高数的空间曲线及其方程共26页文档

x a sin cos y a sin sin z a cos
0 π 0 2π
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
x x(s,t) y y(s,t)
z z(s,t)
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
F ( x, G ( x,
y, y,
z) z)
0 0
1 (z
1)2
1
在xOy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0
z0
z
C
O 1y
x
又如,
上半球面 z 4 x2 y2 和锥面 z 3(x2 y2 )
所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 二者交线在
xOy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
C
:
z
z
4 x2 y2 3(x2 y2 )
y a sin t 令 t , b v
z vt
x x a cos y a sin
y
z b
当 2 π时, 上升高度 h 2π b, 称为螺距 .
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2 2x
y2 3z
1 6
(2)
z x2
a2 y2
x2 ax
y2 0
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
高数空间曲线
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
பைடு நூலகம்
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F(x, y, z) 0
例如,方程组
x2 y2 1 2x 3z 6 表示圆柱面与平面的交线 C.

S2 L S1
F(x , y , z) = 0 G( x , y , z) = 0
例如，方程组
G(x , y , z) = 0 F(x , y , z) = 0
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C 。
第八章 第六节
o 1y
x
2
又如，方程组
z
ay
表示上半球面与圆柱面的交线 C 。 x
特点：曲线上的点都满足 方程， 满足方程的点都在 曲线上， 不在曲线上的点 不能同时满足两个方程。
第八章 第六节
3
例1
方程组
x2 + y2 = 1
表示怎样的曲线？
2x + 3 y + 3z = 6
解 x2 + y2 = 1 表示圆柱面，
2x + 3 y + 3z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆。
第八章 第六节
4
z = a2 − x2 − y2
空间曲线的一般方程、参数方程。
F(x , y , z) = 0 G( x , y , z) = 0
x = x(t)
y
=
y(t )
z = z(t)
空间曲线在坐标面上的投影。
H(x , y) = 0 z = 0
R( y , z) = 0
x
=
0
第八章 第六节
T ( x , z) = 0
y
=
0
21
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z) = 0
x
=
0
xoz面上的投影曲线,

(x a 2 ) y
2 2
a
2
4
O
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
y
4
空间曲线及其方程
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定 t t 1时 ,
就得到曲线上的一个点
( x 1 , y 1 , z 1 ),
: 0 0
t
x

上升的高度与转过的角度成正比. 即
z:
A
M
y
b 0 b 0 b
2 ,
上升的高度 h 2 b 螺距
7
空间曲线及其方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
13
想一想 在xOz平面上的投影呢?
空间曲线及其方程
选择题
1.曲线
2 2 x2 y z 1 16 4 5 x 2z 3 0
在xOy面上的投影柱面方程是(A ).
( A ) x 20 y 24 x 116 0
2 2
( B ) 4 y 4 z 12 z 7 0
1 z 2 x 0 | y | 3 2
11
空间曲线及其方程
与平面 x 2 y 例 求椭圆抛物面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
y z x 解 交线方程为 x 2y z 0
2 2
y z x
2 2
z 0
(1) (2) (3)
第四节
空间曲线及其方程

y
x2 + y2 1
这是xoy面上的一个圆.
所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1
§6
二次曲面的标准方程
1.定义 由x, y, z的二次方程: ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
所表示的曲面, 称为二次曲面.
2 2 z 4 x y 例8: 设一个立体由上半球面 和锥面 2 2 z 3 ( x y )所围成, 求它在xoy面上的投影.
z
解: 半球面与锥面的交线为
2 2 z 4 x y C: 2 2 z 3 ( x y )
O
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
h
t O M
A
M y
x
(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而
x = |OM | · cosAOM = acos t
y = |OM点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而
的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做
空间曲线的参数方程.
例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以 角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿 平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其 z 参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A 运动到M(x, y, z), M在xOy面 上的投影为M (x, y, 0).

