指数函数与对数函数讲义

2018届高三第一轮复习讲义【12】-指数函数与对数函数一、知识梳理：1.指数函数的概念、图像和性质 （1）指数的运算性质()()()()()0,,;0,,;0,0,.m n m n nm mn nn n a a a a m n R a a a m n R a b a b a b n R ⋅⋅=>∈=>∈⋅=⋅>>∈（2）指数函数：一般地，函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．（3）指数函数的图像与性质【注意】（1）会根据复合函数的单调性特征“同增异减”，判断形如()f x y a =(0a >且1a ≠)函数的单调性；（2）会根据x y a = (0a >且1a ≠)的单调性求形如(),f x y ax D =∈，(),x y f a x D=∈（1）定义域：x R ∈（2）值域：(0,y ∈的值域；（3）解题时注意“分类讨论”、“数形结合”、“换元”等思想方法的应用。

2．对数的概念及其运算 （1）对数的定义：如果=ba N （>0a ，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作=a log N b ．读作“以a 为底N 的对数”，其中a 叫做底数，N 叫做真数．必须注意真数0N >，即零与负数没有对数．（2）指数式与对数式的关系：=ba N ⇔=a log Nb （>0a ，1a ≠，0N >）．两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化． （3）对数的性质：① log a N 中0(0,1)N a a >>≠，零和负数没有对数，即0N >； ② 底数的对数等于1，即log =1a a ，log a NaN =，()0,1,0a a N >≠>③ 1的对数0，即log 1=0a ． （4）对数的运算性质：① ()=+a a a log MN log M log N （0M >，0N >，>0a ，1a ≠）；② =aa a Mlog log M log N N-（0M >，0N >，>0a ，1a ≠） ③ =n a a log M nlog M ；log a NaN =（0M >，0N >，>0a ，1a ≠）④ 对数换底公式：log =log a b a Nlog N b（>0a ，1a ≠，>0b ，1b ≠，0N >）【提醒】（1）注意真数0N >，即零与负数没有对数.（2）底数满足>0a ，1a ≠ 3．对数函数：对数函数的图像与性质二、基础检测：1. 设16log 27a =, 则用a 表示6log 16=_______________.2. 函数222xxy +=的单调递增区间是_____________, 值域是____________. 3. 函数|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间是_____________, 值域是____________.4. 函数20.1log (62)y x x =+-的单调递增区间是________________.5. 若2log 13a<, 则实数a 的取值范围是________________________. 6. 不等式2(21)1x a -<的解集为(,0)-∞, 则实数a 的取值范围是______________.三、例题精讲：【例1】指数函数①x y a =，②x y b =，③x y c =，④xy d =在同一坐标系内的图像如图所示，则,,,a b c d 的大小顺序是（）．A ．b a d c <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．b c a d <<< 【参考答案】A ．【例2】若不论a 取何正实数，函数12x y a +=-的图像都通过同一定点，则该点坐标是____________． 【参考答案】()1,1--【例3】不等式()2211xa -<的解集为(),0-∞，则实数a 的取值范围是．【参考答案】()(),11,-∞-+∞【例4】根据统计资料，在A 小镇，当某件信息发布后，t 小时之内听到该信息的人口是全镇人口的100(12)%kt--，其中k 是某个大于0的常数，今有某信息，假设在发布后3小时之内已经有70%的人口听到该信息．又设最快要T 小时后，有99%的人口已听到该信息，则T =_______小时．（保留一位小数） 【参考答案】11．5【例5】已知22124x x x-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，求函数22x xy -=-的值域．解：222242122224414x x xxxx x x x x -++-+⎛⎫≤⇔≤⇔+≤-+⇔-≤≤ ⎪⎝⎭，而函数22xxy -=-在区间[]4,1-上是增函数，所以，函数22xxy -=-的值域为2553,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例6】已知函数[)1423,2,x x y a x --=-⋅-∈-+∞的最小值是4-，求实数a 的值． 