江苏省铜山县夹河中学高中数学必修一教案：分数指数幂1 精品

§2.2指数函数课题：§2.2.1分数指数幂-1.根式教学目标：1.理解n次方根与n次根式的概念;2.了解根式的两个性质:(n a)n, n a n分别等于什么.重点难点：重点——n次方根与n次根式的概念;难点——根式的两个性质:(n a)n, n a n分别等于什么．教学教程：一、问题情境问题1:若x2=a,则a叫x的_________,x叫a的____,a>0时,x的值有____个,分别记作______;a的正的平方根叫a的算术平方根,记作____.若x3=a,则a叫x的____,x叫a的____,a∈R,x的值有____个,记作_____;二、学生活动回忆初中学过的平方根与立方根的概念,为下面将概念推广到n 次方根作准备.问题2:将这两个概念推广,可得:若x4=a,则x叫a的,a>0时,x的值有个,分别记作;若x5=a,则x叫a的,a∈R,x的值有个,记作;……若x n=a,则x叫a的,x的值有几个呢?三、建构数学1.根式的概念一般地,如果一个实数x满足x n=a(n>1,n∈N*), 那么称x为a的n 次实数方根(n-th root).当n是奇数时,正数的n次实数方根是一个正数,负数的n次实数方根是一个负数,0的n次实数方根是0.总之,实数a的n次方根只有一个,记作x=n a.由学生举例说明.当n是偶数时,正数的n次实数方根有两个,它们互为相反数,正数a正的n次方根记作n a,亦可称为n次算术根;负的n次方根记作－n a.正数a的n次方根合并写成±n a.负数没有偶次方根,0的偶次方根是0.仍由学生举例说明.注:1. 0的n次方根都是0;2.偶次方根与平方根类似,奇次方根与立方根类似.式子n a叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数.2.根式的性质我们在初中曾经学过二次根式,三次根式的性质.⑴(a)2=a(a>0), (3a)3=a(a ∈R); ⑵a 2=|a|=⎩⎨⎧<-≥)0( )0( a a a a ,3a 3=a(a ∈R).你能写出n 次方根类似的性质吗?⑴(n a)n =a(n a 有意义); ⑵n 是奇数时,n a n =a(a ∈R),n 是偶数时,n a n =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0( )0( a a a a四、数学运用1．例题例1 求下列各式的值: ⑴(7)2⑵(3－5)3⑶4(－3)4⑷(3－π)2 解:⑴(7)2=7⑵(3－5)3=－5⑶4(－3)4=|－3|=3⑷(3－π)2=|3－π|=π－3例2求下列各式的值: ⑴5－32⑵(－3)4⑶.(2－3)2⑷5－2 6解:⑴5－32= 5(－2)5=－2⑵(－3)4=92=9⑶(2－3)2=|2－3|=3－ 2 ⑷5－26=(2－3)2=3－ 2. 2.练习 化简 ⑴3－125⑵(－10)2⑶4(4－π)4⑷6(a －b)6(a<b)五、回顾小结本课学习了n 次方根概念及性质,关键要抓住偶次根式与平方根类似,奇次根式与立方根类似这两个特点.六、课外作业1.P48 习题2.2⑴1;2.预习课本P46~48 2.分数指数幂预习题:⑴分数指数幂的意义是什么?如何将分数指数幂与根式进行互化?⑵分数指数幂有哪些性质?。

