参数方程与极坐标模块常见题型全归纳目录一、第一问破解方法：1参数方程化普通方程的方法 （1）代入消参法与和差消参法（2）恒等式消参法与平方消参法;2应用极坐标的基本定义进行极坐标与直角坐标的互化 （1）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程; （2）曲线的直角坐标方程化为极坐标方程;二、第二问破解方法：3坐标系与参数方程的最值（取值范围）问题的求解方法 （1）应用曲线的参数方程进行三角代换求最值（取值范围）；（2）化归为二次函数，运用二次函数的特性求最值（取值范围）问题； （3）运用圆的几何特性求最值（取值范围）问题； 4直线的标准式参数方程中参数t 的几何意义的应用 （1）以定点为起点的线段的四则运算求值问题； （2）参数t 形式的弦长公式的运用； 5极坐标方程中ρ的几何意义的应用（1）以原点O 为起点的线段的四则运算求值问题； （2）应用ρ的几何意义表示两点间距离；6剥去参数方程与极坐标的外壳，将图形关系代数化——“数形结合思想”的运用（1）考查圆特有的的弦长公式AB =（2）通过图形关系分析代数关系； 7求曲线的极坐标方程（1）应用平面直角坐标系内求轨迹方程的基本思想求极坐标方程； （2）运用利用极坐标和直角坐标的特殊关系求极坐标方程.1 参数方程化普通方程的方法 1.1 代入消参法与和差消参法【例1】直线42,3x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）的普通方程为_____________.【解析】方法一：代入消参法由3y t =-得3t y =-，代入42x t =-整理得220x y -+=. 方法二：和差消参法将3y t =-乘以2与42x t =-作差可得220x y -+=.【评注】代入消参法与和差消参法源于我们初中学过的解方程组的思想，其目的在于消去参数t .【变式1】潜在的参数范围的影响曲线43x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）的普通方程为____________.【解析】由消参法可得220x y -+=，因为0，故44x =-，所以曲线43x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）的普通方程为()2204x y x -+=≤. 【变式2】曲线2tan ,tan x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为______________.【解析】tan θ∈R ，所以x ∈R ，故曲线2tan ,tan x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为2y x =【变式3】注意tan θ和sin θ消参的区别 曲线2sin ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为______________.【解析】1sin 1θ-≤≤，所以11x -≤≤，故曲线2tan ,tan x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为2y x =(11)x -≤≤.【变式4】只有一个式子有参数直线1,sin x y θ=⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）的普通方程为_____________.【解析】sin y θ=,所以11y -≤≤，故直线1,sin x y θ=⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）的普通方程为1x =(11)y -≤≤.1.2 恒等式消参法与平方消参法【例2】参数方程2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为_____________.【解析】由2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩得cos 2,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩因为22sin cos 1θθ+=，故参数方程2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)1x y ++=. 【评注】本题采用22sin cos 1θθ+=这一恒等式消参，高中阶段常用的恒等式还有：（1）()10,1x xa a a a -⋅=>≠且；（2）222211122t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()2sin cos 1sin 2ααα+=+. 【变式1】给参数范围的消参 参数方程cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,πθ∈）化为普通方程为_____________.【解析】由[]0,πθ∈可知11x -≤≤，01y ≤≤，故该参数方程的普通方程为221x y +=(01)y ≤≤【变式2】平方消参法 参数方程sin cos ,sin cos x t t y t t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）的普通方程为_____________.【解析】方法一：由sin cos x t t =-得212sin cos x t t =-，同理212sin cos y t t =+，故该参数方程的普通方程为222x y +=.方法二：由sin cos ,sin cos x t t y t t =-⎧⎨=+⎩得sin ,2cos .2x y t y x t +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩又22sin cos 1t t +=，故该参数方程的普通方程为222x y +=.【变式3】注意隐藏的x 的范围 参数方程sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为_______________.【解析】因为πsin cos )4x θθθ=+=+，所以x ⎡∈⎣， 又因为()2sin cos 1sin2θθθ+=+，故21x y =+，所以参数方程sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为21x y =+()x ⎡∈⎣.【变式4】恒等式消参法与平方消参法对比参数方程(),2t tt tx e e y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）的普通方程为____________________. 