二次根式化简练习题含答案培优

完整版)最简二次根式练习含答案最简二次根式基础练一、填空题：1.把下列二次根式化成最简二次根式。

1) $\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}$；2) $\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}$；3)$\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}}=\frac{1 }{2}\sqrt{2}$；4)$\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；5) $\sqrt{84}=\sqrt{4\times21}=2\sqrt{21}$；6) $\sqrt{250}=\sqrt{25\times10}=5\sqrt{10}$；7) $\sqrt{\frac{24}{8}}=\sqrt{3}$；8) $\sqrt{\frac{8}{32}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。

2.若$\sqrt{3}\approx1.732$，则$\sqrt{227}\approx15.0$（保留三个有效数字）。

3.设$x<0$，则$\sqrt{-8x}=2i\sqrt{2}\sqrt{-x}$。

4.下列二次根式$45a$，$30$，$\frac{1}{2}$，$40b^2$，$\sqrt{54}$中是最简二次根式有$30$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$。

二、选择题1.在二次根式$\sqrt{72}$，$5a\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，$9\sqrt{x^2}$中，最简二次根式的个数是（C）3个。

2.下列各式中是最简二次根式的是（A）$\sqrt{5}$。

3.下列各式中，不是最简二次根式的是（A）$\sqrt{6}$。

4.下列计算中正确的是（A）$\frac{1}{2}$。

二次根式的化简求值一 、解答题（本大题共12小题）1.已知1x =，求2211()21x x x x x x x+-÷--+的值．2.已知a b ==的值．3.已知13a =- ，12b =4.先化简，再求值222x y xy x y x y x y +++--，其中x =-y =． 5.2011+6.先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 7.先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =．8.已知x =，y =2y x x y ++的值．9.32x x +=+，求35(2)242x x x x -÷----10.已知12a =，12b =，求代数式225a ab b -+的值．11.已知x =，y =求代数式22353x xy y -+的值．12.已知a 、b 、c 0,ab a c ab==，a c -二次根式的化简求值答案解析一 、解答题1.原式=21[](1)(1)x x x x x x +-⋅--222(1)(1))1[](1)(1)x x x x x x x +---=⋅=--，当1x =时，原式12=-． 2.原式=2b a b=-，当a b ==时，原式6=-=-．3.由题可知，0b a ->，∴原式13a =- ，12b =时， 原式=115231622+==⨯．4.原式222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y -+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==． 5.原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-=-6.原式222441444xx x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭ ．7.2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m =时，原式21-=8.当分母中含有根号时，要先化简再求值．x =231)+=，y =231)=-，∴2y x x y++222(3336===+-=．9.原式12(3)x =-+ 32x x +=+，213x x +∴=+，即1113x -=+13x ∴-=+； ∴原式=.10.12a =，12b =，a b ∴+，11(75)42ab =⨯-=，∴原式=2()7a b ab +-，将a b +=11(75)42ab =⨯-=，∴原式17777222-⨯=-=．11.先将x ，y 化简，多项式可用x+y 及xy 的形式表示，为此求出x+y ，xy ，最后整体代值计算．353x -==-+，5y ==+10x y ∴+=，1xy =222223533()53()11x xy y x y xy x y xy -+=+-=+-将x+y =10，xy =1代入，得原式2310111289=⨯-⨯=．12.20,,0a a a a +=-∴≤；又1,,ab ab ab ab=∴=且0,0a b ≤∴≤；又,0c c =∴≥． 0;0;0a b a c c b ∴+≤-≤-≥．-∴a c=-++----=-++-+-+=．b a b ac c b b a b a c c b b()()。

