复数的概念1(新编教材)

高一必修二复数的概念所有知识点复数的概念是英语语法中非常重要的一部分，对于学习英语的学生来说，理解和掌握复数形式的使用是必不可少的。

本文将详细介绍高一必修二中与复数相关的各种知识点。

一、复数的定义复数是名词的一种形式，用来表示多个或多种事物。

在英语中，名词的复数形式通常是通过在词尾加上“-s”或“-es”来表示的。

例如，单数形式的“book”变为复数形式的“books”。

二、名词词尾加“-s”构成复数大多数情况下，英语名词的复数形式是通过在词尾直接加上“-s”来表示的。

例如：- dog → dogs- cat → cats- student → students三、名词词尾加“-es”构成复数有一些名词在变为复数形式时需要在词尾加上“-es”而不是“-s”。

以下是一些常见的规则：1. 名词以s、x、ch、sh结尾，复数将s、x、ch、sh变为es。

例如：- bus → buses- box → boxes- watch → watches- brush → brushes2. 名词以辅音字母+y结尾，复数将y变为i，再加es。

例如：- party → parties- country → countries3. 名词以-o结尾的，大部分情况下加es。

例如：- tomato → tomatoes- potato → potatoes但也有一些特殊情况，如：- photo → photos- piano → pianos四、特殊变化的名词复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，不遵循上述规则。

以下是一些常见的不规则复数形式：- man → men- woman → women- child → children- tooth → teeth- foot → feet- goose → geese五、名词复数形式的用法复数形式的名词在句子中一般用来表示多个事物或人。

例如：- I have two dogs.（我有两只狗。

完整版)复数的定义第十四章复数一、复数的概念1.虚数单位：i规定：（1）i²= -1；（2）虚数单位i，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。

2.复数：形如a+bi，a∈R，b∈R的数叫做复数，a叫实部，b叫虚部。

3.复数集：所有复数构成的集合，复数集C={x|x=a+bi。

a∈R。

b∈R}。

4.分类：b=0时为实数；b≠0时为虚数，a=0,b≠0时为纯虚数，且R∪C。

5.两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。

例1：下面五个命题①3+4i比2+4i大；②复数3-2i的实部为3，虚部为-2i；③Z1，Z2为复数，Z1-Z2>0，那么Z1>Z2；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数；⑤两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。

例2：已知：Z=(m+1)+(m-1)i，m∈R，求Z为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m的值。

例3：已知x²+y²-2i=6+(y-x)i，求实数x,y的值。

二、复数的几何意义Z=a+bi，a∈R，b∈R，与点(a,b)一一对应。

1.复平面：x轴叫实轴；y轴叫虚轴。

x轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。

2.Z=a+bi；连接点(a,b)与原点，得到向量OZ，点Z(a,b)，向量OZ，Z=a+bi之间一一对应。

3.模：Z=a+bi=OZ=√(a²+b²)。

注：Z的几何意义：令Z=x+yi(x,y∈R)，则Z=√(x²+y²)，由此可知表示复数Z的点到原点的距离就是Z的几何意义；Z1-Z2的几何意义是复平面内表示复数Z1，Z2的两点之间的距离。

三、复数的四则运算Z1=a+bi，Z2=c+di，a,b,c,d∈R。

1.加减法：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i即实部与实部，虚部与虚部分别相加减。

1、复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，形如a +bi (a 、b ∈R )的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集⎧⎧⎧整数⎪⎪有理数⎨实数(b =0)⎨⎪⎩分数⎪⎪复数a +bi (a ,b ∈R )⎨小数)⎩无理数(无限不循环⎪虚数(a ≠0)⎪虚数(b ≠0)⎧纯⎨⎪虚数(a =0)⎩非纯⎩3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z).z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。