【解析】方法一：2t t x e e -=+=≥，由(),2tt t tx e e y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩得2,22.2t t yx e yx e -⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，因为1tte e -⋅=，故该参数方程的普通方程为221(2)416x y x -=≥. 方法二：由(),2t tt t x e e y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩平方得2222222,2.4t t t t x e e y e e --⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩，两式作差可得221416x y -=，又2ttx e e -=+=≥，故该参数方程的普通方程为221(2)416x y x -=≥. 2 应用极坐标的基本定义进行极坐标与直角坐标的互化 2.1 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程【例3】只有ρ和θ的极坐标方程将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 （1）1ρ=；【解析】因为1ρ=，所以21ρ=，又222x y ρ+=，故直角坐标方程为221x y +=.（2）π3θ=. 【解析】因为π3θ=，所以tan θ=tan yxθ=，故直角坐标方程为y =. 【评注】在进行极坐标与直角坐标的互化时，下列公式必不可少： （1）222x y ρ+=； （2）tan yxθ=； （3）cos x ρθ=； （4）sin y ρθ=. 【变式1】极坐标方程中的ρ和θ在“=”的同侧 将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 （1）()cos sin 1ρθθ+=；【解析】由cos x ρθ=和sin y ρθ=得该曲线的直角坐标方程为10x y +-=. （2）πcos 13ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；【解析】因为πcos 13ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1cos sin 122ρθρθ-=，由cos x ρθ=和sin y ρθ=得该曲线的直角坐标方程为20x -=. 【变式2】极坐标方程中的ρ和θ在“=”的两侧 将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 （1）2cos 2sin ρθθ=+；【解析】由2cos 2sin ρθθ=+得22cos 2sin ρρθρθ=+，又因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以该曲线的直角坐标方程为22220x y x y +--=.（2）π2sin 3ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；【解析】由π2sin 3ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭得2sin cos ρρθθ=+，又因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以该曲线的直角坐标方程为220x y y +--=.（3）8cos 1cos 2θρθ=-.【解析】由8cos 1cos 2θρθ=-得2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，又因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以该曲线的直角坐标方程为24y x =.2.2 曲线的直角坐标方程化为极坐标方程【例4】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程 （1）y x =；【解析】将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入y x =得sin cos θθ=，故所求极坐标方程为π4θ=. （2）222310x y x y ++-+=；【解析】将222x y ρ+=,cos x ρθ=，sin y ρθ=代入222310x y x y ++-+=得22cos 3sin 10ρρθρθ+-+=,故所求极坐标方程为22cos 3sin 10ρρθρθ+-+=.【评注】将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程只需将222x y ρ+=,cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直角坐标方程适当化简即可.【变式1】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程 （1）()()22122x y -+-=；【解析】()()22122x y -+-=可化为222430x y x y +--+=将222x y ρ+=,cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式得22cos 4sin 30ρρθρθ--+=. （2）22134x y +=. 【解析】将c o s x ρθ=，sin y ρθ=代入22134x y +=得()()22cos sin 134ρθρθ+=, 即2222cos sin 134ρθρθ+=.3 坐标系与参数方程的最值问题（取值范围）的求解方法该题型是高考中的常考题型，在各类模拟试卷中也频繁出现，求解此类最值问题关键在于巧妙的构建不等关系，依据高中阶段建立不等关系的常用方法(利用三角函数有界性求取值范围，利用二次函数的单调性求最值，利用圆的几何对称性求最值)可分为三种类型求解. 3.1 应用曲线的参数方程进行三角代换求最值（取值范围）【例5】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为5cos ,(3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）.（I ）求过椭圆C 的右焦点，且与直线42,3x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数）平行的直线l 的普通方程；（II ）求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值. 