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教师活动学生活动设计意图【活动一】问题引入前几节课，我们学习了轴对称性质在等腰三角形中的应用,本节课，我们将继续探究轴对称性质的另一个实际应用——经典的“将军饮马问题”，请看视频。
【活动二】解决问题问题1：你能把“将军饮马”这个问题抽象为数学问题吗?问题2：注意观察，当饮马点C的位置改变时，你能确定使AC+CB最小的饮马点C的位置吗？问题3：当点A、B在直线l的异侧时，你能在直线l上确定一点C，使线段AC与CB的和最小?问题4 回到“将军饮马”问题，怎样将直线同侧两点转化为直线异侧两点?问题5：你能用所学的知识证明AC+CB最小学生认真观看视频，明晰本节课要探究的问题。
将A、B两地抽象为两个定点，将河抽象为一条直线l。
学生回答并相互补充，最后达成共识。
已知：直线l和直线l的同侧两点A，B;求作：直线l上一点C，使得AC+CB 最小.通过老师的引导启发，使同学们想到作定点的对称点，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异侧的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，感悟转化的数学思想。
教师引导点拨，从数学史上久负盛名的“将军饮马”问题引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想，同时引导学生分析题意，将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题。
从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。
让学生进一步吗？小结：“将军饮马”问题的已知条件是什么？求什么？“将军饮马”的实质是什么？“将军饮马”的作图步骤是什么？跟踪练习：如图P、Q是△ABC的边AB、AC 上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？【活动三】“将军饮马”变式1如图，点A 是∠MON 内的一点，分别在OM、ON上作点B、C，使△ABC 的周长最小。
结合几何画板的演示，师生共同完成证明过程。
学生回答，并相互补充，最后由教师总结。
要求学生用两种方法画图，学生独立思考，画出图形，点名一名学生在黑板上画图。
13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册一．将军饮马：线段和的最小值例1．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？请你用所学的数学知识在图2中画出．例2．已知x+y＝7，且x，y均为正数，则的最小值是．变式1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，1），点P（x，0）是x轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（）A．3B．C．5D．变式2．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）mC．1000m D．（300+100）m变式4．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．8变式5．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2B．12C．5D．7二．选址造桥例3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．变式1．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．变式2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）三．线段差最大例4．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值为．变式1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）A．12cm B．8cmC．6cm D．2cm四．角中对称问题例5．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A．B．C．D．变式1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，求∠AOB的度数．变式2．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2．连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，求则△PMN的周长．变式3．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值课后练习1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，EF垂直平分BC，P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是．2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC 上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．3．如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是（）A．4B．3C．2D．2+4．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3B．C．D．65．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°6．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC 最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）B．C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）8．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35B．40C．50D．609．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC 的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．6B．8C．10D．1210．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2B．4C．6D．811．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝100°，求∠AOB．12．如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC 和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数13．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，求PM+MN的最小值14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上且BD＝1，AD＝4，点E、F分别为边AC、AB上的动点，求△DEF的周长的最小值为．15．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，点P为边AB上的一定点，连接CP，CP＝4，M，N分别为边AC和BC上的两动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值为；当△PMN周长的最小值时，∠MPN的度数为．16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N 是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，求PM+PN的最小值.17．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接BE，求△ABE周长的最小值。
最短路径——“将军饮马”问题基本类型总结【问题1】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为A B ＇．【问题3】作法图形原理在直线l 1、l 2上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．在直线1l 、2l 上分别求点N ，使四边形PQMN 的周长最小．【问题5】“造桥选址”图形直线m ∥n ，在m 、上分别求点M 、N ，使m ，且AM +MN +BN 的值最小．【问题6】图形在直线l 上求两点M 、在左），使a MN ，并使MN +NB 的值最小．【问题7】图形1上求点A ，在2l ，使PA +AB 值最小．m n BA【问题8】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短．AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PB PA -＝0．【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇．PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．两点之间线段最短．PA +PB +PC 最小值＝CD ．。
将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。
