高中数学 课时作业18解析及答案

课时作业(十八)1．已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解析 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6. 又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.2．(2013·衡水调研)设函数f (x )＝x 2＋2x －2ln(1＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[1e －1，e －1]时，是否存在整数m ，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立？若存在，求整数m 的值；若不存在，则说明理由．解析 (1)由1＋x >0，得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． f ′(x )＝2x ＋2－2x ＋1＝2x (x ＋2)x ＋1. 由f ′(x )>0，得x >0；由f ′(x )<0，得－1<x <0.∴函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．(2)由(1)知，f (x )在[1e －1,0]上单调递减，在[0，e －1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝0.又f (1e －1)＝1e 2＋1，f (e －1)＝e 2－e ，且e 2－3>1e 2＋1， ∴x ∈[1e －1，e －1]时，f (x )max ＝e 2－e. ∵不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立，∴⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥f (x )max ，m <f (x )min .即⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥e 2－3，m <0⇒⎩⎨⎧m 2－2m －3≤0，m <0⇒ ⎩⎨⎧－1≤m ≤3，m <0⇒－1≤m <0. ∵m 是整数，∴m ＝－1.∴存在整数m ＝－1，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立．3．已知函数f (x )＝ax －ln(－x )，x ∈[－e,0)，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＝－1时，确定f (x )的单调性和极值； (2)当a ＝－1时，证明：f (x )＋ln (－x )x >12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解析 (1)∵f (x )＝－x －ln(－x )，f ′(x )＝－1－1x ＝－x ＋1x ，∴当－e ≤x <－1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当－1<x <0时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (－1)＝1.(2)由(1)知f(x)在区间[－e,0)上有唯一的极小值1，即f(x)在区间[－e,0)上的最小值为1，即f(x)min＝1.所证不等式即f(x)>12－ln(－x)x.令h(x)＝12－ln(－x)x，则h′(x)＝ln(－x)－1x2.当－e≤x<0时，h′(x)≤0，故h(x)在[－e,0)上单调递减．∴h(x)max＝h(－e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min.∴当a＝－1时，f(x)＋ln(－x)x>12.(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln(－x)的最小值为3.f′(x)＝a－1x(x∈[－e,0))．①若a≥－1e，由于x∈[－e,0)，则f′(x)＝a－1x≥0.∴函数f(x)＝ax－ln(－x)在[－e,0)上是增函数．∴f(x)min＝f(－e)＝－a e－1＝3，解得a＝－4e<－1e，与a≥－1e矛盾，舍去．②若a<－1e，则当－e≤x<1a时，f′(x)＝a－1x<0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是减函数．当1a<x<0时，f′(x)＝a－1x>0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是增函数．∴f(x)min＝f(1a)＝1－ln(－1a)＝3，解得a＝－e2.由①②知，存在实数a＝－e2，使f(x)的最小值为3.4．(2013·山东济宁一模)已知函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝ln x x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>12.(注：e≈2.718 28…是自然对数的底数．)解析 (1)∵f (x )＝x －ln x (x >0)，∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1x (x >0)． 由f (x )>0，得x >1，由f (x )<0，得0<x <1.∴f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．(2)由(1)知，当x ∈(0，e]时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，e]上单调递增． ∴当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝1.∵g (x )＝ln xx (x >0)，∴g ′(x )＝1－ln x x 2(x >0)．当x ∈(0，e]时，g (x )≥0，∴g (x )在(0，e]上单调递增． ∴当x ∈(0，e]时，[g (x )]max ＝g (e)＝1e .对任意的m ，n ∈(0，e]，f (m )－g (n )≥[f (m )]min －[g (n )]max ＝1－1e >12. 即证得，对任意的m ，n ∈(0，e]，都有f (m )－g (n )>12.5．(2013·汕头质量测评)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(a 2－1)x ，其中a >0. (1)若函数y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，求a 的值；(2)已知函数f (x )有3个不同的零点，分别为0、x 1、x 2，且x 1<x 2，若对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )>f (1)恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋(a 2－1)，因为y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0. 即－(－1)2＋2(－1)＋(a 2－1)＝0. 解得a ＝±2.经检验得a ＝2.(2)由题意得f (x )＝x (－13x 2＋x ＋a 2－1)＝－13x (x －x 1)(x －x 2)． 所以方程－13x 2＋x ＋a 2－1＝0有两个相异的实根x 1，x 2. 故Δ＝1＋43(a 2－1)>0，解得a <－12(舍去)或a >12 且x 1＋x 2＝3.又因为x 1<x 2，所以2x 2>x 1＋x 2＝3，故x 2>32>1.①若x1≤1<x2，则f(1)＝－13(1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)＝0不符合题意．②若1<x1<x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x－x1≥0，x－x2≤0，所以f(x)＝－13x(x－x1)(x－x2)≥0.又f(x1)＝0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值为0.于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)>f(1)恒成立的充要条件为f(1)＝a2－13<0，解得－33<a<33.综上得12<a<33，即a的取值范围为(12，33)．6．(2013·西安市质检)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))点处的切线的方程；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数g(x)＝f(x)＋13有三个互不相同的零点，求m的取值范围．解析(1)当m＝1时，f(x)＝－13x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.切线方程为3x－3y－1＝0.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m. 因为m>0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.(3)由(2)知，函数g (x )在x ＝1＋m 处取得极大值g (1＋m )＝f (1＋m )＋13， 且g (1＋m )＝23m 3＋m 2.函数g (x )在x ＝1－m 处取得极小值g (1－m )＝f (1－m )＋13， 且g (1－m )＝－23m 3＋m 2.根据三次函数的图像与性质，函数g (x )＝f (x )＋13有三个互不相同的零点，只需要⎩⎪⎨⎪⎧g (1＋m )＝23m 3＋m 2>0，g (1－m )＝－23m 3＋m 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >32.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.7．(2013·沧州七校联考)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.解析 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x故f f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )． (2)设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R . 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.8．(2013·西北五校)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x >0)． (1)由f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (2)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax －1<0，在区间(0,2)上f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当0<a <12时，1a >2，在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(1a ，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ， 故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)． ④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.(3)由已知，在(0,2]上有f (x )max <g (x )max . 由已知，g (x )max ＝0，由(2)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2＝－2a －2＋2ln2. 所以，－2a －2＋2ln2<0，解得a >ln2－1. 故ln2－1<a ≤12.②当a >12时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f (1a )＝－2－12a －2ln a .由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e ＝－1,2ln a >－2，－2ln a <2. 所以，－2－2ln a <0，f (x )max <0. 综上所述，a >ln2－1.1．(2011·天津文)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当t ≠0时，求f (x )的单调区间；(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．解析 (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，t2)，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(t2，－t )．②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，(t2，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(－t ，t 2)．(3)由(2)可知，当t >0时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，＋∞)内单调递增．以下分两种情况讨论：①当t2≥1，即t ≥2时，f (x )在(0,1)内单调递减．