【解析】（I ）由椭圆C 的参数方程5co s,(3s i nx y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）化为普通方程为221259x y +=，故椭圆C 的右焦点为(4,0). 直线42,3x t y t=-⎧⎨=-⎩ (t 为参数）化为普通方程为220x y -+=，因为直线l 过椭圆C 的右焦点，且与直线220x y -+=平行， 所以由直线的点斜式方程得1(4)2y x =-，故直线l 的方程为240x y --=. （II ）因为椭圆C 的参数方程为5cos ,(3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），不妨设(5cos ,3sin )A ϕϕ，则椭圆C 的内接矩形ABCD 面积15sin 2=45cos 3sin 430sin 230.2S ϕϕϕϕ⋅==≤ 故椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值为30.【评注】本题关键在于利用椭圆的参数方程将解析几何的最值问题转化为三角函数的最值问题进行求解，其中利用椭圆的内接矩形的对称性巧妙转化四个小矩形是本题的思维难点.本题第二问可推广为：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内接矩形的最大面积为2ab .【变式1】恒成立问题转化为求最值 已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点.（I ）求2x y +的取值范围；（II ）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（I ）将222x y y +=化为圆的标准方程得22(1)1x y +-=，其参数方程为cos ,1sin .x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），故(cos ,sin 1)P αα+，所以22cos sin 1x y αα+=++)1αϕ=++（tan 2ϕ=）,因为1sin()1αϕ-+≤≤，所以2x y +的取值范围为1⎡-⎣.（II ）0x y a ++≥恒成立等价于()a x y -+≥恒成立.()(cos sin 1)x y αα-+=-++π)14α=+-，所以()x y -+1，所以1a .【变式2】非特殊角求点 已知曲线1C 的参数方程为：4cos ,3sintx t y =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， 曲线2C 的参数方程为：8cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （I ）化曲线1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（II ）若1C 上的点P 对应的参数为π2t =，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值及此时Q 点坐标. 【解析】（I ）曲线1C 的普通方程为22(4)(3)1x y ++-=，它表示以点(4,3)-为圆心，1为半径的圆；曲线2C 的普通方程为221649x y +=， 它表示焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（II ）π2t =时，(4,4)P -，(8cos ,3sin )Q θθ，PQ 中点3(24cos ,2sin )2M θθ-++，直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为普通方程为270x y --=，故点M 到直线3C的距离3sin 13d θθ=--4cos 13θθ=-+)13θϕ=++(其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=-)， 故当sin(1θϕ)=-+时，即π2π2k θϕ+=-（k ∈Z ）时，d，此时π4cos cos(2π)=sin 25k θϕϕ=---=，π3sin sin(2π)=cos 25k θϕϕ=---=-， 从而当43cos ,sin 55θθ==-时，d，此时329(,)55Q -. 【例6】已知曲线C 的极坐标方程是2=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 321（t 为参数）.（I ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（II ）设曲线C 经过伸缩变换',1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线C '上任一点，求222x y +的最小值，并求相应点M 的坐标.【解析】（I ）因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 321（t 为参数），所以直线l 的普通20y --+=.曲线C 的直角坐标方程为224x y +=.（II ）由',1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得',2'x x y y =⎧⎨=⎩代入到224x y +=得曲线:C '22''14x y +=， 于是由点(,)M x y 在曲线C '上得2214x y +=，从而可设点(2cos ,sin )M αα，则222224cos sin 2sin x y αααα-+=-+π2cos(2)33α=++，故πcos(2)13α+=-时，即π22ππ3k α+=+时，222x y -+取得最小值1， 此时ππ3k α=+（k ∈Z ），则1cos 2α=，sin α=或1cos 2α=-，sin α=.所以当点M的坐标为(1,2或(1,)2--时，222x y -+取得最小值1. 【评注】坐标变换一直深受高三一线出卷老师的喜爱，试想在控制好试题难度的情况下增加题目的知识维度何乐而不为呢？求解此类问题时，只要我们能够正确的理解坐标变换的含义，问题自然会迎刃而解.【变式1】参数方程下的坐标变换已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标伸长到原来的22C .（I ）求曲线2C 的普通方程；（II ）已知点(1,1)B ，曲线2C 与x 轴负半轴交于点A ，点P 为曲线2C 上任意一点，求22PA PB -的最大值.