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x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。
答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。
答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。
答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
得分评分人得分评分人第2学期《高等数学》期末考试卷专业班级: 学号 姓名一一、单选题（每小题4分，共40分）。
1．函数3x y =与x 轴，直线1=x 围成的封闭图形的面积为（ ） A ．61 B ．41 C ．31 D ．212．如图，阴影部分的面积是( )A ．B ．2323 D.3533．若3sin , 11()2, 12x x x f x x ⎧+-≤≤=⎨<≤⎩，则21()f x dx -=⎰（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4．若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13-C.13 D.15．下列方程中为一阶微分方程的是（ ）A.2(')'0x y yy -= B. 2('')0y y x ++= C. 2'''0y y x +-= D. 220d yx y dx+=6.下列函数中，（ ）是微分方程'yy x x+=的解。
A. 23x + B.23x C + C.33x C x + D.23x C x+ 7.计算行列式6456的值为（ ）A.-16B.16C.6D.-68.两个矩阵的乘积]1232⎡⎤⎡⎢⎥⎣⎦⎣=（ ）A. 8B.]26⎡⎣ C. 26⎡⎤⎢⎥⎦⎣ D.2346⎡⎤⎢⎥⎦⎣9.判断定积分1212ln x xdx ⎰值的符号为（ ）A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定 10.若220a x dx =⎰,230b x dx =⎰,2sin c xdx =⎰,则,,a b c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<二、填空题（每空3分，共18分）。
1.根据定积分的几何意义，21(3)x dx -+=⎰2.设⎰-=1110)(2dx x f ，则⎰-=11)(dx x f _________3.解定积分24cos xdx ππ=⎰________4.235(''')2'1y y x y x ++=+是 阶微分方程。
高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。
A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。
∑(1/n^2)，n从1到∞。
A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。
A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。
A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。
答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。
答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。
答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。
答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。
答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。
线封密三峡大学试卷班级姓名学号序号《高等数学I (二)》课程 期末考试试卷（A 卷）注意：1、本试卷共3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、填空题(每小题2分，共14分)1、函数)1ln(2222y x y x z --+-=的定义域为 _________________2、已知→→→→→→→+=-+=k i b k j i a 2,4，则→→⋅b a = 。
3、函数333y x xy z --=的驻点为_______________________。
4、函数22y x z -=在点)1,2(处沿)3,1(=l ρ的方向导数)1,2(lz ∂∂= 。
5、⎰=+Lds y x )(22 ，其中4:22=+y x L 。
6、设级数∑∞=1n nu收敛，且u un n=∑∞=1，则级数()=+∑∞=+11n n n u u __________。
7、设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在],(ππ-上的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<--=ππx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 级数在x=0收敛于________二、单项选择题(每小题2分，共14分) （请把答案填在下面的表格中）1、设c b a c a b a ρρρρρ,,,⨯=⨯均为非零向量，则（ ）（A ）c b ρρ=； （B ）)(//c b a ρρρ-； （C ）)(c b a ρρρ-⊥； （D ）c b ρρ=。
2、函数),(y x f 在点),(00y x 的全微分存在是),(y x f 在该点连续的（ ）条件。
（A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）既非充分，也非必要3、设z z y x 4222=++，则=∂∂yz（ ） (A)zy(B) z y -2 (C) 2-z y (D) z y -4、二次积分⎰⎰10),(x dy y x f dx 改变积分次序为（ ）（A ） ⎰⎰110),(dx y x f dy （B ）⎰⎰10),(x dx y x f dy（C ）210(,)y dx f x y dy ⎰⎰（D ）2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰5、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Dd y x f σ),(（ ）（A ）0；（B ）2⎰⎰1),(D d y x f σ；（C ）4⎰⎰1),(D d y x f σ； (D)2⎰⎰2),(D d y x f σ。