f (0)＝t －1>0， f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．②当0<t 2<1，即0<t <2时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，1)内单调递增．若t ∈(0,1]，f (t 2)＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0. 所以f (x )在(t2，1)内存在零点．若t ∈(1,2)，f (t 2)＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0，f (0)＝t －1>0.所以f (x )在(0，t2)内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 2．(2011·江西文)设f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx .(1)如果g (x )＝f ′(x )－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f (x )的解析式； (2)如果m ＋n <10(m ，n ∈N *)，f (x )的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b )的长度为b －a )．解析 (1)由题得g (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋(n －3)＝(x ＋m －1)2＋(n －3)－(m －1)2，已知g (x )在x ＝－2处取得最小值－5，所以⎩⎨⎧m －1＝2，(n －3)－(m －1)2＝－5，即m ＝3，n ＝2. 即得所要求的解析式为f (x )＝13x 3＋3x 2＋2x .(2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ，且f (x )的单调递减区间的长度为正整数，故f ′(x )＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m 2－4n >0，即m 2>n .不妨设为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝2m 2－n 为正整数． 故m ≥2时才可能有符合条件的m ，n ， 当m ＝2时，只有n ＝3符合要求， 当m ＝3时，只有n ＝5符合要求， 当m ≥4时，没有符合要求的n .综上所述，只有m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5满足上述要求． 3．已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x .(e ≈2.718 28…)．(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值； (2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围； (3)当a ＝－1时，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线C ：y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解析 (1)由题知，f ′(x )＝e x ＋a .因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为e＋a，又直线x＋(e－1)y＝1的斜率为11－e，∴(e＋a)11－e＝－1.∴a＝－1.(2)∵当x≥0时，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝e x＋ax>0恒成立．若x>0，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，即当x>0时，a>－e xx恒成立．设Q(x)＝－e xx.Q′(x)＝－e x x－e xx2＝(1－x)e xx2.当x∈(0,1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e.∴要使x≥0时，f(x)>0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．(3)依题意，曲线C的方程为y＝e x ln x－e x＋x.令M(x)＝e x ln x－e x＋x，∴M′(x)＝e xx＋ex ln x－e x＋1＝(1x＋ln x－1)ex＋1.设h(x)＝1x＋ln x－1，则h′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.当x∈[1，e]时，h′(x)≥0.故h(x)在[1，e]上为增函数，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为h(1)＝ln1＝0.所以h(x)＝1x＋ln x－1≥0.当x0∈[1，e]时，.∴.曲线y＝e x ln x－e x＋x在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程M′(x0)＝0在x∈[1，e]上有实数解．而M′(x0)>0，即方程M′(x0)＝0无实数解．故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝M(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直．4．已知x>12，函数f(x)＝x2，h(x)＝2eln x(e为自然常数)．(1)求证：f(x)≥h(x)；(2)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立，则称函数h(x)的图像为函数f(x)，g(x)的“边界”．已知函数g(x)＝－4x2＋px＋q(p，q∈R)，试判断“函数f(x)，g(x)以函数h(x)的图像为边界”和“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．解析(1)证明：记u(x)＝f(x)－h(x)＝x2－2eln x，则u′(x)＝2x－2e x，令u′(x)>0，因为x>12，所以x> e.所以函数u(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．u(x)min＝u(e)＝f(e)－h(e)＝e－e＝0，即u(x)≥0，所以f(x)≥h(x)．(2)由(1)知，f(x)≥h(x)对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．记v(x)＝h(x)－g(x)＝2eln x＋4x2－px－q，则“v(x)≥0恒成立”与“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即v(x)≥0对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．所以函数v(x)在x＝e时取极小值．注意到v′(x)＝2ex＋8x－p＝8x2－px＋2ex，由v′(e)＝0，解得p＝10 e.此时v′(x)＝8(x－e)(x－e4)x，由x>12知，函数v(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，即v(x)min＝v(e)＝h(e)－g(e)＝－5e－q＝0，q＝－5e，综上，两个条件能同时成立，此时p＝10e，q＝－5e.5．(2012·山东卷)已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.解析(1)由f(x)＝ln x＋k e x，得f′(x)＝1－kx－x ln xx e x，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝1x e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又e x>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝x＋1e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－x ln x<e xx＋1(1＋e－2)．由(2)中h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2.故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0.故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)>0，即e xx＋1>1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2<e xx＋1(1＋e－2)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2.6．(2011·山东文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8π(c－2)r2(r3－20c－2)，0<r<2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0.所以y′＝8π(c－2)r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2即c>92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.7．(2013·江南十校)设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”(1)若函数f(x)为集合M中的任一元素，试证明方程f(x)－x＝0只有一个实根；(2)判断函数g(x)＝x2－ln x2＋3(x>1)是否是集合M中的元素，并说明理由；(3)“对于(2)中函数g(x)定义域内的任一区间[m，n]，都存在x0∈[m，n]，使得g(n)－g(m)＝(n－m)g′(x0)”，请利用函数y＝ln x的图像说明这一结论．解析(1)令h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝f′(x)－1<0，即h(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．所以，使h(x)＝0，即f(x)－x＝0成立的x至多有一解．又由题设①知方程f(x)－x ＝0有实数根， 所以，方程f(x)－x ＝0只有一个实数根．(2)由题意知，g ′(x)＝12－12x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12⊂(0,1)，满足条件．令F(x)＝g(x)－x ＝－x 2－ln x2＋3(x>1)，则F(e )＝－e 2＋52>0，F(e 2)＝－e22＋2<0.又F(x)在区间[e ，e 2]上连续，所以F(x)在[e ，e 2]上存在零点x 0，即方程g(x)－x ＝0有实数根x 0∈[e ，e 2]，故g(x)满足条件①.综上可知，g(x)∈M.(3)由(1)知：g(n)－g(m)＝12(n －m)－12(ln n －ln m)， 而(n －m)g ′(x 0)＝(n －m)(12－12x 0)，所以原式等价于ln n －ln m n －m ＝1x 0.该等式说明函数y ＝ln x(x>1)上任意两点A(m ，ln m)和B(n ，ln n)的连线段AB(如图所示)，在曲线y ＝ln x(m ≤x ≤n)上都一定存在一点P(x 0，ln x 0)，使得该点处的切线平行于AB ，根据y ＝ln x(x>1)图像知该等式一定成立．8．(2013·郑州质检)已知函数f(x)＝x －ln (x ＋a)在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．答案 (1)0 (2)54＋ln 2≤b<2 解析 (1)对f(x)求导，得f ′(x)＝1－1x ＋a. 由题意，得f ′(1)＝0，即1－11＋a＝0，∴a ＝0. (2)由(1)得f(x)＝x －ln x.∴f(x)＋2x ＝x 2＋b ，即x 2－3x ＋ln x ＋b ＝0.设g(x)＝x 2－3x ＋ln x ＋b(x>0)，则g ′(x)＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.令g ′(x)＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，g ′(x)、g(x)的变化情况如下表：又g(12)＝b －54－ln 2，g(2)＝b －2＋ln 2.∵方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g (12)≥0，g (1)<0，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧b －54－ln 2≥0，b －2<0，b －2＋ln 2≥0，解得54＋ln 2≤b<2.9．已知函数f(x)＝ax 2－2x ＋1，g(x)＝ln (x ＋1)． (1)求函数y ＝g(x)－x 在[0,1]上的最小值；(2)当a ≥12时，函数t(x)＝f(x)＋g(x)的图像记为曲线C ，曲线C 在点(0,1)处的切线为l ，是否存在a 使l 与曲线C 有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a 的值；否则，说明理由．(3)当x ≥0时，g(x)≥－12f(x)＋12恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)y ′＝1x ＋1－1，因为0≤x ≤1，所以y ′≤0. 所以y ＝g(x)－x 在[0,1]上单调递减． 当x ＝1时，y 取最小值为ln 2－1. 故y ＝g(x)－x 在[0,1]的最小值为ln 2－1.