【解析】（I ）因为曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），故曲线2C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的普通方程为22143x y +=. （II ）曲线2C 与x 轴负半轴交于点A ，故(2,0)A -，因为点P 为曲线2C 上任意一点，所以可设(2cos )P θθ，又因为点(1,1)B ，所以222222(2cos 2))(2cos 1)1)PA PB θθθθ-=++----12cos 2θθ=++)2θϕ=++，其中tan ϕ=故当sin()1θϕ+=时，22PA PB -取得最大值2.3.2 化归为二次函数，运用二次函数的特性求最值【例7】（2015·陕西高考卷）在平面直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为13,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 极坐标方程为ρθ=．（I ）写出圆C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【解析】（I）将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=，又222x y ρ=+，sin x ρθ=可得圆C的直角坐标方程为22x y +=，即22(3x y +-=.（II ）因为直线l的参数方程为13,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），不妨设1(3)2P t +，又C，则PC ==故当0t =时，PC 取最小值，此时P 点的直角坐标为30（,）. 【评注】题目中说P 为直线l 上一动点，动点从何而得？本题告诉我们一个重要的解题经验——需要动点坐标时我们可以向曲线的参数方程“借”.【变式1】抛物线相关的最值问题在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线N的极坐标方程为πsin()4ρθ+=（I ）求曲线N 直角坐标方程和曲线M 的直角坐标方程； （II ）求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离.【解析】（I ）由曲线M 的参数方程sin cos ,sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）得21y x +=，即21y x =-，考虑到πsin cos )4x θθθ=+=+,故x ⎡∈⎣，所以曲线M 的直角坐标方程为21y x =-，x ⎡∈⎣.由曲线N的极坐标方程sin()4πρθ+=N 直角坐标方程为20x y ++=.（II ）不妨设曲线M 上一点200(,1)P x x -，其中0x ⎡∈⎣，则点P 到曲线N的距离2013()x d ++==考虑到012x ⎡=-∈⎣，所以当012x =-时，min 8d =. 又易知曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离等于曲线M 上的点与曲线N 的距. 【评注】本题很容易忽视x ⎡∈⎣这一隐含条件，本题给了我们一个解题经验：与抛物线上的点相关的最值问题往往可转化为二次函数进行求解.【变式2】已知曲线1C 的参数方程为21,42x t y t =-⎧⎨=--⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线2C 的极坐标方程为21cos ρθ=-.（I ）求曲线2C 的直角坐标方程；（II ）设1M 为曲线1C 上的点，2M 为曲线2C 上的点，求12M M 的最小值. 【解析】（I ）因为曲线2C 的极坐标方程为21cos ρθ=-，所以cos 2ρρθ-=，即2cos ρρθ=+，所以22(2)x ρ=+，化简得2440y x --=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2440y x --=. （II ）因为21,42x t y t =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）所以曲线1C 的普通方程为240x y ++=.因为1M 为曲线1C 上的点，2M 为曲线2C 上的点，所以12M M 的最小值等于2M 到直线240x y ++=距离的最小值.设22(1,2)M t t -，则2M 到直线240x y ++=的距离d===，所以12M M的最小值为10.【变式3】由三角函数转化为二次函数求最值已知某圆的极坐标方程是2πcos()604ρθ--+=.（I）求圆的普通方程和参数方程；（II）已知圆上一动点(,)P x y，求xy的最大值和最小值.【解析】（I）由圆的极坐标方程2πcos()604ρθ--+=化为直角坐标方程可得224460x y x y+--+=，即22(2)(2)2x y-+-=.化为参数方程得2,2.xyαα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.（II）(2)(2)xyαα=+⋅+4sin cos2sin cosαααα++=+）,令πsin cos)4tααα=+=+，则t⎡∈⎣，22sin cos1tαα=-，所以23xy t=++2(1t=+，t⎡∈⎣.故当t=xy取得最小值1；当t=时，xy取得最大值9.【评注】第二问为什么会想到将此题化为二次函数求最值呢？事实上是因为“幂次”暴露了本题的求解思路，题目中的sin cosαα+是1次幂，而sin cosαα是2次幂，具有典型二次函数结构，本题也给我们提供了一条换元经验和一个解题技巧.换元经验：遇到含有sin cosαα±和sin cosαα的函数通常作如下换元：令sin costαα=±，则21sin cos2tαα-=±,t⎡∈⎣.解题技巧：三角函数求最值用什么方法，要看幂次说话，例如，2cos sin cosy x x x=+各项幂次均相同，可降幂结合引入辅助角公式化为三角函数最值问题，而2cos siny x x=+这类含有2次幂，1次幂的函数，则化为二次函数求最值.【变式4】设圆C的极坐标方程为2ρ=，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C上的一点(,)M m s作垂直于x轴的直线:l x m =，设l 与x 轴交于点N ，向量OQ OM ON =+．（I ）求动点Q 的轨迹方程；（II ）设点(1,0)R ，求RQ 的最小值．【解析】（I ）因为圆C 的极坐标方程为2ρ=，所以圆C 直角坐标方程为224x y +=.