单叶双曲面: x a sec cos y b sec sin 4 4 z c tan 0 2 圆环面: x ( R r cos ) cos y ( R r cos ) sin 0 2 0 2 z r sin 正螺面:
解: 取时间 t 为参数, 当 t = 0 时, 动点从 x 轴上的 一点A(a, 0, 0)出发, 经过 t 时间, 运动到点M(x, y, z ), M 在xoy面上的投影为M(x, y, 0). z 由于点M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 所以经过时间 t , AOM= t. 从而: x =| OM |cosAOM= a cos t. y =| OM | sinAOM= a sin t. o M 又由于点M同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 x A y M z=vt t x a cos t 因此, 螺旋线的参 y a sin t 数方程为: z v t
x2 y2 1 z 0
x
2
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
z 4 x 2 y 2 和锥面 例6: 设一个立体由上半球面 z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求该立体在xoy面上的投影.
解: 半球面和锥面的交线为 z 4 x 2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) , 消去 z 得投影柱面方程: x2 + y2 = 1. 则交线C在xoy面上 的投影曲线方程为: x 2 y 2 1, z 0. 这是xoy面上的一个圆, 所以, 所求立体在xoy面上的投 影(区域)为: x 2 y 2 1.

高等数学(下)
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .

空 间 立 体
曲 面
16
例5 设一个 ,由 立上 体半z球4 面 x2y2 和z 3(x2y2)锥面所 ,求 围它 成 x在 oy 面上的 . 投影
解 半球面和锥面的交线为 C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2 柱 y2面 1,
17
则交C 线 在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
交线情况如何?
交线情况如何?
y
23
P37 题 7
z
z
ay x
ay x
x2 y2 ax z0
x2z2a2 (x0,z0) y0
24
作业
习8题 4 P 37
P37 3，4，5（1），6, 8
25
思考题
求 椭 圆 抛 物 面 2y2x2z与 抛 物 柱 面 2x2z的 交 线 关 于 xo面 y的 投 影 柱 面 和 在 xo面 y上 的 投 影 曲 线 方 程 .
y2 z2 x x2y z 0
如图,
14
y2 z2 x x2y z 0
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
15
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在 上的投影为
x2y21.
18
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )

隐式方程
通过三个坐标分量之间的 隐式关系来表示空间曲线， 如F(x,y,z)=0，其中F为某 个三元函数。
参数方程
通过引入参数来表示空间 曲线上的点的坐标，如 x=x(t), y=y(t), z=z(t)， 其中t为参数，可以表示空 间曲线上的任意一点。
02 空间曲线的基本类型
一般空间曲线
01
参数方程形式
空间曲线与曲面的切线及法线
要点一
切线与法线的定义
空间曲线在一点处的切线是与该点处 曲线相切的直线，法线则是垂直于切 线的直线。对于曲面而言，切线是指 曲面上一点处与曲面相切的平面，法 线则是垂直于该切平面的直线。
要点二
切线与法线的性质
切线和法线在几何学和微积分学中具 有重要的应用，它们可以用于描述曲 线和曲面的局部性质，如斜率、曲率 等。
空间曲线的基本概念
空间曲线的定义
空间曲线可以看作是一维曲线在三维空间中的推广，由无数个点组成，且每个 点都有三个坐标分量。
空间曲线的分类
根据形状和性质，空间曲线可以分为多种类型，如平面曲线、直线、圆、螺旋 线等。
方程表示方法
01
02
03
显式方程
通过三个坐标分量之间的 显式关系来表示空间曲线， 如x=f(t), y=g(t), z=h(t)， 其中t为参数。
要点三
切线与法线的求解方 法
对于给定的曲线或曲面方程，可以通 过求导或微分的方法得到切线和法线 的方程。对于空间曲线而言，需要分 别求出曲线在参数变化方向上的切向 量和法向量；对于曲面而言，则需要 求出曲面在一点处的切平面和法线向 量。
06 案例分析与实践应用
案例分析：空间曲线在实际问题中的应用
曲线的弯曲程度

x2

y2
在各坐标面上的投影.
z
解（1）在xoy面，
z 2 x2 y2 z 1
消去z x2y2 1
o
x
在 xoy面上的投影为
x2 y2 1 z 0
y
15
（2）在yoz面上
在zz
2x2 1
y2中
，z

