2014年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(文科)

2014年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．（0，1）C．（0，1] D．[0，1）2．（5分）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2π D．4π3．（5分）已知复数z=2﹣i，则z•的值为（）A．5 B．C．3 D．4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．an =2n B．an=2（n﹣1）C．an=2n D．an=2n﹣15．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A．4π B．3π C．2π D．π6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x8．（5分）原命题为“若＜an ，n∈N+，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真 B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s210．（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A．y=x3﹣x2﹣x B．y=x3+x2﹣3xC．y=x3﹣x D．y=x3+x2﹣2x二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=4x的准线方程是．12．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x= ．13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．14．（5分）已知f （x ）=，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2014（x ）的表达式为 ．选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2+b 2=5，ma+nb=5，则的最小值为 ．几何证明选做题16．如图，△ABC 中，BC=6，以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AC=2AE ，则EF= ．坐标系与参数方程选做题 17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 ．三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ． （Ⅰ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （A+C ）； （Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，且c=2a ，求cosB 的值．19．（12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ． （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：四边形EFGH 是矩形．20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC 三边围成的区域（含边界）上，且=m +n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．22．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．23．（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．2014年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．（0，1）C．（0，1] D．[0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选：D．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2π D．4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（5分）已知复数z=2﹣i，则z•的值为（）A．5 B．C．3 D．【分析】由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．【解答】解：由z=2﹣i，得z•=（2﹣i）（2+i）=4﹣i2=5．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．an =2n B．an=2（n﹣1）C．an=2n D．an=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n．故选：C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A．4π B．3π C．2π D．π【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：C．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．7．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：A．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；B．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R 上是单调增函数，故B 正确； C ．f （x ）=，f （y ）=，f （x+y ）=，不满足f （x+y ）=f （x ）f （y ），故C 错； D ．f （x ）=，f （y ）=，f （x+y ）=，满足f （x+y ）=f （x ）f（y ），但f （x ）在R 上是单调减函数，故D 错． 故选：B ．【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．8．（5分）原命题为“若＜a n ，n ∈N +，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假．【解答】解：∵＜a n =⇔a n+1＜a n ，n ∈N +，∴{a n }为递减数列，命题是真命题； 其否命题是：若≥a n ，n ∈N +，则{a n }不是递减数列，是真命题； 又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题， ∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题． 故选：A ．【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A ．，s 2+1002 B ．+100，s 2+1002 C ．，s 2 D ．+100，s 2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知yi =xi+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2=[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．故选：D．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．10．（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A．y=x3﹣x2﹣x B．y=x3+x2﹣3xC．y=x3﹣x D．y=x3+x2﹣2x【分析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案．【解答】解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线y=﹣x相切，在（2，0）点处与y=3x﹣6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．A、，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是﹣1，3，符合题意，故A正确；B、，将0代入，此时导数为﹣3，不为﹣1，故B错误；C、，将2代入，此时导数为﹣1，与点（2，0）处切线斜率为3矛盾，故C错误；D、，将0代入，此时导数为﹣2，与点（0，0）处切线斜率为﹣1矛盾，故D错误．故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=4x的准线方程是x=﹣1 ．【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．【解答】解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=﹣1．故答案为x=﹣1．【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．12．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x= ．【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos 2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ 【解答】解：∵=sin2θ﹣cos 2θ=2sinθcosθ﹣cos 2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=， 故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．14．（5分）已知f （x ）=，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2014（x ）的表达式为．【分析】由题意，可先求出f 1（x ），f 2（x ），f 3（x ）…，归纳出f n （x ）的表达式，即可得出f 2014（x ）的表达式 【解答】解：由题意．．．…故f 2014（x ）=故答案为：【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．几何证明选做题16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 ．【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．坐标系与参数方程选做题17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 ．【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P．直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形．【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【分析】（Ⅰ）由点的坐标求出向量和的坐标，结合m=n=，再由=m+n求得的坐标，然后由模的公式求模；（Ⅱ）由=m+n得到，作差后得到m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，然后利用线性规划知识求得m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，又m=n=，∴．∴；（Ⅱ）∵，∴，两式相减得，m﹣n=y﹣x．