最短路径问题(将军饮马为题) 优秀教案

最短路径问题（将军饮马为题）优秀教案
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题
教学设计
三、探究新知，教师主导
1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。

将军
2、设想如果点A与点B在直线异侧，应该怎样找到点C的位置，由此及彼得出：利用轴对称可以先找到点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l相较于点C，点就是所求做的点。

5、巩固练习
四、合作探究、学生主体
1、“将军饮马问题（二）”：牧马人从A地出发，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。

学生通过小组合作，把实际问题转化成数学问题。

、小组合作，画出最短路径。

五、课堂小结
引导学生自己总结本课收获
六、作业
七、教学反思：
1.思得：信息技术的应用大大提高了学生学习数学的兴趣，其中最为明显的有两点，一是利用几何画板，让学生观察随着点C位置的变化，AC+BC的值随之变化，只有当点C在点A的对称点A’与点B 的连线与直线l的焦点时最小。

二是练习题的网上提交，既激发了孩子们练习的热情、时间观念，又节省了教师批阅时间。

2、思失：最短的证明不能单靠信息技术，还是应该逐步书写过程步骤，板书的尺规作图还是必须的。

初中数学将军饮马教案一、教学目标：1. 知识与技能：让学生掌握将军饮马问题的解法，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

2. 过程与方法：通过将军饮马问题的引入，让学生了解数学与实际生活的联系，学会运用数学知识解决实际问题。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

二、教学内容：1. 将军饮马问题的背景及意义。

2. 将军饮马问题的解法及步骤。

3. 将军饮马问题在实际生活中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：将军饮马问题的解法及步骤。

2. 教学难点：如何运用几何知识解决实际问题。

四、教学过程：1. 导入：讲解将军饮马问题的背景，让学生了解数学与实际生活的联系。

2. 新课讲解：讲解将军饮马问题的解法，引导学生掌握解题步骤。

3. 案例分析：分析实际生活中的将军饮马问题，让学生学会运用数学知识解决实际问题。

4. 课堂练习：布置将军饮马问题相关的练习题，巩固所学知识。

5. 总结与反思：让学生总结将军饮马问题的解法，反思自己在解决问题过程中的优点与不足。

五、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究将军饮马问题的解法。

2. 利用多媒体教学手段，展示将军饮马问题的实际应用场景，增强学生的学习兴趣。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

4. 注重个体差异，针对不同学生的学习情况，给予适当的指导和帮助。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习状态。

2. 练习成果：评估学生在练习中的表现，检验学生对将军饮马问题解法的掌握程度。

3. 课后反馈：收集学生的学习反馈，了解学生在解决问题过程中的困惑和问题，为下一步教学提供参考。

七、教学资源：1. 多媒体课件：将军饮马问题的图片、视频等教学资源。

2. 练习题库：针对将军饮马问题设计的练习题。

3. 教学参考书：提供将军饮马问题相关的研究资料和教学方法。

八、教学进度安排：1. 第1-2课时：讲解将军饮马问题的背景及意义。

将军饮马的教案一、教学目标1.了解“将军饮马”问题的基本原理，掌握解决此类问题的方法。

2.通过实例分析，培养学生的数学思维能力和解题技巧。

3.激发学生对数学的兴趣，提高学习数学的积极性。

二、教学内容1.引入“将军饮马”问题：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题。

2.讲解基本原理：介绍“将军饮马”问题的基本原理，即两点之间线段最短。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

三、教学步骤1.导入新课：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题，激发学生的学习兴趣。

2.讲解基本原理：详细讲解“将军饮马”问题的基本原理，让学生明确线段最短的性质。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

