一条直线的斜率为当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为9090°，°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．°，两直线互相垂直． (二)两条直线的斜率都存在时两条直线的斜率都存在时, , , 两直线的平行与垂直两直线的平行与垂直两直线的平行与垂直 设直线设直线 L1 L1和L2的斜率分别为k1和k2. k2. 我们知道我们知道我们知道, , , 两条直线的平行或垂直是由两条直线的两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的方向决定的, , , 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. . . 所以我们下面要研究所以我们下面要研究的问题是的问题是: : : 两条互相平行或垂直的直线两条互相平行或垂直的直线两条互相平行或垂直的直线, , , 它们的斜率有什么关系它们的斜率有什么关系它们的斜率有什么关系? ? 首先研究两条直线互相平行首先研究两条直线互相平行((不重合不重合))的情形．如果L1L1∥∥L2(L2(图图1-29)1-29)，那么它们的倾斜角相，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机借助计算机, , , 让学生通过度量让学生通过度量让学生通过度量, , , 感知感知α1, α2的关系的关系) ) ∴tg α1=tg α2． 即 k1=k2 k1=k2．．反过来，如果两条直线的斜率相等反过来，如果两条直线的斜率相等: : : 即即k1=k2k1=k2，那么，那么tg α1=tg α2． 由于0°≤α1＜180180°，°，°， 0 0°≤°≤α＜180180°，°，°， ∴α1=α2．又∵两条直线不重合，又∵两条直线不重合， ∴L1L1∥∥L2L2．．结论结论: : : 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意注意: : : 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, k1=k2, 那么一定有那么一定有L1L1∥∥L2; L2; 反之则不一定反之则不一定反之则不一定. . 下面我们研究两条直线垂直的情形．下面我们研究两条直线垂直的情形． 如果L1L1⊥⊥L2L2，这时，这时α1≠α2，否则两直线平行．，否则两直线平行． 设α2＜α1(1(图图1-30)1-30)，甲图的特征是，甲图的特征是L1与L2的交点在x 轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x 轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有轴上，无论哪种情况下都有 α1=901=90°°+α2． 因为L1L1、、L2的斜率分别是k1k1、、k2k2，即，即α1≠9090°，所以°，所以α2≠0°．°．，可以推出可以推出 : α1=901=90°°+α2． L1 L1⊥⊥L2L2．． 结论结论: : : 两条直线都有斜率两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意注意: : : 结论成立的条件结论成立的条件结论成立的条件. . . 即如果即如果k1k1··k2 = -1, k2 = -1, 那么一定有那么一定有L1L1⊥⊥L2; L2; 反之则不一定反之则不一定反之则不一定. . (借助计算机借助计算机, , , 让学生通过度量让学生通过度量让学生通过度量, , , 感知感知k1, k2的关系的关系, , , 并使并使L1(L1(或或L2)L2)转动起来转动起来转动起来, , , 但仍保持但仍保持L1L1⊥⊥L2, L2, 观察观察k1, k2的关系的关系, , , 得到猜想得到猜想得到猜想, , , 再加以验证再加以验证再加以验证. . . 转动时转动时转动时, , , 可使可使α1为锐角为锐角,,钝角等钝角等). ). 例题例题例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), Q(-1,2), 试判断直线试判断直线BA 与PQ 的位置关系的位置关系, , , 并证并证明你的结论明你的结论. . 分析分析: : : 借助计算机作图借助计算机作图借助计算机作图, , , 通过观察猜想通过观察猜想通过观察猜想:BA :BA :BA∥∥PQ, PQ, 再通过计算加以验证再通过计算加以验证再通过计算加以验证.(.(.(图略图略图略) ) 解: : 直线直线BA 的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ 的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为因为 k1=k2=0.5, k1=k2=0.5, k1=k2=0.5, 所以所以所以 直线直线BA BA∥∥PQ.3.2.1 直线的点斜式方程问 题设计意图设计意图 师生活动师生活动1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？线，应知道哪些条件？使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。