令y﹣x=t，由图可知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为：1．【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．【分析】（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P（A），P（B），再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A）=，P（B）=，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得P（C）=0.24．【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题．22．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围．利用弦长公式可得|CD|=2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=．由=，即可解得m．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，c=1，a=2．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．∴圆心到直线l的距离d=，由d＜1，可得．（*）∴|CD|=2==．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣mx+m2﹣3=0，可得x1+x2=m，．∴|AB|==．由=，得，解得满足（*）．因此直线l的方程为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．23．（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m ＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m ＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m ≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．第21页（共21页）。

2014年咸阳市高考模拟考试试题（一）文 科 数 学考生须知：1、本试题卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷（主观题）两部分，试卷共4页21题；满分为150分；考试时间为120分钟。

2、第Ⅰ卷，第Ⅱ卷都做在答题卷上，做在试题卷上不得分。

参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)k kn kn n p k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．平面向量a ＝（1,1），b ＝（－1，m ），若a ∥b ，则m 等于（ ）A ．1 B.－1 C.0 D.±1 【答案】B【解析】因为a ∥b ，所以m+1=0，即m=-1. 2．抛物线24x y =的焦点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（0，2）C ．（l ，0）D ．（0，1）【答案】D【解析】易知抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线24x y =的焦点坐标是（0，1）。

3. 已知A=｛x|2()lg(2)f x x x =--,x ∈R ｝，B=｛x ｜|x ＋1|<4，x>0｝,则A B=（ ）A ．（0,1） B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】C【解析】A=｛x|2()lg(2)f x x x =--,x ∈R ｝{}|12x x x =<->或，B=｛x ｜|x ＋1|<4，x>0｝{}|03x x =<<,所以A B=(2,3)。

2014 年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，共 50 分）1．（5 分）（2014?陕西）设会合 M={ x| x≥0，x∈R} ， N={ x| x2＜1，x∈R} ，则 M ∩N=（）A．[ 0，1]B．（0，1）C．（0，1]D．[ 0，1）【剖析】先解出会合 N，再求两会合的交即可得出正确选项．【解答】解：∵M={ x| x≥ 0，x∈R} ，N={ x| x2＜ 1，x∈R} ={ x| ﹣1＜x＜1，x∈R} ，∴M∩N=[ 0，1）．应选： D．2．（5 分）（2014?陕西）函数 f （x）=cos（ 2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【剖析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．【解答】解：依据复合三角函数的周期公式得，函数f （x） =cos（ 2x+）的最小正周期是π，应选： B．3．（5 分）（2014?陕西）已知复数z=2﹣i，则z?的值为（）A．5B．C．3D．【剖析】由 z 求出，而后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．【解答】解：由 z=2﹣i，得 z? =（2﹣i）（2+i）=4﹣ i2 =5．应选： A．4．（5 分）（2014?陕西）依据以下图的框图，对大于 2 的整数 N，输出的数列的通项公式是（）A．a n=2n B．a n =2（ n﹣ 1）C．a n=2n D．a n=2n﹣1【剖析】依据框图的流程判断递推关系式，依据递推关系式与首项求出数列的通项公式．【解答】解：由程序框图知： a i+1 =2a i，a1=2，∴数列为公比为 2 的等比数列，∴ a n=2n．应选： C．5．（5 分）（2014?陕西）将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD．π【剖析】边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，获得的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，获得的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π× 1=2π，应选： C．6．（5 分）（2014?陕西）从正方形四个极点及此中心这 5 个点中任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【剖析】设正方形边长为1，则从正方形四个极点及此中心这5 个点中任取 2 个点，共有 10 条线段， 4 条长度为 1，4 条长度为，两条长度为，即可得出结论．【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个极点及此中心这 5 个点中任取2 个点，共有10 条线段， 4 条长度为1，4 条长度为，两条长度为，∴所求概率为= ．应选： B．7．（5 分）（ 2014?陕西）以下函数中，知足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单一递加函数是（）A．f（ x） =x3 B．f（ x）=3x C．f （x）=x D．f（x）=（）x【剖析】对选项一一加以判断，先判断能否知足 f （x+y）=f（ x）f（ y），而后考虑函数的单一性，即可获得答案．【解答】解： A．f （x）=x3，f（ y）=y3，f （x+y）=（x+y）3，不知足f（x+y） =f （x）f（y），故 A 错；B．f （x）=3x，f（ y） =3y， f（x+y）=3x+y，知足 f（ x+y）=f（x）f （y），且 f（ x）在 R 上是单一增函数，故 B 正确；C．f （x）=，f（y）=，f（x+y）=故 C错；D．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不知足 f （x+y）=f（x）f（y），，知足 f（x+y）=f（x）f（y），但 f（x）在 R 上是单一减函数，故 D错．应选： B．8．（ 5 分）（ 2014?陕西）原命题为“若＜a n，n∈N+，则{ a n} 为递减数列”，对于其抗命题，否命题，逆否命题真假性的判断挨次以下，正确的选项是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假【剖析】先依据递减数列的定义判断命题的真假，再判断否命题的真假，依据命与其逆否命同真性及四种命的关系判断抗命与逆否命的真假．【解答】解：∵＜a n=? a n+1＜a n，n∈ N+，∴{ a n} 减数列，命是真命；其否命是：若≥a n， n∈ N+， { a n} 不是减数列，是真命；又命与其逆否命同真同假，命的否命与抗命是互逆否命，∴命的抗命，逆否命都是真命．故： A．9．（5分）（2014?西）某企业10 位工的月工（位：元）x1， x2，⋯，x10，其均和方差分和 s2，若从下月起每位工的月工增添100 元，10 位工下月工的均和方差分（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s2【剖析】依据量之均和方差的关系和定，直接代入即可获得．【解答】解：由意知 y i =x i+100，= （ x1+x2+⋯+x10+100×10） = （x1+x2+⋯+x10） = +100，方差 s2= [（x1+100（ +100）2+（x2+100（ +100）2+⋯+（ x10+100（ +100）2] = [ （x1）2+（x2）2+⋯+（x10）2] =s2．故： D．10．（ 5 分）（2014?西）如，修筑一条公路需要一段湖曲折路段与两条直道光滑接（相切），已知湖曲折路段某三次函数象的一部分，函数的分析式（）．y= x 3x2 x B．y=x3+2 3xA x C．y= x3 x D．y= x3+ x2 2x【剖析】由题设，“需要一段环湖曲折路段与两条直道光滑连结（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律考证四个选项即可得出答案．【解答】解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线 y=﹣ x 相切，在（2，0）点处与 y=3x﹣6 相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．A、，将，2代入，解得此时切线的斜率分别是﹣1，，切合03题意，故 A 正确；B、，将0 代入，此时导数为﹣3，不为﹣ 1，故 B 错误；C、，将 2 代入，此时导数为﹣1，与点（ 2，0）处切线斜率为 3 矛盾，故 C 错误；D、，将0 代入，此时导数为﹣2，与点（ 0，0）处切线斜率为﹣1 矛盾，故 D 错误．应选： A．二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（ 5 分）（2014?陕西）抛物线 y2=4x 的准线方程是 x=﹣1．【剖析】先依据抛物线的标准方程形式求出p，再依据张口方向，写出其准线方程．【解答】解：∵ 2p=4，∴p=2，张口向右，∴准线方程是 x=﹣1．故答案为 x=﹣1．12．（ 5 分）（2014?陕西）已知4a=2， lgx=a，则x=．【剖析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a 后由对数的运算性质求得x 的值．【解答】解：由4a=2，得，再由 lgx=a= ，得 x=．故答案：．13．（5 分）（ 2014?西） 0＜θ＜，向量=（sin2 θ，cos θ）， =（1，cos θ），若 ? =0，tan θ=．2sin θcosθcos2θ =0，再利用同【剖析】由条件利用两个向量的数目公式求得角三角函数的基本关系求得tan θ【解答】解：∵=sin2 θ cos2θ =2sinθ coscosθ2θ =0，0＜θ＜，∴ 2sin θ cosθ=0，∴ tan θ=，故答案：．