分析一阶电路全响应的三要素法

直流一阶电路分析计算的三要素法
由于直流一附上电路换路后在过渡过程中的电压和电流，是从初始值按指数规律衰减到稳态值，或者是从初始值按指数规律上升到稳态值。

而指数规律的变化又决定于时间常数τ。

因此，过渡过程中的电压和电流是随时间的变化规律，由初始值、稳态值的时间常数所确定。

只要计算出初始值)0(+f 、稳态值)(∞f 和时间常数τ，则过渡过程中的电压和电流)(t f ，便可直接由如下三要素公式得出，即
[])()()0()(∞+∞-=-+f e
f f t f t τ 0≥t
上式中，[]τt e f f -+∞-)()0(是暂态响应，)(∞f 是稳态响应。

上式所示三要素公式化，适用于直流激励、有损耗一阶电路，0=t 时刻换路，0≥t 时电路的过渡过程分析。

有损耗一阶电路的戴维南等效电阻R 是正值，特征根S 是一个负数，暂态响应含负指数τt
e -，随时间作衰减变化。

三要素法是一阶电路过渡过程分析的实用计算法，不必列出和求解电路的微分方程，只要直接计算出待求响应变量的初始值、稳态值和电路的时间常数即可，具有简捷方便的优点。

因此，在工程实际中具有重要意义。

)
t
f (t) f (0 ) f () e f ()
(暂态响应)
(稳态响应)
5.一阶电路的三要素法
一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ 三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流
电源作用下的电路响应。全响应表达式为：
f (t)
f () [ f（0）
1
2
2
3
2V
作t≥0时的电路如图（c）所示，则有：
u（L 0）
i（L 0
）（
R1R2 R1 R2
R3）
4V
（2）求稳态值：
画t=∞时的等效电路, 如图 (d)所示。
R1 R3
R2
2A
u（L ） 0
（c）
（3）求时间常数：
R1
R3
等效电阻为：
R
R1R2 R1 R2
R3
2
时间常数为： L 1 0.5s
可得：
+ 20 V 4kΩ
iC（0+） + 20 V
iC (0 ) 2.5m
－
－
(c)
（2）求稳态值uC(∞)、iC(∞) 。作t=∞时稳态等效电路如图（d）所 示，则有：
4kΩ
2kΩ
uC
()
4
4
4
20
10V
iC () 0
+ 20 V 4kΩ
－
iC（∞ ） + uC（∞ ）
－
(d)
（3）求时间常数τ。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为：
注意：三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二阶或高阶电路是不适用 的。

t

t r 1 e
t r r 0 r e
（t ≥0+）
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应
r (t ) r () r (0 ) r () e

t

t 0
全响应的初始值、稳态解和电路的时间常数，称为一阶线性 电路全响应的三要素。求出初始值、稳态值和时间常数即可按上 式直接写出全响应的函数式。这种方法就叫做三要素法。
注意：
1)零输入响应、零状态响应和全响应都可采用三要 素法进行求解； 2)三要素法只能用于求解一阶电路的响应。
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 求解步骤
作出t=0-时的等效电路，求出uC(0-)或iL(0-);
根据换路定则，求出uC(0+)或iL(0+); 根据t>0时的电路，求出L或C两端看进去的有源二端电
阻网络的戴维宁等效电路（一阶RC电路）或诺顿等效电 路（一阶RL电路）；
根据一阶电路零状态响应的一般形式求出uC(t)或iL(t) ;
电容电压的稳态值uc(∞)即为得到的戴维宁等效电路中的 电压源电压，电感电流的稳态值iL(∞)即为诺顿等效中的 电流源的电流。根据Req可求出时间常数τ ;
根据t>0时的电路，将电容用电压为uC(t)的电压源代替，
i f 0.5 A
3) 求τ
uo 10 × io 10i0 40i0 3
Req
uo 40W io L 1 s Req 40
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 例题
4) 写出i (t)
i ( t ) i f [i (0 ) i f ]e 0.5 0.7e

