下载文档原格式
《计数原理》授课班级：机电1103班 46人授课时间：2012年12月3日一、设计理念：1.1 职高数学教学的困难：进入职校的学生中，大部分是中考分流而来，数学基础参差不齐，学习数学的兴趣、信心、能力等都大不相同，如何在职高数学课堂教学中实施“有效教学”，满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备？1.2有效教学的界定：不同的教学观产生不同的有效教学观，从操作的层面把有效教学界定为：教师在达成教学目标、促进学生发展方面获得成功的教学行为．它包括教的有效性和学的有效性及其交互作用，就是说，有效的教学应能激发学生的兴趣与动机、促进学生的进步与发展，达成教学目标的高效率、优效果、强效益。
如何打造高效课堂，实现有效教学？国家数学新课程标准的实施，为职业高中数学课程改革指明了方向，尤其是其中“大众数学”、“数学的趣味性”和“数学的应用性”这三个教育理念应作为打造高效课堂，实施职高数学“有效教学”的主要基本理念。
二、教材分析:教材选自高等教育出版社中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》基础模块下册，第十章第一节第一课时。
两个计数原理是在大量实践基础上归纳出来的基本规律，它源于生活，融于专业，体现了数学的应用魅力。
计数原理可以帮助学生从简单数数提升到方法提炼，它是加法和乘法运算的推广，也是概率统计初步的基础，学生对这两个原理的理解，掌握和运用，成为学好本章的一个关键。
三、教学目标:1.知识目标：正确理解分类计数原理和分步计数原理；掌握计数原理基本方法。
2.能力目标：锻炼学生提炼数学信息的能力；提高学生会用计数原理解决一些简单的实际问题的能力。
3.情感目标：通过自主学习、合作学习，培养学生良好的学习品质；通过认识计数原理与生活和专业的内在联系，体会数学的应用美。
四、教学重难点:重点：运用两个计数原理解决实际问题。
难点：两个计数原理的区别。
关键点：正确辨别并准确进行分类分步。
五、学情分析:1.认知水平：已有生活经验使用计数原理，但缺少思维上升。
【课题】10．1 计数原理
【教学目标】
知识目标：掌握分类计数原理和分步计数原理． 能力目标：培养学生的观察、分析能力．
情感目标：让学生在数学学习中感悟生活，在轻松的氛围中获得知识。
【教学重点】掌握分类计数原理和分步计数原理． 【教学难点】区别与运用分类计数原理和分步计数原理． 【教学备品】教学课件． 【课时安排】1课时． 【教学过程】
n k +（种）上面的计数原理叫做分类计数原理
1
分类计数原理有些教科书上写作加法原则．
2本章中，袋子中的球除了颜色不同外，外形、重量等完全相同。
每个球都有编号，任意两个同色球都是不同的球。
k•（种）
n
分步计数原理
板书设计：
计数原理
一、n
k +（种）各类办法间相互独立
总结：一步到位，分类计数，类类相加 n k •（种）各类办法间相互依存
总结：分步完成，步步相乘
总结：分类和分步的区别：看是否能一步完成，能就是分类，需多步就是分步计数 【教学反思】
007
遥望远方，思绪蔓延。
妹妹，你在哪里啊？你在哪里？你可听到远方姐姐的呼唤！望断天涯，路漫漫，既已相遇，何忍分离。
计数原理说课稿尊敬各位专家，老师们大家好！今天我要说课的内容是《计数原理》。
我将从以下六个方面说课。
一、教材分析：1 教材地位和作用：本节是人教版基础模块下册第十章第一节。
两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律，它来源于生活服务于生活，体现了数学的魅力。
另一方面，两个计数原理也是学生学习第十章第二节概率初步的基础，因此，理解和掌握两个计数原理应该是最基本而重要的。
2教学目标计数原理共安排两课时，这是第一课时。
根据新课程标准，本节教材的地位和作用，以及学生的认知规律和实际情况，制定了如下教学目标。
知识与技能：通过实例归纳出分类计数原理和分步计数原理，能根据具体问题的特征选择恰当的原理解决一些简单的实际问题。
过程与方法：由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，学生体验到发现数学，运用数学的过程。
情感态度与价值观：体会知识来源生活，并为生活服务的道理，以此激发学生学习数学的兴趣。
体现数学实际应用和理论相结合的统一美。
3教学重点与难点根据对本节教材地位作用的认识，以及教学目标的确定，我确定了本节课的重点和难点。
重点：分类加法原理与分步乘法计数原理概念的推导及简单应用。
难点：正确运用分类加法原理与分步乘法计数原理。
二、学情分析：在目前学生如果遇到与计数有关问题，基本采用列举法，在初中概率学中也学过树状图，也可解决这种问题。
但当这个数很大时，列举法就很难实施。
另一方面，学生数学基础相对欠缺，学习兴趣不浓。
三、教法与学法分析：1 教学方法结合本节教材及学生的认知情况，本节课我采用了问题式、引导探究式为主的教学方法。
2 学法指导根据教材内容以及学情分析本节课主要教给学生“用眼看，用脑想，用手画，动口说，善提炼，勤专研”的问题式自主式学习方法。
3 教学辅助手段：为了提高课堂效率，，节省板书时间，充分利用多媒体教学。
四、教学环节：我设计了六个环节，依次计划用时7分钟，8分钟，7分钟，9分钟，,10分钟，, 2分钟共用时43分钟，留2分钟给学生消化课堂内容。
【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】用样本估计总体【教学目标】知识目标：(1)了解用样本的频率分布估计总体．(2)掌握用样本均值、方差和标准差估计总体的均值、方差和标准差．能力目标：培养学生认识世界、探索世界的辩证唯物观．【教学重点】计算样本均值、样本方差及样本标准差．【教学难点】列频率分布表，绘频率分布直方图．【教学设计】均值、方差和标准差是用来反映随机变量的统计规律的某些层面的数字指标即数字特征．用样本的数字特征去估计总体的数字特征是统计的重要思想方法．在教学中要向学生指出为什么要从总体中抽取样本．通过例题的教学，让学生体会用样本估计总体的思想．在教学中应向学生指出用样本估计总体的具体方法是：通过随机抽样，计算样本频率；利用样本频率估计总体概率．样本的容量越大，对总体的估计也就越精确．在制作一组数据的频率分布表时，决定组距与组数是关键，在一般情况下，数据越多，分组的组数也就越多．频率分布表和频率分布直方图是频率分布的两种不同的表示形式，前者准确，后者直观，两者放在一起，使我们对一组数据的频率分布情况了解得更清晰．均值反映了样本和总体的平均水平，方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度．方差和标准差在比较两组数据波动大小时，这两个量是等价的．标准差的优点是其度量单位与原数据的度量单位一致，有时比较方便．例2从选拔射击选手出发，巩固了均值的概念，使学生容易掌握均值的计算方法和明白均值的实际意义．特别应向学生强调说明均值的作用．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图10－4频率分布直方图的横轴表示数据分组情况，以组距为单位；纵轴表示频率与组距之比．因此，某一组距的频率数值上等于对应矩形的面积． 【想一想】各小矩形的面积之和应该等于1．为什么呢？【新知识】图10－4显示，日产量为344~346件的天数最多，其频率等于该矩形的面积，即31333.03111.0≈=⨯． 根据样本的数据，可以推测，去年的生产这种零件情况：去年约有31的天数日产量为344~346件．频率分布直方图可以直观地反映样本数据的分布情况．由此可以推断和估计总体中某事件发生的概率．样本选择得恰当，这种估计是比较可信的．如上所述，用样本的频率分布估计总体的步骤为： (1) 选择恰当的抽样方法得到样本数据；(2) 计算数据最大值和最小值、确定组距和组数，确定分点并列出频率分布表；(3) 绘制频率分布直方图；(4) 观察频率分布表与频率分布直方图，根据样本的频率分布，估计总体中某事件发生的概率．【软件链接】利用与教材配套的软件（也可以使用其他软件），可以方便的绘制样本数据的频率分布直方图，如图10－5所示．图10−5*运用知识强化练习)n x +均值反映出名学生，一次数学测验的成绩分别为： n x ，，，那么)n x +(n x+-+-(6377.73)+-(8677.73)班的考试成绩比B班的波动小，因此班同学的学习成绩更稳定，总体看比B班的成绩好．x(+-n③ 依次按键：SHIFT 、 1 ，然后按键4 ，最后依次按键4 、 =，显示样本标准差为：s =8. 6． （4）在显示样本标准差的基础上，依次按键：2x 、 ＝ ，显示样本方差为：3.732s ．【软件链接】(1) 依次输入数据(如图10－6)．图10－6（2）如图10－7所示，求样本均值时，在数据空白单元格(如C6)内输入“样本均值”，在“样本均值”右侧空单元格(如D6)内输入“=AVERAGE （A1：A10）”，按回车键；求样本方差时，在数据空白单元格(如C7)内输入“样本方差”，在“样本方差”右侧空单元格(如D7)内输入“=VAR （A1：A10）”，按回车键；求样本标准差时，在数据空白单元格(如C8)内输入“样本标准差”，在“样本标准差”右侧空单元格(如D8)内输入“=SQRT （D7）”，按回车键．图10－7【教师教学后记】。
《计数原理》（教学设计）《计数原理》教学设计基于物联网的智慧教室，它包括了活动的连体课桌椅、平板电脑、灵活切换的双屏投影设备；超星学习通平台、APP；任务驱动视频、微课视频；可操作的Storyline课后作业资源包。
智慧教室学习通平台+APP 课中微课视频课后微课视频任务驱动视频StoryLine作业资源包7.教法学法教法：运用了创设情境和问题引导教学法，秉承着以学生为主体、教师为主导、项目为主线的原则，并充分运用信息化手段辅助。
学法：采用了任务驱动法、合作学习法和归纳学习法，最大限度地发挥学生主体地位。
8.教学流程1.教师在“学习通”平台上创建班级，邀请学生加入，并发布通知，内容为：下周，全班同学将去A市地铁公司下属的地铁站见习，由老师带领学生统一出发。
路线如下：由于需要制定计划，现请同学们查询整个出行过程共有几种不同的方法。
2.根据学生讨论中存在的困惑，提出以下两个问题：（1）调查由本市到A市火车站有几种出行方式（自驾除外）？每种出行方式有几个班次？（2）调查由某酒店到A市地铁公司有几种不同的出行方式？根据课前任务导入：昨晚我已将任务发到学习通上，请同学们帮忙查询出行方式。
接下来我在学习通平台上抽一位同学，来分享一下他的查询结果。
那么，我们一共有几种不同的方法呢？引出分类计数原理的概念：一般地，完成一件事有，有n类方式。
第1类有k1种方法，第2类有k2种方法，⋯，第n类有k n种方法，那么完成这件事的方法共有N=k1+k2+⋯+k n（种），这个计数原理叫做分类计数原理，又叫做加法原理。
特点：各个方法相互独立，一步到位，用加法。
