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北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
cbaD CAB第一章 勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。
知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：例2。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c bbbbccccaaaabbb ba accaaACBDAB如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7知识点七：确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .知识点八：逆定理判断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )ABCD A 'B 'C 'D 'BC5米3米1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2+ n 2, m 2– n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，水平距离AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43C 、0.2，0.3，0.4D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ． A815.在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ．6.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高AD= ，S △ABC = 。
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBACA B E D练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例 2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ).A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cmCABD练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62 ，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
北师大版八年级数学上册完全复习知识点+典型例题第一章 勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222a b c +=. 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）.3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ；b ；c 满足222a b c +=；那么这个三角形是直角三角形.满足222a b c +=的三个正整数称为勾股数.第二章 实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果2x a =；那么x 是a的平方根；记作：a 的算术平方根.（2）性质：①当a ≥00；当a无意义；②2＝aa=.2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若3x a =；那么x 是a（2a =；②3a=＝ 3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零.无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数.4．与实数有关的概念： 在实数范围内；相反数；倒数；绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内；有理数的运算法则和运算律同样成 立.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来；数轴上的每一个点都表示一个实数；即实数和数轴上的点是一一对应的.因此；数轴正好可以被实数填满. 5．算术平方根的运算律： （a ≥0；b ≥0）a ≥0；b ＞0）.第三章图形的平移与旋转1.平移不改变图形大等.2．旋转：在平面内；将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；这样的图形运动称为旋转.这点定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角.旋转不改变图形大小和形状；改变了图形的位置；经过旋转；图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等. 3．作平移图与旋转图. 第四章 四边形性质的探索 12（1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.（2）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角.四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；一组邻边相等的平行==四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算；即S 菱形=L1*L2/2）.（3）矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的对角线相等；四个角都是直角.对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半； 在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半.（4）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形.正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质.（5）等腰梯形同一底上的两个内角相等；对角线相等.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形；对角互补的梯形是等腰梯形.（6）三角形中位线：连接三角形相连两边重点的线段.性质：平行且等于第三边的一半 3．多边形的内角和公式：（n-2）*180°；多边形的外角和都等于360o.4．中心对称图形：在平面内；一个图形绕某个点旋转180o；如果旋转前后的图形互相重合；那么这个图形叫做中心对称图形.第五章 位置的确定1．直角坐标系及坐标的相关知识.2．点的坐标间的关系：如果点A 、B 横坐标相同；则AB ∥y 轴；如果点A 、B 纵坐标相同；则AB ∥x 轴. 3．将图形的纵坐标保持不变；横坐标变为原来的1-倍；所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变；纵坐标变为原来的1-倍；所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1-倍；所得到的图形与原图形关于原点成中心对称. 第六章 一次函数1．一次函数定义：若两个变量,x y 间的关系可以表示成y kx b =+（,k b 为常数；0k ≠）的形式；则称y 是x 的一次函数.当0b =时称y 是x 的正比例函数.正比例函数是特殊的一次函数.2．作一次函数的图象：列表取点、描点、连线；标出对应的函数关系式. 3．正比例函数图象性质：经过()0,0；k ＞0时；经过一、三象限；k ＜0时；经过二、四象限.4．一次函数图象性质：（1）当k ＞0时；y 随x 的增大而增大；图象呈上升趋势；当k ＜0时；y 随x 的增大而减小；图象呈下降趋势. （2）直线y kx b =+与轴的交点为()0,b ；与x 轴的交点为 .