2017学年春季学期
《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）
注意：
1、本试卷共 3 页；
2、考试时间110分钟；
3、姓名、学号必须写在指定地方
一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．
1．已知a 与b
都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2
2
22
00
1
lim()sin
x y x y x y →→+=+( ).
(A) 0 (B) 1
(C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是(
).
（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数
（C ）(,)f x y =
（D ）(,)e x y f x y +=
4．函数(,))f x y y ，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).
（A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2
2
:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=
⎰⎰，2D
I σ=，3D
I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<
6．设椭圆L ：13
42
2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰Ñ（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12
7．设级数
∑∞
=1
n n
a
为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.
(A)该级数收敛 (B)该级数发散
(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数
1n
n a
∞
=∑发散，则级数21n
n a
∞
=∑也发散 （B ）若级数
21n
n a ∞=∑发散，则级数1n
n a ∞=∑也发散 （C ）若级数
21n
n a
∞
=∑收敛，则级数
1n
n a
∞
=∑也收敛
（D ）若级数
1
||n
n a
∞=∑收敛，则级数2
1
n n a ∞=∑也收敛
二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．
1.直线34260
30
x y z x y z a -+-=⎧⎨
+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .
2．设(,)ln(),y f x y x x
=+则(1,0)y f '=______ _____.
3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .
4．设2
2
:2D x y x +≤，二重积分
()d D
x y σ-⎰⎰=
.
5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω
+⎰⎰⎰在柱面坐标系下
的三次积分为 .
6.幂级数11
(1)!n
n n x n ∞-=-∑
的收敛域是 . 7.将函数2
1,0
()1,0x f x x x ππ
--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛
于 .
三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名
……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………
三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求u
x ∂∂，u y ∂∂．
解：
2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：
3.交换积分次序，并计算二次积分0
sin d d x
y
x y y
ππ
⎰
⎰
． 解：
4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω
=⎰⎰⎰. 解：
5．求幂级数1
1
n n nx
∞
-=∑的和函数()S x ，并求级数
1
2
n
n n ∞
=∑的和． 解：
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……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………
四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解
2．计算积分22
()d L
x y s +⎰
Ñ，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)． 解：
3．利用格林公式，计算曲线积分2
2()d (2)d L
I x
y x x xy y =+++⎰Ñ，其中L 是由抛物线2y x =和
2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．
4． 计算d x S ∑
⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.
解：
5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
d d d d d d x y y z z x S
++蝌，
其中∑为圆锥面2
2
2
z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：
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……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………
x
O 2y x =
2x y =
y D