解：设2xu -=由于[)2,x ∈-+∞，所以(]0,4u ∈，()2124233x x y a u a a --=-⋅-=---①_x0001_(]0,4a ∈时，()()2min 34,1,f x a a =--==此时u a =，即0x =；②_x0001_当(),0a ∈-∞时，()()223g u u a a =---在(]0,4上是增函数，()f x 无最小值； ③_x0001_当()4,a ∈+∞时，()()223g u u a a =---在(]0,4上是减函数，()174,8a =∉+∞舍去． 综上所述，实数a 的值为1．【例7】若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：()x x f 21log 2=，()()22log 2f x x =+，232log f x =,42log (2)f x =则“同形”函数是（ ） A 1()f x 与2()f x B 2()f x 与3()f x C 2()f x 与4()f x D 1()f x 与4()f x【参考答案】C【例8】函数221()log (2)2ax f x x x -=+-+在[1,3]x ∈上恒有意义，则实数a 的取值范围是_________．【参考答案】(2)-+∞【例9】函数20.3log (2)y x x =-的单调递减区间为．解：先求定义域：由220x x ->得(2)0x x ->0x ∴<或2x >．∵函数0.3log y t =是减函数，故所求单调减区间即22t x x =-在定义域内的增区间， 又22t x x =-的对称轴为1x =，∴所求函数的单调递减区间为(2,)+∞． 【例10】已知函数2()log (01)2axf x a x+=<<-（1）试判断()f x 的奇偶性； （2）解不等式()log 3a f x x ≥． 解：（1）20222xx x+>⇒-<<-故()f x 的定义域关于原点对称， 且122()log log ()()22aa x x f x f x x x--+-===-+-∴()f x 是奇函数． （2）2()log 3log log 3.012a aa xf x x x a x+≥⇔≥<<-，故2220221(32)(1)230322xx x x x x x x x x+⎧-<<>⎧⎪⎪⎪-⇔⇔≤≤--⎨⎨+≥⎪⎪≤-⎩⎪-⎩，即原不等式的解集为2{|1}3x x ≤≤．【例11】设不等式211222(log )9(log )90x x ++≤的解集为M ，求当x M ∈时，函数22()(log )(log )28x xf x =的最大、最小值． 解：211222(log )9(log )90x x ++≤1122(2log 3)(log 3)0x x ∴++≤1233log 2x ∴-≤≤-即3333221112221111log ()log log (),()()2222x x ----≤≤∴≤≤∴8x ≤≤即{|M x x =∈又2222222()(log 1)(log 3)log 4log 3(log 2)1f x x x x x x =--=-+=--∵8x ≤≤∴23log 32x ≤≤ ∴当2log 2x =即4x =时min 1y =-；当2log 3x =，即8x =时，max 0y =． 【例12】通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是0lg lg M A A =-，其中，A 是被测地震最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅，M 为震级．则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__倍．解：7050(lg lg )(lg lg )752A A A A ---=-=，即75lg 2A A =，75100AA =．【例13】已知函数()|lg |f x x =，若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是________．解：如图，由()()f a f b =得|lg ||lg |a b =设0a b <<则lg lg 0a b +=∴1ab =∴22a b ab +>=，答案：(2,)+∞【例14】已知函数()log (01).a f x x x b a a =+->≠，且当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),,=x n n n N n ∈+∈则．解：方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ，即函数log (23)a y x a =<<的图像与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ， 且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图像,因为当(23)x a a =<<时,1y =，此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈；当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图像上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图像上点的横坐标(5,6)x ∈．