（3）在一次函数y kx b =+中：k ＞0；b ＞0时函数图象经过一、二、三象限；k ＞0；b ＜0时函数图象经过一、三、四象限；k ＜0；b ＞0时函数图象经过一、二、四象限；k ＜0；b ＜0时函数图象经过二、三、四象限.（4）在两个一次函数中；当它们的k 值相等时；其图象平行；当它们的k 值不等时；其图象相交；当它们的k 值乘积为1-时；其图象垂直.4．已经任意两点求一次函数的表达式、根据图象求一次函数表达式. 5．运用一次函数的图象解决实际问题. 第七章 二元一次方程组1．二元一次方程及二元一次方程组的定义.2．解方程组的基本思路是消元；消元的基本方法是：①代入消元法；②加减消元法；③图象法.,0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．方程组解应用题的关键是找等量关系.4．解应用题时；按设、列、解、答 四步进行.5．每个二元一次方程都可以看成一次函数；求二元一次方程组的解；可看成求两个一次函数图象的交点. 第八章 数据的代表1．算术平均数与加权平均数的区别与联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况；（它特殊在各项的权相等）；当实际问题中；各项的权不相等时；计算平均数时就要采用加权平均数；当各项的权相等时；计算平均数就要采用算术平均数.2．中位数和众数：中位数指的是n 个数据按大小顺序（从大到小或从小到大）排列；处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）.众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据. 应知应会的知识点 因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式；叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b ）（a- b ）；(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理；加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n ）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q ； 有“ x2+px+q 是完全平方式 ⇔ q2p 2=⎪⎭⎫⎝⎛”. 分式1．分式：一般地；用A 、B 表示两个整式；A ÷B 就可以表示为B A 的形式；如果B 中含有字母；式子B A叫做分式.2．有理式：整式与分式统称有理式；即⎩⎨⎧分式整式有理式. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零；则分式无意义；反之有意义；（2）若分式的分子为零；而分母不为零；则分式的值为零；注意：若分式的分子为零；而分母也为零；则分式无意义. 4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式；分式的值不变；（2）注意：在分式中；分子、分母、分式本身的符号；改变其中任何两个；分式的值不变；即 分母分子分母分子分母分子分母分子-=-=-=--- （3）繁分式化简时；采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法；比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去；叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式；这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.7．分式的乘除法法则：,bdac d c b a =⋅ bc ad c d b a d c b a =⋅=÷.8．分式的乘方：为正整数）（n .b a b a n n n=⎪⎭⎫⎝⎛.9．负整指数计算法则：（1）公式： a0=1(a ≠0), a-n=na 1(a ≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；（3）公式：nna b b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-；n m m n a b b a =--；（4）公式： （-1）-2=1； （-1）-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质；把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式；叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.12．同分母与异分母的分式加减法法则： ;c b a c b c a ±=±bd bcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a ≠0)中,x 是未知数,a 和b 是用字母表示的已知数；对x来说；字母a 是x 的系数；叫做字母系数；字母b 是常数项；我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a 、b 、c 等表示已知数；用x 、y 、z 等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式；叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时；一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的；分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时；为了去分母；方程的两边同乘以了含有未知数的代数式；所以可能产生增根；故分式方程必须验增根；注意：在解方程时；方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式；因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母）；若值为零；求出的根是增根；这时原方程无解；若值不为零；求出的根是原方程的解；注意：由此可判断；使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样；但需要增加“验增根”的程序.数的开方1．平方根的定义：若x2=a,那么x 叫a 的平方根；（即a 的平方根是x ）；注意：（1）a 叫x 的平方数；（2）已知x 求a 叫乘方；已知a 求x 叫开方；乘方与开方互为逆运算. 2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数； （2）0的平方根还是0； （3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.注意：a 可以看作是一个数；也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根；表示为a .注意：0的算术平方根还是0. 5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ；a ≥0 .注意：非负数之和为0；说明它们都是0. 6．两个重要公式： （1）()a a 2=; (a ≥0)（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2.7．立方根的定义：若x3=a,那么x 叫a 的立方根；（即a 的立方根是x ）.注意：（1）a 叫x 的立方数；（2）a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方. 8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数； （2）0的立方根还是0；（3）负数的立方根是一个负数.9．