1(不含x)是母线
平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段： zx10,
2, 上升的高度 h2b螺距
7
三、空间曲线在坐标面上的投影
z 1.定义 设空间曲线C的一般方程： C
F(x, y,z) 0
o
G(x, y,z) 0
x
y
以C为准线，作母线平行于z 轴的柱面 Cxoy ，则称与xoy 面的交线Cxoy为曲线C在 xoy 面上的投影(曲线), 且称为曲线C 关于xoy面的投影柱面.
t
o
M

x A M y
xaco ts
yasi nt
zvt
螺旋线的参数方程
6
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos

y

a
sin

z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
上升的高度与转过的角度成正比．
即 :0 0 , z:b0 b0 b,
平行于y 轴的柱面
投影柱面 z 1
2 y 0
所以在 xo面z上的投影Czox为线段：
z

1 2,
y 0
| x | 3 2
13
（3）同理在 yoz面上的投影Cyoz也为线段:

平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解 截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i

x2 y2 1. 2 x 3z 6 表示一个母线平行于 y 的柱面 , 其准线是 xz 面上的直
x2 y 2 1,
线 2x 3z 6 , 因而 2x 3z 6 在空间表示一个平面 .
是上述圆
2x 3z 6
柱面和平面的交线 .
z a2 x2 y 2 ,
例 2 方程组
2
a x
y2
2
a 2 表示何曲线 ? 2
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第四节 空间曲线及其方程
一 空间曲线的一般方程
曲面 F x, y, z 0 和 G x, y, z 0 的交线 C 可表示为
F x, y, z 0, G x, y, z 0. 它称为 空间曲线 C 的一般方程 .
x2 y2 1,
例 1 方程组
表示何曲线 ?
2x 3z 6
解
2
x
2
y
1表示母线平行于 z 轴的圆柱面 , 其准线是 xy 面上的圆
x2 y2 1,
C 在 xy面上的投影曲线为 C :
( xy 面上的单位圆 ). 所求立体
z 0.
在 xy 面上的投影即该圆的内部 .
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作业 P. 324 1 (1) , (2) , 2, 3, 4, 7, 8 提示 2 (2) 作图后易理解 .
3 由已知的方程组分别消去 x 和 y 即可 .
4 由已知方程消去 z . 7 参照例 2. 0 z a 2 x 2 y2 表上半球面 z
a 2 x 2 y 2 和平面
z 0所围的半球体的内部 , x2 y2 ax 表圆柱体 x2 y2 ax 0 的内部 .
叫做 螺旋线 . 试建立其参数方程 .
y

直角坐标方程
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量

第12页，共27页。
例3 求
C
:
x
2
x2 (y
y2 1) 2
z2 1 (z 1)2
1
在xoy 面上的投影曲线方程。
z
C
o
1y
x
解: 先从两方程消去z，可得交线C关于xOy面的投
影柱面方程（母线平行于z轴）为：
x2 2y2 2y 0
故C在xoy 面上的投影曲线方程为
x
2
2
y2 2 z0
投影曲线
第11页，共27页。
求空间曲线：
L
F ( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
在 xoy 面上的投影曲线方程的一般步骤
（1）消去变量z后得 xoy 面上的投影柱面：
H( x, y) 0 （1）
（2）确定投影柱面与 xoy 面的交线
H(x, y) 0 z 0
即为所求投影曲线的方程
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解 截线方程为
y2 z2 x x 2y z 0
（1）消去z 得 xoy 面上的投影
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去 y 得 xoz 面上的投影
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
第18页，共27页。
例 6 求抛物面 y2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0
又如,方程组
z a2 x2 y2
x2
y2
ax
0
(x a)2 y2 a2
2
4
表示上半球面与圆柱面的交线C.
z
o ay
x
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第5页，共27页。