复平面内的点Z （a,b ）复数z =a +bi平面向量OZ4.两个复数相等的定义：a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地，a +bi =0⇔a =b =0.5.复数的四则运算设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i（1）加法：z 1+z 2=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i 即实部与实部相加，虚部与虚部相加；，（2）减法：z 1-z 2=(a 1-a 2)+(b 1-b 2)i ，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；（3）乘法：z 1⋅z 2=(a 1a 2-b 1b 2)+(a 2b 1+a 1b 2)i ，特别z ⋅z =a 2+b 2；c +di（a ,b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方a +bi法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：（4）除法z =c +di c +di a -bi (ac +bd )+(ad -bc )iz ==⋅=；a +bi a +bi a -bi a 2+b 2（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

复数的概念复数是数学中的一个重要概念，它可以用来描述不仅包括实数的数系统，而且还包括了虚数，其中虚数是实数范围之外的一类数。

复数是由实部和虚部构成的，通常写成(a+bi)的形式。

在数学、物理学、电子学等领域中，复数被广泛应用。

一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，用实部和虚部表示。

实数是人们日常生活中所接触到的数，它们可以直接用于计算。

而虚数则是不能用于直接计算的数。

虚数是指那些不满足平方根是实数的数，也就是说，虚数是不存在的，只是一种数学上的概念。

以一个复数z为例，它的实部和虚部分别是a和b。

因此可以将z表示为：z = a + bi其中i称为虚数单位，满足i²=-1。

a和b都是实数，可以是正数、负数、零或小数。

虚部b可以是负数或正数，但实部a只能为实数。

复数的实部和虚部是不同的，它们具有不同的物理意义。

通常情况下，实部表示了复数在x轴上的位置，而虚部则表示了复数在y轴上的位置。

二、复数的基本性质（1）加法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i。

这说明了两个复数之和的实部是它们各自实部之和，虚部是它们各自虚部之和。

（2）减法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。

这说明了两个复数之差的实部是它们各自实部之差，虚部是它们各自虚部之差。

（3）乘法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1×z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。

这说明了两个复数的乘积的实部是它们各自实部的乘积减去各自虚部的乘积，虚部是它们各自实部的乘积加上各自虚部的乘积。

（4）除法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1÷z2 = [(a1a2+b1b2)÷(a2²+b2²)]+[(a2b1-a1b2)÷(a2²+b2²)]i。

新教材高一数学复数知识点随着教育体制的不断改革和更新，新一轮的课程教材也在不断更新改进。

作为高中数学的一个重要组成部分，复数的教学内容也在新教材中得到了全面的调整和优化。

本文将从几个方面为大家介绍新教材中高一数学的复数知识点。

一、复数的概念和表示方法复数是由实部和虚部组成的数，其中实部和虚部都是实数。

在新教材中，复数通常用z来表示，可以写成z=a+bi的形式，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。