13minDAY 2：学生由某酒店到A市地铁公司。
经调查，线路如下：那么，从酒店到地铁公司总共有几种不同的出行方式呢？我请同学分享一下昨晚的查询结果。
教师：放映PPT，选学生分享昨晚的查询结果，并将答案填入幻灯片中。
学生：回答问题并思考总共有多少种不同方案。
让学生呈现昨晚的调查结果，是对课前任务的一种反馈，同时，由学生来汇报可增加真实感。
10.1 《计数原理》教学反思本节课是高教版基础模块下册第10章概率与统计初步10.1计数原理，“分类加法计数原理与分步乘法计数原理”是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决.这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终.学生在初中学过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”.所以这节课我主要是教会学生归纳、总结出加法原理，类比得到乘法原理.知识内容由浅入深、螺旋上升.整节课围绕着“什么事——怎么做——怎么算”这条主线来突破教学难点.而在教学设计上又有不同的侧重点，因为加法计数原理计算比较容易掌握，所以我把侧重点放在“怎么做上”.而在乘法计数原理教学中，因为有了理解加法原理的基础，所以我把侧重点放在“怎么算”上.用例题的变式推广到一般情况和简单的综合运用，最后让学生准确运用两个原理.现将我在这节课备课过程中的一些尝试和课后反思进行总结.一、情境引入的尝试和反思1.情境引入的尝试自我认为很贴近学生生活的情境引入，在不断的修改和反思中，发现了其中的不足.我设计第一个问题的初衷是让学生初步了解分类加法计数原理，即完成一件事，可以分为两类.但在第一个问题中并没有体现这点，因为教室从一楼到二楼只有一种方式到达，也就是步行楼梯，只不过是有多少处楼梯的问题，并没有体现出完成一件事情，可以有两类不同的途径.而我设计第二个问题的初衷是使学生初步了解分步乘法计数原理，即完成一件事情，需要两个步骤.但在第二个问题中，从一楼到五楼需要的是4个步骤，显然不能帮助学生很好地突破概念学习难点.2.情境引入的修改情境引入是数学教学的重要环节，引用的例子应是学生熟悉的、急着去解决的实际问题案例，最好是利用课本的例子.因此我以“学生到阶梯教室上课，不好找位置”作为切入点.解决的最好办法就是给座位编号.接着提出两个问题.问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题2：用前6个大写英文字母和1到9九个阿拉伯数字，以A1、A2、B1、B2……的方式给教室座位编号，总共能编出多少种不同的号码？这两个问题实际上都是一些计数问题，都是计算完成一件事共有多少种不同的方法数.我们今天将要学习的分类计数原理和分步计数原理就是为了解决这类问题的.计算完成一件事共有多少种不同方法，我们应该怎样做呢？(启发学生思考)这就好比我要你去完成一件事，你首先想到的是什么？(什么事)然后想到的又是什么呢？(怎样做)在分析的过程中我们才知道怎样完成这件事，然后才是计算完成它的所有方法数(怎么算).今天，我们的学习将从这三方面去展开.(板书：1.什么事；2.怎么做；3.怎么算)这样设计的目的是紧紧围绕两个计数原理的定义展开，简单直接，明暗线分明、主线突出.3.情境引入的反思情境引入紧绕学习内容，目的性很强，但并不是十分贴切学生生活，只是从学生找位置有点手忙脚乱来要求学生给座位编号.如果是在教室上课，就不存在学生找不到位置的问题，而学生给座位编号的方式会有很多种.问题1、2的设计显得牵强，因为一个班学生人数50人，但对于问题1而言，最多可编号36个，显然问题1在设计上还可以更好.二、类比教学的尝试和反思1.类比教学的尝试类比教学在本节课教学上特别突出，我认为这节课有两个地方要用类比思想.一是由加法原理的两类方式类比到n类方式和乘法原理两个步骤类比到n个步骤；二是从加法原理类比到乘法原理.因此我在教学上设计了以下两道题目.题目1：书架的第1层放有5本不同的语文书，第2层放有4本不同的数学书.从书架的第一层或第二层上任取1本书，有多少种不同的取法？题目2：书架的第1层放有5本不同的语文书，第2层放有4本不同的数学书.第三层放有3本英语书，从书架的第一层或第二层或第三层上任取1本书，有多少种不同的取法？在这两道题目的基础上，推广到n类方式，然后再类比学习乘法原理及其推广，学生比较容易接受.2.类比教学的修改我在磨课过程发现，虽然类比教学设计上不错，但出现时间不够，内容安排重复、啰嗦的不足.因此我进行了修改，先学习分类加法计数原理，再类比学习分步乘法计数原理，最后通过一道课本例题“书架的第1层放有5本不同的语文书，第2层放有4本不同的数学书.第三层放有3本英语书，(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架的每层各取1本书，有多少种不同的取法？”将两个原理进行推广.3.类比教学的反思课后与一些教师进行交流时，他们提到类比教学对解决这两个原理起到了很好的作用，但也限制了学生思维的发展，相当于是学生模仿分类加法计数原理定义来套出分步乘法计数原理，这样没有真正引导学生探究出定义并理解乘法原理.如何真正将类比教学和学生思维充分发展结合是下一步教学改进的重点.三、例题选择的尝试和反思1.例题选择的尝试例题的选择是一节课内容的提升，在学习了两个计数原理定义后，我安排了这道课本例题：书架的第1层放有5本不同的语文书，第2层放有4本不同的数学书，(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架的每层各取1本书，有多少种不同的取法？这道例题起到了巩固知识的作用，而且难度不大，学生很好掌握.2.例题选择的修改这道例题安排上没什么问题，但是没有体现出学生是否真正掌握知识点并从例题中提升能力，所以我把这例题删掉，改为让学生结合生活实际情况，举出加法、乘法计数原理的例子.这样更贴近学生生活，更能发展学生的思维，更能体现学生对知识的掌握情况.最后再把这道例题进行改编，将加法、乘法计数原理结合运用，先分类再分步，这样学生能力就能得到真正的提升.3.例题选择的反思让学生举出生活中加法、乘法计数原理的例子，学生不可避免地举出一些不符合要求的例子，教师该怎么样来把控？如何引导？该不该解析一些根本就不着边际的例子？值得我认真思考.以上是我对这节课教学的一些想法，仅供各位同行参考与借鉴.。
专题10.1 计数原理【考纲要求】1. 理解分步计数原理和分类计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的实际问题．2.了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题．3．了解组合数的性质．【考向预测】1. 计数原理的应用2. 排列数的应用3. 组合数的应用【知识清单】1. 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋m n__种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1·m2·…·m n__种不同的方法．重要结论分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2.排列与排列数(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A m n__表示．(3)排列数公式：A m n＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝__1__．3.组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C m n__表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，这里规定Cn＝__1__．(4)组合数的性质：①C m n＝__C n－mn __；②C m n＋1＝__C m n__＋__C m－1n__．重要结论对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．【考点分类剖析】考点一计数原理例1．6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为()A．70B．60C．50D．40例2．要将甲、乙、丙、丁4名同学分别到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为__ __．(用数字作答)例3(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有__ __种不同的报名方法．【变式探究】1.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__ __种(用数字作答)．2.某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有()A．320种B．360种C．370种D．390种考点二两个计数原理的综合应用例1．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有()A．512B．192C．240D．108例2．将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有()A．48种B．72种C．96种D．108种【变式探究】1.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A．24种B．48种C．72种D．96种2.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2 019大的有()个()A．10B．11C．12D．13考点三排列问题——自主练透例1.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__ __(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__ __(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__ __(4)全体排成一排，女生必须站在一起；__ __(5)全体排成一排，男生互不相邻；__ __(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__ __(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__ _(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__ _【变式探究】1. 