1 2
高阶动态电路的全响应研究
本文主要研究了一阶动态电路的全响应，未来可 以将研究扩展到高阶动态电路，探讨其全响应的 特点和求解方法。
复杂电路系统的分析方法研究
针对更复杂的电路系统，需要研究更为有效的分 析方法，以提高电路分析的准确性和效率。
3
非线性电路的动态响应研究
在实际应用中，非线性电路的动态响应也是一个 重要的问题，未来可以开展相关的研究工作。
结果讨论与误差分析
结果讨论
根据求解出的全响应表达式，分析电 路在不同时间点的响应情况，讨论电 路的工作特性。
误差来源
分析在求解过程中可能出现的误差来 源，如元件参数的测量误差、计算误 差等。
误差影响
讨论误差对求解结果的影响程度，以 及如何通过改进测量方法、提高计算 精度等方式来减小误差。
实际应用中的考虑
在实际应用中，还需要考虑其他因素 对电路响应的影响，如环境温度、电 磁干扰等。
05 实验验证与仿真模拟
实验方案设计
设计思路
基于一阶动态电路的基本原理，构建实验电路并确定测量参数。
电路搭建
选用合适的电阻、电容、电感等元件，搭建一阶动态电路。
测量方法
采用示波器、电压表、电流表等仪器，测量电路中的电压、电流 等参数。
03 三要素法原理及应用
三要素法基本概念
三要素法定义
一阶动态电路的全响应由初始值、 稳态值和时间常数三个要素决定，
通过求解这三个要素可快速得到 电路的全响应。
适用范围
适用于线性、时不变、一阶动态电 路的全响应分析。
优点
简化了电路分析过程，提高了求解 效率。
初始值、稳态值和时间常数求解方法
01
02