《二次根式》提高测试4. . ab 、1 . a 3b'次根式•…（3 xF b简二次根式后再判断.［答案】".= _.［答案】—2a Ji .［点评】注意除法法则和积的算术平方根性12a 3质的运用.8 . a — .. a 2 -1 的有理化因式是(a 2 —1) . a + Ja —1 .【答案】a +9 .当 1<x < 4 时，|x — 4|+ ; X 2 —2X 1 【提示】x 2— 2x + 1=( ) 2，x — 1 .当 x — 4是负数，x — 1是正数.【答案】3 . .【提示】(a — fa 2—1 )( a 2 -1 ._________ AAA【答案】< .【点评】先比较.28，■. 48的大小，再比较， 的大小，最后比较—V28 J48J281与 ------- 的大小.4813.化简：(7 —2 ) 2000 • — 7 — 5、2 ) 2001= ___________ .［提示】(—7 — 5 恋 2)2°01= ( — 7— 5j2)2°°°( _____________ ) ［ — 7 — 5应.］(7 —5 2 ) •(— 7— 5、2 )=? ［1.］［答案】—7— 5 2 .［点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式.14•若.x 1 + , y 一3 = 0,则(x — 1)2 + (y + 3)2 = ________________ •［答案】40. ［点评】、兴 1 > o, . y — 3 > 0.当.x 1 + y — 3 = 0 时，x +1 = 0, y — 3 = 0.1 < x v 4时，x — 4, x — 1是正数还是负数?（一）判断题: （每小题1分，共5 分） 1. .(-2) ab = — 2Jab . 2. )【提示】 (-2)2 =| — 2|= 2.【答案】X .= 73 + 2 =.3-2 3 - 4.(x-1)2 = ("-1)2.-( )【提示】(x-1)2 = x — 1|，.3 — 2的倒数是.、3 + 2 .（ ）【提示】 (y ［3 + 2).【答案】X.3. 式相等，必须x > 1•但等式左边x 可取任何数.【答案】X. (• x -1)2 =x — 1 (x > 1).两5 . 8x ，、.. 3， （二）填空题：（每小题 9 x 2都不是最简二次根式.（） 9 x 2是最简二次根式.【答案】x.6.当x 不等于零. 2分，共20分）时，式子——1 有意义.【提示】•、x 何时有意义？ x > 0.分式何时有意义？分母 Vx -3【答案】x > 0且X K 9 .J2 (x —1 )= X + 1的解是 ______________ .【提示】把方程整理成 ax = b 的形式后，a 、b 分别 ,2 -1， :. 2 1.［答案】x = 3+ 22 .ab -c 2d 2a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 -----------------J0E&c 2d 2_【答案】I ab + cd .［点评】T ab = ( , ab)2 (ab >0)，二 ab — c 2d 2= (、. ab cd ) ( , ab - cd ).——尸.［提示】2空7 = J 28，4^3 = v 48 .4”310•方程 是多少？ 11.已知112.比较大小：— -------2J7.【提示】c2d 2 = |cd|=— cd .）【提示】 —v a 3b 、— — f a化成最3 x '\ b7•化简一)=a 215. _________________________________________________________________ x , y 分别为8— •. 11的整数部分和小数部分，则 2xy — y 2= _______________________________________ -【提示】； 3v V 4,二 ___________ V 8—卯 V ____________ . ［4, 5］.由于8—介于4与5之间，则其整数部分 x =?小数部分y =? ［x = 4, y = 4—、. 11 ］【答案】5.【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算•在明确了二次根式的取值范围 后，其整数部分和小数部分就不难确定了.（三）选择题：（每小题3分，共15分）3216. 已知 x 3x =— x . x 3，则 ..................... （）（A ） x <0 （B ） x < — 3 （ C ） x >— 3 （ D ）— 3< x < 0【答案】D . 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件， （A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平 方根的意义.仃.若 x v y v 0,贝寸.x 2_2xy y 2+x 2 2xy - y 2= ................. ( )(A ) 2x ( B ) 2y ( C )— 2x( D )— 2y【提示】T x v y v 0,「. x — y v 0, x + y v 0.'一 x2-2xy y 2 = . (x -y)2 = |x — y|=y —x .x 2 2xy y 2 = . （x y ）2 = |x + y|= — x —y .［答案】C .【点评】本题考查二次根式的性质 ..a 2 =|a|.1 1 ••• x +>0, x — v 0 .［答案】D .xx 【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质. （A ）不正确是因为用性质时没有注意当0v x v 1时,1 x — v 0.x:3a19•化简(a v 0)得 ................................................ ()a(A ). - a( B ) —、.a( C )— ：, - a( D )■■. a［提示】 -a 3 =-a a 2 =V — a • a 2 = |a| U — a = — a 、； 一 a .［答案】C .20. ........................................................................................................................................... 当 a v 0, b v 0 时，一a + 2 ab — b 可变形为 ............................................................ ()—2［答案】C .［点评】本题考查逆向运用公式 （Ja ） = a （a > 0）和完全平方公式.注意（A ）、（B ）不 正确是因为a v 0, b v 0时，..a 、b 都没有意义.（四） 在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21.9x 2— 5y 2;［提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2= （ . 5y ）2 .［答案】（3x + ■■ 5 y ） （3x —-.5y ）._x )2422(A )(B )-(C )— 2x(D ) 2xx x【提示】（x1 2——)2+ 4 = (x +丄)2,1 2(x +)2 — 4= (x 丄）2.又Tx xx x0v x v 1,(A )(：.a ■ ： br (B ) — (：：：a - i br 【提示】T a v 0, b v 0,— a > 0, — b >0.并且—a = (•一 ~ a) (C ) (.-a . -b)2 (D ) C - a -.-b)2—b = C 、- b)2, .. ab = ：a)(~b).-4等于 ..................18 .若 O v x v 1则22. 4x4—4x2+ 1 .［提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解. ［答案】（,2 x+ 1）2（2 x—1）2. （五）计算题：（每小题6分，共24分）23. （5 - 3 ■ 2 ）（ ■■- 5 —73 - ' 2 ）；［提示】将•.一5 - .3看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式.【解】原式=(..,5 _ .、3)2— ( .、2)2= 5— 2、、15 + 3— 2 = 6— 2、. 15 .5 4 224. ________ — __________ —;【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式. 4 - . 11. 11 -「73、75(4⑴—4( 117)—2(3「7)= 4「11「11 「7 — 3 + 7 = 1.【解】原式=16—1111-125. (a 2n ab —— mn m m9-7n m 2 2 n + ― a b 、j — m b nV m【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式.【解】原式=2 n ab —— n ma— —mn +.— m mm n mab26.( a +=丄 1 =J b - ab ) ab1+ ----2^2a bm ■ mnna 2 -ab 1b 2ab b . ab - aa b —、ab )(a z b ).【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分.【解】原式=a+Jab +b-了乔 亠 a 扁(掐-裕)-bJb(Ua + Vb) - (a + b)(a- b) va +屈2亠a,ab(、. a 、b)(. a -、b)- a ab - b ab - b 2 - a 2 b 2 .ab(、. a " b)(. a - i. b)J ab(.. a - b)C. a -： b)-.ab(a b)【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐. (六)求值：(每小题7分，共14分) ■-■■3 - < 2 七 y= 3-2，求 3x -xy 3 2 【提示】先将已知条件化简， 3 2【解】丁 x= ---------------占-、，;2「2 (，- ..2)2= 5-2*6 . 27.已知x4, 3 2 23 的值.x y 2x y x y再将分式化简最后将已知条件代入求值.y = .3 .2x + y = 10，x — y = 4 6， xy =5 2— (^.. 6 ) 2= 1.3 2x _xy x(x y)(x- y)4、6 x 4y+2x 3y 2+x 2y 3 x 2y(x + y)2xy(x + y) 1X 10【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x + y ”、“x —y ”、程更简捷.二〈6 .5 “xy ”.从而使求值的过28.当 x = 1 —— x■■- 2 时，求 -------------------- +2 4 2 I 2 4 2 x a 一 x 、x a2x -； x 2 a 2 ------------------------------------------------------2 2 2 x 一 x • x a1------- 的值.2 . 2x a【提示】注意:x 2+ a 2 — xx 2 + a 2= C- x 2a 2 )2，J x 2 +a 2 = J x 2 +a 2(J x 2 +a 2 — x )，x 2-x *；x 2+a 2 = —x ( J x 2 + a 2 — x ).原式=21=屁•【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求岀y 的值.2 2【解】原式= ____________________________ __ _2x …x . a_ + ______ 1_ A /X 2+a 2 (Jx 2+a 2 _x) x(Jx 2 +a 2 _x) w'x 2+a 2 x 2_ x 2 a 2 (2x _ . x 2 a 2) x( . x 2 a 2 - x) x . x 2 a 2 C x 2 a 2"x)2 - a 2 ■ ( ,x 2 a 2 )2 x . x 2 a 2-x =(x 2-.-a 2)2 —x x^.-a 2 = x 2C x ' a -'X )xjx 2 +a 2 (Jx 2 十 a 2 -x)x 2 —2x x x J x 2 +a 2 (Jx 2 +a 2 _x) x = 1- 2时，原式=一1=- 1- . 2 •【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分1 -V2 1 .当 x式”之差, 那么化简会更简便•即原式= •、x 2vx 2 +a 七、解答题：(每小题8分，共16分) — 1 29 •计算(2 5 + 1) ( ---------- +1+V2 x x 2 a 2( i x 2 a 2 _x) 1 1 2 a -x x. x 2 a 2 J 2 + J 3【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算. — ，2 — 1 【解】原式=(2 ,5 + 1)( 2x —：：x 2 -a 2 +x(・ x 亠a —x)1 .x2 a 2V99、 2 -1 3-2 4 -3 100 -99 )[(-1)+( V3 - J2) +(- J3) +…+( J100 )]=(2 “七 + 1 =(2 ,5 + 1) ( .100 -1) =9 (2 •：”； 5 + 1).【点评】本题第二个括号内有 99个不同分母，不可能通分•这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消•这种方法也叫做裂项相消法. 30.若 x ，y 为实数，且 y = .. 1- 4x + 4x -1 + — •求2【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件?14^0］你能求出x ，y 的值吗? 4X — 1 -0.13]1 2.【解】要使y 有意义，必须［ 1 一 4x -4x -1 一 0又；x2 y - x _2 ■ yy x y x原式=X . y - J y Y x 耳xJ4x 一丄4 x = 1 .当 x41时, 1 y =2yy1 x =—4/ x -y 1 y =，-22 .x 当■ yx=— 4y = x<y 1时，2。