某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有__ __种不同的调度方法．(用数字填写答案)2.2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为()A．36种B．48种C．56种D．72种考点四组合问题——师生共研例1.从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85B．49C．56D．28例2.福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有()A．15种B．18种C．20种D．22种【变式探究】我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为()A．30B．60C．90D．120考点五排列、组合的综合应用例1.(1)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有__ __种．(2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是()A．16B．24C．8D．12例2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．48B．72C．90D．96例3.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__ __②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__ __③平均分成三份，每份2本；__ __④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；__ _；⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；__ __⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；__ __⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．_ __【变式探究】1. 某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有__ __种．2.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() A．36种B．42种C．48种D．60种3.为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有__ __种．专题10.1 计数原理【考纲要求】1. 理解分步计数原理和分类计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的实际问题．2.了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题．3．了解组合数的性质．【考向预测】1. 计数原理的应用2. 排列数的应用3. 组合数的应用【知识清单】1. 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋m n__种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1·m2·…·m n__种不同的方法．重要结论分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2.排列与排列数(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A m n__表示．(3)排列数公式：A m n＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝__1__．3.组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C m n__表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，这里规定Cn＝__1__．(4)组合数的性质：①C m n＝__C n－mn __；②C m n＋1＝__C m n__＋__C m－1n__．重要结论对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．【考点分类剖析】考点一计数原理例1．6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为(C) A．70B．60C．50D．40[解析]C46＋C36＋C26＝50或C46·A22＋C36＝50．故选C．例2．要将甲、乙、丙、丁4名同学分别到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为__12__．(用数字作答)[解析]由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A，有6种；第二类，甲单独在A，则两人在B有C23＝3种或两人在C有C23＝3种，共有6种，共12种．例3(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(B)A．24B．18C．12D．9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有__120__种不同的报名方法．[解析](1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．【变式探究】1.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__36__种(用数字作答)．2.某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有(B)A．320种B．360种C．370种D．390种[解析] 1.第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．2.第一步安排周五2名，有C26＝15(种)方法；第二步安排周一至周四，有A44＝24(种)方法，故不同的安排方法共有15×24＝360种，故选B．考点二两个计数原理的综合应用例1．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有( D )A ．512B ．192C ．240D ．108[解析] 能被5整除的四位数末位是0或5的数，因此分两类，第一类，末位为0时，其它三位从剩下的数中任意排3个即可，有A 35＝ 60个，第二类，末位为5时，首位不能排0，则首位只能从1,2,3,4选1个，第二位和第三位从剩下的4个数中任选2个即可，有A 14·A 24＝ 48个，根据分类计数原理得可以组成60＋48 ＝108个不同的能被5整除的四位数，故选D ．例2．将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有( B )A ．48种B ．72种C ．96种D ．108种[解析]如图四棱柱P －ABCD ，涂P 有4种方法⇒涂A 有3种方法⇒涂B 有2种方法⇒涂C ⎩⎪⎨⎪⎧ C 与A 同色有1种方法C 与A 不同色有1种方法⇒涂D ⎩⎪⎨⎪⎧有2种方法有1种方法，则不同的涂法共有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种，故选B ． 【变式探究】1.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( C )A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种2.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2 019大的有()个(B)A．10B．11C．12D．13考点三排列问题——自主练透例1.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__2_520__(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__5_040__(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__3_600__(4)全体排成一排，女生必须站在一起；__576__(5)全体排成一排，男生互不相邻；__1_440__(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__720__(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__2_520__(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__3_720__ [解析](1)从7个人中选5个人来排，是排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A37种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A37·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3 600种．解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A26种方法，中间5个位置由余下5人进行全排列，有A55种方法，共有A26×A55＝3 600种．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1 440种．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A35种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法．故共有A22·A35·A33＝720种．(7)消序法：A772！＝2 520．(8)间接法：A77－2A67＋A55＝3 720．位置分析法：分甲在右端与不在右端两类．甲在右端的排法有A66(种)排法，甲不在右端的排法有5×5A55(种)排法，∴共有A66＋25A55＝3 720(种)．【变式探究】1.某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有__72__种不同的调度方法．