三要素法求一阶电路三要素法是电路理论中研究一阶电路中稳态特性的一种方法。

一阶电路通常由一个电容、一个电感、一个电阻或它们的组合构成。

三要素法是从电容、电感、电阻三个方面入手，分别探讨它们对电路稳态特性的影响。

首先，电容是一种存储电荷的元件。

在交流电路中，电容会对电源产生一个阻抗，导致电路中的电流发生相位差。

同时，电容会缓慢地放电或充电，根据库仑定律，电容两端存储的电荷量与电容两端电势差成正比。

因此，在电压源作用下，电容循环放电和充电，使电路中电流发生周期性变化。

在直流电路中，电容会对电路的总电阻造成一个无穷大的抗阻作用，使得电路中的电流趋于零。

因此，电容可以用来决定电路的频率特性，对于低频信号，电容的作用很小；而在高频信号下，电容的作用更为明显。

其次，电感是一种存储能量的元件。

在交流电路中，电感会对电源产生一个阻抗，导致电路中的电流发生相位差。

同时，电感会缓慢地放电或充电，根据法拉第电磁感应定律，电感两端的电势差与电感中电流变化率成正比。

因此，在电压源作用下，电感循环放电和充电，使电路中电流发生周期性变化。

在直流电路中，电感会对电路的总电阻造成一个抗阻作用，阻碍电流的流动。

因此，电感可以用来限制电路的频率特性，对于高频信号，电感的作用较强，而在低频信号下，电感的作用较小。

最后，电阻是一种电流流过时发生能量损失的元件。

在交流电路中，电阻对电流的相位没有影响。

在直流电路中，电阻对电流的流动起到阻碍作用，其大小可以用来调节电路电流的大小。

因此，电阻可以用来控制电路的参数。

综上所述，三要素法是从电容、电感、电阻三个方面入手，分析它们对电路稳态特性的影响。

只要掌握了电容、电感和电阻的基本特性，就可以有效地运用三要素法求解一阶电路的特性，在电路设计、分析和调试上得到有效地应用。

一阶电路三要素法的公式
一阶电路三要素法是一种对一阶电路进行分析的方法，它可以将一阶电路分解为三个简单元件：电阻、电感和电容。

其中，电阻是一种能够吸收运动电流，产生热量和电势差的元件；电感是一种在电路中存在的磁场，并能够存储能量的元件；而电容则可以在电路中存储电荷，具有调节电路的功能。

一阶电路三要素法的公式主要分为以下几个部分：
第一，电阻R：R=V/I，其中V为电压，I为电流。

第二，电感L：L=U/I，其中U为电势差，I为电流。

第三，电容C：C=Q/V，Q为电荷，V为电压。

第四，电路总模型：V=RI+L(dI/dt)+Q/C，其中V为电压，R为电阻，I为电流，L为电感，Q为电荷，C为电容。

第五，电路增益：A=Vout/Vin，Vout为输出电压，Vin为输入电压。

第六，电路阻抗：Z=V/I，V为电压，I为电流。

第七，电路时间常数：τ=L/R，L为电感，R为电阻。

以上就是一阶电路三要素法的公式，它可以用来分析一阶电路的不同特性，如电阻、电感、电容、增益、阻抗以及时间常数等。

要使用一阶电路三要素法，首先应该确定电路中所有组成元件的电压、电流和电荷。

然后，根据上述公式，依次计算电阻、电感、电容、增益、阻抗和时间常数，最终形成一个完整的一阶电路模型。

通过一阶电路三要素法，我们可以更好地理解电路，并给出有效的解决方案，可以大大提高工作的效率。

释放出来消耗在电阻中，达到新稳态时，电感电流为 零，即
iL（∞）= 0
（3）求时间常数τ
R 20 (10 10) 10 k 20 10 10
L 10 3 10 7 s
R 10 103
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为
iL（t）= 0 +（10×10-3–0）e107=t 10 e mA 107t
i
L
()
US R2
10 20
05A
1
L R2
2 20
0 1s
根据三要素公式得到
iL（t）= 0.5（1 - ）e1A0t （0.1s≥t要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根 据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形曲 线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律增 加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开关 闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电 压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
t ln iL (0 ) iL () 0 005 ln 0 75 1 5 0 002 s

一阶电路分析的三要素法采用“三要素法”分析一阶电路，可以省去建立和求解微分方程的复杂过程，使电路分析更为方便和高效。

适用于直流激励一阶电路的三要素法我们仍以简单一阶RC 电路为出发点。

图1 所示RC 电路的全响应结果如下：图1 一阶RC电路图( 1 )( 2 )由图1 容易知道，电容电压的初值为，电容电压的终值为；而电流的初值为，电流的终值为。

观察式( 1 ) 、式(2) 可见，一阶电路中任意电路变量的全响应具有如下的统一形式：( 3 )可见，为求解一阶电路中任一电路变量的全响应，我们仅须知道三个要素：电路变量的初值、电路变量的终值以及一阶电路的时间常数。

我们称式( 6-5-3 ) 为一阶电路分析的三要素法。

三要素法同样适用于一阶RL 电路，但是二阶以上动态电路不可采用此法。

推广的三要素法在前面分析一阶电路时，我们采用的独立源具有共同的特点，即所有独立源均为直流（直流电压源或直流电流源）。

对于直流激励电路，换路前电路变量为稳定的直流量，换路后经历一个动态过程，电路变量过渡到另外一个稳定的直流量。

我们容易根据电路的原始状态和电路结构确定电路变量的初值f(0+)、电路变量的终值f(∞)以及一阶电路的时间常数。

如果电路中激励源不是直流，而是符合一定变化规律的交流量（如正弦交流信号），则换路后电路经历一个动态过程再次进入稳态，此时的稳态响应不再是直流形式，而依赖于激励源的信号形式（如正弦交流信号）。

此时，我们无法确定电路变量的终值f(∞),故无法采用式( 3 ) “三要素法”确定一阶电路全响应。

对于这类一阶电路，我们可以采用推广的三要素法：〔4 )式中，为全响应的初值、为电路的稳态响应、τ为电路的时间常数，称为一阶线性电路全响应的三要素，为全响应稳态解的初始值。