分数指数幂2三维目标一、知识与技术1.理解分数指数幂的含义，认识有理数指数幂的意义.2.掌握有理指数幂的运算性质，灵巧地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转变.二、过程与方法1.教课时不单要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思想迁徙能力的培育.2.经过指数幂观点及其运算性质的拓展，指引学生仔细领会数学知识发展的逻辑合理性、谨慎性.3.经过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培育学生能辩证地剖析问题、认识问题 .三、感情态度与价值观1.经过分数指数幂观点的学习，使学生认清基本观点的前因后果，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，领会知识之间的有机联系，感觉数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教课过程中，经过教师与学生、学生与学生之间的相互沟通，加深理解分数指数幂的意义.3.经过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不停扩大、不停完美的过程，使学生认可科学是在不停的察看、实验、研究和完美中行进的.教课重点1.分数指数幂的含义的理解.2.根式与分数指数幂的互化.3.有理指数幂的运算性质的掌握.教课难点1.分数指数幂观点的理解.2.有理指数幂的运算和化简.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教课过程一、回首旧知，研究规律，引入新课师：上节课学习了n 次方根的相关知识，请同学们依据相关知识迅速达成以下练习.（多媒体显示以下练习，生口答）① 532=________ ；②481 =________；③210=________ ；④ 3 312=________.生：① 2②3③25④34.师：注意察看最后化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？（组织学生沟通，实时捕获与以下结论相关的信息并板书）1012210=25=22，3 312=34=33.师：你对上边的总结是什么呢?生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式能够写成分数指数幂的形式.师：当根式的被开方式的指数不可以被根指数整除时，能否也可将根式写成分数指数幂的形式？（生思虑片晌，师持续论述）师：这个问题我们的前辈早已解决了，人们在不停研究中发现，这么做不不过能够的，而且还会给计算带来很大方便 .于是就成立了分数指数幂的观点.这就是我们本课所要研究的内容.二、解说新课（一）分数指数幂的意义师： 3 a 2 ， b ， 4 c 5 等经过类比能够写成什么形式？说了然什么问题?215生： a 3 ， b 2 ， c 4 .当根式的被开方式的指数不可以被根指数整除时，也能够写成分数指数幂的形式 .师：经过上边的例子你能给出一般性的结论吗 ?（生在师的指导下，得出一般性的结论） （师板书正分数指数幂的意义） m规定：正数的正分数指数幂的意义是a n = n a m （ a ＞ 0， m 、 n ∈ N * ，且 n ＞ 1） .师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还可以说出来吗？ 生：负整数指数幂的意义为a －n= 1（ a ≠ 0，n ∈ N * ） .na师：负分数指数幂的意义如何规定呢？你可否依据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢？（组织学生议论沟通，得出以下结论）正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿 .m11规定： an==（ a ＞0， m 、 n ∈ N * ，且 n ＞1） .mamann我们规定： 0 的正分数指数幂等于 0； 0 的负分数指数幂没存心义 .师：仔细的同学可能已经发现了，我们这里议论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0 这个规定的，为何要作这个规定呢？假如去掉这个规定会产生如何的场面？合作研究：在规定分数指数幂的意义时，为何底数一定是正数？（组织学生议论，经过详细例子说明规定底数a ＞ 0 的合理性）12若无此条件会惹起杂乱，比如，（－ 1） 3 和（－ 1） 6 应该拥有相同的意义，但由分数指数幂的意义可12得出不一样的结果： （－1） 3=31=11 6 = 6 ( 1) 2= 61=1.这就说明分数指数幂在底数小于 0时无－；（－） 意义 .2方法指引：在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在例子3a 2 =a 3 （ a ＞ 0）中，若无 a2＞ 0 这个条件， 3 a 2 =|a| 3 ；同时，负数开奇次方根是存心义的，因此当奇数次根式要化成分数指数幂时，3先要把负号移到根号外面去，而后再按规定化成分数指数幂，比如，5( 2)3 =－5 23 =－25.知识拓展：负分数指数幂在存心义的状况下总表示正数，而不是负数，负号不过出此刻指数上 .