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第一章勾股定理一、基本知识点：1.勾股定理2.勾股定理的逆定理3.实际应用的勾股定理：（1）求距离；（2）是否够用问题；（3）折叠问题；二、基本方法：1.直接计算求第三边；2.用方程求第三边三、举例：例1.甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东350航行，乙船向南偏东550航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C ,B两岛相距40海里，问：乙船的航速是多少？针对练习9处决裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处。
旗杆折断之前有多高？1.如图，一根旗杆在离地面m例2.已知一辆装满货物的卡车高2.5米，宽1.6米，要开进某一如图所示的桥洞，AD=2.3米。
问这辆卡车能否经过桥洞？说明理由。
针对练习1.如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米，宽为3米的卡车能通过该隧道吗？BFECAD 例2. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。
例3. 有一圆柱，高12cm,底面直径6cm ,在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面B 点的食物，爬行的最短路程是多少？（π=3） 针对练习1.如图，一圆柱高8cm, 底面半径2cm,一只蚂蚁从A 点爬行到B 点吃食物，要爬行的最短的路程是（π取3）（ ） A 、20㎝ B 、10㎝ C 、14㎝ D 、无法确定2.葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘升的路线，总是沿最短路线——螺旋前进的。
难道植物也懂数学？ （1） 如果树的周长为3cm,绕一圈升高4cm ，则它爬行路程是多少厘米？ （2） 如果树的周长为8cm ，绕一圈爬行10cm ，则爬行一圈升高多少厘米？例4. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm 。
《第一章勾股定理复习课》教学设计课标要求：探索勾股定理，及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.复习目标：知识与技能：系统掌握勾股定理及逆定理，灵活利用勾股定理及逆定理进行计算并解决简单的实际问题.过程与方法：通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与态度：在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.复习重点：利用勾股定理及逆定理，进行计算和解决实际问题.复习难点：利用建模思想构建直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.一、学习目标1、整理本章知识结构.2、熟练掌握勾股定理，以及逆定理，会判断一组数是不是勾股数.3、能够应用勾股定理及其逆定理解决问题.二、学习过程活动一：梳理知识1、小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图.活动二：验证勾股定理请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形.活动三：学以致用1.我们学校每周一早上举行升旗，我想知道旗杆的高度，你能用所学知识解决这个问题吗？活动四：合作探究（一）1.学校分给咱们班一块四边形菜地，如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，你能求出这块菜地的面积吗？活动四：合作探究（二）2.如图，圆柱的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，蚂蚁从圆柱下底面的A点爬到与A点相对的B点处，沿圆柱侧面爬行的最短路程长是多少？变式一：如图，在棱长分别是5，3，7的长方体顶点A处有一个蚂蚁，现要向顶点B爬行，求最短路线长.活动四：合作探究（三）3.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长.三、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？四、堂堂清测验1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )A.8,15,17B.4,5,6C.5,8,7D.8,39,402、如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4 m，这棵大树在折断前的高度为（）A.7 mB.10 mC.8 mD.12 m3、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC的面积.（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由.五、今天的作业：课本第一章复习题六、学后反思。
课题： 《勾股定理》单元复习 一、学习目标 1.回顾本章的知识，尤其是勾股定理的获得和验证的过程.2.构建本章知识系统，会用勾股定理及其逆定理解决问题.3.体验解决问题中方法的多样性，提高解决问题，反思问题的能力．二、思维导图画出本章知识的思维导图，并与同伴进行分享交流.三、目标达成【目标1】（1）已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为__________（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =2， △ABC 的面积为3cm 2， 则△ABC 的周长是 ．【目标2】（1）△ABC 的三边为a 、b 、c ，能说明此三角形为直角三角形的个数为__________①∠A =42°，∠B =48°； ②13a =，14b =，15c =； ③a =7，b =24，c =25； ④∠A :∠B :∠C =3:4:5； ⑤2a :2b :2c =1:3:2.（2）如图，已知AB :BC :CD :DA =2:2:3:1，且∠ABC =90°，则∠DAB=_________【目标3】如图，在一棵树CD 的10米高处B 有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处，另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距离相等，请问这棵树有多高?小结： 【目标4】如图，透明的圆柱形玻璃杯(厚度不计)的高为9cm ，底面周长为10cm ，在杯外壁离杯顶部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在杯外壁的点A 处，恰好与B 相对，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长为_________.小结：变式：若将“在杯外壁离杯顶部3cm 的点B 处有一饭粒”改为“在杯内壁离杯顶部3cm 的点B 处有一饭粒”，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长为_________.A B小结：四、我的思考五、学习评价1.根据下列条件，能判定一个三角形是直角三角形的是（ ）A. 三条边的边长之比是1:2:3B. 三个内角的度数之比是1:1:2C. 三条边的边长分别是31，41，51D. 三条边的边长分别是12，15，20 2.在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ：b =3:4，c =15cm ，则a =_________3.如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，CD =13，DA =12，则S 四边形ABCD =_______.3题图 4题图 5题图4.如图，长方体的底面边长分别为9cm 和3cm ，高为7cm ，若一只蚂蚁从P 开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .5.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，求船向岸边移动的距离.(假设绳子是直的)6.如图，矩形ABCD 的长AD =9cm ，宽AB =3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合.（1）求折叠后DE 的长; （2）求重叠部分△BEF 的面积.。