(2)函数t(x)的定义域为(－1，＋∞)，t ′(x)＝2ax －2＋1x ＋1，t ′(0)＝－1.所以在切点P(0,1)处的切线l 的斜率为－1. 因此切线方程为y ＝－x ＋1.因此切线l 与曲线C 有唯一的公共点，所以，方程ax 2－x ＋ln (x ＋1)＝0有且只有一个实数解．显然，x ＝0是方程的一个解．令φ(x)＝ax 2－x ＋ln (x ＋1)，则φ′(x)＝2ax －1＋1x ＋1＝2ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1x ＋1.当a ＝12时，φ′(x)＝x 2x ＋1≥0，于是，φ(x)在(－1，＋∞)上单调递增，即x＝0是方程唯一的实数解．当a>12时，由φ′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝12a －1∈(－1,0)． 在区间(－1，x 2)上，φ′(x)>0，在区间(x 2,0)上，φ′(x)<0. 所以，函数φ(x)在x 2处有极大值φ(x 2)，且φ(x 2)>φ(0)＝0.而当x →－1时，φ(x)→－∞，因此，φ(x)＝0在(－1，x 2)内也有一个解，矛盾．综上，得a ＝12.(3)令h(x)＝g(x)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12f (x )＋12＝ln (x ＋1)＋12ax 2－x ，h ′(x)＝1x ＋1＋ax －1＝ax 2＋(a －1)x x ＋1＝x[ax ＋(a －1)]x ＋1(x>－1)．若a ＝0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0，不合题意；若a ≥1，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≥0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，符合题意；若0<a<1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 时，h ′(x)≤0，则h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 单调递减，故h(1－aa )<h(0)＝0，不合题意；若a<0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)单调递减，故h(1)<h(0)＝0，不合题意．综上：a的取值范围是a≥1.。

课时作业18函数的表示法【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．已知2x＋3，则f(6)的值为()A．15B．7C．31D．172．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：x123f(x)231x123g(x)321则方程g(f(x))＝x的解集为()A．{1}B．{2}C．{3}D．∅3．已知f(x＋2)＝x2－x＋1，则f(x)等于()A．x2－x＋3B．x2＋4x＋1C．x2－x－1D．x2－5x＋74．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝()A．x＋1B．x－1C．2x＋1D．3x＋35．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝2x＋17，则f(x)等于()A.23x ＋5B.23x ＋1C ．2x －3D ．2x ＋16．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为()A ．y ＝2(x ＋2)2－6B ．y ＝2x 2－6C ．y ＝2x 2D ．y ＝2(x ＋2)27．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图象的纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的图象是()8．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q二、填空题9．对于定义域为R的函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：x－2－1012345y02320－102则f(f(f(0)))＝.10．已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝1，则f(1)＝，＝.三、解答题11．(1)已知f＝x1－x2，求f(x)；(2)已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f[g(x)]＝4x2－20x＋25，求g(x)的表达式．12．如图所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD 上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图象．13．(多选题)函数y＝x1＋x的大致图象不可能是()14．(多选题)已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是()A．f(3)＝36B．f(－3)＝16C．f(x)＝4x2D．f(x)＝x2－2x＋115．定义两种运算：a⊕b＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，则函数f(x)＝2⊕x(x⊗2)－2的解析式为．16．已知函数f(x)＝xax＋b(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一解，求函数f(x)的解析式，并求f(f(－3))的值．课时作业18函数的表示法【解析版】时间：45分钟一、选择题1．已知2x＋3，则f(6)的值为(C) A．15B．7C．31D．17解析：令x2－1＝6，则x＝14，则f(6)＝2×14＋3＝31.2．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：x123f(x)231x123g(x)321则方程g(f(x))＝x的解集为(C)A．{1}B．{2}C．{3}D．∅解析：f(1)＝2，g(f(1))＝g(2)＝2，f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，∴g(f(x))＝x的解集为{3}．选C.3．已知f(x＋2)＝x2－x＋1，则f(x)等于(D)A．x2－x＋3B．x2＋4x＋1C．x2－x－1D．x2－5x＋7解析：令x＋2＝t，则x＝t－2.将x ＝t －2代入f (x ＋2)＝x 2－x ＋1.得f (t )＝(t －2)2－(t －2)＋1＝t 2－5t ＋7.∴f (x )＝x 2－5x ＋7.4．若f (x )对于任意实数x 恒有3f (x )－2f (－x )＝5x ＋1，则f (x )＝(A )A ．x ＋1B ．x －1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：因为3f (x )－2f (－x )＝5x ＋1，所以3f (－x )－2f (x )＝－5x ＋1，联立解得f (x )＝x ＋1.5．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝2x ＋17，则f (x )等于(A )A.23x ＋5 B.23x ＋1C ．2x －3D ．2x ＋1解析：∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由3f (x ＋1)＝2x ＋17，得3[a (x ＋1)＋b ]＝2x ＋17，整理得：3ax ＋3(a ＋b )＝2x ＋17，a ＝2，(a ＋b )＝17，＝23，＝5，∴f (x )＝23x ＋5.故选A.6．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为(C )A ．y ＝2(x ＋2)2－6B ．y ＝2x 2－6C ．y ＝2x 2D ．y ＝2(x ＋2)2解析：根据函数图象的平移原则——“左加右减，上加下减”，可知平移后的图象对应的函数解析式为y ＝2[(x －1)＋1]2－3＋3＝2x 2.7．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图象的纵轴表示该同学与学校的距离s，横轴表示该同学出发后的时间t，则比较符合该同学行进实际的图象是(D)解析：依题意可知，纵轴表示离校的距离，所以最终应为零，故排除A，B两个选项．由于车的速度快，在图象上距离下降比较快，而步行较慢，距离下降比较慢．根据以上两点，可以判断出D选项符合题意．故选D.8．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的(D)A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以舍去N，M点，不选A，B；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与图2矛盾，因此取Q，即选D.二、填空题9．对于定义域为R 的函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：x －2－1012345y232－12则f (f (f (0)))＝2.解析：由列表表示的函数可得f (0)＝3，则f (f (0))＝f (3)＝－1，f (f (f (0)))＝f (－1)＝2.10．已知函数f (x )对任意实数x ，y 均有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (2)＝1，则f (1)＝0，＝－1.解析：∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)＋f (1)，∴f (1)＝0.又f (1)＝f (2)＋0，∴ 1.三、解答题11．(1)已知f ＝x1－x2，求f (x )；(2)已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，求g (x )的表达式．解：(1)设t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，代入＝x1－x2，得f (t )＝1t 1＝t t 2－1(t ≠0)，故f (x )＝xx 2－1(x ≠0)．(2)由g (x )为一次函数，设g (x )＝ax ＋b (a >0)，∵f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，∴(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，从而a 2＝4,2ab ＝－20，b 2＝25，解得a ＝2，b ＝－5，故g (x )＝2x －5(x ∈R )．12．如图所示，在矩形ABCD 中，BA ＝3，CB ＝4，点P 在AD 上移动，CQ ⊥BP ，Q 为垂足．设BP ＝x ，CQ ＝y ，试求y 关于x 的函数表达式，并画出函数的图象．解：由题意，得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x.因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，CB ＝AD ＝4，所以BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5，故所求的函数表达式为y ＝12x (3≤x ≤5)．如图所示，曲线MN 就是所求的函数图象．13．(多选题)函数y ＝x1＋x的大致图象不可能是(BCD )解析：y ＝x1＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，所以C ，D 不可能是函数的大致图象，当x ＝0时，y ＝0，所以B 不可能是函数的大致图象．14．(多选题)已知f (2x ＋1)＝4x 2，则下列结论正确的是(BD )A ．f (3)＝36B ．f (－3)＝16C ．f (x )＝4x 2D ．f (x )＝x 2－2x ＋1解析：当2x ＋1＝3时，x ＝1，因此f (3)＝4×12＝4，所以A 不符合题意；当2x ＋1＝－3时，x ＝－2，因此f (－3)＝4×(－2)2＝16，所以B 符合题意；令t ＝2x ＋1，则x ＝t －12，因此f (t )＝4×t －12＝t 2－2t ＋1，所以C 不符合题意，D 符合题意．故选BD.15．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x (x ⊗2)－2的解析式为f (x )＝－4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]．解析：∵2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝(x －2)2＝|x －2|，∴f (x )＝4－x 2|x －2|－2.易知函数的定义域为{x |－2≤x <0，或0<x ≤2}．∴f (x )＝－4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]．16．已知函数f (x )＝xax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，方程f (x )＝x 有唯一解，求函数f (x )的解析式，并求f (f (－3))的值．解：由f (x )＝x ，得xax ＋b＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0.∵方程f (x )＝x 有唯一解，且a ≠0，∴Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1.∵f (2)＝1，∴22a ＋1＝1.∴a ＝12.∴f (x )＝x 12x ＋1＝2x x ＋2.∴f (f (－3))＝f (6)＝128＝32.。