疱丁巧解牛知识·巧学一、直线的点斜式方程1.已知直线过点P 0(x 0，y 0)，斜率为k ，则其方程为y-y 0=k(x-x 0).2.注意公式的应用前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.3.当直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°，斜率k=0，仍可用上述公式.此时可简写为y-y 0=0或y=y 0.特别地，x 轴的方程是y=0.当直线与y 轴平行或重合时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，不能应用点斜式方程.此时根据直线上每个点的横坐标都相等，可将方程写成x-x 0=0或x=x 0.特别地，y 轴的方程是x=0.点斜式方程中的点只要是直线上的点，哪一个都可以.辨析比较 过点P(x 0,y 0)的所有直线是x=x 0或y-y 0=k(x-x 0).k x x y y =--00与y-y 0=k(x-x 0)的区别:前者不包含点P(x 0,y 0),后者包含点P(x 0,y 0). 二、直线的斜截式方程1.已知直线过点P 0(0，b)，斜率为k ，则其方程为y=kx+b ，其中b 叫做直线在y 轴上的截距，也叫纵截距.2.“截距”不同于日常生活中的“距离”，截距是一个点的(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零；而距离是一个非负数.3.斜截式方程的应用前提也是直线的斜率存在，并且给出的已知点是直线与y 轴的交点.当b=0时，y=kx 表示过原点的直线；当k=0时，y=b 表示与x 轴平行(或重合)的直线；当k=0且b=0时，y=0即表示x 轴.辨析比较 斜截式方程与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b,但有区别:当斜率不为0时,y=kx+b 即为一次函数,当k=0时,y=b 不是一次函数;一次函数y=kx+b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程.问题·探究问题1 若直线ｌ经过点P 0(x 0,y 0)，且与x 轴垂直，其直线方程怎样表示？若直线ｌ经过点P 0(x 0,y 0)，且与y 轴垂直，其直线方程怎样表示？探究:与x 轴垂直的直线上的所有点的横坐标都相等且等于x 0，纵坐标任意，方程可表示为x=x 0；与y 轴垂直的直线上的所有点的纵坐标都为y 0,而横坐标任意，所以方程可表示为y=y 0. 问题2 是否任何直线都存在y 轴上的截距？探究:不是任何直线都存在y 轴上的截距，平行于y 轴的直线与y 轴没有交点，所以不存在纵截距，其他的直线都有y 轴上的截距，即纵截距.问题3 直线的斜截式方程的截距指纵截距，是否也可以导出横截距的直线方程？探究:直线的斜截式方程是由点斜式自然推出y=kx+b.若k≠0，可化为x=k 1(y-b)=k b y k -1,这时对k 的要求更多，而当k 不存在时，也存在在x 轴上有截距的直线；k=0时，这样的直线与x 轴或者平行或者重合，此时在x 轴上的截距不存在.典题·热题例1 分别求出经过点P(3，4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形.(1)斜率k=2;(2)与x 轴平行；(3)与x 轴垂直.思路解析：经过一个点求直线的方程，若所求直线与x 轴或y 轴垂直，则可直接写出所求直线的方程，其他情形可直接用公式求出.过一点求直线的方程，若斜率不存在或斜率为零时，可直接写出直线的方程，将此作为一种特殊情况熟练掌握.解：(1)这条直线经过点P(3，4)，斜率k=2，点斜式方程为y-4=2(x-3)，可化为2x-y-2=0.如图3-2-1(1)所示.(2)由于直线经过点P(3，4)且与x 轴平行，所以直线方程为y=4.如图3-2-1(2)所示.(3)由于直线经过点P(3，4)且与x 轴垂直，所以直线方程为x=3.如图3-2-1(3)所示.图3-2-1深化升华 本题是对直线的点斜式方程公式的直接应用，在倾斜角不为90°，即斜率存在时，直接代入直线的点斜式方程即可.若直线倾斜角为90°时方程可直接写出.例2 已知直线l 1:(m 2-m-2)x+2y+m-2=0,l 2:2x+(m-2)y+2=0，求ｍ取何值时,l 1∥l 2？l 1⊥l 2？ 思路解析：可以通过两直线斜率的关系来判断，但要注意直线斜率不存在的情况. 解：当ｍ=2时，直线l 2的斜率不存在，可验证l 1的斜率为0，此时两直线垂直.当m≠2时，可把直线方程化为斜截式求出直线斜率和在y 轴上的截距，k 1=222---m m ,k 2=m -22.所以当k 1=k 2时解得ｍ=3或ｍ=0.但ｍ=0时可得两直线方程相同，即直线重合.所以当ｍ=3时l 1∥l 2.当k 1k 2=-1时两直线垂直，解得ｍ=-2.综上可知，当ｍ=3时l 1∥l 2;当ｍ=±2时两直线垂直.拓展延伸 在前面我们已研究了两直线的平行与判定，如果给出两条直线的斜截式方程l 1：y=k 1x+b 1，l 2：y=k 2x+b 2，来判断两直线位置关系,则l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇒k 2k 1=-1.当一直线的斜率不存在时，若两直线平行，则另一直线的斜率也不存在；若两直线垂直，则另一直线的斜率等于0.如果给出的方程不是斜截式，可先化为斜截式，在化时要注意等价性(不要丢解).利用此性质，也可求与已知直线平行或垂直的直线.变式：直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.平行或重合D.既不平行也不重合解析：把两直线的方程化为斜截式为y=2x+k 和y=212+x ，其斜率相等.当k=21时，两直线重合，当k≠21时，两直线平行. 答案：C例3 直线经过点A(2,1)，B(0，-3)，求此直线的斜截式方程.若将A(2,1)换成A(2+a 2,1+a 2)，要使k AB 最大，其直线方程又怎样？思路解析：已知两点，可先求出斜率，再写出斜截式方程.要使k AB 最大，需对参数进行取值研究.解：先求出此直线的斜率k AB =2231=+，再由斜截式写出方程y=2x-3.当A(2,1)变成A(2+a 2,1+a 2)时，k AB =221231222++=+++a a a ，当a 2=0时，k AB 取最大值2.此时直线的方程仍为y=2x-3.误区警示 由于斜截式方程和点斜式方程都是用斜率k 表示的，故这两类直线方程不能用来表示垂直于x 轴的直线，这在解题中应注意，否则会产生漏解.。