通过实部和虚部的组合，复数可以形成一个复平面。

二、复数的运算法则在新教材中，复数的加法和减法的运算法则与实数的运算法则类似，只需分别对实部和虚部进行相应的运算即可。

复数的乘法运算采用分配律，需要注意虚数单位的平方等于-1这一特性。

另外，新教材中还引入了复数的共轭概念，即将一个复数的虚部取负数。

复数的除法运算则需要进行有理化处理，以保持结果的完整性。

三、复数的性质和应用复数在代数学中具有重要的地位和应用价值。

在新教材中，复数的性质和应用得到了更加全面细致的说明。

例如，复数的模表示了一个复数到原点的距离，可以用于求解几何问题；复数的辐角表示了一个复数到正实轴的角度，可以用于求解解析几何问题。

此外，新教材还引入了复数的指数形式，即欧拉公式，使得复数在解决三角函数问题中更加简洁高效。

四、复数的应用举例在新教材中，复数的应用被广泛地运用到各个具体的数学问题中。

比如，通过复数的平方根运算，可以求解二次方程的根；通过复数的极坐标形式，可以计算向量的旋转问题；通过复数的指数形式，可以推导出很多复杂的三角函数公式。

这些应用示例直观生动地展示了复数在实际问题中的应用价值。

五、新教材对复数概念的扩展除了传统的笛卡尔坐标系下的复数表示方法外，新教材还引入了极坐标系下的复数表示方法。

通过极坐标系下的复数，可以更加直观地理解和计算复数的乘除法运算，也可以更加方便地解决涉及角度的几何问题。

总结起来，新教材中对高一数学的复数知识点进行了全面的调整和优化，从概念的阐述到运算的法则，以及性质的应用等方面都得到了充分的呈现和拓展。

复数一、考点、热点回顾1.复数的有关概念 （1）复数①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.注意：复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i. （3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0.4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）.（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →.6.复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.注意：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.二、典型例题考点一、复数的概念 例1、下列命题：①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（ ）A.①B.②C.③D.④ 【解析】 对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则（a ＋1）i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.【答案】 D变式训练1、1.对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ ）A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B.若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数D.i 的平方等于1解析：选C.对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数； 对于B ，若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1； 对于D ，i 的平方为－1.故选C.2.若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为（ ） A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4解析：选C.易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.考点二、复数的分类例2、已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋（m 2＋2m －3）i ，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？【解】 （1）要使z 为实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.（2）要使z 为虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.（3）要使z 为纯虚数，m 需满足m （m ＋2）m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或－2.变式训练2、当实数m 为何值时，复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.（2）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.考点三、复数相等 例3、（1）若（x ＋y ）＋y i ＝（x ＋1）i ，求实数x ，y 的值；（2）已知a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋m i ＝0（m ∈R ）成立，求实数a 的值；（3）若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝（10－x －2x 2）i 有实根，求实数a 的值.【解】 （1）由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.（2）因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋（2a ＋m ）i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝±2.（3）设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝（10－m －2m 2）i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.变式训练3、已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值.解：由题意知，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ），所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1， 所以a ＝－1.考点四、复数与复平面内的点例4、已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上； （2）在第三象限.【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.（2）若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 变式训练4、求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点（1）位于第二象限； （2）位于直线y ＝x 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）.（1）由点Z 位于第二象限，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）. （2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得 a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.考点五、复数与复平面内的向量例5、（1）已知M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i ，－3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.【解】 （1）OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ； OQ →表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA →，其中A （1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B （－1，2）；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C （0，－3）；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D （6，－7）. 如图所示.（3）记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝（2，3），OB →＝（3，2），OC →＝（－2，－3）.设OD →＝（x ，y ），则AD →＝（x －2，y －3），BC →＝（－5，－5）.由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.变式训练5、在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是_____________.解析：3－3i 对应向量为（3，－3），与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i考点六、复数的模 例6、（1）设（1＋i ）x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2 （2）已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 （1）选B.因为x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1， 所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. （2）法一：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， 则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.法二：由原方程得z ＝2－|z |＋8i （*）. 因为|z |∈R ，所以2－|z |为z 的实部， 故|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝4－4|z |＋|z |2＋64，得|z |＝17. 将|z |＝17代入（*）式得z ＝－15＋8i.变式训练6、已知复数z ＝3＋a i （a ∈R ），且|z |<4，求实数a 的取值范围.解：法一：因为z ＝3＋a i （a ∈R ），所以|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈（－7，7）.法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z （3，a ）的集合， 由图可知－7<a <7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A. B.2 C.0 D.1解析:由复数相等的充要条件知,x+y＝０，ｘ－１＝０故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.答案:D5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,即m≠sinθ+cosθ.∵sinθ+cosθ∈[],∴m∈(-∞,)∪,+∞).答案:(-∞,)∪,+∞)9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________. 解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,设z=-a+ai(a>0).∵|z|=1,∴a2=12.而a>0,∴∴z=+答案:z=+11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则代入方程得,2+8i,∴解得a=-15∴z=-15+8i.答案:-15+8i12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解析:M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:m=1或m=213.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线. 解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),则x=2+cosθ,y=1+sinθ即cosθ=x-2,sinθ=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆. 答案:复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.14． 已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 答案: (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0.。

复数的定义和基本性质复数是数学中的一个重要概念，它在实际生活和各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍复数的定义、基本性质及相关应用领域。

