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Ch7 傅立叶变换习题1． 已知连续时间周期信号()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=35s i n432c o s 2t t t f ππ。
将其表示成复指数傅立叶级数形式，求n F ，并画出双边幅度谱和相位谱。
2． 设()()ωF t f ↔，试用()ωF 表示下列各信号的频谱（1）()()t f t f +2； （2）()[]t t f m 0cos 1ω+（3）()t f 36-；（4）()()t f t 2+；（5）()t f t 3；（6）()dt t df etj 0ω-（7）()()t f t --11； （8）()()3-*t f t f ；（9）()t f d ττ-∞⎰（10）()ττd f t ⎰+∞-5（11）()ττd f t ⎰-∞-2/1（12）()()tj e t f dt t df --+23；（13）()()t Sa t f 2* （14）()()t u t f（15）()dtt df t-1（16）()()()322--t j e t f t3． 先求下图（a)所示信号()t f 的频谱()ωF 的具体表达式，再利用傅里叶变换的性质由()ωF 求出()1f t 信号频谱的具体表达式。
4． 利用三种方法求下图所示信号的频谱。
5． 用傅里叶变换的对称性，求下列各信号的频谱（1）()()112sin --t t ππ（2）()2sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t ππ；（3）0,222>+a ta a ；（4） tj a +1；6． 已知()ωF 的图形如图所示，求其傅里叶反变换()t f7． 已知()()()ωωω2cos 4Sa F =，求反变换()t f ，并画出()t f 的波形8． 求下列各傅里叶变换的原函数（1）()()0ωωδω-=F（2）()()()00ωωωωω--+=u u F ； （3）()()21a j F +=ωω；9． 已知如图所示信号 x(t)的付氏变换为试根据付氏变换的性质（不做积分运算）求 ： (a ) X(0) (b)10． 求下列各函数)(1t f 与 )(2t f 的卷积 )(*)(21t f t f（1）)()(),()(321t u e t f t u t f t -== （2）)()(),()(21t u t f t tu t f == （3）()2)()(),()(21--==t u t u t f t tu t f（4）)2()(),1()(21+=-=t u t f t tu t f （5）)45cos()(),2()(21 +=-=t t f t t f ωδ（6）)2()1()()],1()()[1()(21---=--+=t u t u t f t u t u t t f （7）)1()1()(),cos()(21--+==t t t f t t f δδω （8）)(sin )(),()(221t tu t f t u e t f t ==-11． 对图中所示的各组函数，计算卷积积分)()(21t f t f *, 并粗略画出)(1t f 与)(2t f 卷积的波形。
傅里叶系数练习题傅里叶变换是一种将任意周期函数分解为一组正弦和余弦函数的方法。
其中，傅里叶系数用于描述这些分解函数在频域上的振幅和相位信息。
本文将介绍关于傅里叶系数的一些练习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 周期函数的傅里叶系数的计算考虑一个周期为T的函数f(t)，并定义其傅里叶系数为：```c_k = (1 / T) * ∫[0, T] f(t) * e^(-jω_kt) dt```其中，ω_k = (2πk) / T，k为整数。
请你计算函数f(t) = sin(2πt/T)的傅里叶系数。
解答：根据公式，我们需要计算积分：```c_k = (1 / T) * ∫[0, T] sin(2πt/T) * e^(-jω_kt) dt= (1 / T) * ∫[0, T] sin(2πt/T) * e^(-j2πkt/T) dt```我们可以通过分部积分法计算该积分：```∫[0, T] sin(2πt/T) * e^(-j2πkt/T) dt= (-jT/2πk) * (sin(2πt/T) * e^(-j2πkt/T)) | [0, T] - ∫[0, T] (-jT/2πk) * cos(2πt/T) * -j2πk/T * e^(-j2πkt/T) dt= (-jT/2πk) * (sin(2π) * e^(-j2πk) - sin(0) * e^(0) - ∫[0, T] (T/2πk) * cos(2πt/T) * -j2πk/T * e^(-j2πkt/T) dt```由于sin(2π) = 0，sin(0) = 0，因此上式中第一项和第二项都为0，只需要计算积分部分即可：```∫[0, T] (T/2πk) * cos(2πt/T) * -j2πk/T * e^(-j2πkt/T) dt= (jT/T)(j2πk/2πk) * ∫[0, T] cos(2πt/T) * e^(-j2πkt/T) dt= j * ∫[0, T] cos(2πt/T) * e^(-j2πkt/T) dt```该积分可以通过欧拉公式转换为指数函数的积分：```j * ∫[0, T] (e^(j2πt/T) + e^(-j2πt/T)) * e^(-j2πkt/T) dt= j * ∫[0, T] e^(j2π(t-k)T/T) + e^(-j2π(t+k)T/T) dt= j * ∫[0, T] e^(j2π(t-k)) + e^(-j2π(t+k)) dt```再由欧拉公式进行展开及积分计算：```j * (1/m * [e^(j2π(t-k))] | [0, T] + 1/m * [e^(-j2π(t+k))] | [0, T])= j * (1/m * [e^(j2πT(k-t))] + 1/m * [e^(-j2πT(k+t))])```化简可得：```j/m * (e^(j2πT(k-t)) - e^(-j2πT(k+t))) = j/m * [e^(j2πTk) * e^(-j2πTt) - e^(-j2πTk) * e^(-j2πTt)]```代入ω_k = (2πk) / T，得到傅里叶系数：```c_k = j/m * [e^(jω_kT) - e^(-jω_kT)]```2. 傅里叶级数近似考虑一个周期为2π的函数f(x) = x，我们要求其在[-π, π]区间上的傅里叶级数近似。
傅里叶变换方程练习题在信号与系统学科中，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域（频率域）表示。
傅里叶变换方程是进行这种转换的数学表达式。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对傅里叶变换方程的理解与应用。
练习一：考虑一个实值函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)表示为：F(ω) = ∫[从负无穷到正无穷] f(t) * e^(-iωt) dt1. 当f(t)为一个矩形脉冲函数时，求它的频域表示F(ω)。
2. 当f(t)为一个正弦函数时，求它的频域表示F(ω)。
3. 当f(t)为一个指数衰减函数时，求它的频域表示F(ω)。
练习二：考虑一个信号g(t)和一个信号h(t)，它们的傅里叶变换分别为G(ω)和H(ω)。
求以下函数的傅里叶变换：1. f(t) = g(t) + h(t)2. f(t) = g(t - a), 其中a为常数3. f(t) = g(at), 其中a为常数4. f(t) = g(-t)练习三：考虑一个实值函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)表示为：F(ω) = ∫[从负无穷到正无穷] f(t) * e^(-iωt) dt1. 当f(t)为偶函数时，证明它的傅里叶变换F(ω)也为偶函数。
2. 当f(t)为奇函数时，证明它的傅里叶变换F(ω)也为奇函数。
3. 当f(t)为实值函数时，证明它的傅里叶变换F(ω)的共轭和实部为偶函数，虚部为奇函数。
练习四：考虑一个实值函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)表示为：F(ω) = ∫[从负无穷到正无穷] f(t) * e^(-iωt) dt1. 当f(t)是一个无限长的周期函数时，证明它的傅里叶变换F(ω)也是一个周期函数。
2. 当f(t)是一个有限长的周期函数时，证明它的傅里叶变换F(ω)也是一个有限长的周期函数。
练习五：考虑一个离散时间信号序列x[n]，其傅里叶变换表示为X(e^(jω))，其中e^(jω)表示复指数函数。
第一章快速傅里叶变换（FFT ）4.1 填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。
解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。
解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解：N NL N mF 2log 22==；N N NL aF 2log ==4.2 选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。
A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。