故所求的2n =．四、难题突破： 例1. 已知函数1()log 1axf x x-=+(0, 1a a >≠). (1) 讨论函数()f x 的奇偶性和单调性;(2) 设函数()f x 的定义域为[,)a b , 值域为[1,)+∞, 求实数a , b 的值. (1)解: 函数的定义域为区间(1,1)-, 关于原点对称,任取(1,1)x ∈-, 111()log log log ()111a a ax x x f x f x x x x +--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭, 即()f x 是奇函数.任取12,(1,1)x x ∈-, 12x x <, 则12011x x <+<+, 故有121211221111x x x x >⇔>++++, 因此1212121122111111x x x x x x ---+>-+⇔>++++, 当01a <<时, 由log a y x =在(0,)+∞上单调递减, 得121211log log 11a ax x x x --<++, 此时()f x 在(1,1)-上单调递增;当1a >时, 由log a y x =在(0,)+∞上单调递增, 得121211log log 11a ax x x x -->++, 此时()f x 在(1,1)-上单调递减.(2)解: 由题意, [,)(1,1)a b ⊆-, 故11a b -<<≤, 即01a b <<<,由(1)可知()f x 在(1,1)-上单调递增, 故有11()1log 111a a af a a a a--=⇔=⇔=++, 解得1a =;当1b <时, 由单调性得1()log 1a bf x b-<+, 不合题意, 故1b =;综上有1, 1a b =.例2. 已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++(其中a 为实常数). (1) 若函数的定义域为, 求实数a 的取值范围; (2) 若函数的值域为, 求实数a 的取值范围.(1)解: 即不等式22(1)(1)10a x a x -+++>的解集为,当1a =时, 不等式为210x +>, 不合题意;当1a =-时, 不等式为10>恒成立, 符合题意;当21a ≠时, 则有22210(1)4(1)0a a a ⎧->⎪⎨∆=+--<⎪⎩, 解得5(,1)(,)3a ∈-∞-⋃+∞; 综上所述, 5(,1](,)3a ∈-∞-⋃+∞;(2)解: 即函数22(1)(1)1y a x a x =-+++的值域包含+,当1a =时, 函数为21y x =+, 符合题意; 当1a =-时, 函数为1y =, 不合题意;当21a ≠时, 则有22210(1)4(1)0a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩, 解得5(1,]3a ∈, 综上所述, 5[1,]3a ∈.例3. 已知函数2()log ()a f x ax x =-(0, 1a a >≠)在区间[2,4]上是增函数, 求实数a 的取值范围.解: 令210(1)0(,0)(,)ax x x ax x a->⇔->⇒∈-∞⋃+∞给出,函数在[2,4]有定义, 则1122a a <⇒>, 令2t ax x =-, 其图像对称轴为直线12x a=, 当1a >时, 外层函数单调递增, 因此内层函数2t ax x =-在[2,4]上单调递增, 得11224a a ≤⇔≥, 结合定义域要求, 即1a >; 当01a <<时, 外层函数单调递减, 因此内层函数2t ax x =-在[2,4]上单调递减, 因此11428a a ≥⇒≤, 结合定义域要求, 无解; 综上所述, 1a >. 五、课堂练习：1. 函数||3x y -=的值域是____________.2. 已知01a <<, 1b <-, 则函数x y a b =+的图像不会经过第______象限.3. 函数y =_________________.4. 若()log (0, 1)a f x x a a =>≠在[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍, 则实数a 的值为_____.5. 函数lg100xy =的图像与函数10010x y =⋅的图像关于直线______________对称; 函数lg100x y =的图像与函数0.1log 100x y =的图像关于直线______________对称. 6. 函数3()log |2|f x x a =+的图像的对称轴是直线2x =, 则实数a =__________. 7. 使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是_____________. 8. 设223()2(1)xx f x x -+=≥, 则其反函数1()f x -=_______________________.9. 求2211()log ()log ()24f x x x =⋅, 当[2,8]x ∈时的最小值和最大值.10. 求函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--(其中p 为常数, 且1p >)的值域.11. 