北师大版八年级上册数学第1讲《勾股定理》知识点梳理

第一章勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2 + b 2 = c 2 。

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以运用例：在∆ABC 中，两直角边分别是3和4，则斜边为5.因为32+42=9+16=25=52勾股逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2 +b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形.例：在∆ABC 中，AC=5,BC=12,AB=13.∵AC 2+BC 2=52+122=169=132=AB 2,∴∠C=90°勾股数:满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25.第二章实数有理数和无理数统称为实数整数（例如0，-4，9）有理数（例：-2，0，3，2.14，23 ）分数（例如1.37，-0.25，25）实数 正无理数(例：√2，Π，1.010010001...)无理数（无限不循环小数）负无理数(例：-√3，-1.123456789...)数轴:具有原点、单位长度、正方向的直线叫数轴例：数轴上的点与实数是一一对应的，即数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都能在数轴上找到对应的点。

相反数：a 与-a 互为相反数的两数和为0（a 与b 互为相反数，则a+b=0）例：2与-2；-√3与√3倒数：b 与1b互为倒数的两数积为1（a 与b 互为倒数，则 ab=1） 例：-3与-13；√2与√22绝对值（到原点的距离）：正数的绝对值是它本身（例：|3|=3；|√3|=√3）负数的绝对值是它的相反数（例：|-2|=2；|-√3|=√3）0的绝对值是0算数平方根：若a ≥0，x ≥0，x 2=a,则a a 的算术平方根；即a a 。

平方根：若a ≥0，x 2=a ，则x=a a 的平方根；即a a 。

第一章勾股定理一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b ，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

第一章勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两直角边长分别为\(a\)，\(b\)，斜边长为\(c\)，那么\(a^2 + b^2 = c^2\)。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形。

第二章实数1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。

2. 平方根：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\)；负数没有平方根。

3. 算术平方根：正数\(a\)的正的平方根叫做\(a\)的算术平方根，记作\(\sqrt{a}\)。

4. 立方根：如果一个数的立方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的立方根。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\)的立方根是\(0\)。

第三章位置与坐标1. 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

2. 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为\(x\)轴或横轴，竖直的数轴称为\(y\)轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

3. 点的坐标：对于平面内任意一点\(P\)，过点\(P\)分别向\(x\)轴、\(y\)轴作垂线，垂足在\(x\)轴、\(y\)轴上对应的数\(a\)，\(b\)分别叫做点\(P\)的横坐标、纵坐标，有序数对\((a,b)\)叫做点\(P\)的坐标。

4. 各象限内点的坐标的特征：点\(P(x,y)\)在第一象限：\(x>0\)，\(y>0\)；点\(P(x,y)\)在第二象限：\(x0\)，\(y>0\)；点\(P(x,y)\)在第三象限：\(x0\)，\(y0\)；点\(P(x,y)\)在第四象限：\(x>0\)，\(y0\)。

第1章 勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bccbaE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么22c a b =+22b c a -，22a c b - ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕； 2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕 2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+⑵228BC AB AC =- 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为 ⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC -， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积BC答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得2210AD AE DE + 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：DCBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( )A 、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔 〕A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满足要求的直角三角形共有〔 〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、以下命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>b=c 〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。

cbaD CA B第一章 勾股定理学问点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发觉32+42及52的关系，52+122和132的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。

学问点二：验证勾股定理学问点三：勾股定理证明（等面积法）例1。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：ACBD例2。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：学问点四：勾股定理简洁应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a学问点五：勾股定理逆定理假设三角形的三边长为c b a ,,，满意222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 及22a b +，并验证是否相等。

若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 学问点六：勾股数bbba（1）满意222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的一样的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不行能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7学问点七：确定最短路途1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm,有一只甲虫从A 动身，沿外表爬到C '，最近间隔 是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .学问点八：逆定理推断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形态是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定．2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对学问点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水ABCD A 'B 'C 'D 'ABC5米3米池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，假设把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,安排在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两局部各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发觉旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大一样的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满意(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，程度间隔 AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43 C 、0.2，0.3，0.4 D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ．400225AB812255.在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S△ABC = 。