二次根式的化简题集一、二次根式的性质1.若、为实数，且满足，则的值为．【答案】【解析】∵，∴，，∴．【标注】【知识点】非负性的应用2.，那么．【答案】【解析】∵原式，∴，，，∴．【标注】【知识点】二次根式的性质3.若，则的值为．【答案】【解析】，，，，，．故答案为：．【标注】【知识点】二次根式的性质4.已知，则．【答案】【解析】，由二次根式的非负性可知，，∴，，∴．【标注】【知识点】利用二次根式非负性化简求值5.已知，求值．【答案】．【解析】∵；．∴；．∴．∴原式．【标注】【知识点】二次根式的性质6.代数式的最大值为，此时与的关系是．【答案】 ;【解析】∵，∴．当时，取得最大值．【标注】【知识点】算术平方根的双重非负性7.已知，则的值为．【答案】【解析】，．，，，，，，．故答案为：．【标注】【知识点】二次根式的性质8.已知实数，满足：，则．【答案】【解析】∵，∴，∴．【标注】【知识点】二次根式的性质9.已知实数满足，求的值．【答案】【解析】由，可得，∵，∴，∴，∴，∴，可得:，解得：．【标注】【知识点】利用二次根式非负性化简求值二、二次根式的化简A. B. C. D.1.若，则满足的条件是（）．【答案】D【解析】∵，∴，∴．【标注】【知识点】二次根式的性质2.若时，试化简．【答案】．【解析】∵；；．∴原式．【标注】【知识点】二次根式的性质A. B. C. D.3.已知，化简二次根式的正确结果是（）．【答案】A【解析】根据题意，，得和同号，又∵中，∴，∴，，则原式．故选：．【标注】【知识点】把根号外的因式化到根号内4.已知是整数，则正整数的最小值为 ．【答案】【解析】∵，若是整数，则也是整数；∴的最小正整数值是．故答案为：．【标注】【知识点】已知二次根式的值为整数确定字母的取值范围5.已知是整数，则满足条件的最小正整数是 ．【答案】【解析】，∵是正整数，∴的最小值应为，此时．【标注】【知识点】已知二次根式的值为整数确定字母的取值范围（1）（2）6.不改变根式的值，把根号外的因式移到根号内．． ．【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）．故答案为：．由可知，∴．故答案为：．【标注】【知识点】把根号外的因式化到根号内7.先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解析如下：甲的解析为：原式乙的解析为：原式．两种解析中，的解析是错误的，错误的原因是未能正确地运用二次根式的性质：．【答案】甲 ;【解析】甲的解析是错误的．理由：∵时，，∴原式，，，，．【标注】【知识点】二次根式的性质8.将下列式子分母有理化：①．②（a＞0）．③．④．【答案】见解析．【解析】①．②．③．④．【标注】【知识点】分母、分子有理化9.化简．【答案】【解析】∵，∴．故答案为：．【标注】【知识点】多重二次根式10.化简：．【答案】．【解析】令，∴∵，∴，∴．故答案为：．【标注】【知识点】多重二次根式三、化简求值1.已知：，，求的值．【答案】．【解析】∵，，∴，，，∴，∴．【标注】【知识点】二次根式直接化简求值2.已知：，，求代数式的值．【答案】．【解析】，，∴，，∴，即代数式的值为．【标注】【知识点】二次根式的化简求值——共轭二次根式类。

初中数学数学二次根式的专项培优练习题(附解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．336+=B ．3323+=C ．336⨯=D ．3333+=2．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣13．下列各式中，无意义的是（ ） A 23-B ()333-C ()23-D ．310-4．下列等式正确的是（ ） A 497-=-B 2(3)3-=C ．2(5)5--D ．822-=5．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．32222=8383-=-．233=D ()222-=-6．化简二次根式 22a a+- ） A 2a --B 2a --C 2a -D 2a -7．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：33)(23)74323(23)(23)==+--+3535+-3535x =+-3535+>-，故0x >，由22(3535)35352(35)(35)2x =+-=-+-=，解得2x 35352+-=3263363332-++结果为（ ） A ．536+B ．56+C ．56D ．536-8．设,n k 为正整数，()()1314A n n =+-+()2154A n A =++()3274A n A =++()4394A n A =++…()1214k k A n k A -=+++….，已知1002005A =，则n =( ).A ．1806B ．2005C ．3612D ．40119．当119942x +=时，多项式()20193419971994x x --的值为( ).A ．1B ．1-C ．20022D ．20012-10．如图直线a ，b 都与直线m 垂直，垂足分别为M 、N ，MN ＝1，等腰直角△ABC 的斜边，AB 在直线m 上，AB ＝2，且点B 位于点M 处，将等腰直角△ABC 沿直线m 向右平移，直到点A 与点N 重合为止，记点B 平移平移的距离为x ，等腰直角△ABC 的边位于直线a ，b 之间部分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如果2a a 2a 1+-+=1，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0= B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或 12．下列运算正确的是（ ）A ．826-=B ．222+=C ．3515⋅=D ．2739÷=二、填空题13．使函数21122y x x x=-++有意义的自变量x 的取值范围为_____________14．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____．15．已知a 73+a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．16．()()22223310x y x y ++-+=，则222516x y +=______.17．14+⋅⋅⋅=的解是______．18．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13＝_____.19．已知x ，y 为实数，y 求5x +6y 的值________.20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记2a b cp ++=，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题21．小明在解决问题：已知a2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的：因为a＝2，所以a －2所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：= － . (2)… (3)若a，求4a 2－8a ＋1的值．【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】（11==；（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2413a --代入求解即可. 【详解】(1)计算：1=； (2)原式)1...11019=++++==-=；(3)1a ===，则原式()()224213413a a a =-+-=--，当1a =时，原式2435=⨯-=.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.22．先阅读材料，再回答问题：因为)111=1=；因为1=，所以=1== （1= ，= ； （2⋅⋅⋅+的值．【答案】（12）9 【分析】（1）仿照例子，由1+=的值；由1+=1的值；（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】解：（1）因为1-=；因为1=1⋅⋅⋅+（2=+⋅⋅⋅1=1=-=．1019【点睛】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．23．先阅读下列解答过程，然后再解答：,a b，使a b m=，使得+=，ab n22m+==)==>a b7,12+=⨯=，==，由于437,4312m n+=，=即：227===+。

《二次根式》提高测试（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（ ）【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B ）－x 2（C ）－2x （D ）2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义．（四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．（五）计算题：（每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--）； 【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2mn； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2m n－mab mn ＋mn n m ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）． 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1． 七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）] ＝（25＋1）（1100-） ＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。