已知0a >, 1a ≠, 21(log )()1a a f x x a x=--, (1) 判断()f x 的定义域内的奇偶性及单调性, 并加以证明; (2) 若()40f x -<的解集为(,2)-∞, 求a 的值.12. 已知函数()lg()x x f x a b =-(其中a , b 为常数, 且01b a <<<). (1) 求函数()f x 的定义域;(2) 在函数()y f x =的图像上是否存在两个不同的点, 使得过它们的直线平行于x 轴? 若存在, 求出这样的点; 若不存在, 说明理由;(3) 当a , b 满足什么条件时, 不等式()0f x >对一切(1,)x ∈+∞都成立?六、回顾总结：1.主要方法:①指数函数、对数函数的单调性决定于底数a ，要分1a >与01a <<来分类讨论.②熟练掌握对、指数公式的使用和化简计算；2.易错、易漏点:①解决与对数函数有关的问题，要特别注意定义域(对数的底数和真数应满足的条件)；注意区别log (1)a b +与log 1a b +的区别；②不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算.七、课后作业：1．幂函数)(x f y =图像经过点)21,41(，则=)(x f ． 2．已知幂函数a x y =的图像，当10<<x 时，在直线x y =的上方，当1>x 时，在直线x y =的下方，则a 的取值范围是．3．函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =． 4．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m xy m nk ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为．5．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） AB ． C． D ．6．已知函数|lg|)(x x f =,若b a <<0,且)()(b f a f =,则b a 2+的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．7．设函数)(x f =若)()(a f a f ->,则实数a 的取值范围是 ( )A ．（-1，0）∪（0，1）B ．（-∞，-1）∪（1,+∞）C ．（-1，0）∪（1,+∞）D ．（-∞，-1）∪（0,1）8．函数的值域为 A ． B ． C ． D ．9．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称．而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（）1a >()log a f x x =[]2a a ，12a =24)+∞)+∞(3,)+∞[3,)+∞()212log log x x ⎧⎪⎨-⎪⎩0,0x x ><()()2log 31x f x =+()0,+∞)0,+∞⎡⎣()1,+∞)1,+∞⎡⎣3lg 10x y +=lg y x =()y g x =x y e =y x =()y f x =()y g x =y ()1f m =-mA ．B ．C ．D ． 11．函数的图象大致是( )12．若在上是减函数,则的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．13．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的范围是__________． 14．函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上最大值比最小值大2a ，则_________=a ． 15．已知函数),0[,)(+∞∈+⋅=x cb a x f x 的值域为)3,2[-，则)(x f 的一个可能的解析式为__________．【思考题】1．设函数()121,x f x x R -=-∈e -1e -e 1elg ||x y x=)2(log ax y a -=]1,0[a )1,0()2,0()2,1(),2(+∞（1）分别作出()y f x =和()y f x =的图像；（2）求实数a 的取值范围，使得方程()fx a =与()f x a =都有且仅有两个实数解．2.已知2()lg x f x ax b =+，(1)0f =，当0x >时，恒有1()lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.⑴求()f x 的解析式；⑵若方程()lg()f x m x =+的解集是∅，求实数m 的取值范围.3.已知函数2()log (1)f x x =-，222x t g x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭R ，.⑴求()y g x =的解析式；⑵若1t =，求当[2,3]x ∈时，()()g x f x -的最小值；⑶若在[2,3]x ∈时，恒有()()g x f x ≥成立，求实数t 的取值范围.。