7.1直线的倾斜角和斜率（第一课时）教学设计说明一、教学内容分析本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）教学第二册（上）》（人教版）第七章第1节课《7.1直线的倾斜角和斜率》。

根据实际情况，这是第一课时。

本节教学是高中解析几何内容的开始。

直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素和代数表示，是平面直角坐标系内以解析法的方式来研究直线及其几何性质的基础。

通过本节内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用意识。

本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用二、教学目标分析了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式。

经厉几何问题代数化的过程，培养学生周密思考，主动学习、合作交流的意识和勇于探索的良好品质三、教学问题诊断分析1、两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中，通过逐个给出的三个问题，让学生在讨论后形成倾斜角的概念。

2、斜率概念的学习是本节的难点，学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的而倾斜角是唯一的，而斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生也有一定的困难，教学中从计算具体的直线的倾斜角入手，通过师生对话探究，从学习斜率的必要性、合理性、完备性三个角度进行突破。

3、过两点的斜率概念的建立是本节又一难点，受思维定势影响，在坐标系中，学生应用几何法探究斜率公式是必然，应重视这一方法，除此之外，要积极引导学生应用向量法，把几何要素用点的坐标来刻画描述，使几何问题代数化。

四、教法特点及预期效果分析1、教学上应用新课标理念，以启发式为主。

亚里士多德讲：“思维从问题，惊讶从开始”。

通过问题驱动法，采用师生对话的方式，能使学生在讨论探究中激发学习新知识的兴趣和欲望，也可加深对得到概念的理解。

疱丁巧解牛知识·巧学一、直线的倾斜角1.倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.2.倾斜角的范围：当直线l 与x 轴相交时，α可以是锐角、直角、钝角.当l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此0°≤α＜180°.3.倾斜角的意义：平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.倾斜角直接反映了直线对x 轴正向的倾斜程度.因此要确定一条直线，只要已知直线上的一个定点和它的倾斜角就可以了.要点提示 1.要理解倾斜角定义中含有三个条件：①直线向上的方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角，因此倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述了直线对x 轴正方向的倾斜程度.3.由倾斜角的定义可知平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角.二、直线的斜率1.斜率：当直线l 的倾斜角α不为90°时，α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示.2.斜率公式：k=tanα(α≠90°).3.斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率(倾斜角为90°时无斜率).若直线斜率k ＞0，则倾斜角为锐角；若k ＜0，倾斜角为钝角；若k 不存在，倾斜角为90°；若k=0，倾斜角为0°.当直线斜率k ＞0时，直线斜率越大，倾斜角越大；当直线斜率k ＜0时，直线斜率越大，倾斜角越大.4.斜率的意义：斜率间接反映了直线对x 轴正向的倾斜程度.因此，要确定一条直线，只要知道直线上的一个定点和它的斜率就可以了.误区警示 在求解有关直线斜率的问题时，考虑直线的倾斜角是否为90°，即斜率是否存在是非常必要的，否则容易造成丢解.三、已知直线上两点求斜率的公式已知直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其斜率为k=1212x x y y --.