14．（ 5分）（2014?西）已知 f （x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（ x）=f（f n（ x））， n∈ N+，f2014（x）的表达式．【剖析】由意，可先求出 f 1（x），f2（ x），f 3（x）⋯，出 f n（x）的表达式，即可得出 f2014（x）的表达式【解答】解：由意．．．⋯故 f2014（x）=故答案：考（在15-17 三中任一作答，假如多做，按所做的第一分）不等式做15．（5 分）（2014?西）a，b，m，n∈R，且 a2+b2 =5，ma+nb=5，的最小为．【剖析】依据柯西不等式（ a2+b2）（c2+d2）≥（ ac+bd）2当且仅当 ad=bc 取等，问题即可解决．【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（ m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（ m2+n2）≥ 5∴的最小值为故答案为：几何证明选做题16．（ 2014?陕西）如图，△ ABC 中， BC=6，以 BC 为直径的半圆分别交AB、AC于点 E、F，若 AC=2AE，则 EF= 3 ．【剖析】证明△ AEF∽△ ACB，可得，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点 E、 F，∴∠ AEF=∠C，∵∠ EAF=∠CAB，∴△ AEF∽△ ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴ EF=3．故答案为： 3．坐标系与参数方程选做题17．（ 2014?陕西）在极坐标系中，点（ 2，）到直线的距离是1．【剖析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点 P（ 2，）化为=，y=2，∴，．=1P直线睁开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0．∴点 P 到直线的距离 d==1．故答案为： 1．三、解答题（共 6 小题，共 75 分）18．（ 12 分）（ 2014?陕西）△ ABC的内角 A、B、C 所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若 a，b， c 成等差数列，证明： sinA+sinC=2sin（ A+C）；（Ⅱ）若 a，b， c 成等比数列，且c=2a，求 cosB的值．【剖析】（Ⅰ）由 a，b，c 成等差数列，利用等差数列的性质获得a+c=2b，再利用正弦定理及引诱公式变形即可得证；（Ⅱ）由 a，b，c 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a 代入表示出 b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ a， b， c 成等差数列，∴ a+c=2b，由正弦定理得： sinA+sinC=2sinB，∵ sinB=sin[ π﹣（ A+C）] =sin（ A+C），则 sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵ a，b， c 成等比数列，∴ b2=ac，将 c=2a 代入得： b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB=== ．19．（12 分）（2014?陕西）四周体ABCD及其三视图以下图，平行于棱AD，BC的平面分别交四周体的棱AB、 BD、DC、CA 于点 E、F、 G、H．（Ⅰ）求四周体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．【剖析】（Ⅰ）证明 AD⊥平面 BDC，即可求四周体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形 EFGH是平行四边形， EF⊥HG，即可证明四边形 EFGH是矩形．【解答】（Ⅰ）解：由题意， BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC， BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面 BDC，∴四周体 ABCD的体积 V== ；（Ⅱ）证明：∵ BC∥平面 EFGH，平面 EFGH∩平面 BDC=FG，平面 EFGH∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥ EH，∴FG∥EH．同理 EF∥ AD， HG∥ AD，∴EF∥HG，∴四边形 EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面 BDC，∴ AD⊥BC，∴ EF⊥FG，∴四边形 EFGH是矩形．20．（ 12 分）（2014?陕西）在直角坐标系xOy 中，已知点 A（1，1），B（2，3），（C3，2），点 P（ x，y）在△ ABC三边围成的地区（含界限）上，且 =m +n （m，n∈R）（Ⅰ）若 m=n= ，求 || ；（Ⅱ）用 x， y 表示 m﹣n，并求 m﹣n 的最大值．【剖析】（Ⅰ）由点的坐标求出向量和的坐标，联合m=n=，再由=m+n求得的坐标，而后由模的公式求模；（Ⅱ）由=m+n获得，作差后获得m﹣n=y﹣x，令y﹣ x=t，而后利用线性规划知识求得m﹣n 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵ A（1， 1），B（2，3），C（3，2），∴，，，，又 m=n= ，∴，，，．∴；（Ⅱ）∵，，，，∴，两式相减得，m﹣n=y﹣x．令 y﹣x=t，由图可知，当直线 y=x+t 过点 B（ 2， 3）时， t 获得最大值 1，故 m﹣n 的最大值为： 1．21．（ 12 分）（2014?陕西）某保险企业利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计以下：赔付金额01000200030004000（元）车辆数（辆）500130100150120（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800 元，预计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，预计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000 元的概率．【剖析】（Ⅰ）设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元，”B表示事件“赔付金额为 4000元”，以频次预计概率，求得 P（ A），P（B），再依据投保额为 2800 元，赔付金额大于投保金额得情况是 3000 元和 4000 元，问题得以解决．（Ⅱ）设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000 元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为 4000 元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频次，最后利用频次表示概率．【解答】解：（Ⅰ）设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元，”B表示事件“赔付金额为 4000 元”，以频次预计概率得P（A）=，（），P B =因为投保额为 2800 元，赔付金额大于投保金额得情况是3000 元和 4000 元，所以其概率为 P（A）+P（ B） =0.15+0.12=0.27．（Ⅱ）设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000 元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.1× 1000=100，而赔付金额为 4000元的车辆中车主为新司机的有 0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000 元的频次为，由频次预计概率得 P（C）=0.24．．（分）（陕西）已知椭圆+（＞＞）经过点（0，），离22 132014?=1 a b 0心率为，左右焦点分别为 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线 l：y=﹣x+m 与椭圆交于、两点，与以 1 2为直径的圆交于 C、A B F FD 两点，且知足=，求直线l的方程．【剖析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可．（Ⅱ）由题意可得以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线 l 的距离 d 及 d＜ 1，可得 m 的取值范围．利用弦长公式可得 | CD| =2 ．设 A（x1，y1），B（x2，y2）．把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，从而获得弦长| AB| =．由=，即可解得m．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，c=1，a=2．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．∴圆心到直线 l 的距离 d=，由 d＜1，可得＜．（*）∴|CD|=2==．设 A（x1，y1），B（x2， y2）．联立，化为 x2﹣ mx+m2﹣ 3=0，可得 x1+x2，．=m∴| AB| ==．由=，得，解得知足（ * ）．所以直线 l 的方程为．23．（ 14 分）（ 2014?陕西）设函数 f（ x） =lnx+，m∈R．（Ⅰ）当 m=e（ e 为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）议论函数g（ x） =f ′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对随意b＞a＞ 0，＜1恒建立，求m的取值范围．【剖析】（Ⅰ） m=e 时， f（ x） =lnx+ ，利用 f ′（x）判断 f（x）的增减性并求出f （x）的极小值；（Ⅱ）由函数 g（x）=f ′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，议论 m 的取值，对应 g（ x）的零点状况；（Ⅲ）由 b＞a＞0，＜1恒建立，等价于f（ b）﹣ b＜f（ a）﹣ a 恒成立；即 h（x）=f（x）﹣ x 在（ 0，+∞）上单一递减； h′（ x）≤ 0，求出 m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当 m=e 时， f （x）=lnx+ ，∴ f ′（ x）=；∴当 x∈（ 0，e）时， f ′（x）＜ 0，f （x）在（ 0，e）上是减函数；当 x∈（ e，+∞）时， f ′（x）＞ 0，f （x）在（ e，+∞）上是增函数；∴ x=e 时， f（x）获得极小值为 f（e）=lne+ =2；（Ⅱ）∵函数 g（x）=f ′（x）﹣ = ﹣﹣（x＞0），令 g（x） =0，得 m=﹣ x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣ x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（ x﹣1）（x+1）；当 x∈（ 0，1）时，φ′（x）＞ 0，φ（x）在（ 0，1）上是增函数，当 x∈（ 1，+∞）时，φ′（x）＜ 0，φ（ x）在（ 1，+∞）上是减函数；∴ x=1 是φ（ x）的极值点，且是极大值点，∴ x=1 是φ（ x）的最大值点，∴φ（ x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，联合 y=φ（x）的图象，如图；可知：①当 m＞时，函数 g（ x）无零点；②当 m= 时，函数 g（x）有且只有一个零点；③当 0＜m＜时，函数 g（x）有两个零点；④当 m≤ 0 时，函数 g（x）有且只有一个零点；综上，当 m＞时，函数 g（x）无零点；当 m= 或 m≤0 时，函数 g（x）有且只有一个零点；当 0＜m＜时，函数 g（ x）有两个零点；（Ⅲ）对随意 b＞ a＞0，＜1恒建立，等价于 f（b）﹣ b＜ f（a）﹣ a 恒建立；设 h（x） =f（x）﹣ x=lnx+ ﹣x（x＞0），则 h（b）＜ h（a）．∴ h（ x）在（ 0，+∞）上单一递减；∵ h′（x） = ﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒建立，∴ m≥﹣ x2+x=﹣+ （ x＞ 0），∴ m≥；对于 m= ，h′（x）=0 仅在 x= 时建立；∴ m 的取值范围是 [，+∞）．。

