将军饮马问题

将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。

本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。

1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。

此时，将军只需将马拉到目的地即可。

例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。

例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。

例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。

例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。

例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。

例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。

例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。

例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。

“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。

古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。

一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。

将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。

此之谓“将军饮马”。

最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。

为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。

∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP + BP =A’P +BP =A’B而AM + BM = A’M +MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B < A’M +MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。

∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。

2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。

那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。

为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。

∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。

∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ = A’P+PQ+A”Q =A’A”；AM+MN+AN = A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N >A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。

将军饮马问题例题
例题：一个将军饮马，有三个酒坛，其中一个酒坛里装着毒酒，另外两个酒坛里装着普通的酒。

这三个酒坛外观相同，将军无法通过外观来判断哪个酒坛是有毒的。

在喝下一杯毒酒后，将军将会立即死亡。

现在将军有一匹马，这匹马可以闻出毒酒，如果马喝下一杯毒酒，它将会在30分钟后死亡。

将军只有30
分钟的时间来确定哪个酒坛里装着毒酒，并且不允许酒坛之间进行任何类型的测量。

解法：将军可以按照以下步骤确定毒酒所在的酒坛：
1. 为了节省时间，将将军的马分成三组，每组10匹马。

标记
这三组马为A、B、C。

2. 让A组的马尝试第一个酒坛，让B组尝试第二个酒坛，C
组尝试第三个酒坛。

3. 让所有的马者都喝下一杯酒。

4. 等待15分钟。

5. 如果A组的马中有马死亡，那么第一个酒坛是有毒的；如
果B组的马中有马死亡，那么第二个酒坛是有毒的；如果C
组的马中有马死亡，那么第三个酒坛是有毒的。

6. 如果在15分钟内没有任何马死亡，那么第一个酒坛是安全的，因此第二个酒坛是有毒的；如果A和B组的马都没有死
亡，那么第三个酒坛是有毒的。

这样，将军可以在30分钟内确定哪个酒坛里装着毒酒。

专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。

模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。

模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。

将军饮马问题起源:古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法。

问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。

这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。

让我们来看看数学家是怎样解决的。

海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题。

根据公理1连接两点的所有线中，直线段最短。

只知道两点间直线段最短，那么显然要把折线变成直线再解。

如果直接连AB，与I不会相交，怎么办呢？当A、B位于I的异侧时，就有交点了。

于是我们就希望在I的另一侧找一点A '，使得连A ' B与I相交于P点后（这时A ' P+ PB最短）线段A ' P与AP 一样长.由对称的知识可知道，A关于I的对称点就有资格扮演A '的角色。

解：如图1先作A关于I的对称点A '，连接A ' B与I相交于P点，则AP + PB就最小.那么这样作出的AP + PB是否真的最小呢？要证明它只需要在I 上任取一点P',证明AP'+P‘ A >AP + PB就行了。

这点好证明：事实上因为A '、A关于I对称，有AP =A ' P、AP ' = A ' P'，又由公理2:三角形的两边之和大于第三边.AP'+ P‘ B=A ' P'+ P‘ B>A ' B = A ' P+ PB= AP+ PB.原来海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线问题求解的。

后来这一方法已形成了思想，它在解决许多问题中都在起作用。

现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理。

例题分析：1、已知A，B两点在MN同侧，如图所示，在MN上求一点P,使:I PA- PB| 最大连接BA并延长交MN于P | PA-PB| =|AB|在MN上再任意取一点P'三角形P'AB中 | P'A-P'B | <AB=| PA —PB| 2、两点在直线的异侧如何做直线上一点是其到两点之差最短作线段AB 的中垂线，交直线I于点P，点P即为所求。

将军饮马1.问题的历史背景：“将军饮马问题”传说早在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：如图，将军从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它，展现了他的个人智慧。

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广为流传。

2.究其本质，巩固模型。

如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线n表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道。

现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短。

图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是A F和C B F和E C D和C D D和E评析：虽然图形略有改变，但是究其本质，它仍然是我们已建立的基本模型。

根据模型易得：输水分管道的连接点是点B 关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C，故选A。

此例关键是抓住模型的本质特征，进一步巩固已经建立的模型，从而达到学以致用的效果。

3.一“模”多变，触类旁通。

通过以上模型的建立，我们把题目做一些变式。

模型变式------ 两定点到直线上一动点的线段距离和最短问题变式①：“模型”在三角形中如图，等边△ABC 的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。

评析：此例是求两个定点到直线上一个动点距离和最短问题。

只要抓住模型的本质特征，作出图形，找到点M的位置并不困难。

例如：解法（一）图形，然后利用等边三角形的特殊性质，结合勾股定理的知识，再求出这条线段CE’的长度。

《轴对称》之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【图示】【分析】我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短．2、垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON的部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点A 关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在∠MON的部有点A和点B，在OM 上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求AC＋CD＋DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON的对称点即可．【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．军营，马厩，这些不动的点，即为定点．河边，草地边，这些不动的线，即为定线．河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点．变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边) (草地边)的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩) 关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边)上的交点，即为动点(饮马点)．2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连．3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．【练习】如图，黑、白两球分别位于长方形台球桌面OMCN上的A、B两点的位置．（1）怎样撞击白球，使白球A碰撞球桌边OM后，反弹击中黑球？（2）怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球桌边OM、ON后，反弹击中黑球？。

将军饮马问题的原理
将军饮马问题是一个经典的数学问题，它的原理是利用线性方程组来解决实际问题。

这个问题的背景是：有一位将军要带兵过河，他手下有若干个骑兵和步兵，每个骑兵需要2匹马来驮运，每个步兵需要1匹马来驮运。

现在将军手中有一定数量的马，问能否满足所有人的渡河需求？
为了解决这个问题，我们可以设骑兵的数量为x，步兵的数量为y，马的数量为z。

根据题意，我们可以得到以下两个方程：2x + y = z （每匹马可以驮运一个骑兵或两个步兵）
x + y = z/2 （将军手中的马只能驮运部分人）
将第二个方程式变形得到 x = z/2 - y，将其代入第一个方程式中，消去x，得到：
2(z/2 - y) + y = z
化简后得到：
3y = z
因此，无论将军手中的马有多少只，只要骑兵和步兵的数量之比为2:1，就可以满足所有人的渡河需求。

这就是将军饮马问题的原理。

通过建立线性方程组并求解，我们可以找到问题的最优解。