《高等数学b2》期末考试试卷（A 卷）1．微分方程02=-'+''y y y 的通解为 ( )． （A ）x x e C eC y 221+=-（B ） xex C C y -+=)(21（C ）xxeC e C y 221-+=（D ） )sin cos (21x C x C e y x+=（其中1C 、2C 为任意常数）2．点)1,1,2(到平面01=+-+z y x 的距离是 ( )． （A ）3（B ） 31（C ）2（D ）53．设二元函数),(y x f 在点),00y x （处的两个偏导数都存在，则函数),(y x f 在该点处（ ）．（A ）连续 （B ）不连续 （C ）可微 （D ）不一定可微 4．0lim =∞→n n u 是级数∑∞=1n nu收敛的（ ）．（A ） 必要非充分条件（B ） 充分非必要条件（C ） 充分必要条件（D ） 既非充分又非必要条件5．设曲线L 的方程为)0(222>=+R R y x ，则⎰+Lds y x 22等于（ ）．（A ）R π2（B ）22R π（C ）R π（D ）2R π6．下列级数中发散的是（ ）．（A ）∑∞=-1)1(n nn（B ）∑∞=121n n （C ） ∑∞=11sin n n（D ） ∑∞=123n n n1．函数xye z =当1=x 、2=y 时的全微分=dz ．2．直线13411:1+=-=-z y x L 与直线1222:2-=-+=zy x L 的夹角=ϕ ．3．若幂级数∑∞=-0)1(n n nx a的收敛半径是1，则该级数在开区间内收敛．4．交换积分次序=⎰⎰1102),(xdy y x f dx．5．已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为．6．函数x x f =)(在),[ππ-上可以展成傅里叶级数为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则 =2b．一、选择题（每小题4分，共24分） 二、填空题（每小题4分, 共24分）1．求微分方程x xy dxdy22=-的通解．2．求上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=的交线C 在xOy 面上的投影曲线方程．3．设y x z 2=，且t x cos =，t y sin =，求dtdz ．4．求函数xy y x z 333-+=的极值．5．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面22y x z +=与平面4=z 所围成的闭区域．6．求幂级数∑∞=-11n n nx 的收敛域及和函数．三、计算题（每小题6分，共36分）1．证明曲线积分⎰-++-）（）（（1,20,1324)4()32dy xy x dx y xy 在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值．2．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧．四、计算题（每题8分，共16分）。
高等数学2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2答案：B3. 计算级数∑(1/n^2)（n从1到∞）的和。
A. 1B. π^2/6C. eD. ∞答案：B4. 设函数f(x)=sin(x)，则f'(x)等于：A. cos(x)B. -sin(x)C. cos(x)-xD. -cos(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的最小值。
答案：02. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
答案：13. 设函数f(x)=e^x，求f''(x)的值。
答案：e^x4. 设函数f(x)=ln(x)，则f(1)的值为：答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
经检验，x=1为极小值点，x=11/3为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。
解：∫(0,π) sin(x) dx = (-cos(x))|_0^π = 2。
3. 求级数∑((-1)^n * 1/n)（n从1到∞）的和。
解：该级数为交错级数，且满足收敛条件，因此其和为ln(2)。
4. 求函数f(x)=x^2-4x+c的顶点坐标。
解：顶点的x坐标为x=-b/2a=2，将x=2代入函数得y=-4+c，因此顶点坐标为(2, -4+c)。
5. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的切线方程。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，将x=2代入得f'(2)=9，f(2)=3。
重庆三峡学院 2008 至 2009 学年度第 2 期高等数学（二）试题（A ）试题使用对象 ： 全院 2008 级 工科各 专业(本科) 命题人： 陈晓春 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。
2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。
一、 填空题（每小题3分，本题共15分） 1．设z =，则z zy x x y∂∂-=∂∂ 2．设222:D x y R +≤，则D=3．设2222:x y z R Ω++≤，则dxdydz Ω=⎰⎰⎰4.级数∑∞=11n p n 收敛，则p 5．微分方程1+=''xe y 的通解 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．存在),(00y x f x ，)(00y x f y 。
则有（ ）。
A ，),(y x f z =在),(00y x 点连续。
B ，),(y x f z =在),(00y x 点有定义。
C ，),(y x f z =在),(00y x 点可微。
D ，),(y x f z =在),(00y x 点存在极限。
2.数∑∞=1n nu收敛，则下列级数（ ）也收敛。
A,1+∑∞=1n nuB ,∑∞=+1)1(n nuC ,∑∞=1n n u D, ∑∞=--11)1(n n n u3. 2012333+--+=y x y x z 的极大值点为（ ）。
A(1,2) B(-1,2) C (-1,-2) D (1,-2)4. 设曲线L ：⎩⎨⎧==t a y t a x sin cos ]2,0[π∈t ，则曲线积分()⎰=+Lds y x 22 。