2.13.已知周期信号f(t)=COS<yt：1+ cos(^t)>则其复博里叶系数F产・4 rco6.巳知借号/(J如图所示.则葛薄里叶变换为⑷e Gt) (B) e < (t) (C) e'11(7)(D)「t (t>1.频谱函数F(j )=1的傅立叶逆变换f(t)等于()j 1A、；(-t) B > e t (t) C 、-e' ；(-t) D > e u (t) 1&1频谱函数F(j"j .1的傅立叶逆变换f(t)等于(、-e」(-t))D 、e」；(t)A、- d ；(_t) B 、e t (t)C19、复数1 j用极坐标形式表示为( )A 2e j90B 、•. 2e j45C、、2e" D 、2e-j90 14、下列那个不是周期信号的频谱特点( )A、齐次性 B 、离散性C、谐波性 D 、收敛性_____ 10.频谱函数F(j«)=—L-的傅里叶逆变换茫仕)等子A.ySt(^) + 扌曲号)何7B”曲芋八壬弘倚)5.已知倍号/( J 的傅里叶变换尸(衍)二矶如- %人则/仃)为7-信号和分别如图和图所示，已知皿("]■ F t (ja)用川*)的傅里叶变換为I 1t 齐⑴4. 39.1j..具有（ ）5. 47•某信号的频谱密度函数为 F(j 巧=[%国+2兀)—名® -2兀)]e -13?则f(t)=()QO7.98. f(t) = v ：(t -2n)周期信号的傅立叶变换为(cO oO oO cOA .二 7 '（ - n 二）B°2 二' 、.（• —n 二）C o 二' 、•（ • — 2 n 二） D 。
0.5 二' _ n二）3.A. 微分特性B 。
积分特性C 。
延时特性D 。
因果特性A . Sa[2二（t _3）]B 。
傅里叶变换的练习题傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
通过傅里叶变换，我们可以将一个时域信号转换为频域表示，从而更好地理解和处理信号。
为了加深对傅里叶变换的理解，以下将提供一些傅里叶变换的练习题，帮助读者巩固相关知识点。
练习一：离散信号的傅里叶变换考虑离散信号x(n) = [1, 2, 3, 4]，使用离散傅里叶变换（DFT）计算其频谱X(k)。
解答：首先，我们需要计算离散信号的长度N，即N = 4。
然后，根据傅里叶变换的定义，计算频谱X(k)的每个元素：X(k) = Σ[n=0, N-1] x(n) * exp(-j2πkn/N)带入x(n)的值：X(0) = 1 * exp(-j2π*0*0/4) + 2 * exp(-j2π*0*1/4) + 3 * exp(-j2π*0*2/4) + 4 * exp(-j2π*0*3/4)= 1 + 2 + 3 + 4= 10X(1) = 1 * exp(-j2π*1*0/4) + 2 * exp(-j2π*1*1/4) + 3 * exp(-j2π*1*2/4) + 4 * exp(-j2π*1*3/4)= 1 + 2 * exp(-jπ/2) + 3 * exp(-jπ) + 4 * exp(-j3π/2)= 1 - 2j + 3 - 4j= 4 - 6jX(2) = 1 * exp(-j2π*2*0/4) + 2 * exp(-j2π*2*1/4) + 3 * exp(-j2π*2*2/4) + 4 * exp(-j2π*2*3/4)= 1 + 2 * exp(-jπ) + 3 + 4 * exp(-j2π)= 1 + 2 - 3 + 4= 4X(3) = 1 * exp(-j2π*3*0/4) + 2 * exp(-j2π*3*1/4) + 3 * exp(-j2π*3*2/4) + 4 * exp(-j2π*3*3/4)= 1 + 2 * exp(-j3π/2) + 3 * exp(-j3π) + 4 * exp(-j9π/4)= 1 + 2j + 3 - 4j= 4 - 2j因此，离散信号[1, 2, 3, 4]的频谱为X(k) = [10, 4-6j, 4, 4-2j]。
2.B 、 2e j 45C 、 2e - j 45D 、2e - j 901.频谱函数F ( j ) = 1 的傅立叶逆变换 f (t )等于( j +1的傅立叶逆变换 f (t )等于() 18、19、 频谱函数F ( j ) = 1 j +1A 、- e (-t )B 、e t (t )C 、-e -t(-t ) D 、e -t(t )复数 1 + j 用极坐标形式表示为( 14、 下列那个不是周期信号的频谱特点(A 、齐次性B 、离散性)C 、谐波性D 、收敛性A 、- e (-t )B 、e t (t )C 、-e -t (-t ) D 、e -t(t )A 、2e j 90n =-n =-n =-n =-A ．微分特性B 。
积分特性C 。
延时特性D 。
因果特性5. 47．某信号的频谱密度函数为F ( j) = [(+ 2) -(- 2)]e- j 3,则 f (t ) =( )D 。
2 Sa (2t )6.52．已知信号 f (t )的傅氏变换为F ( j),则 f (3- t )的傅氏变换为(7.98． f (t ) =(t - 2n )周期信号的傅立叶变换为()n =-A ．(- n ) B 。
2 (- n ) C 。
(- 2n )3. 4. 39． 1j 具有( )A ．Sa [2(t -3)] B 。
2Sa [2(t -3)] C ． Sa (2t )A ．2F (- j 2)e j 3B 。
2F (- j 2)e -j 3C ．2F (- j 2)e j 6D 。
2F (- j 2)e -j 6D 。
0.5(-n )8. 3。
符号函数sgn(2t - 4)的频谱函数F(jω)= 。
六、有一幅度为 1，脉冲宽度为 2ms 的周期矩形脉冲，其周期为 8ms，如图所示, 求频谱并画出频谱图频谱图。
(10 分)六、有一幅度为 1，脉冲宽度为 2ms 的方波，其周期为 4ms，如图所示,求频谱并画出频谱图。
2.