数学二次根式的专项培优练习题(附解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B =C =D =2．下列各式计算正确的是（ ）AB ．C =3D ．3．下列运算正确的是（ ）A =B ． 3C ＝﹣2D =4．下列各式中，正确的是（ ）A 2=±B =C 3=-D 2=5．下列计算正确的是（ ）A =B 3=C =D ．21= 6．下列式子中，是二次根式的是( )A B CD ．x7．若化简的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ． x ≤48．已知a ( )A ．0B ．3C ．D ．99．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.01)＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．912．230x -=成立的x 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．以上都不对二、填空题13．使函数212y x x=+有意义的自变量x 的取值范围为_____________14．已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--的值为______.15．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____．16．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．17．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________．18．()()22223310x y x y ++-+=，则222516x y +=______.19．已知4a2(3)|2|a a +--=_____．20．化简：3222＝_____．三、解答题21．阅读下面问题： 阅读理解：2221(21)(21)==++-1； 323232(32)(32)==++-(55252(52)(52)==-++-．应用计算：（176+（211n n++（n 为正整数）的值．归纳拓展：（3122334989999100++++++【答案】应用计算：（17621n n + 归纳拓展：（3）9． 【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（17-6分母利用平方差公式计算即可，（2n 1-n +（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-， =10-1， =9． 【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．计算： 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．（112=3==；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2n=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含n （3）证明：∵n 是正整数，n ．n．故答案为5=25 n；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.24．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2 ∴a ﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a===，解法一：∵22(1)11)2a-=-=，∴2212a a-+=，即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.25．先化简，再求值：a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （22a （a ＜0） （3）原式＝()23a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.26．先观察下列等式，再回答下列问题： 2211111111121112++=+-=+； 2211111111232216++=+-=+ 22111111113433112++=+-=+ (1)2211145++ (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子． 试题解析：(1)2211145++=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.27．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）． （2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.28．先化简，再求值：24224x xx x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭，其中2x =．【答案】22x x +-，1 【分析】先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2x x x x x x x x +-+=⋅=---，当2x =时，原式1==.【点睛】本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．29．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2．（2）12a ===，12b ===，2222()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．30．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案. 【详解】=3= ， ∴A 、C 、D 均错误，B 正确， 故选：B.此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键. 2．C解析：C【分析】根据二次根式的化简进行选择即可．【详解】AB、C，故本选项正确；D、=18，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．3．D解析：D【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．【详解】解：AB、＝，故此选项错误；C2，故此选项错误；D，正确；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．4．B解析：B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．【详解】A，故该选项错误；B===，故该选项错误；C3D11223334=(2)2==，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．5．A解析：A【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．【详解】解：======，原式计算错误；D. 2220=-=，原式计算错误；故应选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．【详解】解：A是二次根式，符合题意；B是三次根式，不合题意；C、当x＜0D、x属于整式，不合题意；故选：A．【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．7．B解析：B【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|，当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，故选B．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．8．B解析：B【解析】=，可知当（a﹣3）2=0，即a=3故选B．9．C解析：C【解析】试题解析：∵a1，a∴1-a≥0，a≤1，故选C．10．D解析：D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；②0.01的算术平方根是0.1，故错误；)＝17322+=，故错误；④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．解析：A【解析】根据题意得:|x2–4x，所以|x2–4x+4|=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．12．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.【详解】x30-=，=0=，∴x=-2或x=3，又∵2030 xx+≥⎧⎨-≥⎩，∴x=3，故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题13．【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，解得：①当时，解得：即：①当时，解得：即：故自变量x的取值范围为【点睛】解析：11,0 22x x-≤≤≠利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，220x x +≠解得：0,2x x ≠≠-12||0x -≥①当0x >时，120x -≥ 解得：12x ≤ 即：102x <≤①当0x <时，120x +≥ 解得：21x ≥-即：102x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -≤≤≠ 【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 14．1【分析】设a=，b=，得出x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值． 【详解】解：设x 2−a 2=y 2−b 2=2008， ∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b ，x−a=y+b∴x=y ，a+b=0，∴， ∴x 2=y 2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系.15．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）= 12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．16．﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．17．【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．18．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.19．-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵,∴a+3<0,2-a>0,∴-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此解析：-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∴a+3<0,2-a>0,-=-a-3-2+a=-5，|2|a故答案为：-5.【点睛】此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.20．【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．解析：【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：=．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无27．无28．无29．无30．无。