北师大版八年级上册数学课本知识点第一章 勾股定理1、（4页）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ；b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边；那么222a b c +=.2、（18页）如果三角形的三边长a ；b ；c 满足222a b c +=；那么这个三角形是直角三角形.3、（18页）满足222a b c +=的三个正整数；称为勾股数.第二章 实数4、（35页）无限不循环小数叫做无理数.5、（38页）一般地；如果一个正数x 的平方等于a ；即2x a =；那么这个正数x 就叫做a 的；读作“根号a ”.6、（40页）一般地；如果一个数x 的的平方等于a ；即2x a =；那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）.7、（41页）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根；它是0本身；负数没有平方根.8、（41页）求一个数a 的平方根的运算；叫做开平方；其中a 叫做被开方数.9、（44页）一般地；如果一个数x 的立方等于a ；即3x a =；那么这书数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）.记为；读作“三次根号a ”.如2是8的立方根；23-是827-的立方根；0是0的立方根.10、（45页）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.11、（45页）求一个数a 的立方根的运算；叫做开立方；其中a 叫做被开方数.12、（54页）有理数和无理数统称为实数；即实数可以分为有理数和无理数.实数也可以分为正实数、0、负实数；13、（55页）a 是一个实数；它的相反数为a -；绝对值为a ；如果0a ≠；那么它的倒数为1a. 14、（55页）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来；数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的电视一一对应的.在数轴上；右边的点表示的数比左边的点表示的数大.第二章 图形的平移与旋转15、（69页）在平面内；将一个图形沿某个方向移动一定的距离；这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.16、（69页）经过平移；对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等.17、（78页）在平面内；将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；这样的图形运动称为旋转；这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的大小和形状.18、（79页）经过旋转；图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应角到旋转中心的距离相等.第四章四边形性质探索19、（98页）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.如右图平行四边形ABCD是平行四边形；记作“ABCD”；读作“平行四边形ABCD”；线段BD就是该平行四边形的一条对角线.20、（99、100页）平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等.平行四边形的对角相等.平行四边形的对角线互相平分.（红色字为自己补充的）21、（101页）若两条直线互相平行；则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等；这个距离成为平行线之间的距离.22、（106页）平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.‘一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.23、（108页）一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.24、（108页）菱形的性质：菱形的四条边都相等；对边平行；对角相等；两条对角线互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角.25、（109页）菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.26、（112页）有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.27、（112页）矩形的性质：矩形的对边平行且相等；对角线相等且互相平分；四个角都是直角.28、（113页）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.29、（114页）一组邻边相等的矩形叫做正方形.30、（114页）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.正方形的四条边都相等；四个角都是直角；对角线相等且互相垂直平分；且每一条对角线平分一组对角.31、（115页）正方形、矩形、菱形以及平行四边形之间有什么关系？32、（119页）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.如右图所示；平行的两边叫做梯形的底；不平行的两边叫做梯形的腰.夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高.如下图；两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.33、（120页）等腰梯形同一底上的两个内角相等；对角线相等.34、（123页）同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.35、（125页）在平面内；由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在多边形中；连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.多边形的边、顶点、内角、内角和的含义与三角形相同.n-⋅o.36、（126页）n边形的内角和等于()218037、（126页）在平面内；内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形.38、（129页）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角；它们的和叫做这个多变性的外交和.多边形的外交和都等于360o.第五章位置的确定39、（152页）在平面内；两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.40、（153页）对于平面内任意一点P；过点P分别向x轴、y轴作垂线；垂足在x轴、y轴上对应的数a；b分别叫做点P的横坐标、纵坐标；有序数(),a b叫做点P的坐标.41、平移：（1）纵坐标不变；横坐标分别增加（减少）a个单位时；图形向右或向左平移a个单（2）横坐标不变；纵坐标分别增加（减少）a个单位时；图形向上或向下平移a个单位.伸缩：（1）纵坐标不变；横坐标分别变为原来的a（a>0）倍；图形被横向拉长（a>1）或横向压缩（a<1）为原来的a倍.（2）横坐标不变；纵坐标分别变为原来的a（a>0）倍；图形被纵向拉长（a>1）或纵向压缩（a<1）为原来的a倍.对称：（1）纵坐标不变；横坐标分别乘-1；所得图形与原图形关于Y轴对称.（2）横坐标不变；纵坐标分别乘-1；所得图形与原图形关于X轴对称.（3）横坐标与纵坐标都乘-1；所得图形与原图形关于坐标原点中心对称.第六章一次函数42、（179页）一般地；在某个变化过程中；有两个变量x 和y ；如果给定一个x 值；相应地就确定了一个y 值；那么我们称y 是x 的函数；其中x 是自变量；y 是因变量.43、（182页）若两个变量x ；y 间的关系式可以表示成(,0)y kx b k b k =+≠为常数，的形式；则称y 是x 的一次函数（x 为自变量；y 为因变量）.特别地；当0b =时；称y 是x 的正比例函数.44、（190页）正比例函数y kx =的图像是经过原点()0,0的一条直线.45、（190页）在一次函数y kx b =+中；当0k >时；y 的值随x 值的增大而增大.当0k <时；y 的值随x 值的增大而减小.第七章 二元一次方程组46、（216页）含有两个未知数；并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.47、（217页）含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程；叫做二元一次方程组.适合一个二元一次方程的一组未知数的值；叫做这个二元一次方程的一个解.48、（218页）二元一次方程组中各个方程的公共解；叫做这个二元一次方程组的解.49、（223页）解二元一次方程组的基本思路是“消元”—把“二元”变为“一元”.主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；并代入另一个方程中；从而消去一个未知数；化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法；简称代入法.50、（226页）通过两式相加（减）消去其中一个未知数；这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；简称加减法.第八章 数据的代表51、（251页）一般地；对于n 个数1x ；2x ；…；n x ；我们把()n x x x n +++Λ211叫做这n 个数的算术平均数；简称平均数；记为x .52、（253页）实际问题中；一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同.因而；在计算这组数据的平均数时；往往给每个数据一个“权”.如例1中4,3,1分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权；而称134188350472++⨯+⨯+⨯为A 的三项测试成绩的加权平均数. 53、（259页）一般地；n 个数据按大小顺序排列；处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.。