(用数字填写答案)2.2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为(D)A．36种B．48种C．56种D．72种[解析](1)C24C24A22＝72．或C24·A442＝72(2)①领导和队长站在两端，有A22＝2种情况，②中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，有A22A33＝12种安排方法，若BC相邻且不与D相邻，有A22A22A23＝24种安排方法，则中间5人有12＋24＝36种安排方法，则有2×36＝72种不同的安排方法；故选D．考点四组合问题——师生共研例1.从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(B)A．85B．49C．56D．28[解析]∵丙没有入选，∴可把丙去掉，总人数变为9个．∵甲、乙至少有1人入选，∴可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有C12·C27＝42(种)，另一类是甲、乙都入选的选法有C22·C17＝7(种)，根据分类加法计数原理知共有42＋7＝49(种)．例2.福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有(D)A．15种B．18种C．20种D．22种[解析]先从两个不同的地点选出一地点分配A，B两人，有C12＝2(种)情况，再将剩余4人分入两地有三种情况，4人都去A，B外的另一地点，有1种情况；有3人去A，B外的另一地点，有C34＝4(种)情况；有2人去A，B外的另一地点，有C24＝6(种)情况．综上，共有2×(1＋4＋6)＝22(种)，故选D．【变式探究】我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为(D)A．30B．60C．90D．120[解析](1)问题等价于将这3盏关着的灯插入4盏亮着的灯形成的5个空档中，所以关灯方案共有C35＝10种．(2)有两种情况，①一艘航母配2艘驱逐舰和1艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱逐舰和2艘核潜艇，②一艘航母配2艘驱逐舰和2艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱逐舰和1艘核潜艇，C12·(C25C13＋C25C23)＝120，故选D．考点五排列、组合的综合应用例1.(1)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有__120__种．(2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(A)A．16B．24C．8D．12[解析](1)①当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有A44×A22＝48种；②当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×A33×A22＝36种；③当甲在第三位，前两位分为是丙、丁和不是丙、丁两种情况，共A22×A23＋A23×A22×A22＝36种，因此共48＋36＋36＝120种．(2)根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16，故选A．例2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(D)A．48B．72C．90D．96[解析]由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．①当甲参加另外3场竞赛时，共有C13·A34＝72(种)选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A44＝24(种)选择方案．综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．例3.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__60__②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__360__③平均分成三份，每份2本；__15__④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；__90__；⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；__15__⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；__90__ ⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．__30__ [解析](1)①C 16C 25C 33＝60；②C 16C 25C 33A 33＝360；③C 26C 24C 22A 33＝15；④C 26C 24C 22＝90；⑤C 26＝15；⑥C 46A 33＝90； ⑦C 16C 15C 44＝30．【变式探究】1.某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有__16__种． 2.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B ) A ．36种 B ．42种 C ．48种D ．60种3.为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有__150__种．[解析] (1)先排男生甲有C 14种方法，再排男生乙有C 12种方法，最后排两女生有A 22种方法，故共有C 14C 12A 22＝16种方法．另解(间接法)：农场主人在中间共有A 44＝24种站法，农场主人在中间，两名男生相邻共有2A 22·A 22＝8种站法，故所求站法共有24－8＝16种．(2)根据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种情况讨论： ①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有A 44＝24种不同的排法；②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时共有3A 33＝18种不同的排法，由分类加法计数原理，可得共有24＋18＝42种不同的排法，故选B ． (3)5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则有两种情况，①将5名专家分成三组，一组3人，另两组都是1人，有C 35＝10种方法，再将3组分到3个医院，共有10·A 33＝60种不同的分配方案，②将5名专家分成三组，一组1人，另两组都是2人，有C 15·C 24A 22＝15种方法，再将3组分到3个医院，共有15·A 33＝90种不同的分配方案，根据分类加法计算原理可得一共有60＋90＝150种不同的分配方案．。
专题10.1 计数原理1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A ．7种B ．8种C ．6种D ．9种2．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有( )种A ．25B ．52C ．35D ．533．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方案有( )A ．8B ．15C ．125D ．2434. 1.A 67－A 56A 45等于( ) A ．12B ．24C ．30D ．365．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种6．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有多少种( )A ．144B ．90C ．260D ．1207．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)8．若C 8n ＝C 2n ，则n ＝( )A．2 B．8C．10 D．128. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有()A．(C126)2A410个B．A226A410个C．(C126)2104个D．A226104个9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是()A．C16C294B．C16C299C．C3100－C394D．A3100－A39410.某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同选法？1．用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．2792.某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有()A．510种B．105种C．50种D．以上都不对3．用数字1,2,3组成三位数．(1)假如数字可以重复，共可组成____________个三位数；(2)其中数字不重复的三位数共有____________个；(3)其中必须有重复数字的有____________个．4．若A n10－A n9＝n！·126(n∈N＋)，则n等于()A．4 B．5C．6 D．5或65．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有()种A．720 B．360C．240 D．1206．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种7．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A258．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种9. 有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种．10．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法；(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？11．有五张卡片，正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起，共可组成多少个不同的三位数？