（二）有理数指数幂的运算法例师：规定分数指数幂的意义以后， 指数幂的观点就从整数指数推行到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依旧能够进行推行，请回首一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）关于随意的有理数 r 、 s ，均有下边的运算性质：① a r a s =a r+s （a ＞ 0， r 、 s ∈Q ）；②（ a r ）s =a rs （ a ＞ 0，r 、 s ∈ Q ）；③（ ab ） r =a r b r（ a ＞0， b ＞ 0，r 、 s ∈ Q ） . （三）例题解说21；（ 13【例 1】求值：83 ；252）－5；（16） 4 .281（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，重申严格依据解题步骤书写）222解：83 =（23） 3 =23×3 =22=4；112 ( 1 )1 ；225 2=（52） 2=5=5－1=5（ 1） － 5=（2－1 ）－5=25=32；234 ( 3 )2 ）－3=27.（16） 4=（ 2）4=（ 81 33 8【例 2】 用分数指数幂的形式表示以下各式（此中 a ＞ 0）：a 3·a ； a 2· 3 a 2 ； 3 a .（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤）11 7解： a 3· a =a 3· a 2 =a32=a 2 ；22 28a 2· 3 a 2 =a 2· a 3 =a3=a 3 ；114123a =（ a · a 3 ） 2 =（ a 3 ） 2 =a 3 .方法指引：利用分数指数幂进行根式运算时，其次序是先把根式化为分数指数幂，再依据幂的运算性质进行计算 .关于计算的结果，不强求一致用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不可以同时含有根号和分数指数，也不可以既有分母又含有负指数.【例 3】 计算以下各式（式中字母都是正数）：211115（ 1）（2a 3 b 2 ）（－ 6a 2 b 3 ）÷（－ 3a 6 b 6 ）；13（ 2）（m 4 n 8 ） 8.2111152 1 11 1 5解：（ 1）（ 2a 3 b 2 ）（－ 6a 2 b 3 ）÷（－ 3a 6 b 6 ） =［2×（－ 6）÷（－ 3）］ a 3 2 6b 236=4ab 0=4a ； 1313m 2（ 2）（m 4n 8） 8=（ m 4） 8（ n8－.） 8=m 2n3=n 3【例 4】 计算以下各式：（1）（ 3 25 － 125）÷ 4 25；a 2（ 2）（ a ＞0） .a3a 22 3 1 2 1 3 1 2 1 3 11解：（ 1）（ 3 25 － 125 ）÷ 4 25=（5 3 － 5 2 ）÷52=5 3 ÷ 5 2 － 5 2 ÷ 5 2 =5 3 2 － 5 2 2 =5 6 －5=65－ 5；a2a21 25（ 2）26a 5=a2 3 =a 6a 3 a 2 = 12 = .a 2 a 3三、稳固练习课本 P 63 练习： 1， 2， 3.（生达成后，同桌之间相互沟通解答过程）134 a 3 3121 解： 1.a2 = a ；a 4 = ；a5=；a 3 =.5 a3 3 a 22322.（ 1） 3 x 2 =x 3 ；（2） 4 (ab) 3 =（ a+b ） 4 ；（ 3） 3 ( m n) 2 =（ m －n ） 3 ；4（ 4） (m n)4=（ m － n ） 2 =（ m － n ） 2；（ 5） p 6q 516 1 5 15=（ p 6q 5） 2 =p 2 q2=|p|3q 2 ；（ 6）m33 1 5=m 2 =m 2 .m336）3= 216 ；3.（ 1）（36） 2 =［（6）2］2 =（4977 343（2）21 1 1 1 111 1 13×3× 612=2×32×（ 2 ） 3×（22×3） 6=2 33×3236 =2× 3=6；31 1 31 1 33（ 3） a 2 a 4 a 8 =a 2 4 8 =a 8 （a ＞ 0）；1 121 1 1( 2)4 .（ 4） 2x 3（ 1 x 3 － 2x 3） =2 × 1× x3 3－2× 2× x 33=x 0－4x －1=1 －22x四、讲堂小结师：本节课你有哪些收获 ?能和你的同桌相互沟通一下你们各自的收获吗？请把你们的沟经过程作简单记录 .（生沟通，师投影显示以下知识重点）1.分数指数幂的意义m规定：正数的正分数指数幂的意义是a n = n a m （ a ＞ 0， m 、 n ∈ N * ，且 n ＞ 1） .m11正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a n==（a ＞ 0， m 、mna m ann ∈ N * ，且 n ＞ 1） .我们规定： 0 的正分数指数幂等于 0； 0 的负分数指数幂没存心义 .2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义此后，指数的观点就从整数指数推行到有理数，并把整数指数幂的运算性质推行到有理指数幂的运算性质.3.有理数指数幂的运算法例①a r a s=a r+s（a＞ 0， r、 s∈Q ）；②（ a r）s=a rs（ a＞ 0，r、 s∈ Q）；③（ ab）r=a r b r（ a＞0， b＞ 0，r 、 s∈ Q） .五、部署作业板书设计指数与指数幂的运算（2）1.分数指数幂的意义0 的正分数指数幂等于0； 0 的负分数指数幂没存心义2.有理数指数幂的运算法例3.例题解说与学生训练4.讲堂小结5.部署作业。