由已知可得(0)N m,，设()Q x,y ，则由OQ OM ON =+得2,,x m y s =⎧⎨=⎩故,2,x m s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩因为(,)M m s 在圆C 上，所以动点Q 的轨迹方程为221164x y +=. （II ）根据（I ）的结论，可设点Q 的坐标为(4cos ,2sin )αα，其中α为参数， 又点(1,0)R ，所以(4cos RQ ==13=.故RQ 的最小值为3. 3.3 运用圆的几何对称特性求取值范围【例8】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=.（I ）求曲线2C 的直角坐标方程；（II ）若,P Q 分别是曲线1C 和2C 上的任意一点，求PQ 的最小值.【解析】（I ）曲线2C 的极坐标方程cos ρθ=化为直角坐标方程得22x y x +=，即2211()24x y -+=. （II ）易知圆2211()24x y -+=的圆心21(,0)2C ，设(2cos )P αα，所以2PC ==== 所以当1cos 2α=时，2PC取得最小值，且2min 2PC =.故所求2min min12PQ PC r =-=. 【评注】本题不仅用到了前面提到二次函数求最值，而且还使用了几何对称思想，即利用圆的对称性求最值.运用圆的几何对称特性求取值范围时常用到以下结论：结论一：已知圆O 的半径为r ，圆O 上一点到与其相离的直线l 的距离为d ，圆心到该直线的距离为0d ，则max 0d d r =+，min 0d d r =-.结论二：已知圆O 的半径为r ，圆上一点到圆外一点A 的距离为d ，圆心到点A 的距离为0d ，则max 0d d r =+，min 0d d r =-.结论三：设圆A 上一点到圆B 上一点的距离为d ，两圆半径分别为12,r r ，两圆圆心之间的距离为0d ，若两圆相离，则max 012d d r r =++，min 012d d r r =--.【变式1】两圆上的点的最大、最小距离直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13c o s ,:4s i nx C y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为__________．【解析】由3co s ,4s i n x y θθ=+⎧⎨=+⎩得圆心为1C 1(3,4),1r =，由1ρ=得圆心为2C 2(0,0),1r =，故由平面几何知识知AB 的最小值为12||2C C-=2-523=-=.【例9】已知直线l的参数方程是,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【解析】（I ）因为圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由两角和差公式得ρθθ=，等式两边同时乘以ρ得2cos sin ρθθ=，将上式化为直角坐标方程得22x y +=-，所以圆C的直角坐标方程为22((122x y -++=， 所以圆心C的直角坐标为,)22-. （II ）直线l的参数方程是,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数）， 则直线l普通方程为0x y -+=.所以圆心C 到直线l的距离5d ==，所以直线l 上的点向圆C=【评注】圆的几何最值问题围绕“圆心”思考，往往会让问题柳暗花明.本题第二问直接求解很难入手，若考虑直线l 上的点到圆心的距离的最小值，则问题迎刃而解.【变式1】在极坐标系内，已知曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，以极点为原点，x 轴的正半轴为极轴，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为514,5183x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(I) 求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的普通方程；(II) 设点P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围.【解析】(I)曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，化为直角坐标方程为222440,x y x y +-++=即22(1)(2)1x y -++=.由曲线2C 的参数方程514,5183x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通方程为34150x y +-=.(II)由(I)可知曲线12,C C 分别为圆和直线.过曲线1C 的圆心(1,2)-作直线34150x y +-=的垂线，此时两切线所成角θ最大， 即cos θ最小，由点到直线距离公式可知4d ==，则1sin24θ=，所以27cos 12sin 28θθ=-=. 考虑到cos 1θ≤，且0θ≠，因此两条切线所成角的余弦值的取值范围为7,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭.4 直线的参数方程中参数t 的几何意义的应用在近几年的高三模拟试题中，大量涌现出对参数t 的几何意义的考查，试题花样也层出不穷，要想解好此类问题，关键在于要熟悉基本概念和此类问题的解题的程序.直线参数方程的定义：直线l 的参数方程为：00cos ,sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中α为直线l 的倾斜角，[)0,πα∈，直线l 必过定点()000,M x y .在直线的参数方程中，t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离.4.1 以定点为起点的线段的四则运算求值问题；【例10】 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,:2x C y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=.（I ）求圆C 的直角坐标方程；(II)设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.【解析】（I）由ρθ=得220,x y +-=即22( 5.x y +-=(II)将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3)()522-+=，即240,t -+=由于24420∆=-⨯=>，所以由韦达定理可得120t t +=>，1240t t ⋅=>，故120,0t t >>.