一、复数的定义复数由实部和虚部组成，可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

实部和虚部都可以是实数。

例如，2+3i就是一个复数，其中实部为2，虚部为3。

二、复数的基本性质1. 加法性质：复数的加法满足交换律、结合律和消去律。

即对于任意的复数a+bi、c+di和e+fi，有：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) + [(c+di) + (e+fi)] = [(a+bi) + (c+di)] + (e+fi)(a+bi) + 0 = a+bi(a+bi) + (-a-bi) = 02. 乘法性质：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

即对于任意的复数a+bi、c+di和e+fi，有：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i(a+bi)[(c+di)(e+fi)] = [(a+bi)(c+di)](e+fi)(a+bi)(c+0i) = ac + bcia(bi) = (ab)i3. 共轭性质：一个复数的共轭由实部不变，虚部变号而得。

即对于任意的复数a+bi，它的共轭为a-bi。

4. 除法性质：两个复数相除时，将分子和分母同时乘以除数的共轭，并化简得到结果。

例如，(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)],其中c+di ≠ 0。

5. 幂运算：复数的幂运算可以通过展开式来计算。

例如，(a+bi)^n = (a+bi)(a+bi)···(a+bi)，其中n为正整数。

三、复数的应用领域1. 电路分析：复数在电路分析中有广泛的应用，可以方便地描述电压、电流及其相位关系。

2. 信号处理：复数在信号处理中用于表示频域上的信号，例如傅里叶变换。

复数的概念和运算法则复数是由实数和虚数组合而成的数，它由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

复数在数学中起到重要作用，尤其在电工、物理学和工程领域中有广泛应用。

一、复数的定义和表示1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数字，虚数单位i满足i^2 = -1。

2. 表示方法：复数一般表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。

实部和虚部都是实数。

二、复数的运算法则1. 加法和减法：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加，例如：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减，例如：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法：两个复数相乘，应用分配律，同时注意i的平方为-1，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 除法：两个复数相除，需要进行分子分母的有理化，即以实数的形式写出结果，例如：(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]= [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)三、复数的共轭和模1. 共轭：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作，例如：对于复数a + bi，它的共轭是a - bi，即实部不变，虚部取负。

2. 模：复数的模是指复数与自身共轭的乘积的平方根，例如：对于复数a + bi，它的模是|(a + bi)| = √(a^2 + b^2)四、复数的应用复数在电工、物理学和工程领域中有广泛的应用。

例如，在交流电路中，复数用于表示电压和电流的相位关系。

复数知识点归纳复数是高中数学中的一个重要概念，它既包含实数，又包含虚数，是实数和虚数的统一。

复数的概念和性质在数学的许多领域都有着广泛的应用，如在微积分、线性代数、信号处理等领域。

下面是对复数知识点较为详细的归纳和介绍。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足i^2 = -1。

2. 复数的分类：-纯虚数：当a = 0，b ≠0 时，复数z = bi 称为纯虚数。

-实数：当b = 0 时，复数z = a 称为实数。

-非纯虚数：当a ≠0，b ≠0 时，复数z = a + bi 称为非纯虚数。

3. 复数的几何意义：复数可以表示为复平面上的点，实部表示点在x 轴上的位置，虚部表示点在y 轴上的位置。

二、复数的四则运算1. 加法：两个复数相加，实部相加，虚部相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。

2. 减法：两个复数相减，实部相减，虚部相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。

3. 乘法：两个复数相乘，实部乘实部，虚部乘虚部，实部加虚部的乘积，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。

4. 除法：两个复数相除，先乘以共轭复数，即(a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc -ad)/(c^2 + d^2)i。