斜率公式既可以由已知两点求斜率，也可以由斜率及一点的坐标求另一点的坐标满足的关系式，即公式的正用与逆用.直线的斜率公式k=1212x x y y --有意义的条件为x 1≠x 2，应用此公式时常常用到方程思想. 误区警示 从公式可以看出当x 1＝x 2，即P 1P 2与x 轴垂直时，k 不存在（α＝90°）.当y 1＝y 2，即P 1P 2与y 轴垂直时，k ＝0（α＝0°）,并且k 的值与P 1、P 2两点坐标的顺序无关. 问题·探究问题1 一次函数y=kx+b 的图象是什么？k ＜0时，其函数的单调性怎样？对应的图象有什么特征？探究:图象为直线；k ＜0时，函数在(-∞，+∞)上递减；其对应的图象的斜率小于0.出现“左高右低”的形式.问题2 任一直线都有倾斜角吗？都有斜率吗？是否直线的倾斜角越大，其斜率也越大？探究:都有倾斜角；不一定都有斜率，如θ=90°时，斜率不存在；应分θ∈［0°,90°)和(90°,180°)两个区间分别说明，直线的斜率关于该直线的倾斜角的单增性在各自区间是成立的，而θ∈［0°,180°)时，则不正确.问题3 请同学们在地面上固定一个点P ，并放置一根直棒AB ，使点P 与AB 不共线，当建立一个直角坐标系，使P(0，-2)、A(-2，1)、B(3，2)时，由点P 引一根很长的线PQ ，当线PQ 绕点P 旋转，总与棒AB 相交时，你能求出该线PQ 的斜率的取值范围吗？探究:该问题可以画图分析，即可转化为直线PQ 由PB 逆时针旋转到PA 过程中直线PQ 的斜率的变化范围.而k PB =340322=-+，k PA =230221-=--+,在此旋转过程中，PQ 的斜率由k PB 变化到无穷大，又由无穷大变化到k PA .所以PQ 的斜率的取值范围为(-∞,23-］∪［34,+∞). 典题·热题例1 已知直线l 经过点A(-2，0)、B(-3，1)，求l 的倾斜角.思路解析：先由斜率公式求出斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.当斜率k<0时，倾斜角α为钝角，利用tanα=tan(180°-β)，其中tanβ=-k ，β为锐角.解：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，则k=1)2(301-=----，∴tanα=-1. ∵tan45°=1，∴tan(180°-45°)=-tan45°=-1.∴α=180°-45°=135°，即l 的倾斜角为135°.深化升华 用公式法求直线的斜率问题,注意分子分母只要前后顺序一致即可，顺序可以颠倒.由斜率判断角的范围时，若直线斜率k ＞0，则倾斜角为锐角；若k ＜0，倾斜角为钝角；若k 不存在，倾斜角为90°；若k=0，倾斜角为0°.例2 若直线l 1的斜率为k 1，倾斜角为α1，直线l 2的斜率为k 2，倾斜角为α2，且k 1+k 2=0，k 1k 2≠0.求证：α1+α2=180°.思路解析：该题进一步给出了斜率与倾斜角的关系，证α1+α2=180°，只需证α2=180°-α1，也即证tanα2=tan(180°-α1)成立，再考虑α2与180°-α1在同一单调区间内即可.证明：如图3-1-1所示，∵k 1+k 2=0，且k 1·k 2≠0，图3-1-1∴k 1≠0，k 2≠0，故k 1=-k 2，即tanα1=-tanα2=tan(180°-α2).∵0°<α1<180°，0°<α2<180°，∴-180°<-α2<0°，0°<180°-α2<180°.∴α1与180°-α2都在(0°，180°)中，且α1、α2都不等于90°.∴α1=180°-α2，即α1+α2=180°.深化升华 本题给出的直线的倾斜角与斜率的关系，可以作为结论来记忆；若两直线的斜率和为0，则两直线的倾斜角互补.例3 一束光线从点A(-2,3)射入，经x 轴上点P 反射后，通过点B(5，7)，求点P 的坐标. 思路解析：光的反射原理中，入射角与反射角相等，由此可得入射光线与反射光线倾斜角之间的关系.解：设P(x ，0)，由光的反射原理知，入射角等于反射角，设入射角为α，反射角为β，α=β.所以反射线PB 的倾斜角β与入射线AP 的倾斜角(π-α)互补，因此，k AP =-k BP ，即570)2(30---=---x x ，解得x=101，即P(101，0). 误区警示 光的反射问题中，入射角等于反射角，但入射线的斜率并不等于反射线的斜率，当镜面水平放置时，它们之间是互为相反数的关系；另外，在光的反射问题中也经常使用对称思想求解.。