12.．某校为庆祝2015年教师节，安排了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节目，按下面要求安排节目单，有多少种方法：(1)3个舞蹈节目互不相邻；(2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间．1.（2020年河北对口高考）某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有( )A.20种B.40种C.60种D.80种2.（2020年河北对口高考）某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有种.3.（2019年河北对口高考）北京至雄安将开通高铁，共设有6 个高铁站（包含北京站和雄安站），则需设计不同车票的种类有（）A.12 种B.15 种C.20 种D.30 种4.（2019年河北对口高考）某学校参加2019 北京世界园艺博览会志愿活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中2名女生2名男生的选法有种.5.（2018年河北对口高考）某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为2组进行对抗赛，每组二名队员，分配方案共有（）种A、2B、3C、6D、126.（2017年河北对口高考）从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（）A．81种B．64种C．24种D．4种7.（2017年河北对口高考）为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人. 问：（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？（3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？8. （2016年河北对口高考）某生态园有4个出入口，若某游客从任一出入口进入，并且从另外3个出入口之一走出，进出方案的种数为（）A．4 B．7 C．10 D．129.（2016年河北对口高考）从5,4,3,2,1中任选三个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率是．10.（2015年河北对口高考）从6名学生中选出2名学生担任数学，物理课代表的选法有（）A.10种B.15种C.30种D.45种11.（2015年河北对口高考）从数字1,2,3,4,5中任取三个不同的数，可以作为直角三角形三条边的概率是__________.专题10.1 计数原理1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( A )A ．7种B ．8种C ．6种D ．9种[解析] 要完成的“一件事”是“至少买一张IC 电话卡”，分3类完成：买1张IC 卡、买2张IC 卡、买3张IC 卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，买2张IC 卡有3种方法，买3张IC 卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．2．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有( )种A ．25B ．52C ．35D ．53 [答案] C3．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方案有( )A ．8B ．15C ．125D ．243[答案] D4. 1.A 67－A 56A 45等于( ) A ．12B ．24C ．30D ．36 [答案] D [解析] A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36. 5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C．240种D．288种[答案]B[解析]分两类：最左端排甲有A55＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有A14A44＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．6．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有多少种()A．144 B．90C．260 D．120[答案]A[解析]3名女生先排好，有A33种排法，让3个男生去插空，有A34种方法，故共有A33·A34＝144种．故选A.7．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)[答案] 1 560[解析]同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560条毕业留言．8．若C8n＝C2n，则n＝()A．2 B．8C．10 D．12[答案]C[解析]由组合数的性质可知n＝8＋2＝10.8. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有()A．(C126)2A410个B．A226A410个C．(C126)2104个D．A226104个[答案]A[解析]∵前两位英文字母可以重复，∴有(C126)2种排法，又∵后四位数字互不相同，∴有A410种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(C126)2A410个．9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是()A．C16C294B．C16C299C．C3100－C394D．A3100－A394[答案]C[解析]从100件产品中抽取3件的取法数为C3100，其中全为正品的取法数为C394，∴共有不同取法为C3100－C394.故选C.10.某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同选法？[解析]只会唱歌的有10人，只会跳舞的有6人，既会唱歌又会跳舞的有4人．这样就可以分成四类完成：第一类：从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×6＝60(种)；第二类：从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×4＝40(种)；第三类：从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得6×4＝24(种)；第四类：从既会唱歌又会跳舞的人中选2人，有6种方法．根据分类加法计数原理，得出会唱歌与会跳舞的各选1人的选法共有60＋40＋24＋6＝130(种)．1．用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279[答案]B[解析]用0,1，…，9十个数字，可以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.2.某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有()A．510种B．105种C．50种D．以上都不对[答案]A[解析]任何一个乘客可以在任一车站下车，且相互独立，所以每一个乘客下车的方法都有5种，由分步计数原理知N＝510.故选A.3．用数字1,2,3组成三位数．(1)假如数字可以重复，共可组成____________个三位数；(2)其中数字不重复的三位数共有____________个；(3)其中必须有重复数字的有____________个．[答案](1)27(2)6(3)21[解析](1)排成数字允许重复的三位数，个位、十位、百位都有3种排法，∴N＝33＝27(个)．(2)当数字不重复时，百位排法有3种，十位排法有两种，个位只有一种排法，∴N＝3×2×1＝6(个)(也可先排个位或十位)．(3)当三数必须有重复数字时分成两类：三个数字相同，有3种，只有两个数字相同，有3×3×2＝18(个)，∴N＝3＋18＝21(个)．4．若A n10－A n9＝n！·126(n∈N＋)，则n等于()A．4 B．5C．6 D．5或6[答案]D[解析]本题不易直接求解，可考虑用代入验证法．故选D.5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有()种()A．720 B．360C．240 D．120[答案]C[解析]因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A55种排法，但甲、乙两人有A22种排法，由分步计数原理可知：共有A55·A22＝240种不同的排法．故选C.6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种[答案]D[解析]本题考查了排列与组合的相关知识.4个数和为偶数，可分为三类．四个奇数C45，四个偶数C44，二奇二偶，C25C24.共有C45＋C44＋C25C24＝66种不同取法．分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛．7．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25[答案]C[解析]第一步从后排8人中抽2人有C28种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有A26种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有C28A26种排法．8．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种[答案]C[解析]本题考查了分步计数原理和组合的运算，从6名男医生中选2人有C26＝15种选法，从5名女医生选1人有C15＝5种选法，所以由分步乘法计数原理可知共有15×5＝75种不同的选法．9. 有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种．[答案]15[解析]C23·C12＋C13·C12＋C23＝15种．10．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法；(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？