沪科版八年级上册一次函数一对一讲义

一次函数与一元一次方程【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）.当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数24y x =-+与31322y x =-图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组2431322y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.要点三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程例1、若直线与x 轴交于（5，0）点，那么关于x 的方程的解为______.【答案】【解析】kx b +＝0的解是直线y kx b =+与x 轴交点横坐标.举一反三：【变式1】如图，已知直线y ax b =-，则关于x 的方程1ax b -=的解x ＝_________.【答案】4；提示：根据图形知，当y ＝1时，x ＝4，即1ax b -=时，x ＝4．∴方程1ax b -= 的解x ＝4．【变式2】如图，直线分别交x 轴和y 轴于点A 、B ，则关于x 的方程kx b +＝0y kx b =+0kx b +=5x=y kx b =+的解为_______.【答案】2x =-；提示：方程kx b +＝0的解其实就是当0y =时一次函数与x 轴的交点横坐标．由图知：直线与x 轴交于点（－2，0），即当x ＝－2时，＝0.例2、方程328x +=的解是＝______，则函数32y x =+在自变量等于_______时的函数值是8.【答案】2；2；【解析】解方程328x +=得到：2x =.函数32y x =+的函数值是8．即328x +=，即函数32y x =+在自变量等于2时的函数值是8．举一反三：【变式】如图，已知直线y ax b =-，则关于x 的方程1ax b -=的解x ＝_________.【答案】4；提示：根据图形知，当y ＝1时，x ＝4，即1ax b -=时，x ＝4．∴方程1ax b -= 的解x ＝4．类型二、一次函数与二元一次方程组y kx b =+y kx b =+y kx b =+x xx例3、 若一次函数的图象与一次函数的图象如图所示，则关于、的方程组25010x y x y --=⎧⎨++=⎩的解为 ．【答案】举一反三：【变式】若方程组的解为你能说出一次函数与的图象的交点坐标吗？【答案】（，）例4、利用图象解方程组22,5.y x x y =-⎧⎨+=-⎩【答案与解析】解：如图：两条直线的交点为（－1，－4）所以方程组的解为14x y =-⎧⎨=-⎩ 1522y x =-1y x =--xy 12x y =⎧⎨=-⎩，．221x y y x -=⎧⎨=+⎩，35x y =-⎧⎨=-⎩，；2y x =-21y x =+3-5-。

一次函数的应用一、知识点复习1.一次函数的图像与性质2.一次函数)0kxby中k的实际意义：=k(≠+在行程问题中，k可以是指代单一物体的速度，也可指代速度和或速度差。

3.待定系数法求一次函数的解析式二、常考典型例题分析题型一：待定系数法在一次函数中的应用1．弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）关系如右图所示，刚弹簧不挂重物时的长度是（）A．9cm B．10cm C．10.5cm D．11cm2.大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，如表是测得的指距与身高的一组数据：请你根据所给信息确定：某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是。

题型2：分段函数问题3.张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（）A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=-8t+25 B．途中加油21升C．汽车加油后还可行驶4小时D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升题型3：两直线相交问题4.小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l、2l分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用1时间x（h）之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是（）A．3km/h和4km/h B．3km/h和3km/h C．4km/h和4km/h D．4km/h和3km/h5.一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离y千米与行驶时间x小时之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．客车比出租车晚4小时到达目的地B．客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时C．两车出发后3.75小时相遇D．两车相遇时客车距乙地还有225千米题型4：利用一次函数解决购买方案问题6.某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（2x）个羽毛球，供社区居民免费借用。

沪科版八年级上册一次函数一对一讲义格德教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：2学员姓名：XXX辅导科目：数学学科教师：XXX授课类型：趣味引导、课本同步授课日期时段：待定教学内容：一、同步知识梳理1.函数的定义：在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。

常量为始终保持不变的量，变量为发生变化的量。

2.一次函数的图像与性质：y=kx+b (k≠0)b>0，直线经过一、二、三象限b=0，直线经过一、三象限及原点k>0或k<0，直线经过一、二、四象限或一、三、四象限b<0，直线经过一、三、四象限或二、三、四象限性质：（1）y随x的增大而增大（直线自左向右上升）；（2）直线一定经过一、三象限或二、四象限。

3.k和b的意义：1）|k|决定直线的“平陡”。

|k|越大，直线越陡（或越靠近y 轴）；|k|越小，直线越平（或越远离y轴）；2）b表示在y轴上的截距。

直线上升，k>0；直线下降，k0；直线与y轴负半轴相交，b<0.4.确定一次函数解析式———待定系数法：步骤：解、设、列、答。

5.一次函数图象的平移：设m>0，n>01）左右平移：直线y=kx+b向右（或向左）平移m个单位后的解析式为y=k(x-m)+b或y=k(x+m)+b。

2）上下平移：直线y=kx+b向上（或向下）平移n个单位后的解析式为y=kx+b+n或y=kx+b-n。

说明：规律简记为“左加右减，上加下减”，左右对x而言，上下对y而言。

二、同步题型分析1.函数的概念：例1．下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．例2下列关于x，y的关系式中：①x-y=3；②y=2x2；③y=|3x|，其中表示y是x的函数的是（）A．①②B．②③C．②D．①②③2.图像表示的函数是y是x的函数的。