2014年陕西高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π3.已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5A B .3C D 4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=输出a 1,a 2,...,a N结束是否i >Ni =i +1S =a iS =1，i =1输入N开始a i =2*S5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）.4A π .3B π .2C π .D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7.下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()3f x x = （B ）()3xf x = （C ）()f x =x 1/2 （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆 否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）（A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲 路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.抛物线24y x =的准线方程为________. 12.已知42a=，lg x a =，则x =________. 13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅，则=θt a n ______.14. 已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的 表达式为________.15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A .（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最 小值为______.B .（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF=_______.C .（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______. 三、解答题.16. （本小题满分12分）A B C ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.（1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值. 17.（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱 CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,. （1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形.２２１俯视图左视图　主视图ABCDEFGH18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈. （1）若23m n==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值. 19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率. 20.（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.（1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程.x21.（本小题满分13分） 设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.参考答案1.D2.B3.A4.C5.C6.B7.B8.A9.D 10.A11.1x =- 13.12 14.12014x x+ 16. （1）c b a ，，成等差数列2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）由题设有b 2=ac ，c=2a ，∴，由余弦定理得2222222423cos 244a cb ac a B ac a +-+-=== 17. （1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===AD ∴⊥平面BDC∴四面体体积11121223323BCD V AD S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）因为BC ∥平面EFGH ，平面EFGH平面BDC FG =，平面EFGH平面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形又因为AD ⊥平面BDCAD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥ADEF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形18. （1）因为23m n==，(1,2)AB =，(2,1)AC = 22(2,2)33OP ∴=+=（1，2）（2，1）2||=2OP ∴=（2）=(2,2)OP m n m n m n =+++（1，2）（2，1）即22x m ny m n =+⎧⎨=+⎩两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.x19. （1）设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得： 150()0.151000P A ==，120()0.121000P B ==， 由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：()()0.150.120.27P A P B +=+=（2）设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11000⨯100=，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.212024⨯=辆 所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为240.24100= 由频率估计概率得()0.24P C =20. （1）由题意可得12222b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩—解得2,1a b c ===∴椭圆的方程为22143x y += （2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=∴圆心到直线l的距离为d =由1d <1<，可得||2m <||CD ∴===设1122(,),(,)A x y B x y联立2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得2230x mx m -+-=由求根公式可得：12x x m +=，2123x x m =-||AB ∴==||||4AB CD =1=解方程得3m =±，且满足||2m <∴直线l 的方程为123y x =-+或123y x =--21.（1）由题设，当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上单调递减；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(,)e +∞上单调递增；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+= ∴()f x 的极小值为2(2)函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=-=--> 令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+> 设31()(0)3x x x x ϕ=-+≥ 2()1(1)(1)x x x x ϕ'∴=-+=--+当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，此时()x ϕ在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在(1,)+∞上单调递减；所以1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是()x ϕ的最大值点，∴()x ϕ的最大值为12(1)133ϕ=-+=又(0)0ϕ=，结合y=()x ϕ的图像（如图），可知① 当23m >时，函数()g x 无零点； ②当23m =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203m <<时，函数()g x 有两个零点； ④0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x '∴=--≤在(0,)+∞恒成立 2211()(0)24m x x x x ∴≥-+=--+>恒成立 14m ∴≥（对14m =，x =h '（）0仅在12x =时成立）， m ∴的取值范围是1[,)4+∞。