2.2.1 分数指数幂▲ 课程学习目标1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．(1) 理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算． (2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算．2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．[重点难点]1、目标重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质．2、目标难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．[学法关键]学习时可以考虑以下几点：①熟悉正整数幂各部分的名称及运算的本质，与熟悉的运算相联系，树立起转化的观点．②根据方根的意义及根式的定义,记忆重要公式: n x a =⇔x＝ ,, ,0, 0.n n a n a a ⎪⎨⎪⎪=⎩为奇数,为偶数为正数,不存在为偶数为负数,．③在n 次方根的定义中并没有将n 次方根符号化原因是结论的多样性，需要先研究规律，再把它符号化．将对n 次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．一、引入一张报纸折叠50次以后,有多厚呢?同学们你们想过吗?我们近似看作是5020.01⨯毫米吧, 这是多高呢?11,258,999.07千米报纸叠了一次变成了两层,二次变成了4层,三次变成了8层,……x 次变成了2x层,则层数y 与次数x 间的函数关系式为2xy =,这就是我们要研究的一个新的函数,指数函数.上例中我们只提到了x 取正整数,若取0或负数也有意义,取无理数呢?1：整数指数幂（1）正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即...n n a a a a =个（2）正整数指数幂的运算法则：(0,)m n m nm n m n a a a a a a a m n +-=÷=≠> ①②()()m n mnn n n a a ab a b == ③④()(0)nn n a a b b b=≠⑤ 其中m 、n 都是正整数，且法则②中限定m ＞n （为什么？）. （3）整数指数幂为了取消m ＞n 的限制，我们定义了零指数幂和负整数指数幂：0*11,(,0)n n a a n N a a-==∈≠ 这样，上面的5条运算定律就可以归纳为3条（①、③、④），同时，将指数的范围扩大到了整数．为保证法则②、⑤对任意整数都成立，我们规定0,0a b ≠≠2:根式如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根 ,如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根 一般地，如果a x n =，其中n >1，且n ∈N *, 那么x 叫做a 的n 次实数方根．注: ①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根只有一个,记为x =②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．它们可以合并成±n a （a >0）的形式．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．对于根式记号n a ,要深刻理解以下几点： ①n ∈N,且n ＞1．②当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义，它表示a 在实数范围内惟一的一个n 次方根，（n a ）n ＝a ． ③若一个数x 的n 次方等于a (nx a =)，那么x 怎么用a 来表示呢？仅x ＝n a 这个回答是不完整的．应该是这样的：n x a =⇔x＝ ,, ,0, 0.n n a n a a ⎪⎨⎪⎪=⎩为奇数,为偶数为正数,不存在为偶数为负数,例1.(课本P46例1)说明:化简时要注意根号内外的指数及被开方数的奇偶数问题!练习:(课时训练P33例1) 求下列各式的值:=2+-=8(2(2-+--- =-83: 分数指数幂我们规定正数的正分数指数幂的意义是：0,,*,1)m na a m n N n =>∈>，于是在条件0,,*,1a m n N n >∈>下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：0,,*,1)m naa m n N n -=>∈>，0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义.关于分数指数幂要注意以下几点：①分数指数幂m na 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法. ②引入分数指数幂的概念后，指数概念由整数指数幂扩充为有理指数幂．4:分数指数幂的运算性质(1)有理数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样：,(),()r s r s r s rs n n n a a a a a ab a b +=== ，其中0,0,,a b r s Q >>∈根式运算可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质进行计算．