初中数学数学二次根式的专项培优练习题(含答案一、选择题 1．若a 是最简二次根式，则a 的值可能是（ ） A ．2- B ．2 C ．32 D ．8 2．下列各式成立的是（ ）A ．2(3)3-=B ．633-=C ．222()33-=-D ．2332-= 3．计算12718483--的结果是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．32-- D ．23-4．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．2(2)-＝﹣2B ．2＋8＝10C ．2×8＝4D ．22﹣2＝25．下列各式中，正确的是（ ）A ．42=±B ．822-=C ．()233-=-D ．342=6．已知526x =-，则2101x x -+的值为（ ）A ．306-B ．106C ．1862--D ．07．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A ．21a +B ．15C ．4xD ．27 8．当4x =时，22232343124312x x x x x x -+--+++的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．39．若ab ＜0，则代数式可化简为（ ） A ．a B ．a C ．﹣a D ．﹣a10．若a 3235++，b ＝610，则a b 的值为（ ） A ．12 B ．14 C ．321+ D 610+ 11．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）123A ．BC ．D12．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）ABCD二、填空题13．已知112a b +=，求535a ab b a ab b++=-+_____． 14．已知a ，b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对． 15．当xx 2﹣4x +2017=________．16．已知：可用含x=_____． 17．． 18．计算：20082009⋅-=_________． 19．有意义，则x 的取值范围是____． 20．能合并成一项，则a =______．三、解答题21．2-+1 【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.【详解】2-+=1)2(3+⨯=121. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.22．小明在解决问题：已知a2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的：因为a＝2，所以a －2所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3.所以a 2－4a ＝－1.所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)计算：= － . (2)… (3)若a，求4a 2－8a ＋1的值．【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5【分析】（11==；（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；（3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2413a --代入求解即可.【详解】(1)计算：1=； (2)原式)1...11019=++++==-=；(3)1a ===， 则原式()()224213413a a a =-+-=--，当1a =时，原式2435=⨯-=.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.23．已知m ，n 满足m 4n=3+. 【答案】12015【解析】【分析】由43m n +=2﹣2）﹣3＝0，将，代入计算即可．【详解】解：∵4m n +＝3，)22﹣2）﹣3＝0，）2﹣23＝0，+13）＝0，＝﹣13，∴原式＝3-23+2012＝12015． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．24．阅读下面的解答过程，然后作答：m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2例如：∵=）2+）2=）2∴请你仿照上例将下列各式化简（12【答案】（1）2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可.【详解】解：（1）∵22241(1+=+=，1=（2）∵2227-=-=，∴==25．计算(2)2；(4)【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）【分析】 （1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．【详解】解：==(2)2=22-=63-=9-=1；(4)===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．26．观察下列各式：11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】 （1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．【详解】解：（1111114520=+-=； 故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++； （31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．27．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y x x y+ 【答案】(1)72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xy xy+-，然后利用整体代入的方法计算. 【详解】∵x =，y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+=（x+y ）2-3xy,=2132-⨯=72; (2)y x x y +=2212()22812x y xy xy -⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．28．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.29．计算：（1）()202131)()2---+ （2【答案】（1）12；（2）【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可；（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2）【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．30．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =，由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===..【答案】见解析【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【详解】根据题意，可知13m =，42n =，由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】∴a ≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意， ∴a 的值可能是2．故选：B ．【点睛】 此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2．A解析：A【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】解：A3=，故A正确；B-不能合并，故B错误；C、22(3=，故C错误；D、=D错误；故选：A．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．3．C解析：C【解析】解：原式=故选C．4．C解析：C【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．【详解】A、原式＝2，故该选项错误；B＝，故该选项错误；C4，故该选项正确；D故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则是解题关键．5．B解析：B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．【详解】A，故该选项错误；B==C3=，故该选项错误；D11223334=(2)2==，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．6．D解析：D【分析】把x的值代入原式计算即可求出值．【详解】解：当时，原式=（）2-10×（）+1+1=0．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．A解析：A【分析】根据最简二次根式的定义即可得．【详解】A是最简二次根式，此项符合题意B=C、当0x<D=不是最简二次根式，此项不符题意故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题关键．8．A解析：A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】 解：原式=2223232323x x x x112323x x将4x =代入得， 原式114234232211131313113133131131=.故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．9．C解析：C 【解析】 【分析】二次根式有意义，就隐含条件b ＜0，由ab ＜0，先判断出a 、b 的符号，再进行化简即可． 【详解】解：若ab ＜0，且代数式有意义；故由b ＞0，a ＜0； 则代数式故选：C ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当a ＞0时，，当a ＜0时，，当a=0时，.10．B解析：B【解析】【分析】将a 乘以235235+-+-可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出ab的值．【详解】a ＝3235++•()323523523526+-+-=+-＝()2235b44+-=．∴14ab=．故选：B．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．11．B解析：B【解析】【分析】由图形可知，第n行最后一个数为()11232n nn++++=，据此可得答案．【详解】由图形可知，第n行最后一个数为()1 1232n nn++++=，∴第8行最后一个数为89362⨯==6，则第9行从左至右第5个数是36541+=，故选B．【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为()12n n+．12．A解析：A【解析】试题分析：最简二次根式是指不能继续化简的二次根式，A、原式=；B、是最简二次根式，不能化简；C、原式=；D、原式=.考点：最简二次根式二、填空题13．13【解析】【分析】由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.【详解】解：∵∴a+b=2ab∴故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找解析：13【解析】【分析】由112a b+=得a+b=2ab，然后再变形535a ab ba ab b++-+，最后代入求解即可.【详解】解：∵112 a b+=∴a+b=2ab∴()5353510ab3===132aba b aba ab b aba ab b a b ab ab+++++-++--故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系. 14．7【解析】解：∵=+，∴a、b的值为15，60，135，240，540．①当a=15，b=15时，即=4；②当a=60，b=60时，即=2；③当a=15，b=60时，即=3；④当a=60解析：7【解析】解：∵2，∴a、b的值为15，60，135，240，540．①当a=15，b=15时，即2=4；②当a=60，b=60时，即2=2；③当a=15，b=60时，即2=3；④当a=60，b=15时，即2=3；⑤当a=240，b=240时，即2=1；⑥当a=135，b=540时，即2=1；⑦当a=540，b=135时，即2=1；故答案为：（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．所有满足条件的有序数对（a，b）共有7对．故答案为：7．点睛：本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．15．2016【解析】把所求的式子化成（x﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013 =（）2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．解析：2016【解析】把所求的式子化成（x﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013 =2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．点睛：此题主要考查了配方法的应用，解题关键是把式子配成完全平方，然后整体代入即可求解，考查了学生对整体思想的认识和应用，学生对整体思想不熟时出错的主要原因. 16．【解析】∵=，∴=== -==﹣x3+x ， 故答案为：﹣x3+x.解析：211166x x -+ 【解析】∵x =-3==123=146+= -21116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=311166-+=﹣16x 3+116x ，故答案为：﹣16x 3+116x. 17．【解析】 【详解】根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.解析：2【解析】 【详解】22.故答案为2. 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.18．【解析】原式== 19．x≥0． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】∵有意义，∴x≥0，故答案为x≥0．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．解析：x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】有意义，∴x≥0，故答案为x≥0．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．20．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

•二次根式(g ēnsh ì)化简练习题含答案（培优）（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．＝－2．…………………（ ） 2．－2的倒数(d ǎo sh ù)是3＋2．（ ）3．＝．…（ ）4．ab 、、是同类(t óngl èi)二次根式．…（ ） 5．，，都不是(b ù shi)最简二次根式．（ ）（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子(sh ì zi)有意义．7．化简－÷＝ ．8．a －的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋＝________________．10．方程（x －1）＝x ＋1的解是____________．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简＝______．12．比较大小：－_________－．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若＋＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．15．x ，y 分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知＝－x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则＋＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 18．若0＜x ＜1，则－等于………………………（ ）（A ） （B ）－x2（C ）－2x （D ）2x 19．化简a ＜0得………………………………………………………………（ ） （A ）（B ）－（C ）－a - （D ）a20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形(bi àn x íng)为………………………………………（ ） （A ）（B ）－（C ）（D ）（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（）（）；22．－－；23．（a 2－＋）÷a 2b 2mn ；24．（a ＋）÷（＋－）（a ≠b ）．（五）求值：（每小题7分，共14分）25．已知x ＝，y ＝，求的值．26．当x ＝1－2时，求＋＋的值．六、解答(ji ěd á)题：（每小题8分，共16分）27．计算(j ì su àn)（2＋1）（＋＋＋…＋）．28．若x ，y 为实数(sh ìsh ù)，且y ＝＋＋．求－的值．（一）判断题：（每小题1分，共5分） 1、【提示(t ísh ì)】＝|－2|＝2．【答案(d á àn)】×．2、【提示】＝＝－（3＋2）．【答案】×．3、【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×．4、【提示】31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5、29x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6、【提示】何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9．7、【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8、【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ．9、【提示(t ísh ì)】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数(zh èngsh ù)还是负数？x －4是负数(f ùsh ù)，x －1是正数(zh èngsh ù)．【答案】3． 10、【提示(t ísh ì)】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？，．【答案】x ＝3＋22． 11、【提示】＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝（ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（）（）． 12、【提示】2＝，43＝．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较，的大小，最后比较－281与－481的大小． 13、【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．]（7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0． 15、【提示】∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分） 16、【答案】D ．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ．【点评】本题考查二次根式的性质＝|a |．18、【提示】(x －)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x 1＜0．19、【提示】＝＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ．20、【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝，－b ＝，ab ＝．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、都没有意义．（四）计算题：（每小题6分，共24分） 21、【提示(t ísh ì)】将看成一个整体，先用平方差公式，再用完全(w ánqu án)平方公式．【解】原式＝(35-)2－＝5－2＋3－2＝6－215． 22、【提示(t ísh ì)】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝－－＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、【提示(t ísh ì)】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a 2mn －m ab mn ＋mnn m）·n m ＝－＋＝21b －＋221b a ＝． 24、【提示】本题应先将两个括号(ku òh ào)内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝÷＝÷＝ba ba ++·＝－．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （五）求值：（每小题7分，共14分）25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝＝5＋2， y ＝2323+-＝＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．＝＝＝＝．【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 26、【提示】注意：x 2＋a 2＝，∴ x 2＋a 2－x ＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝－＋221ax +＝＝=＝＝x1．当x ＝1－2时，原式＝＝－1－2．【点评(di ǎn p ín ɡ)】本题如果将前两个“分式(f ēnsh ì)”分拆(f ēn ch āi)成两个“分式(f ēnsh ì)”之差，那么(n à me)化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝－＋221a x +＝x1．六、解答题：（每小题8分，共16分）27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（＋＋＋…＋）＝（25＋1）[（12-）＋（）＋（）＋…＋（）]＝（25＋1）（）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？你能求出x ，y 的值吗？【解】要使y 有意义，必须，即∴ x ＝．当x ＝41时，y ＝21． 又∵xyy x ++2－xyy x +-2＝－＝||－||∵ x ＝41，y ＝21，∴ ＜． ∴ 原式＝xy yx +－＝2当x ＝41，y ＝21时，原式＝2＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x的值，进而求出y的值．内容总结（1）二次根式化简练习题含答案（培优）（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．＝－2．（2）你能求出x，y的值吗。