2014年陕西省高考数学一模试卷（文科）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知复数z =(2−i)i （其中i 为虚数单位），则z ¯=( )A 2−iB 1+2iC −1+2iD 1−2i2. 设全集U =R ，A ={x|x x+3<0}，B ={x|x <−1}，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）A {x|x >0}B {x|−3<x <−1}C {x|−3<x <0}D {x|x <−1}3. 直线l:mx −y +1−m =0与圆C:x 2+(y −1)2=1的位置关系是（ ）A 相交B 相切C 相离D 无法确定，与m 的取值有关4. 已知α是第四象限的角，若cosα=35，则tan2α=( )A 157B 167C 207D 2475. 函数f(x)=2x+1和函数g(x)=log 2(x +3)的图象的交点一定在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限6. 在△ABC 中，“A >B”是“sinA >sinB”的（ ）A 充要条件B 必要不充分条件C 充分不必要条件D 既不充分也不必要条件7. 如果实数x 、y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么z =−2x +y 的最大值为（ ）A 1B 2C 3D 48. 已知函数f(x)=(1−3m)x +10（m 为常数），若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a 1=2，则数列{a n }前100项的和为（ ）A 39400B −39400C 78800D −788009. 设O 为△ABC 内部的一点，且OA →+OB →+2OC →=0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为（ ）A 1B 53C 32D 2 10. 已知点M(−3, 2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2=2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|−|QF|的最小值是（ ）A 72B 3C 52 D 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11. 在区间[20, 80]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50, 75]的概率为________．12. 如图所示的算法中，输出的S的值为________．13. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为________．14. 设n为正整数，f(n)=1+12+13+...+1n，计算得f(2)=32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3．观察上述结果，按照上面的规律，可推测f(128)>________．（考生注意：请在下列三个题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）【不等式选做题】15. 若不等式|x+1|+|x−3|≥a+4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．【几何证明选做题】16. 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，则AB=________．【极坐标与参数方程选做题】17. 在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的直径等于________．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）18. 已知平面向量a→=(cosφ, sinφ)，b=(cosx, sinx)，其中0<φ<π，且函数f(x)=(a→⋅b →)cosx +sin(φ−x)sinx 的图象过点(π6, 1)．(I)求φ的值；(II)将函数y =f(x)图象向右平移π6，得到函数y =g(x)的图象，求函数y =g(x)递减区间． 19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =4a n −3(n ∈N ∗)．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）若数列{b n }满足b n+1=a n +b n (n ∈N ∗)，且b 1=2，求数列{b n }的通项公式．20. 如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC =30∘，BM ⊥AC 交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC // EA ，AC =4，EA =3，FC =1．（1）证明：AB ⊥BF ；（2）求三棱锥E −BMF 的体积．21. 甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示．（1）指出学生乙成绩的中位数，并说明如何确定一组数据的中位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为派哪位学生参加，成绩比较稳定？（3）若将频率视为概率，请预测学生甲在今后一次数学竞赛中成绩高于80分的概率．22. 已知点P(−1, 32)是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．①求椭圆C 的方程；②设A 、B 是椭圆C 上两个动点，满足PA →+PB →=λPO →(0<λ<4，且λ≠2)求直线AB 的斜率．23. 已知函数f(x)＝x −1+ae x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）．(Ⅰ)若曲线y ＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线平行于x 轴，求a 的值；(Ⅱ)求函数f(x)的极值；(Ⅲ)当a ＝1的值时，若直线l:y ＝kx −1与曲线y ＝f(x)没有公共点，求k 的最大值．2014年陕西省高考数学一模试卷（文科）答案1. D2. B3. A4. D5. B6. A7. C8. B9. A10. C11. 51212. 1713. 16314. 9215. (−∞, 0)∪{2}16. 2√317. 218. 解：f(x)=(cosφcosx+sinφsinx)cosx+sin(φ−x)sinx =cos(φ−x)cosx+sin(φ−x)sinx=cos(φ−2x)把点(π6,1)代入得，cos(φ−2×π6)=1解得：φ=2kπ+π3，又∵ 0<φ<π，∴ φ=π3．(II)将函数y=f(x)图象向右平移π6，得到函数y=cos[2(x−π6)−π3]=cos(2x−2π3)的图象．∴ g(x)=cos(2x−2π3)，由2kπ≤2x−2π3≤2kπ+π，得kπ+π3≤x≤kπ+5π6(k∈Z)，∴ 函数y=g(x)递减区间为[kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z)．19. 解：（1）证明：由S n=4a n−3，n=1时，a1=4a1−3，解得a1=1．因为S n=4a n−3，则S n−1=4a n−1−3(n≥2)，所以当n≥2时，a n=S n−S n−1=4a n−4a n−1，整理得a n=43a n−1．又a1=1≠0，所以{a n}是首项为1，公比为43的等比数列．（2）解：因为a n=(43)n−1，由b n+1=a n+b n(n∈N∗)，得b n+1−b n=(43)n−1．可得b n=b1+(b2−b′1)+(b3−b2)+...+(b n−b n−1)=2+1−(43)n−11−43=3(43)n−1−1，(n ≥2)．当n =1时上式也满足条件． 所以数列{b n }的通项公式为b n =3(43)n−1−1．20. 解：（1）证明：∵ EA ⊥平面ABC ，FC // EA ，∴ FC ⊥平面ABC∵ AB ⊂平面ABC∴ FC ⊥AB又∵ AC 是直径，B 在圆上，∴ AB ⊥BC∴ AB ⊥平面BFC又∵ BF ⊂平面BFC∴ AB ⊥BF ．（2）在△ABC 中，∠BAC =30∘，BM ⊥AC 交AC 于点M ，AC =4，∴ BM =√3，三角形EMF 的面积S =12(3+1)×4−12×3×3−12×1×1=3 V E−BMF =V B−EMF =13×3×√3=√3．21. 解：（1）乙中共有8个数据，则位于中间的两个数为83，85，∴ 中位数为12(83+85)=84．（2）甲的平均数为x ¯甲=18(78+79+81+82+84+88+93+95)=85， 乙的平均数为x 乙¯=18(75+80+80+83+85+90+95)=85，∴ x 甲¯=x 乙¯．方差S 甲2=18[(78−85)2+(79−85)2+(81−85)2+(82−85)2+(84−85)2+(93−85)2+(95−85)2]=35.5，方差S 乙2=18[(75−85)2+(80−85)2+(80−85)2+(83−85)2+(90−85)2+(92−85)2+(95−85)2]=41，∵ S 甲2<S 乙2，∴ 甲成绩稳定．故应派甲去参加比赛．（3）由题意得P =68=34．22. 解：①∵ PF 1⊥x 轴，∴ c =1，把点P(−1, 32)代入椭圆的方程得1a 2+94b 2=1，又a 2−b 2=c 2=1，联立解得a 2=4，b 2=3．∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；②设直线y =kx +m ，联立{y =kx +m x 24+y 23=1，化为(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，∵ 直线AB 与椭圆有两个不同的交点，∴ △=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)>0，化为3+4k 2−m 2>0．(∗)∴ x 1+x 2=−8km 3+4k 2． ∵ 满足PA →+PB →=λPO →(0<λ<4，且λ≠2)，∴ (x 1+1，y 1−32)+(x 2+1，y 2−32)=λ(1,−32)，∴ x 1+x 2+2=λ，y 1+y 2−3=−32λ， 又y 1+y 2=kx 1+m +kx 2+m =k(x 1+x 2)+2m ，∴ k(x 1+x 2)+2m −3=−32(x 1+x 2+2)， ∴ (k +32)(x 1+x 2)+2m =0， ∴ (k +32)×−8km3+4k 2+2m =0，化为m(2k −1)=0，若m =0，则直线AB 经过原点，此时PA →+PB →=2PO →，λ=2，不符合题意，因此m ≠0． ∴ 2k −1=0，解得k =12． 23. （1）由f(x)＝x −1+ae x ，得f′(x)＝1−ae x ，又曲线y ＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线平行于x 轴，∴ f′(1)＝0，即1−a e =0，解得a ＝e ．（2）f′(x)＝1−ae x ，①当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)为(−∞, +∞)上的增函数，所以f(x)无极值；②当a >0时，令f′(x)＝0，得e x ＝a ，x ＝lna ，x ∈(−∞, lna)，f′(x)<0；x ∈(lna, +∞)，f′(x)>0；∴ f(x)在∈(−∞, lna)上单调递减，在(lna, +∞)上单调递增，故f(x)在x ＝lna 处取到极小值，且极小值为f(lna)＝lna ，无极大值．综上，当a ≤0时，f(x)无极值；当a >0时，f(x)在x ＝lna 处取到极小值lna ，无极大值． (Ⅲ)当a ＝1时，f(x)＝x −1+1e x ，令g(x)＝f(x)−(kx −1)＝(1−k)x +1e x ，则直线l:y ＝kx −1与曲线y ＝f(x)没有公共点，等价于方程g(x)＝0在R 上没有实数解．假设k >1，此时g(0)＝1>0，g(1k−1)＝−1+1e 1k−1<0，又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理可知g(x)＝0在R上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．>0，知方程g(x)＝0在R上没有实数解，又k＝1时，g(x)=1e x所以k的最大值为1．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）数学（文科）第一部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年陕西，文1，5分】已知集合{}0,M x x x R =≥∈，{}21,N x x x R =<∈，则M N =（ ）（A ）[0,1] （B ）(0,1) （C ）(0,1] （D ）[0,1) 【答案】D【解析】[0,)M =+∞，(11)N =-，，[0,1)M N ∴=，故选D ． 