勾股定理1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。

如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.B弦ca勾ACb股勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2.勾股定理定义的应用：〔1〕直角三角形的两边求第三边〔在ABC中，C90，那么22cab，22 bca，22 acb〕〔2〕直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边〔3〕利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题例.在Rt△ABC中，∠C=90°〔1〕假设a=5，b=12，那么c=________；〔2〕b=8，c=17，那么S△ABC=________。

3.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等DC式，推导出勾股定理HEG 常见方法如下：Fba方法一：4SS正方形S正方形ABCD，EFGH1224ab(ba)c，化简2A cBba可证acbc方法二：cbc四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．aba四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为122S4abc2abc2大正方形面积为222S(ab)a2abb所以222 abc4.勾股定理的逆定理222如果三角形的三边长a、b、c满足a＝c，那么这个三角形是直角三角形。

+b5.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数〔注意：假设a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

〕常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,1372425，81517注：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：〔1〕首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；〔2〕验证c+b假设c2＝a2+b2，那么△ABC是以∠C为直角的直角三角形2>a2+b2，那么△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；假设c2<a2+b2，那么△ABC为锐角三角形。

北师大版八年级上册第一章知识点一、勾股定理。

1. 定理内容。

- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的平方c^2=3^2+4^2=9 + 16=25，所以斜边c = 5。

2. 勾股定理的证明。

- 常见的证明方法有赵爽弦图证明法等。

- 赵爽弦图：以直角三角形的斜边c为边长的正方形的面积等于以直角边a、b 为边长的四个直角三角形与一个小正方形面积之和。

即c^2=4×(1)/(2)ab+(b - a)^2，化简后可得c^2=a^2+b^2。

3. 勾股定理的应用。

- 已知直角三角形的两边求第三边。

- 当已知两条直角边a、b时，斜边c=√(a^2)+b^{2}。

- 当已知一条直角边a和斜边c时，另一条直角边b=√(c^2)-a^{2}。

- 解决实际问题中的直角三角形问题。

- 例如，在一个长方形中求对角线长度（长方形的相邻两边与对角线构成直角三角形）；在一个梯形中，通过作高构造直角三角形来求相关线段长度等。

二、勾股定理的逆定理。

1. 定理内容。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 判断直角三角形的方法。

- 首先计算三边的平方，看是否满足两短边的平方和等于长边的平方。

- 例如，三角形三边分别为3、4、5，因为3^2+4^2=9 + 16 = 25=5^2，所以这个三角形是直角三角形，其中边长为5的边所对的角为直角。

3. 勾股数。

- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。

- 如果(a,b,c)是一组勾股数，那么ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数。

例如，(3,4,5)是勾股数，那么(6,8,10)（k = 2时）也是勾股数。

勾股定理第一节 探索勾股定理●应知 基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。

2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。

（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。

（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。

一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。

【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。

【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。

3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。

【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会 基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。