第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理一、问题引入：（1）观察下面下图，若每个小正方形的面积为1，则第①个图中，A S = ，B S = ，C S = . 第②个图中，A S = ，B S = ，C S = .三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？以上结论与三角形三边有什么关系？ 通过这种关系你发现了什么？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 即直角三角形 的平方和等于 的平方. 二、基础训练：1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 .（1） （2）2、如图（2），三角形中未知边x 与y 的长度分别是x = ，y = .3、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则AB 的长为（ ）A.6B.8C.10D.12ABCCBA257三、例题展示：例1:在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =3，b=4，则c=_____________； （2）若a =9，c=15，则b=______________；例2:如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？（提示：用数学符号去表示线段的长）四、课堂检测：1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（ ）A.5B.12C.13D.182、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）A.24cm 2B.36cm 2C.48cm 2D.60cm 23、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4， c =10，则a= ，b = .4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 . （π不取近似值）第4题图5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长.6、（选做题）一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？第一章勾股定理1.2 一定是直角三角形吗一、问题引入：1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?(1)3, 4, 5 (2)6, 8, 102、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？3、如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.4、满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数.二、基础训练：1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A. 5，6，7B. 1，4，9C. 5，12，13D. 5，11，122、下列几组数中，为勾股数的是（）A. 4，5，6B. 12，16，20C. 10，24，26D. 2.4，4.5，5.13、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A.42B.52C.7D.52或74、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D .都有可能三、例题展示：例1：一个零件的形状如下左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都是直角，工人师傅量得某个零件各边尺寸如下右图所示，这个零件符合要求吗？例2：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？请说出你的判断理由.四、课堂检测：1、三角形的三边分别等于下列各组数，所代表的三角形是直角三角形的是（）A. 7，8，10B. 7，24，25C. 12，35，37D. 13，11，102、若△ABC的三边a、b、c满足（a－b）（2a＋2b－2c）＝0，则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A. b2 =c2－a2B. a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C =∠A+∠BD.∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶44、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为三角形.5、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 .6、如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，∠B与∠C相等吗？为什么？7、（选做题）若△ABC的三边长为a，b，c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c根据条件判断△ABC的形状.第一章勾股定理1.3 勾股定理的应用一、问题引入：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 .如果用a ，b 和c 表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 二、基础训练：1、在△ABC 中，已知AB=12cm ，AC=9cm ，BC=15cm ，则△ABC 的面积等于（ ）A.108cm 2B.90cm 2C.180cm 2D.54cm 22、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)三、例题展示：例1：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？π的值取3)。
1.1 探索勾股定理第1课时勾股定理【学习目标】1．会用数格子的办法体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系．2．能利用勾股定理进行简单的计算和实际应用．【学习重点】勾股定理的探索及利用勾股定理进行计算．【学习难点】用测量和数格子的方法探索勾股定理．教学环节指导学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．说明：通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理．说明：通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解．情景导入生成问题我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边．对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系．那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理．出示投影1(章前的图文P1)，介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号．自学互研生成能力知识模块一探索勾股定理自主探究先阅读教材第2页“做一做”的内容，然后完成下面的问题．1．在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流．【说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质．2．观察教材图1－2，正方形A中有__9__个小方格，即A的面积为__9__个面积单位．正方形B中有__9__个小方格．即B的面积为__9__个面积单位．正方形C中有__18__个小方格，即C的面积为__18__个面积单位．你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问．教材图1－2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？归纳得出结论：SA ＋SB＝SC.合作探究师生合作共同完成下面问题的学习与探究，若在学习过程中学生遇到困难，教师要及时指导．3．教材图1－3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？与同伴进行交流．4．如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由．【说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高．议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？与同伴进行交流．【说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力的语言表达能力．【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．这就是著名的“勾股定理”．也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来．提示：利用勾股定理进行计算求值时，一定要分清直角边、斜边．