【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．（2）【2014年陕西，文2，5分】函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【答案】B【解析】根据复合三角函数的周期公式2T πω=得，22||2T πππω===，故选B ． 【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式2T πω=应用，属于基础题．（3）【2014年陕西，文3，5分】已知复数2i z =-，则z z ⋅的值为（ ）（A ）5 （B （C ）3 （D 【答案】A【解析】由2i z =-，得()()22i 2i 4i 5z z ⋅=-+=-=，故选A ．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题． （4）【2014年陕西，文4，5分】根据右边框图，对大于2的整数N ，求出的数列的通项公式是（ ）（A ）2n a n = （B ）2(1)n a n =- （C ）2n n a = （D ）12n n a -= 【答案】C【解析】12a =，24a =，38a =，n a ∴是12a =，2q =的等比数列，故选C ．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键． （5）【2014年陕西，文5，5分】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 【答案】C【解析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1212ππ⨯⨯=，故选C ．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力． （6）【2014年陕西，文6，5分】从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这两个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）（A ）15 （B ）25 （C ）35（D ）45【答案】B【解析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，442105=，故选B ． 【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．（7）【2014年陕西，文7，5分】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）3()f x x = （B ）()3xf x = （C ）12()f x x = （D ）1()()2x f x =【答案】B【解析】对于A ：3()f x x =，3()f y y =，()3()f x y x y +=+，不满足()()()f x y f x f y +=，故A 错；对于B ：()3x f x =，()3y f y =，()3x y f x y ++=，满足()()()f x y f x f y +=，且()f x 在R 上是单调增函数，故B 正确，对于C ：21)(x x f =，12()f y y =，()12()f x y x y +=+，不满足()()()f x y f x f y +=，故C 错；对于D ：1()()2x f x =，1()()2y f y =，1()()2x y f x y ++=，满足()()()f x y f x f y +=，但()f x 在R 上是单调减函数，故D 错．故选B ．【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．（8）【2014年陕西，文8，5分】原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】A【解析】112n n n n n a a a a a +++<⇔<，n N +∈，∴ {}n a 为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若12n n n a a a ++≥，n N +∈，则{}n a 不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题，故选A ．【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键． （9）【2014年陕西，文9，5分】某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） （A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s 【答案】D【解析】由题意知100i i y x =+，则()()1210121011100101001001010y x x x x x x x =++++⨯=++++=+，方差()()()(){}()()22222211011011s 100100100100s 1010x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++++-+=-++-=⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故选D ．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．（10）【2014年陕西，文10，5分】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则 该函数的解析式为（ ）（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+-（C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-【答案】A【解析】由函数图象知，此三次函数在()0,0上处与直线y x =-相切，在()2,0点处与36y x =-相切，以下研究四个选项中函数在两点处的切线．A 选项：2312y x x '=--，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是1-，3，符合题意，故A 对；B 选项，2332y x x '=+-，将0代入，此时导数为3-，不为1-，故B 错；C 选项，2314y x '=-，将2代入，此时导数为1-，与点()2,0处切线斜率为3矛盾，故C 错；D 选项，2324y x x '=+-，将0代入，此时导数为2-，与点()0,0处切线斜率为1-矛盾，故D 错， 故选A ．【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．第二部分（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）【2014年陕西，文11，5分】抛物线24y x =的准线方程为______． 【答案】1x =-【解析】∵24p =，∴2p =，开口向右，∴准线方程是1x =-．【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出2p的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．（12）【2014年陕西卷理科第12，5分】已知42a =，lg x a =，则x =______．【解析】由42a =，得41log 22a ==，再由1lg 2x a ==，得x 【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． （13）【2014年陕西，文13，5分】设02πθ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-若0a b ⋅=，则t a n θ=_______．【答案】12【解析】22sin 2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθ⋅=-=-=，02πθ<<，2sin cos 0θθ∴-=，∴1tan 2θ=． 【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．（14）【2014年陕西，文14，5分】已知(),01xf x x x=≥+，若11()(),()(()),n n f x f x f x f f x n N ++==∈，则2014()f x 的表达式为_______．【答案】12014xx+【解析】由题意知：()()11xf x f x x ==+，()()()2111211x x x f x f f x x x x +===+++，()()()321213112xx x f x f f x x x x+===+++，()()()11n n x f x f f x nx -===+，故()201412014xf x x=+． 【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征． 考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分．（15A ）【2014年陕西，文15A ，5分】（不等式选做题）设,,,,a b m n R ∈且225,5,a b ma nb +=+=最小值为_______．【解析】由柯西不等式得，()()()22222ma nb m n a b +≤++，∵225a b +=，5ma nb +=，∴225m n +≥，．【点评】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题． （15B ）【2014年陕西，文15B ，5分】（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交AB AC 、于点E F 、，若2AC AE =，则EF =_______．【答案】3【解析】由题意，∵以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ，∴AEF C ∠=∠，∵EAF CAB ∠=∠，∴AEF ACB ∆∆∽，∴AE EFAC BC=，∵6BC =，2AC AE =，∴3EF =． 【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（15C ）【2014年陕西，文15C ，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线sin()16πρθ-= 的距离是_______．【答案】1【解析】根据极坐标和直角坐标的互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭即)；直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112x y =，即20x -=，故点)到直线20x -=1=． 【点评】本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）【2014年陕西，文16，12分】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ．（1）若,,a b c 成等差数列，证明sin sin 2sin()A C A C +=+； （2）若,,a b c 成等比数列，且2c a =，求cos B 的最小值． 解：（1）∵,,a b c 成等差数列，∴2b a c =+，利用正弦定理化简得：2sin sin sin B A C =+，∵()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦，∴()sin sin 2sin 2sin A C B A C +==+．