课时作业(十八)1．独立重复试验应满足的条件： ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果之一； ③每次试验发生的机会是均等的； ④各次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③ C ．①②③D ．①②④ 答案 C2．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于( )A.316B.4243C.13243D.80243答案 D解析 P (X ＝2)＝C 26×(13)2×(1－13)6－2＝C 26×(13)2×(23)4＝80243.3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A.227B.19C.29D.127 答案 B解析 每种颜色的球被抽取的概率为13，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C 13(13)3＝3×127＝19.4．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p kB ．(1－p )k·pn －kC ．(1－p )kD ．C kn (1－p )k·p n －k答案 D5．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)的值为( )A ．C 23(14)2×34B ．C 23(34)2×14C ．(14)2×34D ．(34)2×14答案 C解析 当ξ＝3表示前2次测出的都是次品，第3次为正品，则P (ξ＝3)＝(14)2×34.6．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5答案 B解析 由题意可知质点P 在5次运动中向右移动2次，向上移动3次，且每次移动是相互独立的，即向右移动的次数ξ～B (5，12)，∴P (ξ＝2)＝C 25(12)2(12)3.7．(2015·合肥高二检测)在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A.13B.25C.56D.34 答案 A解析 设事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以1－p＝23，p ＝13. 8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.答案10243解析 任何一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B (5，13)，即有P (ξ＝k )＝C k 5(13)k×(23)5－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.∴P (ξ＝4)＝C 45(13)4×(23)1＝10243.9．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．答案 0.947 7解析 至少3人被治愈的概率为C 34(0.9)3·0.1＋(0.9)4＝0.947 7.10．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，则一天内至少3人同时上网的概率为________．答案2132解析 记A r (r ＝0,1,2，…，6)为“r 个人同时上网”这个事件，则其概率为P (A r )＝C r60.5r(1－0.5)6－r＝C r 60.56＝164C r 6，“一天内至少有3人同时上网”即为事件A 3∪A 4∪A 5∪A 6，因为A 3，A 4，A 5，A 6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“一天内至少有3人同时上网”的概率为P ＝P (A 3∪A 4∪A 5∪A 6)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＋P (A 6)＝164(C 36＋C 46＋C 56＋C 66)＝164×(20＋15＋6＋1)＝2132.11．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.1×0.93； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14. 其中正确结论的序号是________． 答案 ①③解析 由题意可知①③正确，②不正确，因为恰好击中目标3次的概率P ＝C 340.93×0.1. 12．2015年初，一考生参加北京大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解析 (1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝34，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝34×34×14＝964.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故P (B )＝C 34×(34)3×14＋C 44×(34)4＝189256. 13．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种的费用，写出ξ的分布列．解析 补种费用ξ的分布列为点评 每个坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝8，所以每个坑不需要补种的概率为p ＝1－18＝78.利用3次独立重复试验的公式求解即可．14．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率． 解析 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件发生的概率为C 15·23·(13)4＋(13)5.所以所求的概率为1－[C 15·23·(13)4＋(13)5]＝232243.(2)当ξ＝4时记事件为A ，则P (A )＝C 13×23×(13)2×23＝427.当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B ，则P (B )＝C 14×23×(13)3＋(13)4＝19. 所以所求概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝427＋19＝727.15．如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A 投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是12.记小球遇到第n 行第m 个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P (n ，m )．(1)求P (4,1)，P (4,2)的值，并猜想P (n ，m )的表达式(不必证明)；(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，1≤x ≤3，x －3，3<x ≤6，设小球遇到第6行第m 个障碍物(从左至右)上顶点时，得到的分数为ξ＝f (m )，试求ξ的分布列．解析 (1)P (4,1)＝C 03(12)3＝18，P (4,2)＝C 13(12)3＝38，猜想P (n ，m )＝C m －1n －1(12)n －1.(2)ξ＝3,2,1，P (ξ＝3)＝P (6,1)＋P (6,6)＝116，P (ξ＝2)＝P (6,2)＋P (6,5)＝516，P (ξ＝1)＝P (6,3)＋P (6,4)＝58.故ξ的分布列为►16．一批玉米种子，其发芽率是0.8.问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？(lg2＝0.301 0)解析 记事件A ＝“种一粒种子，发芽”， 则P (A )＝0.8，P (A －)＝1－0.8＝0.2.设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.因为每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则P (B －)＝C 0n ·0.80·0.2n ＝0.2n.所以P (B )＝1－P (B －)＝1－0.2n .由题意有1－0.2n>98%，所以0.2n<0.02，两边取对数得n lg0.2<lg0.02.即n (lg2－1)<lg2－2.所以n >lg2－2lg2－1≈2.43，且n ∈N ，所以n ≥3.故每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.17．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．解析 记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)∵C ＝A ·B ＋A ·B ，∴P (C )＝P (A ·B ＋A ·B )＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)∵D ＝A ·B ，∴P (D )＝P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝0.5×0.4＝0.2. ∴P (D )＝1－P (D )＝0.8.(3)ξ～B (3,0.8)，ξ的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝0.23＝0.008，P (ξ＝1)＝C 13×0.8×0.22＝0.096， P (ξ＝2)＝C 23×0.82×0.2＝0.384，P (ξ＝3)＝0.83＝0.512.ξ的分布列为1．(2013·江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能 答案 B解析 ∵p 1＝1－(99100)10，p 2＝1－(C 299C 2100)5＝1－(98100)5，∴p 1<p 2.2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57×(13)2×(23)5B ．C 47×(23)2×(13)5C ．C 27×(23)2×(13)5D ．C 37×(13)2×(23)5答案 C3．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是( )A ．(99100)6B ．0.01C.C 16100(1－1100)5D ．C 26(1100)2(1－1100)4答案 C4．抛掷三个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数X ～( )A ．B (54，427) B ．B (52，1927)C ．B (54，1927)D ．B (54，1724)答案 C5．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n答案 D6．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B7．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可以成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A ．(23，1)B ．(13，1)C ．(0，23)D ．(0，13)答案 B8．某处有水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是110，随机变量X 表示同时被打开的水龙头的个数，则P (X ＝3)＝________.答案8110 0009．一个袋中有5个白球，3个红球，现从袋中每次取出1个球，取出后记下球的颜色然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P (ξ＝12)＝________.(写出表达式不必算出最后结果)答案 C 911(38)9(58)2·3810．某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进了3球的概率为________．(用数字作答)答案1512811．A ，B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，若某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．解析 P ＝(12)5×2＋2×C 45(12)5(12)2＝116＋2×5×(12)7＝964.。