[解析](1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝C49＝126(种)；(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法，∴共有C12·C47＝70种取法．11．有五张卡片，正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起，共可组成多少个不同的三位数？[解析]解法1：从0和1两个特殊值考虑，可分三类：第一类，取0不取1，可先从另四张卡片中任选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，因此可组成不同的三位数C14·C12·C13·22个．第二类：取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C2422A33个．第三类：0和1都不取，有不同的三位数C3423A33个．综上所述，不同的三位数共有C14C12C1322＋C2422A33＋C3423A33＝432(个)．解法2：任取三张卡片可以组成不同的三位数C3523A33(个)，其中0在百位的有C2422A22(个)，这是不合题意的，故不同的三位数共有C3523A33－C2422A22＝432(个)．12.．某校为庆祝2015年教师节，安排了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节目，按下面要求安排节目单，有多少种方法：(1)3个舞蹈节目互不相邻；(2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间．[解析](1)先安排4个小品节目，有A44种排法，4个小品节目中和两头共5个空，将3个舞蹈节目插入这5个空中，共有A35种排法，∴共有A44·A35＝1 440(种)排法．(2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间，故小品只能排在1,3,5,7位，舞蹈排在2,4,6位，安排时可分步进行．解法1：先安排4个小品节目在1,3,5,7位，共A44种排法；再安排舞蹈节目在2,4,6位，有A33种排法，故共有A44·A33＝144(种)排法．解法2：先安排3个舞蹈节目在2,4,6位，有A33种排法；再安排4个小品节目在1,3,5,7位，共A44种排法，故共有A33·A44＝144(种)排法．1.（2020年河北对口高考）某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有( )A.20种 B.40种 C.60种 D.80种【答案】D2.（2020年河北对口高考）某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有种.【答案】144003.（2019年河北对口高考）北京至雄安将开通高铁，共设有6 个高铁站（包含北京站和雄安站），则需设计不同车票的种类有（）A.12 种B.15 种C.20 种D.30 种【答案】D4.（2019年河北对口高考）某学校参加2019 北京世界园艺博览会志愿活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中2名女生2名男生的选法有种.【答案】305.（2018年河北对口高考）某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为2组进行对抗赛，每组二名队员，分配方案共有（）种A、2B、3C、6D、12【答案】B6.（2017年河北对口高考）从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（）A．81种B．64种C．24种D．4种【答案】C7.（2017年河北对口高考）为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人. 问：（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？（3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？解：（1）甲、乙必须去，但丙不去的选派方案的种数为2454240C P=（2）甲去，乙、丙不去的选派方案的种数为3454240C P=（3）甲、乙、丙都不去的选派方案的种数为4454240C P=8. （2016年河北对口高考）某生态园有4个出入口，若某游客从任一出入口进入，并且从另外3个出入口之一走出，进出方案的种数为（）A．4 B．7 C．10 D．12【答案】D9.（2016年河北对口高考）从5,4,3,2,1中任选三个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率是．【答案】2 510.（2015年河北对口高考）从6名学生中选出2名学生担任数学，物理课代表的选法有（）A.10种B.15种C.30种D.45种【答案】C11.（2015年河北对口高考）从数字1,2,3,4,5中任取三个不同的数，可以作为直角三角形三条边的概率是__________.【答案】1 10。
2024年中职数学101计数原理课件一、教学内容本节课选自中等职业学校数学教材《数学101：计数原理》第二章。
详细内容包括：理解排列组合基本概念，掌握排列组合的计算方法，以及运用排列组合解决实际问题。
二、教学目标1. 理解并掌握排列组合的定义及计算公式。
2. 能够运用排列组合知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。
三、教学难点与重点重点：排列组合的定义及计算公式。
难点：如何将实际问题转化为排列组合问题，以及如何选择合适的计算公式。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、练习本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示实际生活中的例子，如密码锁的设置、服装搭配等，引导学生发现其中的排列组合问题。
2. 排列组合基本概念（10分钟）详细讲解排列和组合的定义，以及排列组合的计算公式。
3. 例题讲解（15分钟）选取典型例题，逐步引导学生运用排列组合知识解决问题。
4. 随堂练习（10分钟）设计针对性练习，让学生巩固所学知识。
5. 知识拓展（5分钟）引导学生思考排列组合在其他领域的应用，如计算机编程、密码学等。
六、板书设计1. 2024年中职数学101计数原理2. 内容：排列定义组合定义排列计算公式组合计算公式例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）计算从A、B、C、D四个字母中，任取3个字母的所有排列。
（2）计算从A、B、C、D四个字母中，任取3个字母的所有组合。
2. 答案：（1）$4 \times 3 \times 2 = 24$种排列（2）$C_4^3 = \frac{4!}{3!(43)!} = 4$种组合（3）$C_5^3 = \frac{5!}{3!(53)!} = 10$种组合方式八、课后反思及拓展延伸本节课通过实际情景引入，让学生了解了排列组合在生活中的应用。
通过例题讲解和随堂练习，学生掌握了排列组合的基本概念和计算方法。
第十编计数原理§10.1两个基本计数原理基础自测1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有__________种.2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有种.3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法.4.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有种.5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?例3现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？一、填空题1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.2.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.2 3 m3.从集合{1，，，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有 __个.4.如图所示，用五种不同的颜色分别给 A 、B 、C 、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种.5.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有种.6.（2008·全国Ⅰ文）将 1，2，3 填入 3×3 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有种.7.在 2008 年奥运选手选拔赛上，8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在 1、2、3、4、5、 6、7、8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有种.8.若一个 m ,n 均为非负整数的有序数对（m ,n )，在做 m +n 的加法时各位均不会进位，则称（m ,n )为“简单的”有序数对， +n 称为有序数对（m ,n )的值，那么值为 1 942 的“简单的”有序数对的个数是 .二、解答题9.（1）4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ （2）4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？10.用 5 种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区 域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？11.在平面直角坐标系内，点 P （a ，b ）的坐标满足 a ≠b ,且 a ,b 都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点 P到原点的距离|OP |≥5.求这样的点 P 的个数.12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？