（2）∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =，将2c a =代入得：222b a =，即b ，由余弦定理得：2222222423cos 244a cb a a a B ac a +-+-===．【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． （17）【2014年陕西，文17，12分】四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱,AD BC 的平面分别交四面体的棱,,,AB BD DC CA 于点,,,E F G H ．（1）求四面体ABCD 的体积；（2）证明：四边形EFGH 是矩形． 解：（1）由题意，BD DC ⊥，BD AD ⊥，AD DC ⊥，2BD DC ==，1AD =，AD ∴⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积112221323V =⨯⨯⨯⨯=．（2）//BC 平面EFGH ，平面EFGH 平面BDC FG =，平面EFGH 平面ABC =EH ，//BC FG ∴，//BC EH ，//FG FH ∴．同理//EF AD ，//HG AD ，//EF HG ∴，∴四边形EFGH 是平行四边形， AD ⊥平面BDC ，AD BC ∴⊥，EF HG ∴⊥，∴四边形EFGH 是矩形．【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． （18）【2014年陕西，文18，12分】在直角坐标系xoy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ．点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(),OP mAB nAC m n =+∈R ．（1）若23m n ==，求OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值．解：（1）∵(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，()1,2AB =，()2,1AC =，又23m n ==，()()()221,22,12,233OP ∴=+=，∴22OP =（2）∵OP mAB nAC =+，∴()(),2,2x y m n m n =++，∴2x m n =+，2y m n =+，∴m n y x -=-，令y x t -=，由图知，当直线y x t =+过点()2,3B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1．【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．（19）【2014年陕西，文19，12分】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：（1）设A 表示事件“赔付金额为3000元，”B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：()1500.151000P A ==，()1200.121000P B ==，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000 元和4000元，所以其概率为()()0.150.120.27P A P B +=+=． （2）设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为240.24100=，由频率估计概率得()0.24P C =．【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题．（20）【2014年陕西，文20，13分】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，经过点(，离心率为12，左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ．（1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于C 、D 两点，且满足AB CD =l 的方程． 解：（1）由题意可得22212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a =，b =，1c =．∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=．∴圆心到直线l的距离d =1d <，可得m <．（*）∴CD ===． 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化为2230x mx m -+-=，可得12x x m +=，2123x x m =-． ∴AB =AB CD=1，解得m =满足（*）．因此直线l的方程为12y x =-±． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（21）【2014年陕西，文21，14分】设函数()ln f x x xπ=+，m ∈R ．（1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （2）讨论函数()()3xg x f x '=-零点的个数； （3）若对任意0b a >>，()()1f b f a b a -<-恒成立，求m 的取值范围．解：（1）当m e =时，()ln e f x x x =+，∴()2x ef x x-'=∴当()0,x e ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,e 上是减函数；当(),x e ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(),e +∞上是增函数∴x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef ee e=+=．（2）∵函数()()2133x m x g x f x x x '=-=--（0x >），令()0g x =，得()3103m x x x =-+>； 设()()3103x x x x φ=-+≥，∴()()()2111x x x x φ'=-+=--+；当()0,1x ∈时，()0x φ'>，()x φ在()0,1上是增函数，当()1,x ∈+∞时，()0x φ'<，()x φ在()1,+∞上是 减函数；∴1x =是()x φ的极值点，且是极大值点，∴1x =是()x φ的最大值点，∴()x φ的最大值为()213φ=；又()00φ=，结合()y x φ=的图象，如图；可知： ①当23m >时，函数()g x 无零点；②当23m =时，函数()g x 有且只有一个零点；③当203m <<时，函数()g x 有两个零点；④当0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；综上，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点．（3）对任意0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立；设()()()ln 0h x f x x x x x xπ=-=+->，∴()h x 在()0,+∞上单调递减；∵()2110m h x x x '=--≤在()0,+∞上恒成立，∴()2211024m x x x x ⎛⎫≥-+=--+> ⎪⎝⎭，∴14m ≥；对于14m =，()0h x '=仅在12x =时成立；∴m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．。

2014年陕西高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π3.已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5A B .3C D 4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=输出a 1,a 2,...,a N结束是否i >Ni =i +1S =a iS =1，i =1输入N开始a i =2*S5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）.4A π .3B π .2C π .D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7.下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()3f x x = （B ）()3xf x = （C ）()f x =x 1/2 （D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆 否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）（A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲 路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.抛物线24y x =的准线方程为________. 12.已知42a=，lg x a =，则x =________. 13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅，则=θt a n ______.14. 已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的 表达式为________.15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A .（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最 小值为______.B .（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF=_______.C .（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______. 三、解答题.16. （本小题满分12分）A B C ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.（1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值. 17.（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱 CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,. （1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形.２２１俯视图左视图　主视图ABCDEFGH18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈. （1）若23m n==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值. 19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率. 20.（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.（1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程.x21.