课时作业(十八)1．如果A ，B ，C 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则( ) A ．A ＝B ∪C B ．B ∪C ＝{0} C ．B ＝A ∩C D ．B ∩C ＝∅答案 D解析 复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．所以B ∩C ＝∅.故选D. 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部之和为零，则b 的值为( ) A ．2 B.23 C ．－23D ．－2 答案 A解析 由复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部之和为零，得2－b ＝0，即b ＝2.故选A. 3．若a ，b ∈R 且(1＋i)a ＋(1－i)b ＝2，则a ，b 的值分别为( ) A ．a ＝1，b ＝－1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝1 D ．a ＝－1，b ＝－1 答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.4．【多选题】下列说法错误的是( ) A ．复数a ＋b i 不是纯虚数B ．若x ＝1，则复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 是纯虚数C ．若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2D ．若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数 答案 ACD解析 当a ＝0，b ≠0，且b ∈R 时，复数a ＋b i 是纯虚数，故A 错误； 当x ＝1时，复数z ＝2i 是纯虚数，故B 正确；(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝2，故C 错误；复数z ＝a ＋b i ，a ，b 未注明为实数，故D 错误．故选ACD.5．欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ(e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，θ∈R )是瑞士著名数学家欧拉发明的，e i π＋1＝0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数e π3i 的虚部为( )A ．－32 B.32 C ．－32i D.32i 答案 B解析 由欧拉公式得e π3i ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i ，其虚部为32.故选B.6．以5i －5的虚部为实部，以8i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________． 答案 5－8i解析5i －5的虚部为5，8i 2＋2i ＝－8＋2i 的实部为－8.7．若cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，则θ＝________． 答案π2＋2k π(k ∈Z ) 8．若实数x ，y 满足x ＋y i ＝－1＋(x －y )i(i 是虚数单位)，则xy ＝________． 答案 12解析 ∵x ＋y i ＝－1＋(x －y )i ，x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12，∴xy ＝12. 9．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数a ＋b i ，其中虚数有________个． 答案 36解析 从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数a ＋b i ，当a ＝0时，对应的b 有6个值；当a 取1，2，3，4，5，6时，对应的b 均只有5个值．所以虚数有6＋6×5＝36(个)．10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．(1)若复数z 是实数，求实数a 的值； (2)若复数z 是虚数，求实数a 的取值范围；(3)复数z 能不能是纯虚数？若可能为纯虚数，求出实数a 的值；若不可能为纯虚数，请说明理由．解析 (1)若复数z 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，所以a ＝6. (2)若复数z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，所以实数a 的取值范围为{a |a ≠±1且a ≠6}．(3)复数z 不可能为纯虚数．理由如下： 若复数z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6＝0，a 2－1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝1或a ＝6，a ≠±1，此时无解，故复数z 不可能为纯虚数．11．【多选题】已知i 为虚数单位，下列命题正确的是( ) A ．若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1 B ．(a 2＋1)i(a ∈R )是纯虚数 C ．若z 12＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0D ．当m ＝4时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数 答案 BD解析 取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故A 错误；∀a ∈R ，a 2＋1>0恒成立，所以(a 2＋1)i(a ∈R )是纯虚数，故B 正确；取z 1＝i ，z 2＝1，则z 12＋z 22＝0，但z 1＝z 2＝0不成立，故C 错误；当m ＝4时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i ＝lg 1＋42i ＝42i ，是纯虚数，故D 正确．故选BD.12．已知i 为虚数单位，复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ(θ∈R )相等，则θ的值为( )A.π4B.π4或5π4 C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )答案 D解析 由复数相等的充要条件，知sin θ＝cos θ，解得θ＝k π＋π4(k ∈Z )．13．若复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2答案 C解析 若该复数为纯虚数，则a 2－a －2＝0且|a －1|－1≠0，解得a ＝－1，所以若该复数不是纯虚数，则a ≠－1.故选C.14．已知M ＝{2，m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i}，N ＝{－1，2，4i}，若M ∪N ＝N ，求实数m 的值．解析 因为M ∪N ＝N ，所以M ⊆N ，所以m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝－1或m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝1或m ＝2. 所以实数m 的值是1或2.15．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i ，m ∈R ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，λ∈R ，θ∈R ，且z 1＝z 2，求λ的取值范围．解析 ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，∴λ＝4－4cos 2θ－3sinθ＝4sin 2θ－3sinθ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916. ∵－1≤sin θ≤1，∴λ∈⎣⎡⎦⎤－916，7.1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1答案 A解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.2．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，其中实数x ，y 满足方程2x ＋y ＋ilog 2x －8＝(1－log 2y )i ，则z ＝( ) A ．2＋i B ．1＋2i C ．1＋i D ．2＋i 或1＋2i答案 D解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y－8＝0，log 2x ＝1－log 2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故z ＝2＋i 或z ＝1＋2i.故选D.3．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N )，则集合{f (n )}中的元素有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个答案 B解析 f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i ＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ，f (4)＝i 4－i －4＝0，…，易知f (n )是以4为周期的周期函数，故{f (n )}中的元素只有0，2i ，－2i.故选B.4．【多选题】已知i 为虚数单位，下列命题中正确的是( ) A ．若a ≠0，则a i 是纯虚数 B ．虚部为－2的虚数有无数个 C ．实数集是复数集的真子集D ．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 答案 BCD解析 若a ＝i ，则a i ＝i 2＝－1，不是纯虚数，故A 错误；虚部为－2的虚数可以表示为m －2i(m ∈R )，有无数个，故B 正确；根据复数的分类，判断C 正确；两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D 正确．故选BCD.5．已知集合M ＝{1，m ，3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1，3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________． 答案 3或6解析 因为M ∩N ＝{3}，所以3∈M 且－1∉M ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m ≠3且m ≠－1，3＋（m 2－5m －6）i ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，3＋（m 2－5m －6）i ≠3，且3＋（m 2－5m －6）i ≠－1， 解得m ＝6或m ＝3.6．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数为________． 答案 2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13.所以实数对(x ，y )表示的点有⎝⎛⎭⎫3，13，⎝⎛⎭⎫－1，13，共有2个． 7．z ＝sin θ＋icos θ(θ∈R )为纯虚数，则θ＝________． 答案 k π(k ∈Z )解析 由题意得sin θ＝0且cos θ≠0，即θ＝k π，k ∈Z .8．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解析 若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3， 即a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意，舍去； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}，符合题意，所以a ＝－3，b ＝2. 若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，即a 2－1＝8且b ＋2＝0， 得a ＝±3，b ＝－2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝N ＝{3i ，8}，不合题意，舍去；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意．所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1，b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0，b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.9．已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )．(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值； (2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围．解析 (1)∵z 1为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2.(2)由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2，∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2；当sin θ＝－1时，λmax ＝6.∴实数λ的取值范围是[2，6]．。