八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(含答案一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B ．2=C ．(26=D==2．下列运算结果正确的是（ ）A 9=-B 3=C ．(22= D 5=-3．下列计算正确的为（ ）．A 5=-B =C =+D =4．下列运算中，正确的是 ( )A ． 3B ．×=6C ． 3D ．5．下列计算正确的是（ ）A =BC D =6．下列各式计算正确的是（ ）A B ．C =3 D ．7．下列计算正确的是（ ）A =B 1-=C =D 6==8．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x ==-=，解得x=结果为（ ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5-9．若化简1682+-x x -1x -的结果为5-2x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数B ．1≤x≤4C ．x≥1D ．x≤410．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18B ．13C 24D 0.311．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A 3x +B 13x - C 13x +D 3x -12．下列运算错误的是（ ） A 23=6B 222 C ．22+32=52D ()21-212=二、填空题13．设42 a,小数部分为 b.则1a b- = __________________________. 14．已知112a b +=，求535a ab b a ab b++=-+_____． 15．化简并计算：()()()()()()()...112231920xx x x x x x x +=+++++++________．（结果中分母不含根式） 16．把31a-根号外的因式移入根号内，得________ 17．(623÷=________________ .18．已知：5+22可用含x 2=_____． 19．化简：3222＝_____．20．如果0xy >2xy -．三、解答题21．先阅读下列解答过程，然后再解答：2m n +,a b ，使a b m +=，ab n =，使得22)a b m +=a b n =22())m n a b a b a b ±=±=>+=⨯=，==，由于437,43127,12m n+=，=即：227===+。

专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. 想一想：若x y n +=（其中x , y , n 都是正整数），则,,x y n 都是同类二次根式，为什么？例题与求解【例1】 当120022x +=时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简 （1）1()a b b a b ba b a b ab b a b+-÷-+-+ （黄冈市中考试题）（2）1014152110141521+--+++（五城市联赛试题）（3）64332(63)(32)++++（北京市竞赛试题）（4）3151026332185231--+-+++（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】 比6(65)+大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设65,65,x y =+=-想一想：设1983,x =-求432326218237515x x x x x x x --++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）形如：A B ±的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足22(1)(1)1x x y y ++++=，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.有些竞赛培优的Word 初中的一套 小学竞赛培优的视频讲义 小初高 各科视频讲义 新概念 可以 加我 q 468453607 威 信 t442546597【例5】 （1）代数式224(12)9x x ++-+的最小值. （2）求代数式22841413x x x x -++-+的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，22a b +的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设2222(4)5(2)3y x x =-++-+，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式. 【例6】 设2121(12)m a a a a a =+-+--≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A 级1.化简：200820081004200820087315()3735++（“希望杯”邀请赛试题）2.若352,325x y x y +=--=-，则xy ＝_____(北京市竞赛试题)3.计算：19971999(19971999)(19972001)(19992001)(19991997)2001(20011997)(20011999)++------（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x ＜y 及1088x y =+的不同整数对（x ，y ）是_______（上海市竞赛试题）5.如果式子22(1)(2)x x -+-化简结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A. x ≤1 B . x ≥2 C . 1≤x ≤2 D . x ＞06、计算14651465+--的值为（ ）A ．1B . 5C . 25D . 5（全国初中数学联赛试题）7．a ，b ，c 为有理数，且等式23526a b c ++=+成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999 B. 2000 C. 2001 D . 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数； 丙：若α，β是不相等的无理数，则αβ+是无理数；其中正确命题的个数是（ ）A .0个B .1个C .2个D .3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1）x y y x y x x y x y y xy x x y-+-+- （2）26325+-（3）1157467776642+++++（4）524103615-+-- （天津市竞赛试题）（5）35361015+--+ （“希望杯”邀请赛试题）10、设3352x -=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值. （“希望杯”邀请赛试题）11、已知22791375137x x x x x +++-+=，求x 的值.12、设11,11n n n n x x n n n n+-++==+++-（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1.已知3311,,12________________2323x y x xy y ==++=+-则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知4247,______31x x x -==++2x 那么. （重庆市竞赛试题） 4.333421,a =++那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题） 5. a ，b 为有理数，且满足等式361423a b +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知21,226,62a b c =-=-=-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7. 已知1x a a=-，则24x x +的值是（ ） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则1[]1667-等于（ ）A .1B .2C .3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把1(1)a -⋅-中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（ ）A .1a - B .1a - C. 1a -- D .1a --（武汉市调考题）10、化简：（1）199819992000200114⨯⨯⨯+ （“希望杯”邀请赛试题）（2）111211232231009999100++++⋅++ （新加坡中学生竞赛试题）（3）8215106532+--+- （山东省竞赛试题）（4）2(6232515)--+ （太原市竞赛试题）11、设01,x << 求证22511(1)12x x ≤+++-<+.（“五羊杯”竞赛试题）12、求22841413x x x x -+--+的最大值.13、已知a , b , c 为正整数，且33a bb c++为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.专题01 二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0． 例2 (1)原式＝()aba b a b++()1ba b b a b⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5． (3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-；（4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582 ．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10582． 例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0． 例5 (1)构造如图所示图形，PA ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C 关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217． 例 6 m ＝()2212111a a -+-•+＋()2212111a a ---•+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B 8．A 9．(1)()2x y x y+- (2)原式＝32625325++-+-＝()()22325325+-+-＝325++．(3)116- (4)532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x－48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．9554．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999.5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53- 11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋PA ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB 的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a bb c ++＝()()()()3333a bb cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a ++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。