三、复数的特殊性质1. 复数的模：复数z = a + bi 的模定义为|z| = √(a^2 + b^2)，表示复数z 在复平面上到原点的距离。

2. 复数的共轭：复数z = a + bi 的共轭复数为z 的实部不变，虚部变号，即z 的共轭复数为a - bi。

3. 复数的乘方和开方：复数乘方遵循实数乘方规则，即(a + bi)^n = (a^n + n*a^(n-1)*bi) + ... + b^n*i^(n-1)。

复数知识点总结在数学的领域中，复数是一个非常重要的概念。

它不仅在理论上丰富了数学的体系，而且在实际应用中，如物理学、工程学等领域，都发挥着不可或缺的作用。

接下来，让我们一起深入了解复数的相关知识。

一、复数的定义复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）均为实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。

＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。

例如，＼（3 ＋ 2i\）就是一个复数，其中\（3\）是实部，＼（2\）是虚部。

二、复数的表示形式1、代数形式就是我们刚刚提到的\（a ＋ bi\），这是最常见也是最基本的表示形式。

2、几何形式在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，复数\（a ＋ bi\）可以用坐标\（（a, b)＼）来表示。

这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。

3、三角形式复数\（z ＝ a ＋ bi\）可以表示为\（z ＝r(cosθ ＋isinθ)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（tanθ ＝＼frac{b}｛a}＼）。

4、指数形式根据欧拉公式\（e^｛iθ} ＝cosθ ＋isinθ\），复数还可以表示为\（z ＝ re^｛iθ}＼）。

三、复数的运算1、加法和减法两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和差为：＼（z_1 ± z_2 ＝（a_1 ± a_2) ＋（b_1 ± b_2)i\）2、乘法＼（z_1 ＼times z_2 ＝（a_1 ＋ b_1i) ＼times （a_2 ＋ b_2i)＼）＼＼begin{align}＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼3、除法＼＼frac{z_1}｛z_2}＝＼frac{a_1 ＋ b_1i}｛a_2 ＋ b_2i}＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＼begin{align}＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2 ＋（a_2b_1 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼＼＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2} ＋＼frac{a_2b_1 a_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2}i＼end{align}＼四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

（新）统编人教高中数学A版必修二第七章第1节《复数的概念》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修二的第七章第1节《复数的概念》。

第七章主要讲复数知识.本章我们将体会数学家引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用.第1节主要讲复数的概念。

本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。

一、说课程标准普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】主题三：几何与代数——２.复数。

复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用。

本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义。

内容包括：复数的概念、复数的运算、复数的三角表示。

二、教材分析。

复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识。

本节内容包括从实数系扩充到复数系的过程与方法、复数的概念、复平面、复数的模、共轭复数、复数与复平面内点、平面向量的一一对应。

三、说教学目标和核心素养。

（一）教学目标1.了解引入复数的必要性；2.了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养；3.理解复数的代数表示式、有关概念、复数相等的含义；4.理解复数的几何意义，在复平面内表示满足一定条件的复数. （二）核心素养1.数学抽象：通过理解复数及相关概念培养学生抽象思维能力；2.逻辑推理：掌握复数的分类及复数相等的充要条件；3.直观想象：复数的表示法；4.数学运算：复数相等的充要条件；5.数学建模：通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.四、说教学重难点。

§7.1.复数的概念1）概念：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R ) 2）虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 （2）分类：第七章 复数 知识索引 索引1：复数的概念对于复数a bi +【a ，b R ∈】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b ≠0时，它叫做虚数，当a ＝0且b ≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R,是复数集C 的真子集，即C R ≠⊂.索引3：复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=-索引2：复数的分类 索引4：复数的模 精例探究 正余弦定理的综合应用正余弦定理的综合应用主要体现在实现边角互化.解答此类问题的一般思路是如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理;如果遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，通过转化可以与三角恒等变换等知识结合起来，达到解题目精例1.复数的虚部为（）A. B. C. -2 D. 2【答案】 D【考点】复数的基本概念【解析】【解答】因为，所以虚部为2。

第十二章复数复数的概念本章共分三小节,第一小节讲复数的概念,首先简要地说明了人们在解实数系方程的过程中,产生了扩充实数集的需要,从而自然地引入虚数单位i, 在此根底上,给出了复数的有关概念和复数的代数形式然后,通过了复数与复平面的点的一一对应，给出了复数的儿何意义，第二小节讲复数的运算,分别给出了复数的代数形式的加法、减法运算法那么和复数的代数形式的乘法、除法的运算法那么。