【金版新学案】2021-2021学年高二数学 课时作业18（含解析）新人教A 版选修2-3一、选择题(每小题5分，共20分) 1．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪率是否有关系．其中，用独立性检验可以解决的问题有( ) A ．①②③ B ．②④⑤ C ．②③④⑤D ．①②③④⑤解析： 独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事情的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等．②④⑤均可用独立性检验解决．故选B.答案： B2．通过随机扣问110名性别分歧的大学生是否爱好某项运动，获得如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析： 由7.8>6.635知，有1－0.010即99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选A.答案： A3．在两个学习基础相当的班级实行某种教学法子的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学法子( )优、良、中 差 总 计 实验班 48 2 50 对比班 38 12 50 总 计8614100A.有关 B ．无关 C ．关系不明确D ．以上都不正确解析： 随机变量K 2的观测值k ＝100×48×12－38×2250×50×86×14≈8.306＞6.635，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“实验效果与教学法子有关”．答案： A4．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系获得下表数据：种子处理 种子未处理 总计 抱病 32 101 133 不抱病 61 213 274 总计93314407A ．种子是否经过处理跟是否生病有关B ．种子是否经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决意是否生病D ．以上都是错误的解析： 由k ＝407×32×213－61×101293×314×133×274≈0.164＜2.706，即不能必定种子经过处理跟是否生病有关．答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了一些学生的专业情况，获得如下2×2列联表(单位：名)：非统计专业 统计专业 总计 男 13 10 23 女72027K2的观测值k≈4.84，因为k＞3.841，所以认为“主修统计专业与性别有关系”．这种判断犯错的可能性为________．解析：由k≈4.84＞3.841可知我们在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“主修统计专业与性别有关系”．故判断犯错的可能性为5%.答案：5%6．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H0：从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断犯错的可能性为________．解析：由公式计算得K2的观测值k≈4.882，∵k＞3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性犯错．答案： 4.882 5%三、解答题(每小题10分，共20分)7．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？解析：按照标题问题所给的数据获得如下2×2列联表：比力图中暗影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关．8．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人，认为作业不多的有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作业不多的有15人．(1)请按照所给数据，列出2×2列联表；(2)认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？ 解析： (1)按照题意，列出2×2列联表如下：认为作业多 认为作业不多 总计 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏 8 15 23 总计26 2450(2)k ＝5018×15－8×9227×23×26×24≈5.059，P (K 2≥5.024)＝0.025，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系．(10分)为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？解析： 按照标题问题所给的数据获得如下列联表：理科 文科 总计 有兴趣 138 73 211 无兴趣 98 52 150 总计236125361K 2＝361×138×52－73×982236×125×211×150≈1.871×10－4.因为1.871×10－4＜2.706，所以据目前的数据不能认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有关，即可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．。

课时作业18 一元二次不等式的解法时间：45分钟 分值：100分A 学习达标一、选择题1．设集合S ＝{x ||x |<5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |－7<x <－5}B ．{x |3<x <5}C ．{x |－5<x <3}D ．{x |－7<x <5}解析：∵S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |－7<x <3}，∴S ∩T ＝{x |－5<x <3}．答案：C2．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( )A ．{x |x <－4或x >3}B ．{x |－4<x <3}C ．{x |x ≤－4或x ≥3}D ．{x |－4≤x ≤3}解析：转化为解不等式x 2＋x －12≥0，解得{x |x ≤－4或x ≥3}．答案：C3．不等式2x 2－3|x |－35>0的解集为( )A ．{x |x <－72，或x >5} B ．{x |0<x <72，或x >5} C ．{x |－52<x <－5，或x >7} D ．{x |x <－5，或x >5}解析：原不等式2x 2－3|x |－35>0⇔2|x |2－3|x |－35>0⇔(|x |－5)(2|x |＋7)>0⇔|x |>5，或|x |<－72(舍)⇔x >5，或x <－5. 答案：D4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )(x －1a)<0的解集为( )A ．{x |x <a ，或x >1a} B ．{x |x >a }C ．{x |x >a ，或x <1a} D ．{x |x <1a} 解析：∵a <－1，∴a (x －a )(x －1a )<0⇔(x －a )(x －1a )>0.又∵a <－1，∴1a >a ，∴x >1a，或x <a ， 即原不等式解集为{x |x >1a ，或x <a }．答案：A5．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则a ＋b 等于( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14解析：a <0，且－b a ＝－12＋13，2a ＝－16，解得a ＋b ＝－14.答案：D6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1， x <0，x －1， x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是() A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}解析：分类⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x <0，x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1，注意f (x ＋1)隐含定义域约束．解不等式组得x ≤2－1，故选C.答案：C二、填空题7．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是________．解析：原不等式等价于(x －1)(2x ＋9)≤0，对应两根为1，－92，得解集为{x |－92≤x ≤1}． 答案：{x |－92≤x ≤1} 8．不等式2≤x 2－2x <8的整数解集是________．解析：先将该不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －8<0，x 2－2x －2≥0，解得{x |－2<x ≤1－3或1＋3≤x <4}，∴原不等式的整数解集为{－1,3}．答案：{－1,3}9．不等式(3x －4)(2x ＋1)(x －1)2<0的解集为________． 解析：∵原不等式等价于⎩⎨⎧ (3x －4)(2x ＋1)<0x ≠1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <43x ≠1，⇒－12<x <43且x ≠1，∴原不等式解集为{x |－12<x <43且x ≠1}．答案：{x |－12<x <43且x ≠1} 三、解答题10．解不等式：1<x 2－3x ＋1<9－x .解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ＋1>1，x 2－3x ＋1<9－x ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x >0，x 2－2x －8<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <0，－2<x <4， ⇒3<x <4或－2<x <0.∴原不等式的解集为{x |3<x <4或－2<x <0}．11．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0(a ∈R )．解：∵Δ＝a 2＋4×56×a 2＝225a 2≥0，方程56x 2＋ax －a 2＝0的解是x 1＝－a 7，x 2＝a 8. 当a >0时，原不等式的解集是{x |－a 7<x <a 8}； 当a ＝0时，原不等式化为56x 2<0，∴原不等式的解集是Ø；当a <0时，原不等式的解集是{x |a 8<x <－a 7}． B 创新达标12．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－2或x >－12}，求不等式ax 2－bx ＋c >0的解集． 解：∵ax 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－2或x > －12}， ∴a <0，且－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴有⎩⎨⎧ －2－12＝－b a ，－2×(－12)＝c a ，即⎩⎨⎧ b a ＝52，c a ＝1.不等式ax 2－bx ＋c >0可化为x 2－b a x ＋c a<0， 即x 2－52x ＋1<0，解得12<x <2， ∴不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是{x |12<x <2}．。

课时素养评价十八函数的表示法(15分钟30分)1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则此一次函数的解析式为 ( )A.f(x)=-xB.f(x)=x-1C.f(x)=x+1D.f(x)=-x+1【解析】选D.设f(x)=ax+b(a≠0),则有所以a=-1,b=1,所以f(x)=-x+1.2.已知g(x)=1-2x,f[g(x)]=(x≠0),则f= ( )A.15B.1C.3D.30【解析】选A.令g(x)=,得1-2x=,解得x=.所以f=f===15.3.一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8,则g(x)的解析式是( )A.g(x)=9x+8B.g(x)=3x-2C.g(x)=-3x-4或g(x)=3x+2D.g(x)=3x+8【解析】选C.因为g(x)是一次函数,所以设g(x)=kx+b(k≠0),所以g[g(x)]=k(kx+b)+b,又因为g[g(x)]=9x+8,所以解得:或所以g(x)=3x+2或g(x)=-3x-4.【光速解题】逐一代入验证是否满足g[g(x)]=9x+8.4.已知f(x+1)=2x2+1,则f(x-1)= .【解析】设x+1=t,则x=t-1,f(t)=2(t-1)2+1=2t2-4t+3,f(x-1)=2(x-1)2-4(x-1)+3=2x2-4x+2-4x+4+3=2x2-8x+9.答案:2x2-8x+9【补偿训练】已知f(x+1)=x2,则f(x)= .【解析】由f(x+1)=x2,得到f(x+1)=(x+1-1)2,故f(x)=(x-1)2.答案:(x-1)25.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)求y=f(x)在[-1,1]上的最大值.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x,即解得a=1,b=-1,又由f(0)=1,得c=1,所以f(x)=x2-x+1.(2)由(1)知,函数f(x)=x2-x+1的图象开口方向朝上,以x=为对称轴的抛物线,故在区间[-1,1]上,当x=-1时,函数取最大值f(-1)=3.【补偿训练】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,求f(x)的解析式.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(x-2)=f(-x-2)得4a-b=0,①又因为|x1-x2|==2,所以b2-4ac=8a2,②又由已知得c=1.③由①②③解得b=2,a=,c=1,所以f(x)=x2+2x+1.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.已知f=2x+3,则f(6)的值为( )A.15B.7C.31D.17【解析】选C.令-1=6,则x=14,则f(6)=2×14+3=31.2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)= ( )A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3【解析】选A.