“三要素”的计算与应用利用三要素法分析一阶电路的全响应时，必须首先计算出电路变量的初值、电路变量的终值以及一阶电路的时间常数。

假设激励源为直流电压源或电流源。

三元素法分析一阶电路的全响应电路论文学院：电子信息工程学院班级：电气091502班姓名：***学号：************三元素法分析一阶电路的全响应摘要：本文主要介绍用三元素法分析解决一阶电路问题。

用三元素法求一阶电路问题首先要求出三元素：初始值，稳态值，时间常数，用三元素法可以直接代入公式求解，求解过程简单。

关键词：一阶电路 三元素法一、 全响应定义当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为一阶电路全响应。

全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。

二、 三元素法的基本原理一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程： 其解答一般形式为：令 t = 0+ 全响应f （t ）的三要素求解公式为f （t ）=f （∞）＋[f （0+）－f （∞）]e －t/τ其中，f （0+）为t=0+时刻的初始值，f （∞）为t →∞时的特解稳态值，τ为t ≥0时的时间常数。

f （0+）、f （∞）和τ称为三要素。

只要知道f （0+）、f （∞）和τ这三个要素，就可以根据上述公式直接写出直流激励下一阶电路的全响应，这种方法称为三要素法。

三、 三元素法的解题步骤⒈ 求初始值 ⑴ 初始值定义t=0+时电路中电压与电流的值称为初始值。

⑵ 初始值的求解① 由换路前电路（稳定状态）求u C (0－)和i L (0－)； ② 由换路定律得 u C (0+) 和 i L (0+)。

③ 画0+等效电路。

c bf tfa=+d d τteA t f t f -+'=)()(a.换路后的电路b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。

（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。

④由0+电路求所需各变量的0+值。

⒉求稳态值⑴稳态值的定义t=∞时电路中电压与电流的值称为稳态值。

⑵稳态值的求解稳态时，电容C视为开路，电感L视为短路，稳态值即求直流电阻性电路中的电压和电源。

⒊求时间常数τ⑴时间常数τ的定义当电阻的单位为Ω，电容的单位为F时，乘积RC的单位为s，称为RC电路的时间常数，用τ表示。

8
+
24V –
S(t=0)
4 iL 0.6H
解 （1）第一种方法 iL (0 ) iL (0- ) 24 / 4 6A L R 0.6 12 1 20s
零输入响应： iL (t) 6e-20tA
第8 页
8
+
24V –
S(t=0)
4 iL 0.6H
iL() 24 / 4+8 2A
全解为： uC(t) = uC' + uC"
特解 uC' = US t -
通解 uC Ae
由初始值定A uC (0-)=U0
uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US
-t
t
-
uC US Ae US (U0 - US)e t 0
= RC
第2 页
（3）全响应的两种分解方式
uC 2
0.667 0
t
第 16 页
例题 t=0时 ,开关闭合，求t >0后的iL 、 i1 、 i2
i1 +
10V –
5
5
iL
0.5H
i2 +
20V
–
解 iL 0 iL 0- 10 / 5 2A
iL 10 / 5 20 / 5 6A
L R 0.5 5 / /5 0.2s
i() 10 / 2 5A
u =0
i t 5 - 3.74e-2t-0.2 A
S1(t=0) 2 i u
+ 10V
-
3
S2(t=0.2s)
1
u
t
0
7.48
-
0
-
e