協己知周期信号中卄沖牛n 則珈薄里作数
6.已帅信号尹门如團所示*則蒐廨里叶变ift 为
A
e t ( t) B 、e t (t)
19、复数1 j 用极坐标形式表示为（
10.频诺函ftF （ju ）=—的傅里叶逆变换F （t ）零于
/e” 1
(A) -e't (-t) (8) e e (t) (C> « ' < (-t)
1.频谱函数F （j ）
— 的傅立叶逆变换f （t ）等于（
j 1
A”壬Sa （普）4今弘（爭） B.「弘(誉｝ + ySa( )
C.ySa (Y>rSa(^)
D. rS*( + T 5*1 芋)
i.
F o 「 £ :
18、频谱函数F(j )
—1
j 1
的傅立叶逆变换f （t ）等于（
14、 A 2e j90
B 、 2e j45
,2e j45 、2e j90
下列那个不是周期信号的频谱特点（
A 、齐次性
B 、离散性
） 、谐波性
、收敛性
A
e t ( t) B 、e t (t)
t)
n n n n
5-巳知借号的傅里叶變換Ffj 亦=航如-叫儿则/tj 为
皿号/.(f)和気仃)分别如图5)和图(b)所示，已卸庐tfi ⑷］■濟(抑人则矗h) M« 用叶蛮换为
2n ) D 。
0.5
A.微分特性
B。
积分特性
C。
延时特性
D。
因果特性
5. 47. 某信号的频谱密度函数为 F(j )
[(2 )( 2 )]e j3 ,则 f (t)(
A .Sa[2 (t 3)]
B 。
2Sa[2 (t 3)]
C
.Sa(2 t)
D。
2Sa(2 t)
6.52 . 已知信号f(t)的傅氏变换为F(j ),则f(3 2的傅氏变换为(
)
A . 2F( j2 )e j3
B。
2F( j2 )e j3
C . j 6
2F( j2 )e J
D。
2F( j2
)e J6
7.98 . f (t)
(t 2n)周期信号的傅立叶变换为(
)
4. 39 . )
n
具有()
3.
今
(a)
A.
D. >((jo>)e J
8. 3。
符号函数sgn（2t 4）的频谱函数F（j w）= 。
六、有一幅度为1脉冲宽度为2ms的周期矩形脉冲，其周期为求
频谱并画出频谱图频谱图。
（10分）
角军：付里叶变换为
2 2
jn t
1 e
T jn
Fn为实数，可直接画成一个频谱图。
六、有一幅度为1,脉冲宽度为2ms的方波，其周期为4ms 并画出
频谱图。
（10分）
1
』
血）
It
---------------
T
0T—t
解: =2 *1000/4=500
8ms如图所示,
如图所示，求频谱
1 A F n
4
付里叶变换为
4sin(2n 1)500 t ni (2 n 1)
Fn为实数，可直接画成一个频谱图。
-7
或幅频图如上，相频图如下:
-5。