（本小题满分13分） 设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.参考答案1.D2.B3.A4.C5.C6.B7.B8.A9.D 10.A11.1x =- 13.12 14.12014x x+ 16. （1）c b a ，，成等差数列2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）由题设有b 2=ac ，c=2a ，∴，由余弦定理得2222222423cos 244a cb ac a B ac a +-+-=== 17. （1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===AD ∴⊥平面BDC∴四面体体积11121223323BCD V AD S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）因为BC ∥平面EFGH ，平面EFGH平面BDC FG =，平面EFGH平面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形又因为AD ⊥平面BDCAD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥ADEF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形18. （1）因为23m n==，(1,2)AB =，(2,1)AC = 22(2,2)33OP ∴=+=（1，2）（2，1）2||=2OP ∴=（2）=(2,2)OP m n m n m n =+++（1，2）（2，1）即22x m ny m n =+⎧⎨=+⎩两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.x19. （1）设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得： 150()0.151000P A ==，120()0.121000P B ==， 由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：()()0.150.120.27P A P B +=+=（2）设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11000⨯100=，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.212024⨯=辆 所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为240.24100= 由频率估计概率得()0.24P C =20. （1）由题意可得12222b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩—解得2,1a b c ===∴椭圆的方程为22143x y += （2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=∴圆心到直线l的距离为d =由1d <1<，可得||2m <||CD ∴===设1122(,),(,)A x y B x y联立2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得2230x mx m -+-=由求根公式可得：12x x m +=，2123x x m =-||AB ∴==||||4AB CD =1=解方程得3m =±，且满足||2m <∴直线l 的方程为123y x =-+或123y x =--21.（1）由题设，当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上单调递减；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(,)e +∞上单调递增；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+= ∴()f x 的极小值为2(2)函数21()()(0)33x m xg x f x x x x '=-=--> 令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+> 设31()(0)3x x x x ϕ=-+≥ 2()1(1)(1)x x x x ϕ'∴=-+=--+当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，此时()x ϕ在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在(1,)+∞上单调递减；所以1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是()x ϕ的最大值点，∴()x ϕ的最大值为12(1)133ϕ=-+=又(0)0ϕ=，结合y=()x ϕ的图像（如图），可知① 当23m >时，函数()g x 无零点； ②当23m =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203m <<时，函数()g x 有两个零点； ④0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x '∴=--≤在(0,)+∞恒成立 2211()(0)24m x x x x ∴≥-+=--+>恒成立 14m ∴≥（对14m =，x =h '（）0仅在12x =时成立）， m ∴的取值范围是1[,)4+∞。

2014 年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，共 50 分）1．（5 分）（2014?陕西）设会合 M={ x| x≥0，x∈R} ， N={ x| x2＜1，x∈R} ，则 M ∩N=（）A．[ 0，1]B．（0，1）C．（0，1]D．[ 0，1）2．（5 分）（2014?陕西）函数 f （x）=cos（ 2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．（5 分）（2014?陕西）已知复数z=2﹣i，则z?的值为（）A．5B．C．3D．4．（5 分）（2014?陕西）依据以下图的框图，对大于 2 的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．a n=2n B．a n =2（ n﹣ 1）C．a n=2n D．a n=2n﹣1 5．（5 分）（2014?陕西）将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A．4πB．3πC．2π6．（5 分）（2014?西）从正方形四个点及此中心2 个点的距离小于正方形的概率（D．π5 个点中任取）2 个点，A．B．C．D．7．（5 分）（ 2014?西）以下函数中，足“f（x+y）=f（x）f（y）”的增函数是（）A．f（ x） =x3B．f（ x）=3x 8．（ 5 分）（ 2014?西）原命“若C．f （x）=x D．f（x）=（）x＜a n，n∈N+，{ a n} 减数列”，对于其抗命，否命，逆否命真假性的判断挨次以下，正确的选项是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假9．（5 分）（2014?西）某企业10 位工的月工（位：元）x1， x2，⋯，x10，其均和方差分和 s2，若从下月起每位工的月工增添100 元，10 位工下月工的均和方差分（）．，2+1002．2+1002A sB +100，sC．，s2D． +100，s210．（ 5 分）（2014?西）如，修筑一条公路需要一段湖曲折路段与两条直道光滑接（相切），已知湖曲折路段某三次函数象的一部分，函数的分析式（）．y= x 3x2 x B．y=x3+2 3xA xC．y= x3 x D．y= x3+ x2 2x二、填空（共 4 小，每小 5 分，共 25 分）11．（ 5分）（2014?西）抛物 y2=4x 的准方程是．12．（ 5分）（2014?西）已知 4a=2， lgx=a， x=．13．（5 分）（ 2014?陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cos θ），=（1，﹣cos θ），若 ? =0，则tan θ=．14．（ 5分）（2014?陕西）已知 f （x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（ x）=f（f n（ x））， n∈ N+，则f2014（x）的表达式为．选考题（请在15-17 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5 分）（2014?陕西）设a，b，m，n∈R，且 a2+b2 =5，ma+nb=5，则的最小值为．几何证明选做题16．（ 2014?陕西）如图，△ ABC 中， BC=6，以BC 为直径的半圆分别交AB、AC 于点 E、F，若 AC=2AE，则 EF=．坐标系与参数方程选做题17．（ 2014?陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是．三、解答题（共 6 小题，共 75 分）18．（ 12 分）（ 2014?陕西）△ ABC的内角 A、B、C 所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若 a，b， c 成等差数列，证明： sinA+sinC=2sin（ A+C）；（Ⅱ）若 a，b， c 成等比数列，且c=2a，求 cosB的值．19．（12 分）（2014?陕西）四周体 ABCD及其三视图以下图，平行于棱AD，BC 的平面分别交四周体的棱AB、 BD、DC、CA 于点 E、F、 G、H．（Ⅰ）求四周体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．20．（ 12 分）（2014?陕西）在直角坐标系xOy 中，已知点 A（1，1），B（2，3），（C3，2），点 P（ x，y）在△ ABC三边围成的地区（含界限）上，且 =m +n （m，n∈R）（Ⅰ）若 m=n= ，求 || ；（Ⅱ）用 x， y 表示 m﹣n，并求 m﹣n 的最大值．21．（ 12 分）（2014?陕西）某保险企业利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计以下：赔付金额01000200030004000（元）车辆数（辆）500130100150120（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800 元，预计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000 元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，预计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000元的概率．22．（ 13 分）（2014?陕西）已知椭圆+（＞＞）经过点（0，），离=1 a b0心率为，左右焦点分别为 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线 l：y=﹣x+m与椭圆交于、两点，与以F1F2为直径的圆交于 C、A BD 两点，且知足=，求直线l的方程．23．（ 14 分）（ 2014?陕西）设函数 f（ x） =lnx+，m∈R．（Ⅰ）当 m=e（ e 为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）议论函数g（ x） =f ′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对随意b＞a＞ 0，＜1恒建立，求m的取值范围．。