注意：当指数从整数指数推广到了有理指数后，m na =增加了限制条件“0a >”或“0,0ab >>”，做题中要注意这一限制，否则可能会出现错误..(2) 无理指数幂：当a ＞0, p 是一个无理数时，规定p a 表示一个确定的实数，而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适用．这样，指数概念扩充到了整个实数范围．分析:指数幂运算要先化简底数,再将指数相乘!分析:分数指数幂运算时,要先将各指数暴露出来,同底数相乘的指数相加,外面有幂的,指数相乘!练习: (课时训练P33例2)1.计算:(1) --+(2)1101347(0.0081)[3()]100.0278---⨯-⨯.解析:(1)原式=11211333347333263(33)-⨯-⨯⨯-⨯+⨯1213333633-=-⨯+12133323330-=-⨯⨯+=;(2) 原式=114133433[()](31)10[()]1010---⨯-⨯1313()1010310-=--⨯ =1013033--=.2. (课时训练P33练习4)若0a <,化简113366()()||a a a 可得 .解析: 113366()()||||1||||a aa a a a a =-+=-.3.(课时训练P33练习2)对任意实数x , 下列各式中恒成立的是( )A. 211332()x x = B. 211332()x x = C. 311535()x x = D. 131355()x x --=分析: A 错 21113322())||x x ==B 错 22113332()x x == (0x ≥) D 错 131355()x x --= (0x ≠)(课本P47练习1) 答案:.2. (1)23a ;(2) 322x y ;(3) 32m . 3.(1)125 ;(2)8125;(3)6 . 4.(1)38a ;(2)32x y -;(3)423x y .分数指数幂的化简例5.下列各式中正确的是（ ） A ．n n a ＝a （n ∈N*） B ．（n a ）n ＝a （n ∈N*）C ．npm p a ＝n m a （n ，m ，p ∈N*） D ．nma －＝mna1（m ，n ∈N*，a ＞0）分析：我们知道，如果x n ＝a ，则称x 是a 的n 次方根．若a ＝0时，则x ＝0，即n 0＝0，若a ≠0时，当n 为正奇数时，x ＝n a ，其符号与x 的符号一致；当n 为正偶数时，则a 一定大于零，x ＝士n a ，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．解析：A 、C 中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a 的符号． 如：44)2(－≠－2和4543)2(⨯⨯－≠53)2(－，应该先将被开放式底数－2化成2，然后再进行化简．故A ，C 不一定成立． 对于分数指数幂nm a 不能理解为有nm个a 相乘，我们规定nma ＝n m a （a ＞0，m ，n ∈N*）．应该注意，nm a－的分数指数mn-的分子和分母与根式的根指数n 和被开方式的指数m 之间的对应关系，不可颠倒．故D 不成立．因此选B ．练习:1.用分数指数幂的形式表示下列各式：23(0)a a a >式中115222222;a a a aa +=⋅== 2211333333;a a a aa +=⋅==1131322224()().a a a a ⋅==小结:在进行根式的运算前或运算后，必须把原式或者结果化成最简根式，根式的运算法则为：①根式的加减法是把各根式化成最简根式，再合并同类根式． ②根式的乘除法是把各根式化成同次根式，再应用性质：n nnnn nb aba ab b a ==⋅,(b≠0)进行． ③根式的乘方是应用(n m m n a a =)(进行运算． ④根式的开方是应用n m m n a a ⋅=进行．⑤ 对于根式的乘除法、乘方和开方可以先化为分数指数幂后再用有理指数幂的运算性质进行运算.例7.若222x x -+= , 求88x x -+之值.分析：对有条件(222x x -+=)的代数式求值,一般有两种方法:一是将条件具体化,因为122x x-=, 相当于条件中给出了2x的值; 二是利用某些关系式,找出所求代数式与已知关系式间的关系.解析: 方法一 ∵222x x -+= , ∴1222x x +=, 2(2)122x x +=⋅ , 即2(2)2210x x -⋅+= , 2(21)0x -= , 21x = , 即0x = .∴882x x-+= .方法二 ∵33333388(2)(2)22(2)(2)x x x x x x x x ----+=+=+=+2222(22)[(2)22(2)](22)[(2)1(2)]x x x x x x x x x x -----=+-⋅+=+-+第 11 页 共 11 页 2(22)[(22)3]x x x x --=++- , 又222x x -+= ,∴882x x -+= . 反思 领悟: 整体思想是一种重要的数学思想,利用整体思想去观察发现问题,可以起到简化运算和简缩思维的效果.。