数学人教B必修2第二章2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用．3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．1．直线方程的概念由于函数y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx ＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．【做一做1－1】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．【做一做1－2】给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝__________(x1≠x2)．(3)倾斜角θ：x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．(4)斜率k与倾斜角θ的关系如图所示．当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．【做一做2】过点P (1,3)和Q (0,5)的直线的斜率为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12对直线斜率的全方位剖析剖析：(1)斜率公式的适用范围．经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其适用范围是x 1≠x 2.说明如下：①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示． ②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y 2＝y 1(x 2≠x 1)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线与x 轴垂直，倾斜角θ＝90°，斜率k 不存在．(2)从运动变化的观点看斜率公式．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k 与这两点在直线上的顺序无关，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，于是k ＝ΔyΔx(Δx ≠0)．(3)斜率的功能．斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k 有k ＝tan θ这一关系式．结合图示说明如下：如图所示，直线PQ ，直线PM ，且直线MQ 与y 轴平行，由直线斜率公式：k PQ ＝ΔyΔx ，k PM ＝Δy ′Δx， 由图易知Δy ′＞Δy ，∴k PM ＞k PQ .显然直线PM 相对于x 轴正方向比直线PQ 相对于x 轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P 沿直线PQ 到达点Q ，相对于从点P 沿直线PM 到达点M 来说，此人会感到沿直线PM 走比沿直线PQ 走更费劲．一般地，直线斜率为k ，若有|k |越大，反映直线相对于x 轴倾斜程度越大；反之|k |越小，反映直线相对于x 轴倾斜程度越小．若k AB ＝k AC ，此时直线AB 与直线AC 的倾斜角相同，即三点A ，B ，C 共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但k AB ＝k CD 只能说明直线AB 与直线CD 倾斜角相同，不能说明A ，B ，C ，D 四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行．题型一 概念辨析题【例1】下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab.其中正确命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0 反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x 轴垂直时斜率不存在．题型二 求直线的斜率【例2】已知直线l 经过两点A (2,－1)，B (t,4)，求直线l 的斜率． 分析：点B 的坐标中含参数t ，注意分类讨论．反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．题型三 斜率公式的综合应用【例3】求证：A (1,5)，B (0,2)，C (－1,－1)三点共线．分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线．反思：通过本题可归纳出：若斜率k AB ，k AC 存在，则k AB ＝k AC ⇔A ，B ，C 三点共线，当然也可以用|AB |＋|BC |＝|AC |来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点．【例4】已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决．反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用．【例5】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．分析：根据yx 的几何意义，本题即是求直线y ＝－2x ＋8(2≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．题型四 易错辨析【例6】设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋30°B ．α－150°C ．150°－αD ．当0°≤α＜150°时为α＋30°，当150°≤α＜180°时为α－150°错解：∵直线l 按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°.答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会越过180°，这样就不满足倾斜角的范围[0，π)了．1过点P (－2，m )和点Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )． A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或42若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( )． A ．若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2 B ．若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2 C ．若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2 D ．若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角α的范围是__________． 4若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．5已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点B 的坐标．答案： 基础知识·梳理1．二元一次 这个方程的解 这条直线的方程 这个方程的直线 【做一做1－1】y ＝－x【做一做1－2】A 由直线方程的定义可知③，④均不正确．又y ＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y ＝kx ＋b 中的k ≠0，∴①也不正确．当一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中的b ＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．2．(1)斜率 (2)y 2－y 1x 2－x 1(3)直线向上的方向 平行或重合 0°≤θ＜180°【做一做2】B 典型例题·领悟【例1】C 根据倾斜角定义知，①正确；倾斜角范围为[0，π)，∴②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，∴③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，∴④不正确．故选C.【例2】解：(1)当t ＝2时，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2，∴综上所述，当t ＝2时，直线l 的斜率不存在； 当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝5t －2. 【例3】证明：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝－1－5－1－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．【例4】解：如图所示，直线l 过定点C (0,2)，k CB ＝1－23－0＝－13，k CA ＝4－21－0＝2，k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.【例5】解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)， 而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.【例6】D 正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否在0°≤α＜180°范围内．若在，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不在，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°.随堂练习·巩固1．A 由斜率公式，有1＝4－mm －(－2)，得m ＋2＝4－m .∴m ＝1.2．D 3．90°＜α＜180° 如图所示，直线过第二、四象限，可知直线l 的倾斜角为钝角，其范围是90°＜α＜180°.4．4 由题意可得k AB ＝22－a＝k AC ＝2－42＝－1⇒a ＝4.5．解：设所求直线方程为y ＝kx ＋b ，∵k ＝2，A (3,4)在直线上， ∴4＝2×3＋b ，解得b ＝－2. ∴直线方程为y ＝2x －2.如果B 在x 轴上，则可设B (x 0,0)，代入直线方程解得x 0＝1，即B (1,0)；如果B 在y 轴上，则可设B (0,y 0)，代入直线方程解得y 0＝－2，即B (0,－2)．。