又易知点P 在直线l 上，故由t的几何意义得：1212PA t t t P t B +==++=【评注】本题没有将直线的参数方程化为普通方程，而是从直线的参数方程的视角入手，保留直线的参数t 进行代数运算，这里采用的方法即是的几何意义的运用.使用此方法我们需要掌握以下知识点：已知直线l 经过定点()000,M x y ，直线l 与曲线C 相交于点1M ，2M 两点，若点1M ，2M 所对应的参数分别为1t ，2t ，则有：①弦长1212M M t t =-；②若定点()000,M x y 为弦12M M 的中点，则120t t +=； ③若弦12M M 的中点为M ，则点M 对应的参数122M t t t +=. 【变式1】运用参数t 几何意义求中点坐标在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2sin 10ρθ--=.设圆C 与直线l 相交于不同两点A ，B，且点(0,P .（I ）求线段AB 的中点M 的极坐标； (II)求PA PB +的值.【解析】（I ）由圆C的极坐标方程为2sin 10ρθ--=得2210x y +--= ①，将直线的参数方程代入①式可得2680t t -+=，由于2(6)4840∆=--⨯=>，所以由韦达定理得1260t t +=>，1280t t ⋅=>，所以120,0t t >>.所以线段AB 的中点M 对应的参数1232M t t t +==， 代入直线参数方程可得点M的直角坐标为3(22，故点M的极坐标为π)6. (II)考虑到点(0,P 在直线l 上，由参数t 的几何意义可知1PA t =，2PB t =，因为120,0t t >>，所以126PA PB t t +=+=.【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,2x t y =--⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A 、B 两点.（I ）求线段AB 的长度；(II) 极坐标系与直角坐标系xOy 中，取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，设点P的极坐标为3π)4，求点P 到线段AB 中点M 的距离. 【解析】（I ）将直线l的参数方程为2,2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）化为标准式得12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 得24100t t +-=， 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由韦达定理得124t t +=-，1210t t ⋅=-，所以12AB t t =-==(II) 点P的极坐标为3π)4化为直角坐标得(2,2)-，所以点P 在直线l 上，线段AB 中点M 的参数1222M t t t +==-，由参数t 的几何意义可知，点P 到线段AB 中点M 的距离为2M t =.【变式3】t 的几何意义与三角函数综合运用在直角坐标系xOy 中，l 是过定点(4,2)P 且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(I)写出直线l 的参数方程；并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；( II)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点,M N ，求PM PN +的取值范围． 【解析】(I)因为l 是过定点(4,2)P 且倾斜角为α的直线，所以直线l 的参数方程为4cos ,2sin .x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 因为曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即2240x y x +-=.( II)将直线l 的参数方程代入2240x y x +-=整理得24(sin cos )40,t t αα+++=则有2121216(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t αααα⎧∆=+->⎪+=-+⎨⎪⋅=⎩所以sin cos 0αα⋅>，又[)0,πα∈，所以π(0,)2α∈，所以可知10t <，20t <. 又点P 在直线l 上，所以1212π)4(sin cos )(()4PM PN t t t t ααα+=++=+=+=-.因为π(0,)2α∈，所以πsin()42α⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦，所以(PM PN +∈. 【例11】极坐标系与直角坐标系xOy 中，取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C的极坐标方程为28cos 1cos θρθ=-．（I ）求曲线C 的直角坐标方程；（II ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，与x 轴的交点为F ，求11AF BF+的值． 【解析】（I ）曲线C 的极坐标方程为28cos 1cos θρθ=-，所以2sin 8cos ρθθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程为28y x =.（II ）因为直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），易得直线l 与x 轴的交点为(2,0)F ，将直线l 的参数方程代入28y x =得22sin 8cos 160t t αα⋅-⋅-=,由韦达定理得1228cos sin t t αα+=，122160sin t t α⋅=-<， 所以由参数t 的几何意义可知1212121111t t AF BF t t t t -+=-==212sin α==.【评注】运用“直线参数t 的几何意义”这一解题方法时，往往需要韦达定理的辅助才能更好的进行运算.使用韦达定理时我们应熟练以下代数变形：（1）()()221212124x x x x x x -=+-；（2）12121211x x x x x x ++=；（3）21121211x x x x x x --==.4.2 参数t 【例12】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以错误！未找到引用源。