1.根式及分数指数幂教学目的：1.掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中2.理解分数指数幂的概念.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.4.培养学生用联系观点看问题. 教学重点：1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质. 教学难点：对分数指数幂概念的理解. 教学过程： 一、复习引入：1．整数指数幂的概念*)(N n a a a a a an n ∈⋅⋅=个 )0(10≠=a a *),0(1N n a a a nn ∈≠=- 2．运算性质：)()(),()(),(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3．注意① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -② n b a )(可看作n n b a -⋅ ∴n b a )(=nn b a -⋅=n n ba二、讲解新课：1．根式：（1）计算（可用计算器） ①23= 9 ，则3是9的平方根 ；②3)5(-=－125 ，则－5是－125的立方根 ；③若46=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ； ④57.3=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 . （2）定义：一般地，若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数例如，27的3次方根表示为327，-32的5次方根表示为532-，6a 的3次方根表示为36a ；16的4次方根表示为!416，即16的4次方根有两个，一个是416，另一个是-416，它们绝对值相等而符号相反. （3）性质：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： na x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作： na x ±=③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为0注：当a ≥0时，n a ≥0，表示算术根，所以类似416=2的写法是错误的. （4）常用公式根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32.②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3. （3）根式的基本性质：n m npm p a a =，（a ≥0）.注意，（3）中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-. 用语言叙述上面三个公式：（1）非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.（2）n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.（3）若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 三、讲解例题： 例1求值①33)8(-= -8 ；②2)10(-= |-10| = 10 ； ③44)3(π-= |π-3| = 3-π ； ④)()(2b a b a >-= |a- b| = a- b . 去掉‘a>b’结果如何？ 练习求值：63125.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：负去掉绝对值符号。