最新课程标准：（１）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．（２）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点一指数函数的定义函数y＝a x（a>0且a≠１）叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.错误!指数函数解析式的３个特征（１）底数a为大于0且不等于１的常数．（２）自变量x的位置在指数上，且x的系数是１．（３）a x的系数是１．知识点二指数函数的图象与性质a>１0<a<１图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点过点（0,１），即x＝0时，y＝１函数值的变化当x>0时，y>１；当x<0时，0<y<１当x>0时，0<y<１；当x<0时，y>１单调性是R上的增函数是R上的减函数错误!底数a与１的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>１时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<１时，指数函数的图象是“下降”的．[教材解难]规定底数a>0且a≠１的理由（１）如果a＝0，则错误!（２）如果a<0，比如y＝（—２）x，这时对于x＝错误!，错误!，错误!，错误!，…在实数范围内函数值不存在．（３）如果a＝１，那么y＝１x＝１是常量，对此就没有研究的必要．[基础自测]１．下列各函数中，是指数函数的是（）Ａ．y＝（—３）xＢ．y＝—３xＣ．y＝３x—１Ｄ．y＝错误!x解析：根据指数函数的定义y＝a x（a>0且a≠１）可知只有D项正确．答案：D２．函数f（x）＝错误!的定义域为（）Ａ．RＢ．（0，＋∞）Ｃ．[0，＋∞）Ｄ．（—∞，0）解析：要使函数有意义，则２x—１>0，∴２x>１，∴x>0．答案：B３．在同一坐标系中，函数y＝２x与y＝错误!x的图象之间的关系是（）Ａ．关于y轴对称Ｂ．关于x轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．关于直线y＝x对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选Ａ．答案：A４．函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：由１—e x≥0得e x≤１，故函数f（x）的定义域为{x|x≤0}，所以0<e x≤１，—１≤—e x<0,0≤１—e x<１，函数f（x）的值域为[0,１）．答案：[0,１）题型一指数函数概念的应用[经典例题]例１（１）若函数f（x）＝（２a—１）x是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，１）（２）指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，那么f（４）·f（２）等于________．【解析】（１）由已知，得0<２a—１<１，则错误!<a<１，所以实数a的取值范围是错误!.（２）设y＝f（x）＝a x（a>0，a≠１），所以a—２＝错误!，所以a＝２，所以f（４）·f（２）＝２４×２２＝6４．【答案】（１）C （２）6４（１）根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠１，a x的系数是１．（２）先设指数函数为f（x）＝a x，借助条件图象过点（—２，错误!）求a，最后求值．方法归纳（１）判断一个函数是指数函数的方法１看形式：只需判定其解析式是否符合y＝a x（a>0，且a≠１）这一结构特征．２明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．（２）已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练１（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则实数a的取值范围是________；（２）下列函数中是指数函数的是________．（填序号）１y＝２·（错误!）x２y＝２x—１３y＝错误!x４y＝x x５y＝３1x⑥y＝x13.解析：（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则错误!解得a<错误!且a≠１．（２）１中指数式（错误!）x的系数不为１，故不是指数函数；２中y＝２x—１＝错误!·２x，指数式２x的系数不为１，故不是指数函数；４中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；５中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填３．