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

§2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教学设计说明一【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学必修2（B版）》第二章第二节第一课时，直线方程的概念与直线的斜率,教学内容有直线方程的概念、直线倾斜角、斜率以及直线倾斜角与直线斜率的关系等概念。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角从几何角度刻画了直线的倾斜程度，斜率是从数量关系上刻画了直线的倾斜程度。

直线的倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带；而斜率则是代数量,建立斜率公式的过程，体现了解析法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质,而且它在以后建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起到核心作用,是本节课的重点.同时，本节课是第一次用方程研究直线，为后续研究曲线起到一个示范作用.二【目标分析】（1）、理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的斜率.（2）、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力.（3）、帮助学生进一步了解分类讨论思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣.三.【教学问题诊断】学情分析之知识储备：1.学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识也足以让学生理解直线的方程概念，教材是由一次函数的图像引入的，是将一次函数与其图像的对应关系，转换成直线方程和直线的对应关系。

这样引入比较自然，符合学生的认知特点。

2.直线方程的学习安排在三角函数之前，因此，倾斜角的正切等于斜率，这一事实还不能直接引入。

在研究斜率与倾斜角的关系时,由于没有三角函数的知识,学生接受起来比较困难,这是本节课的难点.在这部分内容的研究中，鼓励学生小组讨论, 尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系,学生充分利用特值验证，或斜率公式作出解释,教师再利用几何画板演示变化关系,给学生更加深刻的直观印象,从而突破难点.学情分析之心理准备：对现在的高中生来说，他们的思维能力、阅读能力已基本成熟。