二次根式练习（03）一、选择题（每小题2分，共30分） 1、25的平方根是（ ）A 、5B 、–5C 、5±D 、5± 2、2)3(-的算术平方根是（ ）A 、9B 、–3C 、3±D 、3 3、下列叙述正确的是（ ）A 、0．4的平方根是2.0±B 、32）（--的立方根不存在 C 、6±是36的算术平方根 D 、–27的立方根是–3 4、下列等式中，错误的是（ ） A 、864±=±B 、1511225121±= C 、62163-=- D 、1.0001.03-=-5、下列各数中，无理数的个数有（ ） 10.1010017231642π--，， ， ，， 0, - A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如果x -2有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、2≥xB 、2<xC 、2≤xD 、2>x7、化简1|21|+-的结果是（ ） A 、22-B 、22+C 、2D 、28、下列各式比较大小正确的是（ ） A 、32-<-B 、6655->- C 、14.3-<-π D 、310->-9、用计算器求得333+的结果（保留4个有效数字）是（ ）A 、3．1742B 、3．174C 、3．175D 、3．1743 10、如果mm m m -=-33成立，则实数m 的取值范围是（ ）A 、3≥mB 、0≤mC 、30≤<mD 、30≤≤m 11、计算5155⨯÷，所得结果正确的是（ ）A 、5B 、25C 、1D 、5512、若0<x ，则xx x 2-的结果为（ ）A 、2B 、0C 、0或–2D 、–213、a 、b 为实数，在数轴上的位置如图所示，则2a b a +-的值是（ ） A ．－b B ．b C ．b －2a D ．2a －b 14、下列算式中正确的是( )A 、333n m n m -=-B 、ab b a 835=+C 、1037=+x xD 、52523521=+15、在二次根式：①1281827中，与3是同类二次根式的是（ ）A 、①和③B 、②和③C 、①和④D 、③和④ 二、填空题（每小题2分，共20分）16、–125的立方根是_____． 17、如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________．18、要使53-x 有意义，则x 可以取的最小整数是 ． 19、平方根等于本身的数是________；立方根等于本身的数是_______ 20、x 是实数，且02122=-x ，则.____=x 21、若b a 、是实数，012|1|=++-b a ，则._____22=-b a 22、计算：①____;)32(2=-②._____1964522=-23 2.645=== ．24、计算：._____1882=++25、已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若2=+b a ，则ab ≤1 （2）若3=+b a ，则ab ≤23 （3）若6=+b a ，则ab ≤3根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤________． 三、解答题（共50分） 26、直接写出答案（10分）② ④⑦348- ⑧()225+ ⑨27、计算、化简：（要求有必要的解答过程）（18分） ①8612⨯ ②)7533(3-③32 －321+2④123127+- ⑤(2⑥2363327⨯-+28、探究题（10=____，，=______． 根据计算结果，回答：（1a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算 ①若2x 〈②=_____29、（6分）已知一个正方形边长为3cm ，另一个正方形的面积是它的面积的4倍，求第二个正方形的边长。

基本巩固：2.最简二次根式与同类二次根式：一个二次根式知足被开方数不含有分母,且不含有能开得尽方的因数或因式,叫做最简二次根式（simplest quadratic radical）．几个二次根式化为最简二次根式后,假如它们被开方数雷同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式．3.移因式到根号内.外的办法：①把根号外的数移到根号内：当根号外的数是负数时,把负号留在根号外面,然后把这个数的平方移到根号外：当根号内的数是正数时,直接开方移到根号外,即演习：1、有如许一类标题：将b a 2±化简,假如你能找到两个数m.n,使a n m =+22且b mn =,则将将变成m 2+n 2±2mn,即变成(m ±n)2开方,从而使得b a 2±化简．请依据提醒化简下列根式：(1)625-(2)324+2.数a.b 在数轴上的地位如图所示,化简()()()22211b a b a ---++=_____．3、盘算：4、已知m 是2的小数部分,则122+-m m 的值是()．5、对随意率性不相等的两个数a.b,界说一种运算※如下：a ※b=b a ba -+,则12※4=_____．答案与解析：1、解析：依据提醒做出解答即可答案：（1）23- （2）13+2、解析：依据数a.b 在数轴上的地位肯定a+1,b-1,a-b 的符号,再依据二次根式的性质进行开方运算,再归并同类项． 答案：由数轴可知,a ＜-1,b ＞1,∴a+1＜0,b-1＞0,a-b ＜0,∴原式=-（a+1）+b-1-（b-a ）=-a-1+b-1-b+a=-2．3.解析：本题涉及零指数幂.负整数指数幂.幂的运算. 二次根式化简四个考点．在盘算时,须要针对每个考点分离进行盘算,然后依据实数的运算轨则求得盘算成果．。

八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(及答案一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B ．2=C ．(26=D==2．下列运算中，正确的是 ( )A ． 3B ．×=6C ． 3D ．3．下列计算正确的是（ ）AB CD4．下列二次根式是最简二次根式的是( )A BCD5．(2的结果正确的是( )A B ．3 C ．6D ．36．下列计算正确的是（ ）A =B =C 6=-D 1=7．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．98．A ．﹣3B ．3C ．﹣9D ．99．已知m ＝1n ＝1 （ ） A ．±3B ．3C ．5D ．910．下列各式成立的是（ ）A 2B 5=-C xD 6=-11．m 的值为（ ） A ．7B ．11C ．2D ．1 12．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D二、填空题13．将2(3)(0)3a a a a-<-化简的结果是___________________.14．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________． 15．当x =2+3时，式子x 2﹣4x +2017=________． 16．观察下列等式：第1个等式：a 1=2112=-+， 第2个等式：a 2=3223=-+， 第3个等式：a 3=32+=2-3， 第4个等式：a 4=5225=-+， …按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________17．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．18．若实数x ，y ，m 满足等式()23532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为________．19．化简二次根式2a 1a +-_____. 20．观察分析下列数据：0，36，-3，231532的规律得到第10个数据应是__________．三、解答题21．计算：22322343341009999100+++++【答案】910【解析】 【分析】先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算 【详解】10099++10099+++=991-++-=1- =1110- =910【点睛】本题看似计算繁杂，但只要找到分母有理化这个突破口，就会化难为易。

二次根式化简练习题含答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：•二次根式化简练习题含答案（培优）（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ）3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．（三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤017．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（ ）（A ）x 2 （B ）－x2（C ）－2x （D ）2x 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（235+-）（235--）；22．1145-－7114-－732+；23．（a 2mn －m ab mn ＋m nn m ）÷a 2b 2mn ；24．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．（五）求值：（每小题7分，共14分）25．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．26．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．六、解答题：（每小题8分，共16分）27．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．28．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xyy x +-2的值．（一）判断题：（每小题1分，共5分） 1、【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2、【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3、【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4、【提示】31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5、29x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6、【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9．7、【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9、【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11、【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）． 12、【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小． 13、【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15、【提示】∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分） 16、【答案】D ．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18、【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1， ∴ x ＋x 1＞0，x －x 1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0． 19、【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20、【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）计算题：（每小题6分，共24分）21、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n nmn m ⋅＝21b－ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-．24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．（五）求值：（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．26、【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）． 【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ ＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1．六、解答题：（每小题8分，共16分） 27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--） ＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x - ＝|xy yx +|－|xy yx -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ yx ＜xy．∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。