y
0
同ห้องสมุดไป่ตู้得 C在yoz 面和xoz面上的投影曲線方程分別為
y
x
z
0
1,
(0
y
1);
x2 2z2 2z 0 y0
8-1
上頁 下頁
又如,
上半球面
和上半錐面
所圍的立體在 xoy 面上的投影區域為 二者交線在
xoy 面上的投影曲線所圍區域 .
二者交線
z
C
在 xoy 面上的投影曲線
投影區域： x2 y2 1, z 0.
C o 1 y
x
8-1
上頁 下頁
8-1
上頁 下頁
例1. 將曲線
化為參數方程表示。
解: 根據 x2 y2 1引入：
並求得 故所求參數方程為
8-1
上頁 下頁
三、空間曲線在座標面上的投影曲線
設空間曲線 C 的一般方程為
消去 z 得投影柱面
z
則C 在xoy 面上的投影曲線 C´為
C
H
(x, y) z0
0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程
x
T
(
C
x, z) y0
0
8-1
上頁 下頁
例如,
C
:
x
2
x2 y2 ( y 1)2
z2 1 (z 1)2
1
① ②
z
①-②，得 z 1 y,
將此代入①，得 C在xoy 面上的
C
o
1y
投影曲線方程為
x
x 2

xyz1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：旋转曲面方程为 zx2 y2,它与所给平面的
交线为
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
xyx2y21
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
xyx2 y2 1 z 0
例2
方程组 ( x

a )2 2

y2

a2 4
表示怎样的曲线？
z
解 z a2x2y2
上半球面,
(xa)2y2 a2
2
4
圆柱面,
交线如图.
o ay
x
二、空间曲线的参数方程
x x(t)

y

y(t)
空间曲线的参数方程
z z ( t )
当给定t t1时，就得到曲线上的一个点 (x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全
解 半球面和锥面的交线为
C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2柱 y2 面 1,
则交C线在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在上的投影为
x2y21.
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
2, 上升的高度 h2b螺距
例4. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2

y2
1
2x 3z 6
(2)zx2 ay22xa2xy02
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
xco t s
ysint
(0t2)
z1 3(62cot)s

1.2 空间曲线的参数方程
例 3 如果空间点 M 在圆柱面 x2 y2 a2 上以角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v
沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 ，v 都是常数），那么点 M 构成的图形称为螺旋线．试建
立其参数方程．
分析 关键是确定参数．已知动点 M 的运动角速度和线速 度，则动点坐标与时间有关，可以以时间 t 为参数．
1.4 空间曲线在坐标面上的投影
定义 以曲线 C 为准线，且母线平行于 z 轴的柱面称为曲线 C 关于 xOy 面的 投影柱面．这个投影柱面与 xOy 面的交线称为空间曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线， 如图所示．投影曲线的方程为
H (x ，y) 0 ， z 0．
同理可得，曲线 C 在 yOz 面或 zOx 面上的投影曲线方程为
x2 y2 1．
高等数学
动，方程（9-17）便是旋转曲面的方程．
例如，球面 x2 y2 z2 a2 可看成 zOx 面上的半圆周
x a sin ，
y
0
，
(0 π)
z a cos ，
x a sin cos ，
绕 z 轴旋转所得，故球面方程为
y
a
sin
sin
，(0
π ，0
2π)
z a cos ，
*1.3 曲面的参数方程
技术上称为螺距.
*1.3 曲面的参数方程
曲面的参数方程通常含有两个参数，形如
x x(s ，t) ，
y
y(s
，t)
，
z z(s ，t) ．
例如，空间曲线
x (t) ，
y
(t)
，(
t
)
z (t) ，