第三小节讲数系的扩充,介绍了数集从自然数集开始,扩充到复数的过程,并说明了数系的每一次扩充,都解决了某些运算不能进行的矛盾。

最后,说明了复数集内负数可以开平方的问题。

1教学重点：认识复数，理解复数的根本概念及复数相等的充要条件2教学难点：通过方程的解，了解引进复数的必要性多媒体调试、讲义分发。

1复数的有关概念1定义：形如a＋b i a，b∈R的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集2复数通常用字母表示，代数形式为＝a＋b i a，b∈R，其中a与b分别叫做复数的实部与虚部2复数相等在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i a，b，c，d∈R，我们规定：a＋b i与c＋d i相等当且仅当a＝c且b＝d3复数的分类1对于复数a＋b i a，b∈R，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数这样，复数＝a＋b i a，b∈R可以分类如下：复数错误!题型一复数的概念【例1】写出以下复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数①2＋3i；②－3＋错误!i；③错误!＋i；④π；⑤－错误!i；⑥0解①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为错误!，是虚数；③的实部为错误!，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－错误!，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数规律方法复数a＋b i a，b∈R中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部【训练1】以下命题中，正确命题的个数是①假设，∈C，那么＋i＝1＋i的充要条件是＝＝1；②假设a，b∈R且a＞b，那么a＋i＞b＋i；③假设2＋2＝0，那么＝＝0解析①由于，∈C，所以＋i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题②由于两个虚数不能比拟大小，所以②是假命题③当＝1，＝i时，2＋2＝0成立，所以③答案A题型二复数的分类【例2】1复数＝a＋a2－1i是实数，那么实数a的值为________；2假设复数＝in 2α－1－co 2αi是纯虚数，那么α＝________解析1∵是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±12由题意知in 2α＝0，1－co 2α≠0，∴2α＝2π＋π∈Z，∴α＝π＋错误!∈Z答案1±12π＋错误!∈Z规律方法根据复数的概念求参数的一般步骤：第一步，判定复数是否为a＋b i a，b∈R的形式，实部与虚局部别为什么；第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；第三步，解相应的方程组或不等式组；第四步，明确结论【训练2】实数m取什么值时，复数＝错误!＋m2－2m i是1实数；2虚数；3纯虚数？解1当错误!即m＝2时，复数是实数2当错误!即m≠0且m≠2时，复数是虚数3当错误!即m＝－3时，复数是纯虚数题型三两个复数相等【例3】2－2＋2i＝2i，求实数，的值解∵2－2＋2i＝2i，∴错误!解得错误!或错误!规律方法求解复数相等问题复数问题实数化是解决复数相等问题最根本的也是最重要的思想方法转化过程主要依据复数相等的充要条件根本思路是：1等式两边整理为a＋b i a，b∈R的形式；2由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；3解方程组，求出相应的参数【训练3】关于的方程3－错误!－1＝10－i有实根，求实数a的值解设方程的实数根为＝m，那么原方程可变为3m－错误!－1＝10－m i，∴错误!解得a＝58＝a2－2－b i的实部和虚局部别是2和3，那么实数a，b的值分别是，1 ，5C±错误!，5 D±错误!，1解析令错误!得a＝±错误!，b＝5答案C2以下复数中，满足方程2＋2＝0的是A±1 B±iC±错误!i D±2i解析2＝－1×2，∴＝±错误!i答案C021＝________解析i2 021＝i2 02021＝i21 010·i＝－11 010·i＝i答案i为虚数单位，假设关于的方程2－2＋i＋1＋m i＝0m∈R有一实根为n，那么m＝________解析关于的方程2－2＋i＋1＋m i＝0m∈R有一实根为n，可得n2－2＋i n＋1＋m i＝0所以错误!所以m＝n＝1答案1两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断。