高一课堂学案课题：直线的点斜式方程编号：3.2.1编写人：审核人：_____使用人：_____上课时间：______班级_______ 小组_______姓名_______（2）斜率为0，在y 轴上的截距为6 _______ ；（3）过(4,2)A -，倾斜角是120 ____________ ；（4）倾斜角为0150，在y 轴上的截距是-3的直线的斜截式方程为 _________________ .例3：（1）经过点（-5,2）且平行于y 轴的直线方程是______________（2）直线y=x+1绕其上一点p （3,4）逆时针旋转90度得到直线L ，则其点斜式方程为____________________（3）求过点p(1,2)且与直线y=2x+1的平行的直线方程为____________【练】（一）选择题（每题10分，共35分）1. 直线x=1的倾斜角为 ( )A.不存在B.90°C.0°D.180°2. 已知直线l 1:y=2x-1,l 2:y=-x+3,则直线l 1与l 2的位置关系是( )A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直3. 直线23y x =-的斜率和在y 轴上的截距分别等于（ ）A.2，3B. -3，-3C.-3，2D. 2，-34. 直线经过点(2,3)P -，且倾斜角045α=，则直线的点斜式方程是（ ）A. 32y x +=-B. 32y x -=+C. 23y x +=-D. 23y x -=+5. 已知直线的方程是21y x +=--，则（ ）.A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1-B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1-D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1-6. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（ ）.A ．(0,0)B ．（3，1）C ．(1,3)D ．(1,3)--(二) 填空题(每题10分，共30分)7. 在y 轴上的截距为2，且与直线34y x =--平行的直线的斜截式方程为 。

解析几何初步——直线方程的概念与直线的斜率教案说明：本教案旨在让学生掌握直线方程的基本概念，了解直线方程的表示方法，并通过实例理解直线的斜率。

本教案适用于高中一年级学生，需具备一定的代数和几何基础。

教学目标：1. 理解直线方程的概念，掌握直线方程的表示方法。

2. 了解直线的斜率，并能运用斜率公式计算直线的斜率。

3. 能运用直线方程和斜率解决实际问题。

教学内容：一、直线方程的概念1. 引入直线方程的概念，让学生了解直线方程是用来表示直线位置和性质的数学表达式。

2. 讲解直线方程的基本形式，如点斜式、截距式和一般式等。

二、直线方程的表示方法1. 讲解点斜式方程的推导过程，让学生理解点斜式方程的含义。

2. 介绍截距式方程的推导过程，让学生掌握截距式方程的表示方法。

3. 讲解一般式方程的推导过程，让学生了解一般式方程的应用。

三、直线的斜率1. 引入直线斜率的概念，让学生了解斜率是表示直线倾斜程度的量。

2. 讲解斜率的计算公式，让学生能运用公式计算直线的斜率。

3. 通过实例讲解斜率的运用，让学生能结合直线方程和斜率解决实际问题。

四、直线方程的应用1. 讲解如何利用直线方程求直线与坐标轴的交点。

2. 介绍如何利用直线方程解决两点间距离问题。

3. 通过实例让学生掌握直线方程在实际问题中的应用。

1. 布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。

教学评价：通过本节课的学习，学生能掌握直线方程的基本概念和表示方法，了解直线的斜率，并能运用所学知识解决实际问题。

在课堂练习中，学生应能独立完成相关习题，展示对直线方程和斜率的理解。

六、直线方程的进一步应用1. 讲解如何利用直线方程判断两直线的位置关系，如相交、平行或重合。

2. 介绍如何利用直线方程解决两直线的交点问题。

3. 通过实例让学生掌握直线方程在解决两直线关系问题中的应用。

七、直线的斜率与倾斜角1. 讲解斜率与倾斜角的关系，让学生了解斜率与直线倾斜程度的关系。

2. 讲解如何利用斜率公式求直线的倾斜角，让学生能运用公式计算直线的倾斜角。