因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.3.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20y 2 3 4 5A.[2,5]B.{2,3,4,5}C.(0,20]D.N*【解析】选B.由表格可知,y的值为2,3,4,5.故函数的值域为{2,3,4,5}.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知f(x)=,则f(x)满足的关系有( )A.f(-x)=-f(x)B.f=-f(x)C.f=f(x)D.f=-f(x)【解析】选BD.因为f(x)=,所以f(-x)==,f(-x)=f(x),即不满足A选项,f==,f=-f(x),即满足B选项,不满足C选项,f==,f=-f(x),即满足D选项.三、填空题(每小题5分,共10分)5.已知f=x2+,则函数f(x)= ,f(3)= .【解析】令x-=t,t2=x2+-2,所以f(t)=t2+2,所以f(x)=x2+2.所以f(3)=32+2=11.答案:x2+2 116.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次试验的数据.根据该函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为分钟.【解析】由题意知,函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数)经过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),所以解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以得到最佳加工时间为3.75分钟.答案:3.75四、解答题7.(10分)在未实行大规模绿化造林之前,我国是世界上受荒漠化危害最严重的国家之一,如图1表示我国土地沙化总面积在1950-2000年的变化情况,由图1中的相关信息,试将上述有关年份中,我国从1950-1970、1970-1990、1990-2000年的平均土地沙化面积在图2中表示出来.【解析】由题图1可知:1950-1970:土地沙化面积增加了3.2(万平方千米), 年平均沙化面积为:0.16(万平方千米)=16(百平方千米)1970-1990:年平均沙化面积为:0.21(万平方千米)=21(百平方千米)1990-2000:年平均沙化面积为:0.25(万平方千米)=25(百平方千米)如图:。

课时作业18 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题(每小题5分，共40分)1．α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( ) A ．－45 B.45 C.35D ．－35解析：因为α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B.答案：B2．(2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：∵tan θ＋1tan θ＝4，∴tan θ>0且tan 2θ－4tan θ＋1＝0，∴tan θ＝2＋3，sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2(2＋3)1＋(2＋3)2＝12，故选D.答案：D3．“tan α＝34”是“sin α＝－35”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±35，当sin α＝－35时，tan α＝±34，所以“tan α＝34”是“sin α＝－35”的既不充分也不必要条件．答案：D4．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－2解析：由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1， 故cos x sin x －1＝12.答案：A5．(2014·四川成都一模，5)已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255 B.255 C ．±255D.52解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23， 又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.答案：B6．已知cos α＝35，则cos2α＋sin 2α的值为( ) A.925 B.1825 C.2325D.3425解析：由cos α＝35，得cos2α＋sin 2α＝2cos 2α－1＋1－cos 2α＝cos 2α＝925，故选A.答案：A7．已知cos(π2－φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－ 3D. 3解析：cos(π2－φ)＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3. 答案：D8．(2014·山东实验中学模拟)若α，β∈(π2，π)，且tan α<cot β，那么必有( )A ．α＋β<π2B ．α＋β<32π C ．α>βD ．α<β 解析：∵cot β＝tan(π2－β)＝tan(π＋π2－β)＝tan(3π2－β)，π2<β<π，∴－π2>－β>－π，π2<3π2－β<π，而函数y ＝tan x 在x ∈(π2，π)上单调递增，∴由tan α<cot β，即tan α<tan(3π2－β)可得α<3π2－β，即α＋β<3π2.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知α∈(π，2π)，sin(α－7π2)＝－35，则sin(3π＋α)的值为________．解析：sin(α－7π2)＝－sin(7π2－α)＝－sin(－π2－α)＝sin(π2＋α)＝cos α＝－35， 即cos α＝－35，又α∈(π，2π)，∴sin α＝－45. ∴sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝45. 答案：4510．(2014·泰州模拟，10)若θ∈(π4，π2)，sin2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________．解析：(cos θ－sin θ)2＝1－sin2θ＝1516.∵π4<θ<π2， ∴cos θ<sin θ.∴cos θ－sin θ＝－(cos θ－sin θ)2＝－154.答案：－15411．(2014·河北唐山一模，13)已知sin(3π＋α)＝lg1310，则cos (π＋α)cos α[cos (π－α)－1]＋cos (α－2π)cos αcos (π－α)＋cos (α－2π)的值为________．解析：由于sin(3π＋α)＝－sin α， lg 1310＝－13，得sin α＝13， 原式＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos α－cos 2α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α＝18. 答案：18三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知角α的终边经过点P (45，－35)． (1)求sin α的值；(2)求sin (π2－α)sin (α＋π)·tan (α＋π)cos (3π－α)的值．解：(1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α， 由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54. 13．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f (π2 010)＋f (502π1 005)的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x (n ＝2k )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x (n ＝2k ＋1)， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π20 10)＋f (502π1 005) ＝sin 2π2 010＋sin 21 004π2 010 ＝sin 2π2 010＋sin 2(π2－π20 10) ＝sin 2π2 010＋cos 2π2 010＝1.14．设0≤θ≤π，P ＝sin2θ＋sin θ－cos θ.(1)若t ＝sin θ－cos θ，用含t 的式子表示P ；(2)确定t 的取值范围，并求出P 的最大值和最小值． 解：(1)由t ＝sin θ－cos θ， 得t 2＝1－2sin θcos θ＝1－sin2θ. ∴sin2θ＝1－t 2，∴P ＝1－t 2＋t ＝－t 2＋t ＋1. (2)t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4) ∵0≤θ≤π， ∴－π4≤θ－π4≤3π4. ∴－12≤sin(θ－π4)≤1.即t 的取值范围是－1≤t ≤ 2. 令P (t )＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，从而P (t )在[－1，12]内是增函数，在(12，2]内是减函数． 又P (－1)＝－1， P (12)＝54，P (2)＝2－1， ∴P (－1)<P (2)<P (12)． ∴P 的最大值是54，最小值是－1.。

章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．命题“∀n∈N*，f(n)≤n”的否定是()A．∀n∈N*，f(n)>nB．∀n∉N*，f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)>n0D．∃n0∉N*，f(n0)>n0考点全称量词的否定题点含有全称量词的命题的否定[[答案]] C2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点充分、必要条件的判断题点充分不必要条件的判断[[答案]] A[[解析]]当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；当A⊆B时，a＝2或3.所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．3．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>2019，则x>0”的逆命题B．命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的否命题C．命题“若x2＋x－2＝0，则x＝1”D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假[[答案]] B[[解析]]A项，命题“若x>2019，则x>0”的逆命题为“若x>0，则x>2019”，显然命题为假；B 项，命题“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆命题为“若x ＝0或y ＝0，则xy ＝0”，显然命题为真，则原命题的否命题也为真；C 项，解x 2＋x －2＝0，得x ＝1或x ＝－2，所以命题“若x 2＋x －2＝0，则x ＝1”为假；D 项，x 2≥1⇒x ≤－1或x ≥1，所以命题“若x 2≥1，则x ≥1”是假命题，则其逆否命题也为假命题，故选B.4．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )A ．命题綈p 是真命题B ．命题p 是特称命题C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题考点题点[[答案]] C[[解析]] 命题p ：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p 是假命题．5．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1<0C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件考点题点[[答案]] C[[解析]] A 选项，“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”；B 选项，命题p 的否定綈p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1≤0，D 选项，“x ＝－1”是x 2－5x －6＝0的充分不必要条件．故只有C 正确．6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b.命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1考点 “p ∧q ”形式的命题题点 “且(∧)”命题概念的理解[[答案]] C[[解析]] 命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题．7．对给出的下列命题：①∀x ∈R ，－x 2<0；②∃x 0∈Q ，x 20＝5；③∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＝0；④若p ：∀x ∈N ，x 2≥1，则綈p ：∃x 0∈N ，x 20<1.