r(t) 三要素公式的 r(t)
r()
响应波形曲线
r(0+) r()<r(0+)
r()>r(0+)
r(0+)
r()
t
t
可见，直流激励下一阶电路中任一响应
总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规
律增长或衰减到稳态值r()，响应的快
慢取决于的时间常数 。
注意：（1） 直流激励； （2）一阶电 路任一支路的电压或电流的（全）响应 ； （3）适合于求零输入响应和零状 态响应。
输出电阻，它是三个电阻的并联
3 i(t)
1A
2
+
+
uC 6 9V
-
-
时间常数为
4，将初始值、终值及时间常数代 入三要素公式，得到响应表达式：
电路与模拟电子技术
-
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+) 零状态电路，由换路定则得：
画0+图如右,分流解得： a + u (0+) -
2A 4
4
i(0+)
则： uC(0+)=4V 2，计算稳态值u()、i() b
+ u ( ) -
t→，电路重新达 2A 4 4 到稳定，电容开路，
终值图如右，得：
i( )
u()=0 i() =2A
3，计算时间常数 电容相连接的等效电阻：R=8Ω
时间常数为
代入三要素公式得：
例2-10 求u(t)。已知：
t=0 + u +
1A 1 0.5F u- C
1H iL
+
2
u(t)

三要素法求一阶电路全响应证明好嘞，今天咱们聊聊一阶电路的全响应，听起来有点高大上，但其实就像喝水一样简单。

先说说什么是一阶电路，简单来说，就是那些只包含一个电感或一个电容的电路。

就好比你家里的水管，要么是直的，要么有个弯头，没啥复杂的。

电路响应嘛，顾名思义，就是电路对输入信号的反应。

咱们要用三要素法来求它，听起来神秘，但其实就是记住三样东西，轻松愉快。

电路里总有个电压源，就像家里有电灯，没电源的电路就像没电的灯，啥也干不了。

我们要知道电路的初始状态，想象一下你刚起床，头发乱七八糟，睁不开眼，那时候你就像一个电路的初态。

我们得搞清楚，这时候电压和电流是什么样的。

电路的状态方程就像你做饭的配方，得先量好材料。

咱们用基尔霍夫定律，这就像你家人争抢遥控器时的规则，谁先抢到，谁就能看电视。

要把这些公式整理一下。

这里的计算过程就像是做一道数学题，心里有个谱，按部就班。

算出来的结果就是电路在某一时刻的状态。

这里面有个关键的地方，时间常数，它就像你的闹钟，一响就能把你叫醒。

时间常数越大，电路的反应越慢，仿佛你还在梦中打转，不愿意醒过来。

反之，时间常数越小，反应速度就快，像个喝了咖啡的年轻人，瞬间就清醒了。

然后，我们得用到强迫响应和自然响应。

强迫响应就像你被老板叫去加班，没得选，只能硬着头皮上班；自然响应就像放假了，终于可以自在地享受生活。

这两者结合起来，就是电路的全响应。

也就是说，我们的电路既要应对外部的电压源，又要考虑到内部的电流状态。

咱们把这两部分结合起来，得到的就是电路的全响应，这就像一盘美味的拼盘，各种口味交融在一起，才叫个美。

大家可能会想，为什么要用三要素法？这就像咱们做菜的时候，要有食材、火候和调味，缺一不可。

三要素法让我们从不同的角度看待问题，找到解决方案。

就算你是个新手，只要有这三样东西，也能做出一桌好菜。

用这个方法求电路全响应，简直是小菜一碟，谁都能搞定。

咱们回顾一下，电路的初始状态、状态方程和时间常数这三样东西，不仅能帮助你求解全响应，还能让你在电路的海洋里遨游自如。

后如果使用智慧盒供电连线如图6-2-17所示，使用NEWLab底座供电连接如图6-2-18所示，将st-link仿
真器的20PIN的头与M3主控模块的J1脚相连。
图6-2- 16 ST-LINK仿真器
图6-2- 17 智慧盒供电
图6-2- 18 底座供电
步骤2 打开仿真器下载软件STM32 ST-LINK Utility如右图所示。 步骤3 打开软件后，点击界面中Program verify，如下图所示。
《电路分析与实践项目化教程》
简单低通滤波电路的设计
直流激励下的一阶动态电路分析
一阶电路的三要素分析法
《电路分析与实践项目化教程》
目录
CONTENTS
1 什么是一阶电路的三要素 2 一阶电路三要素法的解题步骤 3 一阶电路三要素法的实例
一、什么是一阶电路的三要素