一、复习提问1、根式的概念2、正数和零的分数指数幂的意义3、有理指数幂的运算性质二、例题分析例1、判断下列各式正误（1）()R a a ∈=10（2）n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛()Z n b ∈≠，0（3）t r t r a a a +=⋅)(Q t r R a ∈∈，， （4）实数a 的n 次方根是n a ()+∈N n例2、计算下列各式(式中字母都是正数) （1）46394369)()(a a ⋅ （2）3222212)()()(---÷⋅b a ab b a（3）)221(2323131--xx x （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛656165212132362b a b a b a例3、化简（1）43321328116411008-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅ （2）()5.0212001.0492513-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）322b a ab ba （4）323222323222-----------++yxy x yxy x例4、计算下列各式 （1）)0(322>⋅a aa a（2）()2114121300132104272325.0--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯例5、已知2=x ，求11115.12121-++++x x x x 的值。

三、随堂练习1、下列运算中正确的是 。

（1）a a a =⋅4334（2）a a a =÷3132 （3）03232=⋅-a a （4）a a =441)(2、化简（1）3252)(a a ⋅ （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----3241322131414132b a b a b a3、已知()321=+-a a ，求33-+a a 的值。

四、回顾反思1、熟练掌握分数指示幂与根式的互化；2、熟练运用有理指数幂的运算性质解决问题。

3.1.1 分数指数幂（1）教学目标：理解根式的概念及n次方根的性质．教学重点：根式的运算．教学难点：根式性质的理解．教学过程：一、情景设置邓小平同志提出中国经济发展三步走方针：从1981年到1990年实现国民生产总值翻一番，从1991年到二十世纪末，国民生产总值再翻一番，人民生活水平达到小康水平；到21世纪中叶，人均国民生产总值达到中等国家水平，人民生活比较富裕，基本实现现代化．这里面涉及到一个数学问题，十年翻一番，每年平均要增长多少呢？如果设每年平均增长p%，1980年的国民生产总值记为1，则有（1＋p%）10＝2，从这里如何求p呢？二、学生活动1．复习平方根、立方根的定义：（1）如果x2＝a，那么x＝（2）如果x3＝a，那么x＝2．类比得出n次实数方根的概念如果x n＝a，那么x＝（n为正整数，且n≥2）三、数学建构1．n次实数方根的概念注：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是零，即任一个实数都有且只有一个奇次方根．设x n＝a（a R，n是奇数，且n＞1），则x＝n a；（2）在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的偶次方根是零，负数的偶次方根没有意义．设x n＝a （a ＞0，n 是正偶数），则x ＝±n a ． （3）当a ≥0时，对于任意不小于2的整数n ，n a 的值存在且惟一，表示a 的n 次算术根；当a ＜0时，当且仅当n 为奇数（n ＞1）时，n a 才有意义．2．根式的性质．（1）()n n a ＝a ． （2） n n a ＝||a n a n ⎧⎨⎩，为奇数，，为偶数．四、数学运用（一）例题讲解．例1 求值．（1）()25 （2）()25- （3）()332- （4）()332- （5）()442- （6）()23π- （7）()031- 总结：根式的性质． 例2 计算下列各式的值． （1）()()()()()043212421211684232---+-∙--∙∙∙∙-（2）()()34343221212-+-+- （3）2235412942025()22x x x x x +++-+-≤≤ （二）练习： 1．（1）25的平方根是 ；（2）27的立方根是 ； （3）16的四次方根是 ；（4）－32的五次方根是 ； （5）a 6的六次方根是 ；（6）0的n 次方根是 ．2．下列说法：（1）正数的n 次方根是正数；（2）负数的n 次方根是负数；（3）0的n 次方根是0；（4）n a 是无理数．其中正确的是 （写出所有正确命题的序号）．3．对于a ＞0，b ≠0，m ，n ∈Z ，以下说法：（1）m n mn a b a ∙=；（2）()n m m n a a += ；（3）()()m n m n a b ab += ；（4）mm m b a b a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．其中正确的是 （写出所有正确命题的序号）．4．如果a ，b 是实数，则下列等式：（1）332a b +＝a ＋b ；（2）()2a b +＝a ＋b ＋2ab ；（3）()4224a b +＝a 2＋b 2；（4）222a ab b ++＝a ＋b ．其中一定成立的是 （写出所有正确命题的序号）．5．已知12x =，13y =，求x y x y x y x y+---+的值． 五、小结：1．根式的概念；2．根式的性质．六、作业：课本P63习题3.1（1）1．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。