其中是真命题的是( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④考点 全称命题与特称命题的综合问题题点 全称命题与特称命题的真假判断[[答案]] D[[解析]] ①中，当x ＝0时，－x 2＝0；②中，x 2＝5，x ＝±5，±5是无理数；③中，当x ＝1±52时，x 2－x －1＝0；④中，全称命题的否定是特称命题，故③④是真命题． 8．“x >0”是“3x 2>0”的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件考点 充分、必要条件的判断题点 充分不必要条件的判断[[答案]] D[[解析]] 由3x 2>0得x 的取值集合为{x |x ≠0}，因为{x |x >0}{x |x ≠0}，故为充分不必要条件．9．给定下列命题：①“x ∈N ”是“x ∈N *”的充分不必要条件；②“若sin α≠12，则α≠π6”； ③“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题；④命题“∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1≤0”的否定．其中是真命题的是( )A．①②③B．②④C．③④D．②③④考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假[[答案]] B[[解析]]“x∈N”是“x∈N*”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为若α＝π6，则sinα＝12，正确，故②正确；若xy＝0，则x＝0或y＝0，③错误；④正确．10．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是()A．a<1 B．a≤1C．－1<a<1 D．－1<a≤1考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围[[答案]] A[[解析]]当a≤0时，显然存在x0∈R，使得ax20＋2x0＋a<0，当a>0时，Δ＝4－4a2>0，可得－1<a<1，则0<a<1，∴a的取值范围是(－∞，1)．11．已知a>1，f(x)＝2x a＋2x，则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是()A．－1<x<0 B．－2<x<1C．－2<x<0 D．0<x<1考点充分、必要条件的判断题点充分不必要条件的判断[[答案]] A[[解析]]因为a>1，f(x)＝2x a＋2x，所以使f(x)<1，即2x a＋2x<1成立的充要条件是x2＋2x<0，解得－2<x<0，所以结合选项可知使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是－1<x<0.12．已知p：x<－1或x>3，q＝|x－1|<a(a>0)，若q是綈p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围[[答案]] B[[解析]] 綈p ：－1≤x ≤3，令A ＝{x ||x －1|<a }＝{x |1－a <x <1＋a }，B ＝{x |－1≤x ≤3}，由题意知，B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <－1，1＋a >3，解得a >2，故选B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设p ：x >2或x <23；q ：x >2或x <－1，则綈p 是綈q 的________条件． 考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点 充分不必要条件的判定[[答案]] 充分不必要[[解析]] ∵綈p ：23≤x ≤2.綈q ：－1≤x ≤2.綈p ⇒綈q ， 但綈q ⇏綈p .∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．14．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 考点 全称命题的真假判断题点 恒成立求参数的范围[[答案]] 3 [[解析]] 由已知可得m ≥tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3恒成立． 设f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，显然该函数为增函数， 故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝tan π3＝3， 由不等式恒成立可得m ≥3，即实数m 的最小值为 3.15．下列四个命题：①命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ＝0，则ab ≠0”；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；③若綈p 是q 的充分条件，则p 是綈q 的必要条件；④若命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题．其中叙述正确的命题是________．(填序号)考点题点[[答案]] ②③④16．为激发学生的学习兴趣，老师上课时在黑板上写出了三个集合：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ ( )x －1x <0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |12log x >1}，集合A ，B ，C 对应的命题分别为p ，q ，r .然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“( )”中的数字告诉他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：p 是q 的充分不必要条件；丙：p 是r 的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“( )”中的数应为________．考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围[[答案]] 1[[解析]] 集合B ＝{x |－1≤x ≤4}，集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 由甲的描述可设括号内的数为a (0<a <6，a ∈N *)，故集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <1a ，a ∈N *. 根据乙、丙的描述可得命题p ，q ，r 的关系是r ⇒p ⇒q ，故1a ∈⎝⎛⎦⎤12，4，a ∈N *， 所以a ∈⎣⎡⎭⎫14，2，a ∈N *.所以a ＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2；(3)∃T 0∈R ，|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |；(4)∃x 0∈R ，x 20＋1<0.考点 全称命题与特称命题的综合问题题点 全称命题与特称命题的真假判断解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)中，∵a x >0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)中，当x 1＝0，x 2＝π时，x 1<x 2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)中，y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个最小正周期，∴命题(3)是真命题．(4)中，对∀x ∈R ，x 2＋1≥1，∴命题(4)是假命题．18．(12分)已知命题p ：x <－6或x >1，命题q ：5x －6>ax 2(a 为常数)．(1)写出原命题“若p ：x <－6或x >1，则q ：5x －6>ax 2”的逆否命题．(2)若p ⇔q ，则实数a 应满足什么条件？考点 四种命题的相互关系题点 逆否证法解 (1)命题的逆否命题为“若5x －6≤ax 2(a 为常数)，则－6≤x ≤1”．(2)∵p ⇔q ，∴x <－6或x >1⇔5x －6>ax 2(a 为常数)，即不等式ax 2－5x ＋6<0的解集为{x |x <－6或x >1}，故方程ax 2－5x ＋6＝0有两根－6,1，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(－5)2－4a ×6>0，a (－6)2－5×(－6)＋6＝0，a －5×1＋6＝0，解得a ＝－1，故实数a 应满足a ＝－1.19．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅.(1)若“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围；(2)“命题q ：∃x 0∈A ，x 0∈B ”是真命题，求m 的取值范围．考点 全称量词及全称命题的真假判断题点 恒成立求参数的范围解 (1)A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ≠∅.∵“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，∴B ⊆A ，B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅，∵B ≠∅，∴m ≥2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1≤5，m ≥2，∴2≤m ≤4.20．(12分)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：y ＝c x 为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在⎣⎡⎦⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．考点 “p ∨q ”形式的命题题点 由命题p ∨q ，p ∧q 的真假求参数范围解 由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)知，f (x )＝x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值为2.若q 真，则1c <2，即c >12，且c ≠1. 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c <1，0<c ≤12，所以0<c ≤12； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧c >1，c >12，所以c >1. 综上可得，c ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 21．(12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.考点 充要条件的概念及判断题点 充要条件的证明证明 充分性：因为∠A ＝90°，所以a 2＝b 2＋c 2.于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0， 所以x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0.所以[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0.所以该方程有两根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )， 同样另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0， 即[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，所以该方程有两根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )． 可以发现x 1＝x 3，所以方程有公共根．必要性：设x 是两方程的公共根，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋b 2＝0， ①x 2＋2cx －b 2＝0.② 由①＋②，得x ＝－(a ＋c )，x ＝0(舍去)．代入①并整理，可得a 2＝b 2＋c 2.所以∠A ＝90°.所以结论成立．22．(12分)已知p ：x 2－6x －16≤0；q ：1－m 2≤x ≤1＋m 2.(1)若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求m 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围 解 由x 2－6x －16≤0，得－2≤x ≤8，即p ：－2≤x ≤8，q ：1－m 2≤x ≤1＋m 2.(1)若p 是q 的必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m 2≥－2，1＋m 2≤8， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤3，m 2≤7，即m 2≤3， 解得－3≤m ≤3，即m 的取值范围是[－3，3]．(2)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．即⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2≤－2，1＋m 2≥8(两个等号不同时成立)， 即m 2≥7，解得m ≥7或m ≤－7.即m 的取值范围是{m |m ≥7或m ≤－7}．。