在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。

北师大版八上数学知识点归纳第一章勾股定理。

1. 勾股定理。

- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如，一个直角三角形的两直角边分别为3和4，那么斜边的平方c^2=3^2+4^2=9 + 16=25，所以斜边c = 5。

2. 勾股定理的逆定理。

- 如果三角形的三边长a，b，c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

- 例如，三角形三边为5，12，13，因为5^2+12^2=25+144 = 169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。

3. 勾股数。

- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。

第二章实数。

1. 无理数。

- 无限不循环小数叫做无理数。

如√(2)，π等。

2. 平方根。

- 如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的平方根。

正数a有两个平方根，它们互为相反数，记为±√(a)；0的平方根是0；负数没有平方根。

- 例如，4的平方根是±2，因为(±2)^2=4。

3. 算术平方根。

- 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记为√(a)。

0的算术平方根是0。

- 例如，9的算术平方根是3，即√(9)=3。

4. 立方根。

- 如果一个数x的立方等于a，即x^3=a，那么这个数x叫做a的立方根，记为sqrt[3]{a}。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

- 例如，8的立方根是2，因为2^3=8；-8的立方根是-2，因为( - 2)^3=-8。

5. 实数的分类。

- 实数包括有理数和无理数。

有理数包括整数和分数，整数又分为正整数、0、负整数；分数分为有限小数和无限循环小数。

无理数是无限不循环小数。

6. 实数的运算。

- 在进行实数运算时，有理数的运算法则和运算律同样适用于实数。

北师版八年级数学第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDC B A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DC B A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A。