最新二次根式化简练习题含答案二次根式化简练题含答案一、判断题：1.(-2)^2ab = -2ab。

(×)2.3-2的倒数是3+2.(×)3.(x-1)^2 = (x-1)^2.(√)4.ab。

1/3ab。

-2a/xb是同类二次根式。

(√)5.8x^(1/3)。

9+x^2都不是最简二次根式。

(√)二、填空题：6.当x≠3时，式子1/(x-3)有意义.7.化简 -15/8 ÷ (2/27) ÷ 25/(12a^3) = -405a^3/4.8.a-a^2+1的有理化因式是(a-1)/(a+1).9.当1<x<4时，|x-4|+x^2-2x+1 = (x-3)^2.10.方程2(x-1) = x+1的解是x = 3.11.已知a、b、c为正数，d为负数，化简ab-c^2d^2/ab+c^2d^2 = (ab-c^2d^2)/(ab+c^2d^2).12.比较大小：-1/27 < -1/43.13.化简：(7-5√2)^2000*(-7-5√2)^2001 = -5.14.若x+1+y-3=0，则(x-1)^2+(y+3)^2=20.15.x，y分别为8-11的整数部分和小数部分，则2xy-y^2=-0.09.三、选择题：16.已知x^3+3x^2=-x*x+3，则x≥-3.17.若x<y<√2，则x^2-2xy+y^2+x^2+2xy+y^2=4y^2.18.若x<√2，则(x-1)^2+4-(x+√2/x)^2-4=2/x.19.化简-a^3/a(a<0)得a.20.当a<1/2，b<1/2时，-a+2ab-b可变形为-(a-b)^2.四、计算题：21.(5-3+2)(5-3-2) = 0.22.(a^2+2ab+b^2)/(a-b)^2 = (a+b)/(a-b).23.(a+√5)(a-√5)/(a^2-5) = 1.24.(a+√5)/(a-√5) = (a^2+5+2a√5)/(a^2-5).4-11/24-11+73abn-mm-mn+nmmn）÷a^2b^2；nm/(aba+bb-ab)÷（+－）（a≠b）．abab+bab-aa+b（五）求值：（每小题7分，共14分）3+2/3-2x-3xy2/25．已知x=1/4，y=2，求3+2/3-2x-3xy2的值．26．当x=1/2时，求x/(x+a-xx+a^2)/2x-x^2+a^2/x-xx+a^2/2的值．六、解答题：（每小题8分，共16分）27．计算（25+1）（1111/1+22+33+49……+1001xy）．求1+2-2+3-3+……+(-1)n+1n的值．（一）判断题：（每小题1分，共5分）1、【提示】|-2|=2．【答案】×．2、【提示】2/(1+2+3+…+n)=2/(n(n+1)/2)=4/(n(n+1))．当n=1时，2/(1+2+3+…+n)=2/1=2；当n=2时，2/(1+2+3+…+n)=2/3；当n=3时，2/(1+2+3+…+n)=2/6=1/3；当n=4时，2/(1+2+3+…+n)=2/10=1/5；当n=5时，2/(1+2+3+…+n)=2/15=2/3×1/5．∴2/(1+2+3+…+n)的值是递减的．【答案】√．3、(x-1)2=x-1/3，【提示】(x-1)=|x-1|，（x≥1）．两式相等，必须x≥1．但等式左边x可取任何数．【答案】×．4、【提示】1/3a^3b-2a/xb化成最简二次根式后再判断．【答案】√．5、9+x^2不是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6、【提示】x何时有意义？x≥9．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x≠9．7、【答案】-2a/a．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、【提示】（a-a^-1）（a+a^-1）=a^2-(a^2-1)^2．【答案】a+a^-1．9、【提示】x^2-2x+1=(x-1)^2，当10)，∴ab-c^2d^2=(ab+cd)(ab-cd)．12、【提示】27=2^8，43=2^4×3．【答案】<．【点评】先比较2^8，2^4×3的大小，再比较1/2与-1的大小．23、将原式化简为：begin{aligned}frac{a^2}{b^2} - \frac{a}{nm} + \frac{1}{mn} \\frac{a^2 \cdot 2m - a \cdot 2b \cdot n + 1 \cdot b^2 \cdotmn}{b^2 \cdot mn} \\frac{2am^2 - 2abn + b^2}{b^2mn} \\frac{(2am - b)^2}{b^2mn}end{aligned}24、将原式化简为：begin{aligned}frac{a+ab+b-ab}{a+b} \div \frac{ab(a-b)}{a+b} \\ frac{a^2 - ab + ab - b^2}{ab(a-b)} \\frac{a^2 - b^2}{ab(a-b)} \\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} \\frac{a+b}{ab}end{aligned}25、将$x$和$y$化简为：begin{aligned}x &= \frac{3+2}{3-2} = 5 \\y &= \frac{3-2}{3+2} = \frac{1}{5}end{aligned}代入原式得：begin{aligned}frac{4x^3-4xy^2+3xy}{6x^2-2y^2} \\frac{4 \cdot 5^3 - 4 \cdot 5 \cdot (\frac{1}{5})^2 + 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{5}}{6 \cdot 5^2 - 2 \cdot (\frac{1}{5})^2} \\ frac{101}{44}end{aligned}26、将原式化简为：begin{aligned}frac{x}{x+a(x-a)} - \frac{2x-x^2-a^2}{x(x+a-x)} +\frac{1}{x+a} \\frac{x \cdot 2a - a^2 + x^2 - 2x^2 + 2ax + a^2 + x \cdot (x^2-a^2)}{x(x+a-x)(x+a)} \\frac{-x^3 + 2ax^2 + x^3 - a^2x}{x(x+a-x)(x+a)} \\frac{x(x^2+a^2-x)}{x(x+a-x)(x+a)} \\frac{x^2+a^2-x}{x^2+a^2-x} \\1end{aligned}当$x=1-2=-1$时，原式为$-1-2=-3$。

二次根式化简练习题含答案二次根式化简练题含答案（培优）一）判断题：（每小题1分，共5分）1.(−2)2ab=-2ab.（正确）2.3-2的倒数是3+2.（错误）3.(x-1)2=(x-1).（错误）4.ab、xb、1/3a3b、-2a/xb是同类二次根式.（正确）5.8x、1/9+ x2都不是最简二次根式.（正确）二）填空题：（每小题2分，共20分）6.当x=0时，式子1/(x-3)有意义.7.化简-15/8÷1025/2712a3= -3a3/205.8.a-a2-1的有理化因式是a/(a+1).9.当1<x<4时，|x-4|+x2-2x+1= (x-3)2.10.方程2(x-1)=x+1的解是x=3.11.已知a、b、c为正数，d为负数，化简(ab-c2d2)/(ab+cd2)2= (ab-cd2)/(ab+cd2)2.12.比较大小：-1/27-1/43<0<-1/27+1/43.13.化简：(7-5√2)2000·(-7-5√2)2001= 1/5.14.若x+1+y-3=0，则(x-1)2+(y+3)2=26.15.x，y分别为8-11的整数部分和小数部分，则2xy-y2=-0.15.三）选择题：（每小题3分，共15分）16.已知x3+3x2=-xx+3，则x≤-3.17.若x<y<√2，则x-2xy+y+x+2xy+y=2y.18.若0<x<1，则(x-√2)2+4-(x+√2)2-4=-2x.19.化简a/(a3-b3)=-1/b.20.当a<1/2，b<1/2时，-a+2ab-b可变形为-(a-b)2.四）计算题：（每小题6分，共24分）21.(5-3+2)(5-3-2)=0.22.5/(4-11)-24/(11-7)=-1/3.23.(a2-1)/(a-1)+(a-1)/(a2-1)=2a/(a-1).24.(a+5)/(4-11)-(11-7)/(24-7)=-a/3b.第一段没有明显的格式错误，但需要改写：给定一个分式 $\frac{m^2n}{a^2b^2}$，将其化简得到$\frac{n}{a+b} \cdot \frac{m}{a-b}$（当 $a \neq b$ 时）或者$\frac{2m}{a+b}$（当 $a=b$ 时）。

二次根式化简练习题含答案
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