§10.2排列与组合基础自测1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有个.2.（2008·福建理）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案共有种.3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有种.（用式子表示）4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是（用式子表示）.5.（2007·天津理）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.例2男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3125的数.2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.一、填空题1.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个.2.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有种.3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有种.4.在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读（不能跳读），共有种不同的读法.5.(2008·天津理)有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有种.6.（2008·安徽理）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（用式子表示）.7.平面α内有四个点，平面β内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定个平面，任取四点，最多可确定个四面体.（用数字作答）8.（2008·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻.这样的六位数的个数是.（用数字作答）二、解答题9.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？10.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.nnr3 x )12 展开式中的常数项为11.已知平面 α ∥ β ，在 α 内有 4 个点，在 β 内有 6 个点.（1）过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个不同平面？ （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ （3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？12.有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并 且这 2 人不左右相邻，共有多少种不同排法？§10.3 二项式定理基础自测1.在（1+x ）n (n ∈N *)的二项展开式中，若只有 x 5 的系数最大，则 n =.12.在（a 2-2a 3 ）n 的展开式中，则下列说法错误的有 个.①没有常数项②当且仅当 n =2 时，展开式中有常数项③当且仅当 n =5 时，展开式中有常数项④当 n =5k (k ∈N *)时，展开式中有常数项3.若多项式 C 0 (x +1）n -C 1 (x +1)n -1+…+(-1)r C n (x +1)n -r +…+(-1)n C n =a 0x n +a 1x n -1+…+a n -1x +a n ,则 a 0+a 1+…+a n -1+a n =.4.（2008·山东理）(x - 1.5.（2008·福建理，13）若(x -2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= .（用数字作答）例 1 在二项式( x +最大的项.1 24 x)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数例 2 已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7.求:(1)a 1+a 2+…+a 7;(2)a 1+a 3+a 5+a 7;(3)a 0+a 2+a 4+a 6;(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.例 3（1）已知 n ∈N *,求证：1+2+22+23+…+25n -1 能被 31 整除；（2）求 0.9986 的近似值，使误差小于 0.001.1.在（3x -2y ）20 的展开式中，求：3n 1b n 的,（1）二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项.2.求 x (1-x )4+x 2(1+2x )5+x 3(1-3x )7 展开式中各项系数的和.3.求证:3n ＞(n +2)·2n -1 （n ∈N *，n ＞2）.一、填空题1.（1-2x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 6|的值为.2.（2008·安徽理）设（1+x ）8=a 0+a 1x +…+a 8x 8，则 a 0，a 1，…，a 8 中奇数的个数为.3.（2008·全国Ⅱ理）(1- x )6(1+ x )4 的展开式中 x 的系数是.4.已知(x -a x)8 展开式中常数项为 1 120，其中实数 a 为常数，则展开式中各项系数的和为 .5.若(1+5x 2)n 的展开式中各项系数之和是 a n （2x 3+5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为 b n ,则 a n值为.6.设 m ∈N *,n ∈N *,若 f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n 的展开式中 x 的系数为 13，则 x 2 的系数为.2 ⎫⎪ ⎪ 的二项展开式中 x 的系数是 x 2 )n (n ∈N *)的展开式中第 5 项的系数与第3 项的系数之比为 10∶1.求展开式中系数最大的)9 的展开式中 x 3 的系数为 ，求常数 a 的值；7.（1+x ）6(1-x )4 展开式中 x 3 的系数是.⎛8.（2008·天津理，11） x - ⎝二、解答题x ⎭ 5 2.（用数字作答）9.已知( x +是第几项？210.已知（ 3 x 2 +3x 2）n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.求展开式中系数最大的项.11.（1）求(x 2-1 2x)9 的展开式中的常数项；（2）已知( a x - x 2 9 4（3）求（x 2+3x +2）5 的展开式中含 x 的项.12.在（2x -3y ）10 的展开式中，求：（1）二项式系数的和； （2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （4）奇数项系数和与偶数项系数和；（5）x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.4 x )10 的展开式中的常数项为1 1 1x ）8 的展开式中 x 2 的系数是 70，则实数 a 的值为单元检测十一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排 法共有种.2.直角坐标 xOy 平面上，平行直线 x =n (n =0,1,2,…,5)与平行直线 y =n (n =0,1,2,…,5)组成的图形中，矩形共有个.3.二项式（a +2b )n 中的第二项系数是 8，则它的第三项的二项式系数为.4.已知（x +1）15=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15，则 a 0+a 1+a 2+…+a 7=.5.（2008·四川理）从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加， 则不同的挑选方法共有种.6.（2009·常州模拟）在（1-x 3)(1+x )10 的展开式中，x 5 的系数为.7.（1+ 3 x ）6(1+ 1.8.（2008·辽宁理）一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等 6 名工人中 安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两 工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有种.9.甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六值班工作，每天一人值班，每人值班两 天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有 种.10.若（1+x )n +1 的展开式中含 x n -1 的系数为 a n ，则 + +…+ 的值为 .a 1 a 2 a n11.在（x - 12x）9 的展开式中，x 3 的系数为 （用数字作答）.12.已知（1+x ）+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )8=a 0+a 1x +…+a 8x 8,则 a 1+a 2+a 3+…+a 8=.13.（2008·陕西理，16）某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成,如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种.（用数字作答）14.（ax - 1.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（14分）二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在集合{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？16.（14分）五位老师和五名学生站成一排：（1）五名学生必须排在一起共有多少种排法？（2）五名学生不能相邻共有多少种排法？（3）老师和学生相间隔共有多少种排法？⎛17.（14分）已知在3x-⎝123x⎫n⎪的展开式中，第6项为常数项.⎪⎭（1）求n;(2)求含x2的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.18.（16分）4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球.（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有多少种不同的取法？x 2+ ）5 的展开式的常数项，而（a 2+1）n19.（16 分）已知（a 2+1）n 展开式中的各项系数之和等于（的展开式的系数最大的项等于 54，求 a 的值（a ∈R）.16 15 x20.(16 分）设（2- 3 x ）100=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 100x 100，求下列各式的值：（1）a 0;(2)a 1+a 2+…+a 100;(3)a 1+a 3+a 5+…+a 99;(4)(a 0+a 2+…+a 100)2-(a 1+a 3+…+a 99)2.。
