高等数学 第八章 第六节 空间曲线及其方程

§7.6 空间曲线及其方程
一空间曲线的一般方程
(1)
面上。

所以，它的坐标不满足方程组(1)。

由上述两点可知：
由方程组
方程组(1)称作空间曲线的一般方程。

二空间曲线的参数方程
(2)
(2)叫做空间曲线参数方程。

【例1
)，
螺旋线，试建立其参数方程。

以
螺旋线有一个重要性质：
螺距。

空间曲线的一般方程也可以化为参数方程，下面通过例子来介绍其处理方法。

【例2表示成参数方程。

(1)
(2)
则曲线又可表示成为
一般来说：
1、空间曲线总可以用参数形式给出它的方程；
2、随着参数选取的不同，方程的形式会发生变化。

三空间曲线在坐标面上的投影
(1)
(2)
因(2)(1)
(2)
点都在由(2)表示的曲面上。

同理，消去方程组( 1) 中的变量
或
有时，我们需要确定一个空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影，一般来说，这种投影往往是一个平面区域，因此，我们称它为空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影区域。

投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定。

【例4】求上半球面
解：上半球面与锥面的交线为。

高等数学下册（朱永忠著）课后答案下载高等数学下册（朱永忠著）课后答案下载第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程总习题八第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的`求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法第九节二元函数的泰勒公式第十节最小二乘法总习题九第十章重积分第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算法第三节三重积分第四节重积分的应用第五节含参变量的积分总习题十第十一章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分第二节对坐标的曲线积分第三节格林公式及其应用第四节对面积的曲面积分第五节对坐标的曲面积分第六节高斯公式通量与散度第七节斯托克斯公式环流量与旋度总习题十一第十二章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质第二节常数项级数的审敛法第三节幂级数第四节函数展开成幂级数第五节函数的幂级数展开式的应用第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质第七节傅里叶级数第八节一般周期函数的傅里叶级数总习题十二习题答案与提示高等数学下册（朱永忠著）：内容提要本次修订对教材的深广度进行了适度的调整,使学习本课程的学生都能达到合格的要求,并设置部分带__号的内容以适应分层次教学的需要;吸收国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了调整和充实,以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力;对书中内容进一步锤炼和调整。

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b a b≤+，向量与数的乘法a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。

当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速向量A B ''在轴上的投影，记为投影AB 。

向量在轴上的投影性质：性质1（投影定理）=cos AB ϕ与向量AB 的夹角。

)=Prj 1a +Prj 2a 。

性质可推广到有限个向量的情形。

：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。

利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a =+acos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。

2a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos ab θ所以2cos xa b a ba θ∙==+两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。

a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。

如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y zi j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。

决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。

注意向量的平行、垂直关系及角度。

利。

第八章空间解析几何与向量代数
第一节向量及其线性运算
1、右手定则方向角
2、记Prju r或（r）u ：向量r在u轴上的投影
第二节数量积向量积混合积
1、a*b= 大小——a·b·sin
方向——右手定则确定
2、a*b=a=（a1，a2，a3）b=（b1，b2，b3）
3、混合积为（a*b）·c记作[abc]的作用：
①平行六面体的体积
②[abc]=0时说明三向量共面
③满足轮换对称性：[abc]= [bca] = [cab]
第三节曲面及其方程
①椭圆锥面
③单叶双曲面④双叶双曲面
⑤椭圆抛物面⑥双曲抛物面
第四节空间曲线及其方程
1、一般方程： F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0
x=x(t)
2、参数方程： y=y(t)
z=z(t)
第五节平面及其方程
1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
[其中法向量n=(A,B,C) M0为(x0,y0,z0)]
2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0（一般需要四个平面上的点求出）第六节空间直线及其方程
1、一般方程： A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
2、点向式：
[其中方向向量为s=(p,m,n) 已知点为M0（x0,y0,z0）]
3、平面束方程的重要应用：P48。

462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。

第六节 空间曲线及其方程（导学解答）一、相关知识1．指出曲线2222224(3)4x y z x y z ⎧++=⎨+-+=⎩在zOx 面上的投影为何种曲线. 解：在方程组的两个方程中消去y ，可得投影曲线的方程为22740x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，它是zOx的圆. 2．在空间直角坐标系中，旋转抛物面z y x =+22与球面1222=++z y x 的交线是什么图形？一般来说，0),,(=z y x F ，0),,(=z y x G 代表什么图形？解：联立抛物面与球面的方程可得221212x y z ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴交线为平面12z -+= 上的一个圆.一般，0),,(=z y x F ，0),,(=z y x G 表示空间曲线，即两空间曲面的0),,(=z y x F 与0),,(=z y x G 的交线.二、空间曲线的有关问题1．如果空间一点M 在圆柱面222a y x =+上从0M )0,0,(a 出发以角速度ω绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿z 轴正方向上升（其中ω，v 都是常数），那么点M 的运动轨迹称为螺旋曲线。

试建立其方程；解：假设时刻t ，动点M 的位置在(,,)x y z ，于是z vt =，设M 在xOy 面上的射影为N ,则0M ON t ω∠=.于是点M 的坐标满足方程组：cos sin x a t y a t z vt ωω=⎧⎪=⎨⎪=⎩，消去参数t 可得其方程为：222cos x y a x a z v ω⎧+=⎪⎨=⎪⎩.2．怎么定义曲线的方程？答：空间曲线可看作是两空间曲面的交线，把两空间曲面的一般方程0),,(=z y x F 和0),,(=z y x G 联立起来得到的方程组(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩就是空间曲线（交线）的一般方程,曲线上的每点都满足该方程组，反之，任何满足该方程组的有序数组 (,,)x y z 一定是曲线上某个点的坐标.3．空间曲线在坐标平面上的投影一般是什么图形，如何建立这个投影图形的方程？答：空间曲线在坐标平面上的投影一般是平面曲线，在空间曲线的方程中消去该坐标平面中坐标恒为0(横、纵、竖)的那个坐标，得到其中一个方程再与坐标平面的方程联立，即得投影曲线的方程.三、练习题1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=4)2(222222a y a x y x a z 代表什么图形？. 答：第一个方程表示以原点为圆心，a 为半径的上半球面，第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面，所以方程组代表上半球面与圆柱面的交线.2．分别求母线平行于x 轴和y 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程；解：母线平行于x 轴：设1111(,,)P x y z 为曲线上的任意一点，过点1P的母线为： 111,,x x t y y z z =+==，将其代入2221112221112160x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩，消去t 得到柱面方程为： 22316y z -=.同样可得母线平行于y 轴的柱面方程为：223216x z +=.3．已知两个球面的方程为1222=++z y x和222(1)(1)1x y z +-+-=求它们的交线C 在xoy 平面上的投影.解：联立上述两个方程消去z 可得：22220x y y +-=与0z =联立可得投影为：222200x y y z ⎧+-=⎨=⎩. 四、思考题1．试求椭圆曲面149222=++z y x 与平面1=y 的交线方程； 解：将1=y 代入椭圆曲面方程可得：22394x z +=，∴交线方程为： 223941x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩. 2．设yoz 平面上一动点到点)0,0,2(的距离为到点)0,0,4(-的距离的一半，求动点轨迹的方程；解：设(,,)M x y z 为轨迹上的点，根据条件：=∴轨迹方程为： 22280x y z x ++-=.3．试求抛物面22y x z +=与平面1=+z y 的交线在xoy 平面上的投影曲线方程。