A 、2a π B 、22a π C 、 3a π D 、32a π 5．表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+为某一函数的全微分的充要条件是（ ）A 、x P ∂∂=y Q ∂∂； B 、y P ∂∂=x Q ∂∂； C 、x P ∂∂=y Q ∂∂-； D 、y P ∂∂=xQ∂∂-。
二、 计算题（每小题8分，共7小题，共56分）1、设函数),(xy y x f +=μ，具有二阶连续偏导数，求x u ∂∂，yx u ∂∂∂2。
2、求曲线x t t y t z t t =+=-=+27425422,,在点(,,)--561处的切线及法平面方程。
3、画出积分区域的草图，并计算二重积分⎰⎰=Ddxdy x I 2，其中D 是由曲线2=xy ，21xy +=及直线2=x 所围成的区域。
4、求幂级数∑∞=-1)2(n nnx 的收敛半径与收敛域。
5、设()(02),f x x x =≤≤将f x ()展成以4为周期的正弦级数。
6． 计算dxdy zdzdx y dydz x 333⎰⎰∑++，其中∑是球面2222R z y x =++的外侧。
7．求微分方程1='+''y y x 的通解。
三、应用题 (7分 )求棱长之和为()120l l >，且具有最大体积的长方体体积。
四、综合题（7分）已知上半平面内一曲线)0)((≥=x x y y 过点(,)01，且曲线上任一点),(y x M 处切线斜率数值上等于此曲线在0到x 之间所形成的曲边梯形面积的两倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.重庆三峡学院 2008 至 2009 学年度第 2 期高等数学（二）试题（A ）答案试题使用对象 ： 全院 2008 级 工科各 专业(本科) 命题人： 陈晓春 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷 一、 填空题（每小题3分，本题共15分） 1． 0 2． 332R π 3．334R π 4. 1> 5． 21221C x C x e y x+++=二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1． B 2. A 3. C 4. D 5． A二、 计算题（每小题8分，共7小题，共56分）1、设函数),(xy y x f +=μ，具有二阶连续偏导数，求x u ∂∂，yx u ∂∂∂2。
解．y f f xu21'+'=∂∂… …4分 2222112112f f xy f y f x f yx u''+''+''+''+''=∂∂∂… …8分 2、求曲线x t t y t z t t =+=-=+27425422,,在点(,,)--561处的切线及法平面方程。
解：1-=t 对应点(,,)--5611分对应的切线方向向量)6,4,3(|)410,4,74(|))(),(),((11-=++='''=-=-=t t t t t z t y t x τρ4分切线方程614635--=+=+z y x 6分法平面方程为0)1(6)6(4)5(3=--+++z y x或 045643=+-+z y x8分3、画出积分区域的草图，并计算二重积分⎰⎰=Ddxdy x I 2，其中D 是由曲线2=xy ，21x y +=及直线2=x 所围成的区域。
解： 图 2分⎰⎰+=212212x xdy dxx I 4分⎰-+=2122)21(dx x x x ⎰-+=2142)2(dx x x x 6分1583]5131[21253=-+=x x x 8分 4、求幂级数∑∞=-1)2(n nnx 的收敛半径与收敛域。
解：令2-=x t ，上述级数变为∑∞=1n n nt 1分因为1limlim1+==∞→+∞→n na a n nn n ρ=1，所以收敛半径R = 1。
3分 当t = 1时，级数∑∞=11n n发散；当t = -1时，级数∑∞=-1)1(n nn收敛； 6分故 11<≤-t ，即121<-≤-x ，故原级数的收敛域为31<≤x 。
8分 5、设()(02),f x x x =≤≤将f x ()展成以4为周期的正弦级数。
解：将f x ()延拓为周期为4的奇函数，其Fourier 系数022sin4cos 42cos 2022cos 22sin2sin)(22,,2,1,0,02220202x n n n n dxx n n x n x n dxxn x dx xn x f b n a n n ππππππππππ+-=+-=====⎰⎰⎰Λ Λ,3,2,1,)1(4=--=n n n π6分 故 .202sin )1(14)(11∑∞=+<≤-=n n x x n n x f ππ 8分6． 计算dxdy z dzdx y dydz x 333⎰⎰∑++，其中∑是球面2222R z y x =++的外侧。
解。
由高斯公式可得dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰∑++3335204222512sin 3)(3R dr r d d dv z y x Rπϕϕθππ==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω…… 8分 7．求微分方程1='+''y y x 的通解。
解：令 p y x p y '=''='),(，得'+=p x p x112分 )(1)1(111C x xC dx e xe y p dx x dx x +=+='=⎰⎰⎰- 6分21ln C x C x y ++= 8分三、应用题 (7分 )求棱长之和为()120l l >，且具有最大体积的长方体体积。
解: 设长方体的棱长分别为z y x ,,。
则l z y x 3=++， 1分目标函数 xyz V =2分令 ()l z y x xyz L 3-+++=λ3分由()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=03000l z y x L xy L xz L yz L z y x λλλλ 解得l z y x ===（唯一驻点） 6分由实际问题知长方体体积的最大体积一定存在，因此()3,,l l l l V =即为所求. 7分 四、综合题（7分）已知上半平面内一曲线)0)((≥=x x y y 过点(,)01，且曲线上任一点),(y x M 处切线斜率数值上等于此曲线在0到x 之间所形成的曲边梯形面积的两倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.解：依题意，得y ydx y x+='⎰2 2分两边求导得 y y y '+=''2，即 02=-'-''y y y ， 3分 该方程的特征方程为 022=--r r ，即1,221-==r r ， 4分 故方程的通解为+=x e C y 21x e C -2， 5分 又 1)0()0(,1)0(=='=y y y ，所以31,3221==C C 。
6分 故此曲线方程为xx e e y -+=31322。
7分。