答案：（１）（—∞，１）∪错误!（２）３１．指数函数系数为１．２．底数>0且≠１．题型二指数函数[教材P１１４例１]例２已知指数函数f（x）＝a x（a>0，且a≠１），且f（３）＝π，求f（0），f（１），f（—３）的值．【解析】因为f（x）＝a x，且f（３）＝π，则a３＝π，解得a＝π13，于是f（x）＝π3x.所以，f（0）＝π0＝１，f（１）＝π13＝错误!，f（—３）＝π—１＝错误!.错误!要求f（0），f（１），f（—３）的值，应先求出f（x）＝a x的解析式，即先求a的值．教材反思求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于１的实数，所以a＝—３应舍去．跟踪训练２若指数函数f（x）的图象经过点（２,9），求f（x）的解析式及f（—１）的值．解析：设f（x）＝a x（a>0，且a≠１），将点（２,9）代入，得a２＝9，解得a＝３或a＝—３（舍去）．所以f（x）＝３x.所以f（—１）＝３—１＝错误!.设f（x）＝a x，代入（２,9）求出Ａ．一、选择题１．下列函数中，指数函数的个数为（）１y＝错误!x—１；２y＝a x（a>0，且a≠１）；３y＝１x；４y＝错误!２x—１．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．３Ｄ．４解析：由指数函数的定义可判定，只有２正确．答案：B２．已知f（x）＝３x—b（b为常数）的图象经过点（２,１），则f（４）的值为（）Ａ．３Ｂ．6Ｃ．9 Ｄ．8１解析：由f（x）过定点（２,１）可知b＝２，所以f（x）＝３x—２，f（４）＝9．可知C正确．答案：C３．当x∈[—１,１]时，函数f（x）＝３x—２的值域是（）Ａ．错误!Ｂ．[—１,１]Ｃ．错误!Ｄ．[0,１]解析：因为指数函数y＝３x在区间[—１,１]上是增函数，所以３—１≤３x≤３１，于是３—１—２≤３x—２≤３１—２，即—错误!≤f（x）≤１．故选Ｃ．答案：C４．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax与g（x）＝a x的图象可能是（）解析：需要对a讨论：１当a>１时，f（x）＝ax过原点且斜率大于１，g（x）＝a x是递增的；２当0<a<１时，f（x）＝ax过原点且斜率小于１，g（x）＝a x是减函数，显然B正确．答案：B二、填空题５．下列函数中：１y＝２·（错误!）x；２y＝２x—１；３y＝错误!x；４y＝３1x-；５y＝x13.是指数函数的是________（填序号）．解析：１中指数式的系数不为１；２中y＝２x—１＝错误!·２x的系数亦不为１；４中自变量不为x；５中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．答案：３6．若指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，则f错误!＝________.解析：设f（x）＝a x（a>0且a≠１）．因为f（x）过点错误!，所以错误!＝a—２，所以a＝４．所以f（x）＝４x，所以f错误!＝４32-＝错误!.答案：错误!7．若关于x的方程２x—a＋１＝0有负根，则a的取值范围是________．解析：因为２x＝a—１有负根，所以x<0，所以0<２x<１．所以0<a—１<１．所以１<a<２．答案：（１,２）三、解答题8．若函数y＝（a２—３a＋３）·a x是指数函数，求a的值．解析：由指数函数的定义知错误!由１得a＝１或２，结合２得a＝２．9．求下列函数的定义域和值域：（１）y＝２1x—１；（２）y＝错误!222x－.解析：（１）要使y＝２1x—１有意义，需x≠0，则２1x≠１；故２1x—１>—１且２1x—１≠0，故函数y＝２1x—１的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（—１,0）∪（0，＋∞）．（２）函数y＝错误!222x－的定义域为实数集R，由于２x２≥0，则２x２—２≥—２．故0<错误!222x－≤9，所以函数y＝错误!222x－的值域为（0,9]．[尖子生题库]１0．设f（x）＝３x，g（x）＝错误!x.（１）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象；（２）计算f（１）与g（—１），f（π）与g（—π），f（m）与g（—m）的值，从中你能得到什么结论？解析：（１）函数f（x）与g（x）的图象如图所示：（２）f（１）＝３１＝３，g（—１）＝错误!—１＝３；f（π）＝３π，g（—π）＝错误!—π＝３π；f（m）＝３m，g（—m）＝错误!—m＝３m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．。