《勾股定理》【知识网络】【要点梳理】1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.拼图法验证勾股定理3.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ； （2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形； 若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形． 4.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.5、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【常考题型】类型一、面积问题1．如图，∠ACB ＝90°，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 1＝1，S 2＝3，则S 3为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9解析．如图，∠ACB ＝90°，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 1＝1，S 2＝3，则S 3为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9【分析】先设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，再分别用a 、b 、c 表示S 1、S 2、S 3的值，由勾股定理即可得出S 3的值．【解答】解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ， ∴S 1＝a 2＝1，S 2＝b 2＝3，S 3＝c 2，∵△ABC是直角三角形，∴a2+b2＝c2，即S1+S2＝S3，∴S3＝S1+S2＝1+3＝4，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的应用及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．2、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．【答案与解析】解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD的面积是36．3、在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．【答案与解析】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=14﹣x，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S△ABC=BC•AD=×14×12=84．4.（2014春•防城区期末）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．5．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位．（1）在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法；（2）请你在图上画出一个面积为5个单位的正方形．解析．如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位．（1）在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法；（2）请你在图上画出一个面积为5个单位的正方形．【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可．（2）可以利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）正方形ABCD如图所示．根据网格和勾股定理可知：AB2＝22+62＝40（个单位），∴正方形ABCD的面积为40个单位；（2）面积为5个单位的正方形如图所示．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．类型二、判断形状1.如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【答案与解析】解：∵△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1， ∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25， ∴BE2+EF2=BF2， ∴∠BEF=90°，即△BEF 是直角三角形．2、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔAB C 的形状.【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ： 2226981610250a a b b c c -++-++-+= ∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=∵222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c === ∵ 222345+=, ∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.类型三、最短路径问题1.【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ．∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．2、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC ＝400米，BD ＝200米，CD ＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决． 【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ． ∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=． ∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）A ．6B ．8C ．9D ．15【解答】解：将台阶展开，如图， 因为AC ＝3×3+1×3＝12，BC ＝9， 所以AB 2＝AC 2+BC 2＝225， 所以AB ＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 答：蚂蚁爬行的最短线路为15． 故选：D ．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．4．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9 B．10 C．18 D．20解析．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9 B．10 C．18 D．20【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于EG的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝15cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝12cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝9cm，∴则该圆柱底面周长为18cm．故选：C．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．5．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是25cm．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB＝；∵25＜5，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．故答案为：25【点评】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．类型4：折叠问题1．如图所示，把长方形AOBC放在直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为（2，1），将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD 交x轴于点E，则点D的坐标为．【解答】解：如图，过点D作DH⊥OB于H，∵四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（2，1），∴OA＝BC＝1，AC＝OB＝2，∵将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，∴AD＝AC＝2，BD＝BC＝1，在△AOE和△BDE中，，∴△AOE≌△BDE（AAS），∴AE＝BE，OE＝ED，设AE＝BE＝x，则OE＝2﹣x，∵OA2+OE2＝AE2，∴12+（2﹣x）2＝x2，解得x＝，∴BE＝，DE＝OE＝，∵S△DEB＝×DE×BD＝×BE×DH，∴DH＝，∴BH＝＝＝，∴OH＝，∴点D（，﹣），故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求DH的长是本题的关键．2．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE 折叠，当点D的对应点D′刚好落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为或．【分析】过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．设DE＝a，则D′E＝a．∵矩形ABCD有两条对称轴，∴分两种情况考虑：①当DM＝CM时，AN＝DM＝CD＝AB＝4，AD＝AD′＝5，由勾股定理可知：ND′＝＝3，∴MD′＝MN﹣ND′＝AD﹣ND′＝2，EM＝DM﹣DE＝4﹣a，∵ED′2＝EM2+MD′2，即a2＝（4﹣a）2+4，解得：a＝；②当MD′＝ND′时，MD′＝ND′＝MN＝AD＝，由勾股定理可知：AN＝＝，∴EM＝DM﹣DE＝AN﹣DE＝﹣a，∵ED′2＝EM2+MD′2，即，解得：a＝．综上知：DE＝或．故答案为：或．【点评】本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM长度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键．类型5：实际应用1．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB′的长为10尺，则B′C＝5尺，设出AB＝AB′＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的水深．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，∵B′E＝10尺，∴B′C＝5尺，在Rt△AB′C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．2．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE，请用a，b，c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD＝a（a+b），S△EBC＝b（a﹣b），S四边形AECD＝c2，则它们满足的关系式为a（a+b）＝b（a﹣b）+c2，经化简，可得到勾股定理．（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）知识运用：（1）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C，D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为41千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出AP的距离．（3）知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值20（0＜x＜16）．【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．知识运用：（1）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC＝AE，CE＝AB，从而得到DE＝AD﹣AE＝24﹣16＝8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．（2）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC＝PD建立方程，解方程即可．（3）知识应用：根据轴对称﹣最短路线的求法即可求出【解答】解：小试牛刀：S梯形ABCD＝a（a+b），S△EBC＝b（a﹣b），S四边形AECD＝c2，它们满足的关系式为：a（a+b）＝b（a﹣b）+c2，故答案为：a（a+b），b（a﹣b），c2，a（a+b）＝b（a﹣b）+c2．知识运用：（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC＝AE，CE＝AB，∴DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米，∴CD＝＝＝41（千米），∴两个村庄相距41千米．故答案为：41．（2）如图2②所示：设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242，在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162，∵PC＝PD，∴x2+242＝（40﹣x）2+162，解得x＝16，即AP＝16千米．知识迁移：如图3，先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作EF⊥AD与E，即：DF就是代数式+的最小值．代数式+的几何意义是线段AB上一点到点D，C的距离之和，而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，∴代数式+的最小值为：＝＝＝20．故答案为：20．【点评】此题是四边形是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．3．随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．【分析】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：能通过；理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，则OP＝0.8m，OE＝1m，∠OPE＝90°，在Rt△OPE中，由勾股定理得，EP2＝OE2﹣OP2＝1﹣0.82＝0.36，∴EP＝0.6（m），∴EF＝0.6+1.8＝2.4（m），∵2.4＞2.3，∴运输车通过储藏室的门．【点评】本题考查了勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．类型6：勾股定理的验证1．如图①是一个边长为a+b的正方形，李明将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【分析】用代数式分别表示图①、图②的阴影部分面积即可得出答案．【解答】解：如图①，S阴影＝S大正方形﹣S小正方形＝（a+b）2﹣（a2+b2），图②菱形的对角线的长分别为2a，2b，因此S阴影＝S菱形＝×2a×2b＝2ab，所以有（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，故选：C．【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．。

新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结第一章勾股定理1 •勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即a2 b2 c2。

2 •勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明(两种方法) 。

3 •勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a , b , c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。

满足a2 b2 c2的三个正整数称为勾股数。

常见勾股数：(3、4、5) (6、8、10) (5、12、13) (& 15、17)第二章实数1 •平方根和算术平方根的概念及其性质：(1)概念：如果x2 a，那么x是a的平方根，记作：.a ；其中,a叫做a的算术平方根。