巩固1：下列函数中自变量x的取值范围：1）y=2x-3：x的取值范围为全体实数；2）y=√(x+1)：x的取值范围为x≥-1；3）y=1/(x-2)：x的取值范围为x≠2；4）y=|x-3|：x的取值范围为全体实数。

第3节一次函数的概念及正比例函数※知识要点1．一次函数和正比例函数的概念一般地||，形如()的函数叫一次函数．特别地||，当b＝____时||，一次函数y＝kx＋b就成为(k是常数且)||，这时y叫做x的正比例函数．注意：(1)正比例函数是一种特殊的函数；(2)当关系式y＝kx(k是常数且)成立时||，则称y与x成关系||，反之也成立．2．正比例函数的图像与性质注意：(1)正比例函数过定点：（）、（1||，）；(2)系数k的几何意义：反映直线的||，称为；※题型讲练【例1】有如下表达式：①y＝－2x+3 ①y＝3x①y＝－2+x①y＝－x2①y＝－32x①y＝2x2+1①y＝x ①－3x+2＝5(1)其中是一次函数的有：；(2)其中是正比例函数的有：；变式训练1：1．判断下列函数是不是y关于x的一次函数？如果是||，请将其整理成y＝kx＋b形式||，并找出相应的k和b．(1)y＝－2x－33+2 (2)6x－2y＝52．汽车以40千米/时的速度行驶||，行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数解析式为||，y是x的_______函数．【例2】已知y关于x的函数式为y＝(m－2)x+m2－4．(1)若该函数是一次函数||，求m的取值范围；(2)若该函数是正比例函数||，求m的值．变式训练2：1．若已知函数y＝(m+3)x| m|－2是正比例函数||，求m的值及函数关系式．【例3】已知y－2与x+1成正比例关系||，且当x= 0时||，y= 4||，(1)求y关于x的函数解析式．(2)若点（a||，2）在该函数图像上||，求a的值．变式训练3：1．已知y－3与x2成正比例||，且当x= 1时||，y=6||，(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x= 2时||，求对应的函数值y．【例4】已知函数y＝(2－a)x+2b－6的图像经过原点．(1)求b的值；(2)若该函数图像过一、三象限||，求a的取值范围；(3)若该函数的y随x增大而减小||，求a的取值范围；变式训练4：1．已知一个正比例函数图像过点（2||，－6）||，(1)求该函数的关系式；(2)已知函数图像上有两点(a||，m+3）、(b||，－2m+6）且a>b||，求m的取值范围．※课后练习1．下列函数中||，是正比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝12x C．y＝x2 D．y＝2x－1 2．下列说法不正确的是( )A．一次函数不一定是正比例函数B．不是一次函数就一定不是正比例函数C．正比例函数是特定的一次函数D．不是正比例函数就不是一次函数3．函数y＝－2x的图象一定经过下列四个点中的（）A．(1||，2) B．(－2||，1) C．(12||，－1) D．(－1||，12)4．关于函数y=－2x||，下列判断正确的是( )A．图像过点(－1||，－2) B．图像经过二四象限C．y随x的增大而增大D．不论x为何值||，总有y＜05．如果函数y=(m－2)x| m－1 |是正比例函数||，那么（）A．m＝2或m＝0B．m＝2C．m＝0D．m＝16．已知函数y=3x||，则该函数图像必过象限||，函数值y 随自变量x的增大而．7．若直线y＝kx经过点A（－5||，3）||，则k＝______．如果这条直线上点A的横坐标x A＝4||，那么它的纵坐标y A＝______．8．若函数y＝(3－m)x+m2－9的图象经过原点||，则m= ．9．已知函数(2)1y m x m=++-||，当m时||，它是一次函数||，当m时||，它是正比例函数．10．已知函数y=(m－1)x的图像经过一、三象限||，则实数m的取值范围是___________．11．已知函数y=kx的图像经过二四象限||，A(x1||，y1)、B(x2||，y2)是该函数图像上任意的两个点||，若x1＜x2||，则||，函数值y1与y2的大小关系是y1y2．12．已知函数y=(2－m)x+2m－3．(1)当m为何值时||，此函数为正比例函数；(2)当m为何值时||，此函数为一次函数；(3)当m为何值时||，此函数图像过原点．13．已知y+2与2x－3成正比例||，且当x= 1时||，y=0．(1)求y关于x的函数关系式；(2)求当x= 2时对应的函数值y；(3)若点（a||，2）在该函数图像上||，求a的值．14．已知正比例函数y＝(2m－3)x．(1)求m的取值范围；(2)若该函数图像过点(－2||，2) ||，求m的值；(3)若该函数图像上||，y随x的增大而增大||，求m的取值范围．15．在直角坐标系中||，两条直线y=6与y=kx (k≠0)相交于点A||，且直线y=6与y轴交于点B．(1)求点A的坐标(用k表示)和点B的坐标；(2)若①ABO的面积为12||，求k的值．。