（一）基础知识回顾：1．二次函数：当¹a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。

，下同。

2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。

当a <0时，情况相反。

情况相反。

3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-¹}和空集Æ，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。

轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和Æ.f (x )图象与x 轴无公共点。

共点。

当a <0时，请读者自己分析。

时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。

高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。

无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。

熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。

一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。

相同因数相乘a·a……a(n个)=a n导出乘方,这里的n为正整数。

从初中开始,首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数；最后,在实数范围内建立起指数概念。

欧拉指出：“对数源出于指数”。

一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是a b=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

a b=N与b=logaN是一对等价的式子,这里a是给定的不等于1的正常数。

当给出b求N时,是指数运算,当给出N求b时,是对数运算。

指数运算与对数运算互逆的运算。

二、指数运算与对数运算的性质1．指数运算性质主要有3条：a x·a y=a x+y,(a x)y=a xy,(ab)x=a x·b x（a>0,a≠1,b>0,b≠1）2．对数运算法则（性质）也有3条：（1）loga(MN)=logaM+logaN（2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaM n=nloga M(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)3．指数运算与对数运算的关系：X=a logax；m logan=n logam4．负数和零没有对数；1的对数是零,即loga1=0；底的对数是1,即logaa=15．对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：loga m N n=(n/m)logaN推论2：三、指数函数与对数函数函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数。

指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数1、指数函数的定义一般地，函数\（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\））叫做指数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（R\）。

需要注意的是，底数\（a\）的取值范围，当\（a ＝ 1\）时，函数就变成了\（y ＝ 1^x ＝ 1\），是一个常函数，不符合指数函数的定义；当\（a ＜ 0\）时，对于某些\（x\）的值，＼（a^x\）无意义，比如\（（－2)＾｛＼frac{1}｛2}｝＼）就没有实数解。

2、指数函数的图象当\（a ＞ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是上升的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是下降的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递减。

我们可以通过几个特殊的点，比如\（（0, 1)＼）、＼（（1, a)＼）、＼（（－1, ＼frac{1}｛a}）＼）等来大致描绘指数函数的图象。

3、指数函数的性质（1）定义域：＼（R\）（2）值域：＼（（0, ＋∞）＼）（3）恒过定点\（（0, 1)＼）（4）单调性：当\（a ＞ 1\）时，在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜a ＜ 1\）时，在\（R\）上单调递减（5）函数值的变化情况当\（a ＞ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（a^x ＞ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）。

当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（a^x ＞ 1\）。

4、指数运算的性质（1）＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）（2）＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）（＼（a ≠ 0\））（3）＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（4）＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）这些运算性质在化简指数表达式和进行指数运算时经常用到。

指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数：1.基本概念：指数函数是形如y=a^x（a>0，且a≠1）的函数，其中a称为底数，x 称为指数，a^x称为底数a的x次幂。

2.基本性质：（1）a^0=1，任何数的0次幂等于1；（2）a^x*a^y=a^(x+y)，相同底数的指数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）a^x÷a^y=a^(x-y)，相同底数的指数幂相除，底数不变，指数相减；（4）(a^x)^y=a^(x*y)，指数幂的乘积再乘方，指数相乘；（5）a^(-x)=1/(a^x)，任何数的负指数满足倒数规律。

3.常见指数函数：（1）指数函数y=2^x：以2为底的指数函数，可以用来描述2的x 次幂关系，是一种常见的指数型增长函数，图像逐渐向上凸起。

二、对数函数：1.基本概念：对数函数是指y=loga(x)，其中a>0，且a≠1，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。

2.基本性质：（1）loga(1)=0，底数为任何正数时，1的对数都是0；（2）loga(a)=1，底数为任何正数时，底数的对数都是1；（3）loga (x*y) = loga(x) + loga(y)，对数相乘，真数取乘积，对数相加；（4）loga (x/y) = loga(x) - loga(y)，对数相除，真数取商，对数相减；（5）loga(x^k) = k * loga(x)，对数乘方，真数取底数的k次方，对数乘以指数。

3.常见对数函数：（1）常用对数函数：y=log10(x)，其中底数为10，对数函数可以简写为y=log(x)。

常用对数函数是以10为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足10^y=x的y值。

（2）自然对数函数：y=ln(x)，其中底数为e。

自然对数函数是以e 为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足e^y=x的y值。

三、指数函数与对数函数的关系：四、指数函数与对数函数的应用：1.科学中的指数增长：指数函数常常用于描述原子衰变、细胞分裂和放射性物质的衰变等过程。

最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例３ （１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】 （１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。