立方根的特性：33a a -=-.10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：π和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数. 12．实数的分类：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0（2）⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0.13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求；则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求；则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时；中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：414.12= 732.13= 236.25=. 三角形几何A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用；主要用于填空和选择题） 一 基本概念： 三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识： 1．三角形中；第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和. 2．三角形中；有三条角平分线、三条中线、三条高线；它们都分别交于一点；其中前两个交点都在三角形内；而第三个交点可在三角形内；三角形上；三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段. 3．如图；三角形中；有一个重要的面积等式；即：若CD ⊥AB ；BE ⊥CA ；则CD ·AB=BE ·CA. 4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和. 5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7．如图；双垂图形中；有两个重要的性质；即：（1） AC ·CB=CD ·AB ； （2）∠1=∠B ；∠2=∠A .8．三角形中；最多有一个内角是钝角；但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中；重合的点是对应顶点；对应顶点所对的角是对应角；对应角所对的边是对应边. 10．等边三角形是特殊的等腰三角形. 11．几何习题中；“文字叙述题”需要自己画图；写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等. 13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线. 15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中；首先要画出草图并标出字母；然后确定先画什么；后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图. 17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线： （1）选取和作辅助线的原则： ① 构造特殊图形；使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件；转移线段；转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.（3）已知三角形中线（若AD 是BC 的中线）A B CE D A B CD 124、在Rt △ABC 中；∠C ＝90°；∠B ＝45°,c ＝10；则a 的长为（ ）A ：5B ：10C ：25D ：55、下列定理中,没有逆定理的是（ ）A ：两直线平行；内错角相等B ：直角三角形两锐角互余C ：对顶角相等D ：同位角相等；两直线平行 6、△ABC 中；∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ；AB ＝8；BC ＝15；CA ＝17；则下列结论不正确的是（ ） A ：△ABC 是直角三角形；且AC 为斜边 B ：△ABC 是直角三角形；且∠ABC ＝90°C ：△ABC 的面积是60D ：△ABC 是直角三角形；且∠A ＝60° 7、等边三角形的边长为2；则该三角形的面积为（ ）A ：BC ：D ：39、如图一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A 出发向东北方向航行；另一轮船12海里∕小时从港口A 出发向东南方向航行；离开港口3小时后；则两船相距（ ）A ：36 海里B ：48 海里C ：60海里D ：84海里10、若ABC V 中；13,15AB cm AC cm ==；高AD=12,则BC 的长为（ ） A ：14 B ：4 C ：14或4 D ：以上都不对 二、填空题（每小题4分；共40分）12、如图所示；以Rt ABC V 的三边向 外作正方形；其面积分别EA DC B E AD C B C ADECEB D ADC BAC A DF D C B AC A DCB A D E F 为123,,S S S ,且1234,8,S S S ===则 ；14、如图；90,4,3,12C ABD AC BC BD ︒∠=∠====,则AD= ； 16、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ；那么这个直角三角形斜边上的高为 ；19、如图；已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂；竹杆顶部抵着地 面；此时；顶部距底部有 m ；20、一艘小船早晨8：00出发；它以8海里/时的速度向东航行；1小时后；另一艘小船以12海里/时的速度向南航行；上午10：00；两小相距 海里. 三、解答题（每小题10分；共70分）21、如图；为修通铁路凿通隧道AC ；量出∠A=40°∠B ＝50°；AB ＝5公里；BC ＝4公里；若每天凿隧道0.3公里；问几天才能把隧道AB 凿通？22、如图；每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积. 23、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面积是多少?24、如图；已知在△ABC 中；CD ⊥AB 于D ；AC ＝20；BC ＝15；DB ＝9. (1)求DC 的长.(2)求AB 的长. 25、如图9；在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ；则我边防海警船的速度为多少时；才能恰好在C 处将可疑船只截住？26、如图；小明在广场上先向东走10米；又向南走40米；再向西走20米；又向南走40米；再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.27、如图；小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸；已知该纸片宽AB 为8cm ；•长BC•为10cm ．当小红折叠时；顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想；此时EC 有多长？•例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？ 例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根；求这个数.例3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的.正确的个数是（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 例4 （1）8kmC B6km已知22(4)0,()y x y xz -++=求的平方根。