2024年中职数学101计数原理课件一、教学内容本节课选自中等职业教育数学教材第二册第五章第一节《计数原理》。
具体内容包括：理解并掌握加法原理与乘法原理，学会运用计数原理解决实际问题，以及通过具体例题的分析，让学生掌握分类与分步计数的方法。
二、教学目标1. 让学生掌握加法原理与乘法原理的基本概念，能够运用两种原理解决实际问题。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力，特别是在计数问题中，能够运用分类与分步的方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点教学难点：加法原理与乘法原理在实际问题中的运用。
教学重点：分类与分步计数方法的掌握。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入（例如：学校要举办一场运动会，有3个比赛项目，每个项目有2个奖项，问共有多少种不同的获奖情况？），激发学生的兴趣。
2. 新课内容：（1）讲解加法原理，通过例题分析，让学生理解并掌握加法原理。
（2）讲解乘法原理，同样通过例题分析，让学生理解并掌握乘法原理。
（3）通过具体实例，让学生学会运用分类与分步计数方法解决问题。
3. 随堂练习：设计23个具有代表性的题目，让学生独立完成，并及时给予反馈。
六、板书设计1. 加法原理2. 乘法原理3. 分类与分步计数方法4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）一个班级有5个男生和5个女生，要从中选出2个男生和2个女生组成一个小组，共有多少种不同的组合方式？（2）一个密码锁有4个数字轮，每个数字轮上有数字09，共10个数字，问这个密码锁有多少种不同的密码组合？2. 答案：（1）C(5,2)×C(5,2) = 10×10 = 100种（2）10×10×10×10 = 10000种八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课结束后，教师应反思教学过程中的优点和不足，以便在今后的教学中进行改进。
高教版中职数学（基础模块）课时安排及目录课时安排第三版上册第1章集合与充要条件1.1 集合的概念1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算1.4 充要条件复习题1现代信息技术应用1 如何在Word文档中录入数学公式阅读与欣赏康托尔与集合论第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 区间2.3 一元二次不等式2.4 含绝对值的不等式复习题2现代信息技术应用2 利用Excel软件解一元二次方程阅读与欣赏数学家华罗庚第3章函数3.1 函数的概念及表示法3.2 函数的性质3.3 函数的实际应用举例复习题3现代信息技术应用3 利用几何画板作函数图像（静态）阅读与欣赏个人所得税计算方法解析第4章指数函数与对数函数4.1 实数指数幂4.2 指数函数4.3 对数4.4 对数函数复习题4现代信息技术应用4 利用几何画板作函数图像（动态）阅读与欣赏声音的计量及噪音第5章三角函数5.1. 角的概念推广5.2 弧度制5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数5.4 同角三角函数的基本关系5.5 诱导公式5.6 三角函数的图像和性质5.7 已知三角函数值求角复习题5现代信息技术应用5 利用几何画板作函数图像（从轨迹角度）阅读与欣赏光周期现象及其应用附录1 预备知识附录2 教材使用的部分数学符号下册第6 章数列6.1 数列的概念6.2 等差数列6.3 等比数列复习题6现代信息技术应用6 编制利用Excel软件进行数列相关计算的工作表阅读与欣赏堆垛中的数学计算第7章平面向量7.1 平面向量的概念及线性运算7.2 平面向量的坐标表示7.3 平面向量的内积复习题7现代信息技术应用7 利用几何画板软件绘图1阅读与欣赏牛顿第8章直线和圆的方程8.1 两点间的距离与线段中点的坐标8.2 直线的方程8.3 两条直线的位置关系8.4 圆复习题8现代信息技术应用8 利用几何画板软件绘图2阅读与欣赏解析几何的创始人———笛卡儿第9 章立体几何9.1 平面的基本性质9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质绪言第1章集合1.1 集合及其表示1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算1.3.1 交集1.3.2 并集1.3.3 补集趣味数学神奇的心灵魔术数学文化无限集的奥秘信息技术应用元素与集合(列表) 第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.1.1 实数的大小2.1.2 不等式的性质数学文化从弦图看基本不等式2.2 区间2.3 一元二次不等式2.4 含绝对值的不等式2.5 不等式应用举例数学文化等号与不等号的来历信息技术应用四个“二次”第3章函数3.1 函数的概念3.2 函数的表示方法3.3 函数的性质3.3.1 函数的单调性3.3.2 函数的奇偶性3.3.3 几种常见的函数信息技术应用“心形”曲线与函数3.4 函数的应用趣味数学百钱买百鸡数学文化中国古代数学的发展期——魏晋南北朝第4章三角函数4.1 角的概念的推广4.1.1 任意角4.1.2 终边相同的角4.2 弧度制4.3 任意角的三角函数4.3.1 任意角的三角函数定义4.3.2 单位圆与三角函数4.4 同角三角函数的基本关系4.5 诱导公式4.6 正弦函数的图像和性质4.6.1 正弦函数的图像4.6.2 正弦函数的性质4.7 余弦函数的图像和性质4.8 已知三角函数值求角趣味数学地球的周长数学文化sin 的由来信息技术应用三角函数的定义域新版下册课时安排第5章指数函数与对数函数5.1 实数指数幂5.1.1 有理数指数幂5.1.2 实数指数幂5.2 指数函数5.3对数5.3.1对数的概念5.3.2 积、商、幂的对数数学文化对数简史5.4 对数函数5.5 指数函数与对数函数的应用趣味数学神奇的对数速算信息技术应用运用指数函数比较值的大小第6章直线与圆的方程6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式6.2 直线的方程6.2.1 直线的倾斜角与斜率6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程6.2.3 直线的一般式方程6.3 两条直线的位置关系6.3.1 两条直线平行6.3.2 两条直线相交6.3.3 点到直线的距离6.4 圆6.4.1 圆的标准方程6.4.2 圆的一般方程6.5 直线与圆的位置关系6.6 直线与圆的方程应用举例趣味数学数形结合，相辅相成数学文化笛卡儿坐标系的产生信息技术应用用GeoGebra判断直线与圆的位置关系第7章简单几何体7.1.1 棱柱7.1.2 直观图的画法7.1.3 棱锥7.2 旋转体7.2.1 圆柱7.2.2 圆锥7.2.3 球7.3 简单几何体的三视图数学文化祖暅原理信息技术应用正方体的十一种平面展开图第8章概率与统计初步8.1 随机事件8.1.1 随机事件的概念8.1.2 频率与概率8.3 概率的简单性质8.4 抽样方法8.4.1 简单随机抽样8.4.2 系统抽样8.4.3 分层抽样8.5 统计图表8.6 样本的均值和标准差趣味数学圆周率π中各数码出现的概率相同吗？拓展延伸大数据信息技术应用数据统计分析。
中职数学101计数原理课件一、教学内容本节课我们将学习《中职数学》教材第三章第一节的内容，即计数原理。
详细内容包括排列组合的定义、排列数和组合数的计算公式，以及简单的计数问题应用。
二、教学目标1. 理解并掌握排列组合的基本概念和计算方法。
2. 能够运用排列组合知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
三、教学难点与重点重点：排列数和组合数的计算方法。
难点：如何将实际问题转化为排列组合问题，以及排列组合在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、练习本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过讲解一个实际生活中的问题，如“从5本不同的书中挑选3本进行阅读，有多少种不同的挑选方法？”来引导学生思考。
2. 讲解排列组合的基本概念，引导学生理解排列和组合的区别。
3. 通过例题讲解，让学生掌握排列数和组合数的计算方法。
4. 随堂练习：布置一些简单的排列组合题目，让学生当堂练习，巩固所学知识。
六、板书设计1. 排列组合的基本概念2. 排列数和组合数的计算公式3. 例题解析4. 课堂练习题目七、作业设计1. 作业题目：（1）计算从6个不同的数字中选取3个数字的排列数和组合数。
（2）一个班级有5名男生和5名女生，要从中选择3名男生和2名女生组成一个小组，共有多少种不同的组合方式？2. 答案：（1）排列数：6×5×4=120，组合数：C(6,3)=20。
（2）组合方式：C(5,3)×C(5,2)=10×10=100种。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对于排列组合概念的理解和计算方法的掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：引导学生思考排列组合在其他领域的应用，如计算机编程、概率论等，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析1. 实践情景引入的选择和设计。
2. 排列组合基本概念的讲解和区分。