(2)性质：①当a > 0时， > 0；当a vo时，a .a2a。

2 .立方根的概念及其性质：(1 )概念：若x3 a，那么x是a的立方根，记作：3 a ；(2 )性质：①需3a :②Va a :③旷=需3 .实数的概念及其分类：(1)概念：实数是有理数和无理数的统称；(2)分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。

无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。

4 .与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是----------- 对应的。

因此，数轴正好可以被实数填满。

5•算术平方根的运算律：f ag. b , ag) ( a》0, b》0)；第三章图形的平移与旋转1 •平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。

勾股定理知识要点一．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在ABC Rt ∆中，,,,90B A C ∠∠︒=∠C ∠的对边分别为c b a ,,， 则有：①222b a c +=；②222b c a -=；③222a c b -=．二．勾股定理的巧妙运用1．面积求值：直角三角形中，如果两直角边为a 、b,斜边为 c ，斜边上的高为h ，那么它们存在这样的关系：ch ab =或c ab h =.2．特殊直角三角形一：如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（反之如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）2:3:1::=c b a3．特殊三角形二： 在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2（2:1:1::=c b a三、勾股定理的逆定理：1、如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=(c 为最长边)那么这个三角形是直角三角形。

2．勾股数组简介:若a 、b 、c 均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式222a b c +=时，我们称（a 、b 、c ）为基本勾股数组。

这些勾股数是一定要记住的，以后做题将会好处多多。

ab=3a 30°c=2aabch《经典例题》《基础例题》例1、边的求值：（ a 2 + b 2 = c 2 ，其中C 为斜边）（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12， 则 c ＝ ． （2）在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝25， a ∶b ＝3∶4，则a ＝ ，b ＝ ．例2、高的求值：（cabh，a 和b 为直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高） （1）直角三角形的两直角边为12、16，则斜边上的高等于 。

（2）Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，则AB=10，高CD=__ ___. 例3、一般三角形如何利用勾股定理求值：（1）已知等边△ABC 的边长为10cm ，则它的高为_____ _,面积为_________; （2）△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A.42B.32C.42 或32D.37 或 33（3）已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为 。

新北师大版数学八年级上册复习知识点HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】新北师大版八年级上数学第一章到第七章知识点总结第一章 勾股定理【主要知识】1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于_______________。

如果用b a ,和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________【注】①直角三角形；②找准斜边、直角边。

2、（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b a ,,满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。

（2）勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为______________。

3、勾股定理的应用1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）A ．26B ．18C ．20D ．212、在下列数组中，能构成一个直角三角形的有（ ）①10，20，25；②10，24，25；③9，80，81；④8；15；17A 、4组B 、3组C 、2组D 、1组3、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是( ).A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形4、下列各组数：①，，；②9，12，16；③4，5，6；④a 8，a 15，a 17（0≠a ）； ⑤9，40，41。

其中是勾股数的有（ ）组A 、1B 、2C 、3D 、45、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )A 、 直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、无法确定6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ）A ：5B ：10C ：25D ：57、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

北师大版八年级上册数学笔记一、勾股定理。

1. 勾股定理内容。

- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如：一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，根据勾股定理，斜边c=√(3^2) + 4^{2}=√(9 + 16)=√(25)=5。

2. 勾股定理的证明。

- 常见的证明方法有赵爽弦图证明。

- 赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

设直角三角形的两条直角边分别为a、b（b > a），斜边为c。

大正方形的面积可以表示为c^2，也可以表示为(b - a)^2+4×(1)/(2)ab，即b^2-2ab+a^2+2ab=b^2+a^2，从而证明了a^2+b^2=c^2。

3. 勾股定理的逆定理。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

- 例如：三角形三边分别为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144 =169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。

二、实数。

1. 无理数的概念。

- 无限不循环小数叫做无理数。

- 例如：√(2)，π等都是无理数。

√(2)=1.414213562373095·s，它的小数部分是无限不循环的。

2. 实数的分类。

- 实数分为有理数和无理数。

有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数和无限循环小数）；无理数就是无限不循环小数。

- 可以用如下的图表表示：- 实数有理数整数正整数 0 负整数分数有限小数无限循环小数无理数(无限不循环小数)3. 实数的运算。

- 实数的运算顺序与有理数的运算顺序相同：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。

- 例如：计算√(9)+2×(3 - π)^0-<=ft(-(1)/(2))^-1- 解：√(9)=3，因为任何非零数的0次方都为1，所以(3-π)^0=1，<=ft(-(1)/(2))^-1=-2。