学习行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.知识模块二利用勾股定理计算求值合作探究典例讲解：例：求出下列直角三角形中未知边AB的长度．解：(1)∵∠B＝90°，∴AC是斜边，根据勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2.∴AB2＝AC2－BC2＝202－122＝400－144＝256.∴AB＝16；(2)∵∠C＝90°，∴AB是斜边，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝72＋242＝625.∴AB＝25.交流展示生成新知交流预展1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．展示提高知识模块一探索勾股定理知识模块二利用勾股定理计算求值检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时勾股定理的验证及简单应用【学习目标】1．会利用拼图法、等积法验证勾股定理的正确性．2．能利用勾股定理解决简单实际问题．【学习重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理．【学习难点】应用勾股定理解决实际问题．学习行为提示：每组抽一位学生上黑板做，其余学生在座位上完成，组长检查每组完成情况，最后教师给每组评分．情景导入生成问题旧知回顾：1．勾股定理：Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边为c，那么__a2＋b2＝c2__．2．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( C)A．48 B．60 C．76 D．803．如果一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为( C)A．4 B.34 C．4或34 D．以上都正确学习行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．说明：学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解．学习行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解法．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．自学互研 生成能力知识模块一 勾股定理的验证合作探究先阅读教材第4页下面的内容和第5页“做一做”的内容，然后完成下面的问题．1．画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流．【说明】 让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想．2．为了计算教材图1－4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P 51－5、1－6图．(1)将所有三角形和正方形的面积用a ，b ，c 的关系式表示出来；(2)教材图1－5、1－6中正方形ABCD 的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流．(3)你能分别利用教材图1－5、1－6验证勾股定理吗？【归纳结论】 勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P 7－8的其他证明勾股定理的方法，以开阔同学们的视野．知识模块二 利用勾股定理解决实际问题自主探究自学自研教材第5页例题．合作探究师生合作共同完成下面例题的学习探究．典例讲解：例：飞机在空气中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形．如图，图中△ABC 的∠C ＝90°，AC ＝4000米，AB ＝5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ABC 的斜边AB ＝5000米，AC ＝4000米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．解：由勾股定理得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－42＝9(千米)，即BC ＝3千米，飞机20秒飞行3千米．那么它1小时飞行的距离为：360020×3＝540(千米/时)，答：飞机每小时飞行540千米．【说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答．并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去．交流展示生成新知交流展示1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．展示提升知识模块一勾股定理的验证知识模块二利用勾股定理解决实际问题检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
第一章勾股定理综合复习恩江中学八年级数学备课组高秋秀一、教学目标：进一步熟练运用勾股定理和它的逆定理进行计算。
二、教学重难点：能灵活运用勾股定理的相关知识解决实际问题。
三、教学过程（一）知识点梳理勾股定理：1.直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的验证—通过从不同角度求同一图形的面积（常见图形如下）勾股定理的逆定理1、 如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.（注意长边对的角是直角）2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.（二）精讲精练考点一、勾股定理的证明例1、 4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ．现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理， 你能说明其中的道理吗？•请试一试．考点二、勾股定理的应用求解 1 、若一个直角三角形的两条直角边的长分别为6 cm 和8 cm ，则斜边的长_________2、从5，9，12，13，17这5个数中选取3个数，可以作为勾股数的一组是（ ）A. 5，9，12B. 5，9，13C. 5，12，13D. 9，12，173．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、折叠问题2、如图所示，在长方形ABCD 中，AB=16，BC=8，将长方形沿AC 折叠，使D落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，求AF 的长．考点四、最短路径【知识要点】1、内容：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；2、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理学习目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
重点、难点重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：勾股定理的发现。
学习过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。
那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周朝数学家）。
出示投影2。
（书中P2 图1一2）并回答：1、观察图1一2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。
正方形B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。
正方形C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。
3、图l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书。