2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。

3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。

二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。

难点：分数指数幂的计算及实际应用。

三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。

（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。

板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。

板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。

例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。

四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。

在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。

在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。

3．1指数函数3．1.1分数指数幂学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义(重、难点)；2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点)；3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质(重点)．预习教材P59－61，完成下面问题：知识点一n次方根，n次根式一般地，有：(1)n次实数方根定义一般地，如果一个实数x满足x n＝a(n＞1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根性质及表示n是奇数正数的n次实数方根是一个正数a的n次实数方根用符号na表示负数的n次实数方根是一个负数n是偶数正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数正数a的正的n次实数方根用符号na表示，正数a的负的n次实数方根用符号－na表示，正的n次实数方根与负的n次实数方根可以合并成±na(a＞0)的形式负数没有偶次实数方根0的n次实数方根是0，记作n0＝0式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．【预习评价】思考若x2＝3，这样的x有________个；它们叫做3的________，表示为________．提示这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±3.知识点二根式的性质一般地，有：(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎨⎧a(a≥0)－a(a＜0)(n为大于1的偶数)．【预习评价】思考我们已经知道，若x2＝3，则x＝±3，那么(3)2＝________，32＝________，(－3)2＝________.提示把x＝3代入方程x2＝3，有(3)2＝3；32＝9，9代表9的正的平方根即3.(－3)2＝9＝3.知识点三分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a＞0，m，n∈N*, 且n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．【预习评价】用分数指数幂表示下列各式(式中a＞0)，(1)a3＝________；(2)13a5＝________.解析(1)a3＝(2)13a 5＝★★答案★★知识点四 有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 【预习评价】思考 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？提示 由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，运算性质也适用．题型一 根式的意义【例1】 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3， 需⎩⎨⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]． 规律方法 对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0才有意义；(2)只要n a 有意义，na 必不为负．【训练1】 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围． 解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，∴a －1≥0，∴a ≥1.即a 的取值范围为[1，＋∞)． 题型二 根式的运算【例2】 求下列各式的值．(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8； (4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)． 解 (1)3(－2)3＝－2. (2)4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|， 当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4. 因此，原式＝⎩⎨⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件进行分类讨论． 【训练2】 化简下列各式．(1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a －b )4. 解 (1)5(－2)5＝－2. (2)4(－10)4＝|－10|＝10.(3)4(a －b )4＝|a －b |＝⎩⎨⎧a －b (a ≥b )，b －a (a ＜b ).题型三 根式与分数指数幂的互化【例3】 将下列根式化成分数指数幂形式． (1)3a ·4a ； (2)a a a ；(3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3.解(1)3a·4a ＝(2)原式＝(3)原式＝(4)原式＝规律方法在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：，其中字母a要使式子有意义．【训练3】用分数指数幂表示下列各式：(1)3a·6－a(a＜0)；(2)3ab2(ab)3(a，b＞0)；(3)(b＜0)；(4)13x(5x2)2(x≠0)．解(1)原式＝＝(a＜0)．题型四分数指数幂的运算【例4】(1)计算：(2)化简：解 (1)原式＝－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380. (2)原式＝＝＝a 0＝1.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 【训练4】 计算或化简：(1)－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)解 (1)原式＝＝－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.互动 探究题型五 给值求值问题【探究1解 方法一 ∵a ＞0，b ＞0，又a b ＝b a ，方法二 因为a b ＝b a ，b ＝9a ， 所以a 9a ＝(9a )a ，即(a 9)a ＝(9a )a ， 所以a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43. 【探究2】 已知＝3，求下列各式的值．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)解 (1)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9， 即a ＋a －1＝7.(2)对(1)中的式子平方， 得a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47.(3)＝a ＋a －1＋1＝8.【探究3】 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，求a －ba ＋b的值．解 ∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，∵a ＞b ＞0，∴a ＞b . ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2 ab a ＋b ＋2 ab ＝6－2 46＋2 4＝210＝15， ∴a －ba ＋b＝15＝55.规律方法 给值求值问题，即带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求的式子转化为已知的式子．课堂达标1.(a －b )2＋5(a －b )5的值是________．解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. ★★答案★★ 0或2(a －b )2．化简(1－2x )2(2x >1)的结果是________． 解析 ∵2x >1，∴1－2x <0. ∴(1－2x )2＝|1－2x |＝2x －1. ★★答案★★ 2x －13．化简－x 3x 的结果是________． ★★答案★★ －－x4．已知10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 解析 103m －n＝103m 10n ＝(10m )310n ＝233＝83.★★答案★★ 835．将下列根式化成分数指数幂的形式． (1) (a ＞0)； (2)13x (5x 2)2(x ＞0)；(3)(b ＞0)．解 (1)原式＝(2)原式＝(3)原式＝课堂小结1．掌握两个公式：(1)(na)n＝a(n∈N*)；(2)n为奇数且n∈N*，na n＝a，n为偶数且n∈N*，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a(a≥0)，－a(a＜0).2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.。