§6.1 数列的概念与简单表示法

§6.1 数列的概念与简单表示法（时间：45分钟 满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n }2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.383．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 3n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列4．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.31155．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝________.7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 的值为________．8．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.9．(2010·江苏)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k)处的切线与x 轴的交点的横坐标为 a k ＋1，其中k ∈N *，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .11．(14分)已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．12．(14分)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 答案1.C2.C3.A4.A5.B6. n 2＋17.88. ⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)2n (n ≥2)9.21 10. 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2. 11. 解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11.当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…， 所以数列中有最大项为第9、10项．12. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1) (n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9. 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性． 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4；a 5>a 6>a 7>…>a n >1 (n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2. ∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， ∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.。

6.1 数列的概念与简单表示法五年高考考点 数列的概念及表示方法1．（2012浙江．7,5分）设n S 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列}{n a 的前n 项和，则下列命题错误的是( ) A ．若d<0，则数列}{|n s 有最大项 B ．若数列}{n s 有最大项，则d<0C ．若数列}{n s 是递增数列，则对任意*,N n ∈均有0>n SD ．若对任意*,N n ∈均有,0>n S 则数列}{n s 是递增数列2．（2011江西．5,5分）已知数列}{n a 的前n 项和n s 满足：+n s ,m n m s s +=且,11=a 那么=10a ( )1.A 9.B 10.C 55.D3．（2013课标全国I ．14，5分）若数列}{n a 的前n 项和=n S ,3132+n a 则}{n a 的通项公式是=n a （ ） 4．（2013安徽．14,5分）如图，互不相同的点 ，n A A A ,,,21和 ,,,,21n B B B 分别在角0的两条边上，所有n n B A 相互平行，且所有梯形11++n n n n A B B A 的面积均相等．设⋅=n n a OA 若1a ,2,12==a 则数列}{n a 的通项公式是5．（2010湖南．15，5分）若数列}{n a 满足：对任意的*,N n ∈只有有限个正整数m 使得n a m <成立，记这样的m 的个数为)*,(n a 则得到一个新数列)*}.{(n a 例如，若数列}{n a 是1，2，3，…，n ，…，则数列)*}{(n a 是0，1，2，…，n -1，…．已知对任意的,,2*n a N n n =∈则=)*(5a ，=)*)*((,n a6．（2009北京．14）已知数列}{n a 满足：===--n n n a a a 21434,0,1,,⋅∈N n a n 则=2009a =2014;a 7．（2012山东，20，12分）在等差数列}{n a 中，,84543=++a a a .739=a (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)对任意,⋅∈N m 将数列}{n a 中落入区间)9,9(2m m 内的项的个数记为,m b 求数列}{m b 的前m 项和⋅m s解读探究智力背景窃密私语的画廊 英国伦敦圣保罗大教堂曾因以“窃窃私语的画廊”外号而著称，如果在画廊的某一处轻声细语的话，就近的地方是听不见的，但是在远离的特定场所听得很清楚，这种神奇现象的秘诀在于椭圆形的顶棚．所有的椭圆都有两个“焦点”，而从椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和都是相等的．因此。

课题 数列的概念与简单表示法1、概括数列的概念：(1)按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….(2)数列的一般形式：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⑴数列的数是按一定顺序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2、数列的分类：（1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…（2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 4、递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.(2)对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1, 2, 3, 4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可依次求出其他项.3. 用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.则项之和为的前若记数列, }{ n n S n a ⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-1)( 2)( 11n S n S S a n n n 题型一、已知通项，求数列的每一项例1 、 根据下面数列 {a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)1n na n =+ ()(2)1n n a n =-⋅解：1）在通项公式中依次取 n =1，2，3，4，5，得到数列{a n } 的前5项为.65,54,43,32,21（2）数列 {a n } 的前5项为－1，2， － 3，4， － 5.变式1、根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：⑶a n =5×(-1)n+1 5,-5,5,-5,5∴ n n n a a 2211=⋅=-变式5、 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.1111(1)0,(21)(2)1,2n n nn n a a a n a a a a ++==+-==+题型五、根据数列和求通项公式例6. 已知数列{a n }的前n 项和为1322++=n n s n ,求n a 。

数学知识点：数列的概念及简单表示法
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。

从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。

特别提醒：
①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,学习规律，即用共性来解决特殊问题；
②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'
或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．。