A + B＝C ，接着提出图1一1中A、B、C的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3 图1一3，图1一4 )提问：1、图1一3中，A 、B、C之间有什么关系？2、图1 一4中，A 、B 、C 之间有什么关系？3、从图1一l 、1一2 、1一3 、l一4中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议1、图1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为______mm．（2）如图2，直线l上有三个正方形a b c，，，若的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．4 B．6C．16 D．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C++∠∠∠的度数．解：连32A E．32122222A A A A A E A E==，，32212290A A E A A E∠=∠=，322122Rt RtA A E A A E∴△≌△（SAS）．322122A E A A E A∴∠=∠．由勾股定理，得：4532C E C E===，4532A E A E===，图21A2A3A4A5A5E2E11114C1A2A3A4A5A5E2E11114C3C2C图344332A C A C ==，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）． 323454A E C A E C ∴∠=∠122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =； （C ）222c a =； （D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7.5米； （C ）12米； （D ）8米 4、下列说法中正确的有（ ）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)n n n n -+>，则ABC 是直角三角形。
（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个AB C图75、如图4是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（ ） A ． a ＞c B ．b ＞c C ．4a 2+b 2=c 2 D ．a 2+b 2=c 26、已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为 ．7、已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形的两直角边的长分别为 ．8、利用图5（1）或图5（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．9、一棵树因雪灾于A 处折断，如图所示，测得树梢触地点B 到树根C 处的距离为4米，∠ABC 约45°，树干AC 垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米（答案可保留根号）．10、如图6，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______。
11、如图7，在ΔABC 中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图 作BC 边上的中线AD （保留作图痕迹，不要求写作法、证明）， 并求AD 的长．12、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形ABC DEFGHIJ图4图5（1）图6图5（2）的面积.13、在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.14、如图8：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？图815、如图9，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.图9专题二：一定是直角三角形吗 考点分析：本部分内容是勾股定理及其逆定理的应用，它在中考试卷中不单独命题，常与其它知识综合命题典例剖析例1．如图10，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点，求B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B 点关于CD 的对称点B′，连结AB′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点，因为B′D =DB ，所以B′D =AC ，∠B′DO =∠OCA =90°，∠B′=∠CAO 所以△B′DO ≌△ACO (SSS )，则OC =OD =21AB =21×6=3米，连结OB ，在Rt △ODB 中，OD 2+BD 2=OB 2，所以OB 2=32+42=52，即OB =5(米)，所以点B 到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础例2．如果只给你一把带刻度的直尺，你是否能检验∠MPN 是不是直角，简述你的作法．分析：只有一把刻度尺，只能用这把刻度尺量取线段的长度，若∠P 是一个直角，∠P 所在的三角形必是个直角三角形，这就提示我们把∠P 放在一个三角形中，利用勾股定理的逆定理来解决此题．图10作法：①在射线PM 上量取PA=3㎝，确定A 点， 在射线PN 上量取PB=4㎝，确定B 点．②连结AB 得△PAB ． ③用刻度尺量取AB 的长度，如果AB 恰为5㎝，则说明∠P 是直角，否则∠P 不是直角．理由：PA=3㎝，PB=4㎝，PA 2+PB 2=32+42=52，若AB=5㎝，则PA 2+PB 2=AB 2，根据勾股定理的逆定理得△PAB 是直角三角形，∠P 是直角．说明：这是一道动手操作题，是勾股定理的逆定理在现实生活中的一个典型应用．学生既要会动手操作，又必须能够把操作的步骤完整的表述出来，同时要清楚每个操作题的理论基础． 专练二：1．做一做：作一个三角形，使三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,哪条边所对的角是直角？为什么？2．断一断：设三角形的三边分别等于下列各组数：①7，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10 （1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？（2）把你判断是Rt △的哪组数作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证.3．算一算：．一个零件的形状如图12，已知AC=3㎝，AB=4㎝，BD=12㎝， 求：CD 的长．ＰＡＭＮ图11图124．一个零件的形状如图13所示，工人师傅按规定做得AB =3，BC =4，AC =5，CD =12，AD =13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？5．如图14，等边三角形ABC 内一点P ，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数.6．若△ABC 的三边长为a ,b ,c ，根据下列条件判断△ABC 的形状.（1）a 2+b 2+c 2+200=12a +16b +20c (2)a 3－a 2b +ab 2－ac 2+bc 2－b 3=07．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出1 个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．图13图148．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图15，已知圆筒高108㎝，其截面周长为36㎝，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸．专题三：勾股定理的应用 考点分析：勾股定理在实际生活中的应用较为广泛，它常常单独命题，有时也与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．如图16（1）所示，一个梯子AB 长2.5米， 顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图10（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？分析：梯子顶端A 下落的距离为AE ， 即求AE 的长．已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ， 只要求出EC 即可。
解：在Rt △ACB 中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2在中，Rt ECD EC ED CD ∆22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5， ∴=-=-=AE AC EC 21505..，所以，梯子顶端下滑了0.5米． 图16（2） A A E C B D（1） （2）图16图15点评：在实际生活、生产及建筑中，当人们自身高度达不到时，往往要借助于梯子，这时对梯子的选择，及梯子所能达到的高度等问题，往往要用到勾股定理的知识来解决．但要 注意：考虑梯子的长度不变．例2．有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺； 把竹竿斜放,，竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?分析：只要根据题意，画出图形，然后利用勾股定理，列出方程解之 解：设竹竿长为x 尺。