电路变量由初始值向新的稳态值过渡，并且按照指数规律逐渐趋向 新的稳态值，而过渡的快慢取决于时间常数。因此我们把初始值、稳 态值、时间常数称为一阶动态电路的三要素。一阶电路的全响应为：
f (t) = f (∞) + [f (0+)－f (∞) ] e -t/τ 式中f (t) -----电路中任意处的电压或电流
f (∞) -----电压或电流的稳态值 f (0+) ----换路后一瞬间电压或电流的初始值
τ-------电路的时间常数
一 二、一过阶渡电过路程三要素法的解题步骤
三要素法解题步骤如下： （1）确定电压或电流初始值f (0+)
步骤6 点击下一步
步骤7 选择STM32F1_High-density_512K，点击下一步
步 骤 8 选择download to device选项，选择需要下载的固件地址，并选择Erase necessary

2、三要素公式
y(t ) = y(∞) + [ y(0+ ) − y(∞)]e
τ > 0 时：
−
t
τ
t ≥0
上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电路 全响应的三要素公式。
换路时刻为 t0 时的三要素公式为：
y(t) = y(∞) + [ y(t0+ ) − y(∞)] e
XIDIAN UNIVERSITY
第27-7页 第27-7页
■
©西安电子科技大学电路信号与系统实验中心
2、确定稳态值 y(∞)
画t=∞等效电路。暂态过程结束后，电路 进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳 态值u(∞)、i(∞)。
uC ( ∞ )
-
+
uC ( ∞ ) = U 0 ≠ 0
C
iC (∞ ) = 0
uC ( ∞ ) = 0
uc ( 0+ ) = uc ( 0− ) ; iL ( 0+ ) = iL ( 0− )
则可利用换路前瞬间 t =0-等效电路计算出uC(0-)和iL(0)，再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。
关键是正确画出 t =0-时刻等效电路！
XIDIAN UNIVERSITY
10/9/2013 6:01:05 PM
8 ⎞ ⎛ 8 u L ( t ) = 0 + ⎜ − − 0 ⎟ e − 10 t = − e − 10 t V 3 ⎠ ⎝ 3
t≥0
t≥0
XIDIAN
UNIVERSITY
10/9/2013 6:01:05 PM
Gao Jianning
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uL (∞)=0
i1(∞)= i2(∞)=0
（3）求
L1
R 2
（s）
t
（4）代入三要素公式求各响应 iL(t)= iL (∞)+［ iL(0+)- iL (∞) ］e i1(t)= i1 (∞)+［ i1(0+)- i1 (∞) ］e i2(t)= i2 (∞)+［ i2(0+)- i2 (∞) ］e
当t≥1.5s时，开关闭合于“3”，如图
uC (1.5-) =8-12e-1.5=5.32 u1 (1.5+) =0
uC (1.5+) = uC (1.5-) =5.32 V
显然，各电压稳态值均为零。
t=1.5+s等效电路
由图可见，从电容两端看去的等效电 阻为2Ω， 所以τ=RC=0.5s。
于是按三要素得t≥1.5s的电路响应为 uC (t)=5.32e2(t 1.5 ) (V) u1(t)=0 t≥1.5s t≥1.5s t>1.5s时的电路
t 0
t 0
t/ t/ = 8(1 e t ) = 8 4e t t0 t 0
(2) 在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，经过 1.5s后，开
关又由“2”闭合到“3”。 在0≤t<1.5s区间，开关位于“2”，仍有 uC(t)=8-12 e-t (V) u1(t)=8-6 e-t (V) 下面求t ≥1.5s时的响应: 0≤t<1.5 s 0≤t<1.5s t>1.5s时的电路 V
i (A) 5 2
i(0.2 ) 2 2e 50.2 1.26
i (0.2 ) 1.26 2 0.5 i ( ) 5 A
i (t ) 5 3.74e 2( t 0.2) A