教师可以先演示一遍，然后让学生自己动手操作，加深理解。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

教师可以根据学生的实际情况进行个别辅导，确保每个学生都能掌握解题方法。

5.总结与回顾：对本节课的内容进行总结与回顾，让学生明确学习目标和学习内容。

6.布置作业：布置相关作业，让学生在课后继续巩固所学知识。

四、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的表现，评估他们对“将军饮马”问题的理解程度。

2.作业完成情况：检查学生的作业完成情况，评估他们对解题方法的掌握程度。

3.综合评价：根据学生的课堂表现和作业完成情况，综合评价他们的学习效果。

课题学习最短路径问题（笫1课时）教学目标1.了解将军饮马及造桥选址两个常见类型.2.会解答将军饮马及造桥选址中的最短路径问题.3.能初步应用将军饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目.教学重点难点1.将实际问题抽象为数学问题.2.解决最短路径问题教学内容将军饮马.教学过程一、导入新课问题1如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边/饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？二、探究新知1.将实际问题抽象为数学问题师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.(1)把A、B两地抽象为两个点；(2)把河边Z近似地看成一条直线(下图)，C为直线Z上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在/的什么位置时，AC与CB的和最小.2.尝试解决数学问题(1)由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A, 〃分别是直线?异侧的两个点，如何在2上找到一个点，使得这个点到点A、点〃的距离的和最短?•B利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接与直线/相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.(2)现在要解决的问题是：点A, B分别是直线2同侧的两个点，如何在2 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短?(3)如何能把点B移到2的另一侧处，同时对直线2上的任一点C,都保持CB 与CB，的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决.(4)你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点歹吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题.小组交流，师生共同补充得出：作出点B关于/的对称点B',利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB (下右图).连接AB',则A夕与/的交点即为所求.3.师生共同分析，合作证明“AC+BC”最短.证明：如上右图，在直线/上的任一点C （与点C 不重合）,连接AC, BC, BG 由轴对称的性质知：BC=B'C, BC=BC:.AC+BC=AC+B ,C=AB ,f AC ,+BC ,=AC+B f C ,.在△ ABC 中，AB ,<AC ,+B ,C ,,・•・ AC+BC<AC+BC. 即AC+BC 最短.提问：证明AC+BC 最短时，为什么要在直线/上任収一点C （与点C 不重合），证 明AC+BC<AC+BC2这里“C”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识.三、巩固练习已知P 是△ABC 的边BC 上的点，你能在AB 、AC 上分别确定一点Q 和几 使△P0R 的周长最短吗？学生独立完成，必要时教师点拨指导.课堂小结总结用数学解决实际问题的步骤.教学反思： 证明"I'・B'。

《最短路径问题》教学设计一、内容和内容解析1、教学内容《最短路径问题》是人教版八年级上册第十三章课题学习第1课时的内容.本节课的主要内容是解决由“将军饮马问题”引出的数学问题“两点在直线同侧求最短路径”以及“两线一点”，“两线两点”等最短路径问题.2、教学内容解析本节课是在学生学习了轴对称的知识以及“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等知识的基础上，展开了本节课的求最短路径问题，这节课是轴对称知识的一个很好的应用，进一步巩固了轴对称的知识，使轴对称知识更加灵活，并在学生头脑中打下扎实的基础。

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典问题一“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.3、教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短问题”二、教学目标及其解析1、教学目标:(1)理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。

(2)能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

(3)通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2、目标解析:要求学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”把实际问题抽象为数学的线段和最小问题:能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题:能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求距离最短:在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

三、学生学情分析八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学的意识比较薄弱，此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一些数学知识，但在数学的说理上还不规范，演绎推理能力有待加强。

初中数学将军饮马教案教学目标：1. 理解并掌握“将军饮马”问题的解题方法及其应用；2. 能够运用轴对称的性质解决实际问题；3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 将军饮马问题的背景及解题思路；2. 轴对称的性质及其在解决问题中的应用；3. 将军饮马问题的拓展与应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入问题：讲解唐朝诗人李颀的《古从军行》中的一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，提问学生是否知道这句诗中隐含着一个有趣的数学问题。

2. 学生思考并回答，教师总结：这个问题就是将军饮马问题。

二、新课讲解（20分钟）1. 讲解将军饮马问题的背景和解题思路，引导学生理解并掌握问题的解决方法。

2. 讲解轴对称的性质，引导学生了解轴对称在解决问题中的应用。

3. 通过例题讲解，让学生动手实践，巩固所学知识。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握程度。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和评价，指出其中的错误和不足。

四、拓展与应用（10分钟）1. 讲解将军饮马问题的拓展，引导学生学会将问题进行拓展和应用。

2. 让学生举例说明轴对称在实际问题中的应用，分享自己的心得体会。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师总结本节课的主要内容和知识点。

2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。

教学评价：1. 课后作业的完成情况，检验学生对知识的掌握程度；2. 学生在课堂上的参与度和表现，评价学生的学习效果；3. 学生对拓展与应用部分的内容的理解和应用能力，评价学生的思维拓展能力。

教学反思：本节课通过讲解将军饮马问题，让学生了解了轴对称的性质及其在解决问题中的应用。

在教学过程中，要注意引导学生主动思考，培养学生的逻辑思维能力。

同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和策略，提高教学效果。

《将军饮马问题》教案一、问题背景：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？B·营地A·山峰河流这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了二、引用“饮马问题”：将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题：如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B·镇A·镇L三、教学方法的探究：当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。

“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。

二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。

设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计：甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。

如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。

连接A′C与BC，探究：BALC C′A′B′（1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。

（2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。

（3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。