一阶电路的三要素法公式
其中：
- f(t)为电路中所求的响应（电压或电流）。

- f(0_+)为响应的初始值，即换路后瞬间t = 0_+时的值。

- f(∞)为响应的稳态值，即t→∞时的值。

- τ为一阶电路的时间常数，对于RC电路τ = RC，对于RL电路τ=(L)/(R)（这里R为从储能元件（电容C或电感L）两端看进去的戴维南等效电阻）。

在使用三要素法求解一阶电路时，一般按照以下步骤：
1. 求初始值f(0_+)：
- 首先根据换路前的电路（t = 0_-时的电路）求出储能元件（电容电压
u_C(0_-)或电感电流i_L(0_-)）的初始值。

- 然后根据换路定律（u_C(0_+) = u_C(0_-)，i_L(0_+)=i_L(0_-)）确定换路后瞬间电容电压和电感电流的值。

- 再根据换路后瞬间的电路（t = 0_+时的电路），利用电路的基本定律（如欧姆定律、基尔霍夫定律等）求出所求响应的初始值f(0_+)。

2. 求稳态值f(∞)：
- 画出换路后t→∞时的电路，此时电容相当于开路（i_C(∞)=0），电感相当于短路（u_L(∞)=0）。

- 利用电路的基本分析方法（如电阻的串并联化简、欧姆定律、基尔霍夫定律等）求出所求响应的稳态值f(∞)。

3. 求时间常数τ：
- 对于RC电路，τ = RC，其中R为从电容两端看进去的戴维南等效电阻。

- 对于RL电路，τ=(L)/(R)，其中R为从电感两端看进去的戴维南等效电阻。

最后将f(0_+)、f(∞)和τ代入三要素法公式f(t)=f(∞)+[f(0_+) - f(∞)]e^-(t)/(τ)中，即可求出一阶电路的响应f(t)。

三要素法求一阶电路零输入响应说到一阶电路的零输入响应，这听起来可能有点像“天书”，是吧？别担心，今天我们就用最简单的方式，把这件事儿搞懂。

一阶电路就是一种简单的电路，里面有电阻、电容或者电感这几样“基础元素”。

它们的行为有点像一个有点慢反应的“懒汉”，特别是在开关变化或外部信号作用下。

这个“懒汉”不可能一下子就改变自己的状态，总是需要一些时间。

零输入响应，就是说我们在分析电路的时候，不考虑外部电源对它的影响，单纯研究电路元件自身的变化。

你可能会问了，既然不考虑外部信号，怎么分析呢？这时候，三要素法就派上用场了。

它可不是啥高大上的数学公式，而是一种非常简单、直观的分析方法。

三要素，顾名思义，就是三个东西：初始条件、特性方程和求解公式。

简单来说，你需要知道电路最开始的状态，电路的“性格”，还有如何从这些信息得出电路的动态变化。

咱们得搞清楚这个电路的“初始条件”。

也就是电路中的电容、电感等元件在时间零点时的状态。

你可以把它想象成一台机器刚开机时的“默认设置”，电容的电压、电感的电流等等。

你得知道这些东西是什么，因为它们决定了电路从哪里开始走。

假设你有个电容，它开始时充满了电，那么它的电压就不可能一开始就是零；反过来，如果是个电感，电流开始时就得是个固定值。

就像是给电路定了个“起跑线”，它以后能怎么走，就看它一开始是怎么“蓄力”的。

得看这个电路的“特性方程”。

特性方程其实是电路的“性格说明书”。

它告诉你电路的变化规律，通常可以通过 Kirchhoff 定律或者其他基本原理来写出来。

你可以把它想象成电路的“行动路线图”。

不同的电路，不同的配置，特性方程就不同。

比如，电容的充电或放电，电感的电流变化，电阻对电流的限制……这些都会在特性方程里有所体现。

你必须弄清楚这些规律，才能知道电路如何从初始条件中走向它的最终状态。

然后就到了最关键的一步——用公式来求解这些变化。

三要素法最厉害的地方就在于它把这些复杂的变化化繁为简。